七年级数学培优讲义word版

第11讲角

考点•方法•破译

1．进一步认识角，会比较角的大小，会计算角度的和差，认识度、分、秒，会进行简单的换算．

2．了解角平分线及其性质，了角余角、补角，知道等角的余角相等，等角的补角相等．经典•考题•赏析

例1：如图AOE是直线，图中小于平角的角共有（）

A．7个B．9个C．8个D．10个

【解法指导】公共端点的两条射线组成的图形叫做角，数角注意抓住概念，表示角用大写字母表示或希腊字母及数字表示，故选择B．

【变式题组】

01．在下图中一共有几个角？它们应如何表示．

02．下列语句正确的是（）

A．从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角B．两条直线相交组成的图形叫做角C．从同一点引出的两条线段组成的图形叫做角D．两条线段相交组成的图形叫做角03．关于平角和周角的说法正确的是（）

A．平角是一条直线B．周角是一条射线

C．反向延长射线OA，就是成一个平角D．两个锐角的和不一定小于平角

例2：38.33°可化为（）

A．38°30′3〃B．38°33＇C．38°30′30″〃D．38°19′48″〃

【解法指导】注意度、分、秒是60进制的，把度转化成分要乘60，把分转化成秒要乘60；反之把秒化成分要除以60，把分化成度要除以60，把秒化成度要除以3600，故选择D．【变式题组】

01．把下列各角化成用度表示的角：

⑴15°24′36″〃⑵36°59′96″〃⑶50°65′60″〃

02．⑴3.76°＝度分秒

⑵3.76°＝分秒

⑶钟表在8：30时，分针与时针的夹角为度．

03．计算：

⑴23°45′36＋66°14′24″；⑵180°－98°24′30″；〃

⑶15°50′42″×3；⑷88°14′48″÷4

例3：若∠α的余角与∠α的补角的和是平角则∠α＝．

【解法指导】两个角的和等于90°叫做余角，两个角的和等于180°叫做互补，同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．

解：根据题意得90°－∠α＋180°－∠α＝180°，所以∠α＝45°

【变式题组】

01．如图所示，那么∠2与1

2

（∠1－∠2）之间的关系是（）

A．互补B．互余C．和为45°D．和为22.5°

02．55°角的余角是（）

A．55°B．45°C．35°D．125°

03．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°－∠β；②∠α

－90°；③1

2

（∠α＋∠β）④

1

2

（∠α－∠β）（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

例4：如图，点O是直线AB上的点，OC平分∠AOD，∠BOD＝30°，则∠AOC＝．

【解法指导】注意找出图中角的和、差、倍、分关系，图中有∠AOD＋∠BOD＝180°，∠AOD＝2∠AOC．

解：因为∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－30°＝150°，又因为OC平分∠AOD，所以∠AOC

＝1

2

∠AOD＝

1

2

×150°＝75°．【变式题组】

01．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD等于（）

A．20°B．40°C．50°D．80°

02．如图直线a，b相交于点O，若∠1＝40°，则∠2等于（）

A．50°B．60°C．140°D．160°

03．一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（）

A．45°B．60°C．75°D．80°

例5：如图是一块手表早点9时20分的时针、分针位置关系示意图，此时时针和分针所成的角的度数是（）

A．160°B．180°C．120°D．150°

【解法指导】角此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图，并准确地把握时针、分针

的旋转一圈12小时，则它1小时转的角度为360°×1

12＝30°，1分钟转过的角度为30°×

1

60

＝

0.5°，分针转一圈是1个小时，分针每分钟转过的角度为360°×1

60

＝6°．故选择A．

【变式题组】

01．钟表上12时15分，时针与分针的夹角为（）

A．90°B．82．5°C．67.5°D．60°

02．由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是．

例6：考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．【解法指导】此类问题紧扣方位角的概念作出射线OA，OB是关键．

解：如图，以O为顶点，正北方向线为始边向东旋转45°，得OA，以O为顶点，正南方向线为始边向东旋转60°，得OB，则∠AOB＝180°－（45°＋60°）＝75°．【变式题组】

01．如图所示，某测绘装置有一枚指针，原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针旋转1 4

周．

⑴指针所指方向为；

⑵图中互余的角有对，与∠BOC互补的角是．

02．轮船航行到C处时，观察到小岛B的方向是北偏西35°，同时从B观察到轮船C的方向是（）

A．南偏西35°B．北偏西35°C．南偏东35°D．南偏东55°

03．如图下列说法不正确的是（）

A．OA的方向是东偏北30°B．OB的方向是西偏北60°

C．OC的方向是西偏南15°D．OD的方向是西南方向

例7：如图，O是直线AB上一点，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角共有对．

【解法指导】彼此互补的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关，从计算相应角的度数入手，故共有6对．

【变式题组】

01．如图所示，A、O、B在一条直线上，∠AOC＝1

2

∠BOC＋30°，

OE平分∠BOC，则∠BOE＝．

02．如图，已知∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝3∶2∶4，∠AOD＝108°，求∠AOB、∠BOC、∠COD的度数．

03．如图，已知∠AOB＋∠AOC＝180°，OP、OQ分别平分∠AOB、∠AOC，且∠POQ＝50°，求∠AOB、∠AOC的度数．

演练巩固反馈提高

01．已知∠α＝35°，则∠α的余角是（）