2020年(数学一)全国硕士研究生招生考试真题(1)
2020年考研数学一真题及答案(全)
全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
2020年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及解析
2020年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及解析1. 【单项选择题】当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是( )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：2. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：C参考解析：3. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：A 参考解析：4. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：A参考解析：5. 【单项选择题】若矩阵A经初等列变换化成B，则( )．A. 存在矩阵P，使得PA=BB. 存在矩阵P，使得BP=AC. 存在矩阵P，使得PB=AD. 方程组Ax=0与Bx=0同解正确答案：B参考解析：6. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：C 参考解析：7. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：D 参考解析：8. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：B参考解析：9. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-1【解析】10. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】11. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：n+am【解析】12. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：4e13. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：a4-4a2【解析】14. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：15. 【解答题】求函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：16. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：17. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：18. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：19. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：20. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：21. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：22. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：23. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：。
2020年(数学一)全国硕士研究生招生考试真题(1)
z
=
x2 +
y2
的法向量是 n =
ìïï镲 睚 镲 镲 ïî
x x2 +
y2
,
y ,- 1üïï ， x2 + y2 ïþ
则有
dydz x
=
x2 + y2
dzdx y
x2 + y2
=
dxdy -1
，即ìïïïïïïíïïïï?ïî ddyzddxz
= =
-
x dxdy x2 + y2
y dxdy
x2 y2
1 6
,1 12
处， AC
−
B2
=
3
0,
A
=1
0 ，从而函数在此处取
极小值，且
f
1 6
,1 12
=
−
1 216
.综上函数的极值为
f
1 6
,1 12
=
−
1 216
.
16
.计算曲线积分 I
=
L
4x − 4x2 +
y y
2
dx
+
x+ y 4x2 + y
dy ，其中
L
是
x2
+
y2
=
2 ，方向为逆时针方
答案：8. B
100
E
i =1
Xi
=
100 i =1
EX i
= 100
1 2
= 50
100
i =1
DXi
= 100
1 2
1 2
=
25
P
100 i =1
Xi 5
2020年考研数学一真题及答案(全)
全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纨指定位置上.1- cos Jx _______ _ r > 0(1)若函数/(# = { ax在x连续，则b,x<Q(A) ab = g.(B) ab = —^.(C) ab = 0.(D) ab = 2.【答案】A【详解】由lim --=，_ = b,得出? = L.ax 2a 2(2)设函数可导，且—。
)>0则(A) /(1)>/(-1). (B) /⑴ </(T).© |/W|>|/(-l)|- ⑼ ]〃刈<|〃-1)卜【答案】C【详解】/(刈=[弓2r〉o,从而广(冷单调递增，尸⑴>(3)函数/。
,乂2)=犬〉+ ^在点(1,2,0)处沿着向量〃 =(1,2,2)的方向导数为(A) 12. (B) 6. (C) 4. (D)2 .【答案】D19【详解】方向余弦cosa = -,cos^ = cosy = §，偏导数f； = 2xy,f； = x\f! = 2z，代入 cos af； + cos /f： + cos yf；即可.(4)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线y =H«)(单位：m/s),虚线表示乙的速度曲线〃=匕(。
(单位：in/s),三块阴影部分面积的数值一次为10, 20, 3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s),则(A) r 0 =10. (B) 15<t 0 <20 . (C) 0 = 25. (D) t 0>25.【答案】C【详解】在。
=25时，乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. (5)设a 为〃维单位列向量，七为〃阶单位矩阵，则(A)七一勿肝不可逆. (B) E+aaT 不可逆. (C) E+2a«i 不可逆. (D)不可逆.【答案】A【详解】可设Q = (l,o,…,0)、则或/的特征值为L0,…,0,从而E —皿丁的特征值为 0』,…因此E —不可逆.101 fl 、2 0 , C= 2 0 J 1 2)(A)A 与C 相似，8与。
2023考研数学真题一二三合集
∑ ∞
|an| = |(an − bn) + bn| ≤ |bn − an| + |bn|
n=1
n=1
n=1
nHale Waihona Puke 1而 ∑∞ |bn − an| + ∑∞ |bn| 收敛，故 ∑∞ |an| 收敛，从而 ∑∞ an 绝对收敛，故选 (A).
n=1
n=1
n=1
n=1
5. 已知 n 阶矩阵 A, B, C 满足 ABC = O, E 是 n 阶单位矩阵. 记矩阵
绝密 ⋆ 启用前
2023 年全国硕士研究生招生考试
数学（一）
（科目代码：301）
考生注意事项
试卷类型：考研数学
1. 答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生 姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2. 考生须把试题册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在答题卡的“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规 定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。
x→∞
x→∞
x−1
x→∞
x−1
[(
)
]
[
]
= lim x ln e + 1 − ln e = lim x ln 1 + 1
= lim
x
1
=.
x→∞
x−1
x→∞
e (x − 1) x→∞ e (x − 1) e
则斜渐近线方程为：y = x + 1 ，故选 (B). e
2. 若微分方程 y′′ + ay′ + by = 0 的解在 (−∞, +∞) 上有界, 则 ( C ).
