§17.3 固体能带理论基础
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《固体能带理论》课件
分类
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
《固体物理能带理论》课件
探索禁带宽度
禁带宽度的影响
深入探究禁带宽度对材料性质的 影响，介绍如何利用禁带宽度调 控材料性质。
直接/间接带隙
介绍直接带隙和间接带隙的概念 和特点，以及如何通过调控禁带 宽度实现它们之间的转换。
量子点
了解量子点的概念及其在光伏、 光催化、发光等方面的应用。
电子在周期势场中的行为
布拉歇特条件
探究布拉歇特条件的作用和意义，以及如何通过布拉歇特条件来理解材料导电性。
电子自旋
介绍电子自旋的概念和特点，以及在磁性材料中的重要作用。
量子霍尔效应
了解量子霍尔效应的概念和特点，以及其在电子学、自旋测量等方面的应用。
应用能带理论
1
太阳能电池
探究太阳能电池的原理和构造，以及如
半导体激光器
2
何利用能带理论来提高太阳能电池的性 能。
介绍半导体激光器的原理和构造，以及
如何通过能带理论来优化激光器的性能。
《固体物理能带理论》 PPT课件
通过本PPT了解固体物理能带理论，理解能带的概念和特点，并探究能带理论 在实际应用中的应用。
什么是固体物理能带理论？
晶体的电子结构
介绍晶体的基本结构和存在能带 的原因，以及能带分布的规律。
能带、狄拉克相对论
进一步探究能带的特点及其与材 料导电性的关系，介绍狄拉克相 对论的意义。
Bloch定理和能带图
介绍Bloch定理的作用，以及如何 通过能带图来描绘材料的电子结 构。
深入理解价带和导带
价带的物理意义
介绍价带中电子的特征和性 质，并探讨不同能级之间的 关系。
导带的物理意义
深入剖析导带中的电子行为， 介绍电子元件中导带的作用。
轻重空穴带
固体能带理论
利用能带理论可以解释这一基本现象：固 体的导电能力取决于固体中能带的填充情况， 满带或空带均不导电，只有不满带才能导电。
以 l = 0 ，即每个子能级至多容纳 2 个电子为例：
满带中的电子运动 不产生电流
导带中的电子运动 可以形成电流
电子运动,分布不变
电子运动 ,分布变化
1. 导体的能带结构 1)价带为导带
价带
带进入空带时，绝缘体击穿，
原空带
导带
3. 半导体
价带为满带，与空 带间的禁带较窄。
空带
E=0.1~1.5eV
价带
1) 本征半导体（纯净半导体）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空
带成为导带，满带中留下空穴。
空带
E
空带
E=0.1~1.5eV
价带
E=0.1~1.5eV
价带
外 场
导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电
P-N 结的单向导电性
第六篇 多粒子体系的热运动
前言
20世纪以前，人们主要研究了三类自然现象：经典 力学研究的机械运动现象；由电磁场理论研究的电 磁运动现象和由热学研究的热运动(热现象)。
热现象
与人的冷热感觉有关的现象 ？？？
与温度有关的现象
有没实有证实性证 性
3) 价带为导带，又与空带部分重叠
例： Na 1s22s22p63s1
每个原子一个价电子，3s 能带形成导带，又与空带 重叠，形成更宽导带。
空带 价带
空带 价带
2. 绝缘体的能带结构
价带为满带，且与空带间的禁带较宽。
一般：从满带到空带激发微不 空带 足道，可以认为不存在导带。
E=1.5~10eV 当外来激发使较多电子越过禁
以 l = 0 ，即每个子能级至多容纳 2 个电子为例：
满带中的电子运动 不产生电流
导带中的电子运动 可以形成电流
电子运动,分布不变
电子运动 ,分布变化
1. 导体的能带结构 1)价带为导带
价带
带进入空带时，绝缘体击穿，
原空带
导带
3. 半导体
价带为满带，与空 带间的禁带较窄。
空带
E=0.1~1.5eV
价带
1) 本征半导体（纯净半导体）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空
带成为导带，满带中留下空穴。
空带
E
空带
E=0.1~1.5eV
价带
E=0.1~1.5eV
价带
外 场
导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电
P-N 结的单向导电性
第六篇 多粒子体系的热运动
前言
20世纪以前，人们主要研究了三类自然现象：经典 力学研究的机械运动现象；由电磁场理论研究的电 磁运动现象和由热学研究的热运动(热现象)。
热现象
与人的冷热感觉有关的现象 ？？？
与温度有关的现象
有没实有证实性证 性
3) 价带为导带，又与空带部分重叠
例： Na 1s22s22p63s1
每个原子一个价电子，3s 能带形成导带，又与空带 重叠，形成更宽导带。
空带 价带
空带 价带
2. 绝缘体的能带结构
价带为满带，且与空带间的禁带较宽。
一般：从满带到空带激发微不 空带 足道，可以认为不存在导带。
E=1.5~10eV 当外来激发使较多电子越过禁
固体物理基础-能带理论
NZ
e j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2
NZ ve ri i 1
1 ve ri 2
