【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答(共34页)
1977年数学高考试题及答案
1977年普通高等学校招生考试数学(江苏省)试题及答案1．（1）计算.)827(()14.3()101()412(21221---+-+ 解：原式=99（2）求函数)5lg(312x x x y -+-+-=的定义域 解：根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≠<≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-352030502x x x x x x 故函数的定义域为.5332<<<≤x x 和（3）解方程.125522=+xx解：原方程即,55322=+xx223,3, 1.x x x x ∴+==-=均为原方程的解.（4）计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-333333log log 解：原式=.33log )3log 271(log )3(log log 333327133=-=-=-- （5）把直角坐标方程9)3(22=+-y x 化为极坐标方程解：原方程可展开为,99622=++-y x x22260,6cos 0,06cos 6cos x x y ρρθρρθρθ-+=-⋅=∴===或即（6）计算.321lim 2n n n ++++∞→ 解：原式=.2121lim 2)1(lim 2=+=+∞→∞→n n n n n n n（7）分解因式.4832224-+--y y y x x解：原式=2222)22()(---y y x 2222(22)(22)(2)(32).x y y x y y x y x y =-+---+=+--+ 3．过抛物线x y 42=的焦点作倾斜角为π43的直线，它与抛物线相交于A 、B 两点A 、B 两点间的距离 解：抛物线x y 42=的焦点坐标为（1，0）所作直线方程为,1)1(43x y x tgy -=-π=或它与抛物线之二交点坐标由下面方程组 确定⎩⎨⎧=+-=-=-=,016,4)1(41222x x x x x y x y 解得由根与系数关系，得x 1+x 2=6, x 1x 2=1.又解得,044),1(422=-+-=y y y y y 1+y 2=-4,y 1y 2=-4. 由两点间距离公式221221)()(y y x x d -+-=但,324364)()(21221221=-=-+=-x x x x x x83232,3216164)()(21221221=+=∴=+=-+=-d y y y y y y故AB 两点间距离为83．在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线，且∠BCD 与∠ACD 之比为3:1，求证CD=DE证：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=900，∴∠ACD=∠B又∵CE 是直角△ABC 的斜边AB 上的中线 ∴CE=EB∠B=∠ECB ，∠ACD=∠ECB 但∵∠BCD=3∠ACD ， ∠ECD=2∠ACD=21∠ACB=21×900=450， △EDC 为等腰直角三角形 ∴CE=DE4．在周长为300cm 的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动甲球从A 点出发按逆时针方向运动，乙球从B 点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C 点D 点已知AmC=40厘米，BnD=20厘米,求ACB 的长度解：如图设厘米甲球速度为甲v ，乙球速度为v 根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同，可40v v v x v 乙甲乙甲或第二次等候时方程.280)20(42120220300x x v v v x v x -+=+=--甲乙乙甲或 由此可得,280)20(440x x x -+=.0)80)(40(=--x x由于已知条件甲v ≠乙v ，∴x ≠40,（厘米） （厘米） 5．（1）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为60 证：设三角形三内角分别为,,,d d +αα-α则有()()180,318060.d d ααααα-+++=︒=︒∴=︒（2）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是600证：由题（1）可知，此三角形必有一内角为600，今设其对边为a ，则三角形的三边分别为aq a qa,,（此处q 为公比，且0>q ）由余弦定理可得2222222111()()2cos 60,12,20,2a aa aq q q qqq q=+-⋅⋅︒=+-⋅-+= ),(1,1,11,0)1(22舍去不合题意-===∴==-q q q q q q q由1=q 可知，此三角形为等边三角形，三个内角均为6006．在两条平行的直线AB 和CD 上分别取定一点M 和N ，在直线AB 上取一定线段ME=a ;在线段MN 上取一点K ，连结EK 并延长交CD 于F 试问K 取在哪里△EMK 与△FNK 的面积之和最小？最小值是多少？ 