高中数学讲义微专题56 数列中的整数问题

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高中数学数列知识点解析(K12教育文档)

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高中数学第三章数列考试内容:数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,井能解决简单的实际问题．§03. 数列知识要点1. ⑴等差、等Array比数列：⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a （2≥n ） ③b kn a n +=（k n ,为常数）.⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )①注①：i. acb =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即acb =、b 、c 等比数列。

ii 。

acb =(ac ＞0)→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要.iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分。

数列中项数问题

Ć4
4，不合题意；
当 logĆo 4 时，即 6 o
时， o t Ć6 Ć 4 Ć logĆo
Ć4 6
4，不合题意；
当 logĆo 5 时，即 Ć o 6 时，
由 o t Ć6 Ć 4 Ć logĆo
Ć 4 Ć 49 49 ⺁ 4
此时， o t Ć6 Ć ⺁ 5 6.
而 o 5 时， o t Ć6 Ć 5 6.所以 o ⺁ 5 .
<0，故数列{
1 3

q 3q
}(
，即
时，
)为递减数列，
又当时，
，故无正整数 q 使得
成立．
解法 2：同上有，
，且数列{ }(
)为递减数列，
当时，
成立；当时，
，
因此，由
得，，此时
类型三否定性问题
典例 3 等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn，a1 1 2，S3 9 3 2 ．
t) 按某种顺序成等差数列，由于数列bn 是首项为
1 4
，公比
为
2 3
的等比数列，于是有 br
bs

bt
，则只有可能有 2bs

br
bt
成立
2
1 4

2 3
s 1

1 4

2 3
r 1

1 4

2 3
t 1
，即
2

2 3
s
（3）设
，试问是否存在正整数 p，q(其中 1<p<q)，使 b1，bp，bq 成等比数列？若存在，求出所
有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．

高中数学讲义第五章数列 (超级详细)

（2）这个数列的前 5 项是 2, 7, 10, 11, 10 ；（图象略）
（3）由函数 f (x) x2 8x 5 的单调性： (, 4) 是减区间， (4, ) 是增区间，
所以当 n 4 时， an 最小，即 a4 最小。
点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。
①
2[(b1 b2 ... bn bn1) (n 1)] (n 1)bn1.
②；
②－①，得 2(bn1 1) (n 1)bn1 nbn , 即 (n 1)bn1 nbn 2 0, ③
∴ nbn2 (n 1)bn1 2 0. ④
③－④，得 nbn2 2nbn1 nbn 0, 即
数列的比较简单的数列进行化归与转化． 4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等． 5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．
第 1 课数列的概念
【考点导读】 1．了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数； 2．理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；
∴ a1 an 60
（2）答案：2
因为前三项和为 12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝ S3 ＝4 3
又 a1·a2·a3＝48， ∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8，把 a1，a3 作为方程的两根且 a1＜a3， ∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴选 B. 点评：本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。