e
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案（江南博哥）1[单选题]当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是()．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：2[单选题]A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：x=0，x=2，x=1，x=-1为间断点．3[单选题]A.B.C.D.正确答案：A参考解析：令，则4[单选题]已知函数f(x)=x2ln(1-x)，当n≥3时,f(n)(0)=()．A.B.C.D.正确答案：A参考解析：f(x)=x2ln(1-x)，n≥3．5[单选题]A.4B.3C.2D.1正确答案：B 参考解析：6[单选题]设函数f(x)在区间[-2，2]上可导，且f'(x)>f(x)>0，则 A. B. C. D.正确答案：B参考解析：由f'(x)>f(x)>0，x∈[-2，2]知即[lnf(x)一x]'>0．令F(x)=lnf(x)-x，则F(x)在[-2，2]上单调递增．因为-2<-1，所以F(-2)<F(-1)，即lnf(2)+2<lnf(-1)+1，同理，-1<0，F(-1)<F(0)，即ln f(-1)+1<ln f(0)，7[单选题]设四阶矩阵A=(a ij)不可逆，a12的代数余子式A12≠0，α1，α2，α3，α4为矩阵A的列向量组，A*为A的伴随矩阵，则方程组A*x=0的通解为()．A.x=k1α1+k2α2+k3α3，其中k1，k2，k3为任意常数B.x=k1α1+k2α2+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数C.x=k1α1+k2α3+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数D.x=k1α2+k2α3+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数正确答案：C参考解析：因为A不可逆，所以|A|=0．因为A12≠0，所以r（A）=3，则r(A*)=1，故A*x=0的基础解系有3个线性无关的解向量．因为A*A=|A|E=0．所以A的每一列都是A*x=0的解．又因为A12≠0，所以α1，α3，α4线性无关，故A*x=0的通解为x=k1α1+k2α3+k3α4，故选C项．8[单选题]设A为三阶矩阵，α1，α2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，α3为A的属于特征值-1的特征向量，则满足的可逆矩阵P为()．A.(α1+α3，α2，-α3)B.(α1+α2，α2，-α3)C.(α1+α3，-α3，α2)D.(α1+α2，-α3，α2)正确答案：D参考解析：Aα1=α1，Aα2=α2，Aα3=-α3．所以P的1，3两列为1的线性无关的特征向量α1+α2，α2，P的第2列为A的属于-1的特征向量α3．则P=(α1+α2，-α3，α2)，故选D项．9[填空题]参考解析：【解析】10[填空题]参考解析：【解析】11[填空题]参考解析： (π-1)dx-dy 【解析】12[填空题]斜边长为2a的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g，水密度为p，则该平板一侧所受的水的压力为________．参考解析：【解析】建立直角坐标系，如图所示．13[填空题]参考解析：1【解析】∵特征方程λ2+2λ+1=0，14[填空题]参考解析：a4—4a2【解析】15[简答题]参考解析：因此，曲线的斜渐近线方程为16[简答题]已知函数f(x)连续，且，并证明g'(x)在x=0处连续．参考解析：17[简答题]求二元函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值．参考解析：求一阶导数可得当x=0，y=0时，A=0，B=-1，C=0，AC—B2<0，故(0，0)不是极值点．当x=，y=时，A=1，B=-1，C=4，AC—B2>0，且A=1>0，故(，)是极小值点．18[简答题]参考解析：所以①×2-②×x2得19[简答题]设平面区域D由直线x=1，x=2，y=x与x轴围成，计算参考解析：积分区域如下图所示．20[简答题]设函数，证明：(I)(Ⅱ)参考解析：证明：(I)构造辅助函数F(x)=f(x)(x-2)=(x-2)，显然F(1)=0，F(2)=0，又F(x)在[1，2]上连续，(1，2)上可导，由罗尔定理知ξ∈(1，2)，使得F’(ξ)=0．21[简答题]设函数f(x)可导，且f'(x)>0，曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点0，其上任意一点M的切线与x轴交于T，又MP垂直x轴于点P．已知由曲线y=f(x)，直线MP 及x轴所围成的面积与▲MTP的面积之比为3：2，求满足上述条件的曲线的方程．参考解析：设切点M坐标为(x，y)，则过M的切线方程为 Y—y=Y’(X-x)．令Y=0得X=x-．由题意得整理并求导得．22[简答题](I)求a的值；(Ⅱ)求可逆矩阵P．参考解析：(I)23[简答题]设A 为二阶矩阵，P=(α，A α)，其中α是非零向量且不是A 的特征向量． (I)证明P 为可逆矩阵；(11)若A 2α+A α-6α=0，求P -1AP ，并判断A 是否相似于对角矩阵． 参考解析：(I)α≠0且α不是A 的特征向量，于是A α≠λα， 故α与A α线性无关， 则r(α，A α)=2， 则P 可逆．(II)解法一由已知有A2α=-Aα+6α，于是AP=A(α，Aα)=(Aα，A2α)=(Aα，-Aα+6α)因为P可逆，，所以可得A的特征值也为-3，2．于是A可相似对角化．解法二：P-1AP同解法一．由A2α+Aα-6α=0，得(A2+A-6E)α=0，即(A+3E)(A-2E)α=0，由α≠0得(A2+A-6E)x=0有非零解，故|(A+3E)(A-2E)|=0，得|A+3E|=0或|A-2E|=0，若|A+3E|≠0，则有(A-2E)α=0，故Aα=2α与题意矛盾，故|A+3E|=0，同理可得|A-2E|=0．于是A的特征值为λ1=-3，λ2=2，A有2个不同特征值，故A可相似对角化．。
2020年全国1卷 文科数学真题(解析版)-2020全国一文科数学
在等腰直角三角形 中， ，
在 中， ，
三棱锥 的体积为 .
20.已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）减区间为 ，增区间为 ；（2） .
【详解】（1）当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
（2）若 有两个零点，即 有两个解，
因为 ，解得 ，
所以输出的 ．
故选：C
10.设 是等比数列，且 ， ，则 （）
A.12B.24C.30D.32
【答案】D
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
因此， .
故选：D.
11.设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则 的面积为（）
A. B.3C. D.2
【答案】B
【详解】由已知，不妨设 ，
从方程可知， 不成立，即 有两个解，
令 ，则有 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ，
而 时， ，当 时， ，
所以当 有两个解时，有 ，
所以满足条件的 的取值范围是： .
21.已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
由正弦定理可得 ，
，根据圆截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故选：A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
2020-数一真题答案解析
由α1 ，α2 线性表示，故应选(C).
（ 7 ） 设 A，B ，C 为 三 个 随 机 事 件 ， 且 P= ( A) P= (B) P= (C) 1 ，P(= AB) 0 , 4
P= ( AC) P= (BC) 1 ，则 A，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为 12
(A) 3 4
(B) 2 3
L
4x 4x2
− +
y y2
dx
+
x+ y 4x2 + y2
dy
，其中
L
是
x2
+
y2
= 2 ，方向
为逆时针方向.