解：过点K 作两条平行直线的公垂线PQ ，CA D E BA 甲 乙 DB设PQ=l ，MN=m ， 令PK=x ，则KQ=x l - ∴△EMK ∽△FNK ， ∴.NKMKNF ME = 又∵△MKP ∽△NKQ ， ∴.KQ KP NK MK =于是得到,KQKPNF ME = .)(xx l a KP KQ ME NF -=⋅=从而△EMK 与△FNK 的面积之和为2222211()()22()()222221),a l x a l x a x lx l l A x a l x x a x l x x x xa l ⎡⎤---+=⋅⋅+⋅-⋅=+=⋅=⋅-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,22,02时也即时当l x xl x ==-∴A 有最小值.)12(al - l x 22=表示点K 到直线AB 的距离为22倍的PQ ，从而点K 到M 的距离也为MN 的22倍，即KM=22MN. 附加题 1求极限).1(limx x x n -+∞→解：原式=xx x x x x x n ++++-+∞→1)1)(1(lim.211111lim1lim=++=++=∞→∞→xxx x n n 2．求不定积分.)1(2⎰+x e dx解：令,1t e x=+则,)1(dx t dx e dt x-== .1-=t dt dx 2222111111()()ln(1)ln (1)(1)(1)111ln ln(1)ln(1).11x x x xx xdx dt dt dt t t C e t t t t t t t t te e C x e C e e∴==-=--=--+++---=-+++=-+++++⎰⎰⎰⎰P M EA B K C D F N Q。
1977年高考数学试卷
1977年普通高等学校招生考试数学试题1．解答下列各题：（每题5分） （1）解方程.443=+x 解（2）解不等式|x|<5. 解：（3）已知正三角形的外接圆半径为36cm ，求它的边长解：2．计算下列各题：（每题5分） （1）.222a ma m +- 解：（2）︒⋅︒+︒⋅︒3sin 12cos 3cos 78cos （不查表求值） 解：（3）)6arcsin(cos π解：3．解下列各题：（每题5分） （1）解方程.189321=-+xx解：（2）求数列2，4，8，16，……前十项的和解：4．解下列各题：（每题10分）（1）圆锥的高为6cm ，母线和底面半径成300角，求它的侧面积解：（2）求过点（1，4）且与直线0352=+-y x 垂直的直线方程解：5．如果△ABC 的∠A 的平分线交BC 于D ，交它的外接圆于E ，那么 AB ·AC=AD ·AE （本题10分）证：连结BE （如图）6．前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩， 又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增 长率是多少？ （本题10分）解：7．解方程).5lg 1()1622lg(-=-+x x x （本题15分）解：8．已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm ，面积为54cm 2，求三边的长（本题15分）解：9．（参考题）如图，AP 表示发动机的连杆，OA 表示它的曲柄当A 在圆上作圆周运动时，P 在x 轴上作直线运动，求P 点的横坐标α是直角时，P ∠是最大？（本题附加10分）解：10．（加试题）求曲线x y sin =在],0[π上的曲边梯形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积（本题附加10分）解：B。
1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总
1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。
经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。
2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。
解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。
4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。
解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。
过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。
6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。
解：如图（列表，描点）略。
8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。
解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。
由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。
1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总