高中数学《数列的概念与简单表示法》文字素材1 新人教A版必修5

高中数学⑤2.1～2.3教材解读1．数列数列是按照一定次序排列的一列数，那么它必定有开头的数，有相继的第二个数，第三个数，L ，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每个序号也都对应于数列中的一个数．因此，数列可以看作是定义在正整数集*N （或它的有限子集{}123n L ，，，，）上的函数()f n 当自变量从1开始依次取正整数时，相对应的一列函数值(1)(2)(3)()f f f f n L L ，，，，，．通过用n a 代替()f n ，于是数列的一般形式常记为123n a a a a L L ，，，，，或简记为{}n a ，其中n a 表示数列{}n a 的通项．这里应注意的是：（1）{}n a 与n a 是不同的概念．{}n a 表示数列123n a a a a L L ，，，，，，而n a 表示的是这个数列的第n 项．（2）数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数列中各项的位置序号，它是自变量的值．如在数列{}n a 中，282a =，是数列的项数，8是数列的项．（3）数列与数集是不同的概念．数列和数集都是具有某些共同属性的数的全体．数列中数的有序性是数列定义的灵魂，而数集中的元素（数）是无序的．因此如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列．如，数列1，2，3与数列3，2，1是不同的数列，而集合{}{}123321=，，，，．2．数列的通项公式数列就是有规律的一列数，其内涵的本质属性就是确定这一列数的规律，这个规律通常是用通项公式()()n a f n n *=∈N 来表示的．当一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式()n a f n =来表示时，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．如果知道一个数列的通项公式，只要用具体的项数来代替函数关系式中的n ，就可以写出这个数列中的任意一项．不是所有的数列都有通项公式，正象不是所有的函数关系都能用解析式表示一样．有的数列即使有通项公式，它的形式也不一定是惟一的．有些数列，并没有给定它的构成规律，只给出有限的几项，那么根据这有限的几项归纳出来的“通项公式”便不是惟一的．3．数列的表示方法数列可以看作是以正整数集*N （或它的有限子集{}123n L ，，，，为定义域的函数()n a f n =）当自变量从小到大依次取值时，所对应的一列函数值．因此，可以说数列具有特殊的函数，所以从函数的观点看，数列的表示方法有以下三种：（1）解析法解析法可分为通项公式和递推公式两种，通项公式已在前面论述了，递推公式是利用数列前后项之间的关系给出数列的构成规律，那么通过知道数列中的一些项，就可以求出后面的项．递推公式也是给出数列的一种重要方法．有些数列，虽然它给出的是递推公式，但可以根据递推公式，求出它的前几项，进而归纳出它的通项公式．（2）列表法列表法――就是列出表格来表示数列{}n a 中n a 与n 的关系．例如数列1，3，5，7，L nL n a L（3）图象法在直角坐标系里，以n 和()f n 为点的坐标，即(())n f n ，，描出一些孤立的点，这些点的个数可以是无限的，也可以是有限的．切记不要把这些点连成线，因为此时的定义域是正整数集*N （或它的有限子集）而不是实数集R ．4．数列的分类（）有穷数列、无穷数列按数列的项数是有限还是无限来分类分为有穷数列和无穷数列．切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的项数再多，只要是有限项，那么它也是有穷数列．（）单调数列，摆动数列常数列按前后项之间的大小关系来分，从第二项起，每一项都不大于它的前一项的数列，称之为递减数列；每一项都不小于它的前一项的数列，称之为递增数列；若有些项大于后面的项，有些小于后面的项，称之为摆动数列；若数列里面的所有项均为同一个常数，则称之为常数列．递增数列和递减数列，称为单调数列．5．已知数列的前n 项和公式n S ，求数列的通项公式在已知n S ，求n a 时，我们可以利用1(2)n n n a S S n -=-≥，这里常常因为忽略了条件2n ≥而出错．由此求得n a 不一定就是它的通项公式，因此，必须要验证1n =时是否也成立，否则通项公式只能用11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩ ≥来表示．。

