《数列》强化训练题及答案课件
高中数学《数列》练习题(含答案解析)
高中数学《数列》练习题（含答案解析）一、单选题1．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，且48S S ＝13，则816S S ＝（ ）A ．310 B ．37C ．13D ．122．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列； ①数列1，1，1，1，…是无穷数列； ①每个数列都有通项公式；①根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ①数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（ ）． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)(21)n n a n +=-⋅+，则2021S =（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20235．已知等差数列{}n a 中，6819,27a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的视力4.0的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a -D ．91010a -7．已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a8．已知{}n a 是等差数列，公差0d >，其前n 项和为n S ，若2a 、52a+、172a +成等比数列，()12n n n a S +=，则不正确的是（ ） A ．1d= B ．1020a = C ．2n S n n =+ D ．当2n ≥时，32n n S a ≥9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．1010101110．等差数列{}n a 前n 项和为n S ， 281112a a a ++=，则13S =（ ） A ．32B ．42C ．52D ．62二、填空题11．已知a 是1,2的等差中项，b 是1-，16-的等比中项，则ab 等于___________. 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65210,6Sa a =+=，则d =_________.13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若891715a a =，则1517S S =______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS，且1516a a +=-，936S =-，则n S 的最小值是______．三、解答题15．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且满足11221,5a b b a ==+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令n n n c a b =+求数列{}n c 的前n 项和n S ；16．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 17．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？ 18．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}nb 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．参考答案与解析：1．A【分析】运用等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， ①41181461582832a d a d a d S S +==⇒=+，显然0d ≠， ①8161182820283161204012010a d d d a d S d S d ++===++， 故选：A 2．D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ，举反例102=>n na 和12nn a =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n na ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要； 故选：D 3．B【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于①，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，①正确； 对于①0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，①不正确；对于①，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈，cos 2π,N n b n n *=∈等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，①不正确；对于①，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，①不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 4．D【分析】根据数列{}n a 的通项公式，可求得12342,2a aa a +=-+=-,依此类推，即可求解.【详解】①1(1)(21)n n a n +=-⋅+，故12343,5,7,9a a a a ==-==-故202112320202021S a a a a a =+++⋅⋅⋅++357940414043=-+-+⋅⋅⋅-+2101040432023=-⨯+=.故选：D. 5．C【分析】利用862d a a =-，直接计算公差即可. 【详解】等差数列{}n a 中，6819,27aa ==，设公差为d ，则86227198d a a =-=-=，即4d =.故选：C. 6．D【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】设第n 行视标边长为n a ，第n 1-行视标边长为()12n a n -≥，由题意可得()12n n a n -=≥，则()1101102nn a n a --=≥，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列， 所以101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4.9的视标边长为91010a -，故选：D. 7．B【分析】令10t n =-≥，则1n t =+，22641411ttyt t t t ，然后利用函数的知识可得答案. 【详解】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ． 8．A【分析】利用等差数列的求和公式可得出1n a na =，可得出10d a =>，根据已知条件求出1a 的值，可求得n a 、n S 的表达式，然后逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，则()()1122nn n n a n a a S ++==，所以，1n a na =， 所以，110n n d a a a +=-=>，因为()()2521722a a a +=+，可得()()2111522172a a a +=+，整理可得21191640a a --=，因为10a >，故12d a ==，A 错；12n a na n ==，则1020a =，B 对；()()112nn n a S n n +==+，C 对；当2n ≥时，()233202n n S a n n n n n -=+-=-≥，即32n n S a ≥，D 对.故选：A. 9．C【解析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 10．C【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式，得到二者关系，求得7a ，利用13713S a =求得结果. 【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=，即74a = ()1131371313134522a a S a +∴===⨯= 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子； （2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果. 11．6±【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b 得值，即可求解. 【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==， 因为b 是1-，16-的等比中项，所以2(1)(16)16b =-⨯-=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±. 12．1【分析】由等差中项性质可求4a ，又510S =依据等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由266a a +=有43a =，而510S = ①结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为：1【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n 项和公式、通项公式求公差13．1【分析】利用等差数列性质及前n 项和公式计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，891715a a =，所以1151511588117171179915(15(152152117(17)(1717)2))2a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯． 故答案为：1 14．42-【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差，探求数列{}n a 的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1122a d =-⎧⎨=⎩， 因此，()1212214n a n n =-+-⨯=-，令0n a =，解得7n =，于是得数列{}n a 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正， 所以6S 或7S 最小，最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-． 故答案为：42-15．(1)21n a n =-，12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d =，根据通项公式的求法得到结果；（2）1221n n n n c a b n -+=+=-分组求和即可.【详解】（1）设{}n a 的公差为d , 由已知,有215d ++=解得2d =，所以{}n a 的通项公式为21,n a n n *=-∈N , {}n b 的通项公式为12,n n b n -*=∈N .（2）1221n n n n c a b n -+=+=-，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--.16．（1）2n a n =-；（2）1n nT n =+.【解析】（1）由30S =，55S =-，可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-， （2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题17．（1）2n a n =；（2）第2年该公司开始获利.【分析】（1）根据题意得出数列的首项和公差，进而求得通项公式 （2）根据题意算出总利润，进而令总利润大于0，解出不等式即可. 【详解】（1）由题意知，数列{}n a 是12a =，公差2d =的等差数列， 所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.（2）设引进这种设备后，净利润与年数n 的关系为()F n ，则()()2121222520252n n F n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=--⎢⎥⎣⎦. 令()0F n >得220250n n -+<，解得1010n -<+ 又因为n *∈N ，所以2n =，3，4，…，18， 即第2年该公司开始获利.18．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n n T --=++++，① 231112133333n n n n n T +-=++++，① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n n n T =--⋅， 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2n n S T <. [方法三]：构造裂项法由（①）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二． [方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n n x x f x x x x x x ，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nx x ． 又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n nS T,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nnc n，使1+=-n n nb c c，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.。
人教A版高中数学选修二第四章《数列》提高训练题 (1)(含答案解析)
（2）至少操作多少次，A、B两容器内的盐水浓度之差小于1%？(取lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)；
（3）求an，bn的表达式．
34．已知数列{an}的通项公式是 ，求其前n项和Sn.
35．设等差数列 的前 项和为 ， ， ， .其中 且 ，则数列 的前 项和的最大值为________.
只有最大值，没有最小值，故B错误；
因为当 时， ，∴ ，故C正确；
因为 ， ，所以满足条件的 的最大值为32，故D错误．
故选：AC．
11．ABC
【解析】
分 和 两种情况讨论，即可求解.
∵等差数列 ， 的前n项和为 ， ，
∴ ，
∴ ，又
∴
故选：A.
9．D
【解析】
推导出 ， ，由 ，得 ，从而 ，进而 或 ．由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的 的值的个数．
解：由题意知 ， ，
由 ，得 ， ， 或 ．
①当 时， ， ， 或 ， 或 ．
②若 ，则 ， 或 ，
当 时， ，此时， 或 ，
50．设数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前n项和 ．
【答案与解析】
1．A
【解析】
根据等比数列的通项公式、求和公式求解即可.
设等比数列{an}的公比为q，则q>0．
∵a1＋3a3＝ ，S3＝ ，
∴a1＋3a1q2＝ ，a1(1＋q＋q2)＝ ，联立解得a1＝2，q＝ ．
则a4＝2× ＝
20．已知数列{an}中，a1＝1， ，则数列{an}的通项公式an＝________.
21．如图，将数列 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列 构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为 的等差数列，若 ，则 ________.
高考数学二轮复习考点十二《数列综合练习》课件
数列，当 n 为偶数时，bn＋2＝bn＋1，数列为以 1 为公差的等差数列，∴S23
1－212
11×（11－1）
＝(b1＋b3＋…＋b23)＋(b2＋b4＋…＋b22)＝ 1－2 ＋11×4＋
2
×1＝212－1＋44＋55＝4194.
2．等差数列{an}中，a1＋a2＝152，a2＋a5＝4，设 bn＝[an]，[x]表示不超 过 x 的最大整数，[0.8]＝0，[2.1]＝2，则数列{bn}的前 8 项和 S8＝( )
A．12<a2<1
B．{an}是递增数列
C．12<a3<34
D．34<a2022<1
答案 ABD
解析 由 an＋1＝an＋ln (2－an)，0<a1<12，设 f(x)＝x＋ln (2－x)，则 f′(x) ＝1－2－1 x＝12－ －xx，所以当 0<x<1 时，f′(x)>0，即 f(x)在(0，1)上单调递增， 所以 f(0)<f(x)<f(1)，即12＝ln e<ln 2<f(x)<1＋ln 1＝1，所以12<f(x)<1，即12 <an<1(n≥2)，故 A 正确；因为 f(x)在(0，1)上单调递增，0<an<1(n∈N*)，所 以 an＋1－an＝ln (2－an)>ln (2－1)＝0，所以{an}是递增数列，故 B项中，只有一项符合题目要求) 1．已知数列{bn}满足 b1＝1，b2＝4，bn＋2＝1＋sin2n2πbn＋cos2n2π，则该 数列的前 23 项和为( ) A．4194 B．4195 C．2046 D．2047
答案 A
解析 由题意，得当 n 为奇数时，bn＋2＝2bn，数列为以 2 为公比的等比
高中数学专题强化练习《数列求和》含答案解析
=2 -1,
1-2
=
∴Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)
2 × (1 - 2)
-n=2n+1-n-2.故选
1-2
=
D.
2.B 由题意可得,当 n 为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1;
当 n 为偶数时,an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1.
公差不为 0,其前 n 项和为 Sn.若 a2,a4,a7 成等比数列,S3=12.
(1)求 an 及 Sn;
1
1
1
(2)已知数列{bn}满足+1-=an,n∈N*,b1=3,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,
求 Tn 的取值范围.
答案全解全析
一、选择题
1.D ∵an=1+2+22+…+2n-1
又 a14=b4,所以 1+13d=1×33,解得 d=2,
( - 1)
1 - 3
2+3 - 1.
·2+
=n
2
1-3
2
所以数列{an+bn}的前 n 项和为 n+
8.答案 6
6
解析 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,由 a4=24,a6=96,得 q2=4
=4,所以 q=2 或 q=-2,
(n ≤ 6,n ∈ N*),
2
∴Tn= n2 - 11n + 60
(n ≥ 7,n ∈ N*).
2
=15+
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析整理版
高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式； （2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。
)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出 的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。
2020年高考数学(文数)解答题强化专练——数列含答案
（文数）解答题强化专练——数列一、解答题（本大题共10小题，共120.0分）1.在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若S5=25，a10=19．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（2）若数列{b n}中b n=，求数列{b n}的前n和T n．2.在数列{a n}中，a1=3，a n=2a n-1+（n-2）（n≥2，n∈N*）．（1）求证：数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．3.已知数列是以为首项，为公差的等差数列，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．4.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若公差d≠0，a5=10，且、、成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，T n=b1+b2+…+b n，求证：T n＜．5.已知{a n}是递增的等比数列，a5＝48，4a2，3a3，2a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b1＝a2，b n＋1＝b n＋a n，求数列{b n}的前n项和S n．6.已知数列{a n}中，a1=1，a2=3，点（a n，a n+1）在直线2x-y+1=0上，（Ⅰ）证明数列{a n+1-a n}为等比数列，并求其公比．（Ⅱ）设b n=log2（a n+1），数列{b n}的前n项和为S n，若S m≤λ（a m+1），求实数λ的最小值．7.已知正项等比数列{a n}满足a3＝9，a4－a2＝24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设b n＝n·a n，求数列{b n}的前n项的和S n．8.已知数列{a n}满足a1=1，na n+1-（n+1）a n=1+2+3+…+n，n∈N*．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和为S n．9.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=S n+•a n（n∈N*），且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．10.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S1=1，且对任意正整数n，都有．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S5=25，a10=19．∴5a1+d=25，a1+9d=19，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n-1）=2n-1．S n==n2．（2）b n===，∴数列{b n}的前n和T n===．【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S5=25，a10=19．可得5a1+d=25，a1+9d=19，联立解得：a1，d．即可得出．（2）b n===，利用裂项求和即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.【答案】（1）证明：∵a1=3，a n=2a n-1+（n-2）（n≥2，n∈N*）．∴a n+n=2（a n-1+n-1），∴数列{a n+n}是等比数列，首项为4，公比为2．∴a n=4×2n-1-n=2n+1-n．（2）解：数列{a n}的前n项和S n=（22+23+…+2n+1）-（1+2+…+n）=-=2n+2-4-．【解析】（1）a1=3，a n=2a n-1+（n-2）（n≥2，n∈N*）．变形为a n+n=2（a n-1+n-1），再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】解：（1）因为，，成等比数列，所以，即，因为，所以，即，所以（负值舍去），所以．（2）由（1）知，，所以．【解析】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，等比数列的通项公式、性质及前n项和公式，以及分组法求和，属于一般题.（1）根据，，成等比数列列方程组，求出a1和公差，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）求得，，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前n项和公式即可求解.4.【答案】（Ⅰ）解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，公差d≠0，a5=10，且a2、a4、a8成等比数列，∴由题知：，解得：a1=2，d=2，故数列{a n}的通项公式a n=2n．（Ⅱ）证明：∵==，∴T n=b1+b2+…+b n==．∴T n＜．【解析】本题考查数列的通项公式，等差数列的前n项和公式及裂项求和公式，属于一般题．（Ⅰ）利用等差数列的前n项和公式、等比数列性质，列出方程组，求出a1=2，d=2，由此能求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由==，利用裂项求和法能证明T n＜．5.【答案】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q（q＞1），因为4a2，3a3，2a4成等差数列，所以6a3＝4a2＋2a4，即6a1q2＝4a1q＋2a1q3，即q2-3q＋2＝0，解得q＝2或q＝1（舍去）．又因为a5＝a1q4＝16a1＝48，所以a1＝3，所以a n＝3·2n-1．（2）由条件及（1）可得b1＝a2＝3×2＝6．因为b n＋1＝b n＋a n，所以b n＋1-b n＝a n，所以b n-b n-1＝a n-1（n≥2），所以b n＝（b n-b n-1）＋（b n-1-b n-2）＋…＋（b2-b1）＋b1＝a n-1＋a n-2＋a n-3＋…＋a2＋a1＋6＝3·2n-1＋3（n≥2）．又因为b1＝6满足上式，所以b n＝3·2n-1＋3（n∈N*）．所以.【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列通项公式的求法中的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．（1）利用已知条件求出公比和首项，进而得到通项公式；（2）利用叠加法,并利用等比数列的求和公式求出n≥2时b n的表达式，进一步验证n=1时是否成立，从而得出数列{b n}的通项公式，然后利用分组求和法，求得S n．