e2 j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2）单电子近似
• 电子体系的哈密顿量变为：
ˆ T Rm Rn r Rm Rn r 又 ˆ T ˆ r r T R Rm Rn m Rn Rm Rn Rm Rn 将Rn =e Rn 带入得 Rm Rn = Rn + Rm , 仅当 是Rn的线性函数 时满足，因此取 Rn =k Rn , 则
Bloch定理说明
ik Rn r Rn e r
i k r k r e uk r , uk r Rn uk r
用Bloch波函数描述的电子，或遵从周期势单电子薛 定谔方程的电子，称为Bloch电子； 布洛赫波的特征：周期性条幅的平面波；当平移晶 ik R 格矢量 ������ ������ 时，波函数只变化一个相位因子 e n • 表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相 位因子，波函数的大小相同，所以电子出现在不同 原胞的对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的 反映。
将使矢量 ������ 平移 ������ ������ ，即
ˆ f r f r R T n Rn
各平移算符之间互相对易
ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T m n m Rn Rn Rm ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T n m n R R Rm m n ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ T ˆ T ˆ T Rm Rn Rn Rm Rm Rn Rn Rm ˆ ,T ˆ 0 T Rn Rm
e j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2
NZ ve ri i 1
1 ve ri 2
e2 j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2）单电子近似
• 电子体系的哈密顿量变为：
ˆ T Rm Rn r Rm Rn r 又 ˆ T ˆ r r T R Rm Rn m Rn Rm Rn Rm Rn 将Rn =e Rn 带入得 Rm Rn = Rn + Rm , 仅当 是Rn的线性函数 时满足，因此取 Rn =k Rn , 则
Bloch定理说明
ik Rn r Rn e r
i k r k r e uk r , uk r Rn uk r
用Bloch波函数描述的电子，或遵从周期势单电子薛 定谔方程的电子，称为Bloch电子； 布洛赫波的特征：周期性条幅的平面波；当平移晶 ik R 格矢量 ������ ������ 时，波函数只变化一个相位因子 e n • 表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相 位因子，波函数的大小相同，所以电子出现在不同 原胞的对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的 反映。
将使矢量 ������ 平移 ������ ������ ，即
ˆ f r f r R T n Rn
各平移算符之间互相对易
ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T m n m Rn Rn Rm ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T n m n R R Rm m n ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ T ˆ T ˆ T Rm Rn Rn Rm Rm Rn Rn Rm ˆ ,T ˆ 0 T Rn Rm
固体能带理论简介
k ( x) eikxuk ( x)
uk ( x) 是周期等于晶格常数
a 的周期函数 uk ( x) uk ( x na)
9
这一结果称为布洛赫定理
证明布洛赫定理 势场具有周期结构,则电子概率密度具有相同的周期性,即
| k ( x) |2 | k ( x a) |2
则:
4
•隧道效应：
晶体是由大量原子有规则 地排列形成的,晶体中包含 着大量的离子,如正离子和 电子,它们之间存在着相互 作用。 离子实
u (r )
r0
f (r )
r
r0
单个正离子 的库仑势
r
各离子的库仑势场迭加形 成周期势场，这个势场是 由一系列势垒组成的。
各库仑势叠加
成的周期势
5
离子实
单个正离子 的库仑势
28
六. 固体能带与原子能级
设想组成晶体的N个原子原来都是孤立存在的，都处于某一能 级，具有相同的能量，当它们靠拢来形成晶体时，每个原子中 的电子不仅受到本身正离子或原子核的作用，还要受到其它正 离子或原子核的作用，这些相互作用都具有相应的能量，电子 原来（原子孤立时）的能量状态就发生了改变，原来的一个能 级就分裂为非常接近的N个。 原子能级分裂成能带。如图。 能带是从原子能级分裂（或 称展宽）而成的，因此表示能 带时常沿用分裂前原子能级的 名称，如 s, p, d , 带
正是能带论，导致了电子科学与技术学科的形成和发展。
1
