量子物理基础

第 42 次课 日期 周次 星期 学时：2内容提要：第十一章量子物理基础§11.1 实物粒子的波粒二象性 一．德布罗意假设二．德布罗意假设的实验验证 三．德布罗意假设的意义 四．电子显微镜 目的与要求：1.理解德布罗意的物质波假设及其正确性的实验证实。

理解实物粒子波粒二象性。

2.理解物质波动性的物理量(波长、频率)和粒子性的物理量(动量、能量)间的关系。

重点与难点:德布罗意假设; 物质波动性的物理量(波长、频率)和粒子性的物理量(动量、能量)间的关系。

教学思路及实施方案： 本次课应强调：类比法是科学研究中的一种重要方法。

科学理论的发展总是在前人已有的理论基础上发展和创新的，学生既要善于继承前人已有的知识，又要有所创新。

电子通过不均匀电场和磁场时要发生偏转是电子显微镜成像原理的主要部分。

教学内容：§11.1 实物粒子的波粒二象性 一．德布罗意假设 1．德布罗意假设1924年德布罗意大胆地提出假设：实物粒子也具有波动性。

他并且把光子的能量一频率和动量—波长的关系式借来，认为一个实物粒子的能量E 和动量P 跟和它相联系的波的频率ν和波长λ的定量关系与光子一样，为υh mc E ==2λhmv p == 这些公式称为德布 罗意公式或德布罗意假设。

和实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波。

德布罗意波长k k E E E hc c v vm h mv h p h 0222021+=-===λ其中202c m mc E k -=是粒子的相对论动能。

如果c v <<，因而粒子的动能k E 也就远小于粒子的静能0E 。

在这种情况下，可用非相对论公式计算德布罗意波长k E m h v m h 002=≈λ以电子为例，电子经电场加速后(设加速电势差为U)电子的速度在c v <<的情况下，将由下式决定eU v m E k ==2021οAU U em h2.12120=⋅=⇒λ 应强调指出的是：1.实物粒子的德布罗意波长一般是很短的，在通常实验条件下显露不出来。

2.德布罗意是采用类比法提出他的假设的，当时并没有任何直接的证据，但是很快就在实验上得到了证实。

此处应重点说明：类比法是科学研究中的一种重要方法。

二．德布罗意假设的实验验证1927年，戴维逊和革末做了平行电子射线在镍单晶体上的衍射实验。

实验结果有力地证明了德布罗意的物质波假说是正确的。

例1． 比较动能均为1 MeV 的电子、中子、光子的德布罗意波长。

解：（1）对于电子，其静能51.0200==c m E MeV 由于1 MeV 的电子动能已经大于电子的静能，因此需要用相对论公式计算德布罗意波长321075.82AE E E hc Phk k-⨯=+===λ（2）对于中子，其静能939200==c m E MeV 由于1 MeV 的中子动能远小于中子的静能，因此可以用非相对论公式计算德布罗意波长401087.22AE m h k-⨯==λ（3）对于光子，其动量mc P =，能量2mc E =，由此可以计算德布罗意波长021024.1AE hc P h -⨯===λ通过此例具体说明：计算德布罗意波长时，在c v <<时用非相对论公式；否则要用相对论公式。

在同一个题中既要用非相对论公式，又要用相对论公式，又要用相对论公式。

可以突破德布罗意波长计算的难点。

例2． 计算质量m=0.01kg ，速率v ＝300m/s 的子弹的德布罗意波长。

解：由德布罗意公式：03401021.2Av m h -⨯==λ通过此例具体说明：宏观物体的德布罗意波长非常短，因此宏观物体的波动性非常不显著。

三．德布罗意假设的意义1．一切微观粒子都有波粒二象性德布罗意假设说明一切微观粒子都有波粒二象性，不管这个粒子的静质量m 0为零(如光子，原来以为是纯粹的波)或者不为零(如电子，原以为是纯粹的粒子)。

如果我们把一个粒子的能量E 和动量P 看作是它的粒子性的表征，而把与该粒子相联系的德布罗意波的频率ν和波长λ作为波性的表征，则波粒二象性这句话可用爱因斯坦公式υh mc E ==2和德布罗意公式λhmv p ==表达。

2．波粒二象性绝不能用经典观念来把握波和粒子的这种二象性绝不能用经典观念来把握。

例如，波是由粒子在空间的位移所形成和电子是一个有一定形状的波包两种想法都遇到很大困难。

3．德布罗意波的统计解释微观粒子的空间分布表现为具有连续特征的波动性。

正因为如此，德布罗意波与机械波、电磁波不同，它是一种没有能量转移的概率波。

此处应再次重点说明：类比法是科学研究中的一种重要方法。

4。

德布罗意关系式λhmv p ==是德布罗意对科学的贡献 对于光子，由于λν＝c ，所以从光子的能量、动量求光子的频率ν和波长λ只需爱因斯坦关系E ＝h ν。

对于静止质量不为零的实物粒子，由于λν≠v ，所以由实物粒子的能量、动量求德布罗意波长λ和频率ν时需德布罗意关系式λhmv p ==和υh mc E ==2这两个独立的关系式。

