奇偶性PPT教学课件
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奇偶性ppt课件
二、奇函数定义：
一般地，设函数()的定义域为 ,如果∀ ∈ ,
都有− ∈ ,且(−) = −(),那么函数()就叫做
奇函数。
定义理解： 1.定义域关于原点对称。
2.图象关于原点对称。
例析
例.判断下列函数的奇偶性.
(1)() = 4 ;
(3)() = +
(2)() = 5 ;
(2)再判断f (-x)=-f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立；
(3)根据定义下结论．
三、达标检测
1．下列函数是偶函数的是(
A．f(x)＝x
)
B．f(x)＝2x2－3
C．f(x)＝ x
C
D．f(x)＝x2，x∈(－1,1]
3. 若函数y = f x , x ∈ −1, a a > −1 是奇函数，则 = （
答：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值()也是一对相反数.
推理证明
例如，对于函数f(x) = x，有
(−3) = −(3)
(−2) = −(2)
(−1) = −(1)
实际上，∀x ∈ R, 都有 f −x = −x = −f(x)
这时称函数() = x为奇函数.
新课讲解——奇函数
3.2函数的基本性质
➢3.2.2 奇偶性
一、观察探究：
画出并观察函数f x = x 2 和g x = 2 − x 的图象，你能发现这两个函
数图象有什么共同特征吗？
两个函数图象都关于y轴对称
一、观察探究
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
相反数
发现：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
. > −3 > (−2)
函数的奇偶性课件PPT(共20张PPT)
已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，
并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下
图补充完整。
y
y
o
x
f(x)
o
x
g(x)
欣赏下面的图片，你在生活中发现有什么地方用 到了今天的知识吗？
欣赏下面的图片，你在生活中发现有什么地方 用到了今天的知识吗？
欣赏下面的图片，你在生活中发现有什么地方用到 了今天的知识吗？
3、什么是轴对称图形和中心对称图形。
y
y=x
2
9 从图象上你能发 如果定义域关于原点对称，且对定义域内的任意一个x
2、通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象的概括力。
8 如果定义域关于原点对称，且对定义域内的任意一个x
从图象上你能发现什么吗？
现什么吗？
已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
f(-1)=1 =f(1) 已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
-3 -2 -1 0 1 2 3 已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
观察图象，你能发现它们的共同特征吗？
6 4
y
y=x
2
6y 4
y=
1 x
2
42 -2 -4 -6
246 x
42 -2 -4 -6
246 x
f(-3)=3 =-f(3) f(-2)=2 =-f(2)
f(-1)=1 =-f(1)
f(-3)=- 13=-f(3) f(-2)=- 12=-f(2)
函数的奇偶性ppt课件
(3) f (x) x x2 非奇非偶函数
关于原点对称
f (x) 1x2
1 x2
既是奇函数又是偶函数
f (x)
f (x)为偶函数
七、回顾总结——提纲挈领
知识
函数
奇偶性
方法
数学思想
偶函数 类比的方法 奇函数
分析 函数
表格中数字的特 点猜想出一般的 结论
特殊到 一般
奇偶函数
奇偶函数
的定义 数形结合 图象性质
四、判断偶函数的方法
方法一：定义法
是 否
方法二：图象法
五、自主探究——概念形成（奇函数）
偶函数 类比的方法 奇函数
分析 f (x) x f (x) x2 表格中数字的特点猜
想出一般的结论
特殊到 一般
偶函数 数形结 偶函数 定义 合 图象性质
判断偶函 数的方法
五、自主探究——概念形成（奇函数）
判断奇偶函数的 方法
• 奇函数定义：
设函数 y f ( x) 的定义域为D，
如果对定义域D内的任意一个 x，都有 x D
且 f (x) f (x) ，则这个函数叫做奇函数.
