二次方贝塞尔曲线
三次Bezier曲线原理及实现代码
Bezier曲线原理及实现代码（c++）一、原理：贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。
贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。
这条线由下式给出：且其等同于线性插值。
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t) 追踪：。
TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。
P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。
曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。
一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。
P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：。
现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。
一般化P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即。
例如：。
如上公式可如下递归表达：用表示由点P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。
则用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。
一些关于参数曲线的术语，有即多项式又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义00 = 1。
点P i称作贝塞尔曲线的控制点。
多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0并以P n终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。
贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P 0 至P 1 的 B(t ) 所描述的曲线。
例如当 t=0.25 时，B(t ) 即一条由点 P 0 至 P 1 路径的四分之一处。
就像由 0 至 1 的连续 t ，B(t ) 描述一条由 P 0 至 P 1 的直线。
B样条曲线
Bezier曲线
给定P0、P1、P2、P3，三次曲线的参数形式如下：
三次曲线的动态图如下：
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建 构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中 定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1， 并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两 个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距， 决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长 度有多长”。
Bezier曲线
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点 P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
高阶曲线的动态图如下：
要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行 较多的计算，然后绘制出来。
Bezier曲线 Bezier曲线的一般化形式：
即：
其中多项式：
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
B样条曲线
Bezier曲线改变一点曲线整体受影响
B样条曲线
B样条曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的优点：
易于进行局部修改； 更逼近特征多边形；
是低阶次的曲线。
B样条曲线改变一点曲线局部受影响
B样条曲线
均匀B样条曲线的参数表达式为：
式中为n次B样条基函数，其形式为：
其中
B样条曲线
B样条曲线的C语言实现