“能带理论”:是一个近似的理论。在固体中存在着 大量的电子，它们的运动是相互关联着的，每个电 子的运动都要受其它电子运动的牵连，这种多电子 系统严格的解显然是不可能的。 “能带理论”:是单电子近似的理论，就是把每个电子 的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。
固体能带论
求和遍取所有允许的倒格矢
(k G , x )＝ C ( K G Gn )e
' n ' n Gn
' i ( K Gn Gn ) x
令G‘n －Gn=Gn’’,则
＝ C ( K G )e
'' n G ''n
'' i ( K Gn ) x
(k , x )
（∵ 求和也是遍取所有允许的 倒格矢） 即相差任意倒格矢的状态等价。
价电子共有化 （Na晶体中的势能曲线和电子云）
与这种共有化的运动状态相对应，电子的能 谱由孤立原子的能级分裂成晶体中的能带。这时 电子不属于某一个原子而是在晶体中做共有化运 动，分裂的每一个能带都称为允带，允带之间有 禁带。
因此原子之间靠近而产生的相互作
用使原子能级的简并消除，是固体中 出现能带的关键。
Байду номын сангаас
V (r ) V (r Rn )
V (r n1a1 n2 a2 n2 a2 )
（一）布洛赫定理
晶体中的电子波函数是按照晶格周期性 进行的调幅平面波. 即（以一维为例） （k ,x）＝u（k，x）eikx 其中 u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波。
u( K , x na)
于是布洛赫定理得证。
（三）布洛赫定理的一些重要推论
1、K态和K＋Gh态是相同的状态，这就是说： （A）（K＋Gh,r）＝ （K，r） （B）E（K＋Gh）＝E(K)
下面分别证明之。 i ( K Gn )x ∵ （k ,x） ＝ C( K Gn )e
Gn
问题的关键：V(r)＝？
能带理论-固体物理理论
三 倒格子
基矢+法线取向 周期性的点 米勒指数 倒格子 晶面族 基矢 P点的位矢： 光程差 正格矢
衍射极大值条件 令 则
令 则 倒格矢
若倒格矢写为：
倒格矢和正格矢之间的关系：
反比 倒格矢是电子在市场傅立叶展开的元函数。
四 布里渊区
Wigner-Seitz原胞(WS)：以晶格中某一格点为中心， 作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平 面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS 原胞。
周期边界条件(Born-Von Karman)
边界上原子的振动对于晶格振动的色散关系的影响是很小的。 1.固定边界条件 即固定两端的原子不动，得到驻波解。 2.周期边界条件 行波解
波矢是量子化的
七一维双原子链
色散关系
色散关系
声学支 光学支
禁带
光学波&声学波
主要依据长波极限下的性质
&
极化波
长光学波可以利用光波的电磁场激发
假定，所有离子产生的势场和其他电子饿 平均场是周期势场，其周期为晶格的周期。 单电子的薛定谔方程为：
Bloch定理： 周期势场的平移对称性
周期势场中粒子波函数的形式为： 即，波函数不再是平面波，而是调幅的平面波，幅度周期性变化。 另外一种形式：
它表明在不同原胞的对应点上，波函数相差一个位相因子 ， 所以不同原胞对应点上，电子出现的几率是相同的，这是晶体周期性的反映。
声子
晶格的振动是一种集体运动形式，表现为不同模式的格波
简正变化，消除交叉项
晶格振动的总Hamiltonian
晶格振动系统的总能量为 能量是量子化的
声子：
特点： 1.准粒子：不是真实的粒子，不能游离于固体之外 2.准动量： 3.Bose子：
固体能带
固体的能带结构
§1 固体的能带
一. 电子共有化
固体具有大量分子、原子或离子有规则排列的点阵 结构。
电子受到周期性势场的作用。
a
1
解定态薛定谔方程（ 略）， 可以得出两点重要结论：
1.电子的能量是量子化的; 2.电子的运动有隧道效应。 原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率较大， 电子
可以在整个固体中运动,称为共有化电子。
E E7 E6
3 a
2 a
a
0
a
2 a
3 a
E5 E4 E3 E2 E1
k
图6
E ~ k 曲线的表达图式
9
maU 0b sin a cos( a ) cos(ka ) 2 a
( 4)
E ~ k 曲线与 a 有关、与 U0b 乘积有关。 乘积 U0b 反映了势垒的强弱。 计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。 所以，内层电子的能带较窄。 外层电子的能带较宽。
11
2 a
a
0
a
2 a
3 a
k
二 . 能带中的能级数 晶体中电子的能量不能取禁带中的数值， 只能取能带中的数值。由 图 5 可以看出： 第一能带 k 的取值范围为
a a 2 2 第二能带 k 的取值范围为 a a , a a 3 2 2 3 第三能带 k 的取值范围为 , a a a a 2
内建场大到一定程度,
不再有净电荷的流动， 达到了新的平衡。 在ｐ型 n型交界面附近形成 的这种特殊结构称为P-N结，
§1 固体的能带
一. 电子共有化
固体具有大量分子、原子或离子有规则排列的点阵 结构。
电子受到周期性势场的作用。
a
1
