§6.3正态总体样本均值与样本方差的分布
63常用统计量的分布
§6.3常用统计量的分布一、样本均值的分布1、单个正态总体下的样本均值的分布2、两个正态总体下的样本均值的分布3、非正态总体下的样本均值的近似分布二、-分布1、分布定义2、分布的性质3、分布的典型模式4、分布的上α分位点2χ2χ2χ2χ2χ三、t-分布1、t 分布的定义2、t(n)的性质3、t(n)的典型模式4、t(n)分布的上α分位点四、F-分布1、F分布的定义2、F分布的性质3、F分布的典型模式4、F分布的上α分位点五、正态总体样本均值与样本方差的分布1、单个正态总体下样本均值与样本方差的分布2、两个正态总体下样本均值差与样本方差比的分布)2.3(1)(1)1()(1)(1)1()(,,,2,1,)(,)(,,,1)1.3(),(~11,,,,),,(1.31222121112212121212n n nX D n X n D X D n nX E n X n E X E n i X D X E X X X X nN X n X nX n X X X X X N X n i i n i i n i i n i i i i n ni i ni i n σσµµσµσµσµσµ=⋅====⋅========∑∑∑∑∑∑======于是有相互独立同分布，故与：由于注的正态分布，即，方差为服从均值为值的一个样本，则样本均为来自服从正态总体设总体定理本均值的分布、单个正态总体下的样一、样本均值的分布"""这点处。
望取值几乎集中在数学期时且当高的集中程度远比总体要的取值于即倍的方差的的方差却只是但有相同的数学期望与由上述可知注µµX n X nX X X X ,,,1,,:2∞→212(1,0.2),,,,,{0.9 1.1}0.95?n X N n X X X X P X n ≤<≥"例 设总体服从正态分布从中抽取容量为的样本欲使样本均值满足不等式试求样本容量最小应为取多大2110.2:~(1,)1.110.910.95{0.9 1.1}0.20.2()()2()1222ni i X X N nnP X n n n n n==⎛⎞⎛⎞−−≤≤<=Φ−Φ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=Φ−Φ−=Φ−∑解由题设知故0.951()0.975; 1.96,15.3664222,16n n n n +Φ≥=≥≥即查表得故因此样本容量最少应取。
6.3抽样分布定理
2． ．
σ σ
2 1
2 S12 S2 2 2
～ F ( n1 − 1, n2 − 1) .
σ 12
2 σ2
N ( µ1 − µ 2 , + ) 3. X − Y ～ n1 n2
10
证明
1．因为 ．
X ~ N ( µ1 ,
独立， 且 X 与Y 独立，则
σ
2
n1
) ，Y ~ N ( µ 2 ,
σ
2
n2
U V / ( n1 + n2 − 2)
( X −Y ) − (µ − µ ) ~ t (n + n =
1 2
Sω
1 1 + n1 n2
1
2
−2)
13
2．因为 ．
( n1 −1) S
σ12
2 1
( n2 − 1) S ~ χ ( n1 − 1)， 2
2
2 2
σ2
~ χ 2 ( n2 − 1)，
且它们相互独立，按 F 分布的定义即得 且它们相互独立，
2
1 n 1 n E ( X ) = ∑ E ( Xi ) = ∑ µ = µ n i =1 n i =1
1 n 1 n 2 σ2 D( X ) = 2 ∑ D ( X i ) = 2 ∑σ = n i =1 n i =1 n
于是
X ~ N (µ ,
X −µ σ/ n
σ2
n
)
从而
～ N (0,1)
( n1 − 1) S12 / ( n2 − 1) S
σ
2 2
σ
2 1
( n1 − 1)
2 2
/ ( n2 − 1)
=
正态总体的抽样分布
则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是
．
练习
设总体X的密度函数为 | x |, | x | <1 f ( x) 其他 0, X1 ,X 2 , Xn为取自X的一个样本:求
(1)E (X),D(X) (2)E(S )
2Hale Waihona Puke 练习设总体X~N(0,1),样本X 1 , X 2 ,
2
X6
2
(2) X 和 S 相互独立.