• 奇函数
图象 关于原点对称
• 判断奇函数的方法: 定义法 图象法
六、学以致用——概念强化
1、已知f (x)是偶函数，且x 3, a,求a的值。
f (x) x … 3 2 1 0 1 2 3 … f (x) x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
特 f (1) ＝f (1)
例 f (2) ＝ f (2)
f (3) ＝f (3)
f (a)＝ f (a)
一般 规律： f(-x)＝ f(x)
结论：当自变量x在定义域内任取一对相反数时，
关于原点对称
f (x) 1x2
1 x2
既是奇函数又是偶函数
f (x)
f (x)为偶函数
七、回顾总结——提纲挈领
知识
函数
奇偶性
方法
数学思想
偶函数 类比的方法 奇函数
分析 函数
表格中数字的特 点猜想出一般的 结论
特殊到 一般
奇偶函数
奇偶函数
的定义 数形结合 图象性质
四、判断偶函数的方法
方法一：定义法
是 否
方法二：图象法
五、自主探究——概念形成（奇函数）
偶函数 类比的方法 奇函数
分析 f (x) x f (x) x2 表格中数字的特点猜
想出一般的结论
特殊到 一般
偶函数 数形结 偶函数 定义 合 图象性质
判断偶函 数的方法
五、自主探究——概念形成（奇函数）
判断奇偶函数的 方法
• 奇函数定义：
设函数 y f ( x) 的定义域为D，
如果对定义域D内的任意一个 x，都有 x D
且 f (x) f (x) ，则这个函数叫做奇函数.
• 奇函数
图象 关于原点对称
• 判断奇函数的方法: 定义法 图象法
六、学以致用——概念强化
1、已知f (x)是偶函数，且x 3, a,求a的值。
f (x) x … 3 2 1 0 1 2 3 … f (x) x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
特 f (1) ＝f (1)
例 f (2) ＝ f (2)
f (3) ＝f (3)
f (a)＝ f (a)
一般 规律： f(-x)＝ f(x)
结论：当自变量x在定义域内任取一对相反数时，
函数的奇偶性PPT精品课件
∴f(x)为非奇非偶函数
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
01
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数
函数的奇偶性
点此播放讲课视频
在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
03
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
04
点此播放讲课视频
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
x
y
O
1
-1
f(x)=x2（1）Fra bibliotek（2）y
x
O
x0
-x0
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x
结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x)
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
01
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数
函数的奇偶性
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在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
03
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
04
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观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
x
y
O
1
-1
f(x)=x2（1）Fra bibliotek（2）y
x
O
x0
-x0
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x
结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x)
奇偶性-完整版PPT课件
少种？
小结收获：
❖ 请你回顾一下本节课研究什么内容，从哪些 角度去研究，用到了哪些什么思想方法。
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)=f(x) f(x)为偶函数。
2.两个性质:
一个函数为奇函数 一个函数为偶函数
它的图象关于原点对称。 它的图象关于y轴对称。
课内作业：
❖ P36.第一题；P4410(1)(2)
例2.证明函数f(x)=
解： 1-x2≥0 |x+2|≠2
√1-x2 的奇偶性。
|x+2|-2 -1≦x≦1
-1≦x ≦1且x ≠0
x≠0且x≠-4
∴定义域为[-1,0) ∪(0,1]
∴f(x)= √1-x2 (x+2)-2
= √1-x2 x
∵f(-x)=
√1-(-x)2 -x
= - √1-x2 x
都有f(-x)=-f(x),那么函数f(ห้องสมุดไป่ตู้)就叫奇函数.
思考：对比函数的单调性，函数的奇偶性是局部性质 还是整体性质？
判断下列函数的奇偶性
(1). f(x)=x3 x∈[1 , 3] (2). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]
f(x)为非奇非y偶函数
f(x)为非奇非偶函数 y
o1 3 x
-1 o
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
g(x)=|x| 3 2 1 0 1 2 3
对于函数f(x)=x2 f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
你能否推广到一个一般的结论, 并证明呢？
思考：请大家不看课本自己尝试 着从代数的角度来给偶函数下个
小结收获：
❖ 请你回顾一下本节课研究什么内容，从哪些 角度去研究，用到了哪些什么思想方法。
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)=f(x) f(x)为偶函数。
2.两个性质:
一个函数为奇函数 一个函数为偶函数
它的图象关于原点对称。 它的图象关于y轴对称。
课内作业：
❖ P36.第一题；P4410(1)(2)
例2.证明函数f(x)=
解： 1-x2≥0 |x+2|≠2
√1-x2 的奇偶性。
|x+2|-2 -1≦x≦1
-1≦x ≦1且x ≠0
x≠0且x≠-4
∴定义域为[-1,0) ∪(0,1]
∴f(x)= √1-x2 (x+2)-2
= √1-x2 x
∵f(-x)=
√1-(-x)2 -x
= - √1-x2 x
都有f(-x)=-f(x),那么函数f(ห้องสมุดไป่ตู้)就叫奇函数.
