数理方程第四章 格林函数法
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数理方程第四章
1 在区域 K 内直到边界上，v 可任意求导。 r
v u 在第二格林公式 (u v v u)dV (u v )dS n n
2 2
1 中, 取 u 为调和函数, 而令 v , 并以 K r 代替第二格林公式中的 . 则我们有
lim u( x, y, z ) 0,
r
(r x 2 y 2 z 2 ).
以保证解的唯一性。
§4.2
高斯(Gauss)公式
格林公式
设 是以光滑曲面 为边界的有界区域，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 在闭域 上连续, 在 内 1 P , Q , R C C 有一阶连续偏导数，即
两式相减, 得
2 2
第二格林公式
v u ( u v v u)dV ( u v )dS n n
利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质：
1) 牛曼内问题有解的必要条件
设 u 是以 为边界的区域 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 中取 u 为上述调和函数, 取 v 1, 有
3）调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式 , 是指用调和函数及 其在区域 边界 上的法向导数沿 的积分来表 达调和函数在区域 内任一点的值。 设 M 0 x0 , y0 , z0 是 内的点, 下面求调和函数在 该点的值。 构造辅助函数
1 v r
1
x x0 y y0 z z0
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z
它描述了稳恒状态下的物理现象。 拉普拉斯方程 u 0的连续解，也叫调和 函数。
4第四章格林函数法
，于是有 除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程 u0 内调和,则 上有一阶连续偏导数,且在 定理:若函数 u 在 调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函 数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
u ( M ) 1[ 1 1 u ( M ) u ( M ) ( ) ] dS 0 4 n r r n MM MM 0 0
3
P Q R { P , Q , R } n dS ( ) dV 由高斯公式 x y z v v v
2019/2/12
4.1.3 调和函数的积分表达式
由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：
1 1 2 2 2 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) MM 0 0 0 0
为二维Laplace方程的基本解.
其通解为： 为任意常数)。 V ( r ) c ln r c , ( r 0 , c , c 1 2 1 2
4.1.2 格林公式
令P u , Q u ,R u ,则得到格林第一公式： x y z u v u v u v v u vdV ( ) dV u dS x x y y z z n u v u v u v u v udV ( ) dV vdS x x y y z z n 将以上两公式相减，得到格林第二公式： v u ( u v v u ) dV ( u v ) dS n n 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
1
2019/2/12
4.1.1 拉普拉斯方程的基本解 对拉普拉斯方程 , 其球坐标形式为： u u u u 0 xx yy zz
数理方程第四章 格林函数法
则 u(M 2 ) u(M1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径
在 内作球 k 2 ，在 k 2上u(M ) u(M 2 ) u(M1 ) ，…, n 次后，
点 N 一定包含在以某点 M n 为中心 ,半径小于 d 的球
kn 内 , 因而 u( N ) u(M n ) u(M1 ) , 由 N 的
性质1. 设 u(x, y, z) 是区域 内的调和函数，它在
上有一阶连续偏导数，则
udS n
0,
其中
,
n
是 的外法线方向。
证明 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
3
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx uyy 0 ,其极坐标形式为:
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
0
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r) (即与 无关的解) ,则有：
d 2V dr 2
1 r
dV dr
任意性 ,就得到整个 上有 u( N ) u( M 1 ) ,这与 u 不为
常数矛盾.
10
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
K1 M2 l M1 K2 M3
S1 S2
Kn N Mn Sn
图4.1
11
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
第四章_拉普拉斯方程的格林函数法
Laplace方程的连续解，即具有二阶连续偏导数并满足Laplace 方程的连续函数. (1.u ∈ C 2 (Ω) I C 0 (Ω) 2. ∇ 2u = 0)
边值问题的提法： 二. 边值问题的提法：
1）第一边值问题(Dirichlet问题/狄氏问题) ∇ 2u = 0, in Ω uΓ = f 数学解释： 在Ω内寻求一个调和函数u, 它在边界Γ上与已知
连续函数f 吻合，即u Γ = f .