取不同值时 的分布
2
例题分析
定理 3
设
（与样本均值和样本方差有关
的一个分布） 的样本,
X1, X2 ,…, Xn 是取自正态总体
分别为样本均值和样本方差, 则有
且它们独立。 则由t-分布的定义：
当
4. 两个正态总体
（1） 若 X ~ N (μ1,σ12) ： X1，X2，…,Xn1
2 2
证：EX i 0, DX i 1, X i ~ N (0,1)
2 i 4 i 2 2 i n
n
EX 1,
2 i
DX EX ( EX ) 3 1 2, i 1, 2,
所以 E 2 E ( X i2 ) EX i2 n.
D 2 D( X i2 ) DX i2 2n.
设 X: 1. 2. 若 X~N（0，1），则 X1，X2，…，Xn
四大统计量
两个正态总体
Y ~ N (μ2,σ2 2) ： Y1，Y2，…,Yn2 ，它们相互独立，
（1） 若 X ~ N (μ1,σ12) ： X1，X2，…,Xn1
则
（2）
当σ12 =σ22 =σ2时，
（ 3）
《概率与数理统计》第06章 - 样本及抽样分布
(3)g( x1, x2 ,L xn )是统计量g(X1, X2 ,L Xn )的观察值
几个常见统计量
样本平均值
X
1 n
n i 1
Xi
它反映了 总体均值 的信息
样本方差
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
它反映了总体 方差的信息
n
1
1
n
X
2 i
i 1
nX
2
样本标准差
S
1 n
n
1
(
i 1
X
i
是来自总体的一个样本，则
(1) E( X ) E( X ) ,
(2) D( X ) D( X ) 2 n ,
n
(3) E(S 2 ) D( X ) 2
矩估计法的 理论根据
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则
(4) Ak
1 n
n i 1
Xik
p k
k 1, 2,L .
(3)证明：E(S2 )
定义 设X1 , X2 ,L , Xn是来自总体X的一个样本， g( X1 , X 2 ,L , X n )是X1 , X 2 ,L , X n的函数，若g 中不含未知参数，则g( X1 , X 2 ,L , X n )称是一 个统计量.
请注意 :
(1)X1, X2 ,L
X
是样本，也是随机变量
n
(2)统计量是随机变量的函数，故也是随机变量
1
e
(
xi 2
2
)2
2
n
( xi )2
1
e i1 2 2
n
2
第二节
抽样分布
第六章样本及样本函数的分布
∼ t(n −1). .
Sn
177
概率论与数理统计全程学习指导
∑ = ∑ 【评注】 10
1 统计量 σ 2
n
(X i
−
μ)2
和
i =1
(n −1)S2 σ2
1 σ2
n
(X i
−
X )2
的分布在自由度上是
i =1
∑ ∑ 1
有差别的，这是因为在 σ2
n
(X i
−
X )2
中有一个约束条件
X
i =1
=1 n
x(1) ≤ x(2) ≤
≤x (k)
，并假设
x( i )
出现的频数为
ni
，那么
x( i )
出现的频率为
i = 1, 2, , k, k ≤ n . 函数
fi
=
ni n
，
⎧ 0,
⎪
∑ Fn (x)
=
⎪ ⎨
i
fj,
⎪ j=1
⎪⎩ 1,
x < x(1),
x(i) ≤ x < x(i+1), i = 1, 2, , k −1, x ≥ x(k).
