概率论第7讲
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概率论第七章讲解
7.1
一.点估计
设总体X的分布函数为 F(x; Ө )， 其中Ө为未知参数 (Ө可以是向量) . 现从该总体抽样，得到样本X1,X2,…,Xn
从样本出发构造适当的统计量
T T (X1,, Xn )
作为参数 Ө的估计量，即点估计。 将x1,…,xn 代入估计量，得到Ө的估计值
T (x1,, xn )
2 i
i 1
例6. 设总体X的概率密度如下，其中θ>0 为未知参数,试求θ的矩估计量。
f (x; )
1
x
e , x
2
解：
E(X )
x
1
x
e dx 0
2
E(X 2)
x2
1
x
e
dx
1
x2
x
e
dx
2
2
2
0
2 2
1 n
n i 1
X
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 i
ˆ
1 2n
n i 1
X
2 i
例1. 设总体X的分布律如下，其中θ为 未知参数,试求θ的矩估计量。
X1
2
3
P 2 2 (1 ) (1 )2
解：E(X ) 1 2 2 2 (1 ) 3(1 )2 3 2
E(X ) 3 2
1 n
n i 1
Xi
X
ˆ 3 X
2
例2. 设总体X~B(n,p)，其中n已知。 试求p的矩估计量。
（假定身高服从正态分布 N (,0.12 ) ）
现从该总体选取容量为5的样本，我们 的任务是要根据选出的样本（5个数）求出
总体均值 的估计. 而全部信息就由这5个数
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
概率论与数理统计课件 第7讲
…。且对每个 i，当 0<i≤ 5时，有k=5+i和 k=5-i 两个k值与i对应, 使 |k-5|=i; 当i=0 或 i≥6 时，只有一个k 值与i对应，使|k-5|=i 。
于是，Y的概率分布为：
qi
P{Y
i}
55i
(5 i 55i
)! e
5
55i (5 i)!
,
e5
,
(5 i)!
N(52.5, 0.12 ) ，当零件长度在质量规格限 52.5 0.3范围内时，零件为合格品，售出 后可获利润a元；否则为不格合品，损失b 元（视利润为-b元）。若用Y=g(X)表示零 件的利润，则Y的概率分布是？
§2.4 随机变量函数的分布
问题的提出
在实际中，我们有时对随机变量的函数更 感兴趣（此函数也是随机变量）。这是因为在 一些试验中，我们关心的量往往不能通过直接 观测来得到，而它恰是某个能直接观测到的随 机变量的已知函数。
如: 我们关心的是圆的面积 A r 2，但A却不
能直接观测得到，而半径r可以直接测量到。这 里，随机变量A是随机变量r的函数。
Y 取对应值 4，1，0 和 1。 由 P{Y=0} = P{X=1}=0.1，
P{Y=1} = P{X=0}+P{X=2} = 0.3+0.4 = 0.7， P{Y=4} = P{X=-1} = 0率分布：
一般地，若X是离散型 随机变量，概率分布为
如果 g(x1), g(x2), …, g(xk), … 中有一些是相同 的，把它们作适当的合并，即可得到一串互不 相同 (不妨认为从小到大) 的 y1, y2 ,…, yi ,…. 把 yi 所对应的所有xk ( 即yi = g(xk) ) 的 pk相加， 记成 qi , 则 q1, q2, …, qi ,…就是Y = g(X) 的概 率分布。
于是，Y的概率分布为：
qi
P{Y
i}
55i
(5 i 55i
)! e
5
55i (5 i)!
,
e5
,
(5 i)!
N(52.5, 0.12 ) ，当零件长度在质量规格限 52.5 0.3范围内时，零件为合格品，售出 后可获利润a元；否则为不格合品，损失b 元（视利润为-b元）。若用Y=g(X)表示零 件的利润，则Y的概率分布是？
§2.4 随机变量函数的分布
问题的提出
在实际中，我们有时对随机变量的函数更 感兴趣（此函数也是随机变量）。这是因为在 一些试验中，我们关心的量往往不能通过直接 观测来得到，而它恰是某个能直接观测到的随 机变量的已知函数。
如: 我们关心的是圆的面积 A r 2，但A却不
能直接观测得到，而半径r可以直接测量到。这 里，随机变量A是随机变量r的函数。
Y 取对应值 4，1，0 和 1。 由 P{Y=0} = P{X=1}=0.1，
P{Y=1} = P{X=0}+P{X=2} = 0.3+0.4 = 0.7， P{Y=4} = P{X=-1} = 0率分布：
一般地，若X是离散型 随机变量，概率分布为
如果 g(x1), g(x2), …, g(xk), … 中有一些是相同 的，把它们作适当的合并，即可得到一串互不 相同 (不妨认为从小到大) 的 y1, y2 ,…, yi ,…. 把 yi 所对应的所有xk ( 即yi = g(xk) ) 的 pk相加， 记成 qi , 则 q1, q2, …, qi ,…就是Y = g(X) 的概 率分布。
概率论与数理统计第7讲
42
2000年经济类考研题 设A,B,C三个事件两两独立, 则A,B,C相互独 立的充分必要条件是( ) A. A与BC独立 B. AB与A+C独立 C. AB与AC独立 D. A+B与A+C独立
43
解: 选项B,C,D的两个事件中都出现事件A, 因此都不可能独立. 因此考察选项A, 如A与BC独立, 则P(ABC)=P(A)P(BC) 但A,B,C两两独立, 因此P(BC)=P(B)P(C) 因此P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 即A,B,C相互独 立, 反之亦然. 因此, 应填选项A.