2）第二边值问题( Neumann 问题/牛氏问题 ) ∇ 2 u = 0, in Ω (其中 n是 Γ 的外法向量, f 是 连续函数 ) ∂u = f ∂n Γ
数学解释： Ω内寻求一个调和函数，它在闭区域Ω上有一阶 在 连续偏导数,即u ∈ C 2 (Ω) I C1 (Ω)，且在边界上满足边界条件。 ，且在边界上满足边界条件。
∂u ∫∫ u (M )dS + 4π a ∫∫ ∂n dS Γ Γ 1
∫∫ u (M )dS
Γ
（4）Laplace方程解的唯一性问题 ） 方程解的唯一性问题
定理：狄氏问题在C 2 (Ω) I C 1 (Ω)内解唯一，牛曼问题除相差一个
常数外解也是唯一确定的。
证明：
设u1 , u2为上述两类问题的解，则它们的差v = u1 − u2必是原问题的
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
第一节 第二节 第三节 第四节 拉普拉斯方程边值问题的提法 格林公式 格林函数 两种特殊区域的格林函数及狄氏 问题的解
格 林 函 数 法
格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念 格林函数 又称点源影响函数， 又称点源影响函数
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 场,知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场
边值问题的提法： 二. 边值问题的提法：
1）第一边值问题(Dirichlet问题/狄氏问题) ∇ 2u = 0, in Ω uΓ = f 数学解释： 在Ω内寻求一个调和函数u, 它在边界Γ上与已知
连续函数f 吻合，即u Γ = f .
2）第二边值问题( Neumann 问题/牛氏问题 ) ∇ 2 u = 0, in Ω (其中 n是 Γ 的外法向量, f 是 连续函数 ) ∂u = f ∂n Γ
数学解释： Ω内寻求一个调和函数，它在闭区域Ω上有一阶 在 连续偏导数,即u ∈ C 2 (Ω) I C1 (Ω)，且在边界上满足边界条件。 ，且在边界上满足边界条件。
∂u ∫∫ u (M )dS + 4π a ∫∫ ∂n dS Γ Γ 1
∫∫ u (M )dS
Γ
（4）Laplace方程解的唯一性问题 ） 方程解的唯一性问题
定理：狄氏问题在C 2 (Ω) I C 1 (Ω)内解唯一，牛曼问题除相差一个
常数外解也是唯一确定的。
证明：
设u1 , u2为上述两类问题的解，则它们的差v = u1 − u2必是原问题的
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
第一节 第二节 第三节 第四节 拉普拉斯方程边值问题的提法 格林公式 格林函数 两种特殊区域的格林函数及狄氏 问题的解
格 林 函 数 法
格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念 格林函数 又称点源影响函数， 又称点源影响函数
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 场,知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场
4格林函数法
u( r ) f ( r0 ) dr0 4 | r r0 |
那么，如何求解某边界条件下的泊松方程呢？
格林函数法求解拉普拉斯方程的边值问题
边值问题与无界空间的问题不同，要受到边界的影响， 边值问题的解 u(r) 与格林函数 G 的关系就更复杂了，需要 用到格林第二公式。 格林第二公式 设函数 u(r)， v(r) 在区域 Ω 直到其边界 Γ 上具有连续一阶 微商，而在 Ω 中有连续二阶微商，有格林第二公式
若知道一个点源在一定的边界条件和(或)初值 条件下所产生的场（称为格林函数），就可用叠加 的方法计算出任意源产生的场。这就是格林函数法 的基本思想。故也称点源法。
δ – 函数（狄拉克函数）
用来描述物理中集中分布的量，如点电荷、点热源、质点、单 位脉冲等，这是通常的函数概念不能描述的。
0 x x0 ( x x0 ) x x0 0 x0 ( a , b ) a ( x x0 )dx 1 x0 (a , b)
r r0 o
2
R (x0, y0, z0)
G G x x 0 , x R R
2G 2G x x0 G 1 ( x x0 )2 2 2 3 x R R R R R
2G 2G 同样计算可 2 和 ，于是 2 y z 2G R 2 G 3 R 2 2G 2 G 2G 3 2 2 R R R 2 R R 0 R R R
于是有积分形式的解
拉普拉斯方程的格林函数
根据格林函数法的基本思想，先求解方程
(x, y, z) r r0 o
G ( r , r0 ) ( r r0 )
2
那么，如何求解某边界条件下的泊松方程呢？
格林函数法求解拉普拉斯方程的边值问题