③ χ2 分布的性质
10 若 χ2 ∼ χ2 (n) ，则 E(χ2 ) = n ， D(χ2 ) = 2n ；
20
（可加性）若
χ
2
1
∼
χ2 (n1) ，
χ
2
2
∼
χ2 (n2 )
，且
χ
2
1
和
χ
2
2
相互独立，则
χ
2
1
+
χ
2
6-3正态总体样本均值和样本方差的分布
2 ( 2 ) 1 2 0 , 9 7 72 1 【注】 D(X Y ) D(X ) D(Y ) 3 3 1 ．
20 30 4
0．. 9 5 4 4
•7
§3 正态总体样本均值和样本方差的分布
（本节为第七章和第八章的基础）
内容： 单正态总体样本均值和样本方差的分布（重点讲授） 双正态总体样本均值和样本方差的分布（简单介绍）
•1
一、单正态总体样本均值和样本方差的分布
定理 3.1 设 (X1, X2,L , Xn ) 为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的
1) ．
•6
例 3.3 从总体 X ~ N(1,3) 中分别抽取容量为 20, 30 的两个 独立样本，求其样本均值差的绝对值小于1的概率．
解 设 两个 样本均 值分 别为 X 和 Y ， 由定 理 3.2⑴ ，可 得 X Y ~ N(0, 1) ，所以
4 P{ X Y 1} P{ X Y 2}
Xi
，样本方差为 S12
1 n1 1
n1 i1
(Xi
X )2
．
(Y1,Y2 ,L
,Yn2 ) 为来自总体Y
~
N
(2
,
2 2
)
的一个样本，样本均
值为Y
1 n2
n2
Yi ，样本方差为 S22
i 1
1 n2 1
n2 i1
(Yi
Y )2
，且
X1, X 2 ,L , X n1 与 Y1,Y2 ,L ,Yn2 相互独立．则
例 3.1 设 (X1, X2,L , X9 ) 为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的一个 样本，求 P{0.4656 X 0.9655}．
S
正态总体的抽样分布
2π −∞
−
3
x2 ∞−
x2
∫ xe 2 d (− ) = −
2π −∞
2
∫ 3
∞
x2 −
xde 2
=−
2π −∞
3 2π
⎛ x2 −
⎜⎜ xe 2 ⎝
+∞
⎞ ⎟⎟ ⎠ −∞
∫ ∫ + 3
x2 ∞−
e 2 dx =
3
x2 ∞−
e 2 d(
x
)=
3
2π −∞
π −∞
2
f
(x)
χ
2 n
分布分位点
对于给定的 α∈(0,1), 称满足条件
{ } ∫ α P
χ
2 n
>
χ
2 n
(α
)
∞
=
f (x)dx =
χn2 (α )
的点 χn2(α)为 χn2分布的上(右)α分位点。
χn2 分布上α 分位点有表可查见附表4。
n = 10 α
χ•210(0.005)
例如 由P215查得
P
(
χ
由度为n的F分布，F ~ Fm,n 又称：df1 = m, df2 = n.
其密度函数为：
f (x)
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
Γ
⎛ ⎜⎝
m
+ 2
Γ
⎛ ⎜ ⎝
m 2
⎞ ⎟ ⎠
Γ
0，
n⎞ ⎟⎠
⎛n⎞
⎛ ⎜⎝
m n
π
⎞2 ⎟ ⎠
x
π 2
−1
⎛⎜1
+
⎝
m n
数理统计几个重要定理
几个重要的抽样分布定理
数理统计
定理 1 (样本均值的分布) 设 X1, X2, …, Xn 是来自正态总体 的样本， X 是样本均值，则有
N ( , )
2
2 X ~ N ( , ) n
X 即 ~ N (0,1) n
数理统计
定理 2 (样本方差的分布) 设X1,X2,…,Xn是来自正态总体
X ~ t ( n 1) S n
数理统计
定理 4 (两总体样本均值差、样本方差比的分布) 且X与Y独立, 设X ~ N ( 1, 2 )，Y ~ N ( 2 , 2 )， X1,X2,…, X n是来自X的样本,Y1,Y2,…,Yn 是取自Y的样本, 1 2 X和Y 分别是这两个样本的 样本均值， S 2和S 2 分别是
2
N ( , ) 的样本,(1) ( n 1) S 2
(2)
2 2 X 与S 独立 .
~ 2 ( n 1)
数理统计
定理 3 (样本均值的分布) 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 的样本, 则有
2
N ( , )
2
X 和S 分别为样本均值和样本方差,
1 2
这两个样本的样本方差,则有
S 1、 ~ F ( n1 1, n2 1) S X Y ( 1 2 ) 2、 ~ t ( n1 n2 2) ( n1 1) S12 ( n2 1) S22 1 1 n1 n2 2 n1 n2
2 1 2 2 2 1 2 2
第3节 正态总体下的抽样分布定理
(4) X和S2相互独立.