数列知识点总结及例题讲解

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。

是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。

与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐

数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。

前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比。

最新高一数学知识(必修5)专题精讲附解答：数列的概念与简单表示法

专题数列的概念与简单表示法【知识导图】【目标导航】1.理解数列的概念、表示、分类；2．理解数列的通项公式及其简单应用；3．能根据数列的前几项写出一个通项公式.4.理解递推公式的含义，能根据递推公式写出数列的前几项，并能归纳出数列的通项公式；5．体会递推公式是表示数列的一种方法.【重难点精讲】重点一、数列的概念按照一定顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数为这个数列的第一项，也叫做首项.排在第n位的数称作这个数列的第n项，记作a n.数列的一般形式为a1，a2，a3，…，a n…，简记为{a n}．注意：(1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．(2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位置．(3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n项．(4)数列的简记符号{a n}，不能理解为集合{a n}，其区别如下表：数列集合示例区别数列中的项是有序的，两组相同的数字，按照不同的顺序排列得到不同的数列集合中的元素是无序的如数列1,3,4与1,4,3是不同的数列，而集合{1,3,4}与{1,4,3}是相等集合数列中的项可以重复出现集合中的元素满足互异性，不能重复出现如数列1,1,1，…每项都是1，而集合则不可以重点二、数列的通项公式如果数列{a n}的第n项a n与项数n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做数列的通项公式.注意：①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数表达式，即a n＝f(n)．②已知数列的通项公式，依次用1,2,3，…去替代公式中的n，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，是第几项．③同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如2精确到1,0.1,0.01，…的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示．重点三、数列的分类：(1)按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.(2)按数列的每一项随序号的变化情况进行分类：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.即a n＋1>a n(n＝1,2,3…)．从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.即a n＋1<a n(n＝1,2,3…)．各项相等的数列叫做常数列．从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.重点四、如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，如a1＝1，a n＋1＝a n＋2就是数列{a n}的一个递推公式．重点五、给出递推公式及初始值的数列，例如：a n＋1＝a n＋a n－1，a1＝a2＝1，这样给出的数列是一个确定的数列，即递推公式也是给出数列的一种方法．【典题精练】考点1、数列的概念及分类例1．【2016-2017学年安徽六安一中高二上文周末检测】已知11nnan-=+，那么数列{}n a是（）A．递减数列B．递增数列C ．常数列D ．摆动数列【答案】B【解析】 122111n n a n n +-==-⇒++数列{}n a 是递增数列，故选B ．考点点睛：解答数列概念题要紧扣相关定义，观察数列的项数特征，确定是有穷数列还是无穷数列，观察项的特点、变化规律确定增减性、周期性，也可以借助函数的单调性判断数列的增减．考点2、已知数列的前几项，写出数列的一个通项公式例2．已知数列{}n a 中，()1111,21n n n a a a n a --==+…. （1）写出数列{}n a 的前5项.（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并验证所猜的通项公式满足所给的递推公式.【答案】（1）11a =；212a =，313a =，414a =，515a =.（2）猜想()*1n a n n=∈N ，验证见解析【解析】（1）11a =， 121112a a a ==+， 23211211312a a a ===++， 34311311413a a a ===++， 45411411514a a a ===++. （2）猜想()*1n a n n=∈N . 显然，当1n =时，11a =；当*2,n n ∈N …时，111n a n -=-， ∴ 111111111n n n a n a a n n ---===++-. 考点点睛：根据数列的前几项求其通项公式，一般通项公式不唯一，我们常常取其形式上较简便的一个即可．解答时，主要靠观察、分析、比较、归纳、联想、转化等方法．观察时特别注意：①各项的符号特征；②分式的分子、分母特征；③相邻项的变化规律(绝对值的增减)．处理方法常用的有：①化异为同(统一分子、或分母的结构形式)；②拆项；③用(－1)n 等表示符号规律；④与特殊数列(自然数、偶数、奇数、自然数的平方，2n 等)的联系．考点3、数列通项公式的应用例3．在数列{}n a 中，2293n a n n =-++.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？（2）求数列中的最大项.【答案】（1）是，10107a =-；（2）213a =【解析】（1）令22107,293107,291100n a n n n n =--++=---=，解得10n =或112n =-（舍去）.所以10107a =- （2）229105293248n a n n n ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，由于*n ∈N ，所以最大项为213a =考点点睛：判断某数是否为数列中的项的方法及步骤①将所给项代入通项公式中；②解关于n 的方程；③若n 为正整数，说明某数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项．考点4、求数列的最大(小)项的方法例4．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3n n 则数列{an}中的最大项为( )A ．89B ．23C ．6481D ．125243 【答案】A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1) n ＋1－n n ＝·n ，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.解法二＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.考点点睛：求数列{a n }的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤a n ＋1a n ≤a n －1来确定n ，求最大项可由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1a n ≥a n －1来确定n .若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项，若数列的项是正负交替出现的，求最大(或小)项，应在其正(或负)项中找．考点5、由数列的递推公式求项、归纳通项公式例5．已知无穷数列67,4,3,,,n n +⋯L （1）求这个数列的第10项.（2）5350是这个数列的第几项？（3）这个数列有多少个整数项？（4）是否有等于序号的13的项？如果有，求出这些项；如果没有，试说明理由.【答案】（1）85；（2）第100项；（3）4个；（4）有，62a =【解析】（1）将10n =代入6n n +，得第10项为1610，即85；（2）设65350n n +=，解得100n =，是第100项；（3）设6n k n +=，变形得61n k =-，k 可取的值有2，3，4，7，即有4个整数项；（4）设613n n n +=，解得3n =-（舍）或6n =，此时66626a +==，所有等于序号的13的项，且为62a = 考点点睛：由递推公式写出通项公式的步骤：(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)．(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式．(3)归纳总结写出一个通项公式．考点6、由递推公式求通项公式的方法(1)求形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的通项公式．(2)求形如a n ＋1＝f (n )a n 的通项公式．(3)已知数列{a n }，a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝na n ，求通项公式a n .例6．【湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期末】在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a =________．【答案】4951【解析】对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则1n n n a a +-=，211a a ∴-=，322a a -=，433a a -=，L ，1009999a a -=.上述等式全部相加得()1001991991239949502a a ⨯+-=++++==L ，因此，100149504951a a =+=，故答案为：4951.考点点睛：(1)求形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的通项公式．将原来的递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)．(2)求形如a n ＋1＝f (n )a n 的通项公式．将原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a n a n －1＝f (n －1)，累乘可得a n a 1＝f (1)f (2)…f (n －1)．。