边值问题与无界空间的问题不同，要受到边界的影响， 边值问题的解 u(r) 与格林函数 G 的关系就更复杂了，需要 用到格林第二公式。 格林第二公式 设函数 u(r)， v(r) 在区域 Ω 直到其边界 Γ 上具有连续一阶 微商，而在 Ω 中有连续二阶微商，有格林第二公式
若知道一个点源在一定的边界条件和(或)初值 条件下所产生的场（称为格林函数），就可用叠加 的方法计算出任意源产生的场。这就是格林函数法 的基本思想。故也称点源法。
δ – 函数（狄拉克函数）
用来描述物理中集中分布的量，如点电荷、点热源、质点、单 位脉冲等，这是通常的函数概念不能描述的。
0 x x0 ( x x0 ) x x0 0 x0 ( a , b ) a ( x x0 )dx 1 x0 (a , b)
r r0 o
2
R (x0, y0, z0)
G G x x 0 , x R R
2G 2G x x0 G 1 ( x x0 )2 2 2 3 x R R R R R
2G 2G 同样计算可 2 和 ，于是 2 y z 2G R 2 G 3 R 2 2G 2 G 2G 3 2 2 R R R 2 R R 0 R R R
于是有积分形式的解
拉普拉斯方程的格林函数
根据格林函数法的基本思想，先求解方程
(x, y, z) r r0 o
G ( r , r0 ) ( r r0 )
2
数学物理方程课件第四章拉普拉斯方程的格林函数法
r M 0 M
M 1
1
4 xx02 y y02 zz02
解：
1
4 xx02 y y02 zz02
u(M 0)G (M n,M 0)f(M )dS G(M z,M0)|z0 f(x,y)dS
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
G ( M , M 0 ) 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
调和函数的积分表达式
k
拉 普l1r拉n 斯1
1 方x程2的基y本2 解z
ln 1
2
r
x2 y2
三维 二维
1 1 1 u
u (M 0)4 S(u n(r)r n)d S
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
2 牛曼内问题有解的必要条件
V (u 2 v v 2 u )d V S (u n v v u n )d S
一 拉普拉斯方程边值问
题 的 1提 第法一边值问题（狄氏问题）
第四章
拉普 u f
2 第二边值问题（牛曼问题）
拉斯方程的格 u f 林函数法 n
3 内问题与外问题
4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程 的连续函数。
二 格林公式及其结论
V (u 2 v )d V S u n vd S V u v d V 格V 林(u 公 2 式v 的v 结 2 论u )：d V S (u n v v u n )d S
半空间的格林函数
1 1 1
G(M,M0)4rM
r M 0 M
M 1
M0q d
04第四章格林函数法
（1）
西安理工大学应用数学系
u u 但在边界上， 未知，不能用上述公式求解，必须消去 n n
为此，引入Green函数的概念。
取 u, v 均为区域 内的调和函数，且在 上有一阶连续 的偏导数，则由第二Green公式，有
v u (u n v n )dS 0
西安理工大学应用数学系
P Q R ( x y z )d ( P cos Q cos R cos )dS
其中n {cos , cos , cos } 是 的外法线方向。 （2）第一Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且 足够光滑，u( x, y, z ), v( x, y, z ) 及其一阶偏导数在 上连 续，在 内有二阶连续偏导数，则
u(M 0 ) 1 4
（2）
[u
（1）式＋（2）式，得
1 1 u ( ) ]dS n rMM 0 rMM 0 n
（1）
v 1 1 1 u u ( M 0 ) {u[ n 4 n ( rMM )] ( 4 rMM v) n}dS 0 0
（3）
西安理工大学应用数学系
选 v ，使 v
1 4 rMM 0
，则（3）式变成
称为Green函数
v 1 1 u ( M 0 ) u[ n 4 n ( rMM )]dS 0 1 u ( n 4 rMM v)dS 0 1 v 4 rMM 0
v u v u v u v uvd u n dS ( x x y y z z )d v v v 推导：令 Pu , Qu , Ru x y z
第四章格林函数法2
转化为求v满足：
2 v 0, in ; 1 . v 4 r MM 0
注1.格林函数法的优点:
格林函数仅依赖于区域，而与原问题的边界条件无关，因此， 只要求得某个区域的格林函数G ( M , M 0 ) C1()，就能一劳永 逸的解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问题。
P R O
M1
rM1P 1 q q , 4 rM 0 P 4 rM1P rM 0 P 其中P是球面上任一点.