数理统计
n取不同值时 (n 1)S 2 的分布
2
数理统计
n取不同值时样本均值 X 的分布
数理统计
推论 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N (, 2 )
的样本, 则有
X和S2 分别为样本均值和样本方差,
X ~ t(n 1)
Sn
X ~ N (0,1), / n
证
(1)
由定理2,
X
~
N (1
,
2 1
n1
)，
Y
~
N (2
,
2 2
n2
)，
且 X 与Y 相互独立，由正态分布的可加性,可得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
n1
2 2
)
.
n2
标准化,即得
U ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) .
2 1
2 2
n1 n2
10
数理统计
(2) 由定理2,
(n1
数理统计
第三节 正态总体下的抽样 分布定理
数理统计
定理1 设总体 X 的均值和方差均存在,EX ,
DX 2 ,对样本 ( X1, X2 ,, Xn ) 及其样本均值 X 和样本
方差 S2 ,
有 E(X) ,
2
D( X )
，
E(S2) 2
.
n
证 X1, X 2 ,, X n 相互独立,且与总体 X 同分布,故有
8
定理3
设两个正态总体 X
~
N
(
1
,
2 1
)
,Y
~
正态总体的均值和方差的假设检验课件PPT
(4)统 计 量 观 察 值 ： u(xy)/ 1 22 21301252.5
n 1 n 2 6080 30 40
( 5 ) |u | 2 .5 1 .9 6 , 拒 绝 原 假 设 H 0 .
0.42, 0.08, 0.12, 0.30 , 0.27
处理后: 0.15, 0.13, 0.00, 0.07, 0.24,
0.19, 0.04, 0.08, 0.20, 0.12 假定处理前后含脂率都服从正态分布,且相互独立, 方差相等.问处理前后含脂率的均值有无显著差异
（ = 0.05）?
解 以X表示物品在处理前的含脂率,Y表示物品在 处理后的含脂率,且 X ~ N ( μ 1 ,σ 1 2 )Y , ~ N ( μ 2 ,σ 2 2 )
1 假 H 0 : μ μ 0 设 , H 1 : μ μ 0 ; 2° 取检验统计量
T X0 ~t(n1);
Sn / n
(当H0为真)时
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
P |T | t /2 ( n 1 ) ,查表 t /2 ( n 1 可 ).
拒绝域： W1 = { (x1,x2,∙∙∙,xn)| |t | t /2 (n-1)}；
(4) 由样本值计算U的观测值为
ux800977080032.25;
40
40
(5)判断:由 |u|2.251.9,6故拒绝原假设H0,即
不能认为这批钢索的断裂强度为 800 Mpa .
2. σ2为未知 μ的 ，检 关 t检 验 于 验 （法）
设 X 1 ,X 2 ,,X n 是来自 N (μ ,正 σ 2)的 态 一 总 其μ 中 ,σ2未知，检 α， 验检 水 μ的 验 平 步为 骤
概率论与数理统计：6-3样本均值与样本方差的分布
n
m Xi
T
i 1
的概率分布。
nm
n
X
2 i
i n 1
解
由题设可知：X1
,
X
2
,
X
相互独立，且
nm
Xi N 0, 2 ,i 1, 2, , n m.
n
n
Xi
故
Xi ~ N (0, n 2 ),
i 1
则
i1 ~ N (0,1).
n
而
nm
i n 1
基本定理
定理 设随机变量X1, X 2 , , X n 相互独立,且
Xi ~ N ( i , i2 ) (i 1, 2, , n)
则它们的任一确定的线性函数
n
n
n
ci Xi ~ N ( cii ,
ci2
2 i
).
i 1
i 1
i 1
其中c1, c2 , , cn为不全为零的常数.
一、单个正态总体的抽样分布
第6.3节 样本均值与样本方差的分布
一、基本定理 二、例题
三、小结
既然统计量是依赖于样本的,而后者又是随 机变量,故统计量也是随机变量,因而就有一定的 分布.称这个分布为“抽样分布”.也即抽样分布就 是统计量的分布
抽样分布
精确抽样分布
渐近分布
(小样本问题中使用) (大样本问题中使用)
这一节, 我们来讨论正态总体的抽样分布.