37
(2) P( ABC ) 1 P( ABC ) 1 P( A) P( B) P(C ) 1 0.9 0.8 0.7 1 0.504 0.496
38
1998经济类考研题 设A,B,C是三个相互独立的随机事件, 且 0<P(C)<1, 则在下列给定的四对事件中不相 互独立的是
c d
31
P(E)=P(AB+C+D) =P(AB)+P(C)+P(D)P(ABC)P(ABD) P(CD)+P(ABCD) a b
c d
32
P(E)=P(AB+C+D) =P(AB)+P(C)+P(D)P(ABC)P(ABD) P(CD)+P(ABCD) =P(A)P(B)+P(C)+P(D)P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(D)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D) =0.52+0.5+0.50.530.530.52+0.54=0.8125
11
概率论 第七章 参数估计
L( ) max L( )
称^为
的极大似然估计（MLE）.
求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合概率分布 (或联合密度);
(2) 把样本联合概率分布(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到似然函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化 为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE;
1. 将待估参数表示为总体矩的连续函数 2. 用样本矩替代总体矩，从而得到待估参
数的估计量。
四. 最大似然估计（极大似然法）
在总体分布类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 .
首先由德国数学家高斯在1821年提出。 英国统计学家费歇1922年重新发现此
方法，并首先研究了此方法的一些性质 .
例：某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只 野兔从前方窜过 . 一声枪响，野兔应声倒下 .
p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) P(Y=3) 0.7 0.027 0.189 0.441 0.343 0.3 0.343 0.441 0.189 0.027
应如何估计p?
若：只知0<p<1, 实测记录是 Y=k
(0 ≤ k≤ n), 如何估计p 呢?
注意到
P(Y k) Cnk pk (1 p)nk = f (p)
第七章 参数估计
参数估计是利用从总体抽样得到的信息 估计总体的某些参数或参数的某些函数.
仅估 计一 个或 几个 参数.
估计新生儿的体重
估计废品率
估计降雨量
估计湖中鱼数
…
…
参数估计问题的一般提法:
设总体的分布函数为 F(x, )，其中为未 知参数 (可以是向量).从该总体抽样，得样本
概率论第七章_课件1_
E(X1r)=E(X2r)==E(Xnr)= E(Xr)= r .
根据大数定律, 样本原点矩Ar作为 X1r,X2r, ,Xnr的算术平均值依概率收敛到均
值 r=E(Xr)， 即:
1
n
n i 1
X
r i
P
E(X
r)
r
7-13
例3 设总体 X ~ N ( , 2 ), X1, X2,…, Xn为总体的
P(X x) p(x, ), x u1, u2, ,
X1, X2,…, Xn为总体 X 的样本, x1, x2,…, xn为总体 X 的样本值,
则X1, X2,…, Xn的联合概率分布为：
P( X1 x1, X2 x2 , , Xn xn )
p( x1, ) p( x2 , ) p( xn , )
7-1
第七章
统计 推断
DE 基本 问题
参数估 计问题
7-2
点估计 区间估 计
假设检 验问题
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面的概率特性的数量.
当这个数量是未知的时候，从总体抽出一个 样本，用某种方法对这个未知参数进行估计 就是参数估计.