思考：对比函数的单调性，函数的奇偶性是局部性质 还是整体性质？
判断下列函数的奇偶性
(1). f(x)=x3 x∈[1 , 3] (2). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]
f(x)为非奇非y偶函数
f(x)为非奇非偶函数 y
o1 3 x
-1 o
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
g(x)=|x| 3 2 1 0 1 2 3
对于函数f(x)=x2 f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
你能否推广到一个一般的结论, 并证明呢？
思考：请大家不看课本自己尝试 着从代数的角度来给偶函数下个
3.2.1 函数的奇偶性 课件(共26张PPT)(2024年)
f(x)
g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
偶函数 偶函数 偶函数
f(x)g(x
)
f[g(x)]
注
意:f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 中,g(x)的
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 值域是f(x)
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 的定义域
奇函数 奇函数 奇函数
活动二：新知探究
偶函数的定义：
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，如果∀x∈I,都
有-x∈I,且f(-x)=f(x), 那么函数 f（x）就叫做偶函数.
活动二：新知探究
偶函数的几点说明：
（1）偶函数的定义域必关于原点对称，即若 x 是定义域内的
一个值，则 –x 也一定在定义域内.
（2）“函数 f（x）为偶函数”是“函数 f（x）图象关于y轴对
奇函数 偶函数 奇函数 的子集.
活动二：新知探究
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象
关于y轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
f(x)=x²
···
9
4
1
0
1
4
9
···
g(x)=2-|x|
···
-1
0
1
2
1
0
-1
···
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
称”的充要条件.
活动二：新知探究
1
探究：观察函数 f(x)=x和g(x)= 的图象，你能发现这两个函数
奇偶性课件ppt百度文库
代数证明方法还包括利用奇偶函数的定义和性质进行证明，如奇函数和偶函数的 定义、奇偶函数的性质等。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和图形 的对称性来证明奇偶性的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果函数图像关 于原点对称，则函数$f(x)$是奇函数 。
几何证明方法还包括利用图形的对称 轴、对称中心等性质进行证明，如正 弦函数、余弦函数的图像和性质等。
归纳法证明方法
归纳法证明方法是利用数学归纳法来进行证明的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果对于所有自然数$n$，都有$f(-n) = -f(n)$，则函数$f(x)$是奇函数。
归纳法证明方法还包括利用数学归纳法的原理和步骤进行证 明，如利用数学归纳法证明奇偶性的等式或不等式等。
04
奇偶性的实际应用
无理数的奇偶性
定义
无理数无法表示为两个整数的比 值，因此无理数没有奇偶性。
举例
例如，π是一个无理数，无法表示 为两个整数的比值，因此没有奇 偶性。
分数的奇偶性
定义
对于分数f(x)=p(x)/q(x)，如果存在 整数m和n，使得mp(x)=nq(x)，则 称该分数为奇函数；如果存在整数m 和n，使得mp(x)=-nq(x)，则称该分 数为偶函数。
05
奇偶性的扩展知识
多项式的奇偶性
定义
如果一个多项式在定义域内对于所有 自变量都满足f(-x)=f(x)，则称该多项 式为偶函数；如果对于所有自变量都 满足f(-x)=-f(x)，则称该多项式为奇 函数。
举例
例如，多项式f(x)=x^3是奇函数，因 为f(-x)=-x^3=-f(x)；而多项式 g(x)=x^2是偶函数，因为g(-x)=(x)^2=x^2=g(x)。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和图形 的对称性来证明奇偶性的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果函数图像关 于原点对称，则函数$f(x)$是奇函数 。
几何证明方法还包括利用图形的对称 轴、对称中心等性质进行证明，如正 弦函数、余弦函数的图像和性质等。
归纳法证明方法
归纳法证明方法是利用数学归纳法来进行证明的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果对于所有自然数$n$，都有$f(-n) = -f(n)$，则函数$f(x)$是奇函数。
归纳法证明方法还包括利用数学归纳法的原理和步骤进行证 明，如利用数学归纳法证明奇偶性的等式或不等式等。
04
奇偶性的实际应用