【解析】
2020 数学（一）真题 第 8 页 共 13 页
0= ，n
∂f ∂x
，∂f ∂y
，−1
(0 ，0)
且非
零向量 d 与 n 垂直，则
(A) lim | n ⋅ (x ，y ，f (x ，y)) | = 0 存在
( x ，y)→(0，0)
x2 + y2
(B) lim | n× (x ，y ，f (x ，y)) | = 0 存在
( x ，y)→(0，0)
y= − b2 b1
z
− c2 c1
与直线
L2
：x= − a3 a2
y= − b3 b2
z − c3 相交于 c2
一点，法向= 量 αi = abii ，i 1，2 ，3.则 ci
(A) α1 可由 α2 ，α3 线性表示 (C) α3 可由 α1 ，α2 线性表示
(B) α2 可由 α1 ，α3 线性表示 (D) α1 ，α2 ，α3 线性无关
x a3 a2
东北师范大学2020年硕士研究生招生考试试题(学科数学)参考答案
东北师范大学2020年硕士研究生招生考试试题（学科数学）参考答案一、计算题（本题56分，每题8分）（1）求极限30tan sin limx x xx→- 解 201sin 1cos lim cos x x xx x x →-=⋅0sin 1lim 22x x x →==（2）求极限32cos 0lim(1)x x x →+解：2330lim cos 2cos 00lim(1)1x x xxx x ee →→+===（3）设2sin y x x =，求高阶导数(100)y解 令2u x =，sin v x =，则2u x '=，2u ''=，()0n u =，3n ≥，()sin()2n n v x π=+，所以 100(100)()(100)1000n n n n yC u v -==∑21210010099sin(50)2sin()2sin(49)2x x C x x C x πππ=+++++ 2sin 200cos 9900sin x x x x x =-- （4）求极限0lim x +→解：12102112lim lim 2x x x x e ++-→→-== （5）求不定积分1x >解：1()1arccos d C x =-=+⎰（6）求极限111lim()122n n n n→∞++++ 解 101111111lim()lim ln 212211n n n k dx k n n n n xn→∞→∞=++===++++∑⎰（7）求22ln()u xy x y =+的偏导数解：22222222222ln()ln()u x x y y x y xy y x y x x y x y ∂=++=++∂++ 22222222222ln()ln()u y xy x x y xy y x y y x y x y ∂=++=++∂++ 三、论述题（本题20分）讨论33(,)3f x y x y xy =+-的极值点33(,)3f x y x y xy =+-的偏导数为'2(,)33x f x y x y =-，'2(,)33y f x y y x =-，''(,)6xx f x y x =，''(,)6yy f x y y =，''(,)3xy f x y =- 解方程22330330x y y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，得到函数(,)f x y 的稳定点(0,0)和(1,1)在稳定点(0,0)处，2= -9<0xx yy xy f f f ∆=-，''(,)0xx f x y =，所以点(0,0)不是极值点。
2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及答案解析【完整版】
2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。
1．1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭曲线的渐近线方程为（ ）。
A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 【参考答案】B【参考解析】1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e ．2．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。
A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜0 【参考答案】C【参考解析】微分方程y ′′＋ay ′＋by ＝0的特征方程为λ2＋a λ＋b ＝0，当Δ＝a 2－4b ＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零， 若C 1，C 2都不为零，则微分方程的解1212x x y C e C e λλ--=+在（－∞，＋∞）无界； 当Δ＝a 2－4b ＝0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2， 若C 2≠0，则微分方程的解2212a a x xy C eC e=+在（－∞，＋∞）无界；当Δ＝a 2－4b ＜0时，特征方程的根为1,22a λ=-±，则通解为212cossin 22ax y eC x C x -⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 此时，要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a ＝0，再由Δ＝a 2－4b ＜0，知b ＞0.3．设函数y ＝f （x ）由2sin x t t y t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ）。
2020年全国硕士研究生招生考试(数学二)真题
2020年全国硕士研究生入学考试 数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上． 1.0x +→，无穷小最高阶 A.()2e 1d x t t -⎰B.(0ln 1d xt ⎰ C.sin 20sin d xt t ⎰D.1cos 0t -⎰2.()()()11ln 112x xexf x ex -+=--第二类间断点个数A.1B.2C.3D.4 3.1x =⎰A.2π4B.2π8C.π4D.π84.()()2ln 1,3f x x x n =-≥时，()()0n f=A.!2n n -- B.!2n n - C.()2!n n -- D.()2!n n -5关于函数0(x,y)00xy xy f xy y x ≠⎧⎪==⎨⎪=⎩给出以下结论①1(0,0)f x ∂=∂ ②21(0,0)f x y ∂=∂∂③(x,y)(0,0)lim (x,y)0f →=④y 00limlim (x,y)0x f →→=正确的个数是.4.3.2.1A B C D6. 设函数)(x f 在区间[]2,2-上可导，且0)()(>>'x f x f ，则（） A 1)1()2(>--f f B e f f >-)1()0( C 2)1()1(e f f <- D 3)1()2(e f f <-7.设四阶矩阵()ij A a =不可逆，12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组.*A 为A 的伴随矩阵.则方程组*A x =0的通解为（）.112233123112234123112334123122334123..A.+ ,,,B.+ ,,,C.+ ,,,D.+ ,,,..x k k k k k k x k k k k k k x k k k k k k x k k k k k k =+=+=+=+αααααααααααα其中为任意常数其中为任意常数其中为任意常数其中为任意常数8. 设A 为3阶矩阵，21,αα为A 属于1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于特征值-1的特征向量，则满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1000100011AP P 的可逆矩阵P 可为（ ）.A ),,(3231αααα-+B ),,(3221αααα-+C ),,(3331αααα--+D ),,(3321αααα--+ 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．