计算结构力学第五章结构刚度矩阵与荷载向量

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•MW是按单元结点编号顺序由结点的结构未知量编号顺序所组成的向量(列阵)。
•MW处理了约束，以及主从关系，无效未知量等特殊结点信息，也是[C]矩阵的实用(增广)写法。
•单元定位向量可方便地指出单元的各个未知量在结构总体未知量中的对应位置(总体序号)。 •由此也就可以确定单元刚度矩阵中的元素在结构刚阵中的位置。
U U i
i 1
NE
1 1 T T U i { } {F } { } [k ]{ } 2 2
Baidu Nhomakorabea
(4)
整体坐标系中的单元刚度矩阵
单元结点位移
首页
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e 令: { }e NF [C]NF N {}N
(5)
N－结构未知量总数
NF－单元自由度数
C＝0或1。指明单元结点位移向量是由结构结点位移向量中的哪几个分量所组成
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1 MW (i) j Cij 0 MW (i) j
(10)
(i 1,2,...NF ,
j 1,2,...N )
即Cij的行号与MW e的行号一致，把的序号作为[C] 的列号j，便可由MW e得到[C] e 。
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5-3 按单元定位向量装配结构刚度矩阵
[C]NFxN是单元定位向量的增广写法：一个单元对应一个[C]e，且有：
{ } [C] {}
e
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例1：求图示结构的[C]e
1 0 2 1 2 1 0 3
0 0 0 3
4 0 0 0
解：给单元结点编号，并写出各单元的定位向量：
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MW = [0 0 0 1 0 2] (2) T MW = [0 0 0 1 0 3] (3) T MW = [1 0 2 1 0 3]
(5)式反映了结构的离散过程，实际上表明了结构离散化后的变形协调条件。
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将(5)式代入(3)式：
1 T e T e U {} ([C ] ) [k ][C ] {} i 1 2
NE
(6)
结构总势能为：
NE
1 T e T e T {} ([C ] ) [k ][C ] {} {} {P} i 1 2 由势能驻值原理 0，得： {}
3
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得到结构总刚度矩阵为：
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结构刚度矩阵的组成规律专有名词
e •主系数与副系数: Kii=∑kii>0 且Kij=Kji •相关未知量：与未知量i在同一单元的未知量叫做
未知量i的相关未知量。若i，j相关，则Kij≠0 若i，j不相关，则Kij=0 •相关结点：未知量i的相关未知量所在结点称为未知量i的相关结点。
(7)
([C ] ) [k ][C ] {} {P} 0
e T e i 1
NE
(8)
[ K ] ([C ] ) [k ][C ] 于是：
e T i 1
NE
e
(9)
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讨
论
[K]是由[k]经过[C]变换后装配而成。由于势能驻值原理等价于平衡方程，故装配总刚的有限元集合过程遵循平衡条件。
计算结构力学
第五章结构刚度矩阵与荷载向量
5-1 概述
以图示框架结构为例，设有n 个未知量:
{} {1 2 ...... n }
T
(1)
(2)
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相应的结点荷载向量为:
{P} {P 1 P 2 ...... P n }
T
则结构刚度方程可写为:
[ K ]{} {P} (3)
0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 3 0 0 0 1
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由此可得到各单元的[C],如对第③ 单元，可写出:
1 u1 0 0 1 2 ③ ③ { } [C ] {} 1 u1 0 0 2 3
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例2：求图示连续梁的结构刚度矩阵。
1
① ②
EI,l
2
EI,l
3
解：设线刚度i=1
{ } [i j ]
T
{F} [Mi M j ]
T
单元刚度矩阵
{} [1 2 3 ] [1 2 3 ]
T
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T
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注意以下写法：
1 2 定 1 2 2 3 定 2
(1)
T
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由(5)式可写出各单元的结点位移向量与结构结点位移向量的关系式：
0 0 0 ① ① { } [C ] {} 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 1 0
[K]-称为结构刚度矩阵(或称总刚度矩阵) 本章讨论[K]的形成及程序设计，以及{P}的形成。
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5-2
应用能量原理形成结构刚度矩阵
结构在外荷载作用下的总势能可以写成：
U V 其中:
V {} {P} (仅考虑结点荷载)
T
(1)
(2) (3)
NE是单元数
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•相关单元：凡未知量i的相关结点所在单元称为末知量i的相关单元。
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5-4 形成结构刚度矩阵的直接刚度法
1、并积的概念
T 设 A { A} [a1 a2 an ] T B {B} [b1 b2 bn ]
定义并积为：
{A} {B} [ H ]
T
不是列向量乘行向量,也不是向量的内积(点积)
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0 0 0 ② ② { } [C ] {} 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 0 1
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1 0 0 ③ ③ { } [C ] {} 1 0 0

计算结构力学第五章 结构刚度矩阵与荷载向量

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