12.2_三角形全等的判定(HL)
人教版八年级上册数学12.2三角形全等的判定第4课时用“HL”判定直角三角形全等课件
课后作业
➢ 从课后习题中选取 ➢ 完成练习册本课时的习题
归纳:两个三角形全等判定思路
已知条件
可选择的 判定方法
寻找条件
一边和 一 它的邻 边角 一
角
一边和
它的对
角
ASA SAS AAS AAS HL
找这条边的另一个邻角
找这个角的另一边
找这条边的对角 找另外任意一个角 看这个角是否是直角, 若是,找任意一条直角边
随堂演练
1. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中, ∠C′=∠C=90°,∠B′=∠A,AB = B′A′,则下列 结论正确的是( C )
方法总结
证明线段相等可通过证明三角形全 等解决,作为“HL”公理就是直角 三角形独有的判定方法.所以直角三 角形的判定方法最多,使用时应该 抓住“直角”这个隐含的已知条件.
归纳:两个三角形全等判定思路
已知条件 两边 两角
可选择的 判定方法
SSS SAS HL ASA
AAS
寻找条件
找第三边 找两边的夹角 看是否是直角三角形 找两角的夹边 找任意一角的对边
C
B
O
E
D
A
拓展延伸
如图,有一Rt△ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC =5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在线段AC 上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动 到AC上什么位置时Rt △ABC才能和Rt △APQ全等?
拓展延伸
【分析】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角, 由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角,因此 要分类讨论,以免漏解. (1)Rt△ABC≌Rt△QPA (2)Rt△ABC≌Rt△PQA
12.2 三角形全等的判定 (HL)
N
C'
A'
N
C'
A'
N
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角
形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.
解决问题
1. Rt△ABC与Rt△DEF的各边如图所示,那Rt△ABC 与Rt△DEF全等吗?为什么?
A
6cm
4cm
E C
4cm 6cm
F
B 注意:字母的对应位置。
D
2.如图,C是路段AB的中点,两人从C点同时出发,以相 同的速度沿两条直线行走,并同时到达D、E两地。 DA⊥AB,EB⊥AB ,D 、E与路段AB的距离相等吗? 为什么?
E
D
如图,AB ⊥ BE于B,DE⊥BE于E,
(1)若 A= D,AB=DE,
全等”)根据 ASA (用简写法).
A
B
C
F
E
则△ABC与△ DEF 全等 (填“全等”或“不 D
(2)若 A= D,BC=EF,则△ABC与△DEF 全等 (填“全等”
或“不全等”)根据
AAS
(用简写法).
(3)若AB=DE,BC=EF,则△ABC与△DEF 全等 (填“全 等”或“不全等”)根据 SAS (用简写法).
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.
2.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB 于E, DF⊥AC于F,且BE=CF. 求证:AD平分∠BAC。
A
E B D
F
C
3.已知:如图,已知AE是△ABC的高,D 为AC 上一点,AE交BD于点F,且FE=CE,BF=AC。 求证:BD⊥AC。
12.2三角形全等的判定(HL)
,使△ABC≌△DEF.全等的 ,使△ABC≌△DEF.全等的 ,使△ABC≌△DEF.全等的 ,使△ABC≌△DEF.全等的 ,使△ABC≌△DEF.全等的
小组交流:你们添加的条件都一样吗?同一个问题,大家都有哪些添加的方式?请 整理一下,做好展示的准备. ㈡思考:通过上面的练习,你能发现判定两个直角三角形全等时,除直角外,其他 要满足的条件有一定的规律吗?有的话,规律是什么? 小结:
A1
A
BC B ' C ' ∵ AB
∴Rt△ABC≌Rt△ ﹙ ﹚
C B C1 B1
2、课本 43 页方框中的练习 1 统一读题,审题,后独立完成书写过程.(学生板演) 3、板演后,集体检查,纠错,评价. 四、小结与作业 五、教后反思:
奋斗的青春很美很美,拼搏的时光最真最真
2
奋斗的青春很美很美,拼搏的时光最真最真
1
延安市实验中学 2014—2015 学年度第一学期初二数学导学案
二、探究案
问题:如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等,这两个直角三角形 全等吗? 我们应该经历(1) ,(2) ,(3)观察是否能够完全 ,的 探索过程. (1)画图:(学生板演) 已知:如图Rt△ABC,∠C =90°, 求作:Rt△ A ' B ' C ' , 使 C ' =90°, A ' B ' =AB, B ' C ' =BC 作法:
三、训练案
1、阅读课本 42 页例 1.回答: (1)应用 HL 判定三角形的书写过程与前面学习的四种方法的书写有何不同? ①需强调 , ②大括号里的条件 . (2)应用 HL 判定三角形的书写过程与前面学习的四种方法的书写有何相同? 小结:用数学语言表述 HL 的判定过程: 如图,在 Rt△ABC 和 Rt A ' B ' C二数学导学案
12.2 三角形全等的判定(HL)
12.2 三角形全等的判定(HL)教学目标1.知识与技能在操作、比较中理解直角三角形全等的过程,并能用于解决实际问题。
