数值分析试卷十及参考答案

试卷十A （闭卷）一、填空题（共40分，每小题4分）1.《计算方法》主要讲述的五部分内容为 。

2. 根据误差引起的因素，误差一般可以分为 四种。

3. 已知1415926.3=π…，取14159.3≈π，那么π具有的有效数字是 。

4. 若非线性方程0)(=x f 可以表成)(x x ϕ=，用简单迭代法求根，那么)(x ϕ满足 ，近似根序列L L ,,,,21k x x x 一定收敛。

5. 取X (0)=(1，1，1)T 用Gauss-Seidel 方法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++−=++=−+33425254321321321x x x x x x x x x 迭代一次所得结果为：X (1) = ( )T 。

6. 用列主元素消去法求解线性方程组第二次所选择的主元素的值为 。

7. 运用梯形公式和Simpson 公式，计算积分,103x d x ∫其结果分别为 。

8.设方程0)(=x f 的有根区间为],[b a ，使用二分法时，误差限为≤−+*1xx k)2(1kk k b a x +=+其中。

⎪⎩⎪⎨⎧=++−=−+−=+−61531854321321321x x x x x x x x x9. 用改进的欧拉方法求解初值问题⎩⎨⎧=−−=′1)1(3y xy y y ，取步长2.0=h ，则≈)2.1(y 。

10. 由序列},,,,1{L L nx x 正交化得到的Chebyshev 多项式的权函数为 ，区间为 。

二、（15分）利用已知的离散数据点（2，4），（3，9），（5，25），分别1. 给出Lagrange 二次插值多项式，并求)5.3(f 的近似值； （3分）2. 给出均差意义下的Newton 二次插值多项式，并求)5.3(f 的近似值； （5分）3. 给出离散数据的线性拟合多项式和均方误差，并求)5.3(f 的近似值。

（7分） 三、（15分）对于求积公式)]()0([)]()0([2)(20h f f h h f f hx d x f h ′−′++≈∫α （1）求待定参数α使得该求积公式代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度；（10分）（2）用所求公式计算∫hx d x 02的值。

（5分）四、（10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛47222394018156189621569462424321x x x x五、（10分）对非线性方程0)2()1()(3=−−=x x x f （小数点后保留5位）。

1. 取9.00=x ，用牛顿迭代法计算21,x x ； （3分）2. 取9.00=x ，用计算重根的牛顿迭代格式计算21,x x ； （3分）3. 取9.00=x ，1.11=x ，用弦截法计算32,x x ； （4分）六、（10分）用欧拉预—校公式求解初值问题100)0(121'2≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=+−=x y x xy y要求取步长5.0=h ，计算结果保留6位小数。

试卷十 B （开卷）要求：用Mathematica 程序求解，三天内上交程序源代码以及运行结果。

1. （40分）求解微分方程xex y 23''+=，并作出相应的积分曲线。

2．（30分）求解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++511tan cos sin 6z y e z y x z y x x 在点)3,2,1(P 附近的解。

3．（30分）已知)(x f 的函数表如下，求向前差分表，并写出Newton 向前插值公式。

试卷十参考答案 A （闭卷）一、填空题1. 插值与拟合，数值微积分，线性方程组的解法，非线性方程的解法，常微分方程数值解 2．模型误差，观测误差，舍入误差，截断误差 3．54．1)('<x ϕ5．1.25，-1.7，1.15或5/4, -17/10, 23/20 6．7/67．0.5 0.25 8．(b-a)/2k+1 9．0.71408 10．211x− [-1,1]二、（10分）利用已知的离散数据点（2，4），（3，9），（5，25），分别1. 给出Lagrange 二次插值多项式，并求)5.3(f 的近似值； （3分）2. 给出均差意义下的Newton 二次插值多项式，并求)5.3(f 的近似值； （5分）3. 给出离散数据的线性拟合多项式和均方误差，并求)5.3(f 的近似值。

（7分） 解1. 以插值点（2，4），（3，9），（5，25）代入插值公式，得=)(x L ))(())((20221x x x x x x x x −−−−)(0x f +))(())((210120x x x x x x x x −−−−)(1x f +))(())((120210x x x x x x x x −−−−)(2x f=)52)(32()5)(3(−−−−x x )53)(23()5)(2(4−−−−+×x x 25)35)(25()3)(2(9×−−−−+×x x2)3)(2(625)5)(2(29)5)(3(34)(x x x x x x x x L =−−+−−−−−=代入可得25.12)5.3()5.3(=≈L f 。

2. 做出插值点（2, 4）（3, 9）（5, 25）的差商表：ii x ][i x f ],[1i i x x f − ],,[12i i i x x x f −−0 2 4 1 3 9 (9-4)/(3-2)=52 5 25 (25-9)/(5-2)=8 (8-5)/(5-2)=1))(](,,[)](,[][)(102100100x x x x x x x f x x x x f x f x N −−+−+=2)3)(2()2(54x x x x =−−+−+=代入可得25.12)5.3()5.3(=≈N f 。