例如，X ~N ( , 2), 若, 2未知，通过构造样本的函数, 给出它
ˆ1 ˆ1(x1, x2 , , xn )
ˆ2 ˆ2 (x1, x2 , , xn )
——未知参数1,2, ,k
的矩估计值
ˆk ˆk (x1, x2 , , xn )
矩方法的原理解释
∵ X1, X2 , , Xn 是独立同分布的. ∴ X1r,X2r, ,Xnr也是独立同分布的. 于是有:
根据大数定律, 样本原点矩Ar作为 X1r,X2r, ,Xnr的算术平均值依概率收敛到均
值 r=E(Xr)， 即:
1
n
n i 1
X
r i
P
E(X
r)
r
7-13
例3 设总体 X ~ N ( , 2 ), X1, X2,…, Xn为总体的
P(X x) p(x, ), x u1, u2, ,
X1, X2,…, Xn为总体 X 的样本, x1, x2,…, xn为总体 X 的样本值,
则X1, X2,…, Xn的联合概率分布为：
P( X1 x1, X2 x2 , , Xn xn )
p( x1, ) p( x2 , ) p( xn , )
7-1
第七章
统计 推断
DE 基本 问题
参数估 计问题
7-2
点估计 区间估 计
假设检 验问题
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面的概率特性的数量.
当这个数量是未知的时候，从总体抽出一个 样本，用某种方法对这个未知参数进行估计 就是参数估计.
例如，X ~N ( , 2), 若, 2未知，通过构造样本的函数, 给出它
ˆ1 ˆ1(x1, x2 , , xn )
ˆ2 ˆ2 (x1, x2 , , xn )
——未知参数1,2, ,k
的矩估计值
ˆk ˆk (x1, x2 , , xn )
矩方法的原理解释
∵ X1, X2 , , Xn 是独立同分布的. ∴ X1r,X2r, ,Xnr也是独立同分布的. 于是有:
概率论第七章课件
得否定域 W: |t |>4.0322
小概率事件在 一次试验中基 本上不会发生 .
19
得否定域
W: |t |>4.0322
第四步：
将样本值代入算出统计量 t 的实测值, | t |=2.997<4.0322
没有落入 拒绝域
故不能拒绝H0 .
这并不意味着H0一定对，只是差异 还不够显著, 不足以否定H0 .
2
假设检验的内容
参数检验 非参数检验 总体均值, 均值差的检验 总体分布已知， 检验关于未知 总体方差, 方差比的检验 参数的某个假设 分布拟合检验 总体分布未知时的 符号检验 假设检验问题 秩和检验
假设检验的理论依据
假设检验所以可行,其理论背景为 实际推断原理,即“小概率原理”
3
罐装可乐的容量按标准应在 350毫升和360毫升之间. 生产流水线上罐装可 乐不断地封装，然后装箱 外运. 怎么知道这批罐装 可乐的容量是否合格呢？ 把每一罐都打开倒入量 杯, 看看容量是否合于标准？ 这样做 显然不行！
1 0.083 0.04 12
若不采用假设检验, 按理不能够出厂.
28
例4某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际生产的强度X 服N(,3.62 ).若E(X) ==68,则认为这批螺钉符合要求,否则认为 不符合要求. 现从生产的螺钉中抽取容量 为36的样本,其均值为 x 68.5 ,问原假设 是否正确?
解 假设
H0 : = 68
H1 : 68
29
3.6 若原假设正确, 则 X ~ N (68 , ) 36
2
因而 E ( X ) 68 ,即 X 偏离68不应该太远, 偏离较远是小概率事件,由于
小概率事件在 一次试验中基 本上不会发生 .
19
得否定域
W: |t |>4.0322
第四步：
将样本值代入算出统计量 t 的实测值, | t |=2.997<4.0322
没有落入 拒绝域
故不能拒绝H0 .
这并不意味着H0一定对，只是差异 还不够显著, 不足以否定H0 .
2
假设检验的内容
参数检验 非参数检验 总体均值, 均值差的检验 总体分布已知， 检验关于未知 总体方差, 方差比的检验 参数的某个假设 分布拟合检验 总体分布未知时的 符号检验 假设检验问题 秩和检验
假设检验的理论依据
假设检验所以可行,其理论背景为 实际推断原理,即“小概率原理”
3
罐装可乐的容量按标准应在 350毫升和360毫升之间. 生产流水线上罐装可 乐不断地封装，然后装箱 外运. 怎么知道这批罐装 可乐的容量是否合格呢？ 把每一罐都打开倒入量 杯, 看看容量是否合于标准？ 这样做 显然不行！
1 0.083 0.04 12
若不采用假设检验, 按理不能够出厂.
28
例4某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际生产的强度X 服N(,3.62 ).若E(X) ==68,则认为这批螺钉符合要求,否则认为 不符合要求. 现从生产的螺钉中抽取容量 为36的样本,其均值为 x 68.5 ,问原假设 是否正确?