6.【答案】解：（Ⅰ）证明：点（a n，a n+1）在直线2x-y+1=0上，可得a n+1=2a n+1，即有a n+1+1=2（a n+1），可得{a n+1}为首项为2，公比为2的等比数列，可得a n+1=2n，即a n=2n-1，a n+1-a n=2n+1-1-（2n-1）=2n，可得数列{a n+1-a n}为等比数列，其公比为2；（Ⅱ）设b n=log2（a n+1）=log22n=n，S n=n（n+1），S m≤λ（a m+1）即为m（m+1）≤λ•2m，可得2λ≥恒成立，由c m=，c m+1-c m=-=，当m=1时，c2＞c1，m=2时，c3=c2，m＞2时，c m+1＜c m，即c1＜c2=c3＞c4＞c5＞…，可得c2=c3=为最大值，即有λ≥，则λ≥，即实数λ的最小值为．【解析】（Ⅰ）首先判断{a n+1}为首项为2，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式和定义，即可得到所求；（Ⅱ）运用对数的运算性质可得b n，再由等差数列的求和公式和通项公式，结合参数分离和数列的单调性，求得最大值，可得所求最小值．本题考查等比数列的定义和通项公式、以及等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题，注意运用参数分离和数列的单调性，考查运算能力、推理能力，属于中档题．7.【答案】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q．由a4－a2＝24，得，即3q2－8q－3＝0，解得q＝3或．又∵a n＞0，则q＞0，∴q＝3，∴a n＝．（Ⅱ）b n＝n·a n＝,∴S n＝3S n＝，∴=，∴．【解析】本题考查等比数列的通项公式和用错位相减法求数列的前n项和.（Ⅰ）把已知条件用a3和公比q表示，建立方程，求出q，即可得到通项公式.（Ⅱ）紧紧抓住数列的特点，它是由一个等比数列和一个等差数列对应项相乘而得，此类数列可通过错位相减法求前n项和.8.【答案】解：（1）证明：数列{a n}满足a1=1，na n+1-（n+1）a n=1+2+3+…+n=，n∈N*，则（常数），n∈N*．则数列{}是以1为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）得=，n∈N*，所以，n∈N*，所以，所以S n=b1+b2+…+b n=，=．【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．（1）根据数列的递推关系式整理得到（常数），n∈N*即可证明．（2）利用裂项相消法求出数列的和．9.【答案】解：（Ⅰ）证明：根据题意可得，S n+1-S n=•a n，∴a n+1=•a n，∴=•，∵a1=1，∴数列{}是以1为首项，以为公比的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得=（）n-1，∴a n=n•（）n-1，∴S n=1×（）0+2×（）1+3×（）2+…+n•（）n-1，∴S n=1×（）1+2×（）2+3×（）3+…+n•（）n，∴S n=1+（）1+（）2+（）3+…+（）n-1-n•（）n=-n•（）n=-（+n）•（）n，∴S n=-（+）•（）n．【解析】本题考查了等比数列的判定、数列递推关系、错位相减求和法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（Ⅰ）由S n+1=S n+•a n，可得∴=•，故数列{}是以1为首项，以为公比的等比数列，（Ⅱ）先求出a n=n•（）n-1，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．10.【答案】解析：（1）由S1=1，得a1=1．又对任意正整数n，都成立，即S n+1+n（n+1）=（n+1）S n+1-（n+1）S n，所以nS n+1-（n+1）S n=n（n+1），所以，即数列是以1为公差，1为首项的等差数列，所以，即，得a n=S n-S n-1=2n-1（n≥2），又由a1=1，所以．解法2：由，可得S n+1+n（n+1）=（n+1）a n+1，当n≥2时，S n+n（n-1）=na n，两式相减，得a n+1+2n=（n+1）a n+1-na n，整理得a n+1-a n=2，在中，令n=2，得，即1+a2+2=2a2，解得a2=3，∴a2-a1=2，所以数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=1+2（n-1）=2n-1．（2）由（1）可得，所以，①则，②①-②，得，整理得，所以．【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．（1）法1：将题中条件变形为nS n+1-（n+1）S n=n（n+1），即可求解；法2：将题中条件变形为S n+1+n（n+1）=（n+1）a n+1，再利用作差法即可求解.（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．。
人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)
必修5 数列2．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A ．14B ．15C ．16D ．173．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大．解：0912129=-=S S S S ， 10111211111030,00a a a a a a ∴++=∴=∴=>，，又4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ．解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S ---成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ，6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．①求出公差d 的范围；②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由． 解：①)(6)(610312112a aa a S +=+=36(27)0a d =+>②12671377666()013000S a a S a a a S =+>=<∴<>∴， 最大。
1． 已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64794121215a a a a a +=+∴= A2． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== ．543． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 ． 4． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，． ①求通项n a ；②若n S =242，求n ． 解：d n a a n )1(1-+=111020193012305021019502n a d a a a a n a d d +==⎧⎧==∴∴=+⎨⎨+==⎩⎩，解方程组5．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇?故第一次相遇是在开始运动后7分钟． 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式； ③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立? 若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．12122(1)(1)()2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+ ∴数列{}n a 为等差数列．②1)1(311-+==+n n a n na a ，{}212121522n a a a a a ∴=-=∴-=即等差数列的公差为1(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+121n +++，要使得T n n 都成立，三、等比数列 知识要点1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c 的等比中项，且ac b ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件． 4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n5. 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列．④若项数为()*2n n N ∈，则S q S =偶奇．⑤nn m n m S S q S +=+⋅．⑥ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列． 6. 等比数列与等比数列的转化 ①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ，是等比数列；②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列． 7. 等比数列的判定法 ①定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列； ②中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列；③通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a nn ,({}n a 为等比数列； ④前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S nn ,)1({}n a 为等比数列． 性质运用1．103107422222)(++++++=n n f 设()()()n N f n *∈，则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----．．．．D2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ．3．⑴在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，． ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= ．⑵在等比数列{}n a 中，若015=a ，则有等式n n a a a a a a -+++=+++292121)29(*∈<N n n ，成立，类比上述性质，相应的在等比数列{}n b 中，若119=b ，则有等式成立．解：⑴①由等比数列的性质可知：16341616163233321a a a a a a a a a a ⋅=⋅=+=>==又，解得，②由等比数列的性质可知，{}n a lg 是等差数列，因为⑵由题设可知，如果0=m a 在等差数列中有n m n a a a a a a --+++=+++122121)12(*∈-<N n m n ，成立，我们知道，如果q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，而对于等比数列{}n b ，则有q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若所以可以得出结论，若n m n m b b b b b b b --==1221211 ，则有)12(*∈-<N n m n ，成立，在本题中 n n b b b b b b -=372121 则有)37(*∈<N n n ，1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( ) ①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{na 1}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4 B ．3C ．2D ．12．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( ) A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－2173．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 ( )A ．1B ．－21 C ．1或－1 D ．－1或214．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )A ．4B ．23 C ．916 D ．25．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0C ．x 2＋6x －25=0D ．x 2－12x ＋25=06．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )A ．1.1 4 aB ．1.1 5 aC ．1.1 6 aD ．(1＋1.1 5)a7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 ( ) A ．89abB ．(ab )9C ．910abD ．(ab )108．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A ．32B ．313C ．12D ．159．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( ) A ．11n B ．11n C ．112-n D ．111-n10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅等于 ( )A ．102 B ．202 C ．162 D ．15211．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 ( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 ( )A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[3，5]D ．[4，6]一、选择题： BDCAD BACDB BC13．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____．14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___．15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (21=+是正整数)，则数列的通项公式=n a ．二、填空题：13.2， 3·2n －2． 14.251+．15.512 ．16.123-n ． 17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式． (1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n－1即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n －118．在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ① n ∈N *，知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1 ②由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2 又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N *212221)2()2(-+=n n nn a a ＝4 即｛a n 2｝为公比为4的等比数列 ∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--nn a 19．在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．解析一： ∵S 2n ≠2S n ，∴q ≠1 根据已知条件121(1)481(1)601n na q qa q q ⎧-=⎪-⎪⎨-=⎪⎪-⎩①②②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41 ③ ③代入①得q a -11＝64 ④解析二：∵｛a n｝为等比数列∴(S2n－S n)2＝S n(S3n－S2n)20．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1 (x≠0)．解析：当x=1时，S n=1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2当x≠1时，∵S n=1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1，①等式两边同乘以x得：xS n=x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－1)x n．②21．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．解析：∵a1a n=a2a n－1=128，又a1＋a n=66，∴a1、a n是方程x2－66x＋128=0的两根，解方程得x1=2，x2=64，∴a1=2，a n=64或a1=64，a n=2，显然q≠1．22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m2)解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n}：a1=50，q=1＋1%=1．01，n=11 则a11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n}：b1=16×50=800，d=30，n=11∴b11=800＋10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m2)。
有关高考数列的题PPT
热点题型
命题分析
综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、
前n项和公式、等差(比)中项、等差(比)数列的性 类型一：等差数列、等
质．重点考查基本量(即“知三求二”，解方程(组)) 比数列及综合应用
的计算，灵活运用等差、等比数列的性质以及转化
化归、构造等思想解决问题．
∵a5＝5，S5＝15，∴a51a＋1＋4d5＝×5（，25－1）d＝15，∴ad1＝＝11，，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n.
∴ana1n＋1＝n（n＋1 1）＝1n－n＋1 1，
∴
数
列
1 anan＋1
的
前
100
项 和 为 1－12 ＋ 12－31 ＋ … ＋
1100－1101＝1－1101＝110001.
高考总复习·数学理科（RJ）
第六章 数 列
角度二 数列与不等式的交汇 【例 4】 (2018·郑州质检二)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， a1＝－2，且满足 Sn＝12an＋1＋n＋1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝log3(－an＋1)，设数列bnb1n＋2的前 n 项和为 Tn，求 证：Tn<34.
高考总复习·数学理科（RJ）
第六章 数 列
【解析】 (1)由 Sn＝12an＋1＋n＋1(n∈N*)，得 Sn－1 ＝21an＋n(n≥2，n∈N*)， 两式相减，并化简，得 an＋1＝3an－2， 即 an＋1－1＝3(an－1)，又 a1－1＝－2－1＝－3≠0， 所以{an－1}是以－3 为首项，3 为公比的等比数列， 所以 an－1＝(－3)·3n－1＝－3n. 故 an＝－3n＋1.
高中数学【配套课件】第六章常考题型强化练——数列
数列的项数
数列的项
数列中的每一个数称为项，表示为 $a_i$，其中$i$为项的序号。
数列中包含的数的个数称为项数，表 示为$n$。
数列的分类
无穷数列
项数无限的数列。
递减数列
从第一项起，每一 项都小于前一项的 数列。
有穷数列
项数有限的数列。
递增数列
从第一项起，每一 项都大于前一项的 数列。
常数列
所有项都相等的数 列。
等差数列的通项公式
总结词
等差数列的通项公式是用来表示数列中任意一项的数学表达式。
详细描述
等差数列的通项公式是 a_n = a_1 + (n - 1)d，其中 a_n 表示第 n 项的值，a_1 表示首项，d 表示公差，n 表示项数。这个公式可以帮助我们快速找到等差数 列中的任意一项。
等差数列的求和公式
高中数学【配套课件】 第六章常考题型强化练 ——数列
目录
应用题
数列的定义与性质
01
数列的基本概念
数列的定义
数列是一种特殊的函数，它按照一定 的次序排列，表示为$a_1, a_2, a_3, ldots$，其中$a_i$表示第$i$项。
利用等比数列求积公式计 算数列的积。
数列的极限
理解数列极限的概念，掌 握极限的运算性质。
综合应用题
排列组合与概率
结合排列组合知识，通过数列计 算概率和期望值。
数列与不等式
利用数列性质证明不等式，或通 过不等式求解数列问题。
数列与几何
将数列应用于几何问题，如计算 几何图形的面积、体积等。
THANKS.
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列中所有项的和的数学表达式。
考点01 数列强化练习1(解析版)
考点01 数列强化训练11.（2020•漳州一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n＝n+3，则a n＝（）A．1+2n B．C．1+2n﹣1D．【解答】解：由a n+S n＝n+3可得当n＝1时，a1+S1＝4，∴a1＝2；当n≥2时，a n﹣1+S n﹣1＝n+2，两式相减可得，∴，则数列{a n﹣1}是首项为1，公比为的等比数列，即，当n＝1时，，满足a1＝2，∴，故选：B．【知识点】数列递推式2.（2020•马鞍山一模）已知等差数列{a n}，a n+m＝a m+n（n≠m，n，m∈N*），数列{b n}满足b n＝a2n+1+a2n﹣1，则b2020﹣b2019＝（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a n+m＝a m+n，得a m+（n﹣m）d+m＝a m+n，即d＝1．又b n＝a2n+1+a2n﹣1，∴b2020﹣b2019＝（a4041+a4039）﹣（a4039+a4037）＝a4041﹣a4037＝4d＝4．故选：C．【知识点】数列递推式3.（2020•茂名一模）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5＝a3+16，a1＝1，则a2+a6＝（）A．10B．11C．12D．13【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S5＝a3+16，a1＝1，∴5+d＝1+2d+16，解得d＝．则a2+a6＝2+6×＝11．故选：B．【知识点】等差数列的前n项和4.（2020•江西一模）数列{a n}，{b n}为等差数列，前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为{a n}，{b n}为等差数列，且，所以＝＝＝＝＝，故选：A．【知识点】等差数列的性质5.（2020•沈阳一模）已知正项等比数列{a n}，满足a2•a72•a2020＝16，则a1•a2…•a1017＝（）A．41017B．21017C．41018D．21018【解答】解：根据题意，正项等比数列{a n}中，若，则有，所以a7a1011＝4，则有a509＝2，所以．故选：B．【知识点】等比数列的性质、等比数列的通项公式6.（2020•奉贤区一模）一个不是常数列的等比数列中，值为3的项数最多有（）A．1个B．2个C．4个D．无穷多个【解答】解：当一个等比数列是单调数列时，值为3的项最多有一个，或者没有；当一个等比数列是摆动数列时，值为3的项可能有无数个，举例如下：﹣3，3，﹣3，3，…这个等比数列是个摆动数列，公比是﹣1，值为3的项有无穷多个；1，3，9，…这个数列是等比数列，值为3的项仅有一个；1，4，16，…这个数列是等比数列，值为3的项有0个．综上知，一个不是常数列的等比数列中，值为3的项的项数最多有无穷多个．故选：D．【知识点】等比数列的性质7.（2020•黄山一模）已知数列{a n}满足2a1+22a2+…+2n a n＝n（n∈N*），数列的前n 项和为S n，则S2019＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵2a1+22a2+…+2n a n＝n，∴n＝1时，2a1＝1，解得，n≥2时，2a1+22a2+…+2n﹣1a n﹣1＝n﹣1，两式相减，得：2n a n＝1，∴，∴＝＝＝，∴数列的前n项和：S n＝（1﹣）+（）+（）+…+（）＝1﹣＝，∴S2019＝．故选：A．【知识点】数列的求和8.（2020•岳阳一模）已知{a n}为等差数列，a3＝52，S7＝343，{a n}的前n项和为S n，则使得S n达到最大值时n是（）A．19B．20C．39D．40【解答】解：由S7＝7a4＝343，得a4＝49，所以d＝a4﹣a3＝49﹣52＝﹣3，a1＝a3﹣2d＝52﹣2×（﹣3）＝58，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣3n+61．由，得n＝20．故选：B．【知识点】等差数列的前n项和9.（2020•许昌一模）在各项均为正数的等比数列{a n}中，S n是它的前n项和，若a1a7＝4，且a4+2a7＝，则S5＝（）A．29B．30C．31D．32【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，若a1a7＝4，则（a4）2＝4，则有a4＝2，又由a4+2a7＝，则a7＝，则有q3＝＝，解可得q＝，则有a1＝＝16，则有S5＝＝＝31；故选：C．【知识点】等比数列的通项公式10.（2020•宁德一模）已知等比数列{a n}满足a1＝，4a2a4＝4a3﹣1，则a2＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，＝4×﹣1，整理可得，（q2﹣4）2＝0，∴q＝±2，∴a2＝a1q＝．故选：A．【知识点】等比数列的通项公式11.（2020•武侯区校级模拟）在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n+ln（1+），则a5等于．