1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。
经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。
2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。
解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。
4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。
解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。
过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。
6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。
解：如图（列表，描点）略。
8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。
解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。
由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。
1977年普通高等学校招生考试(上海市)文科数学试题及答案
1977年普通高等学校招生考试文科数学(上海市)试题及答案1．（1）计算.23)]43()311(23)(3121[(÷-⨯+----解略：原式=.21-（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？ 解：根据已知条件，今年比去年增长%2596249696120==-. 明年养猪头数为120（1+40%）=168（头） （3）计算.51lg 5lg 32lg 4-+ 解：原式=42．在△ABC 中，∠C 的平分线与AB 相交于D ，过D 作BC 的平分线与AC 相交于E ，已知BC=a ，AC=b ，求DE 的长 解：∵DE ∥BC ，∴∠1=∠3又∠1=∠2，∴∠2=∠3 DE=EC 由△ADE ∽△ABC ，,,b DEb a DE AC AE BCDE -==∴b ·DE=a b-a ·DE ，.b a abDE +=3．（1）化简()2(222222ba ab a a b ab a a b a a --+÷++-+2A E C解：原式=.)1()1(b a a b ba ab a a b a a b a a +-=--++-+（2）解不等式.4213312-->-x x 解：不等式解为x ＜5 （3）解方程.92131342--=--+x x x x 解：可得x 2-5x+6=0, x=2,x=3（增根） 故原方程的解为x=2. 4（1）计算.)120cos(330225sin ︒-︒+︒tg解：原式=.3322360cos )30(45sin +=︒-︒-+︒-=tg（2）求证：.2sin 2xctgx tgx =+ 证：右边左边==+=xx x x x 2sin 2sin cos cos sin （3）△ABC 中，∠A=450，∠B=750，AB=12，求BC 的长 解：由正弦定理可知：.64sin sin =⋅=CAAB BC 5．六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm 3） 解：由图可知此六角螺帽的体积为)(725010)36(101010)620232021(332mm V ≈⨯π-=⨯⨯π-⨯⨯⨯⨯⨯=6.求直线0333=++y x 的斜 Φ20率和倾角，并画出它的图形 解：由0333=++y x 可得.150)33(33.333331︒=-=θ-=--=--=arctg k x x y 倾角斜率图略7．当x 为何值时，函数y=x 2-8x+5的值最小，并求出这个最小值 解：y=x 2-8x+5=2（x-2)2-3，所以，当x=2时，函数最小值为-38．将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？解：设甲种流酸取x 升，乙种流酸取y 升，根据题意可得如下方程组：⎩⎨⎧⋅=⋅+⋅=+)2(%70600%36%96)1(600 y x y x 由（1）得y=600-x.代入（2）得x=340（升）y=260(升）故应取甲种流酸340升，乙种流酸260升。
1977-1979年数学高考试题
[1977.天津（1）]1．（1）在什么条件下，xy2①是正数;②是负数;③等于零;④没有意义？ 解： ①x 和y 同号;②x 和y 异号; ③y=0,x ≠0; ④x=0.（2）比较下列各组数的大小，并说明理由①︒︒30cos 31cos 与; ②41log 1log 22与.解： ①因为cosx 在]2,0[π是递减函数，所以<︒30cos 31cos ②.241log 01log 22-=>= （3）求值：①)23arcsin5(tg ; ②.)01.0()2(210⨯- 解： ①原式=3-.②原式=.101 （4）计算.30sin lg 85lg 5.12lg ︒+- 解：原式=121lg 1610lg 8100lg=+- （5）解方程.21122442+-=---x x x x 解：略x=1.[1977.