解 假设
H0 : = 68
H1 : 68
29
3.6 若原假设正确, 则 X ~ N (68 , ) 36
2
因而 E ( X ) 68 ,即 X 偏离68不应该太远, 偏离较远是小概率事件,由于
概率论第7章
频率分布直方图
步骤如下: (1)决定组距与组数
选取起点与终点。起点a选得比最小值略小些， 终点b选得比最大值略大些，确定组距:d=(b－a)/m
将［a，b］进行等分，即在［a，b］内插入 m－1个分点:
a x1' x2' xm' 1 b
把［a，b］分成m个组（即小区间）。 通常在试验数据较多（即样本容量n较大）
时，可分成10～20组，数据在100以内可分成 5～12组。这里的起点、终点、组距、组数可视 具体情况来定。
（2）数出频数，列出分组频率分布 数出样本值x1，x2，…，xn 落在每个组的数目，
计算每个组的频数与频率。
（3）绘出频率分布直方图 以样本值为横轴，以（频率÷组距）为纵轴，
在横轴上标出各分组的点，以各组的组距为底， 画出高度等于（频率÷组距）的小矩形。整个图 形称为频率分布直方图，简称为直方图。
F n1
n2
服从第一自由度为n1、第二自由度为n2的F分布。 记为F～F(n1,n2)。
如F～F(n1,n2)，则其密度函数为
f
(x)
( n1
n2 2
)
(
n1 2
)(
n2 2
)
(
n1
)
n1 2
n2
n1 1
x 2 (1
n1 n2
n1 n2
x) 2
0
x0 x0
下图描绘了F(10,50)，F(10,10)，F(10,4)的密度曲线。
数理统计研究的是：一个随机变量所服从的分布是 未知的，或者知其分布而不知其中所含的参数，需 要确定这个随机变量的分布或参数。 数理统计的研究方法是归纳法，同概率论相反。
例如，通过检查某厂家一批产品中的１００个产品， 从而设法估计这批产品的合格率。
自考概率论课件_第七章_参数估计.ppt1
2 2 例3 设总体 X 的均值 及方差 都存在, 且有 0, 2 但 , 均为未知, 又设 X1 , X 2 ,, X n 是来自 X 的样 2 本, 试求 , 的矩估计量. 解 1 E ( X ) , 总体一阶原点矩 2 2 2 2 总体二阶 2 E ( X ) D( X ) [ E ( X )] ,
x ˆ 1 . x 1
为求的极大似然估计,先 易求得似然函数为
L( ) ( xi
i 1 n ( 1)
) xi i 1
n n
( 1)
,
ln L( ) n ln ( 1) xi ,
d ln L( ) n n xi 0. d i 1
以 A1 , A2 代替 1 , 2 , 得到 a , b 的矩估计量分别为
3 2 ˆ A1 3( A2 A ) X (Xi X ) , a n i 1
2 1
n
n 3 2 2 ˆ b A1 3( A2 A1 ) X (Xi X ) . n i 1
§7.1
参数的点估计
一、点估计的一般定义及步骤
设总体X～F(x,θ),θ是未知参数,(X1,X2,…,Xn)是 取自总体X的样本,适当选取一个统计量
ˆ 去估计参数θ, 称 ˆ为θ的估计量或把 ˆ 用 叫做 θ的点估计.
ˆ =ˆ(X1,X2,…,Xn)
二、获取点估计的两种方法
1.矩估计法 2.极大似然估计法
以 A1 , A2 代替 1 , 2 , 得到 a , b 的矩估计量分别为
3 2 ˆ A1 3( A2 A ) X (Xi X ) , a n i 1
概率论与随机过程----第七讲资料
四、n维随机变量的数字特征（自学）
四是三的推广，因此要注意理解协方差矩阵的定义、性 质以及其物理意义。
五、复随机变量的数字特征（自学）
注意区别复随机变量的数学期望与实随机变量的数学期 望的定义；同意注意区别两个复随机变量的协方差与两 个实随机变量的协方差的定义。
2020/11/9
北京邮电大学电子工程学院
R1
R1
定理3.3.（3 随机变量函数的数学期望问题）设是（Ω,F, P）上的随
机变量，其分布函数为Fx，g是R1上的有限实可测函数，则
g 的数学期望存在 gx在R1关于PF（或Fx）的积分存在，且：
E Eg gxdFx
2020/11/9
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20
证明：在（3.3.1）式中取R R1，f ，则：
（1）若c为常数，则Dc c2D ；
（2）若1,n是概率空间（Ω, F, P）上的随机变量，有有限的
数学期望，且两两独立，则：
D1 n D1 Dn
若1,n的方差有限，则1 n的方差也有限
（3）D 0 E（ a.e.）
证明略，同学们可自证。
2020/11/9
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2020/11/9
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17
若g为一般的实可测函数，则：
g fdP gdPf g fdP gdPf
R
R
根据复合函数的性质，有g f g f
则：
gdPf gdPf gdPf
R
R
R
g fdP g fdP g fdP
1
n
j 2n
n
Bk Bn2n
k 2n
n
k 1 2n
,
四是三的推广，因此要注意理解协方差矩阵的定义、性 质以及其物理意义。