M0
在OM 0 P, OPM1有公共角M1OP，且0 1 R ，即
2
0
R
=
R
1
,
OM 0 OP 也即 = ，故OM 0 P与 OPM1相似。从而 OP OM1
2 2 ( u v v u)dV ( u
v u v )dS n n
取u, v为内的调和函数，且在上有一阶连续偏导数，则
1 u(M 0 ) 4 与调和函数的积分表达式相加
1 1 u ) u ( dS rMM 0 n n rMM 0
2 v 0，inD 其中v满足： 1 v 2 ln D rMM 0
D
2u 2u x 2 y 2 0, y 0, 上半平面内的狄氏问题： u f ( x), x y 0 y0 f ( x) u ( x0 , y0 ) dx 2 2 ( x x0 ) y0
令
则
1 G( M , M 0 ) v, 4 rMM 0
G G u ( M 0 ) u ( M ) dS f (M ) dS . n n
其中G(M , M 0 )称为Laplace方程的格林函数。
格林函数法
两种边值问题: 两种边值问题:
第一边值问题
u |Γ = f .
这类问题也叫做狄利克雷 问题。 这类问题也叫做狄利克雷(Dirichlet)问题。 狄利克雷 问题
拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数， 拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数，所以 调和函数 狄利克雷问题也可以叙述为： 狄利克雷问题也可以叙述为：在区域 Ω 内找 一个调和函数, 上的值已知。 一个调和函数 它在边界 Γ 上的值已知。 第二边值问题 在光滑的闭曲面 Γ 上给出连续函数 f，寻找函数 ， u(x,y,z) ：在 Γ 的内部 Ω 是调和函数 在 ( Ω + Γ ) 是调和函数, 上连续， 上连续，在 Γ 上任一点法向导数存在并且等于 已知函数 f ，即： ∂u =f ∂n Γ 这类问题也叫做纽曼 纽曼(Neumann)问题。 问题。 这类问题也叫做纽曼 问题
在球面坐标下, 拉普拉斯方程为: 在球面坐标下, 拉普拉斯方程为:
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂2u =0 r + 2 sin θ + 2 2 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ
球对称解 u=u(x,y,z)在以原点为中心的同一球面的 在以原点为中心的同一球面的 值为常数。 的函数:u=u(r)。 值为常数。u 仅为半径 r 的函数 。
(
)
两式相减, 两式相减 得
2 2
第二格林公式
∂v ∂u ∫∫∫ (u∇ v − v∇ u)dV = ∫∫ (u ∂n − v ∂n )dS Ω Γ
利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质： 利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质： 1) 纽曼内问题有解的必要条件 内的调和函数, 设 u 是以 Γ 为边界的区域 Ω 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, Ω + Γ上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 为上述调和函数 调和函数, 中取 u 为上述调和函数,取 v ≡ 1, 有
数学物理方程第四章_格林函数
1 ⎧ ⎪∆G (r , r0 ) = − δ (r − r0 ) ε ⎨ ⎪G Γ = 0 ⎩
(4.3.7) (4.3.8)
以 G (r , r0 ) 乘式 (4.3.5), u (r ) 乘式 (4.3.7), 二式相减后在 Ω 上对 r 积分 ,以 dr 表示 r 点处的体积微元,有
∫
Ω
(G∆u − u∆G )dr = −
第 4 章 格林函数
在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看, 一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导 方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源 被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同 样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就 叫做格林函数. 4.1
⎧0, T ( x) = ⎨ ⎩∞,
x≠0 x=0
且
∫Байду номын сангаас
所以有
+∞
−∞
cρT ( x)dx = Q
T ( x) =
Q δ ( x) cρ
通过以上两个例题,我们对 δ ( x) 有了进一步的认识.如果将坐标平移 x0 ,即集中量 出现在点 x = x 0 处,则有
δ ( x − x0 ) = ⎨
且
⎧0, ⎩∞,
∫
= ∫ (u∆v)dΩ + ∫ gradu ⋅ gradvdΩ
Ω Ω
=∫u
Γ
∂v dS ∂n
或表示为
∫
Ω
(u∆v)dΩ = ∫ u
Γ
∂v dS − ∫ gradu ⋅ gradvdΩ Ω ∂n
第四章格林函数法课件
特点：除 M0(x0,y0,z0)点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。
PPT学习交流
2