天津（2）]2．（1）某工厂准备在仓库的一侧建立一个矩形储料场（如图），现有50米长的铁丝网，如果用它来围成这个储料场，那么长和宽各是多少时，这个储料场的面积最大？并求出这个最大的面积解：设矩形储料场的长为x 宽为y则因其一面靠墙，所以应有 2x+y=50,即y=50-2x, 设储料场的面积为S ， 则S=xy=x(50-2x)=-2x 2+50x=-2(x-12.5)2+312.5∴当x=12.5时，储料场的面积最大S=312.5米2此时y=25米（2）如图，已知AB 、DE 是圆O 的直径，AC 是弦，AC ∥DE ，求证CE=EB 证：∵∠2CB=2EBCE=EB ，CE=EB（3）如图所示的棱长为a 的正方体中，①求CD 1和AB 所成的角的度数; ②求∠B 1BD 1的正弦值解：①CD 1和AB 所成的角等于∠D 1CD ， 所以为450②∵D 1B 1=2a ，D 1B=3a ， ∴.36sin 11111==∠B D B D BD B [1977.天津（3）]3．如果已知bx 2-4bx+2(a+c)=0(b ≠0）有两个相等的实数根，求证a,b,c 成等差数列证：∵已知bx 2-4bx+2(a+c)=0(b ≠0）有两个相等的实数根，yEDD 1 C 1A 1B 1 DC A B∴（-4b)2-4b ·2(a+c)=0,但∵b ≠0,∴2b-a-c=0,即b-a=c-b.故a,b,c 成等差数列[1977.天津（4）]4．（1）如图，为求河对岸某建筑物的高AB ，在地面上引一条基线CD=a ，测得∠ACB=α，∠BCD=β，∠BDC=γ，求AB解：由正弦定理得.)sin(sin ,)sin(sin ,)180sin(sin α+βα⋅γ⋅=α⋅=∴α+βγ=α-β-︒=γtg a tg BC AB a BC CDBC （2）如果α=300，β=750，γ=450，a=33米，求建筑物AB 的高（保留一位小数）解：).(6.15211120sin 3045sin 33米≈=︒︒⋅︒⋅=tg AB[1977.天津（5）]5．（1）求直线3x-2y+1=0和x+3y+4=0的交点坐标解：略（-1，-1）（2）求通过上述交点，并同直线x+3y+4=0垂直的直线方程解：所求直线的斜率为3所求直线方程为y+1=3(x+1),即3x-y+2=0. [1977.天津（6）]6．附加题.（1）求的值nxx xe e x x x sin 2lim0----→ 解：应用罗比塔法则2cos lim sin lim cos 12lim sin 2lim ,1)1.(0cos 12lim sin 2lim 000000=-=-=---=---=≠=---=----→-→-→-→-→-→x e e xe e x e e nx x x e e n n nx n e e nx x x e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x 时当C（2）计算⎰++4.122dx x x.,21,12,12:22udu dx u x x u x u =-=+=+=则设解 ⎰⎰⎰=+=+-=++∴3124312.317)232(221122du u udu u u dx x x[1977.北京理（1）]1．解方程.31x x -=- 解：将两边平方，得x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2[1977.北京理（2）]2．计算121222021-++-.122:+=原式解[1977.北京理（3）]3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266[1977.北京理（4）]4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg [1977.北京理（5）]5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程解：由 x+y-7=03x-y-1=0,解得x=2,y=5过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3[1977.北京理（6）]6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？ 解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ [1977.北京理（7）]7.已知二次函数y=x 2-6x+5 (1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标解：如图（列表，描点）略[1977.北京理（8）]8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300由正弦定理可得45 A C).(220212220Bsin Asin AC CB 海里=⋅=⋅=[1977.北京理（9）]9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB证：联接EC,在△ABD 和△AEC 中，∠BAD=∠EAC ，∠ABD=∠AEC ， ∴△ABD ~△AEC, ∴AD ·AE=AC ·AB[1977.北京理（10）]10.