【解答】解：在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n+ln（1+），所以a2＝a1+ln（1+1）＝2+ln2，a3＝a2+ln（1+）＝2+ln2+ln3﹣ln2＝2+ln3，a4＝a3+ln（1+）＝2+ln3+ln4﹣ln3＝2+ln4，a5＝a4+ln（1+）＝2+ln4+ln5﹣ln3＝2+ln5，故答案为：2+ln5．【知识点】数列递推式12.（2020•普陀区一模）各项都不为零的等差数列{a n}（n∈N*）满足a2﹣2a82+3a10＝0，数列{b n}是等比数列，且a8＝b8，则b4b9b11＝．【解答】解：各项均不为0的等差数列{a n}满足a2﹣2a82+3a10＝0，∴+3（a1+9d）＝0，化为：a1+7d＝2＝a8，∵数列{b n}是等比数列，且b8＝a8＝2，∴b4b9b11＝．故答案为：8．【知识点】等差数列与等比数列的综合13.（2020•内江模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3＝3，a7a8a9＝27，则a4a5a6＝．【解答】解：依题意，a1a2a3＝＝3，得a2＝，a7a8a9＝＝27，得a8＝3，∴a4a5a6＝＝＝＝＝32＝9．故答案为：9．【知识点】等比数列的性质14.（2020•宝山区一模）已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n＝a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10＝﹣．【解答】解：设c n＝a n•b n＝an2+bn+c，则，解得∴c10＝﹣1×102+5×10+3＝﹣47，故答案为：﹣47．【知识点】等差数列的前n项和15.（2020•宜宾模拟）在等差数列{a n}中，若a1＝2，a2+a3＝10，则a7＝．【解答】解：依题意，a2+a3＝10＝2a1+3d＝2×2+3d，∴d＝2，∴a7＝a1+6d＝2+12＝14，故答案为：14．【知识点】等差数列的通项公式16.（2020•景德镇一模）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，若，c＝1，则△ABC的面积为．【解答】解：依题意，A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，∵A+B+C＝180°，∴3B＝180°，即B＝60°，由正弦定理即，∴sin C＝，又b＞c，∴C＜B，∴C＝30°，∴A＝90°，所以△ABC的面积为＝，故答案为：．【知识点】等差数列的通项公式17.（2020•攀枝花一模）正项等比数列{a n}满足，且2a2，，a3成等差数列，则（a1a2）•（a2a3）•…•（a n a n+1）取得最小值时的n值为．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比设为q，，且2a2，，a3成等差数列，可得a1+a1q2＝，a4＝2a2+a3，即q2＝2+q，解得q＝2，a1＝，则a n＝•2n﹣1＝2n﹣3，a n a n+1＝2n﹣3•2n﹣2＝22n﹣5，则（a1a2）•（a2a3）•…•（a n a n+1）＝2﹣3•2﹣1…22n﹣5＝2﹣3﹣2+…+2n﹣5＝2＝2＝2，当n＝2时，（a1a2）•（a2a3）•…•（a n a n+1）取得最小值，故答案为：2．【知识点】等差数列与等比数列的综合18.（2020•天河区一模）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝1+a1+…+a n﹣1（n∈N*，n≥2），则当n≥1时，a n＝﹣．【解答】解：∵数列{a n}满足a1＝1，a n＝1+a1+…+a n﹣1（n∈N*，n≥2），则a1＝1＝20，a2＝2＝21，a3＝4＝22，，…由此可得当n≥1时，．故答案为：2n﹣1．【知识点】数列递推式19.（2020•南平一模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意，设等比数列{a n}的公比为q，则S n＝＝﹣•q n+＝a•2n﹣1．故q＝2，＝﹣1，解得a1＝1．a＝﹣＝﹣1．∴数列{a n}的通项公式为a n＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，a n+1＝2n，S n＝2n﹣1．＝＝﹣．∴T n＝b1+b2+…+b n＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝1﹣．【知识点】等比数列的性质、数列的求和20.（2020•吕梁一模）已知数列{a n}满足a1＝1，（n+1）a n+1＝na n+n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为数列的前n项和，求证：．【解答】解：（1）由（n+1）a n+1＝na n+n+1得，（n+1）a n+1﹣na n＝n+1，取n＝1，2，3，…，n﹣1得，2a2﹣a1＝23a3﹣2a2＝34a4﹣3a3＝4，……na n﹣（n﹣1）a n﹣1＝n，相加得，所以．证明：（2）由（1）得，，所以S n＝＝，因S n随n的增大而增大，所以，又S n＜2，所以．【知识点】数列递推式、数列的求和21.（2020•西安一模）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S，若a1＝1，S n＝a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若b n＝na n+1，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由题意，由S n＝a n+1，可得当n≥2时，S n﹣1＝a n，两式相减，得a n＝S n﹣S n﹣1＝a n+1﹣a n，即＝2，∵a1＝1，a2＝S1＝1，∴当n≥2时，a n＝2n﹣1，验证n＝1时不成立，∴数列{a n}的通项公式为a n＝．（2）由（1）知，b n＝n•2n，n∈N*．∴S n＝1•2+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，2S n＝1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减，可得﹣S n＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴S n＝（n﹣1）•2n+1+2．【知识点】数列递推式、数列的求和22.（2020•茂名一模）已知数列{a n}满足，a1+．（1）求a1，a2的值（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n＝，数列{b n}的前n项和为S n，求证：∀n∈N*，＜1．【解答】解：（1）数列{a n}满足，a1+①．当n＝1时，a1＝1．当n＝2时，，解得a2＝4．解：（2）当n≥2时，②，①﹣②得：＝n，所以（首项符合通项）．故：．证明：（3）根据题意＝，所以＝1﹣＜1，当n＝1时，．且函数为增函数，故：∀n∈N*，＜1．【知识点】数列递推式、数列的求和23.（2020•咸阳一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣2n﹣1，（n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n•（a n+2）}的前n项和．【解答】解：（I）证明：令n＝1，则a1＝3．∵S n＝2a n﹣2n﹣1，（n∈N+）①∴S n﹣1＝2a n﹣1﹣2（n﹣1）﹣1，（n≥2，n∈N+）②①﹣②得：a n＝2a n﹣2a n﹣1﹣2，a n＝2a n﹣1+2，∴，∴{a n+2}是等比数列．（II）由（I）知：数列{a n+2}是首项为：a1+2＝5，公比为2的等比数列．∴，∴，设数列{n•（a n+2）}的前n项和为T n，则③∴④③﹣④得：＝，∴．【知识点】数列递推式、数列的求和24.（2020•绵阳模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a2＝0，S6＝24．各项均为正数的等比数列{b n}满足b l+b2＝a4+1，b3＝S4．（1）求a n和b n；（2）求和：T n＝1+（1+b1）+（1+b l+b2）+…+（1+b l+b2+…+b n﹣1）．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由题意，得，解得．∴a n＝2n﹣3，n∈N*．∵等比数列{b n}的各项均为正数，由，解得或（舍去）．∴b n＝2n，n∈N*．（2）由（1），得1+b1+b2+…+b n﹣1＝1+2+22+…+2n﹣1＝2n﹣1．则T n＝1+（1+b1）+（1+b l+b2）+…+（1+b l+b2+…+b n﹣1）．＝1+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21+22+23+…+2n）﹣n＝﹣n＝2n+1﹣n﹣2．【知识点】等差数列与等比数列的综合、数列的求和25.（2020•闵行区一模）已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝a（a＞1），|a n+2﹣a n+1|＝|a n+1﹣a n|+d，（d＞0），n∈N*．（1）当d＝a＝2时，写出a4所有可能的值；（2）当d＝1时，若a2n＞a2n﹣1且a2n＞a2n+1对任意n∈N*恒成立，求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项和为S n，若{a2n}、{a2n﹣1}分别构成等差数列，求S2n．【解答】解：（1）当d＝a＝2时，|a n+2﹣a n+1|＝|a n+1﹣a n|+2，即{|a n+1﹣a n|}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴|a n+1﹣a n|＝2n﹣1，∴a3﹣a2＝±3，a4﹣a3＝±5，∴a3＝5，﹣1，a4＝a3±5，∴a4＝10或a4＝0或a4＝4或a4＝﹣6；（2）当d＝1时，|a n+2﹣a n+1|＝|a n+1﹣a n|+1，即{|a n+1﹣a n|}是以a﹣1为首项，1为公差的等差数列，∴|a n+1﹣a n|＝a﹣1+n﹣1＝a﹣2+n，∴|a2n+1﹣a2n|＝a﹣2+2n，|a2n﹣a2n﹣1|＝a﹣3+2n，∵a2n＞a2n﹣1，a2n＞a2n+1，∴a2n+1﹣a2n﹣1＝﹣1，∴a2n﹣1＝2﹣n，a2n＝a﹣3+2n+a2n﹣4＝a﹣1+n，∴；（3）由已知得，|a n+1﹣a n|＝a﹣1+（n﹣1）d①，若{a2n}，{a2n﹣1}分别构成等差数列，则a2n﹣a2n﹣1＝±[a﹣1+（2n﹣2）d]（n≥2）②，a2n+1﹣a2n＝±[a﹣1+（2n﹣1）d]（n≥1）③，a2n+2﹣a2n+1＝±（a﹣1+2nd）（n≥1）④，由②+③得，a2n+1﹣a2n﹣1＝±[a﹣1+（2n﹣1）d]±[a﹣1+（2n﹣2）d]（n≥2），∵{a2n﹣1}是等差数列，a2n+1﹣a2n﹣1必为定值，∴a2n+1﹣a2n﹣1＝[a﹣1+（2n﹣1）d]﹣[a﹣1+（2n﹣2）d]或a2n+1﹣a2n﹣1＝﹣[a﹣1+（2n﹣1）d]+[a﹣1+（2n﹣2）d]，即a2n+1﹣a2n﹣1＝d（n≥2）或a2n+1﹣a2n﹣1＝﹣d（n≥2），而由①知，|a3﹣a2|＝a﹣1+d，即a3﹣a2＝±（a﹣1+d），∴a3﹣a1＝a﹣1±（a﹣1+d），即a3﹣a1＝﹣d或a3﹣a1＝2（a﹣1）+d（舍），故，∴a2n﹣1＝1﹣（n﹣1）d，同理③+④得：a2n+2﹣a2n＝±（a﹣1+2nd）±[a﹣1+（2n﹣1）d]（n≥1），∴a2n+2﹣a2n＝d或a2n+2﹣a2n＝﹣d，由上面的分析可知，a3﹣a2＝﹣a+1﹣d，而a4﹣a3＝±（a﹣1+2d），故a4﹣a2＝﹣a+1﹣d±（a﹣1+2d），即a4﹣a2＝d或a4﹣a2＝﹣2a+2﹣2d（舍），∴a2n+2﹣a2n＝d，∴a2n＝a+（n﹣1）d，从而，∴．【知识点】数列递推式。
(完整版)《数列》练习题及答案
欢迎阅读《数列》练习题姓名_________班级___________一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列－2，0，2，…的第15项为( ) A ．11 2 B ．12 2 C ．13 2 D ．14 22．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．23．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) A.14 B.94 C.134 D.1745．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( )A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]6．小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)．其中正确的命题序号为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．①7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( )A ．0B ．－ 3 C. 3D.328．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ3n}为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12D.129．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A．S17 B．S18 C．S19D．S2010．将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )A．34 950 B．35 000 C．35 010D．35 050二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.12．设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项a n＝________.．)100项2,0，n2n1232n－1<3.18．(本小题满分8分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝3＋log4a n，设T n＝|b1|＋|b2|＋…＋|b n|，求T n.19．(本小题满分10分)已知单调递增的等比数列{a n}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n ＝n n a log a 21，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．参考答案选择题答案题号 12345678910答案C A B C C C B C C A填空题答案第11题 24第12题第13题 a n ＝2·3n第14题-7【第15题】S 5＝5?a 1＋a 5?2＝5?a 1＋5?2＝15，∴a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝5－15－1＝1.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n ?n ＋1?.设{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，则T 100＝11×2＋12×3＋…＋1100×101 ＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101 ＝1－1101＝100101. 【第16题】(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .【第17题】(1)∵{a n }是递减的等比数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数． 又∵{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}，∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1＝24＝12.∴a n ＝a 1q n －1＝82n .(2)由已知得b n ＝12])1(1[8+--n n ，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n . 即b n ＝⎩⎨⎧0，?n ＝2k ，k ∈N *?，a n ，?n ＝2k －1，k ∈N *?.∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1T n T n n ⎪⎩≥+-)7(,460112n n n 【第19题】(1)n n 2a =(2)∵b n ＝2n ·log 12 2n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① －2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21)21(2--n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，∴2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立． ∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n 恒成立，即m <12n －1恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．。
人教A版高中数学选修二第四章《数列》提高训练题 (20)(含答案解析)
（2）若 为数列 的前 项和，且 ，求数列 的前 项和.
42．已知正项等比数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
43．已知Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，S3＝6，a3是a1与a9的等比中项．
A．3976B．3974
C．3978D．3973
10．已知函数 是定义在 上的单调函数，且对任意的正数 ， 都有 ，若数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （）
A． B． C． D．
11．已知等比数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且满足：a1＋3a3＝ ，S3＝ ，则a4＝（）
A． B．
C．4D．8
故选：A.
10．D
【解析】
根据 ，对 进行变形得到 ，根据知 求 ，经过计算得到 的通项公式.
因为 对于对任意的正数 ， 都成立，
所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，
故两式相减得 ，即
又当 时， ，即 ，
故数列 是首项为1，公比为 的等比数列，即 ．
故选：D.
11．A
【解析】
根据等比数列的通项公式、求和公式求解即可.
D．若 既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
17．（多选题）已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列 的前 项和为 ，则下列选项正确的为（）
A．数列 是等差数列
B．数列 是等比数列
C．数列 的通项公式为
D．
18．设数列 是以 为公差的等差数列， 是其前 项和， ，且 ，则下列结论正确的是（）
则 .
所以 .
所以 .
故选：A
7．A
高一数学《数列》同步训练(共7份)含答案必修5
必修5《数列》同步训练（共7份）含答案2．1 数列的概念与简单表示法一、选择题：1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1…，的通项公式的是 （ ） A.(1)n n a =- B.1(1)n n a +=- C.1(1)n n a -=- D.{11n n a n =-，为奇数，为偶数2，的一个通项公式是 （ ）A. n aB. n a =C. n a =D.n a =3．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第 （ ）项. A. 9 B. 10 C. 11 D. 124．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为 （ ）A. 非负整数集B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n5．已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是 （ ）A. 第一项B. 第二项C. 第三项D. 第二项或第三项6．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ）A. 6B. 3-C. 12-D. 6-二.填空题：7、观察下面数列的特点，用适当的数填空（1），14，19，116，； （2）32，54，，1716，3332，。
8.已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a =.9.根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。
（1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为.（2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为.（3）数列1524354863,,,,,,25101726的一个通项公式为.10.已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n na a a +=+-，则4a =.三.解答题11.已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数，①求{}n a 的通项公式，并求2005a ；②若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成，试归纳{}n b 的一个通项公式.12.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.2.2等差数列一.选择题：1、等差数列｛a n ｝中，a 1=60,a n+1=a n+3则a 10为………………………………（ ） A 、-600 B 、-120 C 、60 D 、-602、若等差数列中，a 1=4,a 3=3,则此数列的第一个负数项是……………………（ ）A 、a 9B 、a 10C 、a 11D 、a 12 3.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是 （ ）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列4.已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=……………………（ ） A 、36 B 、30 C 、24 D 、185.等差数列3,7,11,,---的一个通项公式为 （ ）A.47n -B.47n --C.41n +D.41n -+6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，，32313n n n a a a --++，是 （ ）A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D.一定是递减数列二.填空题：7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a =.8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a =.9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a =.10.若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8=.三.解答题11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,---中的项，若是，是第几项？12.等差数列｛a n｝中，a1=23，公差d为整数，若a6>0,a7<0.（1）求公差d的值;（2）求通项a n.13、若三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.2.3等差数列的前n 项和一.选择题：1.等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a += （ ）A.12B.24C.36D.482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为 （ ）A.0B.90C.180D.3603.已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数D.有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A.130B.170C.210D.2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为 （ ）A.0B.100C.1000D.100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b += （ ） A.38B.1124C.1324D.3172二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s =.8.等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d =.9.有一个 凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差是100，最小角为1000，则边数n=.10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b =. 三.解答题11.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.12.已知等差数列｛a n｝的项数为奇数，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。
2024数学高考前冲刺题《数列》含答案