高中数学数列知识点总结(精华版)知识分享

高中数学数列知识点总结（精华版）一、数列1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项 .⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项 a n与项数 n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集 ( 或它的有限子集 ) 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2. 通项公式：如果数列 a n 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示 , 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 a n f(n).3. 递推公式：如果已知数列 a n 的第一项(或前几项)，且任何一项 a n 与它的前一项 a n 1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即 a n f(a n 1) 或a n f(a n1,a n 2) ，那么这个式子叫做数列 a n 的递推公式. 如数列 a n 中， a 1 1,a n 2a n 1，其中 a n 2a n 1是数列 a n 的递推公式 .4. 数列的前 n 项和与通项的公式S 1(n 1) ① S n a 1 a 2 a n ； ② a n 1.n 1 2 n nS n S n1(n 2)5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法 .6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列 .① 递增数列 :对于任何 n N ,均有a n 1 a n . ② 递减数列 : 对于任何 n N , 均有 a n 1 a n . ③ 摆动数列 : 例如: 1,1, 1,1, 1, . ④ 常数数列 : 例如:6,6,6,6, ⋯⋯.⑤ 有界数列 :存在正数 M 使 a n M,n N .⑥ 无界数列:对于任何正数 M ,总有项a n 使得 a n M.n11、已知a n 2 n (n N * ) ，则在数列 { a n }的最大项为__(答： 1)；n 2 156 252、数列{a n }的通项为a n an，其中a,b 均为正数，则 a n 与a n1的大小关系bn 1为 ___(答： a n a n 1)；a 1 （0,1），由关系式 a n 1 f （a n ）得到的数列 {a n }满足 a n1 a n （n N*），则该函数的图象是（）（答： A ）1、等差数列的定义：如果数列 a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