当m 取哪些值时，直线y=x+m 与椭圆191622=+y x 个交点时，画出它的图象解：直线与椭圆的交点适合下面方程组：y=x+m ……………………………①……………………………②将①代入②得.,5025:.,5)25(576)14416(254)32(,0)14416(3225,19)(1622222222这时直线与椭圆相割即的充要条件是直线与椭圆有两个交点这时直线与椭圆相切的充要条件是直线与椭圆有一个交点其判别式为整理可得<>+-±=-=-⋅⋅-=∆=-++=++m m m m m m m m x x m x x 直线与椭圆没有交点的充要条件是：-m 2+25<0,即|m|>5 [1977.北京理参考题]参考题1．（1）求函数 A D B C E19y 16x 22=+⎪⎩⎪⎨⎧=≠π=.)0(0)0(sin )(2的导数x x xx x f(2)求椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转而成的旋转体体积解：（1）当x ≠0时，2.(1)试用ε-δ语言叙述“函数f(x)在点x=x 0处连续的定义（2）试证明：若f(x)在点x=x 0处连续，且f(x 0)>0,则存在一个x 0的（x 0-δ，x 0+δ），在这个邻域内，处处有f(x)>0（1）答：略（2）证：由已知f(x)在点x=x 0处连续，且f(x 0)>0，所以，由定义，对于给定的ε= f(x 0)/2>0，必存在δ>0, 当|x- x 0|<δ时，有|f(x)- f(x 0)|< f(x 0)/2,从而f(x)> f(x 0)- f(x 0)/2= f(x 0)/2>0 即在（x 0-δ，x 0+δ）内处处有f(x)>0[1977.北京文（1）]1．计算：.)971(332110-+-解：原式=0[1977.北京文（2）]2．化简：2626-+⎰⎰--→∆→∆→∆π=-π=π=⎪⎩⎪⎨⎧=≠ππ-π='∴=∆π∆=∆-∆π∆=∆-+∆='=ππ-π=π-π+π='π='aa aa x x x ab dx ax b dx y V x xx x x f xx x x x x f x f f x xx x x x x x x x x x f .34)1()2(0)(x 0)0(.cos sin 2)(.0sin lim 0sin lim )0()0(lim )0(,0.cos sin 2)(cos sin 2)sin ()(222220200222旋转体的体积时当.32:+=原式解[1977.北京文（3）]3．解方程.1241112--=+-x x x 解：略，原方程的解为x=2[1977.北京文（4）]4．不查表求sin1050的值解：.462)4530sin(75sin 105sin +=︒+︒=︒=︒ [1977.北京文（5）]5．一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm ，底面边长是2cm ，求它的体积解：体积V=sh=)(10101060sin 22213cm =⋅︒⋅⋅⋅[1977.北京文（6）]6.一条直线过点（1，-3），并且与直线2x+y-5=0平行，求这条直线的方程解：∵直线2x+y-5=0的斜率k=-2,∴所求直线斜率k ＇=-2故过点（1，-3）且与已知直线平行的直线为y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.[1977.北京文（7）]7．证明：等腰三角形两腰上的高相等证：如图，在△BDC 与△CEB 中， ∵∠DBC=∠ECB ，∠BDC=∠CEB=900, BC=BC ，∴△BDC ≌△CEB ， CD=BE[1977.北京文（8）]8．为了测湖岸边A 、B 两点的距离，选择一点C ，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=1200，求AB解：由余弦定理可得AB=70米[1977.北京文（9）]9．在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后B C使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？ 解：设此数列为2，x,y,30于是有⎪⎩⎪⎨⎧-=-=yx y x y x 302解得x=6,y=18.故插入的两个正数为6，18，因此，所成的数列为2、6、18、30[1977.北京文（10）]10．已知二次函数y=x 2-4x+3. （1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; （2）画出它的图象;（3）求出它的图象与直线y=x-3的交点坐标解：（1）y=(x-2)2-1顶点坐标为（2，-1），对称轴方程为x=2.(2)图略（3）解方程得交点坐标为（2，-1）和（3，0）[1977.福建理（1）]1．（1）计算02319)]225.0(1031)833[(35÷-⨯+-⨯---解：原式=7[1977.福建理（2）]（2）︒︒-︒=155170cos 160cos tg y 的值是正的还是负的？为什么？解：y 的值为负的因为tg1550<0,又第二象限角的余弦函数值随着角的增大而减小，所以，cos1600-cos1700>0,故y<0. [1977.福建理（3）]（3）求函数1x )x 2lg(y --=的定义域解：略1<x<2[1977.福建理（4）]（4）如图，在梯形ABCD 中，DM=MP=PA ，MN ∥PQ ∥AB ，DC=2cm,AB=3.5cm 求MN 和PQ 的长解：根据梯形中位线性质可得：⎩⎨⎧=+=+PQ25.3MN MN2PQ 2解之，可得PQ=3（cm),MN=2.5(cm)[1977.