黄金冲刺大题02 数列（精选30题）1．（2024·江苏南通·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2112n n S a n -=+，*n ∈N .(1)求1a ，2a ，并证明：数列{}1n n a a ++是等差数列；(2)求20S .2．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n -=+（2n ≥）．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <．3．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足121,1,n n n a n a a n +-⎧=⎨+⎩为奇数为偶数且11a =．(1)求数列{}n a 的通项公式．(2)求数列{}n a 的前100项和100S ．4．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，记数列{}n b 的前n 项和为12,0,2n S b b ==且满足12n n n b S a +=+.(1)证明：数列{}1n b +是等比数列；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T .5．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21n n S S a a n ==+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足13b =，令21n n n n a b a b ++⋅=⋅，求证：192nk k b =<∑．6．（2024·浙江·二模）欧拉函数()()*N n n ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n 且与n 互素的正整数的个数，例如：()11ϕ=，()42ϕ=，()84ϕ=，数列{}n a 满足()()*2N n n a n ϕ=∈.(1)求1a ，2a ，3a ，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记()222log 1nnn na b a =-，求数列{}n b 的前n 和n S .7．（2024·重庆·模拟预测）已知数列{}n a 满足*12323(1)!,N n a a a na n n ++++=+∈ ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若1023k ≤且*N k ∈，记10241024k k ka b a a -=⋅，讨论数列{}k b 的单调性．8．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a ==(1)求{}n a 的通项公式；(2)若14nn n n S b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．9．（2024·福建三明·三模）已知数列{}n a满足2*121N n nn n a a a a n +-⋅⋅=∈ ，．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式()2114nn n tS S --≤对任意的*N n ∈恒成立，求实数t 的取值范围；(3)记221log n n b a =)*N n <∈ ．10．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，1133441,2,2a b S b S b ===+=+．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设1n n nc b S =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．11．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足12323(1)21nn a a a na n ++++=-+ ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1232n n na b n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．12．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足1212133...34n n nn n a a a a ---++++=，*N n ∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1n n b a =-，证明：121117...9n b b b +++<．13．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的各项均不小于1，前n 项和为{}21,1,2n n n S a S a =-是公差为1的等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式．(2)求数列221n n a S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．14．（2024·安徽·模拟预测）已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132nn n a a ++=⨯．(1)求{}n a 的通项公式；(2)已知3n nn b a =，求使{}n b 取得最大项时n 的值．1.26≈）15．（2024·辽宁·一模）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足2*111(N )22n n n S a a n =+-∈，且12345,,,,a a a a a 成等比数列，当5n ≥时，0n a >．(1)求证：当5n ≥时，{}n a 成等差数列；(2)求{}n a 的前n 项和n S ．16．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若等差数列{}n a 的公差不为零且数列{}n b 满足：()()2411n n n n b a a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．（2024·湖南·二模）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()12121n n na n a a S +-++=- .(1)证明：数列{}n S 是等比数列；(2)求最小的正整数m ，使得1212nnm a a a ≥+++ 对一切*n ∈N 都成立.18．（2024·河北石家庄·二模）已知数列{}n a 满足113,,7,2,.n n n a n a a a n +-⎧==⎨⎩为奇数为偶数(1)写出234,,a a a ;(2)证明:数列{}216n a --为等比数列;(3)若2n n b a =，求数列(){}3n n b ⋅-的前n 项和n S .19．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23,22n n a S n a ==+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若存在*n ∈N ，使得112231111n n n a a a a a a a λ+++++≥ 成立，求实数λ的取值范围．20．（2024·湖北·二模）已知各项均不为0的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,4n n n a a a S ++==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若对于任意*,2nn n S λ∈⋅≥N 成立，求实数λ的取值范围．21．（2024·湖北·模拟预测）数列{}n a 中，11a =，29a =，且2128n n n a a a +++=+，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足2n n b a =，10n n b b +<，求n S ．22．（2024·全国·模拟预测）已知n S 是各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和，22113230,13n n n n a a a a S ++--==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()41n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．23．（2024·湖北黄石·三模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，756S =，2820a a +=，等比数列{}n b 满足11b a =，3b 是2a ，8a 的等比中项.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足ππcossin 22n n n n n c a b =+，求数列{}n c 前4n 项的和4n T .24．（2024·山东菏泽·一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*22N n n S a n =-∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若221log n n b a -=，11n n n c b b +=，求证：12312n c c c c ++++< ．25．（2024·山东聊城·二模）已知数列{}{},n n a b 满足21212212,,n n n n a b m a mb m --=+=为常数，若{}n a 为等差数列，且()()423111228b b b b a b -=-=+=．(1)求m 的值及{}n a 的通项公式；(2)求{}n b 的前2n 项和2n S ．26．（2024·福建·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，数列{}n b 满足nn nS b a =，且,n n a b 均为正整数.(1)是否存在数列{}n a ，使得{}n b 是等差数列？若存在，求此时的n S ；若不存在，说明理由；(2)若1n n b b ->，求{}n a 的通项公式.27．（2024·河北邢台·二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求证：12311112nS S S S ++++< ．28．（2024·江苏南通·二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14+=-n n n S a a ，11a =-.(1)证明：数列1{2}n n a a +-为等比数列；(2)设4(1)+=+n n a b n n ，求数列{}n b 的前n 项和；(3)是否存在正整数p ，q （6<<p q ），使得p S ，6S ，q S 成等差数列？若存在，求p ，q ；若不存在，说明理由.29．（2024·辽宁·二模）已知数列{}n a 的各项是奇数，且n a 是正整数n 的最大奇因数，34212n n S a a a a a =+++++L .(1)求620,a a 的值；(2)求123,,S S S 的值；(3)求数列{}n S 的通项公式.30．（2024·山东·二模）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，211,cos 42n n n a S a n π=+=．(1)求3a 和{}n a 的通项公式；(2)设数列1n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12111118846n n k k T =-⨯<<∑．黄金冲刺大题02 数列（精选30题）1．（2024·江苏南通·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2112n n S a n -=+，*n ∈N .(1)求1a ，2a ，并证明：数列{}1n n a a ++是等差数列；(2)求20S .【答案】(1)14a =，22a =，证明见解析；(2)420.【分析】（1）直接代入1n =可得14a =，再代入2n =，结合1a 的值求出22a =；再由2112n n S a n -=+仿写出()2111112n n S a n ---=-+，作差后得到142n n a a n -+=-，即可证明结果.（2）由（1）知数列{}1n n a a ++为等差数列，然后代入等差数列的前n 项和公式求解即可.【详解】（1）当1n =时，由条件得11122a a -=，所以14a =.当2n =时，由条件得()122152a a a +-=，所以22a =.因为2112n n S a n -=+，所以()2111112n n S a n ---=-+（2n ≥），两式相减得：1112122n n n a a a n --+=-，即142n n a a n -+=-，所以()()()()11412424n n n n a a a a n n +-+-+=+---=⎡⎤⎣⎦，从而数列{}1n n a a ++为等差数列.（2）由（1）知142n n a a n -+=-，所以()141242n n a a n n ++=+-=+，所以数列{}1n n a a ++为等差数列，首项为126a a +=，所以()()()()()1219202012341920102a a a a S a a a a a a ⨯+++⎡⎤⎣⎦=++++++=，所以()()()()201067842244242024202S ⨯+=⨯-+⨯-++⨯-== .2．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n -=+（2n ≥）．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <．【答案】(1)2n a n n =+，*n ∈N ；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n 项和公式求解即得.（2）利用裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）数列{}n a 中，当2n ≥时，12n n a a n -=+，即12n n a a n --=，则12112312()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=--⋅⋅⋅+--++++()()2222462222n n n a n n n n +=+++⋅⋅⋅+-+==+，而12a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n n =+，*n ∈N ．（2）由（1）知()21n a n n n n =+=+，*n ∈N ，则()111111n a n n n n ==-++，因此()()1111122311n S n n n n =++⋅⋅⋅++⨯⨯-+1111111111223111n n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-+-=--++，而1n ≥，则1111n -<+，所以1n S <．3．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足121,1,n n n a n a a n +-⎧=⎨+⎩为奇数为偶数且11a =．(1)求数列{}n a 的通项公式．(2)求数列{}n a 的前100项和100S ．【答案】(1)1222,21,n n nn a n -⎧⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数(2)503253⨯-【分析】（1）由递推公式得，当*N k ∈，{}21k a -是首项为1，公比为2的等比数列，令21k k b a =+， {}k b 是首项为2，公比为2的等比数列，分别求出通项公式即可；（2）由分组求和，分别计算奇数项和偶数项之和，再根据等比数列前n 项和公式计算即可．【详解】（1）由题意，得当*k ∈N 时，22121k k a a -=-，①2121k k a a +=+．②将①代入②，得21212k k a a +-=，所以{}21k a -是首项为1，公比为2的等比数列，所以1212k k a --=．又因为222121k k a a ++=-，所以22221k k a a +=+，所以()222121k k a a ++=+．令21k k b a =+，则12k k b b +=，而21211a a =-=，1212b a =+=，所以{}k b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2kk b =，所以221k k a =-．所以1222,21,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数．（2）()()100139924100S a a a a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()01491250222212121=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-()()0149125022222250=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-()()5050112212501212⨯-⨯-=+---503253=⨯-．4．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，记数列{}n b 的前n 项和为12,0,2n S b b ==且满足12n n n b S a +=+.(1)证明：数列{}1n b +是等比数列；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析；(2)()()213112n nn T nn -⋅+=-+.【分析】（1）根据通项与前n 项和之间的关系，作差可得132n n b b +=+，即可利用等比数列的定义求解，（2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解.【详解】（1）2n ≥时，()111222n n n n n n n b b S S a a b +---=-+-=+，即132n n b b +=+.又120,2b b ==，也符合2132b b =+，所以1n ≥时，132n n b b +=+，即()1131n n b b ++=+.又1110b +=≠，所以10n b +≠，所以1131n n b b ++=+，所以数列{}1n b +成等比数列.（2）由（1）易得131n n b -=-.由2112b b a =+可得12a =，所以2n a n =.所以()11231232n n n n a b n n n --=-=⋅-，所以()()0121213233331n n T n n n -=⋅+⋅+⋅++⋅-+ .令01211323333n M n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ，则12331323333n M n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，所以()()01212131132333333132nn n n nn M n n --⋅+-=-+++++⋅=⋅-=- ，所以()()()21312112n n n T M n n n n -⋅+=-+=-+.5．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21n n S S a a n ==+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足13b =，令21n n n n a b a b ++⋅=⋅，求证：192nk k b =<∑．【答案】(1)()21n a n n *=-∈N (2)证明见解析【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意可得()()11114684212211a d a dan d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，解方程求出1,a d ，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得12123n n b n b n +-=+，由累乘法可求出{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求解即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ．由4224,21n nS S a a ==+，得()()11114684212211a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，解得：1a 1,d 2==，所以()()12121n a n n n *=+-=-∈N ．（2）由（1）知，()()12123n n n b n b +-=+，即12123n n b n b n +-=+，12321n n b n b n --=+，122521n n b n b n ---=-，……，322151,75b b b b ==，利用累乘法可得：1211212325313212175n n n n n b b b n n b b b b b n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-()()()99112212122121n n n n n ⎛⎫==-≥ ⎪-+-+⎝⎭，13b =也符合上式，11231k k n nnb b b b b b =-∑=+++++ 9111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦ 911221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以191912212k k n b n =⎛⎫∑=-< ⎪+⎝⎭．6．（2024·浙江·二模）欧拉函数()()*N n n ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n 且与n 互素的正整数的个数，例如：()11ϕ=，()42ϕ=，()84ϕ=，数列{}n a 满足()()*2N n n a n ϕ=∈.(1)求1a ，2a ，3a ，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记()222log 1nnn na b a =-，求数列{}n b 的前n 和n S .【答案】(1)11a =，22a =，34a =，12n n a -=(2)()620625254n nn S +=-+⨯-【分析】（1）根据题意理解可求1a ，2a ，3a ，结合与2n 互素的个数可求数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）由题意可知()121a ϕ==，()242a ϕ==，()384a ϕ==，由题意可知，正偶数与2n 不互素，所有正奇数与2n 互素，比2n 小的正奇数有12n -个，所以()122n n n a ϕ-==；（2）由（1）知()122n n n a ϕ-==，所以()221222n n n a ϕ-==，所以()()()()()21222212log log 2211112142244nn nn n n n n n n a b n n a --⎛⎫=-=-=--=-- ⎪⎝⎭，12n n S b b b =+++ ，所以()()12111112646424444n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()()2311111126464244444nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-++-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②所以①－②得()12151111244244444n n n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++---⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111641144212414n n n -+⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+⨯--⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()()1111111320614225441054n n n n n -++⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-+----⨯-=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯-⎢⎥⎣⎦，所以()620625254n n n S +=-+⨯-.7．（2024·重庆·模拟预测）已知数列{}n a 满足*12323(1)!,N n a a a na n n ++++=+∈ ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若1023k ≤且*N k ∈，记10241024k k ka b a a -=⋅，讨论数列{}k b 的单调性．【答案】(1)2,1!,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩(2)当*1512,N k k ≤≤∈时，{}k b 单调递增；当*5121024,N k k ≤≤∈时，{}k b 单调递减【分析】（1）分两种情况讨论，1n =和2n ≥，即可求解；（2）先计算出1b 和1023b ，当21022k ≤≤时，计算出1k k b b -，令11kk b b -=，再检验两端点，即可得出{}k b 的单调性．【详解】（1）由已知得，当1n =时，12!2a ==，当2n ≥时，123123(1)!n a a a n a n +++++-= ①，12323(1)!n a a a na n ++++=+ ②，②-①得，(1)!!!n na n n n n =+-=⋅，即!n a n =，所以2,1!,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩．（2）当1k =时，12a =，1024110231024!102451221023!2k a b a a ====⋅⨯，当1023k =时，1024102311024!102451221023!2k a b a a ====⋅⨯，当21022k ≤≤时，1024!!(1024)!k b k k =⋅-，11024!(1)!(1025)!k b k k -=-⋅-，11024!(1)!(1025)!1025102510251!(1024)!1024!k k b k k k k b k k k k k --⋅---=⨯===-⋅-，显然，当21023,k ≤≤*N k ∈时，单调递减，令11k k b b -=，即102511k-=，解得512.5k =，所以当*2512,N k k ≤≤∈时，11kk b b ->，{}k b 单调递增，又211024!102310245122!