2017年度深圳一模理科数学

* *深圳市2017年高三年级第一次调研考试数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22,4,,6,8,B |9180A x x x ==-+≤，则AB =（ ）A ． {}2,4B ．{}4,6C ．{}6,8D ．{}2,82.若复数()12a ia R i+∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a = （ ）A ． 2B ． 3C ．-2D ．-33. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）A ．14 B ．12 C ．13 D ． 234.等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a b -=+，则ab= （ ）A ．-3B ． -1 C. 1 D ．35.直线():40l kx y k R ++=∈是圆22:4460C x y x y ++-+=的一条对称轴，过点()0,A k 作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为 （ ）ABC. D．6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为()02h h <<的平面截该几何体，则截面面积为 （ ）A ．4πB ．2h π C. ()22h π- D ．2(4)h π-7. 函数()21cos 21x x f x x +=-的图象大致是（ ）8.已知0,0a b c >><，下列不等关系中正确的是 （ ）A ．ac bc > B ．c c a b > C. ()()log log a b a c b c ->- D ．a ba cb c>-- 9. 执行如图所示的程序框图，若输入2017p =，则输出i 的值为（ ） A ． 335 B ．336 C. 337 D ．33810.已知F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，过点F 作E 的一条渐近线的垂线，垂足为P ， 线段PF 与E 相交于点Q ，记点Q 到E 的两条渐近线 的距离之积为2d ，若2FP d =，则该双曲线的离心率* *是（ ）AB ．2 C. 3 D ．4 11. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A BCD -，球O 与 该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截 面的面积为（ ） A ．83π B ．53π C. 43π D ．23π 12. 已知函数()2,0,x x f x x e e=≠为自然对数的底数，关于x0λ-=有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（ ）A ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()+∞ C. 2,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ D ．224,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知向量()()1,2,,3p q x ==，若p q ⊥，则||p q +＝ ．14. 51x ⎫-⎪⎭的二项展开式中，含x 的一次项的系数为 ．（用数字作答）15.若实数,x y 满足不等式组4023801x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，目标函数z kx y =-的最大值为12，最小值为0，则实数k = ．16.已知数列{}n a 满足()()2222n n na n a n n λ+-+=+，其中121,2a a ==，若1n n a a +<对*n N ∀∈恒成立，则实数λ的取值范围为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、，已知2sin cos a A a C =-． （1）求C ；（2）若c =ABC ∆的面积S 的最大值．* *18. 如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，设BD 与AC 相交于点G，2,AB BD AE EAD EAB ===∠=∠．（1）证明：平面ACEF ⊥平面ABCD ；（2）若AE 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角B EF D --的余弦值．19. 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元* * 的点80%，求,a b的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．20. 已成椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左右顶点分别为12A A、，上下顶点分别为21B B、，左右焦点分别为12F F、，其中长轴长为4，且圆2212:7O x y+=为菱形1122A B A B的内切圆．（1）求椭圆C的方程；（2）点(),0N n为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点2F在l上的射影为H，若1F HN∆的面积不小于2316n，求n的取值范围．* *21. 