解定态薛定谔方程（ 略）， 可以得出两点重要结论：
1.电子的能量是量子化的; 2.电子的运动有隧道效应。 原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率较大， 电子
可以在整个固体中运动,称为共有化电子。
E E7 E6
3 a
2 a
a
0
a
2 a
3 a
E5 E4 E3 E2 E1
k
图6
E ~ k 曲线的表达图式
9
maU 0b sin a cos( a ) cos(ka ) 2 a
( 4)
E ~ k 曲线与 a 有关、与 U0b 乘积有关。 乘积 U0b 反映了势垒的强弱。 计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。 所以，内层电子的能带较窄。 外层电子的能带较宽。
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2 a
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a
2 a
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二 . 能带中的能级数 晶体中电子的能量不能取禁带中的数值， 只能取能带中的数值。由 图 5 可以看出： 第一能带 k 的取值范围为
a a 2 2 第二能带 k 的取值范围为 a a , a a 3 2 2 3 第三能带 k 的取值范围为 , a a a a 2
内建场大到一定程度,
不再有净电荷的流动， 达到了新的平衡。 在ｐ型 n型交界面附近形成 的这种特殊结构称为P-N结，
能带理论
§ 导体、半导体和绝缘体尽管所有的固体都包含大量有电子，但有些固体具有很好的电子导电性能，而另一些固体则观察不到任何电子的导电性。
对于固体为什么分为导体、绝缘体和半导体呢这一基础事实曾长期得不到解释，能带论对这一问题给出了一个理论说明，并由此逐步发展成为有关导体、绝缘体和半导体的现代理论。
晶体中电子有能量本征值分裂成一系列能带，每个能带均由N 个准连续能级组成（N 为晶体原胞数），所以，每个能带可容纳2N 个电子。
晶体电子从最低能级开始填充，被电子填满的能带称作满带，被电子部分填充的能带称为不满带，没有电子填充的能带称为空带。
能带论解释固体导电的基本观点是：满带电子不导电，而不满带中的电子对导电有贡献。
5. 11. 1 满带电子不导电从前面的知识中，已经知道，晶体中电子能量本征值E (k )是k 的偶函数，可以证明v (-k )=-v (k )，即v (k )是k 的奇函数。
一个完全填满的电子能带，电子在能带上的分布，在k 空间具有中心对称性，即一个电子处于k 态，其能量为E(k )，则必有另一个与其能量相同的E (-k )=E (k )电子处于-k 态。
当不存在外电场时，尽管对于每一个电子来证，都带有一定的电流-e v ，但是k 态和-k 态的电子电流-e v (k )和-e v (-k )正好一对对相互抵消，所以说没有宏观电流。
当存在外电场或外磁场时，电子在能带中分布具有k 空间中心对称性的情况仍不会改变。
以一维能带为例，图1中k 轴上的点子表示简约布里渊区内均匀分布的各量子态的电子。
如上所述，在外电场E 的作用下，所有电子所处的状态都以速度 d e dt=-k E …………………………………………………………………………………………(1) 沿k 轴移动。
由于布里渊区边界A 和A '两点实际上代表同一状态，在电子填满布里渊区所有状态即满带情况下，从A 点称动出去的电子同时就从A '点流进来，因而整个能带仍处于均匀分布填满状态，并不产生电流。
简述固体能带理论
简述固体能带理论固体能带理论是量子力学关于固体中微观粒子行为的一种理论，它有助于描述量子物理学领域中重要的诸多性质，如电导率、电阻率、拉曼散射、热导率等电子性质。
一般来说，固体能带理论将一个固体分解为由许多电子组成的能带系统。
该理论着重于研究电子在晶体中的能带结构，以及这些能带之间的相互作用，从而解释固体中各种电子性质的变化。
固体能带理论的基础源自费米子的研究，他发现以光的波长为单位切割金属表面的电子能量等级，其中可能会有大量的能量等级，由此派生出能带理论，它将光谱转化为一系列的能级，从而说明光的行为和物质的结构之间的关系。
费米子发现，电子在晶体中能够在一系列被称为能带的能量水平中移动，并且通过不同能带之间的相互作用，电子才能在晶体中移动。
他对能带结构进行了深入分析，为固体能带理论奠定了基础。
随着费米子的研究，晶体物理学家们利用凝聚态物理的理论和表征，更详细地研究了固体能带结构，最终发展出固体能带理论。
固体能带理论的最重要的思想是绝热处理和热力学，即将晶体能带结构看作由一系列不同类型的能带组成，每一类都由一系列不同的能级组成。
根据固体中电子的迁移和能量转换机制，晶体的电子特性可以分为受斥力和相互作用，从而解释固体中的电子性质的变化。
固体能带理论的另一个重要思想是能带的费米子结构，它描述了电子在不同的能带中的空间分布，以及电子在不同能带之间的跃迁和能量转换的规律。
根据这一理论，晶体中的电子性质可以定量描述，从而说明固体中各种物理量的变化。
固体能带理论是量子力学领域的一个重要研究课题，也是许多重要物理性质的解释者。
它拓宽了我们对固体中电子性质的认识，开发了由电子能带结构组成的新材料，从而更好地实现人类在电子电路、半导体等领域的技术创新。