此处应重点说明：科学理论的发展总是在前人已有的理论基础上发展的，学生既要善于继承前人已有的知识，又要有所创新。

四．电子显微镜1．由于微观粒子的波动性，人们利用电子的波动性和短波长，可使显微镜的分辨率大大提高。

用电子波代替光波制成的显微镜称为电子显微镜。

2．电子显微镜比光学显微镜的分辨率要高得多。

3．光学显微镜与电子显微镜的成像原理对照。

光学显微镜是利用光经过不均匀媒质时的折射现象，使从一点向各方向发出的光束，通过由玻璃制成的透镜组重新会聚在一点上，达到成像和放大的目的。

由电磁学的知识可知，电子通过不均匀电场和磁场时也要发生偏转，如同光线的折射一样。

电子显微镜就是利用电子波通过轴对称的非均匀电场和磁场组成的静电透镜、磁透镜使电子波折射后重新聚焦成像并达到放大的目的。

第 43 次课 日期 周次 星期 学时：2内容提要：§11.2 不确定关系 一．不确定关系二．用不确定关系讨论几个具体例子 §11.3薛定谔方程 一．波函数二．薛定谔方程 目的与要求：理解一维坐标动量不确定关系。

了解波函数及其统计解释；了解一维定态薛定谔方程。

重点与难点:一维坐标动量的不确定关系波函数及其统计解释；薛定谔方程的建立。

教学思路及实施方案： 本次课应强调：由光学单缝衍射公式可推出电子的单缝衍射公式，进而得到不确定关系。

这也说明电子等实物粒子和光一样具有波动性。

因此不确定关系也是因为实物粒子具有波动性的必然结果。

通过不确定关系在具体问题中的应用强调：数量级的估计也是科学研究中的重要方法。

数量级的估计能对该体系作定性的分析，其结果在量级上是可靠的。

普朗克常量是量子力学的特征参量。

经典物理的的适用范围是：普朗克常量在所讨论的问题中可看作为零。

既然微观粒子具有波粒二象性，其运动不能用经典的坐标、动量、轨道等概念来精确描述。

在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数),(t r ϖψ描述，反映微观粒子运动的基本方程称为薛定谔方程，它是有关波函数的偏微分方程。

薛定谔方程和关于波函数的解释，其实是量子力学的基本假设。

我们接受这些假设，是因为由此推出的结论能反映微观粒子的运动规律，能解释实验结果。

通过与光的类比可以得到波函数的统计解释。

可以让学生较容易理解波函数的物理意义。

通过对比说明：物质波的波函数Ψ与电磁波的电场强度矢量有不同之处。

教学内容：§11.2 不确定关系 一．不确定关系设一束德布罗意波长为λ的电子束(或光子束)，经缝s 衍射后到达屏幕。

由于衍射，光子或电子的速度方向发生改变，其动量在X 方向的分量x P 不确定量为x P P P x ∆=≈λθsin用德布罗意公式λ＝h/P ，可得xh P x ∆≈∆，或 h x P x ≈∆∆式中Δx 是电子的x 坐标的不确定量，x P ∆是电子的动量的x 分量的不确定量。

考虑到衍射条纹的次极大，可得h P x x ≥∆∆这就是不确定关系。

不确定关系说明：位置不确定量越小，则同方向上的动量不确定量越大。

这就是说，粒子的位置限制的越准确，则动量值越不能准确地确定。

这个结论和实际衍射实验结果完全相符。

能量和时间这一组量之间的不确定关系： h t E ≥∆∆二．用不确定关系讨论几个具体例子我们经常用不确定关系来估算微观体系的基态能量，以求得数量级的知识，对该体系作定性的分析。

其结果在量级上是可靠的。

1．原子线度的数量级为1010-米，所以氢原子核外的电子位置的不准确量Δx 也为1010-米。

由不确定关系(12.8)，我们可求出氢原子中电子速度的不准确量x v ∆为61031341015.110101.91005.1⨯=⨯⨯⨯=∆≥∆=∆---x m h m P v x x m/s若按经典理论，氢原子中电子在轨道上的速度为610m/s ，即x v ∆与x v 同数量级。

因此电子在原子中的运动用轨道来描述是不恰当的。

2．若在威尔逊云室中做径迹实验，实验中可测得电子位置的不准确量。

由不确定关系可得速度的不准确量x v ∆为12101011.91005.153134≈⨯⨯⨯=∆=∆---x m h v x m/s实际上，在上述径迹实验中，电子速度x v 可接近光速。

因此x v ∆和x v 相比，可认为0→∆x v 。

这就意味着我们能非常准确地确定电子的速度，所以在威尔逊云室中做径迹实验，可按经典物理的概念处理问题。

通过这两例题应重点说明经典物理的适用范围。

§11.3薛定谔方程 一．波函数我们从自由粒子入手，介绍波函数的物理意义。

*ψψ=ψ2就表示粒子在t 时刻在(x,y ，z)处单位体积内出现的概率，称为概率密度。

玻恩的统计解释与实验一致并为物理学界所公认。

波函数的标准条件是：单值、有限、连续函数。

波函数Ψ的归一化条件：12=ψ⎰dV凡满足这条件的函数都称为归一化函数。

应该注意，物质波的波函数Ψ与电磁波的电场强度矢量有一基本不同之处。

即，电磁波的自身是有物理意义的物理量，它说明电磁场的强弱；而物质波的Ψ本身却没有什么直观的物理内容，只有2ψ才反映着粒子出现的概率密度。

二．薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的基本方程，象经典力学中的牛顿方程一样，它是不能由其它基本原理推导出来的。

量子力学中的一个基本假定是将力学可观察量变成相应的算符并作用在波函数上。

x h iP P x x ∂∂-=→∧π2 y h iP P y y ∂∂-=→∧π2z h iP P z z ∂∂-=→∧π2t h iE E ∂∂=→∧π2由非相对论的动量一能量关系),,()(21),,(2)(2222z y x U P P P m z y x U m P r U T E z y x +++=+=+=ρ式中T 和U 分别是粒子的动能和势能。