无理数的奇偶性
定义
无理数无法表示为两个整数的比 值，因此无理数没有奇偶性。
举例
例如，π是一个无理数，无法表示 为两个整数的比值，因此没有奇 偶性。
分数的奇偶性
定义
对于分数f(x)=p(x)/q(x)，如果存在 整数m和n，使得mp(x)=nq(x)，则 称该分数为奇函数；如果存在整数m 和n，使得mp(x)=-nq(x)，则称该分 数为偶函数。
05
奇偶性的扩展知识
多项式的奇偶性
定义
如果一个多项式在定义域内对于所有 自变量都满足f(-x)=f(x)，则称该多项 式为偶函数；如果对于所有自变量都 满足f(-x)=-f(x)，则称该多项式为奇 函数。
举例
例如，多项式f(x)=x^3是奇函数，因 为f(-x)=-x^3=-f(x)；而多项式 g(x)=x^2是偶函数，因为g(-x)=(x)^2=x^2=g(x)。
函数的奇偶性课件(共14张PPT)
y
则f (x) f (x) 2x
即2 f (x) 2x
2
即f (x) x
-2 o
2
x
故解集为：- 2，-1 0,1
-2
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在R 上的函数 f (x), 对任意x, y R都有 f (x y) f (x) f ( y) 1, 且x 0时，f (x) 1, f (1) 2
f (x)单调递减，则f (1 m) f (m) 成立的 m 取值范围 是 ________。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
例2：定义在 3,3 上的函数 f (x), g(x)分别为偶函数、
奇函数，图像如下，则不等式 f (x) 0的解集是：
g(x)
(_2_,_1_)__(_0_,1_) __(_2,_3_) 。
(1)求证：f (x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g(x) f (x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义： “数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f (x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式：定义在 2,2上的偶函数 f (x)，当x 0 时，
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
函数的奇偶性(数学教学课件)课件
例如
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
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证明抽象函数的奇偶性须利用函数奇偶性 定义，找准方向，巧妙赋值，合理、灵活变形，找 f(-x)与 f(x) 的关系．
1－2.设函数 y＝f(x)(x∈R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2满 足 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，求证：f(x)是偶函数．
证明：由 x1、x2∈R 且不为 0 的任意性， 令 x1＝x2＝1 代入可证，f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. 又令 x1＝x2＝－1， ∴f[－1×(－1)]＝2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0. 又令 x1＝－1，x2＝x， ∴f(－x)＝f(－1)＋f(x)＝0＋f(x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
奇偶函数的图象特征
例 3：f(x)为一偶函数，且当 x≥0 时，f(x)≥2，则当 x≤0
时( B ) A．f(x)≤2 C．f(x)≤－2
B．f(x)≥2 D．f(x)∈R
思维突破：利用偶函数图象的对称性分析．可画 f(x)的大致 图象如图 1，易知当 x≤0 时，有 f(x)≥2.
利用奇偶函数的对
2．求函数解析式 例 5：已知函数 f(x)为奇函数，且 x＞0 时，f(x)＝x(x－2)， 求 f(x)在定义域 R 上的解析式． 思维突破：求出 x＝0 时及 x<0 的表达式即可，利用奇函数， 将 x<0 转化为－x>0，即 f(x)＝－f(－x)求解． 解：设 x＜0，则－x＞0， ∴f(－x)＝－x(－x－2)＝x(x＋2)． ∵f(x)为奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－x(x＋2)(x＜0)． 当 x＝0 时，f(0)＝－f(0)，
1.3.3 奇偶性
1．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内_任__意__一个 x，都 有___f_(－__x_)_＝__f(_x_)____，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
2．若函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 是偶函数，则 b＝__0_. 解析：∵函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，∴b＝0.