(10242)!2b b ⨯==>=⋅-，所以当*1512,N k k ≤≤∈时，{}k b 单调递增；当*5131024,N k k ≤≤∈时，11kk b b -<，又102210231024!102310245121022!(10241022)!2b b ⨯==>=⋅-，所以当*5121024,N k k ≤≤∈时，{}k b 单调递减．8．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a ==(1)求{}n a 的通项公式；(2)若14nn n n S b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =-(2)21n n T n n =++【分析】（1）首先求出11a =，可证明数列为首项为1，公差为1的等差数列，得到2n S n =，利用1n n n a S S -=-得到{}n a 的通项公式；（2）由（1）知，2144(21)(21)n n n n S n b a a n n +==-+，化简可得111122121n b n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n ==+=，解得：11a =，1==，则数列为首项为1，公差为1的等差数列；n =，则2n S n =，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，12111a =⨯-=满足条件，所以{}n a 的通项公式为21n a n =-(*)n ∈N （2）由（1）知，2144(21)(21)n n n n S n b a a n n +==-+，所以2224111111114141(21)(21)22121n n b n n n n n n ⎛⎫==+=+=+- ⎪---+-+⎝⎭，故11111111112335212122121n nT n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-=+ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ ，即21n nT n n =++9．（2024·福建三明·三模）已知数列{}n a满足2*121N n nn n a a a a n +-⋅⋅=∈ ，．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式()2114nn n tS S --≤对任意的*N n ∈恒成立，求实数t 的取值范围；(3)记221log n n b a =)*N n <∈ ．【答案】(1)2n n a =(2)25[9,3-(3)证明见解析【分析】（1）当1n =时求出1a ，2n ≥时，用121121n nn n a a a a a a a a --⋅⋅⋅=，即可求解；（2）由2nn a =得出n S ，由()2114n nn tS S --≤得()2114nnn S t S +-≤，根据对勾函数的单调性及n S 的值，即可求出t 得范围；（3）由（1）得12n b n ==<即可证明．【详解】（1）当1n =时，212a ==，当2n ≥时，12112212n n n n n n a a a a a a a a --==⋅⋅⋅== ，1n =时成立， 所以2n n a =．（2）由2nn a =得，12(12)2212n n n S +-==--，显然*N n ∈时，n S 单调递增，12n S S ≥=，由()2114n nn tS S --≤得，()2114nnn S t S +-≤，又21414n n n nS S S S +=+≥14n n S S =时，即n S =时等号成立，因为1232,6,14S S S ===，12S S <<，且11149S S +=，2214253S S +=，3131141415S S S S +=>+，所以当1n =时，()1119114S S t +≤=-，解得9t ≥-，当2n =时，()222142531S S t +≤=-，解得253t ≤，所以25[9,]3t ∈-．（3）证明：由（1）得2222111log log 22n n n b a n=======<===++==<．10．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，1133441,2,2a b S b S b ===+=+．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设1n n nc b S =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)n a n =，12n n b -=(2)121nn n T n -=++【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式可得231d q +=、362d q +=，解之即可求解；（2）由（1）得12221n n c n n -=-++，结合裂项相消求和法和等比数列前n 项和公式计算即可求解【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为()0q q ≠，由111a b ==，332S b =+，442S b =+得231d q +=，362d q +=，两式相除得2q =，所以314,1d d +==，所以()1111n a a n d n n =+-=+-=，1112n n n b b q --==．（2）由（1）得()11,,22n n n n n n a n S b -+===，所以()1112222211n n n n n c b S n n n n --=+=+=-+++，所以222222121212231121n n n n T n n n --=-+-+⋅⋅⋅+-+=++-+．11．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足12323(1)21nn a a a na n ++++=-+ ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1232n n na b n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】(1)12n n a -=(2)1212n n S n +=-+【分析】（1）利用数列的和与项的关系构造①，② 两式，相减即得数列的通项；（2）求出n b ，将其裂项后，进行求和，消去中间项即得.【详解】（1）当1n =时，11a =．依题意，12323(1)21n n a a a na n ++++=-+ ①当2n ≥时，1123123(1)(2)21n n a a a n a n --++++-=-+ ②．①－②得11(1)21(2)212(2)n n n n na n n n n --⎡⎤⎡⎤=-+--+=⋅≥⎣⎦⎣⎦，所以12(2)n n a n -=≥．因1n =时，该式也成立，故{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）由（1）知12n n a -=，由1232n n n a b n n +⋅=++可得1222(1)(2)21n n nn n b n n n n +⋅==-++++则23243222222324354n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12112222221121n n n n n n n n n n n n ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212n n +-+．12．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足1212133...34n n n n n a a a a ---++++=，*N n ∈．n (2)若1n n b a =-，证明：121117 (9)n b b b +++<．【答案】(1)14,14,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)证明见解析【分析】（1）考查n a 与n S 的关系，借助n a 与n S 的关系的解题步骤①11a S =，②()12n n n a S S n -=-≥，③检验的思想方法进行求解即可.（2）先求出1n b ，再求和12111...n b b b +++，当2n ≥时对1n b 进行放缩变形即可求和证明出不等式.【详解】（1）当1n =时，14a =；当2n ≥时，1212133...34n n nn n a a a a ---++++=①，231122133...34n n n n n a a a a -----++++=②．①3-⨯②得()142n n a n -=≥，因为14a =不满足上式，所以14,14,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩.（2）由（1）13,1141,2n nn n b a n -=⎧=-=⎨-≥⎩，因为()1222413441342n n n n n -----=⨯+-≥⨯≥，所以()211234n n n b -≤≥⨯，当1n =时，111739b =<；当2n ≥时，12101212111111111111......341414133444n n n b b b --⎛⎫+++=++++≤++++ ⎪---⎝⎭1111111411474113339439914n n ---⎛⎫=+⨯=+⨯-<+= ⎪⎝⎭-，综上，对任意的*N n ∈，121117 (9)n b b b +++<.13．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的各项均不小于1，前n 项和为{}21,1,2n n n S a S a =-是公差为1的等差数列．n (2)求数列221n n a S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(1)n a n =；(2)n T ()22481n nn +=+．【分析】（1）利用前n 项和与通项公式之间的关系判定{}n a 是等差数列，再求通项公式即可.（2）对需要求和的数列先进行化简，再利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由11a =，得21121S a -=．因为{}22n n S a -是公差为1的等差数列，所以()2211n n S a n n -=+-=．当2n ≥时，21121n n S a n ---=-．两式相减，得22121n n n a a a --+=，所以()2211n n a a --=，又1na ≥，所以11n n a a --=，则11n n a a --=，所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以()11n a n n =+-=．（2）由（1）可知，()12n n n S +=，则()()()222222421111411n n n a S n n n n ⎛⎫++ ⎪==- ⎪++⎝⎭，所以数列221n n a S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和()2222211111412231n T n n ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭ ()2222211111412231n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦()()2221484111n nn n ⎡⎤+=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦．14．（2024·安徽·模拟预测）已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132nn n a a ++=⨯．(1)求{}n a 的通项公式；(2)已知3n nn b a =，求使{}n b 取得最大项时n 的值．1.26≈）【答案】(1)2n n a =(2)4【分析】（1）由递推关系将已知等式变形为()1122n n n n a a ++-=--，即可求出通项；（2）由已知可设11k k k k b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，代入k 解不等式组求出即可.【详解】（1）因为132nn n a a ++=⨯，所以()1122n n n n a a ++-=--，又12a =，所以120a -=，所以022n n n n a a -=⇒=.（2）由（1）有2n n a =，所以332n n n n n b a ==，设n k =时，n b 最大，因为1211,2,12b b b k ==>∴>，所以11k k k k b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，即()()()())3333133331121122121122k k kk k k k k k k k k k k k -+⎧-≥⎪⎧⎧≥-≥-⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨≥+≥++⎪⎪⎩≥⎪⎩，解得 4.853.85k k ⎧≤≈⎪⎪⎨⎪≥≈⎪⎩，又Z k ∈，所以4k =，所以使{}n b 取得最大项时n 的值为4.15．（2024·辽宁·一模）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足2*111(N )22n n n S a a n =+-∈，且12345,,,,a a a a a 成等比数列，当5n ≥时，0n a >．(1)求证：当5n ≥时，{}n a 成等差数列；(2)求{}n a 的前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析；(2)*2*1(1),14,N 152,5,N 22n n n n S n n n n ⎧--≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．【分析】(1)利用11n n n a S S ++=-得到1n a +和n a 的关系即可证明；(2)结合(1)中结论得()105n n a a n ++=≤，求出1a 和公比，得到{}n a 通项公式，从而根据等差和等比数列前n 项和公式即可求解．【详解】（1）∵2*111(N )22n n n S a a n =+-∈，∴222n n n S a a =+-，211122n n n S a a +++=+-，两式相减，得221112n n n n n a a a a a +++=-+-，即()()1110n n n n a a a a +++--=．当5n ≥时，0n a >，∴11n n a a +-=，∴当5n ≥时，{}n a 成等差数列．（2）由211111122a a a =+-，解得12a =或11a =-，又12345,,,,a a a a a 成等比数列，∴由(1)得()105n n a a n ++=≤，进而1q =-，而50a >，∴10a >，从而152a a ==，∴12(1),143,5n n n a n n -⎧⨯-≤≤=⎨-≥⎩，∴*2*1(1),14,N 152,5,N 22n n n n S n n n n ⎧--≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．16．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若等差数列{}n a 的公差不为零且数列{}n b 满足：()()2411n n n n b a a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)2n a =或2n a n =；(2)21n nT n n =++.【分析】（1）设数列公差，由条件列出方程，求解后运用等差数列基本量运算即得；（2）求出数列{}n b 的通项公式，根据其形式结构进行拆项和裂项，利用分组求和法与裂项求和法即可求得n T .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,23d d ++成等比数列，所以2(2)2(23)d d +=+，解得0d =或2d =，当0d =时，2n a =；当2d =时，2(1)22n a n n =+-⨯=所以数列{}n a 的通项公式为2n a =或2n a n =.（2）因为等差数列{}n a 的公差不为零，由（1）知()*2N n a n n =∈，则()()224411(21)(21)n n n n n b a a n n ==-+-+()()2241111412121n n n n -+==+--+111122121n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，所以11111111111121323525722121n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11122121n nT n n n n ⎛⎫=+-=+ ⎪++⎝⎭.17．（2024·湖南·二模）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()12121n n na n a a S +-++=- .(1)证明：数列{}n S 是等比数列；(2)求最小的正整数m ，使得1212nnm a a a ≥+++ 对一切*n ∈N 都成立.【答案】(1)证明见解析(2)7【分析】（1）用1n +替换已知，再与已知作差，得到12n n S S +=，即可得证；（2）由（1）可得212,21,1n n n n n a S S n --⎧≥=-=⎨=⎩，利用错位相减法求出1212n nnT a a a =+++()2722n n -=-+⨯，进而得到结果.【详解】（1）由题知()12121n n na n a a S +-++=- ，用1n +替换上式的n ，得()1211121n n n a na a S ++++++=- .两式作差，1211122n n n n n a a a a S S S +++++++==- ，即12n n S S +=.而由11121a S ⨯=-，可得110S =≠.从而{}n S 是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1）得12n n S -=，于是212,21,1n n n n n a S S n --⎧≥=-=⎨=⎩，设1212n nnT a a a =+++ ，则11T =，当2n ≥时，021222nn T n -=+⨯++⨯ ，故111122222n n T n --=+⨯++⨯ ，两式作差，得()()121221112121552222222212n n n n n T n n ---------=++++-⨯=+-⨯- .整理可得()2722nn T n -=-+⨯.故7n T <，又54968T =>，因此满足条件的最小正整数m 为7.18．（2024·河北石家庄·二模）已知数列{}n a 满足113,,7,2,.n n n a n a a a n +-⎧==⎨⎩为奇数为偶数(1)写出234,,a a a ;(2)证明:数列{}216n a --为等比数列;(3)若2n n b a =，求数列(){}3n n b ⋅-的前n 项和n S .【答案】(1)24a =，38a =，45a =(2)证明见解析(3)1(1)2nn S n =+-⋅【分析】（1）由数列的递推式，分别令1n =，2，3，计算可得所求值；（2）推得212162(6)n n a a +--=-，由等比数列的定义，可得证明；（3）求得132n n b -=+，1(3)2n n n b n -⋅-=⋅，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】（1）由113,,7,2,.n n n a n a a a n +-⎧==⎨⎩为奇数为偶数可得2134a a =-=；3228a a ==；4335a a =-=；（2）证明：由题可得21221216262662(6)n n n n a a a a +---=-=--=-，则数列{}216n a --是首项为1，公比为2的等比数列；（3）由（2）可得12162n n a ---=，即12162n n a --=+，1221332n n n n b a a --==-=+，1(3)2n n n b n -⋅-=⋅，前n 项和0121122232...2n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅，232122232...2n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减可得12112122 (2)2212nn nn n S n n ---=++++-⋅=-⋅-，化简可得1(1)2nn S n =+-⋅．19．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23,22n n a S n a ==+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若存在*n ∈N ，使得112231111n n n a a a a a a a λ+++++≥ 成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)1n a n =+；(2)1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【分析】（1）当1n =时，求得12a =，当3n ≥时，得到()()11212n n S n a --=-+，两式相减化简得到11121221n n a a n n n n -⎛⎫-=-- ⎪----⎝⎭，结合叠加法，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）得到111112n n a a n n +=-++，求得122311111122n n a a a a a a n ++++=-+ ，解法1：根据题意，转化为()222n n λ≤+，结合()2142224nn n n =⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式，即可求解；解法2：根据题意，转化为()()211222n n λ≤-++，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：当1n =时，111222S a a ==+，解得12a =，当3n ≥时，()()()1122,212n n n n S n a S n a --=+=-+，两式相减可得，()()1212n n n a n a ----=-，则11211112,2,12212332n n n n a a a a n n n n n n n n ---⎛⎫⎛⎫-=---=-- ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭，32121212a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭叠加可得，242111n a a nn n --=--，则1n a n =+，而1,2n =时也符合题意，所以数列{}n a 的通项公式为1n a n =+．（2）解：由（1）知1n a n =+，可得()()111111212n n a a n n n n +==-++++，故()1223111111111123341222n n n a a a a a a n n n ++++=-+-++-=+++ ；解法1：由112231111n n n a a a a a a a λ+++++≥ ，可得()()222n n n λ≥++，即()222n n λ≤+，即则()2max 22nn λ⎡⎤≤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，又由()2114162224n n n n =≤⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当2n =时取等号，故实数λ的取值范围为1,16∞⎛⎤- ⎥⎝⎦．解法2：由()1223111111222n n n a a a a a a n λ++++=-≥++ ，可得()()22111112224162n n n λ⎛⎫≤-=--+ ⎪++⎝⎭+，当24n +=，即2n =时，()()2max11122162n n ⎡⎤-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，则116λ≤，故实数λ的取值范围为1,16∞⎛⎤- ⎥⎝⎦．20．（2024·湖北·二模）已知各项均不为0的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,4n n n a a a S ++==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若对于任意*,2nn n S λ∈⋅≥N 成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)21n a n =-(2)9,8λ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据题意，得到2n ≥时，1141n n n S a a --=+，两式相减得到114n n a a +--=，得到1321,,,,n a a a -及242,,,,n a a a 均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式；（2）由（1）求得2n S n =，证得为22n n λ≥恒成立，设22n n nb =，求得数列的单调性和最大值，即可求解.【详解】（1）解：因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,4n n n a a a S ++==，即141n n n S a a +=+，当2n ≥时，可得1141n n n S a a --=+，两式相减得()114n n n n a a a a +-=-，因为0n a ≠，故114n n a a +--=，所以1321,,,,n a a a - 及242,,,,n a a a 均为公差为4的等差数列：当1n =时，由11a =及12114a a S +=，解得23a =，所以()()211412211n a n n -=+-=--，()()2341221n a n n =+-=-，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）解：由（1）知21n a n =-，可得2(21)(21)14n n n S n -++==，因为对于任意*,2nn n S λ∈⋅≥N 成立，所以22n n λ≥恒成立，设22n n n b =，则222111(1)21222n n n n n n n n n b b ++++-++-=-=，当11n <，即1,2n =时，110,n n n n b b b b ++-><当1n >*3,N n n ≥∈时，110,n n n n b b b b ++<>-所以12345b b b b b <<>>> ，故()3max 98n b b ==，所以98λ≥，即实数λ的取值范围为9,8∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.21．