固体物理中的能带理论
固体物理中的能带理论摘要本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。
还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。
可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。
而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。
关键词：能带理论包络函数近自由电子近似1 引言能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。
在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。
最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。
例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。
在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。
后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。
到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、K.P方法[12]。
人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。
量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。
使得对这些结构的器件的设计有所依据。
并对一些器件的特性进行了合理的解释。
固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。
从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。
能带理论-固体物理理论
2.平均场近似： 多电子问题
单电子问题
可把多电子中每一电子，看作是在离子场及其他电子产生的平均场中运动。
Hartree平均场：只考虑电子间的库仑相互作用；
Hartree-Fock平均场：计及自旋，考虑电子之间的库仑相互作用和交换相互作用。
3.周期场近似： 平均场
周期场
假定，所有离子产生的势场和其他电子饿 平均场是周期势场，其周期为晶格的周期。
• 如果晶体是由完全相同的一种原子所组成的，则格点代表原子或者原 子周围相应点的位置；
• 如果晶体由多种原子组成，通常把由这几种原子构成晶体的基本结构 单元称为基元
• 格点代表基元的重心的位置 • 原胞：体积最小的可重复单元
取一个结点为顶点，边长分别为3个不同的方向上的平行六面体作为 重复单元来反映晶格的周期性； 原胞选取不唯一；体积都相等，但不一定最小。
三 倒格子
米勒指数
晶面族
倒格子
基矢
P点的位矢：
光程差 衍射极大值条件
令
则 令 则
正格矢 倒格矢
若倒格矢写为： 倒格矢和正格矢之间的关系：
倒格矢是电子在市场傅立叶展开的元函数。
反比
四 布里渊区
Wigner-Seitz原胞(WS)：以晶格中某一格点为中心， 作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平 面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS 原胞。 第一布里渊区： 从倒格子点阵的原点出发，作出它最近邻点的倒格子点阵矢量，并作出 每个矢量的垂直平分面，可得到倒格子的WS原胞，称为第一布里渊区。
原子核+芯电子=原子实 价电子=传导电子 处理方法：经典的分子运动学理论
N*传导电子=自由电子气系统
电子气视为理想气体的条件： 1.独立电子近似：完全忽略电子与电子之间的相互作用 近自由电子近似：完全忽略电子与原子实之间的相互作用 电子气系统的总能量为电子的动能，势能被忽略。
能带理论基础
h3 h1 h2 k= b1 + b2 + b3 N1 N2 N3
ik ⋅aα
这里b1，b2和b3为倒格子基矢，于是有
λα = e
aα ⋅ bβ = 2πδ αβ
ψ ( r + Rl ) = ψ ( r + l1a1 + l 2 a2 + l 3a3 )
= T T T ψ (r ) = λ λ λ ψ (r )
②证明： （1）平移算符 由于势场的周期性反映了晶格的平移对称性，可定 义一个平移算符Tα，使得对于任意函数f(r)有
Tα f ( r ) = f ( r + aα )
这里，aα，α＝1, 2, 3是晶格的三个基矢。 而
Tα Tβ f ( r ) = Tα f ( r + aβ ) = f ( r + aβ + aα )
周期性势场： U ( x ) = U ( x + a ) 作Fourier展开：
这表明，这两个波矢量k和k’＝ k＋Gn所描述的电子在 晶体中的运动状态相同。因此，为了使k和平移算符的 本征值一一对应， k必须限制在一定范围内，使之既 能概括所有不同的λ的取值，同时又没有两个波矢k相 差一个倒格矢Gn。与讨论晶格振动的情况相似，通常 将k取在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点 在内的最小封闭体积，即简约区或第一布里渊区中。
