04第三章 复变函数级数

n 1
cn 1 k1 k !
§3.4 洛朗 (Laurant) 级数
1. 洛朗级数的收敛环域
以 b 为中心的洛朗级数：
def
ck (z b)k ck (z b)k ck (z b)k (1)
k
k 1
k0
设幂级数 ck k 和 ck k 的收敛半径分别
k 1
k0
为 1/r 和 R (r < R)，则洛朗级数 (1) 的收敛范围
级数 (1) 处处发散，级数 (3) 处处收敛； 级数 (2) 在 z=1 发散，在其余点收敛。
§3.3 泰勒(Taylor)级数
1. 泰勒定理
若函数 f(z) 在圆盘 D：|zb|< 上解析，则
在此圆盘上 f(z) 能展开为幂级数 (泰勒展开)
f (z) ak (z b)k ,
k0
ak
f (k)(b) k!
M | z b |k r k 0 rk
M max | f ( ) |
• z• r •
b
此级数在圆 上一致收敛，可逐项积分：
f (z)
1 2 i
k0
(z b)k f ()d ( b)k1
k0
f (k)(b)(z b)k k!
2. 收敛范围，特性
• f(z) 在 b 处的泰勒展式收敛半径 R = dmin dmin = min{ |ab|：a 为 f(z) 的奇点或 ∞ }
• 对洛朗展开的收敛环域，若其某个边界 是圆周，则此边界上必有 f(z) 的奇点
证明：对 zH，作圆 j : | b | rj , j H r r1 | z a | r2 R。复连通区域的柯西公式
1 f ( )d 1 f ( )d
f (z)
2 i 2 z 2 i 1 z
(展开方式唯一)
证明的出发点：柯西公式
1 f ( )d
f (z) 2 i z
: | b | r
• z• r
• b
D
对 , 1
1
( b)1
,
q z b , | q | 1
z ( b) (z b) 1 q
b
f ( )
z
f
() b
k
(z 0(
b)k b)k
,
在 上该级数有强级数
①
②
ck (z b)k
k0
ck (z b)k
k 1
逐项积分
•
2
•z
•b 1
•
②
f z
()
k
1
f
()( (z
b)k b)k
1
在 1 上有强级数
例2：将函数 f (z) (z 1)1(z 2)1 在下列圆环上 作洛朗展开，并指出相应的收敛环域
1) 0
z1
1 ;
2) 1
z
➢幂级数的乘法运算：f (z) aj z j , g(z) bk zk
j0
k0
f (z) g(z)
a j bk z jk
j0 k0
b0 b1 b2 b3 …
合并同类项
f (z)g(z) cn zn n0
n j k, j 0, k 0
…
a0 a0b0 a0b1 a0b2 a0b3 a1 a1b0 a1b1 a1b2 a1b3 a2 a2b0 a2b1 a2b2 a2b3 a3 a3b0 a3b1 a3b2 a3b3
一致收敛级数的性质 + 阿贝尔定理
幂级数 ak (z b)k 的和函数 f(z) 在收敛圆内的 k0
任意闭圆盘 |z−b|≤ρ 一致收敛
逐项积分
z
f ()d
ak (z b)k1
b
k0 k 1
逐项求导 f ( p)(z) k (k 1)...( k p 1) ak (z b)k p k p
[(1 z) ](k) ( 1)...( k 1)(1 z)k
ez zk , sin z sin(k / 2) zk ( z )
k0 k!
k0
k!
(1 z) 1 [1 ( 1)...( k 1) zk ] ( z 1)
k 1
k!
➢ 代数运算，逐项求导或逐项积分
cn
n
ak bnk
n0
k0
1
ak
, k!
bnk
1
cn
n k0
1 k!