二维Laplace方程的基本解：
1
1
u(x,y)ln ln
rM M 0
(xx0)2(yy0)2
特点：除 M0(x0, y0) 点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。 问题：基本解是否为整个区域内的解？
n
n
从而得证
1
1 1 u (M )
Ò u (M 0) 4
[u (M ) ( )
nrM M 0 rM M 0
]d S n
PPT学习交流
8
4 调和函数的基本性质
性质1：设 u ( x, y , z ) 在有界区域 内为调和函数，且在
上有一阶连续偏导数，则
Ò
u n
dS
0
证：令 v 1 将 u , v 代入第二Green公式即可。
uv
PPT学习交流
11
证明：用反证法
若在 内有 u v ，即 uv0 ，而在边界上 uv0 ， 说明 u v 在内部可能取最大值。
推论2：狄利克莱问题 的解唯一。
u0, u f
(x, y,z)
证明：设 u 1 和 u 2 均为该问题的解，则 u u1 u2 满足
由极值原理， u 0
u0, u 0
于是
r rMM0
r2 MM0
2
乙 u n(rM 1 M 0)d S1 2 u d S1 24 2u4 u
乙 rM 1M0 u ndS1 u ndS4 u n
PPT学习交流
7
代入上式，得
Ò [u( 1)1u]dS4 u4 u0
第四章_拉普拉斯方程的格林函数法
这样的问题称为Laplace方程外问题。
注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上，
这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。
易知
u 0, r 1,
u 1 r 1
其中r x2 y2 z2
u 1,
u 1/ r
都是上述定解问题的解，即解不唯一.为了保证解的唯一性，
n
的值，所以要想求得狄氏问题的解就要想法消去积分公式中的
u 。故而我们需要引入格林函数。 n
在第二格林公式 (u2v
v2u)dV
(u
v n
v
u )dS, n
中取u, v C1()，并且都是内的调和函数.则
(u
v n
v
u )dS n
P Q R
(
x
y
z
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
其中取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
(
P x
Q y
R z
)dV
(P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z))dS.
Ka表示以M0 (x0, y0, z0 )为中心，以a为半径且完全落在内部的球面，
则成立下面平均值公式
1
u(M0 ) 4 a2 Ka udS
证明: 将调和函数的积分公式应用到Ka可得
u(M 0 )
1
4
(u(M )
n
(1) r
1 r
注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上，
这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。
易知
u 0, r 1,
u 1 r 1
其中r x2 y2 z2
u 1,
u 1/ r
都是上述定解问题的解，即解不唯一.为了保证解的唯一性，
n
的值，所以要想求得狄氏问题的解就要想法消去积分公式中的
u 。故而我们需要引入格林函数。 n
在第二格林公式 (u2v
v2u)dV
(u
v n
v
u )dS, n
中取u, v C1()，并且都是内的调和函数.则
(u
v n
v
u )dS n
P Q R
(
x
y
z
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
其中取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
(
P x
Q y
R z
)dV
(P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z))dS.
Ka表示以M0 (x0, y0, z0 )为中心，以a为半径且完全落在内部的球面，
则成立下面平均值公式
1
u(M0 ) 4 a2 Ka udS
证明: 将调和函数的积分公式应用到Ka可得
u(M 0 )
1
4
(u(M )
n
(1) r
1 r
第四章格林函数法1
注1：当M 0取在区域之外或边界上，可用同样的方法导出公式
4 u ( M 0 ), 1 1 u [u ( ) ]dS 2 u ( M 0 ), n r r n 0,
M 0在内； M 0在上； M 0在外。
注2：若u不是调和函数,即2u F，只要u C 2 () C1 ()， 我们可以得到类似公式
u u ds ds n n r R D
sin Rd 4 R 0 0 4
2
由牛曼内问题有解的必要条件知该问题无解。
3）平均值公式
定理3：设函数u(M )在区域内调和，M 0 ( x0 , y0 , z0 )为其中 任一点，a是以M 0为中心，以a为半径且完全落在内部 的球面，则下面平均值公式成立 1 u(M 0 ) udS 2 4 a a
P Q R ( ) dV Pdydz Qdzdx Rdxdy (1) x y z 其中取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一 种形式：
P Q R ( ) dv x y z ( P cos Q cos R cos )dS .