9.设⎪⎩⎪⎨⎧++=+=)1ln(122t t y t x ，则==122t dx y d .10.dx x dy y⎰⎰+1311= .11. 设[])sin(arctan y x xy z ++=，则=),0(πdz .12.斜边长为2a 等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g ，水密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为 13.设()y y x =满足20y y y '''++=，且()()0=00=1y y '，，则+0()d y x x ∞=⎰14.行列式01101111011aa a a--=--三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.求曲线()()101xxx y x x +=>+的斜渐近线方程.16.已知函数()f x 连续且()()()100lim1,d ,x f x g x f xt t x→==⎰求()g x '并证明()g x '在0x =处连续.17.()33,8f x y x y xy =+-极值 18.暂缺19.平面D 由直线1,2,x x y x ===与x轴围成，计算d Dx y . 20.()21e d .xt f x t =⎰（1）证：存在()()()21,2,2e;f ξξξξ∈=-（2）证：存在()()21,2,2ln 2e .f ηηη∈=⋅ 21.()f x 可导，()()00f x x '>≥过原点O上任意点M 切线与x 轴交于T ，MP x ⊥轴，(),,y f x MP x =轴围成面积与MTP ∆面积比为3:2，求曲线方程.22.设二次型()222123123121323,,222f x x x x x x ax x ax x ax x =+++++经可逆线性变换112233x y x P y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()22212312312,,42g y y y y y y y y =+++. （1）求a 的值; （2）求可逆矩阵P .23. 设A 为2阶矩阵，),(ααA P =,其中α是非零向量且是不是A 的特征向量. （1）证明P 为可逆矩阵.（2）若062=-+αααA A ，求AP P 1-，并判断A 是否相似于对角矩阵.。
2019-2021考研数学一真题(含完整答案)
(I)求a,b,c; (II)证明生立3 '/J为 R3 的一个基并， 求生立3 '/J到叮生立3 的过渡矩阵．
—3—
(21) (本题满分11分）
-2
厂 已知矩阵A=
。�
l J与B =
=�
[�
一�]
�]相似．
(I) 求x,y; (II)求可逆矩阵P使得p-1AP = B.
(22) 设随机变量 X1，X2，X3 相互独立，其中 X1 与 X2 均服从标准正态分布，X3 的概率分布为
P {X3
= 0} = P {X3
= 1} =
1 2
，Y
= X3X1 + (1 − X3)X2.
(I) 求二维随机变量 (X1, Y ) 的分布函数，结果用标准正态分布函数 Φ(x) 表示.
=
z−c3 c2
相 交 于 一 点，记 向 量
αi = abii，i = 1, 2, 3，则 (
)
ci
(A)α1 可由 α2，α3 线性表示.
(B)α2 可由 α1，α3 线性表示.
(C)α3 可由 α1，α2 线性表示.
(D)α1，α2，α3 线性无关.
(7)
设 A，B，C
为三个随机事件，且
P (A)
(A)´0x(et2 − 1)dt.
(B)´0x
ln(1
+
√ t3)dt.
) (C)´0sin x sin t2dt.
(D)´01−cos
x
√ sin3
tdt.
(2) 设函数 f (x) 在区间 (−1, 1) 内有定义，且 lim f (x) = 0，则 ( )
2024年全国硕士研究生考试《数学一》考前点题卷一
2024年全国硕士研究生考试《数学一》考前点题卷一[单选题]1.A.f(x)处处可导.B.f(x)有一个不可导点.C.f(x)有两个不可导点.D.f(x)有三个不可导点.参考答案：C参考解析：[单选题]2.A.e-1.B.e+1.C.e-1.D.e-1-1.参考答案：B参考解析：[单选题]3.A.α，β，γ.B.β，γ，α.C.γ，β，α.D.β，α，γ.参考答案：B参考解析：【解】[单选题]4.设f(x)是以2为周期的函数，其在-1≤x<1上的表达式为A.0.B.C.D.参考答案：B参考解析：[单选题]5.设螺线r=θ(0≤θ≤2π)与极轴所围区域的面积为A，则A=() A.B.C.D.参考答案：A参考解析：如图所示，将[0，2π]n等分，则[单选题]6.A.B.C.D.参考答案：A 参考解析：[单选题]7.设L为关于y轴对称的有向曲线段，方向由左至右，其中右侧有向曲线段为L1，则A.B.C.D.参考答案：B参考解析：[单选题]8.下列结论正确的是A.设A为三阶非零矩阵，且A2=O，则，r(A)=2.B.设A为m×n矩阵(mC.设A为m×n矩阵(mD.设A为m×n矩阵(mTA为正定矩阵.参考答案：C参考解析：[单选题]9.设二维随机变量(X，Y)～N(0，1；1，4；0)，则P{XY>X}= A.0.B.C.D.1.参考答案：C参考解析：[单选题]10.A.θ3.B.2θ3.C.3θ3.D.6θ3.参考答案：D参考解析：[问答题]1.参考解析：[问答题]2.设y=f(x)在[0，1]上可导，f(0)=k>0，当x>0时，f'(x)>0.若在区间[0，x]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积为A(x)，y=f(x)在[0，x]上的弧长为s(x)，且A(x)=ks(x)，求f(x).参考解析：解[问答题]3.设正项数列{a n}满足a1=a，a n+1=ln(e an-an)(n=1，2，…).参考解析：(I)(Ⅱ)[问答题]4.参考解析：[问答题]5.(I)用正交变换化二次型为标准形，并求所用的正交变换；(II)f(x1，x2，x3)=1表示什么曲面；(III)求二次型f(x1，x2，x3).参考解析：(I)[问答题]6.参考解析：(I) (Ⅱ)由于(Ⅲ)由于[填空题]1.参考答案：参考解析：解由于[填空题]2.参考答案：4n 参考解析：[填空题]3.平面方程为______.参考答案：参考解析：[填空题]4.参考答案：参考解析：[填空题]5.参考答案：-24 参考解析：[填空题]6.参考答案：a4参考解析：解由已知，行列式各行元素之和均为a，将第2，3，4列都加到第1列，再提取公因式，有。
2020年考研数学一真题详细答案解析
一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万）dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。
3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小，则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小．。
CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。
ln(l + #)dt,m =立，n= 1, 则n(m+l)=立。
2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。
1一cos,·3叫产t,m=一，n= 2, 则n(m+l)=5.。
2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0Xr•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�（方法二）排除法取f (x)= {X, X # 0，则l im f位）=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。