（2024·湖北·模拟预测）数列{}n a 中，11a =，29a =，且2128n n n a a a +++=+，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足2n n b a =，10n n b b +<，求n S ．【答案】(1)2441n a n n =-+(2)答案见解析【分析】（1）依题意可得2118n n n n a a a a +++-=-+，即可得到{}1n n a a +-为等差数列，即可得到18n n a a n +-=，再利用累加法计算可得；（2）由（1）可得()21n b n =±-，由10n n b b +<，得到n b 与2n b +同号，再对1b 分类讨论，利用并项求和法计算可得.【详解】（1）因为2128n n n a a a +++=+，所以2118n n n n a a a a +++-=-+，所以数列{}1n n a a +-是公差为8的等差数列，其首项为218a a -=，于是18n n a a n +-=，则()181n n a a n --=-，()1282n n a a n ---=-，L ，3282a a -=⨯，218a a -=，所以()()()2111181218442n n n a a n n n +---=++⋅⋅⋅+-=⨯=-，所以()24412n a n n n =-+≥；而11a =符合该式，故2441n a n n =-+.（2）由（1）问知，()221n a n =-，则()21n b n =±-，又10n n b b +<，则120n n b b ++<，两式相乘得2120n n n b b b ++>，即20n n b b +>，因此n b 与2n b +同号，因为120b b <，所以当11b =时，23b =-，此时21,12,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=-⨯=，当n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=-⨯=-；当11b =-时，23b =，此时12,21,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=+⨯=-，当n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=⨯=；综上，当11b =时，()11n n S n -=-⋅；当11b =-时，()1nn S n =-⋅.22．（2024·全国·模拟预测）已知n S 是各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和，22113230,13n n n n a a a a S ++--==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()41n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)13n n a -=(2)332322n n T n ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭【分析】（1）先利用题给条件求得数列{}n a 是公比为3的等比数列，再求得其首项的值，进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法即可求得数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）2211230n n n n a a a a ++--= ，()()1130n n n n a a a a ++∴+-=．0n a > ， 130n n a a +∴-=，13n na a +∴=，∴数列{}n a 是公比为3的等比数列．231231113313S a a a a a a =++=++= ，11a ∴=，13n n a -∴=．（2）由（1）知，()1413n n b n -=-⨯，123n nT b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+()0213373113413n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，①()()23133373113453413n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，②①-②得()021233434343413n nn T n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯()()()4131413433313n nn n n -=-+--⨯=--⨯--，332322n n T n ⎛⎫∴=-⨯+ ⎪⎝⎭．23．（2024·湖北黄石·三模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，756S =，2820a a +=，等比数列{}n b 满足11b a =，3b 是2a ，8a 的等比中项.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足ππcossin 22n n n n n c a b =+，求数列{}n c 前4n 项的和4n T .【答案】(1)2nn b =或()2nn b =--(2)()4424125n n T n =+-【分析】（1）根据题意结合等差数列可得1,a d ，可得n a ，根据等比数列通项公式结合等比中项可得q ，即可得n b ；（2）由（1）可知：ππ2cos2sin 22n n n n c n =+，利用分组求和结合并项求和分析求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知：()()7128173562420S a d a a a d ⎧=+=⎪⎨+=+=⎪⎩，解得122d a =⎧⎨=⎩，所以()2212n a n n =+-=.设等比数列{}n b 的公比为q ，则112b a ==，由题意可知：232864b a a =⋅=，则4464q =，解得2q =±，所以1222n nn b -=⨯=或()()1222n nn b -=⨯-=--.（2）由（1）可知：ππ2cos2sin 22n n n n c n =+，设π2cos 2n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前4n 项的和为4n A ，π2sin 2n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前4n 项的和为4n B ，可知444n n n T A B =+，对任意*n ∈N ，因为()43πππcoscos 2π2πcos 0222n n -⎛⎫=-+==⎪⎝⎭，()()42πcoscos2π2ππcos π12n n -=-+==-，()41π3π3πcos cos 2π2πcos 0222n n -⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭，()4πcoscos 2πcos 012n n ===，则()()()434241443π42π41π4πcoscoscoscos2222n n n nn n n n a aaa------+++42424n n a a d -=-+==，所以444n A n n =⨯=，又因为()43πππsinsin 2π2πsin 1222n n -⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭，()()42πsinsin2π2ππsin π02n n -=-+==，()41π3π3πsin sin 2π2πsin 1222n n -⎛⎫=-+==- ⎪⎝⎭，()4πsinsin 2πsin 002n n ===，则()()()434241443π42π41π4π2sin2sin 2sin 2sin 2222n n n n n n n n ------+++4341432232n n n ---=-=-⨯，所以()()()4594344461223222212125nn n nB -⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=-+++⋅⋅⋅+==--，所以()4424125n n T n =+-.24．（2024·山东菏泽·一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*22N n n S a n =-∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；。
人教A版高中数学选修二第四章《数列》提高训练题 (14)(含答案解析)
选修二第四章《数列》提高训练题 (14)一、单选题1．设数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-，若21485n n n n n b a a +++=，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，则n S =（ ） A ．2169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭B ．42369n n ++C ．1169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭D ．2169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭2．已知数列{}n a 满足113a =，()2*12N nn n a a a n n+=+∈，则下列选项正确的是（ ）A ．20212020a a <B ．2021202114043a << C ．2021202104043a <<D ．20211a >3．已知等比数列{}n a 中，14a ，312a ，23a 成等差数列．则2018202020172019a a a a --=（ ）A ．4或1﹣B ．4C ．1-D ．4﹣4．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则18是数列中的（ ） A ．第29项B ．第30项C ．第36项D ．第37项5．对于正项数列{}n a ，定义：12323nn a a a na G n++++=为数列{}n a 的“匀称值”.已知数列{}n a 的“匀称值”为n 2G n =+，则该数列中的10a 等于（ ） A ．83B ．125C ．94D ．21106．已知等比数列{}n a ，的前n 项和为91463,,3,2n S S n a a S *∈-==N ，若1,.2m a m *=∈N 则m =（ ） A ．6 B ．5 C ．8 D ．77．正整数数列{}n a 满足11,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，已知64a =，{}n a 的前6项和的最大值为S ，把1a 的所有可能取值按从小到大排列成一个新数列{}nb ，{}n b 所有项和为T ，则S T -=（ ） A ．61B ．62C ．64D ．658．在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为n S （n *∈N ），有下列叙述： （1）若414S S =，则必有190S <； （2）若3130a a +>，则必有150S >；（3）若1011S S >，则必有1112S S >.其中叙述正确的序号是（ ） A ．（1）（2） B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）9．已知数列{}n a 满足1122n n n a a a +=+（n *∈N ），且11a =，若记n b 为满足不等式11122k n n a -<≤（n *∈N ）的正整数k 的个数，设()()111nn n nnn b T b b -=----，数列{}n T 的最大项的值为M 与最小项的值为N ，则M N -=（ ） A ．712-B ．13C ．56D ．171210．已知数列{}n a ，0n a >且满足21122n n n a a a ++-=，*n N ∈，则下列说法中错误的是（ ）A ．若14a ≠，当3n ≥时，有：()()()()2234242224n n n a a a a a -⋅-+⋅++=- B ．若12a =，则7322n S n ≤- C ．当()10,2a ∈时，{}n a 是递增数列；当()14,a ∈+∞时，{}n a 是递减数列 D ．存在0M >，使n a M ≤恒成立11．已知等差数列{}n a 满足570a a +>，670a a +<，12323412n n n n T a a a a a a a a a ++=+++，若对任意正整数n ，恒有n k T T ≤，则正整数k 的值是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．712．对于任一实数序列{}123,,,A a a a =，定义A 为序列{}213243,,,a a a a a a ---，它的第n 项是1n n a a +-，假定序列()A 的所有项都是1，且1820170a a ==，则2018a =（ ）A ．1000B ．2000C ．100D ．20013．在等比数列{}n a 中，123453a a a a a ++++=，222221234515a a a a a ++++=，则12345a a a a a -+-+的值是（ ） A ．5 BC．D ．3二、多选题14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，100S >，60a <，则（ ）A ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项B ．2445d -<<-C ．50a >D ．0n S >时，n 的最大值为515．设数列{}n a 前n 项和为()*n S n N ∈，关于数列{}n a 有下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．若()*1n n a a n N +=∈则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若()2,n S an bn a b R =+∈，则{}n a 为等差数列C ．若{}n a 为等比数列，则232,,,n n n n n S S S S S --⋅⋅⋅成等比数列D ．若()11nn S =--，{}n a 是等比数列16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.下列说法正确的是（ ） A ．若对2n ∀≥，*n ∈N ，有112n n n a a a -+=+，则数列{}n a 是等差数列 B ．若对2n ∀≥，*n ∈N ，有211n n n a a a -+=⋅，则数列{}n a 是等比数列 C ．已知(1)n S n n a =+-，则{}n a 是等差数列的充要条件是0a = D ．已知2n n S a =-，则{}n a 是等比数列的充要条件是1a =三、双空题17．等比数列{}n a 的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，则这个等比数列的公比q ＝________，又令该数列的前n 项的积为n T ，则n T 的最大值为________．18．如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图案的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，这样的过程称为一次操作.反复进行这种操作过程，就得到一条“雪花”状的曲线，并记n 次操作后的曲线为n T ，周长为n C .设原正三角形0T 的边长为1，03C =即对应图1，则进行二次操作后，曲线2T （对应图3）的顶点数为___________；若进行n 次操作后，则0ni i C ==∑___________.19．已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+，现将该数列按如下规律排成个数阵：按行排列，第n 行有12n -项，每一行从左到右项数依次增大，记(),m n 为 该数阵中第m 行从左到右第n 个数的坐标，则坐标()5,5为对应的数为____________；2021a 对应的坐标为____________ 20．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，满足11()1n n a n N a *+=∈-，112a =，则100a =___________2021S =___________四、填空题21．“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成9个边长为13的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形的面积和为1S ；然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留靠角的4个小正方形，记所得的16个小正方形的面积和为2S ；……；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若121925n S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥，则需要操作的次数n 的最小值为______．22．已知等差数列{}n a 满足：12121|||||||1||1||1||1|n n a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=-2|1||1|2021n a a +-+⋅⋅⋅+-=，则正整数n 的最大值为________23．在如图的表格，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a +b +c 值为__．24．数列{}n a 中，12a =，()*,p q p q a a a p q +=∈N ，记m b 为{}n a 中在区间(]0,m ()*m ∈N 中的项的个数，则数列{}m b 的前150项和150S =________．25．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且有393a a +=，576b b +=，则1111S T 的值为__________．26．设等比数列{}n a 满足：126a a +=，136a a -=-，记m b 为{}n a 中在区间(0,]m ()m ∈*N 中的项的个数，则数列{}m b 的前50项和50S =__________．27．已知整数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n n a a a ++=-，*n ∈N ．若对任意给定的1a ，存在正整数0n ，使得00341n n n S S n +-<+对任意正整数n 成立，则3a 的取值集合是________．五、解答题28．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）记1122n n n T a b a b a b =+++，证明：()*118,2n n n T a b n n ---=∈≥N .29．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，84a =， . （1）判断2022是否是数列{}n a 中的项，并说明理由； （2）求n S 的最小值.从①1122S =-，②56S S =中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.30．已知在等差数列{}n b 中，()2log 1n n b a =-，*n N ∈，且13a =，39a =. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S . 31．已知数列{}n a 满足13a =，()1*1323N n n n a a n ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nnna b=． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求出数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）数列{}n b 的前n 项和为n T ，设()1nn n c T =-⋅，求数列{}n c 的前n 项和n M ．32．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，*12(N )n n a S n +=+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设221log ()n n b a =+，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和16n T <.33．某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化，企业的生产能力逐渐下降.若不进行技术改造，预测从今年起每年的纯利润比上一年减少20万元.今年年初该企业一次性投入600万元资金进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为150012n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元（n 为正整数）.（1）设从今年起的前()n n +∈N 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为n a 万元，进行技术改造的累计纯利润为n b 万元（扣除技术改造资金），求n a ，n b 的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.34．数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()(),n n S n N *∈在函数()21122f x x x =+的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()1log 13n a T a >-对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围.35．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且()2132522a a a =+.（1）求公差d 和通项公式n a ；（2）若0d <，求数列{}n a 的前n 项和n S ，并证明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.36．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且()2132522a a a =+．（1）求公差d 和通项公式n a ；（2）若0d <，求123n a a a a +++⋅⋅⋅+．37．设{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，111a b ==，243a a b +=，243b b a =，分别求出{}n a 及{}n b 的前10项的和10S 及10T ．38．数列{}n a 中，给定正整数(1)k k >，-111()k i i i V k a a +==-∑．定义：数列{}n a 满足1(1,2,,1)i i a a i k +≤=-，称数列{}n a 的前k 项单调不增．（1）若数列{}n a 通项公式为：1n a n=，*()n N ∈，求(5)V ； （2）若数列{}n a 满足：1a a =，m a b =，(1,,)m m a b >∈>*N ，求证： ()V m a b =-的充分必要条件是数列{}n a 的前m 项单调不增；（3）给定正整数(1)m m >，若数列{}n a 满足：0n a ≥，(1,2,,)n m =，且数列{}n a 的前m 项和为2m ，求()V m 的最大值与最小值．39．已知等差数列{}n a 公差大于零，且11a =，1a ，2a ，4a 成等比；数列{}n b 满足11b =，112n n n b b --=+（2n ≥，n N ∈）.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .40．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若339S =，且33a 是5a 与4a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且34log n n b a =，求1231111nT T T T +++⋅⋅⋅+. 41．已知等差数列{}n a 的公差为2，其前n 项和22n S pn n =+，*n N ∈. （1）求实数p 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）在等比数列{}n b 中，31b a =，424b a =+，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：数列16n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列.42．已知数列{}n a 满足：13a =，()112n n n a a n n++=+. （1）证明：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设n n c a n =+，求数列{}n c 的前2021项和2021T .43．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，2n n T S n n +=+.（1）证明数列{}2n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n M .44．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且13(2)12n n S n n n S --=≥-.（1）求n a 及n S ；（2）已知n b 是n a ，1n a +的等比中项，数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：11106n T ≤<45．