#include<graphics.h> #include<conio.h> float px[10]={50,90,150,120,220,300,380,320,450,500}; float py[10]={100,60,50,150,240,100,100,200,250,130}; void B_spline() { float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3; int k,x,y; float i,t,dt,n=10; setcolor(15); dt=1/n; for(k=0;k<10;k++) { if(k==0) moveto(px[k],py[k]); lineto(px[k],py[k]); } setcolor(4); for(k=0;k<10-3;k++) { if(getch()==17)exit();
Bezier曲线原理及实现代码（c++）
Bezier曲线原理及实现代码（c++）Bezier曲线原理及实现代码（c++）2009-06-30 18:50:09| 分类： |字号⼀、原理：贝塞尔曲线于，由⼯程师（Pierre Bézier）所⼴泛发表，他运⽤贝塞尔曲线来为的主体进⾏设计。
贝塞尔曲线最初由于运⽤开发，以的⽅法求出贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线给定点 P0、P1，线性贝塞尔曲线只是⼀条两点之间的。
这条线由下式给出：且其等同于。
⼆次⽅贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2的函数 B(t) 追踪：。
字型就运⽤了以组成的⼆次贝塞尔曲线。
P0、P1、P2、P3四个点在平⾯或在三维空间中定义了三次⽅贝塞尔曲线。
曲线起始于 P0⾛向 P1，并从 P2的⽅向来到 P3。
⼀般不会经过 P1或 P2；这两个点只是在那⾥提供⽅向资讯。
P0和 P1之间的间距，决定了曲线在转⽽趋进 P3之前，⾛向 P2⽅向的“长度有多长”。
形式为：。
现代的成象系统，如、和，运⽤了以组成的三次贝塞尔曲线，⽤来描绘曲线轮廓。
P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即。
例如：。
如上公式可如下递归表达：⽤表⽰由点 P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。
则⽤平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。
⼀些关于参数曲线的术语，有即多项式，定义 00 = 1。
点 P i称作贝塞尔曲线的控制点。
以带有的贝塞尔点连接⽽成，起始于 P0并以 P n终⽌，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。
贝塞尔多边形的（convex hull）包含有贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由 P0⾄P1的 B(t) 所描述的曲线。
例如当t=0.25时，B(t) 即⼀条由点 P0⾄ P1路径的四分之⼀处。
就像由0 ⾄ 1 的连续t，B(t) 描述⼀条由 P0⾄ P1的直线。
为建构⼆次贝塞尔曲线，可以中介点 Q0和 Q1作为由 0 ⾄ 1 的t：由 P0⾄ P1的连续点 Q0，描述⼀条线性贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线公式
贝塞尔曲线公式贝塞尔曲线（Bézier Curve）是由法国数学家皮埃尔·贝塞尔提出的，其应用非常广泛，如CAD系统，图片处理，几何图案绘制等。
贝塞尔曲线具有很强的平滑性，可以用来描述任意曲线，可以更加精确地描述几何形状。
贝塞尔曲线公式是一种用于绘制贝塞尔曲线的方法，它可以用来描述任意曲线。
贝塞尔曲线公式也称为递推公式，它将多项式拆分为多边形，并用相应的贝塞尔曲线来表示这些多项式。
这种方法实现了在任意两个点之间平滑多边形的曲线，给我们一个非常高效地，强大而精确绘图方法。
贝塞尔曲线的通用公式为：B(t)=sum(k=0,n)PkCn,k(t)其中，Pk是贝塞尔曲线的控制点，t是参数，Cn,k（t）是贝塞尔基函数：C0,0(t)=1,Cn,0(t)=0,Cn,k(t)=Cn-1,k-1(t)+(n-k+1)Cn-1,k(t)而B（t）是控制点的一个线性函数，t的数值在[0,1]之间。
当t=0的时候，B(t)=P0，t=1的时候，B(t)=Pn，其间的某一点Q，坐标则有如下形式：Q(x,y)=B(t)=sum(k=0,n)PkCn,k(t)=(P0(t),Pn(t))Cn,k(t)由于贝塞尔曲线是一种几何数学概念，它还有基于几何理论的定义及绘图方法，如：1.控制点的定义：在二维空间内，贝塞尔曲线是由“控制点A”和“控制点B”两个点构成曲线。
2.贝塞尔曲线定义：采用参数t做函数变换后，以控制点A和控制点B为两个顶点，完成三次曲线的定义。
即所谓的B-Spline曲线（B样条曲线）。
