工程电磁场

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主讲人： 王泽忠
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王泽忠
2020/7/30
华北电力大学电气与电子工程学院
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1 矢量分析与场论基础
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1.5 矢量场的环量和旋度
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lx
1
2
3
4
=
Ay
Ay z
z
2y
Az
Az y
y
2 z
Ay
Ay z
z 2y
Az
Az y
y 2z
=
Az y
Ay z
4yz
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得
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A • dl
ro t
x
A
lim
Sx 0
lx
Sx
= Az Ay y z
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取如图的平行于 zox 坐标平面的小矩形面，
小矩形面的法向矢量与 e y 平行，
小矩形面的面积为 Sy 4zx
将 A 展开成泰勒级数并忽略高阶
项，
则 A 沿 ly 的线积分为
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l
l
l
称为矢量场 A 按所取方向沿曲线 l 的环量
环量描述矢量场旋 转特征
是一个标量。
它不仅与场矢量 A 有关，
而且与回路 l 的形状和取向有关。
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2．环量面密度
设 M 为矢量场中的一点，在 M 点取一单位矢量en ，
并在 M 点周围取小闭合回路 l ， 令 l 的环绕方向与 en 构成右手螺旋关系； 作以 l 为边界， en 为法线方向， 且过点 M 的小曲面 S 。
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A• dl S 是环量的平均面密度。
l
取极限得到在 M 点的环量面密度。
若极限存在，则环量面密度与 en 有关，
与 l 的形状无关。
大小反映了 A 在 M 点绕 en 方向旋转的强弱。
在空间的一点，方向 en 可以任意选取。
随着 en 方向改变，环量面密度将连续变化。
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以 M 点为中心，在其周围
将 A 展开成泰勒级数并忽略高阶项，
则 A 沿 lx 的线积分为
（ lx 沿逆时针方向）
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A • dl A • dl A • dl A • dl A • dl
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得
A• dl
rot
y
A
lim
Sy 0
ly
S y
= Ax Az z x
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取如图的平行于 xoy 坐标平面的小矩形面， 小矩形面的法向矢量与 ez 平行， 小矩形面的面积为 Sz 4xy ， 将 A 展开成泰勒级数并忽略高阶项， 则 A 沿 lz 的线积分为
Az x
)ey
(Ay x
Ax y
)e z
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为便于记忆，写 成行列式形式
ex ey ez rotA
x y z Ax Ay Az
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若在矢量场 A 中的一点 M 处存在矢量 R ,
它的方向是 A 在该点环量面密度最大的方向，
其模值是最大的环 量面密度，
则称矢量 R 为矢量场 A 在点 M 的旋度，
记为
rotA R
A 绕 en 方向的环量面密度就是 rotA 在 en 上的投影。
en 方向的环量面密度
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当 S 以任意方式收缩到 M 点时，
若极限
A• dl
lim lim l S0 S S0 S
存在，则称该极限值为
矢量场 A 在 M 点，沿方向 en 的环量面密度。
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4．旋度的计算
环量面密度定义式中的极限与所取小曲面边缘的形状无关。
现取如图所示平行于 yoz 坐标平面的小矩形面， 小矩形面的法向矢量与 ex 平行，
小矩形面的面积为 Sx 4yz
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4xy
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得
A • dl
rot
z
A
lim
Sz 0
lz
Sz
= Ay Ax x y
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综上所述，得
rotA
( Az y
Ay z
)ex
( Ax z
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3．旋度的定义
环量面密度是与方向有关的标量。 对比，方向导数是与方向有关的标量。 梯度矢量的方向是方向导数最大的方向， 其模值是最大方向导数的值， 它在某一方向的投影，就是该方向的方向导数。
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1．矢量场的环量
矢量场中选取一闭合曲线 l
表示曲线的走向， 切线方向为曲线的正方向 过 M 点曲线的切线方向，其单位
矢量为 et
取一弧元 dl
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矢量函数 A 沿有向闭合曲线 l 的线积分
Atdl Acosdl A• dl
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A • dl A • dl A • dl A • dl A • dl
ly
1
2
3
4
=
Az
Az x
x
2z
Ax
Ax z
z
2 x
Az
Az x
x
2z
Ax
Ax z
z
2 x
=
Ax z
Az x
ห้องสมุดไป่ตู้
4zx
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A • dl A • dl A • dl A • dl A • dl
lz
1
2
3
4
=
Ax
Ax y
y 2x
Ay
Ay x
x 2y
Ax
Ax y
y 2x
Ay
Ay x
x 2y
=
Ay x
Ax y