(完整版)《平行四边形及其性质》知识讲解(基础)

平行四边形及其性质（基础）【学习目标】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理.2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等” 。

“夹在两条平行线间的垂线段相等” ．【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD 记作“ Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD” .要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线. 相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1. 两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 注：距离是指垂线段的长度，是正值.2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠ DAB、∠ CBA的平分线．求证：DF＝EC．【答案与解析】证明：∵ 在Y ABCD中，CD∥ AB，∠ DFA＝∠ FAB．又∵ AF 是∠ DAB的平分线，∴ ∠ DAF＝∠ FAB，∴ ∠ DAF＝∠ DFA，∴ AD ＝DF．同理可得EC＝BC．∵ 在Y ABCD中，AD＝BC，∴ DF ＝EC．【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件．举一反三：【变式】如图，E、F 是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE 与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.【答案】证明：猜想：BE ∥ DF且BE＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形∴CB=AD，CB∥ AD ∴∠ BCE＝∠ DAF 在△ BCE和△ DAF中CB ADBCE DAFCE AF∴△ BCE≌△ DAF∴ BE＝DF，∠ BEC＝∠ DFA∴BE∥ DF即BE ∥ DF且BE＝DF.2. （2016·永州）如图，在?ABCD中，∠ BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠ BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠ BEA，即可证明；（2）证明△ABE为等边三角形，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ ADF≌△ ECF，得出△ ADF与△ ECF的面积相等，平行四边形ABCD的面积=△ ABE的面积，即可得出结果．【答案与解析】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠ AEB=∠DAE，又∵ AE是∠ BAD的角平分线，∴∠B AE=∠DAE，∴∠ AEB=∠BAE，∴AB=BE，∴ BE=CD．（2）解：∵ AB=BE，∠ BEA=60°∴△ABE为等边三角形，∴ AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴ AF=EF=2，∴BF=2 3 ，∵AD∥BC，∴∠D=∠ ECF，∠ DAF=∠E，在△ ADF和△ ECF中，D ECFDAF E ,AF EF∴△ ADF≌△ ECF（AAS）∴△ ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ ABE的面积=1AE BF 14 2 3 4 3．22【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定、勾股定理；解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．3. 如图，在?ABCD中，点E，F 分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点 B ，C 分别落在 B ′，C ′处，线段 EC ′与线段 AF 交于点 G ，连接 DG ，B ′G ． 求证：（ 1）∠ 1=∠ 2；（2 ）DG=B ′G ．【思路点拨】 （1）根据平行四边形得出 DC ∥AB ，推出∠ 2=∠FEC ，由折叠得出∠ 1=∠FEC=∠ 2，即可得出答案；（2）求出 EG=B ′G ，推出∠ DEG=∠EGF ，由折叠求出∠ B ′FG=∠ EGF ，求出 DE=B ′ F ，证△ DEG ≌△B ′FG 即可．【答案与解析】 证明：（1）∵在平行四边形 ABCD 中， DC ∥ AB ，∴∠ 2=∠ FEC ，由折叠得：∠ 1=∠ FEC ，∴∠ 1=∠ 2；（ 2）∵∠ 1=∠2，∴ EG=GF ，∵ AB ∥DC ，∴∠ DEG=∠ EGF ， 由折叠得： EC ′∥ B ′F ，∴∠ B ′FG=∠ EGF ，∵DE=BF=′B F ，∴DE=B ′F ，∴△ DEG ≌△ B ′FG （ SAS ），∴DG=B ′G ．总结升华】 本题考查了平行四边形性质， 折叠性质， 平行线性质， 全等三角形的性质和判 连接 DF 并延长， 交 AB 的延长线于点 E ．求【思路点拨】 根据平行四边形性质得出 AB=DC ，AB ∥ CD ，推出∠ C=∠FBE ，∠CDF=∠E ，证△CDF ≌△ BEF ，推出 BE=DC 即可．【答案与解析】证明：∵ F 是 BC 边的中点，∴BF=CF ，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC ，AB ∥CD ， ∴∠ C=∠ FBE ，∠定的应用，主要考查学生的推理能力．F 是 BC 边的中点，CDF=∠E，∵在△ CDF和△ BEF中C＝FBECDF ＝ECF＝BF∴△ CDF≌△ BEF（AAS），∴BE=DC，∵AB=DC，∴AB=BE．【总结升华】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出△ CDF≌△ BEF．举一反三：【变式】如图，已知在?ABCD中，延长AB，使AB=BF，连接DF，交BC于点E．求证：E是BC的中点．【答案】证明：在□ ABCD中，AB∥ CD，且AB=CD，∴∠ CDF=∠ F，∠ CBF=∠C，∵AB=FB，∴DC=FB，∴△ DEC≌△ FEB，∴EC=EB，即 E 为BC的中点．类型二、平行线的性质定理及其推论5. （1）如图1，已知△ ABC，过点 A 画一条平分三角形面积的直线；（2）如图2，已知l1∥l2，点E，F在l 1上，点G，H在l 2上，试说明△ EGO与△ FHO面积相等；（3）如图3，点M在△ ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线．思路点拨】（1）根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画直线即可；2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；3）结合（1）和（2）的结论进行求作．答案与解析】解：（1）取BC的中点D，过A、D画直线，则直线AD为所求；（2）证明：∵ l1∥l 2，∴点E，F到l 2之间的距离都相等，设为h．∴S△EGH= 1 GH× h，S△ FGH= 1 GH×h，22∴ S△ EGH=S△FGH，∴△ EGO的面积等于△ FHO的面积；（3）解：取BC的中点D，连接MD，过点 A 作AN∥MD交BC于点N，过M、N 画直线，则直线MN为所求．【总结升华】此题主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等．举一反三：【变式】（南京校级期中）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．探索：已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD．应用此定理进行证明求解．应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和．【答案】探索：证明：如图1，连接AC，∵AD∥BC，∴∠ DAC=∠BCA ∵AB∥CD．∴∠ BAC=∠DCA 在△ABC和△CDA中，，∴△ ABC≌△ CDA（ASA），∴AB=CD；应用一：证明：如图2，作DE∥AB 交BC于点E，∵AD∥BC，∴AB=DE∵AB=CD，∴DE=C，D ∴∠DEC=∠C ∵DE∥AB，∴∠B=∠DEC，∴∠B=∠C；应用二、解：如图3，作DF∥AC 交BC的延长线于点 F ∵AD∥BC，∴ AC=D、F AD=CF，∵DF∥AC，∴∠ BDF=∠BEC，∵AC⊥BD，∴∠ BDF=∠BEC=90°，在Rt△ BDF中，由勾股定理得：BF=5，故BC+AD=BC+CF=BF．=5。