奇偶性PPT教学课件

1．判断具体函数的奇偶性 例 1：判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x4－x12； (2)f(x)＝|x＋12－|－x22； (3)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2；
(4)f(x)＝(x－1)
1＋x 1－x.
思维突破：先考虑定义域．当定义域关于原点对称时，再
检验 f(x)与 f(－x)的关系．
2．判断抽象函数的奇偶性 例 2：设函数 y＝f(x)(x∈R)，若对任意实数 x1、x2，都有 f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)．求证：f(x)是奇函数． 思维突破：对没有给出解析式的抽象函数判断其奇偶性， 须利用定义，从 f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)推出 f(－x)＋f(x)＝f(0)． 证明：函数 f(x)的定义域是 R，关于原点对称． 令 x1＝x2＝0，由 f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0. 又 f(－x)＋f(x)＝f(－x＋x)＝f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)．∴函数 f(x)是奇函数．
利用定义判断函数奇偶性要注意如下几 点：①首先检验定义域是否关于原点对称，若否，则函数是非 奇非偶函数，若是，再判断 f(－x)与 f(x)或－f(x)的关系；②有些 函数必须在定义域内化简后才能判断；③要确定一个函数为非 奇非偶函数，举一个反例即可．
1－1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2|＋x| 1； (2)f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)； (3)f(x)＝ |x|－1＋ 1－|x|； (4)f(x)＝x4－3x3. 解：(1)函数 f(x)定义域是 R，关于原点对称． f(－x)＝－|－x2x＋| 1＝x2|＋x| 1＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．
(2)函数 f(x)定义域是 R，关于原点对称． f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a| ＝－(|x＋a|－|x－a|)＝－f(x)， 所以 f(x)是奇函数． (3)函数 f(x)的定义域是{－1,1}．在定义域内，f(x)＝0. 对 x∈{－1,1}，总有 f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)既是奇函数，也是偶函数． (4)函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称． ∵f(－1)＝(－1)4－3(－1)3＝4，f(1)＝1－3＝－2. ∴f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)． ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
解：(1)函数 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， 关于原点对称，
又 f(－x)＝(－x)4－－1x2＝x4－x12＝f(x)，
∴f(x)＝x4－x12是偶函数．
(2)函数 f(x)的定义域是[－1,0)∪(0,1]，
关于原点对称，且 x＋2>0，∴f(x)＝x＋12－－x22＝
1－x2 x.
3－2.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时， f(x)＝x(1＋ 3 x )，求 f(－8)．
解：由于函数是定义在 R 上的奇函数，因此对于任意的 x 都有 f(－x)＝－f(x)，即 f(x)＝－f(－x)．
f(－8)＝－f(8)，f(8)＝8×(1＋ 3 8 )＝8×(1＋2)＝24. ∴f(－8)＝－f(8)＝－24.
3－3.若函数 f(x)＝1k＋－k2·2xx(k 为常数)在定义域上为奇函数，
则 k 的值为( C ) A．1 C．±1
B．－1 D．0
3－4.已知函数 g(x)＝ax3＋bx2－c 是奇函数，且定义域为 (－1－a,2a－1)，求 a、b、c 的值．
解：∵g(x)为奇函数，∴定义域关于原点对称， ∴－1－a＋(2a－1)＝0， ∴a＝2，∴f(x)＝2x3＋bx2－c. ∵g(－x)＝－g(x)， 即－2x3＋bx2－c＝－2x3－bx2＋c. 2bx2－2c＝0，对一切 x∈(－3,3)恒成立． ∴2b＝0 且－2c＝0.∴b＝c＝0. 即 a＝2，b＝c＝0.
称性，可由函数图象在 y 轴一侧的情况得
到 y 轴另一侧的情况．
图1
2－1.f(x)为[－1,1]上的奇函数，且 f(x)在[0,1]上先增后减，
则 f(x)在[－1,0]上( A )
A．先减后增
B．先增后减
C．递增
D．递减
解析：奇函数在对称区间上单调性相同．
函数奇偶性的应用 1．求函数值 例 4：已知 f(x)＝ax3＋bx－8，且 f(－2)＝10，求 f(2)的值． 思维突破：易知 y＝ax3＋bx 为奇函数，可利用其奇偶性进 行整体代换求之． 解：令 g(x)＝ax3＋bx，则 g(x)为奇函数． ∴g(－x)＝－g(x)，g(－2)＝－g(2)． f(－2)＝g(－2)－8＝－g(2)－8＝10， 解得 g(2)＝－18. f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
奇偶函数的图象特征
例 3：f(x)为一偶函数，且当 x≥0 时，f(x)≥2，则当 x≤0
时( B ) A．f(x)≤2 C．f(x)≤－2
B．f(x)≥2 D．f(x)∈R
思维突破：利用偶函数图象的对称性分析．可画 f(x)的大致 图象如图 1，易知当 x≤0 时，有 f(x)≥2.
利用奇偶函数的对
6．奇函数在其对称区间上的单调性__相__同__；偶函数在其对 称区间上的单调性__相__反__．
重点 利用定义判断函数奇偶性 (1)求函数 f(x)的定义域； (2)判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点 对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对 称，则进行下一步； (3)结合函数 f(x)的定义域，化简函数 f(x)的解析式； (4)求 f(－x)；
3－1.f(x)、g(x)是定义在 R 上的偶函数，若 F(x)＝af(x)＋bg(x) ＋x，且 F(－2)＝5，则 F(2)＝__9_.
解析：∵f(x)、g(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=g(x)． F(-2)=af(-2)+bg(-2)-2=af(2)+bg(2)-2=5， ∴af(2)+bg(2)=7,F(2)=af(2)+bg(2)+2=7+2=9.