J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X = 0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导，但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位，y)在(x 。
2024年考研数学1试卷
2024年考研数学1试卷
2024年考研数学1试卷指的是在2024年全国硕士研究生招生考试中，针对数学一科目的考试所使用的试卷。
考研数学1是数学学科中难度较高、知识点覆盖面较广的一门考试科目，涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个方面的内容。
2024年考研数学1试卷的内容通常会包括选择题、填空题、计算题、证明题等题型，全面测试学生对数学知识的掌握和应用能力。
以选择题为例，以下是2024年考研数学1试卷的示例：
选择题示例：
设函数 f(x) = x^3 + 2x^2 + x，则 f'(x) = ( )
A. 3x^2 + 4x + 1
B. 3x^2 + 4x
C. 3x^2
D. x^3 + 2x^2
答案：A. 3x^2 + 4x + 1。
总结：2024年考研数学1试卷是针对数学一科目的考试所使用的试卷，内容涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个方面的知识点，通过多种题型全面测试学生对数学知识的掌握和应用能力。
考生需要通过系统的学习和练习，提高自己的数学能力和应试水平，以应对考研数学的挑战。
2020-数一真题答案解析
x2 + y2
(C) lim | d ⋅ (x ，y ，f (x ，y)) | = 0 存在
( x ，y)→(0，0)
x2 + y2
(D) lim | d × (x ，y ，f (x ，y)) | = 0 存在
( x ，y)→(0，0)
x2 + y2
【答案】A. 【解析】因为 f (x ，y) 在 (0 ，0) 处可微， f (0 ，0) = 0 ，所以
= 1−0− 1 +0= 1 , 4 12 6
P(C= B A) P(C B= UA) P(C) − P[CU (BUA)] =P(C) + P(CB) − P(CA) + P( ABC)
=1 − 1 − 1 + 0 = 1 , 4 12 12 12
P( ABC + ABC + ABC=) P( ABC) + P( ABC) + P( ABC)
lim
f
(x ，y) −
f
(0 ，0) −
f
′
x
(0
，0)
⋅
x
−
f
′
y
(0
，0)
⋅
y
=
0，
x→0 y→0
x2 + y2
即
lim
f (x ，y) −
f
′
x
(0
，0)
⋅
x
−
f
′
y
(0
，0)
⋅
y
=0，
x→0 y→0
x2 + y2
因为 n ⋅ (x ，y ，f
(x ，y))
=
f
2022考研真题解析数学一(完整版)
2022年全国硕士研究生招生考试数学一一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1.设1()lim1ln x f x x→=，则（ ）.A. (1)0f =B. 1lim ()0x f x →= C. (1)1f '= D.1lim ()1x f x →'=【答案】B. 【解析】由于1()lim1ln x f x x→=，所以1lim ()0x f x →=.故选B.2. 设()f u 可导，()y z xyf x=，若(ln ln )z zxy xy y x x y∂∂+=-∂∂,则( ) A.1(1),(1)02f f '== B.1(1)0,(1)2f f '== C.(1)1,(1)0f f '==D.1(1)0,(1)2f f '==【答案】D 【解析】2z y y y y f xf x x x x '∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦,1z y y x f yf y x x x '∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则2ln .z z y y xy xyf xy x y x x ∂∂⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭因此2ln y y f x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1()ln 2f u u =. 故1(1)0,(1).2f f '== 3. 设22n x ππ-≤≤，则（ ）A ．若()lim cos sin n n x →∞存在，则lim n n x →∞存在.B ．若()limsin cos n n x →∞存在，则lim n n x →∞存在.C ．若()lim cos sin n n x →∞存在且limsin n n x →∞存在，则lim n n x →∞不一定存在.D ．若()limsin cos n n x →∞存在且limcos n n x →∞存在，则lim n n x →∞不一定存在.【答案】D.【解析】对选项A ，B,若11n n x n ⎧=⎨-⎩，为奇数，，为偶数， limcos(sin )n n x →∞，limsin(cos )n n x →∞均存在，但lim n n x →∞不存在，故排除A ，B,.对于选项C ，由于函数sin y x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调增加且连续，故limsin n n x →∞存在时，lim n n x →∞一定存在，选项C 错误，故选D.4. 1102(1cos )x I dx x =+⎰, 120ln(1)1cos x I dx x +=+⎰, 13021sin xI dx x =+⎰,则A. 123.I I I <<B. 312.I I I <<C. 213.I I I <<D. 213.I I I <<【答案】A.【解析】由于01x <<，ln(1)21x xx x,x<<+<+ 所以 ln(1)222(1cos )1cos 1cos 1cos 1sin x x x x xx x x x x+<<<<+++++，123I I I <<5. 下列是33A ⨯可对角化的充分而非必要条件是（ ） A. A 有3个不同特征值 B. A 有3个无关的特征向量 C. A 有3个两两无关的特征向量 D. A 不同特征值对应的特征向量正交 【答案】A【解析】A 有3个不同的特征值，则A 有3个线性无关的特征向量，此时A 可对角化，由于矩阵可对角化的充要条件是线性无关特征向量个数等于矩阵阶数，因此选项A.符合题意 6. 设矩阵,A B 均为n 阶方阵，若0Ax =与0Bx =同解，则（ ）.A. 0A O x E B ⎛⎫= ⎪⎝⎭仅有零解 B. 0AB B x O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭仅有零解 C. 0A B x O B ⎛⎫= ⎪⎝⎭与0B A x O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭同解 D. 0AB B x OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭与0BA A x OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭同解【答案】C 【解析】设12⎛⎫=⎪⎝⎭x y x ，这里(1,2)i i =x 是n 维列向量.若⎛⎫= ⎪⎝⎭0A B y O B 与⎛⎫= ⎪⎝⎭0B A y O A 同解即12⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x A B x O B 与12⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x BA x O A 同解.由于=0Ax 与=0Bx 同解，若=0Ax (1,2)i i =x ，则i =0Bx (1,2)i =，反之亦然.