第五章
能带理论基础
§1 能带论的基本假设
1、能带的形成： Li 1s22s1 Li2 LiN
N个原子组成的固体，如能级分裂宽度（最大差别）5eV, N=1023, 则次能级的平均间隔约为5×10-23eV,完全可以视为连续分布。 能带的形成不是由于周期性，而是来源于原子多
固体能带理论
固体能带理论
目录
布洛赫电子和布洛赫定理
周期性似场中的近自由电子近似
紧束缚近似
能态密度与费米面的构造
1.1布洛赫电子和布洛赫定理
• 1925－1926，Heisenberg， Schordinger等人建 立量子力学的矩阵力学形式和波动力学形式。 • 在Heisenberg的建议下， Bloch 应用量子力学研 究固体中的电子问题。他从电子在周期性离子间 运动的图像出发，得出固体中电子运动的波函数 的一般形式（Bloch波函数），这一理论为现代固 体理论奠定了基础
布洛赫定理
• 单电子在等效周期势中运动时，波函数形式为：
ik Rn (r Rn ) e (r )
即：平移晶格矢量 Rn 时，波函数只增加一个相 因子：
e
ik Rn
其中：K是布洛赫波的波矢。
1.2 周期性似场中的近自由电子近似
• 近自由电子势场
假设由N个原子组成的一维晶格，基矢为a．晶格周期势 U(x)可用傅里叶级数展开，表示为 ：
U ( x) U 0 um e
m0
i 2
mx a
U0是展开式的第一项，等于势场的平均值，即： U 0 U ( x)
L mx a
i 2 1 um为展开系数，记做 um U( x)e L0
dx
零级近似
薛定谔方程
ˆ H
( 0) ( 0) k
零级近似能量本征值和波函数
可以证明波函数满足正交归一化关系：
)* ( 0 ) k k k( 0 ' k dx ' kk ' ０
Ｌ
正是由于零级近似下解为自由电子，故称近自由电子近似。
目录
布洛赫电子和布洛赫定理
周期性似场中的近自由电子近似
紧束缚近似
能态密度与费米面的构造
1.1布洛赫电子和布洛赫定理
• 1925－1926，Heisenberg， Schordinger等人建 立量子力学的矩阵力学形式和波动力学形式。 • 在Heisenberg的建议下， Bloch 应用量子力学研 究固体中的电子问题。他从电子在周期性离子间 运动的图像出发，得出固体中电子运动的波函数 的一般形式（Bloch波函数），这一理论为现代固 体理论奠定了基础
布洛赫定理
• 单电子在等效周期势中运动时，波函数形式为：
ik Rn (r Rn ) e (r )
即：平移晶格矢量 Rn 时，波函数只增加一个相 因子：
e
ik Rn
其中：K是布洛赫波的波矢。
1.2 周期性似场中的近自由电子近似
• 近自由电子势场
假设由N个原子组成的一维晶格，基矢为a．晶格周期势 U(x)可用傅里叶级数展开，表示为 ：
U ( x) U 0 um e
m0
i 2
mx a
U0是展开式的第一项，等于势场的平均值，即： U 0 U ( x)
L mx a
i 2 1 um为展开系数，记做 um U( x)e L0
dx
零级近似
薛定谔方程
ˆ H
( 0) ( 0) k
零级近似能量本征值和波函数
可以证明波函数满足正交归一化关系：
)* ( 0 ) k k k( 0 ' k dx ' kk ' ０
Ｌ
正是由于零级近似下解为自由电子，故称近自由电子近似。
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分开，原子数N变化时，能带宽度不变，密度变化。 2)能带宽度随能量增加而增加，随离子对电子约束程
度增加而减少。
E N个子能级
E N个子能级
N个子能级
3)每个角量子数一定的能带中最多容纳的电子数为： 2(2l+1)N
能带被电子填满： 满带 能带未被电子填满： 导带 完全未被电子填充： 空带（激发态能级）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空 带成为导带，满带中留下空穴。
E
空带
空带
E=0.1~1.5eV
价带
E=0.1~1.5eV
价带
外 场
导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电
作 原满带中电子填补空穴
用 满带中空穴沿电场方向运动 ——空穴导电 下
“电子—空穴”对为载流子
2) n型半导体（四价元素中掺入五价元素）
同学们好！
一.物态 §17.3 固体能带理论基础
物质的聚集态：大量粒子在一定温度、压力等外界 条件下聚集而成的稳定结构状态。
p
T
一定条件下，各种物态可以相互转化，有时还可以共存。
物态 条 件
结构
热运动动能 气态 >>分子相互 完全无序
作用势能
性质
对称性
无外场时自动趋向稳 定、均匀的平衡态， 最高 无一定形状、体积。
2) 泡利不相容原理 由于共有化电子彼此间量子数不能完全相同，于是 各原子中能量相同的能级分裂为N个与原来能级接 近的新能级，组成能带来容纳这些共有化电子。
N个
数量级概念： 晶格常数：d~10-10m，1cm3中点阵数：N~1023-1024
能带宽度：△E：几个eV，子能级间隔：10-23eV
2. 能带特点 1)能带由准连续的N个子能级组成，能带之间用禁带
液态
热运动动能 ~分子相互 作用势能
（“近暂程时有、序局”部）流无动一性定，形有状一。定体积，降低