福建理（5）] (5)已知lg3=0.4771,lgx=-3.5229,求x.解：lgx=-3.5229=,4771.4∴x=0.0003.[1977.福建理（6）] (6)求.2x 3x 1x lim21x +--→ 解：)2)(1(1lim231lim121---=+--→→x x x x x x x x 121lim1-=-=→x x [1977.福建理（7）]（7）解方程.01x 21x 4=+-+ 解：移项得1x 21x 4-=+两边平方，得0x ,2x ,0)2x (x ,1x 4x 41x 42==∴=-+-=+（增根） 故原方程的解为x=2[1977.福建理（8）]（8）.a 3a 4a a 9a 6a 1n n 1n 1n 2n 21n 2-+-++-+- 解：原式=.1a )3a (a )3a )(1a ()3a (a )3a 4a (a )9a 6a (a n 2n 21n 21n 2--=---=+-+--+[1977.福建理（9）]（9）求函数2x 3x 52y --=的极值解：略y 的极大值为1249. [1977.福建理（10）]（10）画出下面V 形铁块的三视图（只要画草图）D 2 CA 3.5 B2．（1）解不等式02x 2x 6x x 22<++--解略： -2<x<3. （2）证明：).290(tg 2sin cos 22sin cos 22θ-︒=θ+θθ-θ.)290(tg )90cos(1)90cos(1sin 1sin 1)sin 1(cos 2)sin 1(cos 2:2右边左边证=θ-︒=θ-︒+θ-︒-=θ+θ-=θ+θθ-θ=（3）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数） 解：设地球仪的表面积为S ，则.)(44.136.04)22.1(4S 22米π=⨯π=⋅π=所以，共需油漆 ).(67821644.1150克≈π=π⨯（4）某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务化，计划在年底前再生产2310台，求十一月、十二月份平均每月增长率解：设十一、十二月份平均每月增长率为x ，则根据题意可得：1000（1+x)+1000(1+x)2=2310,100x 2+300x-31=0,x=0.1,x=-3.1（舍去） 故十一月，十二月份平均每月增长率为10%3．在半径为R 的圆内接正六边形内，依次连结各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连结各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前n 个正六边形的周长之和S n; （2）所有这些正六边形的周长之和S.解：如图，半径为R 的圆内接正六边形的周长为6R ， 设C 为AB 的中点，连结OC ，OB ，则OC ⊥AB∴OC=CD=.2360sin R R =︒⋅ 第二个正六边形的周长.236⋅=R 同理可得第三个正六边形的周长,)23(62⋅=R 第四个正六边形的周长,)23(63⋅=R …………于是可以得到一个表示正六边形周长的数列： 6R ，.236⋅R ,23(62⋅R ,23(63⋅R …,)23(61-⋅n R …①前n 个正六边形周长的和1223(6)23(62366-⋅++⋅+⋅+=n n R R R R S ]23()23(231[612-++++=n R .])23(1)[32(1223123(16R R n n-+=--⋅= ②所有这些正六边形周长的和.)32(1232122316R R R S +=-=-=4．动点P （x,y)到两定点A （-3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形解：根据两点间的距离公式可得.16)5(,0910,],)3[(4)3(,,)3(2)3(2)3()3(2222222222222222=+-=++-+-=+++-=++=+-++y x y x x y x y x y x y x yx y x 化简得得两边平方 故动点P 的轨迹是以点（5，0）为圆心，以4为半径的圆5．某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A 和P 之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B 和C （如图），测得AB=AC=50 m ，∠BAC=600，∠ABP=1200，∠ACP=1350，求A 和P 之间的距离（答案可用最简根式表示）解：连CB ，AP∵∠CAB=600， AC=AB=50m ，∴△ABC 为等边三角形于是，∠BCP=1350-600=750， ∠CBP=1200-600，∠BPC=1800-（750+600）=450 由正弦定理，得)(62522235045sin 60sin 50sin sin ,sin sin m BPC CBP CB CP BPC CBCBP CP =⋅=︒︒⋅=∠∠⋅=∠=∠由余弦定理，可得CB)(341025)3410(625))(3410(625)22(625502)625(50135cos 2222222m AP m CP AC CP AC AP +=+=+=-⋅⋅⋅-+=︒⋅⋅⋅-+=故A 、P 两点间的距离是341025+米6．