2 2
取u为调和函数，并假定且在上有一阶连续偏导数，v 1/ r则有
1 1 u r (u )dS 0 n r n
1 1 1 r r 注意到：在球面 上， 2 n r
1 1 r 因此可得 u dS 2 n 其中u
两式相减可得 v u (u v v u )dV (u v )dS n n
2 2
第二格林公式
二、调和函数的基本性质
1). 调和函数的积分表达式
定义：所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其 在区域边界上的法向导数沿的积分来表达调和函数在 内任一点的值。
4第四章格林函数法
u ( M ) u ( M 1 ) 。设 M 2 是 K 1 的球面 S1 与折线 L 的交点，
则 u ( M 2 ) u ( M 1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径 在 内作球 k 2 ，在 k 2上 u ( M ) u ( M 2 ) u ( M 1 ) 点 N 一定包含在以某点 M n
c1 d 2 dV V (r ) 0 其通解为： (r ) c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r dr dr 1 1 若取 c1 , c2 0 ,则得到特解 V0 (r ) 4r ,称此解为 4
三维Laplace方程的基本解，它在研究三维拉普拉斯方程中 起着重要的作用. 对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0,其极坐标形式为:
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.2.1 格林函数的定义 设在 内有 u 0, v 0; u, v 在 上有一阶连续 1 v u 偏导数,则由格林第二公式有 0 (u n v n )dS (2) 4 将(1)和(2)两式加起来：
u(M 0 ) 1 4 1 1 u u (v ) (v ) dS (3) n rMM 0 rMM 0 n
4.1.4 调和函数的性质
u u 0, | f . n
u n dS f dS 0.
6
下午10时1分
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
性质2 (平均值定理) 设函数 u(M ) 在区域 内调和， M 0 是 内任意一点，若 a 是以 M 0 为中心，a为半径 的球面，此球完全落在区域 的内部，则有 1 u(M 0 ) udS(调和函数的球面平均值公式) 2 a 4a 证明: 由调和函数的积分表示：
则 u ( M 2 ) u ( M 1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径 在 内作球 k 2 ，在 k 2上 u ( M ) u ( M 2 ) u ( M 1 ) 点 N 一定包含在以某点 M n
c1 d 2 dV V (r ) 0 其通解为： (r ) c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r dr dr 1 1 若取 c1 , c2 0 ,则得到特解 V0 (r ) 4r ,称此解为 4
三维Laplace方程的基本解，它在研究三维拉普拉斯方程中 起着重要的作用. 对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0,其极坐标形式为:
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.2.1 格林函数的定义 设在 内有 u 0, v 0; u, v 在 上有一阶连续 1 v u 偏导数,则由格林第二公式有 0 (u n v n )dS (2) 4 将(1)和(2)两式加起来：
u(M 0 ) 1 4 1 1 u u (v ) (v ) dS (3) n rMM 0 rMM 0 n
4.1.4 调和函数的性质
u u 0, | f . n
u n dS f dS 0.
6
下午10时1分
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
性质2 (平均值定理) 设函数 u(M ) 在区域 内调和， M 0 是 内任意一点，若 a 是以 M 0 为中心，a为半径 的球面，此球完全落在区域 的内部，则有 1 u(M 0 ) udS(调和函数的球面平均值公式) 2 a 4a 证明: 由调和函数的积分表示：
数学物理方程第四章 格林函数法
为边界的有界连通区域，u(x, y, z)在 上有连续
的一阶偏导数，在 内调和，定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) ， r 为定点M 0到变点 M (x, y, z) 距离： 则有
u(M0 )
1
4
1 [ r
u n
u
(1)]ds n r
(2.9)
故不提初始条件!只给出边界条件就可以. 下面看边界条件的提法.