高中数学_数列的概念及表示方法教学课件设计

1+2+3+ +100=?
1
堆放的钢管
4，5，6，7，8，9，10.
2
1. 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 2．正整数的倒数 1, 1 , 1 , 1 , 1
2345
3．1的正整数次幂：1, 1, 1, 1,… 4．无穷多个1排成一列数：1, 1, 1, 1,…
3.1 数列的概念与简单表示法 1、定义：按一定次序排列的一列数叫做数列
1
an1
(n
2, n N ).
答案：(1)an n2 2n 1
(2)an n
14
五、小结： 1．数列的有关概念 2．观察法求数列的通项公式 3.已知前n项和求通项公式 4.由递推公式求数列的通项公式
15
练作习作业业
P31 习题2.1A组；
16
如数列2可以记作
数列与函数
1 n
（1）数列的实质：从函数的观点看，数列可以
看作是一个定义域为正整数集（或它的有限
子集{1，2，…，n}）的函数f(n)，当自变量从
小到大依次取值时对应的一列函数值,
即 f(1),f(2),f(3),…f(n)…,通常用an代替f(n)。6
（2）．通项公式:an 与 n 之间的函数关系式通项公式即相应的函数解析式an=f(n).
(n 1) (n 2)
1.若Sn=n2－1，求an 2.若Sn=2n2－3n，求an
1.a)
2.an＝4n 5
13
例3
分别求出满足下列条件的数列的通项公式。
(1)a1 0, an1 an (2n 1（) n N );
(2)a1
1, an
n

高中数学竞赛讲义（五）──数列

⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⼀、基础知识定义1 数列，按顺序给出的⼀列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和⽆穷数列两种，数列{a n}的⼀般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。

其中a1叫做数列的⾸项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n表⽰{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。

若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a-q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B⾄少有⼀个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等⽐数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等⽐数列，q叫做公⽐。

定理3 等⽐数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等⽐数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等⽐中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。

定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 ⽆穷递缩等⽐数列，若等⽐数列{a n}的公⽐q满⾜|q|<1，则称之为⽆穷递增等⽐数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。

高中数学讲义微专题56--数列中的整数问题

微专题56 数列中的整数问题一、基础知识： 1、整数的基本性质：（1）整数的和，差，积仍为整数（2）整数的奇偶性：若()21n k k Z =+∈，则称n 为奇数；若()2n k k Z =∈，则称n 为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：① 奇数±奇数=偶数 ② 奇数±偶数=奇数 ③ 偶数±偶数=偶数 ④ 奇数⨯偶数=偶数 ⑤ 偶数⨯偶数=偶数 ⑥ 奇数⨯奇数=奇数（3）若,a b Z ∈，且a b <，则1a b ≤-（4）已知,,a b R a b ∈<，若n Z ∈，且(),n a b ∈，则n 只能取到有限多个整数（也有可能无解）（5）若aZ b∈，称a 能被b 整除，则有： ① b a ≤ ② b 为a 的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数 2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。

但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4）），例如：若(),2,5n N n ∈∈，则n 的取值只能是3,4。

所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。

（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。

（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。

通常的处理方式有两个：① 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：① 所解得变量非整数，或不符合已知范围 ② 等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前n 项和的项数，均为正整数。

高中数学数列讲义总结

知识清单1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。

说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩； ③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

数列中的整数问题典例精讲

数列中的整数问题典例精讲1.已知数列a n 的通项公式为a n =2n -7，若a m a m +1a m +2为数列a n 中的项，则m =思路：a m a m +1a m +2=2m -7 2m -5 2m -3，a n 中的项为大于等于-5(a 1=-5)的奇数，所以考虑将a m a m +1a m +2向奇数形式变形：2m -7 2m -5 2m -3=2m -3 -4 ⋅2m -3 -2 2m -3=2m -3 -6+82m -3=2m -9+82m -3，可得82m -3应该为大于等于4的偶数，所以82m -3=4或82m -3=8，解得m =52(舍)或m =2答案：m =22.已知等差数列a n 的公差d >0，设a n 的前n 项和为S n ,a 1=1,S 2⋅S 3=36(1)求a n 的通项公式(2)求m ,k m ,k ∈N ∗ 的值，使得a m +a m +1+⋯+a m +k =653.已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =12n 2+112n n ∈N ∗ (1)求数列a n 的通项公式(2)设f n =a n (n =2k -1,k ∈N ∗)3a n -13(n =2k ,k ∈N ∗) ，是否存在m ∈N ∗，使得f m +15 =5f m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由解：(1)S n =12n 2+112n ,S n -1=12n -1 2+112n -1 n ≥2 ∴a n =S n -S n -1=n +5n ≥2 ①∵a 1=S 1=12+112=6符合①∴a n =n +5(2)思路：f n 按照奇偶分段，所以要确定m +15,m 的奇偶。