3. 设拟合多项式为x a a x P 101)(+= 则由法方程A T AX ＝A T Y 可得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡259453211151312153211110a a整理可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡16038381010310a a 解之得：750,77810=−=a a 则x x P 750778)(1+−=，797)5.3()5.3(1=≈P f 。

均方误差为：571428.2])([22≈−=∑=i iiy x P R三、（10分）对于求积公式)]()0([)]()0([2)(20h f f h h f f hx d x f h′−′++≈∫α （1）求待定参数α使得该求积公式代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度；（10分）（2）用所求公式计算∫hx d x 02的值。

（5分）解：（1）求积公式中只含有一个待定参数α 当x x f ,1)(=时，有h hx d h=++=∫0]11[2102)11(]0[2220h h h h x d x h=−++=∫α故令2)(x x f =时求积公式精确成立，即]202[]0[22202h h h hx d x h−×++=∫α 解得121=α 将3)(x x f =代入上述确定的求积公式，有4223341]30[12]0[2h h h h h x d x h=−++=∫说明求积公式至少具有三次代数精度。

再令4)(x x f =，代入求积公式时有]40[12]0[23244h h h h x d x h−++≠∫因此所求求积公式具有三次代数精度。

(2)320231]202[121]0[2h h h h x d x h =−×++=∫四、（10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛47222394018156189621569462424321x x x x解：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==443433242322141312114342413231211111u u u u u u u u u u l l l l l lLU A （2分） 由矩阵的乘积可得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1633216242,1233121121U L （6分） 设Y Ux =，则原方程组可以化为b LY =，解之得TY )1,3,5,9(−=， （1分） 根据Y Ux =，可得TX )1,3,2,5.0(−= （1分） 五、（10分）对非线性方程0)2()1()(3=−−=x x x f （小数点后保留5位）。

1. 取9.00=x ，用牛顿迭代法计算21,x x ； （3分）2. 取9.00=x ，用计算重根的牛顿迭代格式计算21,x x ； （3分）3. 取9.00=x ，1.11=x ，用弦截法计算32,x x ； （4分） (1) 用牛顿迭代格式：)()(1k k k k x f x f x x ′−=+ （1分） 9.00=x93235.0034.00011.09.0)()(0001=−−=′−=x f x f x x （1分）95446.0014967.0000331.093235.0)()(1112=−−=′−=x f x f x x （1分） (2) 计算重根的牛顿迭代公式：)()(31k k k k x f x f x x ′−=+ （1分）9.00=x99706.0034.00011.039.0)()(30001=−×−=′−=x f x f x x （1分）999997.0014967.000033.0399706.0)()(31112=−×−=′−=x f x f x x （1分） (3) 用弦截法迭代格式：)()()()(111−−+−−−=k k k k k k k x x x f x f x f x x （2分）1.1,9.010==x x01000.1)()()()(0101112=−−−=x x x f x f x f x x （1分）00990.1)()()()(1212223=−−−=x x x f x f x f x x （1分）六、（10分）用欧拉预—校公式求解初值问题100)0(121'2≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=+−=x y x xy y要求取步长5.0=h ，计算结果保留6位小数。

解：欧拉预校公式为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++ )],(),([2 ),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y （3分） 将2121)(xxyx f +−=，5.0=h 带入上式，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−+−+=+−+=+++++ ]y ~1y 11[5.0 ) y 15.0(1n 211n 21n 21n n n n n n n n n n x x x x y y x x y y （3分） 由00=y 可得：400000.0)5.0(,500000.0~11=≈=y y y ； （2分） 635000.0)1(,74000.0~22=≈=y y y （2分）试卷十参考答案 B （开卷）1. （40分）Mathematica 程序：DSolve[y''[x] == 2x + Exp[x], y[x], x]运行得方程的通解为：21322)4212()(C x C x e x x x y x +++++−=g1 = Table[Plot[(-x/2+(1+2x)/4)E^(2x) + x^3/2 + c1 + x*c2, {x, -5, 5}, DisplayFunction -> Identity], {c1, -10, 10, 10}, {c2, -5, 5, 10}];Show[g1, DisplayFunction -> $DisplayFunction]积分曲线为：2．（30分）Clear[x,y,z,f]n=-2;FindRoot[If[n>= 0,Print[n," ",x," ",y," ",z]]; n++;{Sin[x]+Cos[y]+Tan[z]-1==0,Exp[x]+Sqrt[y]+1/z==5,x+y+z-6==0},{x,1},{y,2},{z,3},WorkingPrecision->20]//Timing n运行结果：n x y z0 1.26048 1.56351 3.176011 1.23416 1.56964 3.19622 1.23382 1.5696 3.196583 1.23382171709823618144 1.56959836042852440841 3.19657992247323941024 1.23382171709823460672 1.56959836042852419012 3.1965799224732412032{0.05 Second,{x -> 1.23382171709823460672,y -> 1.56959836042852419012,z -> 3.1965799224732412032}}该程序展示了用牛顿迭代法求解方程组具有20位有效数字的解的迭代次数以及迭代时间。