2.过程与方法经历探索直角三角形全等判定的过程,掌握数学方法,提高合情推理的能力。
3.情感、态度与价值观培养几何推理意识,激发学生求知欲,感悟几何思维的内涵。
教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学方法采用启发诱导,实例探究,讲练结合,小组合作等方法。
教学准备全等三角形纸片、三角板、教学过程一、提出问题,复习旧知1、判定两个三角形全等的方法:、、、2、如图,Rt△ABC中,直角边是、,斜边是3、如图,AB⊥BE于C,DE⊥BE于E,(1)若∠A=∠D,AB=DE,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)(2)若∠A=∠D,BC=EF,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)(3)若AB=DE,BC=EF,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)二、创设情境,导入新课如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.(播放课件)(1)你能帮他想个办法吗?(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?(1)[生]能有两种方法.第一种方法:用直尺量出斜边的长度,再用量角器量出其中一个锐角的大小,若它们对应相等,根据“AAS”可以证明两直角三角形是全等的.第二种方法:用直尺量出不被遮住的直角边长度,再用量角器量出其中一个锐角的大小,若它们对应相等,根据“ASA”或“AAS”,可以证明这两个直角三角形全等.可是,没有量角器,只有卷尺,那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角边边长,可是它们又不是“两边夹一角的关系”,所以我没法判定它们全等.[师]这位师傅量了斜边长和没遮住的直角边边长,发现它们对应相等,于是他判断这两个三角形全等.你相信吗?三、探究做一做:已知线段AB=5cm,BC=4cm和一个直角,利用尺规做一个直角三角形,使∠C=•90°,AB作为斜边.做好后,将△ABC剪下与同伴比较,看能发现什么规律?(学生自主完成后,与同伴交流作图心得,然后由一名同学口述作图方法.老师做多媒体课件演示,激发学习兴趣).作法:第一步:作∠MCN=90°.第二步:在射线CM 上截取CB=4cm .第三步:以B 为圆心,5cm 为半径画弧交射线CN 于点A .第四步:连结AB .就可以得到所想要的Rt △ABC .(如下图所示)将Rt △ABC 剪下,同一组的同学做的三角形叠在一起,发现这些三角形全等. 可以验证,对一般的直角三角形也有这样的规律.探究结果总结:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”和“HL ”).[师]你能用几种方法说明两个直角三角形全等呢?[生]直角三角形也是三角形,一般来说,可以用“定义、SSS 、SAS 、•ASA•、•AAS ”这五种方法,但它又具有特殊性,还可以用“HL ”的方法判定.[师]很好,两直角三角形中由于有直角相等的条件,所以判定两直角三角形全等只须找两个条件,但这两个条件中至少要有一个条件是一对对应边才行.四、例题:[例1]如图,AC ⊥BC ,BD ⊥AD ,AC=BD . 求证:BC=AD .分析:BC 和AD 分别在△ABC 和△ABD 中,所以只须证明△ABC ≌△BAD ,•就可以证明BC=AD 了.证明:∵AC ⊥BC ,BD ⊥AD∴∠D=∠C=90°在Rt △ABC 和Rt △BAD 中AB AB AC BD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL )∴BC=AD .[例2]有两个长度相等的滑梯,左边滑梯的高AC•与右边滑梯水平方向的长度DF 相等,两滑梯倾斜角∠ABC 和∠DFE 有什么关系?[师生共析]∠ABC 和∠DFE 分别在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,•已知条件中这两个三角形又有一些对应的等量关系,所以可以证明这两个三角形全等得到对应角相等,显然,可以看出这两个角不相等,它们又是直角三角形中的锐角,是不是互余呢?我们试试看.证明:在Rt △ABC 和Rt △DEF 中 又∵∠DEF+∠DFE=90°BC EF AC DF =⎧⎨=⎩∴∠ABC+∠DFE=90° 所以Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL ) ∴∠ABC=∠DEF即两滑梯的倾斜角∠ABC 与∠DFE 互余.五、课时小结至此,我们有六种判定三角形全等的方法:1.全等三角形的定义 2.边边边(SSS ) 3.边角边(SAS )4.角边角(ASA ) 5.角角边(A A S ) 6.HL (仅用在直角三角形中)六、布置作业课本P44页习题12.2中的第7,8七、板书设计12.2.4 三角形全等判定(4)一、复习导入二、尝试活动 探索新知三、应用新知 解决问题四、总结提高教学反思:。
12.2第4课时直角三角形全等的判定(HL)
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
2.如图 12-2-45 所示,P 是∠BAC 内一点,且点 P 到 AB,AC 的距离 PE,PF 相等,则直接得到 Rt△PEA≌Rt△PFA 的依据是( C )
A.AAS C.HL
B.ASA D.SSS
图 12-2-45
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF; (2)若∠CAE=30°,求∠ACF 的度数.