例4 设 X ~ N 1, 12 , X1, X2,......Xn 是X 的一个样本
Y ~ N
2
,
2 2
, Y1,Y2,......Yn 是 Y的一个样本。
数理统计_北京理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
数理统计_北京理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.一个参数的矩估计是唯一的.参考答案:错误2.在假设检验中，【图片】表示原假设，【图片】表示备择假设，则称为第一类错误的是参考答案:为真，接受3.现有以下结论（1）泊松分布族【图片】是指数族. (2) 二项分布族{b(n,p),0参考答案:34.一项研究表明，司机在驾车时因为接打电话而发生交通事故的概率p超过15%，针对该问题提出如下原假设和备择假设H0：p<15%，H1:p≥15%.参考答案:错误5.设总体【图片】,其中【图片】未知，【图片】是从总体X中抽取的样本，在显著性水平【图片】下接受原假设【图片】，则当【图片】时，下列结论( )正确.参考答案:接受6.分别来自两个总体的两个样本，当样本容量充分大时，样本均值差的抽样分布近似服从正态分布.参考答案:正确7.假设总体服从泊松分布，从该总体抽取容量为200的样本，则样本均值近似服从正态分布.参考答案:正确8.假设检验中，α和β分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量给定时，下列说法正确的是( ).参考答案:α和β不能同时减小9.在假设检验中，当我们做出拒绝原假设时，表示原假设一定是错误的参考答案:错误10.在正态总体的假设检验中，能用“≥”代替拒绝域的表达式中的“>”.参考答案:正确11.在假设检验中，检验两个正态总体方差是否相等利用（）进行检验.参考答案:F 分布12.下列哪一个（）不成立参考答案:均匀分布族是指数族13.设总体【图片】，其中【图片】未知，【图片】已知，则【图片】的置信水平【图片】置信区间的区间长度L与【图片】的关系是【图片】越小，区间长度L越小.参考答案:正确14.相互独立正态随机变量的线性组合服从（）分布.参考答案:正态15.设总体【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，则样本二阶中心矩【图片】是总体方差【图片】的矩估计.参考答案:正确16.大样本性质和小样本性质的差别在于样本个数的多少.参考答案:错误17.设总体 X服从两点分布b(1,p)，其中0参考答案:错误18.设总体【图片】，其中【图片】未知，【图片】已知，则【图片】的置信水平【图片】置信区间的区间长度L与【图片】的关系是【图片】越小，区间长度L不变.参考答案:错误19.在假设检验中，如果我们相信原假设是真的，而犯第二类错误又不会造成太大的影响，此时，检验的显著性水平应该取（）.参考答案:小些20.设总体X服从正态分布【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，记【图片】，则【图片】的值与n有关.参考答案:正确21.对显著性水平为α的检验结果而言，犯第一类错误的概率( ).参考答案:不超过α22.检验单个正态总体方差所使用的分布是（）.参考答案:卡方分布23.在一个确定的假设检验问题中，如果拒绝域给定，与判断结果无关的因素是( ).参考答案:总体均值24.设总体X服从正态分布【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，记【图片】，则【图片】的值为【图片】.参考答案:错误25.设【图片】,【图片】则【图片】参考答案:正确26.设总体【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，则样本方差【图片】是总体方差【图片】的矩估计.参考答案:错误27.Neyman-Pearson提出了假设检验的一条原则，通常是在限制犯第一类错误概率的条件下，寻找犯第二类错误概率尽可能小的检验.参考答案:正确28.设总体【图片】,其中【图片】均未知，如果样本容量n和置信水平【图片】都不变，对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度( ).参考答案:不能确定29.设【图片】为来自总体X的简单随机样本，下面不成立的是（）.参考答案:总体X服从均匀分布,,则（）是充分完全统计量.30.在假设检验中，增大样本容量，可以使第一类和第二类错误的概率同时减小.参考答案:正确31.假设检验的基本原则通常是控制犯第一类错误的概率不超过α ，然后，尽可能的减少第二类错误的发生.参考答案:正确32.显著性水平α的选取，对拒绝和接受原假设H0没有影响.参考答案:错误33.自由度为n的χ2变量的概率密度函数曲线随着n的增大趋于对称.参考答案:正确34.上α分位数是α的单调（）函数.参考答案:减35.如果把置信水平从95%增加到97.5%，则置信水平为1-α的样本均值的置信区间的长度将（）.参考答案:增加36.设总体【图片】，其中【图片】未知，【图片】已知，则【图片】的置信水平【图片】置信区间的区间长度L与【图片】的关系是【图片】的大小与区间长度L无关.