五、复随机变量的数字特征（自学）
注意区别复随机变量的数学期望与实随机变量的数学期 望的定义；同意注意区别两个复随机变量的协方差与两 个实随机变量的协方差的定义。
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R1
R1
定理3.3.（3 随机变量函数的数学期望问题）设是（Ω,F, P）上的随
机变量，其分布函数为Fx，g是R1上的有限实可测函数，则
g 的数学期望存在 gx在R1关于PF（或Fx）的积分存在，且：
E Eg gxdFx
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20
证明：在（3.3.1）式中取R R1，f ，则：
（1）若c为常数，则Dc c2D ；
（2）若1,n是概率空间（Ω, F, P）上的随机变量，有有限的
数学期望，且两两独立，则：
D1 n D1 Dn
若1,n的方差有限，则1 n的方差也有限
（3）D 0 E（ a.e.）
证明略，同学们可自证。
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若g为一般的实可测函数，则：
g fdP gdPf g fdP gdPf
R
R
根据复合函数的性质，有g f g f
则：
gdPf gdPf gdPf
R
R
R
g fdP g fdP g fdP
1
n
j 2n
n
Bk Bn2n
k 2n
n
k 1 2n
,
概率论-第七讲 谓词演算的推理规则
(8) ¬∀xP( x ) → ∃xQ( x )
CP规则
11
二、谓词演算中的推理规则
例3：推理“每个学术会的成员都是专家。有些成员是青年 人，所以有的成员是青年专家。” 证： 设 F(x)：x是学术会成员； G(x)：x是专家； H(x)：x是青年。 前提：∀x(F( x ) → G ( x ))，∃x ( F( x ) ∧ H ( x )) 结论：∃x ( F( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x )) (1) ∃x(F(x) ∧ H( x ) ) P ( 7 ) H ( c) T, (2), I 2
考察以下谓词公式: ∀ yP( y ) ∨ Q ( x) ∨ R ( z ) ∃ yP( x, y ) ∨ Q( x, y ) ∀ yP( y ) ∧ Q( x, y ) 为了强调这些谓词公式对自由变元x的依赖关系, 可以分别记为B(x) , C(x) , D(x)。 记法中省略了 其它自由变元。
定义：如果公式 A ( x )中， x 不出现在量词 ∀ y 或 ∃ y 的辖域之内，则称 A ( x ) 对 y 是自由的。
4
二、谓词演算中的推理规则
推理规则：E1~E24恒等式、I1~I9永真蕴含式、Q1~Q19谓词永 真式、P规则、T规则、CP规则及下面四个规则： US,UG,ES,EG。 1.全称指定规则 (Universal Specification)简记为US ∀ xA( x ) 条件：A(x)对于y必须是自由的。 ∴ A( y ) 意义：全称量词可以删除。 例： ∀x∃yB( x , y) 写成 ∃yB( y, y) × 如 B(x,y)：x<y ; x∈R; y∈R
(2) ∃x¬P( x )
T，), Q 4 (1
(3) ¬P(a ) T, (2), ES (4) ∀x(P(x) ∨ Q(x)) P
概率论7-1
问: 所取的球来自哪一箱？ 答: 很可能第一箱.
例 设总体 X 服从0-1分布,且P{X=1}=p,用极大似 然法求p的估计值.
解 总体 X 的概率分布为
P{X x} p x (1 p)1x , x 0,1
设 x1, x2,…, xn为总体样本X1, X2,…, Xn的样
解
由于
1
E(
X
)
2
,
21
又样本的一阶矩为
A1
1 n
n i 1
Xi
X,
由矩法估计，令A1代替θ1 ，可得 θ的矩估计量为
^
2X
参数的极大似然估计法
思想方法：一次试验就出现的 事件有较大的概率
例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球
一箱 99个白球
1 个红球
一箱 1 个白球 99个红球
现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球, 结果所取得的球是白球.
P
Ak
1 n
n i 1
Xik
结论： Ak k (n ), k 1, 2,
原因：辛钦大数定律
作用： 矩估计法的理论依据
参数的矩法估计
矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，具体
做法如下
1 1(1, k )
2
2 (1,
k )
k k (1, k )
这里总体X的分布函数中含有k个参数。从上式中解出这 k个参数可得
参数的矩法估计
从上式中解出这k个参数可得
1 1(1, k )
2
2 (1,
k )
k k (1,
用Ai分别代替上式中的μi
^
1
1
(
A1,
Ak )
k )
概率论第7章
注： 估计量 θˆ 是一个随机变量,是样本的函数,即 是一个统计量,对不同的样本值, 的估计值 一般是 不同的.
