2012考研数学三真题及答案解析

,
1 0
a 0 0 1
0
（Ⅰ）计算行列式 A ；
（Ⅱ）当实数 a 为何值时，方程组 Ax 有无穷多解，并求其通解.
1 0 1
(21)已知
A
0 1
1 0
1 a
，二次型
f
x1,
x2 ,
x3
xT
AT A x 的秩为 2，
0
a 1
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）求正交变换 x Qy 将 f 化为标准形.
(13)设 A 为 3 阶矩阵， A 3 ， A* 为 A 的伴随矩阵。若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩 阵 B ,则 BA*
(14)设 A 、 B 、 C 是随机事件， A 与 C 互不相容， P( AB) 1 , P(C) 1 ,则 P( AB | C)
2
3
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.
0
2
0
0 0 1
(7)设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则
P X 2 Y 2 1 ( )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C) 8
(D) 4
(8)设 X1, X 2 , X 3 , X 4 为来自总体 N(1, 2 ) ( 0) 的简单随机样本，则统计量
4
2 2
2
（10）
dy dx
xe
(ln
x 1)
xe
1 e
【分析】本题主要考查复合函数求表达式及复合函数求导数。先利用分析法得到
y f ( f (x)) 的表达式，再求导数，或直接根据分段函数的定义用复合函数求导法求导
数。
【详解】法一：由于
f
(x)
ln 2x
x, 1,
x x
1 1，所以
f
(x)
D
故应选（Ｂ）。
（4）【答案】D
【分析】本题考查绝对收敛与条件收敛的概念与级数敛散的判定。
n
【详解】由级数 (1)n
i 1
n sin
1 n
绝对收敛知，正项级数
n i 1
n sin
1 n
收敛，因
为
n
sin
1 n
n n
1
1
(n
)
n2
n
，所以级数
i 1
1
1
n2
收敛，故 1 1，即 3 ；
2
1 0 0
1 0 0
Q 1
AQபைடு நூலகம்
1
1
0
P
1
AP
1
1
0
0 0 1
0 0 1
1 0 01 0 01 0 0 1 0 0
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 2
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 2
故应选（B）。
（7）【答案】D
【分析】考查均匀分布的概念、随机变量独立的概念、二维随机变量概率的计算。
2
（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数 C(x, y) （万元）；
（Ⅱ）当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最 小成本；
（Ⅲ）求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.
(18)证明： x ln 1 x cos x 1 x2 (1 x 1)
1 x
2
(19)已知函数 f (x) 满足方程 f ( x) f ( x) 2 f ( x) 0 及 f (x) f (x) 2ex
（Ⅰ）求 f (x) 的表达式；
（Ⅱ）求曲线 y f (x2 ) x f (t2 )dt 的拐点. 0
1 a 0 0
1
(20)设
A
0 0
1 0
a 1
0 a
t(1) 。故应选（B）。
2 2
二、填空题
（9）【分析】考查未定式的极限、洛必达法则。将幂指函数写成指数形式。
1
lim(tan x) e e 【详解】法一：
1 cos xsin x
lim
x
ln tan x cos xsin
x
4
lim
x
sin sin
x cos x x cos
x
4
x
4
lim
1
1 2x
,
x
1
，
f (e)
1, 0,
0
x, y 其他
1
，
所以 P{X 2 Y 2 1}
f (x, y)dxdy dxdy （其中 D 是 x2 y2 1在第一
x2 y2 1
D
4
象限部分）
故应选（D）。
（8）【答案】B
【分析】本题考查统计量的分布，只需记住常用的统计量的分布即可得到答案。
【详解】因为 X1, X 2 , X 3, X 4 为来自总体 N (1, 2 ) ( 0) ，所以
ln
x
2x 1
,x 1， ,x 1
y
f
f x
，则 dy dx xe
(11)设连续函数 z
f
(x, y) 满足 lim x0 y1
f (x, y) 2x y 2 x2 ( y 1)2
0 则 dz |0,1
(12)由曲线 y 4 和直线 y x 及 y 4x 在第一象限中围成的平面图形的面积为 x
c1 c2 c3
0 0 1 (1,2 ,4 ) 0 1 1 c1 ；
c1 c2 c4
0 1 1 (1,3,4 ) 0 1 1 0 ；
c1 c3 c4
0 (2 ,3,4 ) 1
c2
1 1 0 1 1 1 c3 c4 c2
0 0 c3 c4
1 1 (c3 c4 ) 。 c4
由于 c1, c2 , c3, c4 为任意常数，所以1,3,4 线性相关。故应选（C）。
2
又级数
i 1
(1)n n2
条件收敛，所以 0
2
1，解得1
2；
综上可得 3 2 。故应选（D）。 2
（5）【答案】C
【分析】 考查向量组线性相关的判定.三个三维向量构成的向量组既可以用行列 式是否为零来判是否线性相关，又可以利用矩阵的秩来讨论。本题利用行列式判定快 速、直接。
00 1 【详解】 因为 (1,2 ,3 ) 0 1 1 c1 ；
|
X
X1 3
X X4
2
2
|
的分布为
(
)
(A) N（0,1） (B) t(1) (C) 2 (1) (D) F (1,1）
二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
1
(9) lim tan x cos xsin x x 4
(10)设函数
f
x
2012 年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题解析
一、 选择题 （1）【答案】C
【分析】本题考查渐近线的概念与求法.
【详解】水平渐近线：
因为
lim
x
y
lim
x
x2 x2
x 1
1 ，所以该曲线只有一条水平渐近线；
铅直渐近线：
函数
y
x2 x x2 1
的定义域为
x
1，又因为 lim x1
y
lim
x1
x2 x x2 1
（22）
设二维离散型随机变量 X 、 Y 的概率分布为
Y
X
0
1
2
1
0
4
1
0
1
2
12
（Ⅰ）求 PX 2Y ；
1
0
4
1
3
0
1
0
12
（Ⅱ）求 Cov( X Y ,Y ) .
（23）设随机变量 X 与Y 相互独立，且服从参数为 1 的指数分布. 记U maxX ,Y ， V minX ,Y
（Ⅰ）求V 的概率密度 fV (v) ； （Ⅱ）求 E(U V ) .
e e x (sin xcos x)sin xcos x 4
2
1
1
法二： lim(tan x) cos xsin x lim[1 (tan x 1)]cos xsin x
x
x
4
4
e e e e lim tan x1 x cos xsin x 4
lim sec2 t x sin xcos x
，
lim
x1
y
lim
x1
x2 x x2 1
1 2
，所以该曲线只有一条铅直渐近线；
斜渐近线：
因为 lim x
y
lim
x
x2 x2
x 1
1 ，所以该曲线没有斜渐近线。
故应选(C).
(2) 【答案】A
【分析】考查导数定义或求导公式。本题既可以用导数定义求，也可求出导函数 再代入点。
【详解】法一：由题设知 f (0) 0
2012 年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项
符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
(1)曲线
y
x2 x2
x 1
渐近线的条数为
()
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2)设函数 f (x) (ex 1)(e2x 2)(enx n) ，其中 n 为正整数，则 f '(0)