∴2f(0)＝0，∴f(0)＝0.
x(x 2) (x 0)
f (x) 0
(x 0).
x(x 2) (x 0)
已知 x＞0 时，f(x)＝x(x－2)，求 x＜0 时的解析式，可设 x＜0，则－x＞0，把－x 看做一个整体代入 f(x)＝x(x－2)．因为本题是求整个解析式，x∈R，所以不要漏掉 x＝0 时，f(0)的解析式，最后结果可用分段函数写出．
解：(1)函数 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， 关于原点对称，
又 f(－x)＝(－x)4－－1x2＝x4－x12＝f(x)，
∴f(x)＝x4－x12是偶函数．
(2)函数 f(x)的定义域是[－1,0)∪(0,1]，
关于原点对称，且 x＋2>0，∴f(x)＝x＋12－－x22＝
1－x2 x.
6．奇函数在其对称区间上的单调性__相__同__；偶函数在其对 称区间上的单调性__相__反__．
重点 利用定义判断函数奇偶性 (1)求函数 f(x)的定义域； (2)判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点 对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对 称，则进行下一步； (3)结合函数 f(x)的定义域，化简函数 f(x)的解析式； (4)求 f(－x)；
3－1.f(x)、g(x)是定义在 R 上的偶函数，若 F(x)＝af(x)＋bg(x) ＋x，且 F(－2)＝5，则 F(2)＝__9_.
解析：∵f(x)、g(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=g(x)． F(-2)=af(-2)+bg(-2)-2=af(2)+bg(2)-2=5， ∴af(2)+bg(2)=7,F(2)=af(2)+bg(2)+2=7+2=9.
难点 奇偶性的函数图象的性质 (1)奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的 图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图象关于 y 轴对称；反过来，如果一个函数的 图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
(3)奇函数的图象如果与 y 轴有交点，那么交点一定是原点．
判断函数的奇偶性
1．判断具体函数的奇偶性 例 1：判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x4－x12； (2)f(x)＝|x＋12－|－x22； (3)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2；
(4)f(x)＝(x－1)
1＋x 1－x.
思维突破：先考虑定义域．当定义域关于原点对称时，再
检验 f(x)与 f(－x)的关系．
OH
OH
感知苯酚的物理性质
1.纯净的苯酚是无色晶体，具有特殊的气味 2.露置在空气中因发生氧化而显粉红色。 3.熔点较低，为43℃
问题探讨：
前面已经学过苯不溶于水，乙醇 极易溶于水，那么同时具有苯环 和羟基的苯酚的溶解性又如何呢？
实验探究一: 苯酚的溶解性
注意：应配置约1520ml苯酚溶液以供后 面的实验使用。
又 f(－x)＝ 1－－－x x2＝－ 1－x x2＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2的定义域是{－1,1}，
关于原点对称．
又 f∴f(x)即是奇函数，也是偶函数．
(4)f(x)＝(x－1) 11＋ －xx的定义域是[－1,1)， 不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
利用定义判断函数奇偶性要注意如下几 点：①首先检验定义域是否关于原点对称，若否，则函数是非 奇非偶函数，若是，再判断 f(－x)与 f(x)或－f(x)的关系；②有些 函数必须在定义域内化简后才能判断；③要确定一个函数为非 奇非偶函数，举一个反例即可．
1－1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2|＋x| 1； (2)f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)； (3)f(x)＝ |x|－1＋ 1－|x|； (4)f(x)＝x4－3x3. 解：(1)函数 f(x)定义域是 R，关于原点对称． f(－x)＝－|－x2x＋| 1＝x2|＋x| 1＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．
3－2.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时， f(x)＝x(1＋ 3 x )，求 f(－8)．
解：由于函数是定义在 R 上的奇函数，因此对于任意的 x 都有 f(－x)＝－f(x)，即 f(x)＝－f(－x)．
f(－8)＝－f(8)，f(8)＝8×(1＋ 3 8 )＝8×(1＋2)＝24. ∴f(－8)＝－f(8)＝－24.