参考答案:错误37.对于非正态总体，在大样本条件下，求总体均值区间估计所使用的分布是（）.参考答案:正态分布38.设假设检验【图片】：新工艺不比旧工艺好，【图片】：新工艺比旧工艺好，则下列属于犯第二类错误的是（）.参考答案:新工艺较好，保留旧工艺39.t分布与标准正态分布的区别是t分布的密度函数图形是不对称的，标准正态分布的密度函数图形是对称的.参考答案:错误40.正态总体的样本均值和样本方差的关系是相互（）.参考答案:独立41.设总体【图片】，其中【图片】未知，【图片】已知，则【图片】的置信水平【图片】置信区间的区间长度L与【图片】的关系是【图片】越小，区间长度L越大.参考答案:错误42.设总体【图片】,其中【图片】未知，【图片】是从总体X中抽取的样本，为使得【图片】是【图片】的置信水平为95%的置信区间，则样本容量至少为( ).参考答案:6243.设总体【图片】,其中【图片】均未知，记【图片】,【图片】，则当【图片】的置信区间为【图片】时，其置信水平为（）.参考答案:0.9544.利用两个相互独立的小样本求两个正态总体均值之差的区间估计，当两个正态总体的方差未知但是相等时，所使用的分布是（）.参考答案:t分布45.设总体【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，记【图片】,【图片】，则（）成立.参考答案:S是的相合估计46.设总体【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，记【图片】,【图片】，则（）不成立.参考答案:是的无偏估计.47.设随机变量X和Y都服从标准正态分布, 下列结论中一定正确的是( ).参考答案:和都服从分布48.设总体【图片】,其中【图片】未知，【图片】是从总体X中抽取的样本，在显著性水平【图片】下拒绝原假设【图片】，则当【图片】时，下列结论( )正确.参考答案:拒绝49.利用两个相互独立的大样本求两个总体均值之差的区间估计，当两个总体的方差未知且不相等，样本容量也不相同时，所使用的分布是（）.参考答案:正态分布50.给定样本之后，降低置信水平会使得置信区间的长度（）.参考答案:减少51.设总体X服从正态分布【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，记【图片】，则【图片】的值为【图片】.参考答案:正确52.所谓小概率原理是指发生概率很小的随机事件，在试验中不可能发生.参考答案:错误53.在假设检验中，【图片】表示原假设，【图片】表示备择假设，则称为第二类错误的是参考答案:不真，接受54.设总体X服从正态分布【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，记【图片】，则【图片】的值与【图片】有关.参考答案:错误55.设总体【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，记【图片】,【图片】，则【图片】和【图片】分别是【图片】和【图片】的相合估计.参考答案:正确56.设总体【图片】，σ已知，问抽取容量n最少应为( )，才能使μ的置信水平为0.95的置信区间长度不超过k.参考答案:+1。
16几个常用的抽样分布与抽样分布定理
(s
0),
(s 1)
s (s) ,(12)
3
3．性质：
1）期望与方差
提示： 2
X
2 1
X
2 n
若 2 ~ 2(n)，则 E( 2)= n，D( 2)=2n
证明： 因为Xi～N(0, 1)
所以
E
(
X
2 i
)
D( Xi
) [E( Xi
)]2
1 0 1
D(
X
2 i
)
E
(
X
4 i
)
[
2 1
/
2 2
~
F (n1
1, n2
1)
29
定理2结论(3)
假定
2 1
2 2
2,
就有
t T ( X Y ) (1 2 ) ~ S 1 n1 1 n2
(n1 n2 2)
其中
S2
(n11)S12 (n2 1)S22 n1 n 2 2
即
( X Y ) (1 2 )
13
Ｔ 的概率密度为
(s) xs1e x d x (s 0),
0
f (t)
( n 1) 2
(1
t2
)
n1
2,
(12)
t
n ( n) n
2
14
2．基本性质：
(1) f ( t ) 关于 t = 0(纵轴)对称。
(2) f ( t ) 的极限为 N(0, 1) 的密度函数，即
lim f (t) (t)
标准化
定理1：设总体 X ~ N ( , 2 ) ，X1, X2,…, Xn 是
来自总体 X 的样本，
正态总体的常用抽样分布(2)
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1) ,
且 X 与 (n 1)S 2 相互独立，
2 /n
2
3
X / n
~
N (0, 1) ，(n 1)S 2 2
~
2 (n 1) ，
且
X 2/n
与
(
n
1)
2
S
2
相互独立，
由 t 分布的定义,
T X 2/n
(n 1)S 2
2 (n 1)
S
2 X
和
SY2
为各自的样本方差,
则
F
S
2 X
SY2
2 1
2 2
~
F (n1
1, n2
1) .