因此12⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x AB x O B 等价于12⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0x BA x O A ，所以C.选项符合题意.7. 设123421111,,1,11λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα，若123,,ααα与124,,ααα等价，则λ∈( ).A.{|}λλ∈B.{|,1}λλλ∈≠-C.{|,1,2}λλλλ∈≠-≠-D.{|,2}λλλ∈≠- 【答案】C【解析】由于3212311|,,|1132(1)(2)11λλλλλλλ==-+=-+ααα， 4222124211|,,|121(1)(1)11λλλλλλλλ==-+=-+ααα.当1λ=时，1234111⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭αααα，此时123,,ααα与124,,ααα等价.当2λ=-时，1231242(,,)(,,)3r r =<=αααααα ,123,,ααα与124,,ααα不等价.当1λ=-时，1231243(,,)(,,)1r r =>=αααααα ,123,,ααα与124,,ααα不等价.因此当2λ=-或1λ=-时，123,,ααα与124,,ααα不等价等价，所以λ的取值范围为{|,1,2}λλλλ∈≠-≠-.8. 设(0,3),(2),Cov(,)1X U Y P X Y =-,求(21)D X Y -+=( ).A. 10B. 9C. 1D. 0 【解析】由(0,3),(2)XU YP 知，3(),()24D X D Y ==,故(21)(2)4()()4Cov(,)D X Y D X Y D X D Y X Y -+=-=+-342494=⋅++=.9. 设12,n X X X ⋯独立同分布，(),ki k E X μ=用切比雪夫不等式估计111?n i i P x n με=⎧⎫-≥≤⎨⎬⎩⎭∑ A. 2224-εμμnB. 2224-εμμn C. 2212-εμμnD. 2212-εμμn 【答案】C. 【解析】易知11ni i X X n ==∑，1()()i E X E X μ==，22111111()()()n nn i i i i i i D X D X D X D X n nn ===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑，22221()()[()]i i i D X E X E X μμ=-=-，故2221212()()n D X n nμμμμ-=-=，由切比雪夫不等式得22112211()n i i D X P X n n μμμεεε=⎧⎫--≥≤=⎨⎬⎩⎭∑. 故选 C. 10. 设(0,1)XN ，在X x =的条件下，(,1)Y N x ，则X 与Y 的相关系数为（ ）.A. 1B.12C.3 D.2【答案】D【解析】由(0,1)XN 得，()0E X =,()1D X=,22(),x X f x x -=-∞<<+∞,又在X x =的条件下，(,1)YN x，则2()2|(|),y x Y X f y x y --=-∞<<+∞，所以22()2|1(,)()(|)e ,,2xy x X Y X f x y f x f y x x y π+--=⋅=-∞<<+∞-∞<<+∞.从而22222()224411()(,)d e d ee d 22y x y x y y x Yf y f x y x x x ππ⎛⎫+---+∞+∞+∞---⎪⎝⎭-∞-∞-∞====⎰⎰⎰，即(0,2)YN ，则()0E Y =,()2D Y =,故XY ρ===其中22()21()(,)d d e d d 2x y x E XY xyf x y x y xy x y π+-+∞+∞+∞+∞--∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰22()22d d x y x x y -+∞+∞---∞-∞=⎰⎰222d x x x +∞--∞=⎰2()1E X ==,所以XY ρ== D.. 二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上. 11．22(,)2f x y x y =+在(0,1)处最大的方向导数为__________. 【答案】4. 【解析】由已知可得2fx x∂=∂，4f y y ∂=∂，故(0,1)(0,4)=grad ，综上max4f l ∂==∂.12.2e 1x =⎰. 【答案】4.【解析】2222e e e e11112ln 2)x x x x ⎤==-⎥⎦⎰⎰⎰222e e e21112)2e x x x ⎫⎤=-=-⎪⎥⎦⎭⎰⎰222e e112)22e 4x x ⎤⎛⎫=-=-= ⎪⎥⎦⎝⎭⎰13. 设0,0,x y ≥≥22x yx y ke ++≤恒成立，则k 的最小值为_____.【分析】由已知可得22x y x y k e ++≥，问题转化为计算2222()(,)()x y x yx y f x y x y e e-+++==+在0,0x y ≥≥上得最大值.【解】0,0x y >>时，令2222()(,)()x y x yx y f x y x y e e-+++==+，则 ()22(2)x y fe x x y x-+∂=--∂，()22(2)x y f e y x y y -+∂=--∂， 令0,0f fx y∂∂==∂∂，解得驻点为(0,0),(1,1). 2()222(24)x y f e x x y x-+∂=-++∂， 2()22(22)x y fe x y x y x y-+∂=--++∂∂， 2()222(24)x y f e y x y x-+∂=-++∂， 对驻点(0,0)，2,0,2A B C ===，20,0AC B A ->>，(0,0)为极小值点，及(0,0)0f f ==极小值.对驻点(1,1)，20,2,0A B e C -==-=，20AC B -<，(1,1)不为极值点.当0x =，2(0,)(0)y f y y e y -=>，则2(0,)20yy f y yey e --'=-=，得2y =为驻点，又2(0,)(42)y f y y y e -''=-+，2(0,2)20f e -''=-<，2(0,2)4f e -=为最大值同理可得2(2,0)4f e -=也为最大值. 综上可得24(,)k f x y e≥=最大. 14.级数1!n xn n n e n ∞--=∑的收敛域为(,)a +∞，则a =__________. 1-.【解析】令!()e nxn nn u x n -=，则 (1)111(1)!e ()1(1)lim lim e lim e 1!()1e 1n xn x x n n n n n nx n n n u x n n u x n n -++---+→∞→∞→∞-++===<⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 解得1x >-，故1a =-.15. 设,-A A E 可逆，若B 满足1(())---=E A E B A ，则-=B A ___________。
2022考研数学一二三试题及解答