（1） 第一边值问题(狄利克雷（Dirichlet）问题）
设方程（1.1）的空间变量(x, y, z) ， 为 R3的开区域。如果
u(x, y, z)满足方程（1.1），且在 边界 上直接给定了u(x, y, z)
的具体函数形式 f (x, y, z)，即
u(x, y, z) f (x, y, z)
（1.2）
则称问题（1.1）~（1.2）为拉普拉斯第一边值问题或狄利克雷
（Dirichlet）问题，u(x, y, z) 为此问题的解。
2u 2u 2u
u
x 2
y 2
z 2
0
u( x, y,z) f ( x, y,z),
u, v互 换
v
u v u v u v
( uv )dV
u
n
ds
(
x
x
y
y
z
z
)dV
(2.2)
u
u v u v u v
(vu)dV
v
n
ds
(
x
x
y
y
z
格林函数法
第四章 格林函数法
本章讨论的主要是用格林函数法求拉普拉斯 方程边值问题
§4.1 格林公式及其应用
§4.1.1 球对称解
通过变换：⎧ x = r sinθ cosϕ
⎪⎪ ⎨
y
=
r
sin θ
sin ϕ
⎪⎪⎩z = r cosθ
(0 ≤ θ ≤ π ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π )
可以将直角坐标系下的拉普拉斯方程：
u(M0 )
=
−∫∫ Γ
f (x,y,z)
∂G ∂n
dS
（4.20）
对于泊松方程的狄利克雷问题：
7
⎧⎪+u = F , 在 内 ⎨⎪⎩u Γ = f (x,y,z)
如果在 ＋上具有一阶连续偏导数的解，则此 解可表示为：
u(M 0 )
=
−∫∫ Γ
f
∂G ∂n
dS
−
∫∫∫ FGdΩ Ω
小结：狄利克雷问题：
3/2
于是球域内狄利克雷问题的解为
∫∫ ( ) u(M0) =
1 4π R
Γ
f (x,y,z)
R2 − r02 R2 + r02 − 2Rr0 cos γ
3/2 dS
（4.31）
14
在球坐标系中，上式可化为
∫ ∫ u(r0,θ0,ϕ0)
=
R 4π
2π 0
π f (R,θ,ϕ)
0
( ) R2 − r02
∫∫ u(M0)
=
1 4πa2
Γa
u(M)dS
（4.13）
性质3（极值原理）若函数u(x,y,z)在 内调和， 在 ＋上连续，且不为常数，则它的最大值、最
小值只能在边界上达到。
本章讨论的主要是用格林函数法求拉普拉斯 方程边值问题
§4.1 格林公式及其应用
§4.1.1 球对称解
通过变换：⎧ x = r sinθ cosϕ
⎪⎪ ⎨
y
=
r
sin θ
sin ϕ
⎪⎪⎩z = r cosθ
(0 ≤ θ ≤ π ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π )
可以将直角坐标系下的拉普拉斯方程：
u(M0 )
=
−∫∫ Γ
f (x,y,z)
∂G ∂n
dS
（4.20）
对于泊松方程的狄利克雷问题：
7
⎧⎪+u = F , 在 内 ⎨⎪⎩u Γ = f (x,y,z)
如果在 ＋上具有一阶连续偏导数的解，则此 解可表示为：
u(M 0 )
=
−∫∫ Γ
f
∂G ∂n
dS
−
∫∫∫ FGdΩ Ω
小结：狄利克雷问题：
3/2
于是球域内狄利克雷问题的解为
∫∫ ( ) u(M0) =
1 4π R
Γ
f (x,y,z)
R2 − r02 R2 + r02 − 2Rr0 cos γ
3/2 dS
（4.31）
14
在球坐标系中，上式可化为
∫ ∫ u(r0,θ0,ϕ0)
=
R 4π
2π 0
π f (R,θ,ϕ)
0
( ) R2 − r02
∫∫ u(M0)
=
1 4πa2
Γa
u(M)dS
（4.13）
性质3（极值原理）若函数u(x,y,z)在 内调和， 在 ＋上连续，且不为常数，则它的最大值、最
小值只能在边界上达到。
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HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思 义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条 件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的 场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林 函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以 统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
(4.1.1)
求方程(4.1.1)的球对称解u V (r ) (即与 和 无关的解) ,则有：
其通解为：V ( r )
d 2 dV (r )0 dr dr
若取 c1 1, c2 0,则得到特解 V0 ( r ) ,称此解为三维Laplace
r
c1 c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r 1
方程的基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用.
2
上午10时48分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0 ,其极坐标形式为:
分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又 可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广 泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯
方程的边值问题。
1
上午10时48分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.1 格林公式及其应用
4.1.1 基本解 对拉普拉斯方程 u uxx u yy uzz 0 , 其球坐标形式为：
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个 函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
5
上午10时48分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
若函数
内满足Poisson方程 u
1 u(M 0 ) 4
u 在 上有一阶连续偏导数，且在
F ，则同样有
0
除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程u
定理：若函数 内调和，则
0，于是有
u 在 上有一阶连续偏导数，且在
1 1 u ( M ) u(M ) ( ) dS n rMM 0 rMM 0 n
1 u(M 0 ) 4
证明 只要在Green公式中取 v 1 即证。 注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
6
上午10时48分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
思考：Laplace方程Neumann问题有解的必要条件是什么？
若取 c1 1, c2
1 0 , 则得到特解 V0 (r ) ln , 称此解为二维 r
Laplace方程的基本解.
