§6.3正态总体样本均值与样本方差的分布

X ~ t(n 1).
S/ n
证明 因为 X/n~N(0,1),(n12)S2~2(n1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
X / n
(n2(n1)S12)~t(n1).
6.3.2 两个正态总体的情形
定理6.3 设X1, X2, , Xn与Y1,Y2, ,Ym分别是来
(1)
X
~
N

,
2
n

或X


n
~
N0,
1;
(2)
(n1)S2
2
~2(n1);
(3) X与 S2相 互 独 立 .
定理6.2 设 X 1 ,X 2 , ,X n是 来 自 正 态 总 体 N (, 2 )
的 样 本 , X 与 S 2是 样 本 均 值 与 样 本 方 差 ,则
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,

2
n
;
(n1)S2
2
~2(n1)
定理6.2
X ~ t(n 1)
S/ n
1.设总体X~N(1,22),X1,X2, ,Xn为X的样本,则
A. X1~N(0,1) B. X1~N(0,1)
2
4
X1
X1
C.
~N(0,1) D.
~ N(0,1)
2n
2
2.设总体X~N(0,1),X1,X2,
X~
, X~
Sn
P X12X22X32 2.5
,Xn为X的样本,则 , .
§6.3 正态总体样本均值与样本方差的分布
单个正态总体的情形 两个正态总体的情形 小结 练习
在概率统计问题中，正态分布占据着十分重
要的位置，这是因为许多量的概率分布或者是正
态分布，或者接近于正态分布，而且，正态分布
有许多优良性质，便于进行较深入的理论研究。
因此，我们着重来讨论一下正态总体下的抽样分
布，其中最重要的统计量自然是样本均值和样本
方差。
样本均值
X

1 n
n i1
Xi
样本方差 S2n11i n1(Xi X)2
6.3.1 单个正态总体的情形
定理6.1 设 X 1 ,X 2 , ,X n是 来 自 正 态 总 体 N (, 2 )
的 样 本 , X 与 S 2是 样 本 均 值 与 样 本 方 差 ,则
S12/S22
12/22
~F(n1,m1);
(3)
当 12


2 2
2
时,
(X Y ) (1 2 ) ~ t(n m 2),
Sw
1 1 nm
其中
Sw2

(n 1)S12 (m 1)S22 nm2
,
Sw

Sw2 .
小结
两个重要定理
定理6.1
X
~
N

自正态总体N(1,12), N(2,22)的样本,且这两个
样本互相独立,设X, S12 分别为X1, X2, , Xn的样 本均值和样本方差,Y, S22 分别为Y1,Y2, ,Ym的样 本均值和样本方差, 则
(1) (XY)(12) ~N(0,1); 12 22
nm
(2)