函数零点讲义

方程的解、函数的零点

一、零点的定义：（图形角度讲）

我们把函数()y f x =的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. 例

42)(-=x x f )0(,)(2≠++=a c bx ax x f x a x f =)( 试分析函数)(x f 的零点与方程0)(=x f 的根根间的关系

二、函数零点与方程根间的关系

1、函数()f x 图像的零点就是方程()0f x =的解

2、函数的零点个数决定相应方程实数解的个数.

例 如 二次函数)0(,)(2≠++=a c bx ax x f 的零点个数等同于0)(=x f 的根的个数问题。如：2-)(2x x x f +=

练 习

（1）函数f(x)=x(x 2－16)的零点为（ ）

A ．(0，0)，(4，0)

B ．0，4

C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0)

D ．–4，0,4

（2）求函数()24129f x x x =-+的零点.

（3）判定下列函数是否存在零点，若存在有几个

1)()(,62)(,5log )(2-12-==-=+=-x x h x x m x g x f x x ，④③②①

三、零点存在的判定性定理

若函数()y f x =在闭区间[,]a b 上满足[,]2.()()0

a b f a f b ⎧⎨⋅<⎩1.图像在上是连续的曲线，则在

区间(,)a b 内，()y f x =至少有一个零点，即()0f x =在区间(,)a b 内至少有一个实数解.

例如：

（1）已知函数2()3x f x x =-，问:方程()0f x =在区间[1,0]-内有没有实数解？

（2）判定方程(2)(5)1x x --=有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.

练 习

（1）判定方程34150x x +-=在区间[1,2]内是否存在实数解，并说明理由.

四、零点的判定方法

（1）定义法：

（2）直接法：届方程f(x)=0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；

（3）图像法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x 轴的交点个数，即为函数f(x)的零点个数；

（4）将函数f(x)拆成两个常见函数()0()()0()(),f x h x g x h x g x =⇔-=⇔=则函数的零点个数即为y=h(x)与y=g(x)的图象的交点个数；

例如：① 函数f(x)=e x-1+4x-4在区间x ∈[0，1]内是否存在零点

②试判定方程02-=-x x 根的个数

（5）二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式∆来判断。

（6）二分法确定零点位置（结合教材例题解决）

课后练习

零点所在区间是，则函数、已知函数)(log 6)(12x f x

x f x -=( ) )1,0(A )2,1(B )4,2(C ),4(+∞D

2、函数()23x f x x =+的零点所在的区间是（ ）

A (2,1)--

B (1,0)-

C (0,1)

D (1,2)

3、若函数()f x 唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内，则下列说法错误的是（ ） A 函数()f x 在(1,2)或(2,3)内有零点 B 函数()f x 在(3,5)内没有零点 C 函数()f x 在(3,5)内有零点 D 函数()f x 在(2,4)内不一定有零点

4、已知函数21()log 3x

f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，若实数0x 是函数()f x 的零点，且100,x x <<则1()f x 的值是（ ）

A 恒为正值

B 等于0

C 恒为负值

D 不大于0

5、函数2()21f x mx x =-+有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是（ ）

A (,1]-∞

B {}(,0]1-∞⋃

C (,0](0,1]-∞⋃

D (,1)-∞

6、函数223,0,()2,0

x x x f x Inx x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ）

A 3

B 2

C 1

D 0

7、函数2()2x f x x =-的零点个数是（ ）

A 1

B 2

C 3

D 4