对数性凸函数的性质及应用解读

对数性凸函数的性质及应用王传坚(楚雄师范学院数学系2003级1班)指导老师郎开禄摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。

关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用.The research and application on some properties oflogarithmatic convex functionWang Chuanjian(Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000)Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function bystudying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic.Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application.导师评语：凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性质的一些应用.受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用.王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.对数性凸函数的性质及其应用前 言凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]中，引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用,受文[1]的启发,在文[1]的基础上,在本文中,我们获得了对数性凸函数的七个基本性质，并讨论了对数性凸函数性质的应用。

1.对数性凸函数的基本性质 1.1 凸函数的定义定义 [1]1 设()f x 在区间I 上有定义,如果对任意I x x ∈21,和所有实数)1,0(∈λ有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (1)成立，则称()f x 在区间I 上为下凸函数。

如果12x x ≠，（1）式严格不等式成立，则称()f x 在间区I 上为严格下凸函数。

若（1）式中不等号反向，则称()f x 在区间I 上为上凸函数。

1.2 对数性凸函数的定义定义 [1]2 设()f x 为区间I 上的正值函数，如果ln ()f x 在区间I 上为下凸函数，即对任意的I x x ∈21,和所有的实数(0,1)λ∈有1212ln ((1))ln ()(1)ln ()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (2)成立，则称()f x 在区间I 上为对数性下凸函数，如果对于12x x ≠，（2）式严格不等式成立，则称()f x 在区间I 上为严格对数性下凸函数。

若（2）式中不等号反向，则称()f x 在区间I 上为对数性上凸函数。

1.3 对数性凸函数的基本性质引理[1]若110,01,x y p q ≥≥+=且1,p >则1111p qx y x y p q≤+，其中等式成立当且仅当x y =.定理 [1]1 设()f x 为区间I 上的正值函数，则()f x 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对任意的I x x ∈21,和所有的实数(0,1)λ∈有11212((1))()()f x x f x f x λλλλ-+-≤⋅定理[1]2设()f x 为区间I 上的正值函数且二阶可导，则()f x 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对任意x I ∈有'''2()()(())f x f x f x ⋅≥性质 [1]1 如果函数12()()f x f x 和为区间I 上的对数性下凸函数，则12()()f x f x ⋅也为区间I 上的对数性下凸函数。

推论 [1]1 如果函数()(1,2,,)i f x i n = 为区间I 上的对数性下凸函数，则1()ni i f x =∏也为区间I 上的对数性下凸函数。

性质 [1]2 如果函数12()()f x f x 和为区间I 上的对数性下凸函数，则12()()f x f x +也为区间I 上的对数性下凸函数。

推论 [1]2 如果函数()(1,2,,)i f x i n = 为区间I 上的对数性下凸函数，则1()ni i f x =∑也为区间I 上的对数性下凸函数。

性质 [1]3 如果函数()f x 为区间I 上的对数性下凸函数，则1()f x 为区间I 上的对数性上凸函数。

性质 [1]4 设()f μ为定义在区间I 上的正值函数，():x A B A B ϕ→其中，为区间，()B I f μ⊆，若为区间I 上严格增的对数性下凸函数且()x μϕ=在A 区间上为下凸函数，则(())f x ϕ为区间A 上的对数性下凸函数。

性质 [1]5 如果一个正值函数()f x 在区间I 上为对数性下凸函数，则()x e f x α⋅对所有的α值是下凸函数。

性质 [1]6 如果任意的212,()((1))x x I f x x ϕααα∈=+-１的、为区间[0，1]上的对数性下凸函数，则()f x 是区间I 上的对数性下凸函数。

2. 对数性凸函数的七个性质推论 1 如果函数(),()f x g x 为区间I 上的对数性下凸函数，则(),()()f x f x g x ααβ+（,αβ为正实数）也为区间I 上的对数性下凸函数。

证明： 令()()h x f x α=，由于()f x 为对数性下凸函数故 11212((1))()()f x x fx f x λλλλ-+-≤⋅ 两边同乘以正实数α，则11212((1))()()f x x f x f x λλαλλα-+-≤⋅即(1)11212((1))()()f x x f x f x λλλλαλλα+--+-≤⋅⋅故11212((1))(())(())f x x f x f x λλαλλαα-+-≤⋅故由定理[1]1,()f x α为区间I 上的对数性下凸函数，同理()g x β也是区间I 上的对数性下凸函数。

又由性质[1]2有，()()f x g x αβ+为区间I 上的对数性下凸函数.推论 2 设()f x 和()x ϕ为区间I 上的正数,()()x x αϕαϕ=，1212()()()x x x x ϕαβϕαϕβ+=⋅(,)R αβ∀∈，若()f x 在I 上是对数性下凸函数，则()()x f x ϕ⋅是下凸函数。

证明：由于函数()f x 是对数性下凸函数，故对任意的I x x ∈21,和所有的实数(0,1)λ∈，由定理[1]1有11212((1))()()f x x f x f x λλλλ-+-≤⋅因为1121212((1))()((1))()()x x x x x x λλϕλλϕλϕλϕϕ-+-=⋅-=⋅所以112121212((1))((1)))()((1))()()x x f x x x x f x f x λλϕλλλλϕλϕλ-+-⋅+-≤⋅-⋅⋅=111212()()()()x x f x f x λλλλϕϕ--⋅⋅⋅=11122(()())(()())x f x x f x λλϕϕ-⋅⋅⋅所以,由引理[1]知11122(()())(()())x f x x f x λλϕϕ-⋅⋅⋅1122(()())(1)(()())x f x x f x λϕλϕ≤⋅+-⋅即12121122((1))((1))(()())(1)(()())x x f x x x f x x f x ϕλλλλλϕλϕ+-⋅+-≤⋅+-⋅ 所以,()()x f x ϕ⋅是下凸函数。