收敛半径 = f(z) 的奇点到展开点的最小距离
=1
解法2：设
ez 1 z
cnzn ,
n0
则
ez
(1 z) cnzn
n0
n0
zn n!
c0
(cn
n1
cn1 ) zn
比较两边 zn 的系数 递推关系
1 cn cn1 n! (n 1), c0 1
(2) 积分 z (k 1) zkdz zk 1 (1 z)1 1 0
k0
k0
ln(1 z) zk ,
(1 z)2 (k 1) zk ,
| z | 1
k1 k
k0
2. 幂级数的收敛半径
比值法 R lim | ak |
a k k 1
ak (z b)k
ez zk
k0 k!
代换 z iz 或 z iz
cos z ei z ei z [ (iz)k (iz)k ]/ 2
2
k0 k!
k0 k!
合并同类项
cos z
(1)n
z2n
n0
(2n)!
z
sin z cos z dz (1)k
z2k1
(cos z)
0
k0
(2k 1)!
3 ;
3) 1
z
2;
4) 2 z
44
4
解：1) 0 z 1 1
4
1
1
(z 1)k
z 2 1 (z 1) k0
(z 2)1
f (z)
1
(z 1)k ,
0 z1 1
(z 1)
z 1 k0
在 2)-4) 中 f (z) (1 z)1 (2 z)1
2) 1 z 3
C
(
z
f
(z) b)m1
dz
2
i
cm
,
m
Z
(确定系数)
例1：将 (az)1 展开为 zb 的洛朗级数 (a≠b)
出发点：(1) 1
1
,
(2)
1
qk,
| q | 1
a z (a b) (z b)
1 q k0
情形①：|zb| < |ab|, q = (zb)/(ab), |q| < 1
则在 |z−a| < r 内和函数 f(z) 解析，且在
|z−a|≤<ρ上
fk( p)(一z) 致收敛于 f ( p)(z)
k0
§3.2 幂级数
1. 幂级数的收敛圆
以 b 为中心、ak 为第 k 项系数的幂级数
ak (z b)k a0 a1 (z b) a2 (z b)2 ...
以 b 为中心的最大解析圆盘：|zb| < dmin
• f(z) 在 b 处有泰勒展开
f(z) 在 b 处解析
对比实变函数：
exp( x2 ), f (x)
x 0,
f (k)(0) 0
0,
x0
3. 泰勒展开的方法
➢直接计算 k 阶导数
[ez ](k ) ez ,
[sin z](k) sin( z k ) 2
是环域 r< |z–b| < R，称之为收敛环域
• 阿贝尔定理 对 r < r1< R1<R
cn n 在 |ξ| ≤1/r1 一致收敛
n1
cn n 在 |η| ≤ R1 一致收敛
n0
R
b
R1
r1 r
C
• 在收敛环域 H：r< |z–b| < R 内，洛朗级数 (1) 在任意闭环域一致收敛，和函数 f(z) 解析； 沿环绕 b 的围线 C H 逐项积分
1
az
1/(a b) 1 (z b) /(a b)
a
1 (z b)k b k0 (a b)k
(z b)k k0 (a b)k1
情形②：|zb| > |ab|, q = (ab)/(zb), |q|<1
a
1
z
1
1/(z b) (a b) /(z
b)
1 zb
k0
zE
|
k0
fk(z)
f (z)|
2. 一致收敛级数逐项积分、逐项求导
设 fk(z) 在点集 E 上一致收敛于 f(z)。 k0
(1) 若 fk(z) 都连续， 则和函数 f(z) 连续，对 曲线 C E，C f (z)dz C fk (z)dz k0
(2) 若 fk(z) 都在 E 内的闭圆盘 |z−a| ≤r 解析，
收敛圆 |z−b|=R (R<+) 上必有 f(z) 的奇点
例1：计算和函数 (1) zk , (2) (k 1) zk , | z | 1
k1 k
k0
解：几何级数 zk (1 z)1, | z | 1 k0
(1) 求导 d zk zk 1 (1 z)1
dz k 1 k k 1
(a (z
b)k b)k
k 1
(a b)k1 (z b)k
2. 洛朗定理