证
(n1
1)
S
2 X
2 1
~
2(n1
1)，(n2
1)SY2
2 2
~ 2(n2 1)，
且
S
2 X
与
SY2
相互独立,
由F分布的定义可得结论.
18
小结
样本均值
X
1 n
n i 1
Xi
样本方差
S2
(4) U ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
2 1
/
n1
2 2
/
n2
(5)
T
F
(X S
S
2 X
SY2
Y)
xy
（1
1
1
） 2~
t ( n1
n2
n1 n2
2
其
中
S
2 xy
(n1
1)S n1
1 2
概率论第六章
对有限总体，采用放回抽样所得到的样本为简单随 机样本。
当样本容量 n 与总体容量N 相比很小时, 可将无放 回抽样近似地看作放回抽样.(n/N<1/10)
对于无限总体，因抽取一个个体不影响它的分布， 所以总是用不放回抽样。
(X 1,X 2, ,X n)是 来 自 总 体 的 样 本 ,求 样 本 (X 1,X 2, ,X n)的 分 布 律 .
解 总体X的分布律P 为 {X x}px(1p )1 (x x 0, 1)
因 X 1 ,为 X 2 , ,X n 相互 ,且与X独 有相立 同的分 , 布
所 (X 以 1,X 2, ,X n)的分布律为
X 1 k ,X 2 k , ,X n k 独立 X k 同 且 分 与 布
E ( X 1 k ) E ( X 2 k ) E ( X n k ) k
由辛钦定理
A
k
1 n
n i 1
X
k i
P k , k
1, 2,
,
说明2
依概率收敛的序列性质知道 g为连续函数
g( A1, A2 ,, Ak ) P g(1, 2 ,, k )
10 i 1
( xi
x )2
390.0
9 10
s2
21
3. 经验分布函数(与总体分布函数F(x)相对应的统计量)
设 X 1 ,X 2 , ,X n 是 总 体 X 的 一 个 样 本 , 用 s (x ) , x 表 示 X 1 ,X 2 , ,X n 中 不 大 于 x 的 随 机 变 量 的 个 数 ,
基本概念: 个体 总体无有限限总总体体 样本 样本值 总体的分布 样本的分布
三大分布及正态总体统计量的分布
泊松分布在统计学中的应用
01
在计数数据分析和可靠性工程中，泊松分布在预测和解释随机 事件发生的频率方面非常有用。
02
在生物统计学中，泊松分布用于描述遗传变异和基因突变的频
率。
在物理学中，泊松分布用于描述放射性衰变和粒子碰撞的次数。
03
泊松分布的参数
λ
事件的平均发生率，决定了泊 松分布的形状和规模。
p
每次试验成功的概率，是一 个0到1之间的实数。
k
成功的次数，是一个0到n之 间的非负整数。
04
正态总体统计量的分布
样本均值的分布
1
样本均值是总体均值的无偏估计，其分布近似于 正态分布，当样本量足够大时，样本均值的分布具有对称性，即均值点是其对称 轴，标准差越小，分布越集中，对称性越好。
3
样本均值的标准误是衡量样本均值与总体均值差 异的指标，其计算公式为标准差除以样本量的平 方根。
样本方差的分布
01
样本方差是总体方差的估计量，其分布并不服从正 态分布，而是卡方分布。
02
样本方差的大小与样本量有关，样本量越大，方差 越小；样本量越小，方差越大。
03
样本方差的自由度等于样本量减去1。
二项分布在统计学中的应用
01
可靠性分析
在可靠性工程中，二项分布用于 描述产品在多次试验中失败的次 数。
遗传学
02
03
统计学
在遗传学中，二项分布用于描述 在n次独立重复的遗传试验中某 基因出现的次数。
在统计学中，二项分布用于描述 在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数。
二项分布的参数
n
试验次数，是一个非负整数 。
正态分布的性质
正态总体样本均值与样本方差的分布
~ 2(n 1);
(3) X 与 S 2 相互独立.