图 12-2-56
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
解:(1)证明:∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°. 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中,AAEB= =CCFB, , ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). (2)∵∠ABC=90°,AB=CB,∴∠BAC=45° ∵∠CAE=30°,∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-30°=15°. 由(1)知 Rt△ABE≌Rt△CBF, ∴∠BCF=∠BAE=15°, ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
14.如图 12-2-57,已知 AD,AF 分别是两个钝角三角形 ABC 和 ABE 的高,如果 AD=AF,AC=AE.求证:BC=BE.
图 12-2-57
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
证明:∵AD,AF 分别是两个钝角三角形 ABC 和 ABE 的高, ∴∠ADC=∠AFE=90°. 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中,AACD= =AAEF, , ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),∴CD=EF. 在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中,AABD= =AABF, ,∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL), ∴BD=BF,∴BD-CD=BF-EF, 即 BC=BE.
12.2直角三角形全等判定(4)(HL)
§12.2 直角三角形全等判定(4)(HL)教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程;2、掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单推理。
重点、难点重点:理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题教学过程一、导课回顾前面学过的判定两个三角形全等常用的方法:、、、对于特殊的三角形,两个直角三角形,如何判定它们全等,除了直角相等的条件,还要满足几个条件,•这两个直角三角形才能全等?本节课我们重点来学习“HL”二、新授知识1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.探索定理的证明过程:任意画一个Rt△ACB ,使∠C﹦90°,再画一个Rt△A′C′B′使∠C﹦∠C′,B′C′﹦BC,A′B′﹦AB(1)你能试着画出来吗?与小组交流一下.(2)把画好的Rt△A′C′B′放到Rt△ACB上,它们全等吗?你能发现什么规律?画法:画一个Rt △A ′B ′C ′,使B ′C ′=BC,AB=AB;1. 画∠MC ′N=90°。
2. 在射线C ′M 上取B ′C ′BC 。
3. 以B ′为圆心,AB 为半径画弧,交射线C ′N 于点A ′。
连接A ′B ′。
规律:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL ”)2、利用“HL ”证明直角三角形全等【例1】如课本图12.2─12,AC ⊥BC ,BD ⊥AD ,AC=BD ,求证BC=AD .【思路点拨】欲证BC=•AD ,•首先应寻找和这两条线段有关的三角形,•这里有△ABD 和△BAC ,△ADO 和△BCO ,O 为DB 、AC 的交点,经过条件的分析,△ABD 和△BAC•具备全等的条件.证明:∵AC ⊥BC ,BD ⊥BD ,∴∠C 与∠D 都是直角.在Rt △ABC 和Rt △BAD 中,AC=BD,AB=BA∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL ).∴BC=AD .【例2】如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系?【解析】在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,则⎩⎨⎧DF =AC EF,=BC ∴ Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL).∴∠ABC=∠DEF∵ ∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.答:∠ABC+∠DFE=90°随堂练习:1、判断题:(1)一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
人教版八年级上册12.2三角形全等的判定(HL)
第4课时
1.经历探索直角三角形全等条件的过程,体会利用操作、 归纳获得数学结论的过程; 2.掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际 问题; 3.在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中,能够进 行有条理的思考并进行简单的推理.
我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些?
方法二:测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐 角.(ASA)或(AAS)
A
C1
B1
C
B
A1
⑵ 如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜
边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角
三角形是全等的”.你相信他的结论吗?
下面让我们一起来验证这个结论.