3.贝塞尔曲线定向：从起点开始，控制点A和控制点B所代表的线条向曲线的延长方向，可以使到达终点的曲线更平滑，更优美。
4.贝塞尔曲线的绘制：一般来说，贝塞尔曲线的绘制可以分成三步：（1）通过各个控制点求得控制点对应的点对；（2）将此点对组合起来即可绘出相应的贝塞尔曲线；（3）根据公式依次计算出整条曲线上的点，最后完成贝塞尔曲线的精确绘制。
bezier曲线表达式
bezier曲线表达式
贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种常用的数学曲线，用于计算机图形学和动画制作等领域。
贝塞尔曲线可以使用参数形式表示，也可以使用矢量表示。
贝塞尔曲线的矢量表示形式是：P(t) = ∑_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) * P_i其中，P(t)表示曲线上的点，B_{i,n}(t)是贝塞尔基函数，P_i 是控制点。
n表示控制点的个数，t是一个参数，取值范围是[0,1]。
对于2次贝塞尔曲线，其基函数为：B_{0,2}(t) = 1-t^2, B_{1,2}(t) = 2t*(1-t), B_{2,2}(t) = t^2在参数t=0时，曲线起点为P_0；在参数t=1时，曲线终点为P_2。
对于3次贝塞尔曲线，其基函数为：B_{0,3}(t) = 1-t^3, B_{1,3}(t) = 3t*(1-t)^2, B_{2,3}(t) = 3t^2*(1-t), B_{3,3}(t) = t^3在参数t=0时，曲线起点为P_0；在参数t=1时，曲线终点为P_3。
对于更高次的贝塞尔曲线，其基函数可以递推得到。
此外，贝塞尔曲线的参数形式表示为：C(t) = ∑_{i=0}^{n} C_i * t^i其中，C_i是控制点，t是一个参数，取值范围是[0,1]。
该公式可用于绘制贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线详解
贝塞尔曲线详解贝塞尔曲线是一种数学曲线，它由法国数学家皮埃尔·贝塞尔在19世纪中期发明。
贝塞尔曲线在计算机图形学、工程学、设计和艺术等领域中得到了广泛应用。
本文将详细介绍贝塞尔曲线的定义、性质和应用。
一、贝塞尔曲线的定义贝塞尔曲线是由一系列控制点和一组权重值组成的曲线。
控制点是曲线上的点，它们决定了曲线的形状。
权重值是一个数值数组，它们控制了曲线在控制点之间的弯曲程度。
贝塞尔曲线的公式如下：B(t) = Σi=0n Pi * Bi,n(t)其中，B(t)是曲线上的点，t是参数，Pi是控制点，Bi,n(t)是贝塞尔基函数。
贝塞尔基函数是一个多项式函数，它的形式如下：Bi,n(t) = C(n,i) * ti * (1-t)n-i其中，C(n,i)是组合数，ti是t的i次方，(1-t)n-i是(1-t)的n-i次方。
二、贝塞尔曲线的性质1. 控制点的数量决定了曲线的阶数。
例如，如果有3个控制点，那么曲线的阶数为2。
2. 曲线的起点和终点分别是第一个和最后一个控制点。
3. 曲线在控制点处的切线方向与相邻控制点之间的连线方向相同。
4. 曲线的形状由控制点和权重值共同决定。
权重值越大，曲线在相应控制点之间的弯曲程度越大。
5. 贝塞尔曲线具有局部控制性。
这意味着，如果修改了一个控制点的位置或权重值，只会影响该控制点和相邻控制点之间的曲线段，而不会影响整个曲线。
三、贝塞尔曲线的应用1. 计算机图形学贝塞尔曲线在计算机图形学中得到了广泛应用。
它们可以用来绘制平滑的曲线和曲面，例如二维图形、三维模型和动画。
贝塞尔曲线还可以用来实现图形编辑工具，例如Photoshop和Illustrator。
2. 工程学贝塞尔曲线在工程学中也有很多应用。
例如，它们可以用来设计汽车、飞机和船舶的外形，以及建筑物的立面和室内设计。
贝塞尔曲线还可以用来优化机器人的运动轨迹和控制系统的响应速度。
3. 设计和艺术贝塞尔曲线在设计和艺术领域中也非常流行。
android二阶贝塞尔曲线公式
android二阶贝塞尔曲线公式Android二阶贝塞尔曲线公式（Formula for Quadratic Bezier Curve in Android）贝塞尔曲线是一种常用于图形设计和动画中的数学曲线。
在Android开发中，二阶贝塞尔曲线是一种经常被使用的类型，它由三个点共同决定。
以下是描述Android二阶贝塞尔曲线的公式。
公式：B(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * (1-t) * t * P1 + t^2 * P2在这个公式中，B(t)表示在t时刻曲线上的一个点，P0表示起始点，P1表示控制点，P2表示结束点。
t是取值范围为0到1的参数，用来表示曲线上的位置。
根据这个公式，我们可以计算出曲线上的任意一个点的坐标。
例如，当t等于0时，B(t)的值将是曲线的起始点P0。
当t等于1时，B(t)的值将是曲线的结束点P2。