2022年全国硕士研究生招生考试（数学一）试题参考解答一、选择题（1-10题，每题5分，共计50分） 1.已知)(x f 满足1ln )(lim1=→xx f x ，则 （ B ）A.0)1(=f B.0)(lim 1=→x f x C.1)1(='f D.1)(lim 1='→x f x .解答：由极限的四则运算法则可知：010ln )(lim ln lim ln )(ln lim )(lim 1111=⨯=⋅=⋅=→→→→x x f x x x f x x f x x x x .故本题选B.2.已知)(x yxyf z =，且)(u f 可导，若)ln (ln 2x y y yzy x z x−=∂∂+∂∂，则 （ B ）A.1(1),(1)02f f '== B.21)1(,0)1(='=f f . C.1(1),(1)12f f '== D.(1)0,(1)1f f '==解答：)()()()()(22xy f x y x y yf x y x y f xy x y yf x z '−=−⋅'+=∂∂.)()(1)()(xy f y x y xf x x y f xy x y xf y z '+=⋅'+=∂∂. 所以)(2x y xyf y z y x z x=∂∂+∂∂，从而xy x y x y f x y y x y xyf ln 21)(ln )(22⋅=⇒=故x x x f ln 21)(=，从而)1(ln 21)(+='x x f ，所以0)1(=f ，21)1(='f .故本题选B.3.设有数列}{n x ，满足22ππ≤≤−n x ，则 （ D ）A.若)cos(sin lim n n x ∞→存在，则n n x ∞→lim 存在.B.若)sin(cos lim n n x ∞→存在，则n n x ∞→lim 存在.C.若)cos(sin lim n n x ∞→存在，则n n x sin lim ∞→存在，但n n x ∞→lim 不一定存在.D.若)sin(cos lim n n x ∞→存在，则n n x cos lim ∞→存在，但n n x ∞→lim 不一定存在.解答：对于选项A ，取n n x )1(−=，显然不对. 对于选项B ，取n n x )1(−=，显然不对.对于选项C ，取n n x )1(−=，则n n x sin lim ∞→不存在，所以该选项错误.对于选项D ，由于)sin(cos lim n n x ∞→存在，不妨记为A ，由于x sin 在]2,0[π单调，所以有A x n n arcsin cos lim =∞→，但如果取n n x )1(−=也可发现n n x ∞→lim 不一定存在.故本题选（D ）.4.已知⎰+=101)cos 1(2dx x x I ，⎰++=102cos 1)1ln(dx x x I ，⎰+=103sin 12dx xxI ，则 （ A ）A.321I I I <<B.312I I I <<C.231I I I <<D.123I I I <<解答：由于)1,0(∈x 时，ln(1)21x xx x,x<<+<+，容易知道21I I <. 由于21)1ln(cos 1)1ln(1010102=<+<++=⎰⎰⎰xdx dx x dx x x I ，21221103=>⎰xdx I .所以23I I >，故321I I I <<，故本题选A.5.下列四个条件中，3阶矩阵A 可相似对角化的一个充分但不必要条件为（ A ）A.A 有三个不相等的特征值B.A 有三个线性无关的特征向量C.A 有三个两两线性无关的特征向量D.A 的属于不同特征值的特征向量相互正交.解答：A 选项是A 可相似对角化的充分不必要条件，故该选项入选. B 选项是A 可相似对角化的充分必要条件，故不入选. C 选项三个向量不一定线性无关，故充分性不满足，故不入选. D 选项不能保证A 有三个线性无关的特征向量，故不入选. 所以本题选A.6.设B A ,均为n 阶矩阵，如果方程组0=Ax 和0=Bx 同解，则（ C ）A.方程组0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛y B E O A 只有零解. B.方程组0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛y AB OA EC.方程组0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y B O B A 与0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛y A O A B 同解. D.方程组0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛y A O B AB 与0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y B O A BA 同解. 解答：对于选项A ，由于n n A R B E R A R B E O A R 2)(),()(≤+=+≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛，所以不能确定系数矩阵的秩是否为n 2，故解的情况无法判断，该选项错误. 对于选项B ，由于n A R n AB R A E R AB O A E R 2)()(),(≤+≤+≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛，显然系数矩阵的秩是否小于n 2不知道，故无法判断解的情况，该选项错误.对于选项C ，结合线性方程组的Gauss 消元法和矩阵的初等变换可知： 0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛y B O B A 与0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y B O O A 同解；0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y A O A B与0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛y A O O B 同解. 由于方程组0=Ax 和0=Bx 同解，所以矩阵A 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价，因此，A 的行向量组与B 的行向量组能够相互线性表示. 所以0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛y B O O A 与0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y A O O B 同解，因此0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y B O B A 与0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛y A O A B同解. 故C 选项正确.对于选项D ，结合线性方程组的Gauss 消元法和矩阵的初等变换可知：0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y A O B AB 与0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y A O O AB 同解；0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y B O A BA 与0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛y B O O BA 同解， 由于0=ABx 与0=BAx 不一定同解，因此D 选项错误.故本题选C.7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=243211,11,11,11λλαλαλαλα，若向量组321,,ααα与421,,ααα等价，则λ的取值范围是 （ C ） A.}1,0{ B.}2,|{−≠∈λλλRC.}2,1|{−≠−≠∈λλλλ且RD.}1|{−≠∈λλλ且R 解答：首先，考虑4α是否可由321,,ααα线性表示.由0111111≠λλλ可知，2−≠λ且1≠λ，此时4α必能由321,,ααα线性表示. 当2−=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−=300063304211~421121211112),,,(4321r αααα，显然，此时4α不能由321,,ααα线性表示.当1=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001111~111111111111),,,(4321r αααα，显然，此时4α不能由321,,ααα线性表示，故2−≠λ. 其次，考虑3α是否可由421,,ααα线性表示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答案：5. B 解析：矩阵 A 经初等列变换化成 B ，根据左行右列，应该选 B .