热运动动能 固态 <<分子间相
互作用势能
非晶体：短 程有序
晶体： 长 程有序
各向同性
晶面角守恒， 各向异性 ，有 确定熔点。
再降低
石英晶体的晶面角守恒
a
a
aaa
b
c b cb c b c b c
ab: 14147
me m离 ，ve v离 ，分开考虑
认为离子与电子不交换能量
简化 自洽场法 考虑其余电子的平均场作用
单电子问题
势能函数： 克朗尼克—潘纳模型
U
Uo
-d o c
x
总势能 U： 固定离子势场与其它电子平均场，
为周期性重复排列的势阱和势垒
解定态薛定谔方程得波函数 —— 布洛赫波函数
重要结论： 晶体中能级 —— 能带
杂质能级接近空带底，其上电子容易受激发进入空 带，使其电子浓度增大。
空带
电子 —— 多数载流子
杂质能级
施主
杂质能级 —— 施主能级
价带（满） 以电子导电为主
3) p型半导体（四价元素中掺入三价元素）
杂质能级接近满带顶，满带中电子容易受激发进入 杂质能级，使满带中空穴浓度增大。
空带
空穴——多数载流子
以 l = 0 ，即每个子能级至多容纳 2 个电子为例：
满带中的电子运动 不产生电流
导带中的电子运动 可以形成电流
电子运动,分布不变
电子运动 ,分布变化
1. 导体的能带结构 1)价带为导带
例： Li 1s2 2s1
每个原子一个价电子（2s 态） N个原子共有N个价电子 N个 Li 原子形成固体时，2s 能级分裂为能带，有N 个子能级。可容纳2N个电子，成为未满带：导带
空带 价带
2. 绝缘体的能带结构 价带为满带，且与空带间的禁带较宽。
空带
一般：从满带到空带激发微不足 道，可以认为不存在导带。
E=1.5~10eV
当外来激发使较多电子越过禁带
价带 进入空带时，绝缘体击穿，原空
带
导带。
3. 半导体
价带为满带，与空 带间的禁带较窄。
空带
E=0.1~1.5eV
价带
1) 本征半导体（纯净半导体）
价电子所处的能带—价带 可为满带 可为导带
4) 能量最小原理：电子总是先填满能量较低的能带。
T 0K, 无激发电子,原子所占
EF 据的最大能级叫做费米能级
满
5）不同能带有可能重叠，其间禁带消失。
6） 晶体中有杂质或缺陷时，破坏了周期性 结构，禁带中可能出现杂质能级。
四.导体，绝缘体，半导体的能带特征
• p-n结的单向导电性
p
n
p
n
p: + 阻挡层减弱 势垒降低 n: - 多数载流子导电
p
n
p
n
p: - 阻挡层加强 势垒升高 n: + 少数载流子导电
p-n 结的单向导电性
介绍：半导体的其它特性和应用
热敏电阻：半导体的电阻随温度的升高而指数下降
由于热激发, 半导体的载流子显著增加，杂质半 导体尤为显著，电导性随温度变化十分灵敏。
空带
价带
2) 价带为满带，与相邻空带紧密衔接或部分重叠
例： Mg 1s2 2s2 2 p6 3s2
空带
每个原子二个价电子，3s
能带形成满带，但与空带
价带
重叠，形成较宽导带。
3) 价带为导带，又与空带部分重叠
例： Na 1s2 2s2 2 p6 3s1
每个原子一个价电子，3s 能带形成导带，又与空带 重叠，形成更宽导带。
bc: 12000 ca: 11308
(a) 石英晶体
(b) 石英玻璃
非晶体：
晶格被破坏的固体； 被“冻结”的无序结构 ——“过冷”液体
固体物理： 晶体有成熟理论，基础是“能带理论” 非晶体理论正迅速发展
二、量子力学处理晶体中电子问题的思路
复杂的多体问题 简化 绝热近似
多电子问题
大量离子和电子彼此相互作用 组成系统
体积小、热惯性小、寿命长，广泛应用于自动控制。
温差电偶：பைடு நூலகம்温度差产生电势差
热端
电子或空穴密度 小
运动速度
大
n型
正
p型
负
冷端 大 小 负 正
受主
杂质能级——受主能级
杂质能级
价带（满） 以空穴导电为主
4） p-n结及其单向导电性
•p-n结的形成及其对扩散的阻挡作用
E
p -+ n
电子 n—p 扩散作用
空穴 p—n
eV0 阻挡层电场方向 n p 形成阻挡层势垒
V0
漂移运动 电子 P N
空穴 N P
动态平衡时，形成稳定的阻挡层势垒。
电子能带弯曲 ， 电势高处，电势能低。
三.晶体的能带结构
1. 形成能带的原因
1)晶体中电子的状态 ——电子共有化 •电子云重叠：相邻原子的 电子云重叠，重叠区域中出 现的电子不能简单归属于某 一特定母核，属于相邻原子 或整个晶体共有。
•隧道效应：一个原子中的电 子有可能穿越势垒进入另一 个原子，出现一批不受特定 原子束缚的共有化电子。外 层电子共有化趋向比内层电 子更显著。
度增加而减少。
E N个子能级
E N个子能级
N个子能级
3)每个角量子数一定的能带中最多容纳的电子数为： 2(2l+1)N
能带被电子填满： 满带 能带未被电子填满： 导带 完全未被电子填充： 空带（激发态能级）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空 带成为导带，满带中留下空穴。
E
空带
空带
E=0.1~1.5eV
价带
E=0.1~1.5eV
价带
外 场
导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电
作 原满带中电子填补空穴
用 满带中空穴沿电场方向运动 ——空穴导电 下
“电子—空穴”对为载流子
2) n型半导体（四价元素中掺入五价元素）
同学们好！
一.物态 §17.3 固体能带理论基础