观察可发现无论m 为何值，m +15,m 均为一奇一偶，所以只需要对m 的奇偶进行分类讨论，解出符合条件的m 即可解：f n =a n =n +5,n =2k -13a n -13=3n +2,n =2k 当m 为奇数时，m +15为偶数∴f m +15 =5f m ⇒3m +15 +2=5m +5解得：m =11当m 为偶数时，m +15为奇数∴f m +15 =5f m ⇒m +15 +5=53m +2解得：m =57(舍)综上所述：m =114.已知各项均为整数的数列a n 满足a 3=-1,a 7=4，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列(1)求数列a n 的通项公式(2)求出所有的正整数m ，使得a m +a m +1+a m +2=a m a m +1a m +2解：(1)设前6项的公差为d ，则a 5=a 3+2d =-1+2d ,a 6=a 3+4d =-1+4d∵a 5,a 6,a 7成等比数列，∴a 26=a 5⋅a 7⇒4d -1 2=42d -1解得：d =1∴n ≤6时，a n =a 3+n -3 d =n -4∴a 5=1,a 6=2，则q =2∴n >7时，a n =a 6⋅q n -6=2n -5∴a n =n -4,n ≤62n -5,n >7 (2)思路：由于数列a n 分为两部分，当n ≥5时，即为公比是2的等比数列，所以考虑对于数列的前几项可进行验证，n ≥5后成等比数列，从而可进行抽象的计算，看是否能够找到符合条件的m 。

[高一数学必修五数列学问点] 高一数学必修五数列

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生学习的重点，有哪些知识点要学习呢?下面是给大家带来的高一数学必 11，...)。
修五数列知识点，希望对你有帮助。
3.递推公式：如果数列{an}的第 n 项与它前一项或几项的关系可以用
高一数学必修五数列知识点
一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
1.数列的函数理解：
数列递推公式特点：
①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。
注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。
常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括
高一数学必修五数列练习
以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式，同
1、ABC 的三边 a，b，c 既成等比数列又成等差数列，则三
样数列也并非都有通项公式。
(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在
a6a5a7a548，则 S10 等于( )
课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，
A.1023 B.1024 C.511 D.512
以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
公差等于( )
解答问题完整、推理严密。
A.0 B.15 C.30 D.60
(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了
5、等差数列{an}中，a1，a2，a4 恰好成等比数列，则 a1 的值是( ) 自动化或半自动化的熟练程度。

高中数学数列讲义

[文档标题]授课教师：听课学生：2015-6-20Part I 基础达标一、数列数列的基本概念及性质● 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

● 通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a =1n（n N +∈）。

注意：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，n a =(1)n -=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩； ③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，1.4，1.41，1.414，……● 数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

