二次方贝塞尔曲线
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P0
P 1
P2
P3
B样条曲线曲面
孔斯曲面
优点
1 曲线曲面的形状不依赖于坐标系的选择 2 人机交互直观
y y P2 P1
Computer Graphics
3 易于计算
4 易于拼接
P1
P0 x P0
5 造型灵活等
P2
x
（a）过图示三点的参数 二次多项式图形
（ b ）原图三点绕原点逆转 45 度 后过三点的参数二次多项式图形
10.1.1 曲线的表示 1. 显式表示
一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数 平面曲线显式表示的一般形式是 y f ( x) 一条直线方程 y mx b 每一个x值只对应一个y值
Computer Graphics
用显式方程不能表示封闭或多值曲线
10.1.1பைடு நூலகம்曲线的表示
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
3.弧长 对于正则曲线P =P (t )（| P (t ) | 0 ），从点 P (0)到点 P (t )的弧长定义为
S (t ) P (t ) dt
0 t
Computer Graphics
其中| P (t ) | 是切矢量P (t ) 的长度。式
2 隐式表示
平面曲线隐式表示的—般形式：
f ( x, y) 0
Computer Graphics
例如，二次隐式方程的—般形式可写成
ax2 bxy cy 2 dx ey f 0
(10.1)
该隐式方程可以表示抛物线、双曲线和椭圆等。 三维空间曲线的隐式表示式为交面式:
f ( x, y, z ) 0 g ( x, y, z ) 0
Computer Graphics
第十章 Bezier曲线曲面
Computer Graphics
Bezier曲线曲面操作实例
点击右面图标可以自己操作
综述
Computer Graphics
曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之一。 在计算机图形学中，常用的曲线曲面的类型有
Bézier曲线曲面
0
(b)
1.0 x
图10.1 第一象限内单位圆弧的表示形式
参数表示的优越性
Computer Graphics
①参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，具有形状不变 性； ②在参数表示中，变化率以切矢量来表示，不会出现无穷 大的情况； ③对参数表示的曲线、曲面进行平移、放缩和旋转等几何 变换比较容易； ④用参数表示的曲线曲面的交互能力强，参数表示式中系 数的几何意义明确，并提高了自由度，便于控制形状。
x x0 ( x1 x0 )t , P (t ) P0 ( P1 P0 )t y y0 ( y1 y0 )t ,
t 0,1
10.1.1 曲线的表示
3 参数表示
Computer Graphics
一条参数曲线的表示形式并不是惟一的，例如在第一象限内的单 位圆弧可表示成 x cos (1 t 2 ) (1 t 2 ) 0 ,0 t 1 y sin 2t (1 t 2 ) 2 其中：
S (t ) P (t ) dt
t
dt
dt
在 t 处的导矢，或切矢量。 设 s 表示 P (t ) 到 P (t t ) 的弧长，由于弦长 P 和弧长 s 的极限相同， 即 ds dP 则
dt
T lim
|
dt
|
(10.4) (10.5)
P dP s 0 s ds
T称为处切线方向的单位矢量。上式说明，如果以弧长为参数，曲线在任意点的 切矢量为单位矢量。
cos (cos 2
sin 2 ) (cos 2 sin 2 ) (1 t 2 ) (1 t 2 ) 2 2 2 2
y y
取角度θ为参数时，x和 y的关系如图10.1(a)所 示；取t为参数时，x和 y的关系如图10.1(b)所 示，其中θ和t为等距取 值。
0
(a) 1.0 x
Computer Graphics
P′ (t) P(t+△t)
x 图10.2 参数曲线的切矢
设P (t ) 和 P (t t ) 是曲线上的两点，记 P P (t t ) P (t ) ，如图10.2所示。当t 0 时，导数矢量 P 的方向趋近于P点处的切线方向，记为 dP (t ) 。称 dP (t ) 为 P (t )
(10.2)
曲线的非参数表示存在的问题是： ①与坐标系相关； ②会出现斜率为无穷大的情况(如垂线)； ③非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示，例如式（10.2）；
10.1.1 曲线的表示
3 参数表示
Computer Graphics
曲线的参数表示是指将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数的函 数形式。若取参数为 t ，则曲线的参数表示为
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
在三维空间中，曲线的参数方程为 t [0,1] P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) 1.位置矢量 曲线上任一点的位置矢量可表示为 2.切矢量
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
P(t) z y △P
本章讨论Bézier曲线曲面的重要性质和生成算法。
10.1 曲线曲面的基础知识
Computer Graphics
曲线、曲面的表示形式 参数表示： 非参数表示：（在CG&CAGD角度看，好一些） 显示表示 隐式表示 曲线和曲面的基础知识 位置矢量、切矢量、法矢量、法平面、曲率 以及连续性等
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) ， t [0,1]
y(t )和 z (t )分别为 t的显式函数， 其中 x(t )， 即每一个 t 对应空间一个点 ( x(t ), y(t ), z(t ))
(10.3)
通常将参数区间规范化为[0,1]。参数方程中的参数可以代表多种不 同的量，如时间、角度等。 连接 P0 ( x0 , y0 ) 和 P1 ( x1 , y1 )两点的直线段的参数方程可写为