3
上午10时48分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.1.2 格林公式
由高斯公式 P Q R dV P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z) d S x y z v v v 令P u , Q u , R u ,则得到格林第一公式： x y z
1 1 u ( M ) 1 u(M ) ( ) dS n rMM 0 rMM 0 n 4 F (M ) rMM dV 0
4.1.4 调和函数的性质
性质1. 设 u ( x, y, z ) 是区域 内的调和函数，它在 u 上有一阶连续偏导数，则 dS 0, 其中 , n n 是 的外法线方向。
将以上两公式相减，得到格林第二公式：
v u (uv vu )dV (u n v n )dS
调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
4
上午10时48分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.1.3 调和函数的积分表达式 由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数： 1 1 rMM ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2
2u 1 u 1 2u 2 0 2 2 r r r r
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r ) (即与 无关的解) ,则有：
其通解为： V (r ) c1 ln r c2 , (r
d 2V 1 dV 0 2 dr r dr
0, c1 , c2 为任意常数)。
内任意一点，若 是以 M 为中心，a为半径 a 0
1 u(M 0 ) 4
及由性质1，有
7
1 1 u u ( ) dS a r n n r
上午10时48分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
又因为，在
u u 0, | f . n
性质2 (平均值定理)
Байду номын сангаас
u n dS f dS 0.
设函数 u( M ) 在区域 内调和，
M0 是
的球面，此球完全落在区域 的内部，则有
1 u(M 0 ) udS 2 a 4a 证明： 由调和函数的积分表示：
u v u v u v v uvdV ( x x y y z z )dV u ndS
vudV (
u v u v u v u )dV v dS n x x y y z z
第4章格林函数法
格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思 义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条 件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的 场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林 函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以 统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
(4.1.1)
求方程(4.1.1)的球对称解u V (r ) (即与 和 无关的解) ,则有：
其通解为：V ( r )
d 2 dV (r )0 dr dr
若取 c1 1, c2 0,则得到特解 V0 ( r ) ,称此解为三维Laplace
r
c1 c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r 1
方程的基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用.
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HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0 ,其极坐标形式为:
分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又 可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广 泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯
方程的边值问题。
1
上午10时48分
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第4章格林函数法
4.1 格林公式及其应用
4.1.1 基本解 对拉普拉斯方程 u uxx u yy uzz 0 , 其球坐标形式为：
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个 函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
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HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
若函数
内满足Poisson方程 u
1 u(M 0 ) 4
u 在 上有一阶连续偏导数，且在
F ，则同样有
0
除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程u
定理：若函数 内调和，则
0，于是有
u 在 上有一阶连续偏导数，且在
1 1 u ( M ) u(M ) ( ) dS n rMM 0 rMM 0 n
1 u(M 0 ) 4
证明 只要在Green公式中取 v 1 即证。 注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
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第4章格林函数法
思考：Laplace方程Neumann问题有解的必要条件是什么？
若取 c1 1, c2
1 0 , 则得到特解 V0 (r ) ln , 称此解为二维 r
Laplace方程的基本解.
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第4章格林函数法
4.1.2 格林公式
由高斯公式 P Q R dV P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z) d S x y z v v v 令P u , Q u , R u ,则得到格林第一公式： x y z
1 1 u ( M ) 1 u(M ) ( ) dS n rMM 0 rMM 0 n 4 F (M ) rMM dV 0
4.1.4 调和函数的性质
性质1. 设 u ( x, y, z ) 是区域 内的调和函数，它在 u 上有一阶连续偏导数，则 dS 0, 其中 , n n 是 的外法线方向。
将以上两公式相减，得到格林第二公式：
v u (uv vu )dV (u n v n )dS
调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
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HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.1.3 调和函数的积分表达式 由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数： 1 1 rMM ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2
2u 1 u 1 2u 2 0 2 2 r r r r
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r ) (即与 无关的解) ,则有：
其通解为： V (r ) c1 ln r c2 , (r
d 2V 1 dV 0 2 dr r dr
0, c1 , c2 为任意常数)。
内任意一点，若 是以 M 为中心，a为半径 a 0
1 u(M 0 ) 4
及由性质1，有
7
1 1 u u ( ) dS a r n n r
上午10时48分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
又因为，在
u u 0, | f . n
性质2 (平均值定理)
Байду номын сангаас
u n dS f dS 0.
设函数 u( M ) 在区域 内调和，
M0 是
的球面，此球完全落在区域 的内部，则有
1 u(M 0 ) udS 2 a 4a 证明： 由调和函数的积分表示：
u v u v u v v uvdV ( x x y y z z )dV u ndS
vudV (
u v u v u v u )dV v dS n x x y y z z