●数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

●递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

江苏专版高三数学备考冲刺140分问题10数列中整数解问题含解析【精编】.doc

问题10数列中整数解问题一、考情分析数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,在高考中占有极其重要的地位．数列中整数解问题逐渐成为一个新的热点．本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨,以期给同学们的学习带帮助二、经验分享二元不定方程双变量的不定方程,在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解,方法较灵活,下面介绍3种常用的方法.方法1. 因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积,多项式分解为若干个因式的乘积,再由题意分类讨论求解.方法2. 利用整除性质：在二元不定方程中,当其中一个变量很好分离时,可分离变量后利用整除性质解决．方法3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围,再分别求解.如转化为型,利用()g n 的上界或下界估计()f m 的范围,通过解不等式得出m 的范围,再一一验证即可. 三、知识拓展 1、整数的基本性质：（1）整数的和,差,积仍为整数（2）整数的奇偶性：若,则称n 为奇数；若,则称n 为偶数,在加,减,乘法运算中,其结果有以下规律：① 奇数±奇数=偶数 ② 奇数±偶数=奇数 ③ 偶数±偶数=偶数 ④ 奇数⨯偶数=偶数 ⑤ 偶数⨯偶数=偶数 ⑥ 奇数⨯奇数=奇数（3）若,a b Z ∈,且a b <,则1a b ≤- （4）已知,若n Z ∈,且(),n a b ∈,则n 只能取到有限多个整数（也有可能无解）（5）若aZ b∈,称a 能被b 整除,则有： ① b a ≤② b 为a 的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集,均有一个最小的自然数 2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数,则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内,若要求得变量的值,通常要依赖方程,而不等式只能解得变量的范围.但是在整数范围内,除了方程,在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4））,例如：若,则n 的取值只能是3,4.所以在涉及求整数的值时,思路不要局限于寻找等量关系,构造不等关系依然可以求解.（2）整除问题：若表达式形式较为简单,可通过对常数进行因数分解,进而确定变量的取值；若表达式次数较高,则可以先利用二项式定理去掉高次的项,再进行处理.（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时,不定方程的解可能有有限多组解.通常的处理方式有两个： ① 通过对表达式进行因式分解,对另一侧的常数进行因数分解,进而将不定方程拆成多个方程的方程组,进而解出变量② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离,求出含变量函数的值域,进而将参数置于一个范围内,再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时,常见的矛盾有以下几点： ① 所解得变量非整数,或不符合已知范围 ② 等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起,其特征就是数列中项的序数,以及前n 项和的项数,均为正整数. 四、题型分析 (一) 利用整除性质【例1】已知数列{}n a 的通项公式为27n a n =-,若12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项,则m =____ 【解析】,{}n a 中的项为大于等于5-（15a =-）的奇数,所以考虑将12m m m a a a ++向奇数形式变形：,可得823m -应该为大于等于4的偶数,所以8423m =-或8823m =-,解得52m =（舍）或2m =【答案】2m=【点评】（1）本题的亮点在于对的变形,在有关整数的问题里,通常可对分式进行“分离常数”的变形,从而将复杂的分式简化,并能立刻找到需处理的部分.例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在823m-上.（2）本题对823m-的处理有多个角度,还可以从分母出发,观察到23m-应为奇数,而823Zm∈-,而8的奇因数只有1和1-,同样可确定m的值.【牛刀小试】【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】设数列的前项的和为且数列满足且对任意正整数都有成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）证明数列为等差数列.（3）令问是否存在正整数使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【解析】（1）因为数列的前项的和，所以当时，；当且时，，当时，上式也成立，所以数列的通项公式为.（2）证明：因为对任意正整数都有成等比数列，所以，即，所以，两式相除得，对任意正整数都有，即，当为奇数时，，所以，当为偶数时，，而，所以，所以.所以，所以数列为等差数列.(3)因为，所以，因此存在正整数，使得成等比数列，因为都是正整数，则，即时，对应的.所以存在或或使得成等比数列.(二) 不等式估值法【例2】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】定义：对于任意，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”．（1）己知()，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；（2）若数列为“回归数列”，，，且对于任意，均有成立．①求数列的通项公式；②求所有的正整数s，t，使得等式成立．【答案】（1）不是“回归数列”，说明见解析（2）①，②使得等式成立的所有的正整数s，的值是s＝1，t＝3【分析】（1）假设是“回归数列”，则对任意，总存在，使成立，列出方程即可求解。