任意画一个Rt△ACB ,使∠C﹦90°,再画一个 Rt△A′C′B′使∠C﹦∠C′,B′C′﹦BC,A′B′﹦AB (1)你能试着画出来吗?与小组交流一下. (2)把画好的Rt△A′C′B′放到Rt△ACB上,它们全等 吗?你能发现什么规律?
1、边边边(SSS) 2、边角边(SAS) 3、角边角(ASA) 4、角角边(AAS)
如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员 想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一 条直角边被花盆遮住无法测量.
A
C1
B1
C
B
A1
(1)你能帮他想个办法吗?
方法一:测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
A
E
F
C
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)
∴ ∠A=∠C
D
2. 如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一 端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离 相等吗?请说明你的理由.
12.2 三角形全等的判定(解析版)
12.2 三角形全等的判定1.理解和掌握边边边、边角边的方法判断三角形全等;2.理解和掌握角边角和角角边的方法判断三角形全等;3.理解和掌握直角三角形的判定方法。
一、判定方法一:边边边(SSS )1.边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边“或“SSS “)。
2.书写格式①先写出所要判定的两个三角形。
②列出条件:用大括号将两个三角形中相等的边分别写出。
③得出结论:两个三角形全等。
如下图,在△ABC 和 △A ′B ′C ′中,∵AB =A ′B ′,BC =B ′C ′,AC =A ′C ′,∴△ABC≅△A ′B ′C ′(SSS ).书写判定两个三角形全等的条件:在书写全等的过程中,等号左边表示同一个三角形的量,等号右边表示另一个三角形的量。
如上图,等号左边表示△ABC 的量,等号右边表示 △A ′B ′C ′的量。
3.作一个角等于已知角已知:∠AOB 。
求作: ∠A ′O ′B ′,使 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .作法:如上图所示,①以点O 为圆心、任意长为半径画弧,分别交 OA ,OB 于点 C ,D 。
②画一条射线( O ′A ′,以点 O ′为圆心、OC 长为半径画弧,交( O ′A ′于点 C ′.③以点C ′为圆心、CD 长为半径画弧,与上一步中所画的弧交于点 D ′.④过点。
D ′画射线 O ′B ′,则 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .题型一 利用SSS 直接证明三角形全等如图,已知AC DB =,要用“SSS ”判定ABC DCB @V V ,则只需添加一个适当的条件是_____.【答案】AB DC=【分析】根据全等三角形的判定:三边对应相等的两个三角形全等,即可.【详解】∵全等三角形的判定“SSS ”:三边对应相等的两个三角形全等,∴当ABC V 和DCB △中,AC DB BC BC AB DC =ìï=íï=î,∴()SSS ABC DCB @V V ,故答案为:AB DC =.【点睛】本题考查全等三角形的判定,解题的关键是掌握全等三角形的判定()SSS :三边对应相等的两个三角形全等.1.如图,已知AC DB =,要使得ABC DCB @V V ,根据“SSS ”的判定方法,需要再添加的一个条件是_______.【答案】AB DC=【分析】要使ABC DCB @V V ,由于BC 是公共边,若补充一组边相等,则可用SSS 判定其全等.【详解】解:添加AB DC =.在ABC V 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =ìï=íï=î,∴()ABC DCB SSS @△△,故答案为:AB DC =.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法;判定两个三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .添加时注意:AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键.2.如图,AB DC =,若要用“SSS ”证明ABC DCB △△≌,需要补充一个条件,这个条件是__________.【答案】AC BD=【分析】由图形可知BC 为公共边,则可再加一组边相等,可求得答案.【详解】解:∵AB DC =,BC CB =,∴可补充AC DB =,在ABC V 和DCB V 中,AB DC BC CB AC DB =ìï=íï=î,∴ABC V ≌()SSS DCB V ;故答案为:AC DB =.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.题型二 全等三角形的性质与SSS 综合如图,点E 、点F 在BD 上,且AB CD =,BF DE =,AE CF =,求证:AB CD ∥.【分析】根据全等三角形的判定得出ABE CDF △≌△,推出B D Ð=Ð,利用平行线的判定解答即可.【详解】证明:∵BF DE =,∴BE DF =,在ABE V 和CDF V 中,AB DC AE CF BE DF =ìï=íï=î,∴()SSS ABE CDF V V ≌,∴B D Ð=Ð,∴AB CD ∥.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是学会利用全等三角形解决问题,属于中考常考题型.1.已知:如图,RPQ D 中,RP RQ =,M 为PQ 的中点.求证:RM 平分PRQ Ð.【分析】先根据M 为PQ 的中点得出PM QM =,再由SSS 定理得出PRM QRM V V ≌,由全等三角形的性质即可得出结论.【详解】证明:M Q 为PQ 的中点(已知),PM QM \=,在RPM △和RQM V 中,RP RQ PM QM RM RM =ìï=íï=î,(SSS)RPM RQM \V V ≌,PRM QRM \Ð=Ð(两三角形全等,对应角相等)即RM 平分PRQ Ð.