二阶贝塞尔曲线相比一阶贝塞尔曲线更加复杂和灵活。
通过改变控制点P1的位置，我们可以改变曲线的形状。
当P1位于起始点和结束点之间时，曲线将呈现出弯曲的效果。
当P1位于起始点和结束点的外侧时，曲线将呈现出S形状。
在Android开发中，我们可以使用Canvas类的drawPath()方法来绘制二阶贝塞尔曲线。
首先，我们需要创建一个Path对象，并通过调用Path对象的quadTo()方法来设置曲线的起始点、控制点和结束点。
然后，我们可以使用Canvas的drawPath()方法将曲线绘制在屏幕上。
总结：Android二阶贝塞尔曲线公式是一个通过起始点、控制点和结束点来描述曲线形状的数学公式。
通过调整控制点的位置，我们可以创建出各种各样的曲线形状。
在Android开发中，我们可以使用Canvas类来绘制二阶贝塞尔曲线，为我们的应用程序增添更多的动画和设计效果。
贝塞尔曲线斜率
贝塞尔曲线斜率贝塞尔曲线斜率是指在贝塞尔曲线上某一点处的切线斜率。
贝塞尔曲线是一种经典的曲线表示方法，广泛应用于计算机图形学、动画和设计等领域。
在这篇文章中，我们将探讨贝塞尔曲线斜率的性质和应用。
一、贝塞尔曲线概述贝塞尔曲线是通过控制点来定义的曲线。
一般情况下，贝塞尔曲线由两个端点和若干个控制点组成。
通过调整控制点的位置和数量，可以得到不同形状的曲线。
贝塞尔曲线的优点之一是可以平滑地连接多个点，形成连续的曲线。
二、贝塞尔曲线的参数化表示贝塞尔曲线可以通过参数化表示来描述。
对于二次贝塞尔曲线，其参数化表示为：P(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1 + t^2 * P2其中P(t)是曲线上某一点的坐标，P0、P1和P2分别是起始点、控制点和结束点的坐标，t是参数，取值范围为0到1。
贝塞尔曲线的斜率可以通过求导来计算。
对于二次贝塞尔曲线，其斜率的计算公式为：k(t) = (P1.y - P0.y) * (1-t) + (P2.y - P1.y) * t其中k(t)是曲线在参数t处的斜率，P0、P1和P2同上述定义。
四、贝塞尔曲线斜率的性质1. 贝塞尔曲线在起始点和结束点处的斜率等于起始点和结束点连线的斜率。
2. 贝塞尔曲线的斜率在参数t取值为0和1时达到最大值或最小值。
3. 贝塞尔曲线的斜率可以用来判断曲线的凹凸性，当曲线斜率为正时，曲线凸向上方；当曲线斜率为负时，曲线凸向下方。
五、贝塞尔曲线斜率的应用1. 动画设计中可以利用贝塞尔曲线的斜率来控制物体的运动轨迹和速度变化，实现平滑的动画效果。
2. 计算机图形学中可以利用贝塞尔曲线的斜率来进行曲线插值，实现曲线的平滑绘制。
3. 模拟物理运动时，可以利用贝塞尔曲线的斜率来模拟物体的加速度和减速度变化，使得物体运动更加真实。
4. 在工程设计中，可以利用贝塞尔曲线的斜率来控制曲线的曲率，从而实现流线型或曲线型的设计效果。
二次方贝塞尔曲线(PPT课件)
当K (s) 0时， ( s) K ( s) 称为曲线在 P (s)点的曲率 半径。
1
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
Computer Graphics
由于 T (s)和T (s s) 都是单位长度，所以圆心角 与其对应的圆弧长 h (图 10.3)大小相等。弧长 h 和 | T |的极限相同，因此 lim | | 1 ，所以 0
cos (cos 2
sin 2 ) (cos 2 sin 2 ) (1 t 2 ) (1 t 2 ) 2 2 2 2
y y
取角度θ为参数时，x和 y的关系如图10.1(a)所 示；取t为参数时，x和 y的关系如图10.1(b)所 示，其中θ和t为等距取 值。
0
(a) 1.0 x
S (t ) P (t ) dt
0
t
可看作是曲线从 P (0) 到 P (t )
0
的折线长度的极限。记 P (0) 为 P0 ， P (t ) 为 Pn ，在曲线从 P 到 Pn 之间沿着递增 的方向，取n－1个点 的折线，它的长度为
P 1, P 2, , Pn1
n
，把相邻点用直线段连接起来，得到曲线 ，当
dT dT ds ds KN dt ds dt dt
dt 同方向
dT dT | | N KN ds ds
，其中K
KN称为曲线的曲率矢量。
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
Computer Graphics
矢量 B T N 垂直于T 和N，把B 称为单位副法线矢量。 过曲线上任一点有三个两两垂直的单位矢量T、N、B，它们满足 B T N T N B 、 N B T 。把通过给定点且分别包含切矢量T和主法矢量N，主 法矢量N和副法矢量B，副法矢量B和切矢量T的平面分别称之为密切平 面、法平面和从切平面，如图10.4所示。
贝塞尔曲线的参数形式表达方式
贝塞尔曲线的参数形式表达方式