X1, ... ,Xn是来自总体X的独立同分布样本,分布
律或概率密度函数是f(x,q),其中q∈Q是参数,Q已知, 是q的取值范围.f (x,q)的形式已知,则有统计模型
f ( x1,θ) f ( xn ,θ) θ Q
例1 某种型号的产品N个,其合格率q未知,从中随机
抽取n个(n<<N),设Xi 是第i次抽到的样品,正品Xi=1, 否则 Xi =0,则 X1,X2,…,Xn 就是样本.总体分布为两点
分布B(0,1),参数空间为q=(0,1),则可得统计模型
n
n
xi
n xi
θ i1 (1 θ) i1
用矩估计法估计λ的值。
解 设X为灯管寿命，则
1 n
x n i1 xi 130.55
μ1
E
X
=
1 λ
μ1 m1
μ1
E
X
=
1 λ
X
λˆ 1 0.0077 X
例2 设总体X的均值μ和方差σ2 >0都存在,μ,σ2未知.
X1,…,Xn是来自 X 的样本,试求μ, σ2的矩估计量 .
矩估计量的观察值称为矩估计值 .
总体k阶中心矩 样本k阶中心矩
Vk
Bk
E[ X 1n
n i1
E( X )]k; ( Xi X )k .
例1. 设有一批灯管,其寿命服从参数为λ的指数分 布,今随机从中抽取11只,测得其寿命数据如下：
110, 184, 145, 122, 165, 143, 78, 129, 62, 130, 168
X1, ... ,Xn是来自总体X的独立同分布样本,分布
律或概率密度函数是f(x,q),其中q∈Q是参数,Q已知, 是q的取值范围.f (x,q)的形式已知,则有统计模型
f ( x1,θ) f ( xn ,θ) θ Q
例1 某种型号的产品N个,其合格率q未知,从中随机
抽取n个(n<<N),设Xi 是第i次抽到的样品,正品Xi=1, 否则 Xi =0,则 X1,X2,…,Xn 就是样本.总体分布为两点
分布B(0,1),参数空间为q=(0,1),则可得统计模型
n
n
xi
n xi
θ i1 (1 θ) i1
用矩估计法估计λ的值。
解 设X为灯管寿命，则
1 n
x n i1 xi 130.55
μ1
E
X
=
1 λ
μ1 m1
μ1
E
X
=
1 λ
X
λˆ 1 0.0077 X
例2 设总体X的均值μ和方差σ2 >0都存在,μ,σ2未知.
X1,…,Xn是来自 X 的样本,试求μ, σ2的矩估计量 .
矩估计量的观察值称为矩估计值 .
总体k阶中心矩 样本k阶中心矩
Vk
Bk
E[ X 1n
n i1
E( X )]k; ( Xi X )k .
例1. 设有一批灯管,其寿命服从参数为λ的指数分 布,今随机从中抽取11只,测得其寿命数据如下：
110, 184, 145, 122, 165, 143, 78, 129, 62, 130, 168
第7讲 分布列与数学期望(解析版)
第7讲分布列与数学期望(解析版)第7讲分布列与数学期望(解析版)在统计学中，分布列与数学期望是常用的分析工具。
它们能够帮助我们理解随机变量的分布和特征。
本文将对分布列与数学期望进行解析，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、分布列分布列是用来描述离散型随机变量的概率分布的一种方式。
对于一个具体的随机变量X，其可能取到的数值通常是有限个或可数个。
我们可以列出每个数值对应的概率，形成一张分布列。
分布列通常以表格的形式呈现，其中包括随机变量的取值和对应的概率。
举个例子，假设随机变量X表示投掷一个骰子后的点数。
在这种情况下，X可以取到1、2、3、4、5、6这六个数值。
我们可以计算出每个数值对应的概率，得到如下的分布列：| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 ||-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|| P(X) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |通过分布列，我们可以清晰地看到每个点数出现的概率是相等的。
除了离散型随机变量外，连续型随机变量也可以通过分布列进行描述。
连续型随机变量的分布列变成了概率密度函数，其中表示为概率的数值变为密度。
二、数学期望数学期望是随机变量的平均值，在概率论中有着重要的意义。
数学期望反映了随机变量取值的中心位置。
对于离散型随机变量X，其数学期望E(X)定义为：E(X) = ∑(x·P(X=x))其中，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示该取值的概率。
以前述的投骰子问题为例，我们可以计算出随机变量X的数学期望：E(X) = (1/6)·1 + (1/6)·2 + (1/6)·3 + (1/6)·4 + (1/6)·5 + (1/6)·6= 3.5可以看出，投骰子问题中，骰子点数的数学期望是3.5。
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j 1
5
n
j 1
设P( B j ) p j , P( A | B j ) q j , j 1,2,..., n.
p1
S
B1
p2
B2 Bn
q2
q1
A
pn
n
qn
则 P ( A) p j q j .
j 1
注意：在运用全概率公式时,关键是构造合适的划分.
