高中数学典型例题分析与解答：复合函数的导数

复合函数的导数

求分段函数的导数

例 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0

,00,1sin )(2x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x

x 1sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1sin lim )0()(lim

)0(0200===-='→∆→∆→∆x x x x x x f x f f x x x 当0≠x 时，x

x x x x x x x x x x x x x x f 1cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0

0x g x g x x →=，但如果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为)(lim )0(0

x f f x →='． 指出函数的复合关系

例 指出下列函数的复合关系．

1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ；

3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。

分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．

解：函数的复合关系分别是

1．n

m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,32

2+-===x x v v u y u ；

4．.1,sin ,3x

x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．

求函数的导数

例 求下列函数的导数．

1．43)1

2(x x x y +-=；2．2211

x y -=；

3．)32(sin 2π

+=x y ；4．21x x y +=。

分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数． 解：1．解法一：设43

,12u y x

x x u =+-=，则 ).116()12(4)116(42233223--+-=--⋅='⋅'='x x x x x x x u u y y x u x 解法二：'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='x x x x x x x x x y 121241233343 .116124223⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+

-=x x x x x 2．解法一：设221

21,x u u y -=='-，则 ()()

()()

.21)21(2 212 42121 4212223223223x

x x x

x x x x u u y y x u x ---=---=-⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-='⋅'='---＝

解法二：()'⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-212221211x x y ()

.21)21(2)

21(2)4()21(2121)21(2

1222322322

232x

x x x x x x x x --=-=-⋅--='-⋅--=--- 3．解法一：设32,sin ,2π

+===x v v u u y ，则

.324sin 2 232cos 32sin 2 2

cos 2⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅='⋅'⋅'='πππx x x v u v u y y x v u x 解法二：'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+='32sin 32sin 232sin 2πππx x x y .324sin 2 232cos 32sin 2 3232cos 32sin 2 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝

⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππx x x x x x 4．解法一：.1422x x x x y +=+=设4221,x x u u y +==，则

.1211)21(2 )42()(2

1 )42(2

122

2242332142321

x

x x x x x x x x x x x x x x x u u y y x u x ++=++=++=+⋅+=+⋅='⋅'='-- 解法二：)1(1)1(222'+++⋅'='+='x x x x x x y

.12111 2222

2x x x x x ++=+++=

说明：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导．

求复合函数的导数

例 求下列函数的导数（其中)(x f 是可导函数）

1．⎪⎭

⎫ ⎝⎛=x f y 1；2．).1(2+=x f y 分析：对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。先设出中间变量，再根据复合函数的导数运算法则进行求导运算。一般地，假设中间变量以直接可对所设变量求导，不需要再次假设，如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量。

解：1．解法一：设x

u u f y 1),(==，则 .111)(22⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅'='⋅'='x f x x u f u y y x u x 解法二：.111112⎪⎭⎫ ⎝⎛'-='⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'='⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛='x f x x x f x f y 2．解法一：设1,),(2+===x v v u u f y ，则

).1(1

21

121)1( 22

1)(222221

+'+=⋅+⋅+'=⋅⋅'='⋅'⋅'='-x f x x x x x x f x v u f v u y y x u u x 解法二：[])1()1()1(222'+⋅+'='+='x x f x f y

[]).

1(1.2)1()1()1()1(21)1(

222122221

22+'+=⋅+⋅+'='+⋅+⋅+=--x f x x

x x x f x x x f 说明：理解概念应准确全面，对抽象函数的概念认识不足，显示了一种思维上的惰性，导致判断复合