贝塞尔曲线（Bézier curve）是一种参数化的数学曲线，它由控制点和插值点组成。
贝塞尔曲线的参数形式表示为：
B(t) = (1 - t)³ * P0 + 3 * (1 - t)² * P1 + 3 * (1 - t) * P2 + t³ * P3
其中，t 是参数，取值范围为0到1；P0、P1、P2、P3 是控制点；B(t) 是曲线在t参数下的坐标。
贝塞尔曲线可以根据需要分为一阶、二阶和三阶等不同阶数。
不同阶数的贝塞尔曲线具有不同的特性和灵活性。
一阶贝塞尔曲线（Linear Bézier Curve）由两个控制点确定，公式如下：
B(t) = (1 - t) * P0 + t * P1
二阶贝塞尔曲线（Quadratic Bézier Curve）由三个控制点确定，公式如下：
B(t) = (1 - t)² * P0 + 2 * (1 - t) * P1 + t² * P2
三阶贝塞尔曲线（Cubic Bézier Curve）由四个控制点确定，公式如下：
B(t) = (1 - t)³ * P0 + 3 * (1 - t)² * P1 + 3 * (1 - t) * P2 + t³ * P3
在计算机图形学中，贝塞尔曲线常用于绘制平滑曲线、曲面、路径等。
它的优点是可以通过调整少量的控制点来精确控制曲线的形状，同时具有良好的数学性质和计算效率。
两个点生成贝塞尔曲线公式
两个点生成贝塞尔曲线公式
贝塞尔曲线是由若干个控制点生成的曲线，其中包括两个端点和若干个中间控制点。
这些控制点决定了曲线的形状。
在二维空间中，如果给定两个端点P0和P2以及一个中间控制点P1，可以使用二次贝塞尔曲线的公式来生成曲线上的点。
公式如下：
\[ B(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * (1-t) * t * P1 + t^2 * P2 \]
其中，t的取值范围通常是\[0, 1\]，表示曲线上的位置。
当t取值0时，得到的是曲线的起始点P0，当t取值1时，得到的是曲线的终点P2。
如果有更多的中间控制点，可以使用更高阶的贝塞尔曲线公式来生成曲线。
例如，三次贝塞尔曲线的公式如下：
\[ B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3 * (1-t)^2 * t * P1 + 3 * (1-t) * t^2 * P2 + t^3 * P3 \]
这样，通过给定端点和若干个中间控制点，可以生成相应阶数的贝塞尔曲线。
二次贝塞尔曲线 三次贝塞尔曲线
深入探讨二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线1. 介绍在计算机图形学和设计领域中，贝塞尔曲线是一种常用的数学工具，用于描述平滑曲线的形状。
而在贝塞尔曲线中，二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线是最为常见和重要的两种类型。
本文将深入探讨二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线，分别探讨其原理、特点以及在实际应用中的意义。
2. 二次贝塞尔曲线在计算机图形学中，二次贝塞尔曲线是由三个点所确定的曲线，分别为起始点P0，控制点P1和终止点P2。
其数学表达式为：B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2 * (1 - t) * t * P1 + t^2 * P2其中，t的取值范围为[0, 1]，表示曲线上的点的位置。
二次贝塞尔曲线的特点在于其形状由控制点P1的位置所决定，当控制点P1靠近起始点P0时，曲线会更加接近P0；当控制点P1靠近终止点P2时，曲线会更加接近P2。
这种特性使得二次贝塞尔曲线在设计软件中广泛应用于创建平滑的曲线和图形，例如Photoshop、Illustrator等设计工具中。
3. 三次贝塞尔曲线相较于二次贝塞尔曲线，三次贝塞尔曲线多了一个控制点，即由四个点所确定的曲线，分别为起始点P0，控制点P1，控制点P2和终止点P3。
其数学表达式为：B(t) = (1 - t)^3 * P0 + 3 * (1 - t)^2 * t * P1 + 3 * (1 - t) * t^2 * P2 + t^3 * P3与二次贝塞尔曲线类似，t的取值范围为[0, 1]，表示曲线上的点的位置。
三次贝塞尔曲线相较于二次贝塞尔曲线具有更高的灵活性和精准度，能够描述更加复杂和多变的曲线形状。
在3D建模、动画制作和工程设计等领域中，三次贝塞尔曲线被广泛应用于创建流线型的图形和模型，例如在汽车外观设计、航空航天工程等领域。
4. 实际应用二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线在数字艺术、工程设计和计算机图形学领域都具有广泛的应用。