OH
OH
感知苯酚的物理性质
1.纯净的苯酚是无色晶体，具有特殊的气味 2.露置在空气中因发生氧化而显粉红色。 3.熔点较低，为43℃
问题探讨：
前面已经学过苯不溶于水，乙醇 极易溶于水，那么同时具有苯环 和羟基的苯酚的溶解性又如何呢？
实验探究一: 苯酚的溶解性
注意：应配置约1520ml苯酚溶液以供后 面的实验使用。
难点 奇偶性的函数图象的性质 (1)奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的 图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图象关于 y 轴对称；反过来，如果一个函数的 图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
(3)奇函数的图象如果与 y 轴有交点，那么交点一定是原点．
判断函数的奇偶性
正解：取函数 f(x)＝1－x1≥x1<1 ， 则 f(x)满足|f(x)|＝|f(－x)|，但不具有奇偶性， 故选 D.
我们走进医院的病房，也往往会闻 到这么一股特殊气味，你知道这是 什么物质的气味吗？
连州中学化学组 陈卫强
一、认识苯酚的分子结构
1．分子式： C6H6O
2．结构式： 3. 结构简式：
实验条件
现象
结论
取少量苯酚 置于小烧杯 中往其中加 蒸馏水 用试管取约 2ml上述苯酚 溶液进行加热
苯酚部分溶于 常温下苯酚溶 水，溶液浑浊 解度比较小
苯酚全部溶解， 苯酚溶解度受
溶液变澄清
温度影响较大
二、苯酚的物理性质
1.纯净的苯酚是无色晶体，具有特殊的气味 2.露置在空气中因发生氧化而显粉红色。 3.熔点较低，为43℃
(5)根据 f(－x)与 f(x)之间的关系，判断函数 f(x)的奇偶性： ①若 f(－x)＝－f(x)，则 f(x)是奇函数； ②若 f(－x)＝f(x)，则 f(x)是偶函数； ③若 f(－x)≠±f(x)，则 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数； ④若 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，则 f(x)既是奇函数，又是 偶函数．
例 6 ：若函数 f(x) 的定义域为 R 且|f(x)| ＝|f( －x)| ，则函数 f(x)( D )
A．必是奇函数 B．必是偶函数 C．或为奇函数，或为偶函数 D．不一定是奇函数，也不一定是偶函数
错因剖析：造成错解的原因是对函数奇偶性的定义理解不 透彻，因为由|f(x)|=|f(-x)|得到 f(x)=f(-x)或 f(x)=-f(-x)这两 个式子并不是对所有 x∈R 都成立．而定义中“f(－x)＝f(x)”和 “f(－x)=-f(x)”则要求对关于原点对称的定义域中所有的 x 均成立．
证明抽象函数的奇偶性须利用函数奇偶性 定义，找准方向，巧妙赋值，合理、灵活变形，找 f(-x)与 f(x) 的关系．
1－2.设函数 y＝f(x)(x∈R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2满 足 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，求证：f(x)是偶函数．
证明：由 x1、x2∈R 且不为 0 的任意性， 令 x1＝x2＝1 代入可证，f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. 又令 x1＝x2＝－1， ∴f[－1×(－1)]＝2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0. 又令 x1＝－1，x2＝x， ∴f(－x)＝f(－1)＋f(x)＝0＋f(x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
4.常温时，苯酚在水中溶解度不大，但当温度高于65℃时， 能跟水互溶；苯酚易溶于乙醇等有机溶剂。
5.苯酚有毒，可用于医院消毒，其浓溶液对皮肤有强烈的 腐蚀作用，使用时要小心!如果不慎沾到皮肤上，应立即用 酒精洗涤。实验后剩余的苯酚溶液不能随意倒掉，应专门 回收处理。
三、探究苯酚的化学性质
实验探究二：苯酚酸碱性的探究
1.3.3 奇偶性
1．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内_任__意__一个 x，都 有___f_(－__x_)_＝__f(_x_)____，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
2．若函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 是偶函数，则 b＝__0_. 解析：∵函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，∴b＝0.
来自百度文库
3．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内_任__意__一个 x，都 有___f(_－__x_)＝__－__f_(x_)__，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
4．若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(5)＝2，则 f(－5)＝－__2_. f(0)＝_0__.
解析：∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(-5)＝-f(5)＝-2. 5．奇函数的图象关于_原__点__对称，偶函数的图象关于_y__轴__ 对称．
2．求函数解析式 例 5：已知函数 f(x)为奇函数，且 x＞0 时，f(x)＝x(x－2)， 求 f(x)在定义域 R 上的解析式． 思维突破：求出 x＝0 时及 x<0 的表达式即可，利用奇函数， 将 x<0 转化为－x>0，即 f(x)＝－f(－x)求解． 解：设 x＜0，则－x＞0， ∴f(－x)＝－x(－x－2)＝x(x＋2)． ∵f(x)为奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－x(x＋2)(x＜0)． 当 x＝0 时，f(0)＝－f(0)，
又 f(－x)＝ 1－－－x x2＝－ 1－x x2＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2的定义域是{－1,1}，
关于原点对称．
又 f(－1)＝0＝f(1)，且 f(－1)＝－f(1)，
∴f(x)即是奇函数，也是偶函数．
(4)f(x)＝(x－1) 11＋ －xx的定义域是[－1,1)， 不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
∴2f(0)＝0，∴f(0)＝0.
x(x 2) (x 0)
f (x) 0
(x 0).
x(x 2) (x 0)
已知 x＞0 时，f(x)＝x(x－2)，求 x＜0 时的解析式，可设 x＜0，则－x＞0，把－x 看做一个整体代入 f(x)＝x(x－2)．因为本题是求整个解析式，x∈R，所以不要漏掉 x＝0 时，f(0)的解析式，最后结果可用分段函数写出．