称性，可由函数图象在 y 轴一侧的情况得
到 y 轴另一侧的情况．
图1
2－1.f(x)为[－1,1]上的奇函数，且 f(x)在[0,1]上先增后减，
则 f(x)在[－1,0]上( A )
A．先减后增
B．先增后减
C．递增
D．递减
解析：奇函数在对称区间上单调性相同．
函数奇偶性的应用 1．求函数值 例 4：已知 f(x)＝ax3＋bx－8，且 f(－2)＝10，求 f(2)的值． 思维突破：易知 y＝ax3＋bx 为奇函数，可利用其奇偶性进 行整体代换求之． 解：令 g(x)＝ax3＋bx，则 g(x)为奇函数． ∴g(－x)＝－g(x)，g(－2)＝－g(2)． f(－2)＝g(－2)－8＝－g(2)－8＝10， 解得 g(2)＝－18. f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
实验条件
现象
结论
取少量苯酚 置于小烧杯 中往其中加 蒸馏水 用试管取约 2ml上述苯酚 溶液进行加热
苯酚部分溶于 常温下苯酚溶 水，溶液浑浊 解度比较小
苯酚全部溶解， 苯酚溶解度受
溶液变澄清
温度影响较大
二、苯酚的物理性质
1.纯净的苯酚是无色晶体，具有特殊的气味 2.露置在空气中因发生氧化而显粉红色。 3.熔点较低，为43℃
3－3.若函数 f(x)＝1k＋－k2·2xx(k 为常数)在定义域上为奇函数，
则 k 的值为( C ) A．1 C．±1
B．－1 D．0
3－4.已知函数 g(x)＝ax3＋bx2－c 是奇函数，且定义域为 (－1－a,2a－1)，求 a、b、c 的值．
解：∵g(x)为奇函数，∴定义域关于原点对称， ∴－1－a＋(2a－1)＝0， ∴a＝2，∴f(x)＝2x3＋bx2－c. ∵g(－x)＝－g(x)， 即－2x3＋bx2－c＝－2x3－bx2＋c. 2bx2－2c＝0，对一切 x∈(－3,3)恒成立． ∴2b＝0 且－2c＝0.∴b＝c＝0. 即 a＝2，b＝c＝0.
4.常温时，苯酚在水中溶解度不大，但当温度高于65℃时， 能跟水互溶；苯酚易溶于乙醇等有机溶剂。
5.苯酚有毒，可用于医院消毒，其浓溶液对皮肤有强烈的 腐蚀作用，使用时要小心!如果不慎沾到皮肤上，应立即用 酒精洗涤。实验后剩余的苯酚溶液不能随意倒掉，应专门 回收处理。
三、探究苯酚的化学性质
实验探究二：苯酚酸碱性的探究
(5)根据 f(－x)与 f(x)之间的关系，判断函数 f(x)的奇偶性： ①若 f(－x)＝－f(x)，则 f(x)是奇函数； ②若 f(－x)＝f(x)，则 f(x)是偶函数； ③若 f(－x)≠±f(x)，则 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数； ④若 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，则 f(x)既是奇函数，又是 偶函数．
3．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内_任__意__一个 x，都 有___f(_－__x_)＝__－__f_(x_)__，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
4．若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(5)＝2，则 f(－5)＝－__2_. f(0)＝_0__.
解析：∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(-5)＝-f(5)＝-2. 5．奇函数的图象关于_原__点__对称，偶函数的图象关于_y__轴__ 对称．
1－2.设函数 y＝f(x)(x∈R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2满 足 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，求证：f(x)是偶函数．
证明：由 x1、x2∈R 且不为 0 的任意性， 令 x1＝x2＝1 代入可证，f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. 又令 x1＝x2＝－1， ∴f[－1×(－1)]＝2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0. 又令 x1＝－1，x2＝x， ∴f(－x)＝f(－1)＋f(x)＝0＋f(x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
奇偶函数的图象特征
例 3：f(x)为一偶函数，且当 x≥0 时，f(x)≥2，则当 x≤0
时( B ) A．f(x)≤2 C．f(x)≤－2
B．f(x)≥2 D．f(x)∈R
思维突破：利用偶函数图象的对称性分析．可画 f(x)的大致 图象如图 1，易知当 x≤0 时，有 f(x)≥2.