6
定理: 设B1 , B2 , , Bn为S的一个划分且P( Bi ) 0. 对P ( A) 0有Bayes公式： P ( Bi | A) P ( Bi ) P( A | Bi )
P( A) P ( B j ) P( A | B j )
j 1 n
B1 B 1
A B n B n
S
BB 22
n
B B 33
B 4 B 4
证明：A AS AB1 AB2 ABn ABi与AB j不相容 i j
P( A) P ( AB j ) P( B j ) P( A | B j )
第7讲
全概率公式与贝叶斯公式
在第5讲有一个抽签问题例子： 一袋中有a个白球，b个黄球，记a+b=n． 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球， 不放回地摸n次.则第k次摸到白球的概率均为a/n. 现在用另一种方法计算第2次取到白球的概率.
2
解:设Ai表示第i 次取到白球 , i 1,2.
P( B ) P ( A) P ( B | A) P ( A) P( B | A)
0.8 0.3 0.2 0.9 42% (3)由Bayes公式： P( A | B) P ( AB ) P ( A) P ( B | A) 4 P( B) P( B) 7
9
例2：有甲乙两盒，甲盒有3个红球2个 白球，乙盒有2个红球，1个白球。先 从甲盒中采用不放回抽样取3球放入乙 盒，再从乙盒中取一个球，求取到的 是红球的概率。
定义: 称B1 , B2 , , Bn为S的一个划分,若
(i ) 不漏 B1 B2 Bn S ,
(ii ) 不重 Bi B j , i j. B1 B2 B3 S
4B4Bn理: 设B1 , B2 , , Bn为S的一个划分 且P ( Bi ) 0. 则有全概率公式：
13
若P(C )很大,比如P(C ) 0.8,则
0.8 S 0.2
C
C
0.97 0.05
A
P(C | A)
0.8 0.97 0.987. 0.8 0.97 0.2 0.05
说明此方法在肿瘤医院等专门医院适用.
14
1 2 3 4 5 6 7 8
解:设Ai {从甲盒中取到i个红球}, i 1, 2,3. 1 2 1 3 C3 C2 C32C2 C3 P( A1 ) 0.3, P ( A2 ) 0.6, P ( A3 ) 3 0.1, 3 3 C5 C5 C5 P( B | A1 ) 1/ 2, P( B | A2 ) 2 / 3, P ( B | A3 ) 5 / 6. 1/ 2 A 0.3 1 2/3 0.6 B B {从乙盒中取到红球} A2 S 5/6 0.1 A 3
P ( A2 ) P[( A1 A1 ) A2 ] P( A1 A2 A1 A2 )
P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 )
P( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) a a 1 n n 1 P( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) b a n n 1 P( A2 ) P( A1 ) P ( A2 A1 ) P( A1 ) P ( A2 A1 ) a . n
12
0.97 0.005 C 解: A 0.05 0.995 S C 由Bayes公式: P(C ) P( A C ) P (CA) P(C | A) 0.089 P( A) P (C ) P ( A C ) P (C ) P ( A C )
若用于普查，100个阳性病人中被诊断患 有癌症的大约有8.9个，所以不宜用于普查. 如果发现检验结果为阳性，则需要作进一步 的检查.
n j 1 j j
P( B ) P( A | B ) p q
j 1 j
pi qi
n j
7
例1：一小学举办家长开放日,欢迎家长参加活动.小明 的母亲参加的概率为80%.若母亲参加，则父亲参加的 概率为30%；若母亲不参加,则父亲参加的概率为90%. (1)求父母都参加的概率； (2)求父亲参加的概率； (3)在已知父亲参加的条件下，求母亲参加的概率.
P ( B ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A2 ) P ( B | A2 ) P ( A3 ) P( B | A3 ) 3 1 6 2 1 5 19 . 10 2 10 3 10 6 30
11
例3：根据以往的临床记录某种诊断癌症的试验具有5% 的假阳性及3%的假阴性： 若设A={试验反应是阳性}，C={被诊断患有癌症}, 则有： P ( A | C ) 5%, P ( A | C ) 3%, 已知某一群体 P(C ) 0.005 ,问这种方法能否用于普查？
8
解:设A {母亲参加}, B {父亲参加}.
由题意,P ( A) 0.80, P ( B | A) 0.30, P( B | A) 0.90.