在环域 H：r < |z−b|< R 解析的函数 f(z) 可展开为
f (z) ck (z b)k ,
k
ck
1 2π i
f (z) C (z b)k1 dz
(洛朗展开)
其中：围线 C H 且环绕 b； 展开系数 ck 由 f(z) 和环域 H 唯一决定；
斜对角线法则
n
n
cn a j bn j ank bk a0 bn a1 bn1 ... an b0
j0
k0
例1：求
f
(z)
1
1 z2
在
z=0
处的泰勒展开
方法1：变量替换 t z2 , (1 t )1 t k , | t | 1
k0
方法2：分式分解
1
1 z2
1( 1 2 1 z
1/ z 1 2/
z
k0
1 zk1
k0
2k zk1
k 1
2k 1 zk1
例3：将函数 f (z) z3 sin z, g(z) ez e1/ z 在去心邻域
0 z 内作洛朗展开
目标：将 f(z), g(z)写成 z=0 处的洛朗级数 cn zn n
§3.1 复级数
1. 强级数，一致收敛
设函数项级数 fk(z) 在点集 E 上存在强级数，
k0
即收敛的正项级数
k0
Mk
满足
max | zE
fk (z) | Mk ,
则 fk (z) 在 E 上一致收敛于某个函数 f(z),
k0
即： 0, N () 0, 对每个 n N () 都有
n
max
第三章 复变函数级数
Infinite series of complex functions
■复级数 ■幂级数 ■泰勒级数 ■洛朗级数 ■单值函数的孤立奇点
➢ 掌握复变函数的泰勒展开和洛朗展开 ➢ 判断复变函数的奇点种类
习题3.2：1(5);
习题3.3：1(Байду номын сангаас), 2(4), 3(3)
习题3.4：1(1), 2(1) 习题3.5：4(4)(8)(12)
4
4
f
(z)
1 1 z
1/ 2 1 z / 2
zk
k0
1 2
k0
zk 2k
合并同类项
f (z) (1
k0
1 2k
1
)
z
k
,0 z 1
3) 1 z 2
f
(z)
1/ z 11/ z
1/ 2 1 z / 2
k0
1 zk1
k0
zk 2k 1
4) 2 z
f
(z)
1/ z 11/ z
zk1 的收敛半径
k1 k (k 1)
对级数 (1)，不存在极限 lim | ak |,
a k k 1
Bn sup{ k | ak |,
k n}
1 2
lim k
k
|
an
|1
1 R
lim
n
Bn
另解：
wk
22k
k0
(w z2) 收敛半径 = 4 R 2
级数 (2), (3) 收敛半径都为 1。在收敛圆上：
k 0
收敛半径
R max{|
z b |,
ak (z b)k 收敛}
k0
幂级数 ak (z b)k 在收敛圆 |z−b|=R 的内部 k0
处处收敛，在收敛圆的外部处处发散
➢阿贝尔定理：若幂级数 ak (z b)k 在 z = z0 k0 收敛，则对 0<ρ < |z0−b|，该幂级数在闭圆盘
1 ) 1 z
1 [zk 2 k0
(z)k ]
方法3：幂级数相乘
1
1 z2
11 1 z 1 z
z p (z)q
p0 q0
z2k
k0
例2：求 f (z) ez 在 z=0 处的泰勒展开
1 z
解法1：在 z=0 处
ez
zk ,
1
zj
k0 k! 1 z j0
幂级数相乘： f (z) cn zn ,
k0
根值法
R
lim k
k
| ak
|1
上极限法
R1
lim
n
Bn
,
Bn
max{k
| ak
|,
k
n}
•对
zk ,
lim
1/ k ! lim k k ! ,
k 0 k ! k 1/(k 1)! k
收敛半径为 +∞ (整函数)
例2：(1)
k0
z2k 22k ,
zk (2) ,
k1 k
(3)
|z−b|≤ρ上一致收敛。
证： ak (z0 b)k 收敛 存在 M > 0, | ak (z0 b)k | M
k0
|z−b|ρ
| ak (z b)k | M t k ,
t 1 | z0 b |
R
M tk 收敛
k0
ak (z b)k
k0
z• •b
在 |z-a|ρ 上一致收敛
•z0