数值分析试卷十及参考答案
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试卷十A （闭卷）
一、填空题（共40分，每小题4分）
1.《计算方法》主要讲述的五部分内容为 。
2. 根据误差引起的因素，误差一般可以分为 四种。
3. 已知1415926.3=π…，取14159.3≈π，那么π具有的有效数字是 。
4. 若非线性方程0)(=x f 可以表成)(x x ϕ=，
用简单迭代法求根，那么)(x ϕ满足 ，近似根序列L L ,,,,21k x x x 一定收敛。
5. 取X (0)=(1，1，1)T 用Gauss-Seidel 方法求解方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++−=++=−+3
342525
4321
321321x x x x x x x x x 迭代一次所得结果为：X (1) = ( )T 。 6. 用列主元素消去法求解线性方程组
第二次所选择的主元素的值为 。
7. 运用梯形公式和Simpson 公式，计算积分
,10
3x d x ∫
其结果分别为 。
8.设方程0)(=x f 的有根区间为],[b a ，使用二分法时，误差限为≤−+*
1x
x k
)2
(1k
k k b a x +=
+其中。 ⎪⎩⎪
⎨⎧=++−=−+−=+−
615318
54321
321321x x x x x x x x x
9. 用改进的欧拉方法求解初值问题⎩⎨⎧=−−=′1
)1(3y x
y y y ，取步长2.0=h ，则≈)2.1(y 。
10. 由序列},,,,1{L L n
x x 正交化得到的Chebyshev 多项式的权函数为 ，区间
为 。
二、（15分）利用已知的离散数据点（2，4），（3，9），（5，25），分别
1. 给出Lagrange 二次插值多项式，并求)5.3(f 的近似值； （3分）
2. 给出均差意义下的Newton 二次插值多项式，并求)5.3(f 的近似值； （5分）
3. 给出离散数据的线性拟合多项式和均方误差，并求)5.3(f 的近似值。 （7分） 三、（15分）对于求积公式
)]()0([)]()0([2
)(20
h f f h h f f h
x d x f h ′−′++≈
∫
α （1）求待定参数α使得该求积公式代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度；（10分）
（2）用所求公式计算
∫
h
x d x 0
2的值。 （5分）
四、（10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组
⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛47222394018156189621569462424321x x x x
五、（10分）对非线性方程0)2()1()(3
=−−=x x x f （小数点后保留5位）。
1. 取9.00=x ，用牛顿迭代法计算21,x x ； （3分）
2. 取9.00=x ，用计算重根的牛顿迭代格式计算21,x x ； （3分）
3. 取9.00=x ，1.11=x ，用弦截法计算32,x x ； （4分）
六、（10分）用欧拉预—校公式求解初值问题100
)0(121'2
≤≤⎪⎩⎪⎨⎧
=+−
=x y x xy y
要求取步长5.0=h ，计算结果保留6位小数。
试卷十 B （开卷）
要求：用Mathematica 程序求解，三天内上交程序源代码以及运行结果。 1. （40分）求解微分方程x
e
x y 23''+=，并作出相应的积分曲线。
2．（30分）求解方程组 ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=++=++=++5
11tan cos sin 6z y e z y x z y x x 在点)3,2,1(P 附近的解。
3．（30分）已知)(x f 的函数表如下，求向前差分表，并写出Newton 向前插值公式。
试卷十参考答案 A （闭卷）
一、填空题
1. 插值与拟合，数值微积分，线性方程组的解法，非线性方程的解法，常微分方程数值解 2．模型误差，观测误差，舍入误差，截断误差 3．5
4．1)(' 5．1.25，-1.7，1.15或5/4, -17/10, 23/20 6．7/6 7．0.5 0.25 8．(b-a)/2k+1 9．0.71408 10． 2 11x − [-1,1] 二、（10分）利用已知的离散数据点（2，4），（3，9），（5，25），分别 1. 给出Lagrange 二次插值多项式，并求)5.3(f 的近似值； （3分） 2. 给出均差意义下的Newton 二次插值多项式，并求)5.3(f 的近似值； （5分） 3. 给出离散数据的线性拟合多项式和均方误差，并求)5.3(f 的近似值。 （7分） 解 1. 以插值点（2，4），（3，9），（5，25）代入插值公式，得 = )(x L ))(() )((20221x x x x x x x x −−−−)(0x f +))(())((210120x x x x x x x x −−−−)(1x f +) )(())((120210x x x x x x x x −−−−)(2x f = )52)(32()5)(3(−−−−x x )53)(23()5)(2(4−−−−+×x x 25) 35)(25() 3)(2(9×−−−−+×x x 2)3)(2(6 25 )5)(2(29)5)(3(34)(x x x x x x x x L =−−+−−−−−= 代入可得25.12)5.3()5.3(=≈L f 。 2. 做出插值点（2, 4）（3, 9）（5, 25）的差商表：