已知函数()ln ,f x x x e =为自然对数的底数． （1）求曲线()y f x =在2x e -=处的切线方程；（2）关于x 的不等式()()1f x x λ≥-在()0,+∞上恒成立，求实数λ的值； （3）关于x 的方程()f x a =有两个实根12,x x ，求证：21221x x a e --<++．* *请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P⎛⎝，其参数方程为cosx ayαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A B、，且OA OB⊥，求证：2211OA OB+为定值，并求出这个定值．23.选修4-5：不等式选讲已知()(),3f x x ag x x x=+=+-，记关于x的不等式()()f xg x<的解集为M．（1）若3a M-∈，求实数a的取值范围；（2）若[]1,1M-⊆，求实数a的取值范围．* *2017届深圳一模理试卷答案一、选择题1-5: BCBAC 6-10: DCDCB 11、12：DC二、填空题13. 14. -5 15. 3 16. [)0,+∞三、解答题17.解:（1）由已知及正弦定理可得2sin sin sin cos A C A A C =-， 在ABC ∆中，sin 0A >，∴2cosC C =-1cos 12C C -=，从而sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0C π<<，∴5666C πππ-<-<，∴62C ππ-=，∴23C π=； （2）解法：由（1）知23C π=，∴sin C =12sin 2S ab C =，∴S =，∵222cos 2a b c C ab+-=，∴223a b ab +=-，∵222a b ab +≥，∴1ab ≤（当且仅当1a b ==时等号成立），∴S =≤解法二：由正弦定理可知2sinA sin sin a b cB C===， ∵1sin 2S ab C =，∴sin S A B =，∴sin 3S A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴26S A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∵03A π<<，∴52666A πππ<+<， ∴当262A ππ+=，即6A π=时，S. 18.解：（1）证明：连接EG ，∵四边形ABCD 为菱形， ∵,,AD AB BD AC DG GB =⊥=，在EAD ∆和EAB ∆中， ,AD AB AE AE ==，EAD EAB ∠=∠， ∴EAD EAB ∆≅∆， ∴ED EB =，∴BD EG ⊥，∵ACEG G =，∴BD ⊥平面ACFE ，* *∵BD ⊂平面ABCD ， ∴平面ACFE ⊥平面ABCD ；（2）解法一：过G 作EF 垂线，垂足为M ，连接,,MB MG MD ， 易得EAC ∠为AE 与面ABCD 所成的角， ∴060EAC ∠=， ∵,EF GM EF BD ⊥⊥， ∴EF ⊥平面BDM ，∴DMB ∠为二面角B EF D --的平面角，可求得3,2MG DM BM ===在DMB ∆中由余弦定理可得：5cos 13BMD ∠=，∴二面角B EF D --的余弦值为513；解法二：如图，在平面ABCD 内，过G 作AC 的垂线，交EF 于M 点， 由（1）可知，平面ACFE ⊥平面ABCD ， ∴MG ⊥平面ABCD ，∴直线,,GM GA GB 两两互相垂直，分别GA GB GM 、、为,,x y z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，易得EAC ∠为AE 与平面ABCD 所成的角，∴060EAC ∠=， 则()()330,1,0,0,1,0,E ,22D B F ⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭， ()333323,0,0,,1,,,1,22FE BE DE ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎭， 设平面BEF的一个法向量为(),,n x y z =，则0n FE =且0n BE =，∴0x =302x y z -+= 取2z =，可得平面BEF 的一个法向量为()0,3,2n =， 同理可求得平面DEF 的一个法向量为()0,3,2m =-， ∴5cos ,13n m =， ∴二面角B EF D --的余弦值为513． 19.解析：（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-， 当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-，* *所以y 与x 之间的函数解析式为：0.5,02000.860,200400140,400x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩；（2）由（1）可知：当260y =时，400x =，则()4000.80P x ≤=， 结合频率分布直方图可知：0.121000.30.81000.050.2b a +⨯+=⎧⎨+=⎩，∴0.0015,0.0020a b ==；（3）由题意可知X 可取50，150，250，350，450，550. 