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键.2.已知如图,四边形ABCD 中,AB BC =,AD CD =,求证:A C Ð=Ð.【分析】连接BD ,已知两边对应相等,加之一个公共边BD ,则可利用SSS 判定ABD CBD ≌△△,根据全等三角形的对应角相等即可证得.【详解】证明:连接BD ,AB CB =Q ,BD BD =,AD CD =,SSS ABD CBD \≌()V V .A C \Ð=Ð.【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用,常用的判定方法有SSS ,SAS ,ASA ,HL 等.题型三 作一个角等于已知角如图:(1)在A Ð的内部利用尺规作CED A Ð=Ð(不写作法,保留作图痕迹)(2)判断直线DE AB 与的位置关系【分析】(1)根据作一个角等于已知角的方法在;A Ð的内部作CED A Ð=Ð,即可求解.(2)根据图形及平行线的判定定理可直接得到答案.【详解】(1)解:如图所示,在A Ð的内部作CED A Ð=Ð, 则CED Ð即为所求;(2)∵CED A ÐÐ=,∴DE AB ∥.故答案为:DE AB ∥.【点睛】本题主要考查角的尺规作图及平行线的判定,熟练掌握基本作图以及平行线的判定定理是解题的关键.1.如图,已知Ðb 和线段a ,求作ABC V ,使B b Ð=Ð,2,AB a BC a==【分析】先画射线BP ,以B 为圆心,a 为半径画弧,与射线BP 交于点D ,再画DA a =,再以b 的顶点为圆心,a 为半径画弧,交b 的两边分别为E ,F ,再以D 为圆心,EF 为半径画弧,交前弧于C ,再连接AC ,从而可得答案.【详解】解:如图,ABC V 即为所求;【点睛】本题考查的是作三角形,作一个角等于已知角,作一条线段等于已知线段,熟练掌握基本作图是解本题的关键.2.已知a Ð.求作CAB a Ð=Ð.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)【分析】按照作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可.【详解】解:如图,CAB Ð为所作.【点睛】本题主要考查了作与已知角相等的角的尺规作图,熟知相关作图方法是解题的关键.二、判定方法二:边角边(SAS )1.边角边:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边“或“SAS “)。
12.2 三角形全等的判定(5)HL
12.2 三角形全等的判定(5)HL【学习目标】1、理解直角三角形全等的判定方法“HL ”,并能灵活选择方法判定三角形全等; 2.通过独立思考、小组合作、展示质疑,体会探索数学结论的过程,发展合情推理能力; 3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
【学习过程】一、自主学习,复习思考(1)、判定两个三角形全等的方法: 、 、 、(2)、如图,Rt △ABC 中,直角边是 、 ,斜边是活动一 探索新知如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等,这两个直角三角形全等吗? (动手操作):已知线段a ,c (a<c) 和一个直角α, 利用尺规作一个Rt△ABC , 使∠C =∠α,AB=c ,CB= a .1、按步骤作图: a c ① 作∠MCN =∠α=90°. ② 在射线 CM 上截取线段CB=a .③ 以B 为圆心,c 为半径画弧,交射线CN 于点A .α ④ 连结AB .2、与同桌重叠比较,看所作的Rt△ABC 是否重合?3、从中你发现了什么?的两个直角三角形全等.(简称“斜边、直角边”或“HL ”) 活动二 巩固新知1.如图1,△ABC 中,AB=AC ,AD 是高,则△ADB 与△ADC (填“全等”或“不全等” ),根据 (用简写法). 2.判断两个直角三角形全等的条件不正确的是( ) A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等ABCDEF图13.如图2,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F ,DE ⊥BC 于E ,AB=DC ,BE=CF ,你认为AB 平行于CD 吗?说说你的理由.学以致用,当堂检测 1.判断题:(1)一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.( ) (2)一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等.( ) (3)两直角边对应相等的两个直角三角形全等.( ) (4)两边对应相等的两个直角三角形全等..( )(5)一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等.( )2.如图3,已知:△ABC 中,DF=FE ,BD=CE ,AF ⊥BC 于F ,则此图中全等三角形共有( ) A.5对 B. 4对 C. 3对 D.2对3.如图4,已知:在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AD=BD ,BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证:BF 是△ABC 中AC 边上的高.(提示:关键证明△ADC ≌△BDE )能力提升:如图1,E 、F 分别为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E 点,BF ⊥AC 于F 点,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于M 点。
人教版八年级上册1三角形全等的判定(HL)课件
B
检测固学—直角三角形判定方法的运用
如图,已知AB=CD,AE⊥BD, CF⊥BD,垂足分别为E、F,BF=DE。
求证:AB//CD
B、∠A =∠D,AB=DE (AAS) C、AC=DF,AB=DE(HL)
C
B
D
D、∠B =∠E,BC=EF (ASA)
F
E
精讲导学1—直角三角形的判定方法:
你能用几种方法判定两个直角三角 形全等?(蓝玉回答,红玉补充或评价)
一般三角形判定 全等的方法: ①定义
②SAS ③ASA ④AAS ⑤SSS
B
(3)∠DAB = ∠CBA ( AAS );
(4)∠DBA = ∠CAB ( AAS).