通过合理地设置控制点的位置和调整参数，我们可以创建出各种各样复杂的曲线形状，从而实现设计和模拟各类自然和几何图形。
canvas的二次方和三次方贝塞尔曲线
深入探讨Canvas的二次方和三次方贝塞尔曲线1. 走进Canvas的世界Canvas是HTML5中的一个重要元素，它可以用来绘制图形，创建动画，甚至可以进行图形变换。
其中，贝塞尔曲线是Canvas中重要的绘图技术，它可以用来绘制各种复杂的曲线和路径。
本文将重点探讨Canvas中的二次方和三次方贝塞尔曲线的绘制原理和应用。
2. 二次方贝塞尔曲线在Canvas中，二次方贝塞尔曲线由起始点、控制点和终止点构成。
通过调用Canvas的API，我们可以很轻松地绘制出一条平滑的二次方贝塞尔曲线。
其中，起始点和终止点确定了曲线的起始和终止位置，而控制点则影响着曲线的形状。
通过调整控制点的位置，我们可以绘制出各种不同形状的曲线。
3. 三次方贝塞尔曲线与二次方贝塞尔曲线类似，三次方贝塞尔曲线也由起始点、两个控制点和终止点构成。
这种曲线的特点是更加灵活，可以描述出更加复杂的曲线形状。
通过Canvas的API，我们可以利用三次方贝塞尔曲线绘制出各种复杂的图形，比如圆滑的曲线、自然的弧线等。
4. 应用实例Canvas的贝塞尔曲线在很多图形处理和动画制作中都有着广泛的应用。
比如在绘制UI界面中，我们经常会使用贝塞尔曲线来绘制出圆润美观的UI元素；在游戏开发中，贝塞尔曲线可以用来实现平滑的角色移动轨迹和自然的物体弹道；在数据可视化中，我们也可以利用贝塞尔曲线来绘制出漂亮的曲线图和区域图等。
5. 个人观点对于Canvas的二次方和三次方贝塞尔曲线，我个人认为其灵活性和实用性是其最大的优点。
通过简单的几个点的控制，我们就可以绘制出各种精美的曲线和路径。
在实际的项目中，贝塞尔曲线可以帮助我们实现出更加美观和细腻的图形效果，同时也为开发者提供了更多的创意空间，可以实现出更加独特和有趣的效果。
总结通过本文的深入描述，我们可以更加全面地了解Canvas中的二次方和三次方贝塞尔曲线的绘制原理和应用。
这些曲线不仅可以帮助我们实现出更加美观和精细的图形效果，还可以为开发者带来更多的创意空间和可能性。
bezier曲线表达式
bezier曲线表达式贝塞尔曲线是一种光滑的曲线，它由一系列的控制点来定义。
它可以用于各种各样的应用，包括计算机图形学、动画和物理模拟等。
贝塞尔曲线最常见的形式是二次和三次贝塞尔曲线。
二次贝塞尔曲线由三个点来定义：起始点、控制点和终止点。
这三个点的位置决定了曲线的形状。
三次贝塞尔曲线由四个点来定义：起始点、两个控制点和终止点。
通过调整这些点的位置，可以创建各种不同形状的曲线。
一般来说，二次贝塞尔曲线可以用以下的形式来表示：P(t) = (1 - t)² * P₀ + 2 * t * (1 - t) * P₁ + t² * P₂其中，P(t)是曲线上的点，t的取值范围是0到1，P₀、P₁和P₂分别是起始点、控制点和终止点。
三次贝塞尔曲线的表达式稍微复杂一些：P(t) = (1 - t)³ * P₀ + 3 * t * (1 - t)² * P₁ + 3 * t² * (1 - t) * P₂ + t³ * P₃其中，P(t)是曲线上的点，t的取值范围是0到1，P₀、P₁、P₂和P₃分别是起始点、两个控制点和终止点。
贝塞尔曲线的特点之一是它具有良好的局部控制性。
这意味着通过调整控制点的位置，我们可以在曲线的局部区域内改变曲线的形状，而不会影响其他区域。
这使得贝塞尔曲线在图形设计中非常有用，因为我们可以通过少量的控制点来创建复杂的曲线形状。
另一个重要的特性是贝塞尔曲线可以近似任何形状。
通过增加控制点的数量，我们可以逼近任何形状，从简单的直线到复杂的曲线。
这使得贝塞尔曲线在计算机图形学和动画中非常有用，因为它们可以用来创建各种各样的图形效果和动画效果。
贝塞尔曲线的计算和渲染算法有多种不同的实现方式。
一种常见的方法是使用递归二分法来计算曲线上的点。
具体来说，我们可以从起始点和终止点开始，然后通过将曲线分成两半并计算中间点来逐步逼近想要的曲线形状。
贝塞尔曲线
详细内容定义贝塞尔曲线(B6zier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
曲线的定义有四个点：起始点、终止点(也称锚点)以及两个相互分离的中间点，滑动两个中间点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。
依据四个位置任意的点坐标可绘制出一条光滑曲线[1]。
对于N次的贝塞尔曲线：设Δbｊ＝ｂj＋１-bｊ时，有旋转矩阵Ｍ，使得：Δｂｊ＝ＭｊΔｂ０ｉ＝０…，ｎ－１当ｔ∈［０，１］时，对于任意单位向量，矩阵Ｍ满足：则这条曲线是由一系列控制点ｂｉ定义的Ａ级贝塞尔曲线。
此时，旋转矩阵Ｍ满足以下两个条件：１）矩阵ＭＴ＋Ｍ－２Ｉ和ＭＴＭ－Ｉ的特征值必均为非负。
这里Ｉ为一个单位矩阵。
２）矩阵Ｍ必映射到单位球体外的任一点。
即：Ｍ的奇异值δ１，δ２应不小于１。