S
0.8 0.2
A
A
0.3 0.9
B
(1) P ( AB) P ( A) P ( B | A) 0.24 (2)由全概率公式：
5
n
j 1
设P( B j ) p j , P( A | B j ) q j , j 1,2,..., n.
p1
S
B1
p2
B2 Bn
q2
q1
A
pn
n
qn
则 P ( A) p j q j .
j 1
注意：在运用全概率公式时,关键是构造合适的划分.
6
定理: 设B1 , B2 , , Bn为S的一个划分且P( Bi ) 0. 对P ( A) 0有Bayes公式： P ( Bi | A) P ( Bi ) P( A | Bi )
P( A) P ( B j ) P( A | B j )
j 1 n
B1 B 1
A B n B n
S
BB 22
n
B B 33
B 4 B 4
证明：A AS AB1 AB2 ABn ABi与AB j不相容 i j
P( A) P ( AB j ) P( B j ) P( A | B j )
第7讲
全概率公式与贝叶斯公式
在第5讲有一个抽签问题例子： 一袋中有a个白球，b个黄球，记a+b=n． 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球， 不放回地摸n次.则第k次摸到白球的概率均为a/n. 现在用另一种方法计算第2次取到白球的概率.
2
解:设Ai表示第i 次取到白球 , i 1,2.
P( B ) P ( A) P ( B | A) P ( A) P( B | A)
0.8 0.3 0.2 0.9 42% (3)由Bayes公式： P( A | B) P ( AB ) P ( A) P ( B | A) 4 P( B) P( B) 7
9
例2：有甲乙两盒，甲盒有3个红球2个 白球，乙盒有2个红球，1个白球。先 从甲盒中采用不放回抽样取3球放入乙 盒，再从乙盒中取一个球，求取到的 是红球的概率。
定义: 称B1 , B2 , , Bn为S的一个划分,若
(i ) 不漏 B1 B2 Bn S ,
(ii ) 不重 Bi B j , i j. B1 B2 B3 S
4B4Bn理: 设B1 , B2 , , Bn为S的一个划分 且P ( Bi ) 0. 则有全概率公式：
13
若P(C )很大,比如P(C ) 0.8,则
0.8 S 0.2
C
C
0.97 0.05
A
P(C | A)
0.8 0.97 0.987. 0.8 0.97 0.2 0.05
说明此方法在肿瘤医院等专门医院适用.
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1 2 3 4 5 6 7 8
解:设Ai {从甲盒中取到i个红球}, i 1, 2,3. 1 2 1 3 C3 C2 C32C2 C3 P( A1 ) 0.3, P ( A2 ) 0.6, P ( A3 ) 3 0.1, 3 3 C5 C5 C5 P( B | A1 ) 1/ 2, P( B | A2 ) 2 / 3, P ( B | A3 ) 5 / 6. 1/ 2 A 0.3 1 2/3 0.6 B B {从乙盒中取到红球} A2 S 5/6 0.1 A 3
P ( A2 ) P[( A1 A1 ) A2 ] P( A1 A2 A1 A2 )
P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 )
P( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) a a 1 n n 1 P( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) b a n n 1 P( A2 ) P( A1 ) P ( A2 A1 ) P( A1 ) P ( A2 A1 ) a . n
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0.97 0.005 C 解: A 0.05 0.995 S C 由Bayes公式: P(C ) P( A C ) P (CA) P(C | A) 0.089 P( A) P (C ) P ( A C ) P (C ) P ( A C )
若用于普查，100个阳性病人中被诊断患 有癌症的大约有8.9个，所以不宜用于普查. 如果发现检验结果为阳性，则需要作进一步 的检查.
n j 1 j j
P( B ) P( A | B ) p q
j 1 j
pi qi
n j
7
例1：一小学举办家长开放日,欢迎家长参加活动.小明 的母亲参加的概率为80%.若母亲参加，则父亲参加的 概率为30%；若母亲不参加,则父亲参加的概率为90%. (1)求父母都参加的概率； (2)求父亲参加的概率； (3)在已知父亲参加的条件下，求母亲参加的概率.
P ( B ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A2 ) P ( B | A2 ) P ( A3 ) P( B | A3 ) 3 1 6 2 1 5 19 . 10 2 10 3 10 6 30
11
例3：根据以往的临床记录某种诊断癌症的试验具有5% 的假阳性及3%的假阴性： 若设A={试验反应是阳性}，C={被诊断患有癌症}, 则有： P ( A | C ) 5%, P ( A | C ) 3%, 已知某一群体 P(C ) 0.005 ,问这种方法能否用于普查？
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解:设A {母亲参加}, B {父亲参加}.
由题意,P ( A) 0.80, P ( B | A) 0.30, P( B | A) 0.90.
S
0.8 0.2
A
A
0.3 0.9
B
(1) P ( AB) P ( A) P ( B | A) 0.24 (2)由全概率公式：