精讲导学3—直角三角形判定方法的运用
例2:如图,在△ABC 中, D是BC边的中点, DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F, BE =CF.
(1)图中有几对全等三角形?请列举; (2)选择一对你认为全等的三角形说明理
创 设 情 境 红玉回答 问题:如图,舞台背景的形状是两个直角三角 形,为了美观,工作人员想知道这两个直角三 角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边 被花盆遮住无法测量.你能帮工作人员想个办 法吗?
(1)如果用直尺和量角器两种工具,你能 解决这个问题吗?
(2)如果只用直尺,你能解决这个问题吗?
合作互学—探索“HL”判定方法
A
在Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中,
AB =A'B',
C
B
BC =B'C',
A'
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A 'B 'C '(HL)
C'
B'
精讲导学1—直角三角形的判定方法
如图,下面哪个选项可以直接用“HL”判定
12.2.4三角形全等的判定-HL(教案)
本节课将围绕这些核心素养目标进行教学设计,旨在提高学生的综合素养,为学生的终身发展奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
(1)掌握HL(斜边和直角边)判定法的条件:两个直角三角形,当斜边和直角边分别相等时,这两个三角形全等。
五、教学反思
在今天的教学中,我重点关注了三角形全等的判定-HL这一章节。通过引导学生们从日常生活出发,思考三角形全等的应用,我发现他们对这个概念产生了浓厚的兴趣。在讲授过程中,我尽量用简洁明了的语言解释HL判定法的原理,并结合具体案例进行分析,让学生能够更好地理解这一判定法的实际运用。
在实践活动中,学生们分组讨论并操作实验,我注意到他们在交流与合作中,对HL判定法的理解得到了加深。但同时,我也发现有些学生在运用HL判定法时仍然存在一些困难,比如容易混淆斜边和直角边的概念,或者在复杂图形中难以找到符合条件的关键信息。
2.提高学生的逻辑推理能力,让学生在运用HL判定法证明直角三角形全等的过程中,学会分析问题、解决问题,形成严谨的逻辑思维。
3.增强学生的数学建模能力,通过解决实际例子,培养学生将现实问题转化为数学模型的能力,并运用数学知识解决这些问题。
4.培养学生的数学运算能力,让学生在运用HL判定法解题时,熟练掌握相关运算,提高解题效率。
举例:在非直角三角形的情况下,学生可能会错误地尝试使用HL判定法。
(4)熟练运用HL判定法进行证明和计算。学生在证明过程中,可能会出现逻辑不严谨、步骤不完整等问题。
举例:在证明过程中,学生需要明确表述判定条件,并按照严谨的逻辑顺序进行证明。
为帮助学生突破难点,教师可以采取以下教学方法:
人教版数学八年级上册12.2三角形全等的判定HL优秀教学案例
4.教师组织小组展示成果,培养学生的表达能力和评价能力。
(四)总结归纳
1.教师引导学生总结HL判定法的判定条件、判定过程和应用注意事项。
2.教师通过提问、追问等方式,帮助学生巩固对HL判定法的理解。
3.教师总结本节课的学习内容,强调HL判定法在三角形全等问题中的重要性。
5.作业小结注重反馈:教师对学生的作业情况进行评价,及时给予反馈,促进学生的进步。同时,教师提醒学生按时完成作业,关注作业质量,并鼓励学生自我检查、相互交流,提高了学生的解题能力。
本节课通过以上五个方面的亮点,展现了教学活动的生动性和有效性。教师以学生为中心,注重启发式教学,激发学生的学习兴趣和求知欲,培养学生的思维能力、实践能力和创新能力。同时,教师关注学生的情感态度和价值观的培养,引导学生树立正确的数学学习观念。总之,本节课案例亮点纷呈,为学生的全面发展奠定了良好基础。
3.小组合作促进交流:教师将学生分成若干小组,鼓励学生相互讨论、交流,培养了学生的团队合作精神。小组合作的方式有助于提高学生的实践能力、表达能力和评价能力。
4.总结归纳提升理解:教师引导学生总结HL判定法的判定条件、判定过程和应用注意事项,帮助学生巩固对HL判定法的理解。通过总结归纳的方式,提高了学生对学习内容的掌握程度。
4.教师利用课堂总结环节,对学生的学习情况进行总结,提高学生的情感态度和价值观。
四、教学内容与过程
(一)导入新课
1.教师通过展示生活中实际的三角形图形,如自行车三角架、滑梯等,引导学生观察并思考:这些三角形之间有什么关系?