利用奇偶函数的对
2．求函数解析式 例 5：已知函数 f(x)为奇函数，且 x＞0 时，f(x)＝x(x－2)， 求 f(x)在定义域 R 上的解析式． 思维突破：求出 x＝0 时及 x<0 的表达式即可，利用奇函数， 将 x<0 转化为－x>0，即 f(x)＝－f(－x)求解． 解：设 x＜0，则－x＞0， ∴f(－x)＝－x(－x－2)＝x(x＋2)． ∵f(x)为奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－x(x＋2)(x＜0)． 当 x＝0 时，f(0)＝－f(0)，
1.3.3 奇偶性
1．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内_任__意__一个 x，都 有___f_(－__x_)_＝__f(_x_)____，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
2．若函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 是偶函数，则 b＝__0_. 解析：∵函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，∴b＝0.
∴2f(0)＝0，∴f(0)＝0.
x(x 2) (x 0)
f (x) 0
(x 0).
x(x 2) (x 0)
已知 x＞0 时，f(x)＝x(x－2)，求 x＜0 时的解析式，可设 x＜0，则－x＞0，把－x 看做一个整体代入 f(x)＝x(x－2)．因为本题是求整个解析式，x∈R，所以不要漏掉 x＝0 时，f(0)的解析式，最后结果可用分段函数写出．
解：(1)函数 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， 关于原点对称，
又 f(－x)＝(－x)4－－1x2＝x4－x12＝f(x)，
∴f(x)＝x4－x12是偶函数．
(2)函数 f(x)的定义域是[－1,0)∪(0,1]，
关于原点对称，且 x＋2>0，∴f(x)＝x＋12－－x22＝
1－x2 x.
6．奇函数在其对称区间上的单调性__相__同__；偶函数在其对 称区间上的单调性__相__反__．
重点 利用定义判断函数奇偶性 (1)求函数 f(x)的定义域； (2)判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点 对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对 称，则进行下一步； (3)结合函数 f(x)的定义域，化简函数 f(x)的解析式； (4)求 f(－x)；
3－1.f(x)、g(x)是定义在 R 上的偶函数，若 F(x)＝af(x)＋bg(x) ＋x，且 F(－2)＝5，则 F(2)＝__9_.
解析：∵f(x)、g(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=g(x)． F(-2)=af(-2)+bg(-2)-2=af(2)+bg(2)-2=5， ∴af(2)+bg(2)=7,F(2)=af(2)+bg(2)+2=7+2=9.
难点 奇偶性的函数图象的性质 (1)奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的 图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图象关于 y 轴对称；反过来，如果一个函数的 图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
(3)奇函数的图象如果与 y 轴有交点，那么交点一定是原点．
判断函数的奇偶性
1．判断具体函数的奇偶性 例 1：判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x4－x12； (2)f(x)＝|x＋12－|－x22； (3)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2；
(4)f(x)＝(x－1)
1＋x 1－x.
思维突破：先考虑定义域．当定义域关于原点对称时，再
检验 f(x)与 f(－x)的关系．
OH
OH
感知苯酚的物理性质
1.纯净的苯酚是无色晶体，具有特殊的气味 2.露置在空气中因发生氧化而显粉红色。 3.熔点较低，为43℃
问题探讨：
前面已经学过苯不溶于水，乙醇 极易溶于水，那么同时具有苯环 和羟基的苯酚的溶解性又如何呢？
实验探究一: 苯酚的溶解性
注意：应配置约1520ml苯酚溶液以供后 面的实验使用。
又 f(－x)＝ 1－－－x x2＝－ 1－x x2＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2的定义域是{－1,1}，
关于原点对称．
又 f∴f(x)即是奇函数，也是偶函数．
(4)f(x)＝(x－1) 11＋ －xx的定义域是[－1,1)， 不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
利用定义判断函数奇偶性要注意如下几 点：①首先检验定义域是否关于原点对称，若否，则函数是非 奇非偶函数，若是，再判断 f(－x)与 f(x)或－f(x)的关系；②有些 函数必须在定义域内化简后才能判断；③要确定一个函数为非 奇非偶函数，举一个反例即可．
1－1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2|＋x| 1； (2)f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)； (3)f(x)＝ |x|－1＋ 1－|x|； (4)f(x)＝x4－3x3. 解：(1)函数 f(x)定义域是 R，关于原点对称． f(－x)＝－|－x2x＋| 1＝x2|＋x| 1＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．
3－2.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时， f(x)＝x(1＋ 3 x )，求 f(－8)．
解：由于函数是定义在 R 上的奇函数，因此对于任意的 x 都有 f(－x)＝－f(x)，即 f(x)＝－f(－x)．
f(－8)＝－f(8)，f(8)＝8×(1＋ 3 8 )＝8×(1＋2)＝24. ∴f(－8)＝－f(8)＝－24.