物质的聚集态：大量粒子在一定温度、压力等外界 条件下聚集而成的稳定结构状态。
p
T
一定条件下，各种物态可以相互转化，有时还可以共存。
物态 条 件
结构
热运动动能 气态 >>分子相互 完全无序
作用势能
性质
对称性
无外场时自动趋向稳 定、均匀的平衡态， 最高 无一定形状、体积。
2) 泡利不相容原理 由于共有化电子彼此间量子数不能完全相同，于是 各原子中能量相同的能级分裂为N个与原来能级接 近的新能级，组成能带来容纳这些共有化电子。
N个
数量级概念： 晶格常数：d~10-10m，1cm3中点阵数：N~1023-1024
能带宽度：△E：几个eV，子能级间隔：10-23eV
2. 能带特点 1)能带由准连续的N个子能级组成，能带之间用禁带
液态
热运动动能 ~分子相互 作用势能
（“近暂程时有、序局”部）流无动一性定，形有状一。定体积，降低
热运动动能 固态 <<分子间相
互作用势能
非晶体：短 程有序
晶体： 长 程有序
各向同性
晶面角守恒， 各向异性 ，有 确定熔点。
再降低
石英晶体的晶面角守恒
a
a
aaa
b
c b cb c b c b c
ab: 14147
me m离 ，ve v离 ，分开考虑
认为离子与电子不交换能量
简化 自洽场法 考虑其余电子的平均场作用
单电子问题
势能函数： 克朗尼克—潘纳模型
U
Uo
-d o c
x
总势能 U： 固定离子势场与其它电子平均场，
为周期性重复排列的势阱和势垒
解定态薛定谔方程得波函数 —— 布洛赫波函数
重要结论： 晶体中能级 —— 能带
杂质能级接近空带底，其上电子容易受激发进入空 带，使其电子浓度增大。
空带
电子 —— 多数载流子
杂质能级
施主
杂质能级 —— 施主能级
价带（满） 以电子导电为主
3) p型半导体（四价元素中掺入三价元素）
杂质能级接近满带顶，满带中电子容易受激发进入 杂质能级，使满带中空穴浓度增大。
空带
空穴——多数载流子
以 l = 0 ，即每个子能级至多容纳 2 个电子为例：
满带中的电子运动 不产生电流
导带中的电子运动 可以形成电流
电子运动,分布不变
电子运动 ,分布变化
1. 导体的能带结构 1)价带为导带
例： Li 1s2 2s1
每个原子一个价电子（2s 态） N个原子共有N个价电子 N个 Li 原子形成固体时，2s 能级分裂为能带，有N 个子能级。可容纳2N个电子，成为未满带：导带
空带 价带
2. 绝缘体的能带结构 价带为满带，且与空带间的禁带较宽。
空带
一般：从满带到空带激发微不足 道，可以认为不存在导带。
E=1.5~10eV
当外来激发使较多电子越过禁带
价带 进入空带时，绝缘体击穿，原空
带
导带。
3. 半导体
价带为满带，与空 带间的禁带较窄。
空带
E=0.1~1.5eV
价带
1) 本征半导体（纯净半导体）
价电子所处的能带—价带 可为满带 可为导带
4) 能量最小原理：电子总是先填满能量较低的能带。
T 0K, 无激发电子,原子所占
EF 据的最大能级叫做费米能级
满
5）不同能带有可能重叠，其间禁带消失。
6） 晶体中有杂质或缺陷时，破坏了周期性 结构，禁带中可能出现杂质能级。
四.导体，绝缘体，半导体的能带特征
• p-n结的单向导电性
p
n
p
n
p: + 阻挡层减弱 势垒降低 n: - 多数载流子导电
p
n
p
n
p: - 阻挡层加强 势垒升高 n: + 少数载流子导电
p-n 结的单向导电性
介绍：半导体的其它特性和应用
热敏电阻：半导体的电阻随温度的升高而指数下降
由于热激发, 半导体的载流子显著增加，杂质半 导体尤为显著，电导性随温度变化十分灵敏。
空带
价带
2) 价带为满带，与相邻空带紧密衔接或部分重叠
例： Mg 1s2 2s2 2 p6 3s2
空带
每个原子二个价电子，3s
能带形成满带，但与空带
价带
重叠，形成较宽导带。
3) 价带为导带，又与空带部分重叠
例： Na 1s2 2s2 2 p6 3s1
每个原子一个价电子，3s 能带形成导带，又与空带 重叠，形成更宽导带。
bc: 12000 ca: 11308
(a) 石英晶体
(b) 石英玻璃
非晶体：
晶格被破坏的固体； 被“冻结”的无序结构 ——“过冷”液体
固体物理： 晶体有成熟理论，基础是“能带理论” 非晶体理论正迅速发展
二、量子力学处理晶体中电子问题的思路
复杂的多体问题 简化 绝热近似
多电子问题
大量离子和电子彼此相互作用 组成系统
体积小、热惯性小、寿命长，广泛应用于自动控制。
温差电偶：பைடு நூலகம்温度差产生电势差
热端
电子或空穴密度 小
运动速度
大
n型
正
p型
负
冷端 大 小 负 正
受主
杂质能级——受主能级
杂质能级
价带（满） 以空穴导电为主
4） p-n结及其单向导电性
•p-n结的形成及其对扩散的阻挡作用
E
p -+ n
电子 n—p 扩散作用
空穴 p—n
eV0 阻挡层电场方向 n p 形成阻挡层势垒
V0
漂移运动 电子 P N
空穴 N P
动态平衡时，形成稳定的阻挡层势垒。
电子能带弯曲 ， 电势高处，电势能低。
三.晶体的能带结构
1. 形成能带的原因
1)晶体中电子的状态 ——电子共有化 •电子云重叠：相邻原子的 电子云重叠，重叠区域中出 现的电子不能简单归属于某 一特定母核，属于相邻原子 或整个晶体共有。
•隧道效应：一个原子中的电 子有可能穿越势垒进入另一 个原子，出现一批不受特定 原子束缚的共有化电子。外 层电子共有化趋向比内层电 子更显著。