定理 3 若()f x 为区间I 上的正值函数，则以下三个条件等价：（1）.()f x 为区间I 上的对数性下凸函数；（2）.1,0,1(1,2,,)ni i ii x I i n λλ=∀∈≥==∑ ,有()11()inni iii i f x f x λλ==≤∑∏.（3）.,(1,2,,)i i x I i n λ∀∈= 是不全为零的非负实数，有121122112()()innn n i i n x x x f f x λλλλλλλλλλ+++=+++≤+++∏ .证明：（1）⇒（2） 用数学归纳法证明.（1）. 2n =时，由定义[1]2知结论成立.（2）.假设n=k 时，结论成立，即()11()ikk i iii i f x f x λλ==≤∑∏.当1n k =+时，令1(1,2,,)1ii k i n λαλ+==- ,则11111()()k ki i i i k k i i f x f x x λλλ+++===+∑∑11221111((1))1k kk k k k x x x f x λλλλλλ+++++++=-⋅+-11111221()()k k k k k f x x x f x λλααα++-+≤+++⋅11(1)11()()k i i ki k i fx fx λαλ++⋅-+=≤⋅∏11()ik i i fx λ+==∏即1n k =+时，结论也成立，因此由数学归纳法知，结论成立。

（2）⇒（3）令12,,1,2,,ii i nk k R i n k k k λ+=∈=+++ ，则可得到（3）（3）⇒（1）令2n =,由定义[1]2可知，()f x 为区间I 上的对数性下凸函数。

定理 4 设函数()f x 为区间I 上的对数性下凸函数，则函数()f x 在I 的任意闭子区间上有界。

证明：设[a,b]I ⊂为任意闭子区间 （Ⅰ）.下证()f x 在[a,b]I ⊂上有上界事实上，[,],[0,1],(1)x ax a b x b a b aλλλ-∀∈=∈=+--取则，因()f x 为区间I 上的对数性下凸函数,故由定理]1[，知11()((1))()()f x f b a f b f a M λλλλ-=+-≤⋅≤，其中1M max f f ={(a),(b)}（Ⅱ）.下证()f x 在[a,b]I ⊂上有下界 记2a b c +=为a,b 的中点,[a,b]x ∀∈,设x 关于c 的对称点是x '，则2x x c '+=. 因为()f x 为区间I 上的对数性下凸函数,故由定义[1]2,得12ln ()ln ()ln ()ln ()ln[()()]22x x f x f x f c f f x f x ''++'=≤= 所以 ,令2[ , ]a b M max f x ={|()|},则[a,b]x ∀∈，有12()[()()]f c f x f x '≤ ，2()()()f c f x f x '≤,22()()f c f x M ≤.故22()()f c f x M ≥, 所以()f x 在[a,b]有下界.定理 6 设()f x 为区间I 上的正值函数，则()f x 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对I 上任意三点321x x x <<，总有2312123112)()()()(x x x x x f x f x f x f --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛证明：必要性：123 x x x I ∀∈、、，记1323x x x x --=λ，则213(1)x x x λλ=+-，由于()f x 在区间I 上为对数性下凸函数，所以ln ()f x 为下凸函数，故 )()1()(ln ))1((ln )(ln 31312x f x f x x f x f λλλλ-+≤-+=3221133131ln ()ln ()x x x xf x f x x x x x --=+-- 故 )(ln )()(ln )()(ln )(312123213x f x x x f x x x f x x -+-≤-即 )(ln )(ln )(ln )(ln )(ln )(ln 313212132123x f x x f x x f x x f x x f x x f x -+-≤-)(ln )(ln )(ln )(ln 12132223x f x x f x x f x x f x +--)(ln )(ln )(ln )(ln 21312232x f x x f x x f x x f x +--≤ 整理，得))(ln )((ln ))(ln )((ln )(ln )()(ln )(231232123223x f x f x x f x f x x f x x x f x x ---≤---))(ln )()(ln ())(ln )()(ln (23121223x f x f x x x f x f x x --≤--即 2312123112)()()()(x x x x x f x f x f x f --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛充分性：在I 上任取)(,3131x x x x <，在],[31x x 上任取一点2x ，213(1),(0,1)x x x λλλ=+-∈，则1323x x x x --=λ 由于 2312123112)()()()(x x x x x f x f x f x f --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛故 2312123112)()(ln )()(ln x x x x x f x f x f x f --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-)()(ln 1)()(ln 123231212x f x f x x x f x f x x )(ln )(ln )(ln )(ln 12132223x f x x f x x f x x f x +--)(ln )(ln )(ln )(ln 21312232x f x x f x x f x x f x +--≤整理，得≤)(ln 2x f 3221133131ln ()ln ()x x x xf x f x x x x x --+--由于1323x x x x --=λ，故21311x x x x λ--=-，于是)()1()(ln ))1((ln )(ln 31312x f x f x x f x f λλλλ-+≤-+=所以()f x 为区间I 上为对数性下凸函数。