称性，可由函数图象在 y 轴一侧的情况得
到 y 轴另一侧的情况．
图1
2－1.f(x)为[－1,1]上的奇函数，且 f(x)在[0,1]上先增后减，
则 f(x)在[－1,0]上( A )
A．先减后增
B．先增后减
C．递增
D．递减
解析：奇函数在对称区间上单调性相同．
函数奇偶性的应用 1．求函数值 例 4：已知 f(x)＝ax3＋bx－8，且 f(－2)＝10，求 f(2)的值． 思维突破：易知 y＝ax3＋bx 为奇函数，可利用其奇偶性进 行整体代换求之． 解：令 g(x)＝ax3＋bx，则 g(x)为奇函数． ∴g(－x)＝－g(x)，g(－2)＝－g(2)． f(－2)＝g(－2)－8＝－g(2)－8＝10， 解得 g(2)＝－18. f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
实验条件
现象
结论
取少量苯酚 置于小烧杯 中往其中加 蒸馏水 用试管取约 2ml上述苯酚 溶液进行加热
苯酚部分溶于 常温下苯酚溶 水，溶液浑浊 解度比较小
苯酚全部溶解， 苯酚溶解度受
溶液变澄清
温度影响较大
二、苯酚的物理性质
1.纯净的苯酚是无色晶体，具有特殊的气味 2.露置在空气中因发生氧化而显粉红色。 3.熔点较低，为43℃
3－3.若函数 f(x)＝1k＋－k2·2xx(k 为常数)在定义域上为奇函数，
则 k 的值为( C ) A．1 C．±1
B．－1 D．0
3－4.已知函数 g(x)＝ax3＋bx2－c 是奇函数，且定义域为 (－1－a,2a－1)，求 a、b、c 的值．
解：∵g(x)为奇函数，∴定义域关于原点对称， ∴－1－a＋(2a－1)＝0， ∴a＝2，∴f(x)＝2x3＋bx2－c. ∵g(－x)＝－g(x)， 即－2x3＋bx2－c＝－2x3－bx2＋c. 2bx2－2c＝0，对一切 x∈(－3,3)恒成立． ∴2b＝0 且－2c＝0.∴b＝c＝0. 即 a＝2，b＝c＝0.
4.常温时，苯酚在水中溶解度不大，但当温度高于65℃时， 能跟水互溶；苯酚易溶于乙醇等有机溶剂。
5.苯酚有毒，可用于医院消毒，其浓溶液对皮肤有强烈的 腐蚀作用，使用时要小心!如果不慎沾到皮肤上，应立即用 酒精洗涤。实验后剩余的苯酚溶液不能随意倒掉，应专门 回收处理。
三、探究苯酚的化学性质
实验探究二：苯酚酸碱性的探究
(5)根据 f(－x)与 f(x)之间的关系，判断函数 f(x)的奇偶性： ①若 f(－x)＝－f(x)，则 f(x)是奇函数； ②若 f(－x)＝f(x)，则 f(x)是偶函数； ③若 f(－x)≠±f(x)，则 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数； ④若 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，则 f(x)既是奇函数，又是 偶函数．
3．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内_任__意__一个 x，都 有___f(_－__x_)＝__－__f_(x_)__，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
4．若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(5)＝2，则 f(－5)＝－__2_. f(0)＝_0__.
解析：∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(-5)＝-f(5)＝-2. 5．奇函数的图象关于_原__点__对称，偶函数的图象关于_y__轴__ 对称．