定理6.2 设 X1, X2 ,L , Xn 是来自正态总体 N (, 2 )
的样本, X 与 S2 是样本均值与样本方差, 则
X ~ t(n 1).
S/ n
证明
因为 X ~ N (0,1), / n
(n 1)S 2
S2
1 n1
n i 1
(Xi
X
)2
6.3.1 单个正态总体的情形
定理6.1 设 X1, X2 ,L , Xn 是来自正态总体 N (, 2 )
的样本, X 与 S2 是样本均值与样本方差, 则
(1)
X
~
N
,
2
n
或
X
n
~ N 0, 1;
(2)
(n 1)S 2
2 2
nm
(2)
S12 / S22
2 1
/
2 2
~ F(n 1, m 1);
(3)
当
2 1
2 2
2
时,
( X Y ) (1 2 ) ~ t(n m 2),
Sw
1 1 nm
其中
Sw2
(n 1)S12 (m 1)S22 , nm2
在概率统计问题中，正态分布占据着十分重
要的位置，这是因为许多量的概率分布或者是正
态分布，或者接近于正态分布，而且，正态分布
有许多优良性质，便于进行较深入的理论研究。
因此，我们着重来讨论一下正态总体下的抽样分
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X~
, X~
Sn
P X12X22X32 2.5
,Xn为X的样本,则 , .
X ~ t(n 1).
S/ n
证明 因为 X/n~N(0,1),(n12)S2~2(n1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
X / n
(n2(n1)S12)~t(n1).
6.3.2 两个正态总体的情形
定理6.3 设X1, X2, , Xn与Y1,Y2, ,Ym分别是来
§6.3 正态总体样本均值与样本方差的分布
单个正态总体的情形 两个正态总体的情形 小结 练习
在概率统计问题中，正态分布占据着十分重
要的位置，这是因为许多量的概率分布或者是正
态分布，或者接近于正态分布，而且，正态分布
有许多优良性质，便于进行较深入的理论研究。
因此，我们着重来讨论一下正态总体下的抽样分
S12/S22
12/22
~F(n1,m1);
(3)
当 12
Байду номын сангаас
2 2
2
时,
(X Y ) (1 2 ) ~ t(n m 2),
Sw
1 1 nm
其中
Sw2
(n 1)S12 (m 1)S22 nm2
,
Sw
Sw2 .
小结
两个重要定理
定理6.1
X
~
N
布，其中最重要的统计量自然是样本均值和样本
方差。
样本均值
X
1 n
n i1
Xi
样本方差 S2n11i n1(Xi X)2
6.3.1 单个正态总体的情形
定理6.1 设 X 1 ,X 2 , ,X n是 来 自 正 态 总 体 N (, 2 )
的 样 本 , X 与 S 2是 样 本 均 值 与 样 本 方 差 ,则
,
2
n
;
(n1)S2
2
~2(n1)
定理6.2
X ~ t(n 1)
S/ n
1.设总体X~N(1,22),X1,X2, ,Xn为X的样本,则
A. X1~N(0,1) B. X1~N(0,1)
2
4
X1
X1
C.
~N(0,1) D.
~ N(0,1)
2n
2
2.设总体X~N(0,1),X1,X2,
(1)
X
~
N
,
2
n
或X
n
~
N0,
1;
(2)
(n1)S2
2
~2(n1);
(3) X与 S2相 互 独 立 .
定理6.2 设 X 1 ,X 2 , ,X n是 来 自 正 态 总 体 N (, 2 )
的 样 本 , X 与 S 2是 样 本 均 值 与 样 本 方 差 ,则
自正态总体N(1,12), N(2,22)的样本,且这两个
样本互相独立,设X, S12 分别为X1, X2, , Xn的样 本均值和样本方差,Y, S22 分别为Y1,Y2, ,Ym的样 本均值和样本方差, 则
(1) (XY)(12) ~N(0,1); 12 22
nm
(2)