若旋转矩阵Ｍ是由旋转角θ＜π／２和一个尺度因子s组成，则满足下列条件：的矩阵Ｍ被称为Ａ级矩阵。
由Ａ级矩阵即可产生Ａ级贝塞尔曲线。
特性贝塞尔曲线是一种非常自由的曲线，通过改变其控制点的位置和权重就能改变线条的形状。
相对于传统的直线和圆弧相组合来表达曲线的方式，这是一个巨大的提高。
汽车设计中的曲面形状比较复杂，直线和圆弧不能满足其形状变化的要求。
贝塞尔曲线非常自由，我们可以通过改变控制点来改变线条的形状，有着非常良好的交互性，非常适合汽车曲面设计[2]。
贝塞尔曲线数学原理①线性贝塞尔曲线。
给定两点P0、P，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。
这条线由下式给出：B(t)=P0+(Pl—Po)t=(1-t)Po+tPl，t∈[0，1]且其等同于线性插值。
②二次方贝塞尔曲线。
给定三点Po、P、P：，二次方贝塞尔曲线由函数B(t)表示：B(t)=(1-t)2Po+2t(1-t)P1+tzp2，t∈[0，1]③三次方贝塞尔曲线。
Po、P、P、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。
曲线起始于P。
走向P，并从P2的方向来到3。
一般不会经过P，或P2，这两个点只是在那里提供方向资讯。
二次方贝兹曲线
二次方贝兹曲线二次贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线算法。
它是由法国工程师皮耶尔·贝塞尔(Pierre Bézier)在20世纪50年代发明的，用于描述平滑曲线的形状。
二次贝塞尔曲线由三个控制点确定，分别为起始点P0，控制点P1和终点P2。
二次贝塞尔曲线的数学表达式为：B(t) = (1-t)²P0 + 2t(1-t)P1 + t²P2其中，0 ≤ t ≤ 1。
B(t)表示在t时刻曲线上的点的位置，P0、P1和P2分别是起始点、控制点和终点的坐标。
这个表达式描述了一个平滑的曲线，其形状由控制点的位置决定。
二次贝塞尔曲线有一些特点，使得它在计算机图形学中广泛应用。
首先，它可以用来近似描述复杂的曲线形状，如圆弧、椭圆等。
其次，它可以用来实现平滑的过渡效果，比如在动画中的物体运动轨迹。
此外，二次贝塞尔曲线的参数t可以用来控制曲线的形变程度，从而实现更加灵活的控制效果。
为了更好地理解二次贝塞尔曲线的特性，我们可以通过对其控制点的调整来观察曲线的变化。
当控制点P1位于起始点P0和终点P2的中垂线上时，曲线成为一条直线，即起始点和终点之间的最短路径。
当控制点P1位于起始点P0和终点P2的边界之外时，曲线会发生弯曲。
这种弯曲的程度取决于控制点P1离起始点P0和终点P2的距离。
如果将控制点P1和起始点P0或终点P2重合，那么曲线将会变成一条抛物线，其中起始点或终点成为顶点。
通过调整这三个控制点，我们可以绘制出各种形状各异的曲线。
在实际应用中，二次贝塞尔曲线常用于计算机辅助设计（CAD）、动画制作、字体设计等领域。
它可以用于创建平滑的曲线轨迹，实现对象的运动、形变等效果。
它还可以用于绘制复杂的曲线形状，如汽车车身、动物的轮廓等。
此外，二次贝塞尔曲线还可以与其他图形算法结合使用，如三次贝塞尔曲线、B样条曲线等，来实现更高级的图形效果。
总之，二次贝塞尔曲线是一种简单而强大的曲线算法。
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S (t ) P (t ) dt
10.1.1 曲线的表示 1. 显式表示
一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数 平面曲线显式表示的一般形式是 y f ( x) 一条直线方程 y mx b 每一个x值只对应一个y值
Computer Graphics
用显式方程不能表示封闭或多值曲线
10.1.1 曲线的表示
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
在三维空间中，曲线的参数方程为 t [0,1] P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) 1.位置矢量 曲线上任一点的位置矢量可表示为 2.切矢量
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
P(t) z y △P
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) ， t [0,1]
y(t )和 z (t )分别为 t的显式函数， 其中 x(t )， 即每一个 t 对应空间一个点 ( x(t ), y(t ), z(t ))
(10.3)
通常将参数区间规范化为[0,1]。参数方程中的参数可以代表多种不 同的量，如时间、角度等。 连接 P0 ( x0 , y0 ) 和 P1 ( x1 , y1 )两点的直线段的参数方程可写为