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足749=S ，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .46．已知数列{}n a 的前n 项和为2372n n nS +=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）令2nn na b =，求{}n b 的前n 项和n T . 47．已知数列{}n a 满足214,(1)(1)n n a na n a n n +==+++，且1ln n n na b a +=. （1）证明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）求数列{}n b 的前n 项和.48．在① 121n n S S +=+，② 22a =，③ 11n n S a +=-这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足___________，___________；又知递增等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，2b ，5b 成等比数列. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前项和n T .49．已知等比数列{}n a 中，212343,a a a a ==+，数列{}n b 满足11b a =，1(1)(1)n n nb n b n n +-+=-+ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}n bn为等差数列，并求{}n b 前n 项和的最大值50．设数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，{}n b 为等比数列，且11a b =，()2211b a a b -=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案与解析】1．D 【解析】先根据n a 的递推关系求出n a 的通项公式，代入n b 的表达式中，求出n b 的通项，即可求解n b 的前n 项和n S由134n n a a n +=-可得()[]12113(21)n n a n a n +-++=-+⎡⎤⎣⎦, ∵13a =, ∴1(211)0a -⨯+=,则可得数列{}(21)n a n -+为常数列0，即(21)0n a n -+=, ∴21n a n =+∴2485(21)(23)221111(21)(23)(21)(23)(21)(23)2123n n n n n b n n n n n n n n +++++===+=+-++++++++,∴111111112()(1)3557212332369n S n n n n n n n =+-+-++-=+-=+++++. 故选: D 2．B 【解析】利用数列{}n a 的单调性可判断A 选项的正误；利用放缩法得出()21111112,1n n n n a n n N a a n a n n *++-=<-≥∈-，111111n n a a n n+-<--，利用放缩法可判断BCD 选项的正误.由1103a =>，()2*12N nn n a a a n n+=+∈可得出2409a =>，30a >，，以此类推可知，对任意的n *∈N ，0n a >，所以，2120nn n a a a n+-=>，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为单调递增数列，故20212020a a >，A 错；在等式212nn n a a a n+=+的两边同时除以1n n a a +可得()2222222112111111111n nn n n n n n n n n a a a a a n a n a a n a n n n n n a n a n ++-====<<=-++--⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中2n ≥且n *∈N ，所以，2311112a a -<-，34111123a a -<-，，111111n n a a n n+-<--， 累加得211111n a a n+-<-，所以，1191511144n a n n +>-+=+>，则11n a +<，故20211a <. 故D 错误；对于()2211111111111n n n a a n a n n n n n +-=>≥=-++++， 所以，1211112a a ->-，23111123a a ->-，，111111n n a a n n +->-+， 累加得111311n a n +->-+，可得11123211n n a n n ++<+=++，则1123n n a n ++>+， 所以，202120214043a >，故2021202114043a <<， . 故选：B.结论点睛：几种常见的数列放缩公式： （1）()()21111211n n n n n n<=-≥--； （2）()2111111n n n n n >=-++； （3）2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭. 3．B 【解析】根据等差中项的应用求解出公比q ，然后将2018202020172019a a a a --化简为关于q 的形式，由此求解出结果.设等比数列{}n a 公比为q ， 因为14a ，312a ，23a 成等差数列， 所以12343a a a +=，所以211143a a q a q +=，且10a ≠， 所以2340q q --= 解得4q =或1q =-，为保证2018202020172019a a a a --有意义，则21q ≠，所以4q =，所以()201720192018202020172019201720194q a a a a q a a a a --===--， 故选：B 4．A 【解析】题目是数列找规律，发现是按照分子分母之和分别为2，3，4等等的规律书写的，即可推出18在数列中的位置解：由题意，此数列分母与分子之和为2的有一个，为3的两个，为4的有三个，按此规律，知18出现在和为9那一组中，又每一组的数都是以分子为1开始，故18是分子分母和为9的那一组的第一个数，由于和为9的那一组是第八组，前七组共有177282+⨯=个数，故18是第29个数，即第29项．故选：A ． 5．D 【解析】根据新定义的性质列等式求解即可.12323nn a a a na G n++++=，2n G n =+，123(2)23n n n G n n a a a na ∴⋅=⋅+=++++，()12310231010102a a a a ∴++++=⨯+①； ()1239239992a a a a ++++=⨯+②，-①②得:101021a =，102110a ∴=，选项D 正确，选项ABC 错误. 故选：D. 6．D 【解析】根据给定条件求出等比数列{}n a 的首项1a 及公比q ，再借助通项公式即可得解. 设等比数列{}n a 公比q ，依题意，1q ≠±，691169(1)(1),11a q a q S S q q--==--， 由9632S S =得：93363663331(1)(1)131(1)(1)12q q q q q q q q q q --++++===--++，解得312q =-，由143a a -=得：31(1)3a q -=，于是得12a =，则有12n n a q -=，由12m a =得：1122m q -=，即1223111()()()222m --==-，从而有123m -=，解得7m =，所以7m =. 故选：D 7．B 【解析】根据分段数列和64a =,倒过来依次分析{}n a 的前5项,即可求出S 和T ,从而求出答案. 正整数数列{}n a 满足11,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数,且64a =, 所以54a =或1, 再依次分析4321,,,a a a a , 则可得{}n a 的前6项分别为: 128,64,32,16,8,4; 或21,64,32,16,8,4; 或20,10,5,16,8,4; 或3,10,5,16,8,4; 或16,8,4,2,1,4; 或2,1,4,2,1,4;因此12864321684252S =+++++=,23162021128190T =+++++=, 62S T -=, 故选：B在给出数列的递推公式时，若难以求到通项公式，可考虑逐个项计算再分析 8．D 【解析】对于（1）:由414S S =，得到1180a a +=，0d <，进而求出190a <，而1919S a =，即可判断； 对于（2）直接得到115313a a a a +=+，利用等差数列前n 项和公式即可判断； 对于（3）先判断出110a <， 0d <,可以求出120a <，即可得到1112S S >. 对于（1）若414S S =，则有56140a a a +++=，则有9100a a +=，所以1180a a +=，所以()1181918191919182a a S S a a a +=+=+=. 因为1180a a +=，10a >，所以181170a a d =+<，所以0d <，所以19180a a d =+<， 所以19190S a =<.故（1）正确.对于（2）若3130a a +>，则有1153130a a a a =++>，所以()115150152S a a +=>.故（2）正确； 对于（3）若1011S S >，则有1111101100a S a d S =-=+<，因为10a >，所以0d <,所以12110a d a =+<，所以1212110a S S -=<,即1112S S >.故（3）正确. 故选：D 9．D 【解析】利用取倒数法得到数列{}n a 的通项公式，由n b 为满足不等式11122k n n a -<≤（n *∈N ）的正整数k 的个数可得2nn b =，研究数列{}n T 的单调性，即可得到最值及答案.由于11a =，122nn n a a a +=+，则0n a ≠． ∴1212n n n a a a ++=，则121111111222n n n n n n n a a a a a a a ++-=-=+-=，即11112n n a a +-=为常数． 又111a ，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列．从而1111(1)22n n n a +=+-⨯=，即21n a n =+． 由111()()22n n k a -<，即1121()()212n n k -<+，得12121n n k +-<-， 又*k N ∈，从而1(21)(21)2n n n n b +=---=，故12111()1()122(1)21()2n n n n n nn T =---=-------， 当n 为奇数时，111()121()2n n n T =+-+，n T 单调递减，1506n T T <=． 当n 为偶数时，111()121()2n n n T =---，n T 单调递增，27012n T T -=<． 综上{}n T 的最大项为56M =，最小项为712N =-． ∴1712M N -=. 故选：D. 10．B 【解析】先根据题目条件得到1n a ，2n a >，2n ≥及1n n a a +-与1n n a a --的符号相同.选项A ，在等式21122n n n a a a ++-=两边减去8，再变形得()112424n n n a a a ++-+=-，代入求解即可；选项B ，先确定数列{}n a为递增数列，再算出471112a =>， 而后利用放缩法得到，当4n ≥时，()1112n S n >+-N ，当n N >时，有()11731222n n +--，所以n S>()11731222n n +--，故选项B 错误； 选项C ，利用1n n a a +-与1n n a a --的符号相同可判定； 选项D ，分()10,4a ∈，14a =和()14,a ∈+∞讨论n a 的范围. 由题知，2112121n n n a a a ++-+=+，()21121n n a a +-=+， 因为0n a >，所以112n a +=>，所以1n a ，2n a >，2n ≥.因为21122n n n a a a ++-=，所以2122n n n a a a --=，2n ≥两式相减整理得，()()()11122n n n n n n a a a a a a ++--+-=-，因为2n ≥时，2n a >，所以120n n a a ++->，1n n a a +-与1n n a a --的符号相同， 选项A ：由21122n n n a a a ++-=得，2112828n n n a a a ++--=-，()()()112424n n n a a a +++-=-，若14a ≠，则4n a ≠，所以()112424n n n a a a ++-+=-.当3n ≥时，()()()34222n a a a +⋅++()()()()2231234242424244444n n n n a a a a a a a a ------=⋅=----，故选项A 正确；选项B ：若12a =，则2113a ==>，因为2110a a ->，所以320a a ->，依次类推有10n n a a -->， 所以数列{}n a 是递增数列；又371112a >，471112a =>， 当4n ≥时，1234...n n S a a a a a =+++++()12343a a a n a >+++->()1112n +-因为712>，所以存在正整数N ，当n N >时，有()11731222n n +->-此时n S >()11731222n n +--，故选项B 错误；选项C ：当()10,2a ∈时，有212a a >>，所以210a a ->，从而有320a a ->， 依次类推可得10n n a a -->，所以数列{}n a 是递增数列；当()14,a ∈+∞时，因为()()()2111112140a a a a --+=->，所以()211211a a +<-，所以211a a =<，从而有32a a <，依次类推可得1n n a a -<， 所以数列{}n a 是递减数列，故选项C 正确；选项D ：当()14,a ∈+∞时，由选项C 的解析知，数列{}n a 是递减数列，所以1n a a ≤； 当()10,4a ∈时，由2221228a a a -=<解得224a -<<，又22a >，所以224a <<， 同理可推导324a <<，依次类推，有24n a <<；当14a =时，由2221228a a a -==及22a >得24a =，同理可推导34a =，依次类推，有4n a =； 令M 为4和1a 中的最大者，则n a M ≤对*n N ∈恒成立，故选项D 正确； 故选：B. 11．A 【解析】利用等差性质研究数列项的变化，从而可得结果. 由等差数列{}n a 满足570a a +>，670a a +<，可知620a >，即60a >，且70a <，67a a <，公差0d <， ∴1232343454565676780,0,0,0,0,0,a a a a a a a a a a a a a a a a a a >>>><> 78989100,0,,a a a a a a <<又()()567678675867670a a a a a a a a a a a a a a +=+=+>， ∴当6n =时，n T 最大， ∴正整数k 的值是6. 故选：A 12．A 【解析】A ∆是公差为1的等差数列，可先设出A ∆的首项，然后表示出A ∆的通项，再用累加法表示出序列A的通项，再结合1820170a a ==求出A ∆的首项和A 的首项，从而求出序列A 的通项公式，进而获解. 设序列A 的首项为d ，则序列A 为{},1,2,d d d ++，则它的第n 项为()1d n +-， 因此数列A 的第n 项，()()()1111112n n k k k a a a a a d d d n -+==+-=++++++-∑()()()111122a n d n n =+-+-⋅-， 则n a 是关于n 的二次多项式，其中2n 的系数是12， ∵1820170a a ==，∴必有()()11820172n a n n =--， ∴()()201812018182018201710002a =--=. 故选：A. 13．A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，q 显然不等于1，化简已知得51(1)5,1a q q +=+再化简12345a a a a a -+-+即得解.设等比数列{}n a 的公比为q ，q 显然不等于1，由题得5210112(1)(1)3,15,11a q a q q q --==-- 所以两式相除得51(1)5,1a q q +=+ 所以551112345[1()](1)51()1a q a q a a a a a q q--+-+-+===--+.故选：A 14．ABC 【解析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A 选项的正误；根据已知条件列出关于d 的不等式组，求出d 的取值范围，可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断CD 选项的正误.对于C 选项，由()()110105610502a a S a a +==+>且60a <，可知50a >，C 对；对于B 选项，由53635632122031230252450a a d d a a d d a a a d d =+=+>⎧⎪=+=+<⎨⎪+=+=+>⎩，可得2445d -<<-，B 对； 对于D 选项，因为100S >，()111116111102a a S a +==<， 所以，满足0n S >的n 的最大值为10，D 错；对于A 选项，由上述分析可知，当15n ≤≤且n *∈N 时，0n a >； 当6n ≥且n *∈N 时，0n a <，所以，当15n ≤≤且n *∈N 时，0nnSa >，当610n ≤≤且n *∈N 时，0nnS a <，当11n ≥且n *∈N 时，0nnSa >.当610n ≤≤且n *∈N 时，{}n a 单调递减，即6789100a a a a a >>>>>，{}n S 单调递减，即有6789100S S S S S >>>>>，所以，678910111110a a a a a ->->->->->， 由不等式的性质可得6789106789100S S S S Sa a a a a ->->->->->， 从而可得6789106789100S S S S S a a a a a <<<<<， 因此，数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项，A 对.故选：ABC. 15．BD 【解析】举出反例，如()*10n n a a n N +==∈，即可判断A ；根据n a 与n S 的关系，求得数列{}n a 的通项公式，再结合等差数列的定义即可判断B ； 举出反例，如{}n a 为1,1,1,1,1,1,---，n 为偶数时，即可判断C ；根据n a 与n S 的关系，求得数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列的定义即可判断D ；对于A ，若()*10n n a a n N +==∈，则{}n a 既是等差数列，但不一定是等比数列，故A 错误；对于B ，由()2,n S an bn a b R =+∈，当1n =时，11a S a b ==+，当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn a n b n an a b -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦， 当1n =时，1a 适合上式， 所以2n a an a b =-+， 则12n n a a a +-=为常数，所以{}n a 为等差数列，故B 正确；对于C ，若{}n a 为等比数列，如{}n a 为1,1,1,1,1,1,---，n 为偶数时，0n S =，由等比数列中没有0这一项，所以232,,,n n n n n S S S S S --⋅⋅⋅不成等比数列，故C 错误； 对于D ，若()11nn S =--， 当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，()()()()()1111111111121n n n n n n n n a S S -+---⎡⎤=-=-----=-+-=⋅-⎣⎦， 当1n =时，1a 适合上式， 所以()121n n a -=⋅-，则11n na a +=-， 所以数列{}n a 是以2为首项，-1为公比的等比数列，故D 正确. 故选：BD. 16．ACD 【解析】利用等差，等比数列的定义和性质，以及等差，等比数列的前n 项和的形式，可逐一判断． 解：由112(2)n n n a a a n +-=+和等差中项的性质知{}n a 为等差数列，则A 正确，当0n a ≠时，由211(2)nn n a a a n +-=⋅和等比中项的性质知{}n a 为等比数列，则B 不正确， 由等差数列的前n 项和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 得n S 是n 的二次函数，且不含常数项，则0a =，则C 正确，由等比数列的前n 项和111(1)111n n n a q a aS q q q q-==----，()1q ≠，1a ，则D 正确，故选：ACD ． 17．12 2 【解析】先设共有21m +项，由题意写出奇数项之和以及偶数项之和，根据等比数列性质列出方程得到其公比，写出该数列的前n 项的积n T 的表达式，结合二次函数单调性即可求解n T 的最大值. 设共有21m +项，由题意奇数项之和13218532m S a a a +=+++=1，偶数项之和22422116m S a a a =+++=， 又因为()11222422185221632m m S a a q a q q a a a q =+++=++++=+=，故12q =. 所以2312122121(1)21222n n n n n n n n n T a a a a q -++--=⋅==⨯=，显然2n ≥时函数递减，所以2n =，n T 有最大值2.故答案为:12;218．48 111433n n n ++--【解析】观察所给的图形，得到图2的顶点数和图1的顶点数和边数的关系，以及图3的顶点数与图2的顶点数和边数的关系，判断图2的顶点数，再由图形之间边长的关系，得到数列{}1n C -是首项为3，公差为43的等比数列，再按照等比数列求和. 0T 有3个顶点，3条边，1T 的顶点数是33312+⨯=个，有4312⨯=条边， 2T 的顶点数是1212348+⨯=个，由图形观察可知，1043C C =，2143C C =，……143n n C C -=，所以数列{}1n C -是首项为3，公差为43的等比数列，111104313434313n n n nin i C +++-=⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦==-∑. 故答案为：48；111433n n n ++-- 19．41 ()11,998【解析】利用n a 和n S 的关系，求出()21,1n a n n =+≥，而该数列按第n 行有12n -个数排成的一个数阵，根据等比数列的前n 项和求得前四行数阵中共有15项，推理可知()5,5表示数阵中第五行第5个数，对应的是第20项，代入n a 通项公式，即可求得结果；由前k 行数阵中共有21k -项，可推算2021a 对应的坐标．解：由题可知，数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+， 则()()2211211,1n S n n n n -=-+-=->， 由()1211n n n S S a n n --==+>， 且1n =时，113a S ==， 所以21n a n =+，该数列按第n 行有12n -个数排成的一个数阵， 则前四行数阵中共有：()4012341122222211512⨯-+++==-=-项，而()5,5表示数阵中第五行第5个数，对应的是第20项， 所以()5,5表示数列{}n a 的第20项：20220141a =⨯+=； 前k 行数阵中共有()012111222222112k k k -⨯-++++==--项,当10k =时，有211023k -=项；当11k =时，有212047k -=项； 由10232021998-=知，2021a 对应的坐标为()11,998 故答案为：41；()11,998． 20．12 1012 【解析】根据递推关系发现数列{}n a 的项以3为周期变化，从而100112a a ==，2021121232019()3S a a a a a =++⨯++，从而求得结果. 由递推关系知，211121112a a ===--，32111112a a ===---，4311111(1)2a a ===---，52a =，61a =-，，则数列{}n a 的项以3为周期变化，100112a a ==，123132122a a a ++=+-= 故20211220193101232S a a =++⨯= 故答案为：12；1012 21．4 【解析】分别求出1S ，2S 进而可得n S ，可得{}n S 是等比数列，再利用等边数列求和公式求12n S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，利用单调性解不等式即可得答案.1S 是4个边长为13的小正方形面积之和，所以 21143S ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 2S 是24个边长为213⎛⎫ ⎪⎝⎭的小正方形面积之和，所以22222211144333S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；3S 是34个边长为313⎛⎫ ⎪⎝⎭的小正方形面积之和，所以33323311144333S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；所以214439nnn S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以{}n S 是首项为49，公比为49的等比数列， 所以124419944145919n nnS S S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，所以121925n S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥即441915925n⎡⎤⎛⎫-≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以41920n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，因为()49xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，而()3464130.088972920f ⎛⎫==≈>⎪⎝⎭不成立，()44256140.0399656120f ⎛⎫==≈<⎪⎝⎭，即441920⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 所以需要操作的次数n 的最小值为4次， 故答案为：4. 22．