(完整版)《平行四边形及其性质》知识讲解(基础)

平行四边形及其性质（基础）

【学习目标】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理.

2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．

3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．

4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等” 。“夹在两条平行线间的垂线段相

等” ．

【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义

平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD 记作

“ Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD” .

要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线. 相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质定理

平行四边形的对角相等；

平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.

（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.

知识点三、平行线的性质定理

1. 两条平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 注：距离是指垂线段的长度，是正值.

2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.

平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.

【典型例题】类型一、平行四边形的性质

1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠ DAB、∠ CBA的平分线．求证：DF＝EC．

【答案与解析】证明：∵ 在Y ABCD中，CD∥ AB，

∠ DFA＝∠ FAB．

又∵ AF 是∠ DAB的平分线，

∴ ∠ DAF＝∠ FAB，

∴ ∠ DAF＝∠ DFA，

∴ AD ＝DF．同理可得EC＝BC．

∵ 在Y ABCD中，AD＝BC，

∴ DF ＝EC．

【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件．

举一反三：

【变式】如图，E、F 是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE 与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.

【答案】

证明：猜想：BE ∥ DF且BE＝DF.

∵四边形ABCD是平行四边形∴CB=AD，CB∥ AD ∴∠ BCE＝∠ DAF 在△ BCE

和△ DAF中

CB AD

BCE DAF

CE AF

∴△ BCE≌△ DAF

∴ BE＝DF，∠ BEC＝∠ DFA

∴BE∥ DF

即BE ∥ DF且BE＝DF.

2. （2016·永州）如图，在?ABCD中，∠ BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E．

（1）求证：BE=CD；

（2）连接BF，若BF⊥AE，∠ BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．

【思路点拨】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠ BEA，即可证明；（2）证明

△ABE为等边三角形，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ ADF≌△ ECF，得出△ ADF与△ ECF

的面积相等，平行四边形ABCD的面积=△ ABE的面积，即可得出结果．

【答案与解析】

（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，

∴∠ AEB=∠DAE，

又∵ AE是∠ BAD的角平分线，

∴∠B AE=∠DAE，

∴∠ AEB=∠BAE，

∴AB=BE，

∴ BE=CD．

（2）解：∵ AB=BE，∠ BEA=60°

∴△ABE为等边三角形，

∴ AE=AB=4，

∵BF⊥AE，

∴ AF=EF=2，

∴BF=2 3 ，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠ ECF，∠ DAF=∠E，

在△ ADF和△ ECF中，

D ECF

DAF E ,

AF EF

∴△ ADF≌△ ECF（AAS）

∴△ ADF的面积=△ECF的面积，

∴平行四边形ABCD的面积=△ ABE的面积=1AE BF 14 2 3 4 3．

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【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定、勾股定理；解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．

3. 如图，在?ABCD中，点E，F 分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF

折叠，使得点 B ，C 分别落在 B ′，C ′处，线段 EC ′与线段 AF 交于点 G ，连接 DG ，B ′G ． 求证：（ 1）∠ 1=∠ 2；

（2 ）DG=B ′G ．

【思路点拨】 （1）根据平行四边形得出 DC ∥AB ，推出∠ 2=∠FEC ，由折叠得出∠ 1=∠FEC=∠ 2，即可得出答案；

（2）求出 EG=B ′G ，推出∠ DEG=∠EGF ，由折叠求出∠ B ′FG=∠ EGF ，求出 DE=B ′ F ，证△ DEG ≌△B ′FG 即可．

【答案与解析】 证明：（1）∵在平行四边形 ABCD 中， DC ∥ AB ，

∴∠ 2=∠ FEC ，

由折叠得：∠ 1=∠ FEC ，

∴∠ 1=∠ 2；

（ 2）∵∠ 1=∠2，

∴ EG=GF ，

∵ AB ∥DC ，

∴∠ DEG=∠ EGF ， 由折叠得： EC ′∥ B ′F ，

∴∠ B ′FG=∠ EGF ，

∵DE=BF=′B F ，

∴DE=B ′F ，

∴△ DEG ≌△ B ′FG （ SAS ），

∴DG=B ′G ．

总结升华】 本题考查了平行四边形性质， 折叠性质， 平行线性质， 全等三角形的性质和判 连接 DF 并延长， 交 AB 的延长线于点 E ．求

【思路点拨】 根据平行四边形性质得出 AB=DC ，AB ∥ CD ，推出∠ C=∠FBE ，∠CDF=∠E ，证△CDF ≌△ BEF ，推出 BE=DC 即可．

【答案与解析】

证明：∵ F 是 BC 边的中点，

∴BF=CF ，

∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC ，AB ∥CD ， ∴∠ C=∠ FBE ，∠

定的应用，主要考查学生的推理能

力．

F 是 BC 边的中

点，