2 隐式表示
平面曲线隐式表示的—般形式：
f ( x, y) 0
Computer Graphics
例如，二次隐式方程的—般形式可写成
ax2 bxy cy 2 dx ey f 0
(10.1)
该隐式方程可以表示抛物线、双曲线和椭圆等。 三维空间曲线的隐式表示式为交面式:
f ( x, y, z ) 0 g ( x, y, z ) 0
cos (cos 2
sin 2 ) (cos 2 sin 2 ) (1 t 2 ) (1 t 2 ) 2 2 2 2
y y
取角度θ为参数时，x和 y的关系如图10.1(a)所 示；取t为参数时，x和 y的关系如图10.1(b)所 示，其中θ和t为等距取 值。
0
(a) 1.0 x
(10.2)
曲线的非参数表示存在的问题是： ①与坐标系相关； ②会出现斜率为无穷大的情况(如垂线)； ③非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示，例如式（10.2）；
10.1.1 曲线的表示
3 参数表示
Computer Graphics
曲线的参数表示是指将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数的函 数形式。若取参数为 t ，则曲线的参数表示为
t
dt
dt
在 t 处的导矢，或切矢量。 设 s 表示 P (t ) 到 P (t t ) 的弧长，由于弦长 P 和弧长 s 的极限相同， 即 ds dP 则
dt
T lim
|
dt
|
(10.4) (10.5)
P dP s 0 s ds
T称为处切线方向的单位矢量。上式说明，如果以弧长为参数，曲线在任意点的 切矢量为单位矢量。
Computer Graphics
第十章 Bezier曲线曲面
Computer Graphics
Bezier曲线曲面操作实例
点击右面图标可以自己操作
综述
Computer Graphics
曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之一。 在计算机图形学中，常用的曲线曲面的类型有
Bézier曲线曲面
本章讨论Bézier曲线曲面的重要性质和生成算法。
10.1 曲线曲面的基础知识
Computer Graphics
曲线、曲面的表示形式 参数表示： 非参数表示：（在CG&CAGD角度看，好一些） 显示表示 隐式表示 曲线和曲面的基础知识 位置矢量、切矢量、法矢量、法平面、曲率 以及连续性等
Computer Graphics
P′ (t) P(t+△t)
x 图10.2 参数曲线的切矢
设P (t ) 和 P (t t ) 是曲线上的两点，记 P P (t t ) P (t ) ，如图10.2所示。当t 0 时，导数矢量 P 的方向趋近于P点处的切线方向，记为 dP (t ) 。称 dP (t ) 为 P (t )
x x0 ( x1 x0 )t , P (t ) P0 ( P1 P0 )t y y0 ( y1 y0 )t ,
t 0,1
10.1.1 曲线的表示
3 参数表示
Computer Graphics
一条参数曲线的表示形式并不是惟一的，例如在第一象限内的单 位圆弧可表示成 x cos (1 t 2 ) (1 t 2 ) 0 ,0 t 1 y sin 2t (1 t 2 ) 2 其中：
0
(b)
1.0 x
图10.1 第一象限内单位圆弧的表示形式
参数表示的优越性
Computer Graphics
①参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，具有形状不变 性； ②在参数表示中，变化率以切矢量来表示，不会出现无穷 大的情况； ③对参数表示的曲线、曲面进行平移、放缩和旋转等几何 变换比较容易； ④用参数表示的曲线曲面的交互能力强，参数表示式中系 数的几何意义明确，并提高了自由度，便于控制形状。
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
3.弧长 对于正则曲线P =P (t )（| P (t ) | 0 ），从点 P (0)到点 P (t )的弧长定义为
S (t ) P (t ) dt
0 t
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其中| P (t ) | 是切矢量P (t ) 的长度。式Fra bibliotekP0P 1
P2
P3
B样条曲线曲面
孔斯曲面
优点
1 曲线曲面的形状不依赖于坐标系的选择 2 人机交互直观
y y P2 P1
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3 易于计算
4 易于拼接
P1
P0 x P0
5 造型灵活等
P2
x
（a）过图示三点的参数 二次多项式图形
（ b ）原图三点绕原点逆转 45 度 后过三点的参数二次多项式图形