当50x =时，0.55025y =⨯=，∴()250.1P y ==， 当150x =时，0.515075y =⨯=，∴()750.2P y ==，当250x =时，0.52000.850140y =⨯+⨯=，∴()1400.3P y ==， 当350x =时，0.52000.8150220y =⨯+⨯=，∴()2200.2P y ==，当450x =时，0.52000.8200 1.050310y =⨯+⨯+⨯=，∴()3100.15P y ==， 当550x =时，0.52000.8200 1.0150410y =⨯+⨯+⨯=，∴()4100.05P y ==， 故Y 的概率分布列为：所以随机变量X 的数学期望250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）由题意知24a =，所以2a =，所以()()()()12122,0,2,0,0,,0,A A B b B b --，则 直线22A B 的方程为12x yb+=，即220bx y b +-=， =，解得23b =， 故椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意，可设直线l 的方程为,0x my n m =+≠， 联立223412x my n x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()()222346340m y mny n +++-=，（*） 由直线l 与椭圆C 相切，得()()()2226433440mn m n∆=-⨯+-=，化简得22340m n -+=，设点(),H mt n t +，由（1）知()()121,0,1,0F F -，则()0111t mt n m -=-+-，解得()211m n t m -=-+， 所以1F HN ∆的面积()()()1222111112121F HNm n m n S n m m∆---=+=++， 代入22340m n -+=消去n化简得132F HN S m ∆=，所以()223333421616m n m ≥=+，解得223m ≤≤，即2449m ≤≤， 从而244493n -≤≤，又0n >4n ≤≤，故n 的取值范围为4⎤⎥⎦. 21.解（1）对函数()f x 求导得()1ln ln 1f x x xx x'=+=+，又2222ln 2f e e e e ----==-，∴曲线()y f x =在2x e -=处的切线方程为()()222y e x e ----=--，即2y x e -=--；（2）记()()()()1ln 1g x f x x x x x λλ=--=--，其中0x >， 由题意知()0g x ≥在()0,+∞上恒成立，下求函数()g x 的最小值， 对()g x 求导得()ln 1g x x λ'=+-， 令()0g x '=，得1x e λ-=，当x 变化时，()(),g x g x '变化情况列表如下：∴()()()()1111min 11g x g x g e e e e λλλλλλλ----===---=-极小， ∴10e λλ--≥， 记()1G eλλλ-=-，则()11G eλλ-'=-，令()0G λ'=，得1λ=．当λ变化时，()(),G G λλ'变化情况列表如下：∴()()()max 10G G G λλ===极大，故10e λλ--≤当且仅当1λ=时取等号， 又10e λλ--≥，从而得到1λ=； （3）先证()2f x x e -≥--，记()()()22ln h x f x x e x x x e --=---=++，则()ln 2h x x '=+， 令()0h x '=，得2x e -=，当x 变化时，()(),h x h x '变化情况列表如下：∴()()22222min ln 0h x h x h e e e e e -----===++=极小，()0h x ≥恒成立，即()2f x x e -≥--，记直线2,1y x e y x -=--=-分别与y a =交于()()12,,,x a x a ''，不妨设12x x <，则()22111a x ef x x e --'=--=≥--，从而11x x '<，当且仅当22a e -=-时取等号，由（2）知，()1f x x ≥-，则()22211a x f x x '=-=≥-， 从而22x x '≤，当且仅当0a =时取等号，故()()22122121121x x x x x x a a ea e--''-=-≤-=+---=++，* * 因等号成立的条件不能同时满足，故21221x x a e --<++．22.解：（1）将点P ⎛ ⎝代入曲线E的方程：1cos a αα-⎧=，解得23a =，所以曲线E 的普通方程为22132x y +=， 极坐标方程为22211cos sin 132ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，（2）不妨设点,A B 的极坐标分别为()1212,,,,0,02A B πρθρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，则()()2211222211cos sin 13211cos sin 13222ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩， 即22212222111cos sin 32111sin cos 32θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， ∴22121156ρρ+=， 即221156OA OB +=， 所以2211OA OB +为定值56．23.解：（1）依题意有：()233a a a -<--， 若32a ≥，则233a -<，∴332a ≤<， 若302a ≤<，则323a -<，∴302a <<， 若0a ≤，则()323a a a -<---，无解， 综上所述，a 的取值范围为()0,3； （2）由题意可知，当[]1,1x ∈-时，()()f x g x <恒成立， ∴3x a +<恒成立， 即33x a x --<<-，当[]1,1x ∈-时恒成立， ∴22a -<<．。