2.教师提出问题:“如何判断两个三角形是完全相同的呢?”引发学生对三角形全等问题的思考。
4.巩固学生已学的三角形基本性质、全等概念等基础知识,提高学生的综合运用能力。
12.2三角形全等的判定(HL)教案-2021-2022学年人教版八年级数学上册
3.提升问题解决能力:培养学生运用数学知识解决实际问题的能力,将HL定理应用于生活情境中,提高解决实际问题的能力。
4.培养数学抽象和模型构建能力:让学生从具体实例中抽象出数学规律,构建数学模型,并用其解释和解决实际问题。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了HL定理的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对三角形全等判定的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在解决实际问题中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
3.通过实际操作,让学生理解并掌握HL定理的应用。
4.结合生活实例,运用HL定理解决实际问题。
本节课的教学目标是让学生掌握直角三角形全等的判定方法,能够运用HL定理进行推理和解决问题。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力:通过HL定理的学习,让学生掌握直角三角形全等的判定方法,提高逻辑思维和推理能力。
5.增强合作交流意识:通过小组讨论和合作,培养学生团队协作能力,提高表达和交流水平。
三、教学难点与重点
1.教学重点
- HL定理的表述及其在直角三角形全等判定中的应用。
-掌握运用HL定理进行逻辑推理和证明的过程。
-将HL定理应用于解决际问题时,如何建立数学模型和进行问题转化。
举例:在教学过程中,重点讲解HL定理的内容,即当两个直角三角形的斜边和一直角边分别相等时,这两个三角形全等。通过动画、教具或实例,直观展示这一过程,使学生深刻理解HL定理的核心。
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求证:DA=EB。
课本43页练习1题
证明: ∵DA⊥AB,EB⊥AB, ∴∠A和∠B都是直角。
又∵C是AB的中点, ∴AC=BC
D A E B
∵C到D、E的速度、时间相同, C ∴DC=EC 在Rt△ACD和Rt△BCE中, AC=BC DC=EC ∴Rt△ACD≌ Rt △BCE(HL) ∴ DA=EB (全等三角形对应边相等)
(HL)
通过刚才的探索,发现工作人员 的做法 是完全正确的。
例:如图:AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD. D 求证:BC=AD.
(课本)
C
证明: ∵AC⊥BC,BD⊥AD, ∴∠C=∠D=900
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
A
B
AB=BA AC=BD ∴Rt△ABC≌ Rt △BAD (HL)
∠ DAB= ∠ CBA ( ∠ DBA= ∠ CAB (
A
B
巩固练习
如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证:BF=DE
B
A
E
F
C
D
变式训练1
如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证:BD平分EF
B
A
E
F G
C
D
变式训练2
如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
1.直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一 般三角形的判定全等的方法,而且还有直角三 角形特殊的判定方法----“HL” 2.两个直角三角形中,由于有直角相等的隐含 条件,所以只须找两个条件即可(两个条件中 至少有一个条件是一对对应边相等)
D
B
C
E
F
请你动手画一画
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画 一个Rt△A´B´C´,使得∠C´= 90°, B´C´=BC,A´B´= AB。
按照下面的步骤画一画 ⑴ 作∠MC´N=90°; B
A
⑵ 在射线C´M上取段B´C´=BC;
⑶ 以B´为圆心,AB为半径画弧,交 射线C´N于点A´; ⑷ 连接A´B´. 现象: 两个直角三角形能重合。 说明:
∴BC=AD(全等三角形对应边相等)
练习1:如图,C是路段AB的中点,两人从 C同时出发,以相同的速度分别沿两条直线 行走,并同时到达D,E两地,DA⊥AB, EB⊥AB,D、E与路段AB的距离相等吗? 为什么? D 实际问题 数学问题 CD 与CE 相等吗? A
①AC=BC ②CD=CE
C B
E
C N A A ´´
∟ ∟
´ M BB ´
C´ ´
三角形全等判定定理5
A A´
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 (简写为“斜边、直角边”或“HL”。)
∟
∟
B
C
B´
C´
几何语言: ∵在Rt △ABC和Rt△A´B´C´中 AB=A´B´ BC=B´C´ Rt △ABC ´B´C´ ∴ Rt ≌ Rt△ARt
练习2:如图,AB=CD,AE ⊥BC,DF ⊥BC,
CE=BF.求证AE=DF.
