论文分析中的柯西准则

分析中的柯西准则

【摘要】本文主要论述了数列的柯西收敛准则，函数极限存在的柯西准则，级数收敛的柯西准则，函数列一致收敛的柯西准则，函数项级数一致收敛的柯西准则，平面点列的柯西准则，含参量反常积分一致收敛的柯西准则的应用并进行了总结和证明，并通过大量的例题体现了它们的地位和作用.柯西收敛准则是证明收敛与发散的基本方法，并且通过此种方法还推出了很多简单的方法，由此可见柯西准则的重要地位，此种方法的优越性也是显而易见的，就是通过本身的特征来判断是否收敛，这就给证明带来了方便，本文将这几种准则作了以下总结，并且探讨了它们之间的一些关系.

【关键词】柯西准则，收敛，一致收敛

Some Canchy criteria in the Mathematical Analysis

【Abstract】This passeage discusses the sequence of cauchy criterion function limit, the convergence of cauchy criterion, the convergence of the series, the function of cauchy criterion listed uniform convergence of cauchy criterion function series, uniform convergence of cauchy criterion, plane of cauchy criterion, some abnormal integral parameter uniform convergence of cauchy criterion and summarized and proof, and through a lot of sample reflected their status and role. Cauchy convergence criteria is proved the convergence and spread the basic method and through this method also launched many simple method, thus the important position of cauchy criterion, this kind of method is obvious superiority of the characteristics of itself, through to judge whether to prove the convergence, and this will bring convenience to the standards for the following summary, and probes into some of the relationship between them.

【Key words】cauchy criterion, convergence, uniform convergence

目录

1 引言 (1)

2数列的柯西收敛准则 (1)

3函数极限存在的柯西准则 (2)

4级数收敛的柯西准则 (3)

4.1 级数的定义 (3)

4.2 级数收敛的柯西准则及其应用 (3)

5函数列一致收敛的柯西准则 (5)

5.1 函数列的定义 (5)

5.2 函数列的一致收敛及其应用 (5)

6函数项级数一致收敛的柯西准则 (7)

6.1 函数项级数定义 (7)

6.2 函数项级数的一致收敛 (7)

7含参量反常积分的一致收敛的柯西准则 (8)

7.1 含参量反常积分的定义................................................................................. .8

7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则 (8)

8 柯西准则在分析中的作用 (11)

8.1柯西收敛准则的一个新证明....................................................... . (11)

8.2单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明 (12)

8.3柯西准则在实数完备性理论中的作用 (13)

8.4用柯西准则判断敛散性的优越性 (13)

9参考文献 (14)

1 引言

柯西准则是数学分析的基础理论，贯穿于整个数学分析内容之中.在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念的，都有与内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大优点是不需要借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的特点，它具有整齐完美的形式，在分析中有很重要的理论价值．由于柯西准则的内容多，又分布在教材的不同地方，在学习时感到空洞，抓不住实质，更不能很好地应用它们，下面根据自己的学习经验，谈点体会．

2 数列的柯西准则

定理2.1 (柯西收敛准则) 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当,n m N >时有 n m a a ε-<. 例1 证明：任一无限十进小数120.n

a b

b b =的n 位不足近似(1,2,)n =所

组成的数列

112

12

22,,,

,101010

1010

10

n

n b b b b b b ++++ (1) 满足柯西条件(从而必收敛)，其中k b 为0,1,2,,9中的一个数，k=1,2，

.

证 记12

2

101010n

n n b b b a =

+++

.不妨设n m >,则有 1212101010m m n

n m m m n

b b b a a ++++-=+++ 11911

(1)101010m n m +--≤+++

1111

(1)101010m n m m

m -=-<<. 对任给的0ε>，取1

N ε

=，则对一切n m N >>有

n m a a ε-<. 这就证明了数列(1)满足柯西条件. 例2 已知1sin 2

n

n k k k

x ==∑

，求证lim n n x →∞

存在. 证明：设n m >，11sin 1

22

n

n

n m k k k m k m k x x =+=+-=≤∑∑