62 【解析】设2,n k k N +=∈，等差数列的公差为d ，不妨设100k ka a +>⎧⎨<⎩，则10,0a d <>，且10k a +≤，即1k a ≤-，根据110k a +-≥，得到即有2d ≥，再根据等差数列的前n 项和公式，求得22021k d =，从而得出220212k ≥，即可求解.解： 由题意知：等差数列{}n a 满足1212111n n a a a a a a +++=++++++1211a a =-+-+12021n a +-=，故等差数列不是常数列，且{}n a 中的项一定满足100n n a a ->⎧⎨<⎩或10n n a a -<⎧⎨>⎩，且项数为偶数，设2,n k k N +=∈，等差数列的公差为d ，不妨设10k k a a +>⎧⎨<⎩，则10,0a d <>，且10k a +≤，即1k a ≤-， 由110k a +-≥，则111kd a kd -+≥+≥，即2kd ≥， 即有2d ≥，则121212k k k n a a a a a a a a +----++++⋯=++211(1)(1)[]()202122k k d k k ka k a kd dk d --=-++++==， 可得220212k ≥，解得31.7k ≤≈， 即有k 的最大值为31，n 的最大值为62. 故答案为：62. 23．1 【解析】每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，根据第一列、第三列成等比数列得第一列中第3个数、第4个数、12a =，根据等差中项得第三行第2个数和公差、第4个数、第5个数，得第四行中第1个数、第3个数、公差，可得第4个数、第5个数，第五列中，由于成等比数列可得c ．∵每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列， ∴根据第三列，得221a ⨯=，可得12a =，所以公比12q =， 在第一列中，第三个数为212⎛⎫ ⎪⎝⎭=14，因此根据等差中项得：第三行第2个数为：111242⎛⎫+ ⎪⎝⎭=38，可得第三行等差数列的公差为3184d =-=18，∴在第三行中，第4个数为：14+3×18=58，第5个数为：14+4×18=34， 即第四列中，第3个数为58；第五列中，第3个数为34，即第四行中，第1个数为18；第3个数为14，公差得111124816⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以第4个数为11541616b =+=，第5个数为15316168+=，第五列中，由于成等比数列28334c ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，所以316c =，综上所述，得15321616a b c ++=++=1. 故答案为：1． 24．803 【解析】根据已知条件可以求出数列{}n a 为等比数列且2n n a =，讨论当1m =时和122n n m +≤<时m b 的值，代入计算即可得出结果.令1p =，q n =，则112n n n a a a a +==，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，2n n a ∴=，①当1m =时，10b =； ②当122n n m +≤<时，m b n =，1501234567()()S b b b b b b b ∴=++++++23456465127128129150()()01222324252b b b b b b +++++++++=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯6627(150127)803+⨯+⨯-=．故答案为：803 25．12 【解析】由已知得623a =，626b =，再利用等差数列的前n 项和的性质化简求解.因为{}{}n n a b ，为等差数列， 则有39623a a a +==，57626b b b +==．11611S a =，11611T b =所以66111166111112a a S T b b ===．故答案为：12 26．193 【解析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的首项和公比，得出2n n a =，讨论当1m =时和122n n m +≤<时m b 值，代入计算即可得出结果.由题意得，1212131(1)6(1)6a a a q a a a q +=+=⎧⎨-=-=-⎩，所以解得12a =，2q =， 所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以2n n a =，所以当1m =时，10b =；当122n n m +≤<时，m b n =， 所以5012345678915161731323350()()()()()S b b b b b b b b b b b b b b b b =++++++++++++++++++，即234500122232425(5031)193S =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=. 故答案为:193 27．{}1,2 【解析】列举出数列{}n a ，设1a x =，说明当33a ≥、30a =时且当3x ≥时，00341n n n S S n +-<+不成立；然后说明当31a =和32a =时，存在正整数0n ，使得00341n n n S S n +-<+对任意正整数n 成立，由此可得出3a 的取值集合.（1）当33a ≥时，由于1a 的任意性，不妨取133a a x ==≥，则这个数列为x 、0、x 、0、，而003n n n S S +-代表的是这个数列中连续的3n 个数.①当n 为偶数时，3922x ≥，则0030393222n n n x xn n S S n ++-=⨯=≥，显然00341n n n S S n +-<+不成立； ②当n 为奇数时，由于存在0n N *∈，使得00341n n n S S n +-<+， 不妨取这连续的3n 个数为0、x 、0、x 、、0，所以，()()003331933122n n n S n n S n x +---=-≥=，由于n 的任意性，故93412n n -<-不成立； （2）当30a =时，由于1a 的任意性，不妨设13a x =≥，则这个数列为x 、x 、0、x 、0、x 、，而003n n n S S +-代表的是这个数列中连续的3n 个数. ①当n 为偶数时，3922x ≥，则0030393222n n n x xn nS S n ++-=⨯=≥，显然00341n n n S S n +-<+不成立； ②当n 为奇数时，由于存在0n N *∈，使得00341n n n S S n +-<+， 不妨取这连续的3n 个数为0、x 、0、x 、、0，所以，()()003331933122n n n S n n S n x +---=-≥=，由于n 的任意性，故93412n n -<-不成立； （3）下面只需说明31a =和32a =成立即可.（i ）当31a =时，这列数可能为x 、1x +、1、x 、1x -、1、①或x 、1x -、1、2x -、3x -、1、②，不难发现②中的1、2、3项与①中的4、5、6项相同，故到后面也相同， 而无论x 是趋于+∞，或是0x =，一定存在某个时刻后，这列数就变为了1、0、1、0、1、0、，此时003341n n n S S n n +-<<+成立；（ii ）当32a =时，同理，由于存在0n N *∈，使得00341n n n S S n +-<+，故若1a →+∞，则0n →+∞，必有数与2较为接近，，此时有两种情况： 第一种：1与2并存，即1、2、1、1、0、1、0、，会发现到后面就等同于（i ）中的情况了；第二种：2与0并存，即2、0、2、0、，由于存在0n ，当n 为偶数时，0032033412n n n S S n n n ++-=⨯=<-成立， 当n 为奇数时，00331231412n n n S n S n n ++-≤⨯=+<+成立. 综上可知，3a 的取值集合为{}1,2. 故答案为：{}1,2.关键点点睛：本题考查数列不等式恒成立问题，解题的关键在于对3a 的取值进行分类讨论，利用列举数列的方法找出数列的周期性，结合周期性求解.28．（1）()*31,2n n n a n b n =-=∈N ；（2）证明见解析.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则由题意可得3323227,86210,d q d q ⎧++=⎨+-=⎩从而可求出d ，q ，从而可求出数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）由（1）可知()23225282312n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，然后利用错位相减法可求得n T ，从而可证得结论（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由112a b ==，得434423,2,86.a d b q S d =+⎧⎪=⎨⎪=+⎩由条件，得方程组3323227,86210,d q d q ⎧++=⎨+-=⎩ 解得3,2.d q =⎧⎨=⎩所以()*31,2n n n a n b n =-=∈N（2）由（1）得()23225282312,n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯①()()23122252342312.n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯②由①-②得：()23122323232312n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()161231221nn n n+⨯-=--⨯--()13428n n +=--⨯=，即()18342n n T n +-=-⨯，而当2n ≥时，()111342n n n a b n +--=-⨯. 所以()*118,2n n n T a b n n ---=∈≥N .29．答案见解析【解析】选①（1）由1122S =-易得62a =-，再根据84a =求得通项公式，再判断即可； （2）利用通项公式法，令0n a ≥求解；选②（1）由56S S =易得60a =，再根据84a =求得通项公式，再判断即可； （2）利用通项公式法，令0n a ≥求解； 选①（1）由1122S =-得：61122a =-， 所以62a =-，又因为84a =， 所以3d =，所以18742117a a d =-=-=-，所以1(1)17(1)3320n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 令 3202022n -=，则32042n =，此方程无正整数解， 所以2022不是数列{}n a 中的项.（2）令0n a ≥，即3200n -≥，解得：203n ≥， 所以7n ≥时，0n a >，当6n ≤时，0n a <， 所以，当6n =时，n S 的最小值为1666()572a a S +==-. 选②（1）由56S S =得：60a =， 又因为84a =，所以2d =， 所以18741410a a d =-=-=-，所以1(1)10(1)2212n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 令2122022n -=，则1017n =，所以2022是数列{}n a 中的第1017项. （2）令0n a ≥，即2120n -≥，解得：6n ≥， 所以7n ≥时，0n a >，当6n ≤时，0n a ≤， 所以，当5n =或6n =时，n S 的最小值为16566()302a a S S +===-. 30．（1）n b n =；（2）122n n S n +=+-.【解析】（1）由题意求出1b 和3b ，进而可求出公差，从而可求出通项公式；（2）利用（1）的结论可求得n a ，再用分组求和法求和即可 （1）设等差数列{}n b 的公差为d ，由13a =，39a =，得()1212log 1log 21b a =-==，()3232log 1log 83b a =-==，所以3122b b d -==，所以1d =，所以1(1)1n b n n =+-⨯=.（2）由（1）知n b n =，所以()2log 1n a n -=，所以12nn a -=，所以21n n a =+.所以()()2112(21)212n n n S a a a +=+++=+++++()()212122222212n n n n n n +-=++++=+=+--.31．（1）证明见解析；21n b n =-；（2）()1133n n S n +=-+；（3）答案不唯一，具体见解析．【解析】（1）根据递推公式，变形为()*11132N 33n nn n a a n +++=+∈，即可证明数列{}n b 是等差数列，并求通项公式；（2）由（1）可求()3213n nn n a b n ==-⋅，再利用错位相减法求和；（3）分n 为奇数和偶数两种情况求数列{}n c 的前n 项和n M ． （1）()1*1323N n n n a a n ++=+⨯∈，∴()*11132N 33n nn n a a n +++=+∈， ∴11233n n n n a a ++=+，3n n n a b =，∴111233n n n n n n a a b b +++-=-=，又13a =，∴1113a b ==， ∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，()12121n b n n =+-=-；（2）由（1）得21n b n =-，∴()3213n nn n a b n ==-⋅，∴()2333353213n n S n =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，()()2341333532332133n n n S n n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减得()23132323231322n n n S n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅-()()()11118133213213613n n n n n -++-=+--⋅=----，∴()1133n n S n +=-+；（3）由题意21212n n T n n +-=⨯=，∴()()211n nn n c T n =-⋅=-⋅， 当为n 偶数，数列{}n c 的前n 项和。
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新课标必修五第二章《数列》强化训练题1已知三个正数成等差数列，如果最小的数乘以 2,最大的数加上7,则成等 比数列，且它们的积为1000，求等差数列的公差。
2.设a n 是一个公差为d(d 0)的等差数列，它的前10项和S io 110 ,且a i ,a 2，a 4成等比数列。
(1) 证明 a i d ;(2) 求公差d 的值和数列a n 的通项公式.3•—个首项为正数的等差数列中，前 3项的和等于前11项的和. (1) 若这个数列前n 项和最大，求n 的值. (2) 求该数列前14项的和S4•设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项的和，已知S 7 =7，S 15=75, T 为数列｛|」|｝n的前n 项的和，求T n6 .已知数列a n 中，S n 是其前n 项的和，且对不小于 2的正整数n 满足关系⑴求 a 1 ,a 2,a 3; (II )求数列a n 的通项. 7.数列a n 共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1 < € N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k 1项的平均值是79。
(1) 求数列a n 的通项。
5.已知数列a n 中，a n 0, S n a 1 a 2a n, 且a n6S n a n 3，求 S n 。
1 a nS n a n 1 .(2)求出k的值并指出抽取的是第几项。
8. 数列a n的前n项和为S n,且S n=2a n-1 ,数列b n满足d=2, b n 1 a n b n.(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列b n的前n项和为T n9. 已知等差数列a n的首项a i =1，公差d >0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列b n的第二、三、四项(1)求数列a n与b n的通项公式；(2)设数列｛6｝对任意自然数n均有C3a n !成立，求b1 b2 b3 b nC i C2 C3 C2007 的值.10. 设数列a n前项和为S n，且(3 m)S n 2ma n m 3 (nN ),其中m为常数,m 3.(1)求证：数列a n是等比数列；(2 ) 若数列a n 的公比q f (m),数列b n 满足3 1b1 a1 b n— f(b n1)(n N ,n 2),求证：一为等差数列，求b n.2 b n11 .已知数列｛a n｝中,a1 1,前n项和为S n,对于任意的n 2(n N ),33S n 4, a n,2 S n 1总成等差数列.2(1)求a2, a3, a4 的值；(2)求通项a n ;12. 已知数列｛a n｝满足2a n 1 a n a n 2( n 1,2,3,)，它的前n项和为S n，且a3 5 , S636 .(I)求a(U)已知等比数列｛b n｝满足b i b2 1 a , b4 b5 a3 a4 (a 1)，设数列｛a n b n｝的前n项和为T n，求T n •13. 已知等差数列a n中，a2=8，前10项和S io=185.(1)求数列a n的通项；(2)若从数列a n中依次取第2项、第4项、第8项……第2n项……按原来的顺序组成一个新的数列b n ,求数列b n的前n项和T n.14. 已知数列｛a n｝是等差数列，且a1 2,a1 a? a3 12.(I)求数列｛a n｝的通项公式；(U)令b n a n X n(x R).求数列b n前n项和的公式.115. 设正数数列｛a n｝的前n项和S n满足S n -(a n 1)2.求：4(I)求数列｛a n｝的通项公式；1(II )设b n ,记数列｛b n｝的前n项和为T n，求T na n a n 116. 设数列｛a n｝的前n项和为S n，若S n是首项为S1各项均为正数且公比为q 的等比数列.(I)求数列｛a n｝的通项公式a n (用S1和q表示)；(U)试比较a n a n 2与2a n 1的大小，并证明你的结论.新课标必修五第二章《数列》强化训练题参考答案1.因成等比数列的三个数的积为1000,故设成等比数列的三个数为W,10,10q. q当成等差的三个正数为5 5,10,10q 7 时，有(10qq q7)520，解得q 或2q 1（舍去）。
此时2,2 10, 18成等差数列，公差为当成等差的三个正数为107,10,5q 时,q10有（一?）q5q 20，类似可求得公差为22.（1）证明:因a1, a2 ,a4成等比数列，故a?a£4，而a n 是等差数列, 有a? a 1 d ,a4 a1 3d ,于是® d)2a1 (a1 3d),即a j 2a i d d2 2a1 3a1d ,化简得a1 d(2)解: 由条件S10110和S1010a1 1^-9d，得到2 10a1 45d 110，由（1），a1 d ,代入上式得55d 110，故d所以a n a1 (n1)d2n,,2,3,3. (1)由已知S3 Sn，得a4 a511，a6 a10 a11又a4 a 11 a5 a® a? a8 .所以a? a8因数列首项为正，故公差d0，且a? 0, a8（2 ）设a n首项为a1，公差为,S3 S11,即3a1339 d 11a111(11 ◎d, 2a1 13d 0.22故 S 14 14a i 14(14 1)d 7(2a i 13d) 0.2 4•设数列｛a n ｝的公差为d ，则7a1 21d 7 ，解之得: 15a 1 105d 752，所以S nn(n 5) 2,则b n 是等差数列，设S'n b 1b 2b nn 2 9nb n解得: 所以d,b 2,b 3, b 4小于 0, n 6时,b n 0n 5 时，T n |b 1 | |b 2| |b n |n 6时， T n |b 1 | Ib 2lIb 5l(b 1 b 2d) b 62S'5)—S'5 (S'n当 当 2n小29n n ；4|b 6 ||b n |b n9n 40所以T n9n 4 n 2 9n 4045. 由已知,a 16a 1 a 1 3，得a 1且S n1当n 2时，a n S n S n16a n (a na n 0a na n 10,所以 a n a n 1111 6. (I ) a 1 、 a 2、 a 3248(II )由 1 a n S na n 1 得 1 a n 1整理得：a n a n 1 a n a n 130 ,1 /3) an 1(a n 163),3,3n(n S n1)o2S n 1 a n 2 ,这两式相减，得3)。
n (a n10. (1)由(3m)s n 2ma n m 3 得(3m )S n2ma n m 3,两式相减得（3 m)a n 1 2ma n , m3,a n 1a n2m m 3a n 是等比数列。
(2) b 1 a 11,q f (m)2m m 3解得38 k 40，又k N *，所以k 39，此时i 20 &(1)当 n=1 时,a i =2a i -1，二 a i =1, 当 n 》2 时，a n =S n -S n-1 =2a n -1-2a n-1+ 1 , - - a n =2a n-1.于是数列｛a n ｝是首项为1，公比为2的等比数列.••• a n =2n-1.(2) - b n+1=a n + b n ,. . b n+1 -b n =2 . 从而 b n -b n-1 =2n 2 ,b n-1-b n-2=2 n-3, b 2-b 1=1,以上等式相加，得 b n -b 1=1+2+22+…+2n-2=2n-1-1，又 b 1=2, • b n =2n-1+1T n =b 1+b 2+…+b n =(2°+21+…+2n-1)+n.=2 n -1+ n.(1)由题意得(a 什d)(a 1+13d)=(a 什4d)2(d >0).解得 d=2, • a n =2n-1,可得 b n =3n-1.c n⑵当n=1时，C 1=3;当n 》2时，由 一=a n+1 -a n ，得b n故 5+C 2+C 3+…+C 2007=3+2 X3+2 X32+…+2 x 3006= 32007a n a n 1 a n a n 1 a n 2,a n 1化简得，1，所以数列｛a n ｝ a n 2227. (1)a n S n S n 1 2n n 2(n 1)2 (n 1)4n 1(1⑵设抽取的是第i （ 1 i k ）项，且a i4i 1 o依题意，79( k 1) a i S k ，即 79(k1) 4i1 2k2kk 239k 的通项a nk)解得 ik 239k 240 ，由1 i40 22k 39k40 21 2n9. 1 3( n 1), C n =2 3n 1，故 C n =n 12?3n 1(n 2).则 b n d q n 1n 1n 1a ， a nb n(2n 1)aT n 1 3a 5a 2 7a 3 (2n 1)a n 1(n)设等比数列｛b n ｝的公比为q ,由 b 1(13 q) 1 :得 q a ，b 1 dq 3(1 q) a 3(1 a)11. (1) 由题意知2a n3S n42 -S n2 1 ,a n3S n 4( n2)由a 11 1可得a 2, a 3 21 ,a 4 41 8(2)当 n2时，a n 3S n 4, a n13S n 14,两式相减得a n 1a n3a n 1成等比数列a n 1b n3b n 3b n 1b n b n 11 是1为首项 11为公比的等差数列 b n31 n 1 n2 —1b n 3 3，3b nn 2丄为常数2a n其中a 212，qa n1)n 12. (I) 由2a na na n 2 得 an 2则数列｛a n ｝是等差数列.(n 1)1 (n 2)a na 1 2d 6a 1 15d 5,36.a 1 d 1, 2.因此, a n 2n 1 .3 2b n i b n b n 1 f(b n 1)22 b n 13所以，T n2(1 a n) 1 (2n 1)a n(1 a)2 1 a当a 1时，T n n2.a1d 813. (1)设｛a n｝公差为d,有10 910a1 丁d解得a1=5,d=3,「. a n=a1+(n —1)d=3n+2⑵依题意b n a2n 3 2n2二T n=b1+b2+…+ b n=(3 0+2)+(3 22+2)+ …+(3 x n22)=3(2 1+22+- +2n)+2n=6 X2n+2n-6.1时，①式减去②式，得(1 x)S 2(x x2 x n) 2nx n 12x(1 x n)2nx n 1所以S2x(1 x n) 2nx n 17(1 x)1 时，S n 2n n(n 1)综上可得当x 1 时,S n n(n 1); 当x 1时, S n2x(1 x n) 2nx n 1(1 x)2 1 x当a 1 时，aT n a 3a2 5a3 7a4(2n 1)a n由①-②得(1 a)T n 1 2a 2a2 2a32a n 1(2n 1)a n2(1 a n) 1 a 1 (2n n1)a18514 . ( I )解:设数列{a n}公差为d ,贝U a1a2a33a 13d 12,又a1 2,所以d 2.所以a n 2n.(n)解：令Snb1 b2b n，则由b n 2nx n,得S n 22x 4x n 1(2n 2)x 2nx n,①xS n 2x2 4x3(2n 2)x n2nx n 1,②4 115. ( I )S n(a n 1)2①一②得 a n 整理得（a n Q a n 0 a n a n 1 S n4(an1a n 1 )( a na n a n2 0即 a n {a n }是等差数列. 又a 1 S 1 1(a 1 1) (II ) b nT n 1 2[(1 16.( I)： a na n 1 3) S n a n 11 (3 1)214(an1)1；(a n11)a n 1 2)2(n 2)a 11,a n2n(2n 1)(2 n 1) 1(怎1 4) 1 (2n 1 (12n1 -1) n 2n 1是各项均为正数的等比数列 •…SS ’q1(q0).当 n=1 时，a 1=S 1, 当 n 2 时,a n S n S n 1 S 1 (q 1)q n S 1annS(q 1)q(n 2(n1) 2)(n)当 n=1 时,a 1 a 32a 2S 1S 1(q 1)q2S 1(q 1) S 1[(q0.a n a n 2 2a n 15(q 1)q n 2S(q1)q n 2$ (q 1)q n 1S 1 (q 1)3q n 2因为S1 0,q n 20. 所以①当q=1 时，(q 1)3 0, a n a n 2 2a n 1 .②当0 q 1时, (q 1)30, a n a n 2 2a n 1.③当q 1时, (q 1)30, a n a n 2 2a n 1 .综上可知：当n=1 时，a1 a3 2a2当n 2时,若q 1,则a n a n 2 2a n 1;若° q 1,则a n a. 2 2a. 1；若q 1,则a. a. 2 2a.!.。