C ∵CE=BF ∴CE-EF=BF-EF 即CF=BE。
D
F
A
E
B
课本43页练习2题
练习2 如图,AB=CD,AE ⊥BC,DF ⊥BC,
CE=BF. 求证:AE=DF.
证明:∵ AE⊥BC,DF⊥BC ∴△ABE和△DCF都是直角三角形。 又∵CE=BF D C ∴CE-EF=BF-EF 即CF=BE。 F E 在Rt△ABE和Rt△DCF中 CF=BE AB=DC
A
A′
口答:
B
C
B′
C′
1.两个直角三角形中,斜边和一个锐角对应相等, 这两个直角三角形全等吗?为什么? 答:全等,根据AAS 2.两个直角三角形中,有一条直角边和一锐角对应相 等,这两个直角三角形全等吗?为什么? 答:全等,根据ASA
情境问题1:
舞台背景的形状是两个直角三角形,为 了美观,工作人员想知道这两个直角三角 形是否全等,但每个三角形都有一条直角 边被花盆遮住无法测量。
旧知回顾
我们学过的判定三角形全等的方法:
SSS SAS
ASA AAS
A
B
D
C
三边对应相等的两个三 角形全等。(简写成
“边边边”或“SSS”)
E F
A
两边和它们夹角对 应相等的两个三角 B 形全等。(简写成 “边角边”或“SAS”)
E
D
C
F
A
两角和它们的夹边 对应相等的两个三 B 角形全等。(简写成 “角边角”或“ASA”)
A B
Rt Rt ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL) ∴AE=DF
已知∠ACB =∠ADB=90,要证明 △ABC≌ △BAD,还需一个什么条件? 写出这些条件,并写出判定全等的理由。
( 1) AD=BC BD=AC (
( 2)
( 3) ( 4)
(
HL ) HL ) AAS ) AAS )
D C
你能帮工作人员想个办法吗?
A D
B
C
E
F
情境问题1:
A
∠B=∠F=Rt ∠
D
B
C
E
F
①若测得AB=DF,∠A=∠D, 则利用 A SA 可判定全等; 则利用 A AS 可判定全等; ②若测得AB=DF,∠C=∠E, 则利用 A AS 可判定全等; ③若测得AC=DE,∠C=∠E, ④若测得AC=DE,∠A=∠D, 则利用 A AS 可判定全等; ⑤若测得AC=DE,∠A=∠D,AB=DE, 则利用 S AS 可判定全等;
想想:BD平分EF吗?
B
E
A F G
C
D
联系实际 综合应用 如图,有两个长度相同的滑梯, 左边滑梯的高度AC与右边滑梯 水平方向的长度DF相等,两个滑 梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大 小有什么关系?
议一议
∠ABC+∠DFE=90°
解:在Rt△ABC和Rt△DEF中
BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°
情境问题2:
A D
B
C
E
F
工作人员只带了一条尺,能完成 这项任务吗?
情境问题2:
工作人员是这样做的,他分别测量了没有 被遮住的直角边和斜边, 发现它们对应相等, 对于两个直角三角形,若满足 于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。 一条直角边和一条斜边对应相等时, 你相信他的结论吗? 这两个直角三角形全等吗? A
E
D
C
F
A
两个角和其中一个角的 对边对应相等的两个三 角形全等。(简写成 B “角角边”或“AAS”)
E
D
C
F
思考:
B
A 如图,△ABC中,∠C =90°,
C
BC 、_____ AB 。 直角边是_____ AC ,斜边是______
我们把直角△ABC记作 Rt△ABC。
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对 直角三角形是否适用?