6.已知直线 l1 :
x − a2 a1
=
y − b2 b1
=
z − c2 c1
与直线 l2
:
x − a3 a2
=
y − b3 b2
=
z − c3 c2
相交与一点.记向
ai
量i
=
bi
, i
= 1, 2,3,
则
ci
A.1 可由2,3 线性表示.
B.2 可由1,3 线性表示.
C.3 可由1,2 线性表示.
D.1,2,3 线性无关.
答案：6. C 解析：由于两直线相交，故两直线的方向向量无关，即 1，2 无关，由因为两直线上有两
a1 a2 a2 − a3 点组成的向量与两直线的方向向量共面，故 b1 b2 b2 − b3 = 0 ，故选 C .
x
f (x)
lim ?lim
x
a?0 0.
x0 x
x0 x
x x0 x x0 x
3.设函数
f
(x,
y) 在点（0,0）处可微，
f
(0, 0)
=
0, n
=
f x
,
f y
, −1
(0,0)
非零向量
与n垂
直，则
A. lim | ng(x, y, f (x, y)) | 存在.
(x, y)→(0,0)
x
B 选项 ( ln(1+
t3 )dt) ' = ln(1+
3
x3 ) ~ x2 ；
0
C 选项 ( sin x sin t2dt) ' = sin x2 cos x ~ x2 ； 0
1-cos x
D 选项 (
sin3 tdt) ' = sin x
sin3(1− cos x) ~
1 x4 .
0
2
2.设函数 f (x) 在区间 (−1,1) 内有定义，且 lim f (x) = 0, 则 x→0
fy y (0,0) = 0
| ng(x, y, f (x, y)) |
即有 lim ( x, y)→(0,0)
=0 x2 + y2
4.设 R 为幂级数 an xn 的收敛半径，r 是实数，则 n=1
A.当 a2nr 2n 发散时， r R . n=1
B.当 a2nr 2n 收敛时， r R . n=1
答案：8. B
100
E
i =1
Xi
=
100 i =1
EX i
= 100 1 2
=
50
100
D
i =1
Xi
=
100 i =1
DXi
= 100 1 1 22
=
25
P
100 i =1
Xi 5
−
50
剟55
− 5
50
=
P
100 i =1
xi − 50 5
1 = (1)
A.当 lim f (x) = 0 时， f (x) 在 x = 0 处可导. x→0 | x |
B.当 lim x→0
f (x) x2
=
0 时，
f
(x) 在 x
= 0 处可导.
C.当 f (x) 在 x = 0 处可导时, lim f (x) = 0 . x→0 | x |
D.当
f
(x) 在 x
= 0 处可导时， lim x→0
C.当 r R 时， a2nr 2n 发散. n=1
D.当 r R 时， a2nr 2n 收敛. n=1
答案：4.A
5.若矩阵 A 经初等变换化成 B ，则 A.存在矩阵 P ，使得 PA = B . C.存在矩阵 P ，使得 PB = A .
B.存在矩阵 P ，使得 BP = A. D.方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 同解.
x2 + y2
B. lim | n (x, y, f (x, y)) | 存在.
( x, y)→(0,0)
x2 + y2
C. lim | g(x, y, f (x, y)) | 存在.
(x, y)→(0,0)
x2 + y2
D. lim | (x, y, f (x, y)) | 存在.
( x, y)→(0,0)
2020 年全国硕士研究生考试真题数学（一）
Hale Waihona Puke 一、选择题1.当 x → 0+ 时，下列无穷小量中最高阶的是
A. x (ex2 −1) d t . 0
B.
x
ln(1 +
t3 )dt .
C. sin x sin t 2 d t .
0
0
1−cos x
D.
sin3 t d t .
0
答案：1. D
解析：A 选项可知 ( x (et2 −1)dt) ' = ex2 −1 ~ x2 ； 0
=
1 4
−
0
−
1 12
−
0
+
1 4
−
0
−
1 12
+
0
+
1 4
−
1 12
−
1 12
=5 12
8.设 x1, x2,L
, x100 为来自总体
X 的简单随机样本，其中 PX
= 0 =
PX
= 1 =
1 2
，(x)
表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得
P
100
Xi
55 的近似值为
i=1
A .1- (1) . B. (1) . C. 1- (0.2) . D. (0.2) .
答案：7. D
P( ABC) + P( ABC) + P( ABC)
= p( AB) − p(ABC) + p(AB) − p(ABC) + p(BC) − p(ABC)
= p( A) − p( AB) −[ p( AC) − p( ABC)] + p(B) − p( AB) −
[ p(BC) − p( ABC)] + p(C) − p(BC) −[ p( AC) − p( ABC)]
f (x) x2
=0.
答案：2.C
解析：当
f (x) 在 x = 0 处可导时,有
f
(x)在 x =
0 处连续，
f
(0) =
lim
x® 0
f
(x)=
0 ，且
lim f (x) − f (0) = lim f (x) 存在设为 a ,则有，
x→0
x
x→0 x
f (x)
f (x)
lim = lim ?
c1 c2 c2 − c3
7. 设 A, B,C 为 三 个 随 机 事 件 ， 且
P( A) = P(B) = P(C) = 1 , P(AB) = 0, P(AC) = P(BC) = 1 , 则 A, B,C 中恰有一个事件
4
12
发生的概率为
A. 3 . 4
B. 2 . 3
C. 1 . 2
D. 5 . 12
x2 + y2
答案：3.A
解析：函数 f (x, y) 在点（0,0）处可微，,则有
f (x, y)-
lim
(x, y)® (0,0)
f (0,0)-
抖f 抖x
(0,0)
x
-
x2 + y2
fy y (0,0)
lim =
f (x, y)-
抖f 抖x
(0,0)
x
-
(x, y)® (0,0)
x2 + y2