P 1
P2
P3
B样条曲线曲面
孔斯曲面
优点
1 曲线曲面的形状不依赖于坐标系的选择 2 人机交互直观
y y P2 P1
Computer Graphics
3 易于计算
4 易于拼接
P1
P0 x P0
5 造型灵活等
P2
x
（a）过图示三点的参数 二次多项式图形
（ b ）原图三点绕原点逆转 45 度 后过三点的参数二次多项式图形
10.1.1 曲线的表示 1. 显式表示
一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数 平面曲线显式表示的一般形式是 y f ( x) 一条直线方程 y mx b 每一个x值只对应一个y值
Computer Graphics
用显式方程不能表示封闭或多值曲线
10.1.1பைடு நூலகம்曲线的表示
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
3.弧长 对于正则曲线P =P (t )（| P (t ) | 0 ），从点 P (0)到点 P (t )的弧长定义为
S (t ) P (t ) dt
0 t
Computer Graphics
其中| P (t ) | 是切矢量P (t ) 的长度。式
2 隐式表示
平面曲线隐式表示的—般形式：
f ( x, y) 0
Computer Graphics
例如，二次隐式方程的—般形式可写成
ax2 bxy cy 2 dx ey f 0
(10.1)
该隐式方程可以表示抛物线、双曲线和椭圆等。 三维空间曲线的隐式表示式为交面式:
f ( x, y, z ) 0 g ( x, y, z ) 0
Computer Graphics
第十章 Bezier曲线曲面
Computer Graphics
Bezier曲线曲面操作实例
点击右面图标可以自己操作
综述
Computer Graphics
曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之一。 在计算机图形学中，常用的曲线曲面的类型有
Bézier曲线曲面
0
(b)
1.0 x
图10.1 第一象限内单位圆弧的表示形式
参数表示的优越性
Computer Graphics
①参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，具有形状不变 性； ②在参数表示中，变化率以切矢量来表示，不会出现无穷 大的情况； ③对参数表示的曲线、曲面进行平移、放缩和旋转等几何 变换比较容易； ④用参数表示的曲线曲面的交互能力强，参数表示式中系 数的几何意义明确，并提高了自由度，便于控制形状。
x x0 ( x1 x0 )t , P (t ) P0 ( P1 P0 )t y y0 ( y1 y0 )t ,
t 0,1
10.1.1 曲线的表示
3 参数表示
Computer Graphics
一条参数曲线的表示形式并不是惟一的，例如在第一象限内的单 位圆弧可表示成 x cos (1 t 2 ) (1 t 2 ) 0 ,0 t 1 y sin 2t (1 t 2 ) 2 其中：
S (t ) P (t ) dt
t
dt
dt
在 t 处的导矢，或切矢量。 设 s 表示 P (t ) 到 P (t t ) 的弧长，由于弦长 P 和弧长 s 的极限相同， 即 ds dP 则
dt
T lim
|
dt
|
(10.4) (10.5)
P dP s 0 s ds
T称为处切线方向的单位矢量。上式说明，如果以弧长为参数，曲线在任意点的 切矢量为单位矢量。
cos (cos 2
sin 2 ) (cos 2 sin 2 ) (1 t 2 ) (1 t 2 ) 2 2 2 2
y y
取角度θ为参数时，x和 y的关系如图10.1(a)所 示；取t为参数时，x和 y的关系如图10.1(b)所 示，其中θ和t为等距取 值。
0
(a) 1.0 x
Computer Graphics
P′ (t) P(t+△t)
x 图10.2 参数曲线的切矢
设P (t ) 和 P (t t ) 是曲线上的两点，记 P P (t t ) P (t ) ，如图10.2所示。当t 0 时，导数矢量 P 的方向趋近于P点处的切线方向，记为 dP (t ) 。称 dP (t ) 为 P (t )
(10.2)
曲线的非参数表示存在的问题是： ①与坐标系相关； ②会出现斜率为无穷大的情况(如垂线)； ③非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示，例如式（10.2）；
10.1.1 曲线的表示
3 参数表示
Computer Graphics
曲线的参数表示是指将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数的函 数形式。若取参数为 t ，则曲线的参数表示为
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
在三维空间中，曲线的参数方程为 t [0,1] P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) 1.位置矢量 曲线上任一点的位置矢量可表示为 2.切矢量
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
P(t) z y △P
本章讨论Bézier曲线曲面的重要性质和生成算法。
10.1 曲线曲面的基础知识
Computer Graphics
曲线、曲面的表示形式 参数表示： 非参数表示：（在CG&CAGD角度看，好一些） 显示表示 隐式表示 曲线和曲面的基础知识 位置矢量、切矢量、法矢量、法平面、曲率 以及连续性等
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) ， t [0,1]
y(t )和 z (t )分别为 t的显式函数， 其中 x(t )， 即每一个 t 对应空间一个点 ( x(t ), y(t ), z(t ))
(10.3)
通常将参数区间规范化为[0,1]。参数方程中的参数可以代表多种不 同的量，如时间、角度等。 连接 P0 ( x0 , y0 ) 和 P1 ( x1 , y1 )两点的直线段的参数方程可写为