已知双曲线)(1162422为锐角α=α-αctg y x 和圆222)(r y m x =+-相切于点A（4,34），求r m ,,α的值解：∵点A （4,34）在双曲线上，∴,116424)34(22=α-αctg),,(2,1,0)2)(1(,02,122舍去不是锐角α-=α=α=+α-α=-α+α=α-αtg tg tg tg tg tg tg tg故双曲线方程为)1(1162422 =-y x又圆的方程为)2()(222 r y m x =+- 从（1）得,163222-=x y代入（2）得,4)34(1632)(22222+-==-+-m r x m x.024*******=-+-m mx x因为交点A 是切点，故方程有等根，即其判别式为.3320,040034032==+-m m m由此可得，圆的圆心为（0,3320），半径.21344)332034(22=+-=r 7．设数列1，2，4，…前n 项和是,32dn cn bn a S n +++=求这数列的通项n a 的公式，并确定d c b a ,,,的值解：依题意得S 1=1，即1=+++d c b a ……………………① S 2=3，即3842=+++d c b a ………………② S 3=7，即72793=+++d c b a ………………③ 上面三式虽然成不定方程组，但可如下解： ②-①得 273=++d c b ………………④ ③-②得 4195=++d c b ………………⑤ ⑤-④得 ,2122=+d c.61d c -=……………………⑥将⑥代入④得,27)61(3=+-+d d b111-=d b ……………………⑦将⑥⑦代入①，得,)61()111(=+-+-+d d d ad a 61-=……………………⑧当n>1时，.)65()1(2)133()12)(61()111()133()12(])1()1()1([)(22232321d n n n d n n n d d dn n c n b n d n c n b a dn cn bn a S S a n n n +-+-=+-+--+-=+-+-+=-+-+-+-+++=-=-上式在n=1时，成为,16,1)6151(3)11(221==+⋅-⋅+-⋅=d d a∴.61=d将61=d 分别代入⑥、⑦、⑧中得：.0,65,0===a b c).2(2161)65(3)1(222+-=⋅+-+-=∴n n n n n a n参考题1．求函数)45sin(2π+=-x e y x 的导数解：)45cos(5)2()45sin(22π+⋅+⋅-⋅π+='--x e e x y x x)]45sin(2)45cos(5[2π+-π+=-x x e x2．求定积分⎰+1022.)(2dx e x xe x解：⎰⎰⎰+=+1010221022.)(22dx e x dx xe dx e x xe x x其中)1(2101212122210210-===⎰⎰e e dx e dx xe x x x2)1(22012201101010221022-=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-=-==⎰⎰⎰⎰e e e e dx e e x e dx xe e x de x dx e x xx xxx⎰-=-+-=+122.25232)1(21)(2e e e dx e x xe x1977年普通高等学校招生考试文科数学(福建省)试题及答案1．（1）计算02319)]225.0(1031)833[(35÷-⨯+-⨯---解：原式=7（2）求)840cos(︒-的值解：)1203602cos(840cos )840cos(︒+︒⨯=︒=︒-2160cos 120cos -=︒-=︒=（3解：根据算术根的定义，当23≥x 时，.32)32(2-=-x x当23<x 时，.23)32(2x x -=-（4）如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，MN=1cm,BC=3cm 求AM 的长解：设AM 为x ，∵MN ∥BC∴△AMN ∽△ABC312,=+=x x BC MN AB AM x=1(cm)(5)已知lg3=0.4771,lgx=3.4771,求x. 解：x=3000. (6)求.2x 3x 1x lim21x +--→ 解：)2)(1(1lim 231lim121---=+--→→x x x x x x x x121lim1-=-=→x x （7）求函数422-+=x x y 的极小值 解：5)1(4222-+=-+=x x x y ∴y 的极小值为-5（8）已知απ<α<π=αtg 求,2,53sin 的值解：∵,2,53sin π<α<π=α ∴.54sin 1cos 2-=α--=α ∴.43cos sin -=αα=αtg AM N B C（9）写出等比数列 ,812,272,92--的通项公式 解：.32)1(1+⋅-=n n n a2．（1）求函数1x )x 2lg(y --=的定义域解：略1＜x ＜2（2）证明.12sin )cos (sin 2=α+α-α证：左边=.cos sin 2cos cos sin 2sin 22αα+α+αα-α=..1cos sin 22=α+α ∴左边=右边（3）解方程.632x x =+- 解：移项得.632-=-x x两边同时平方，得,048162=+-x x x=12,x=4（增根）∴原方程的根为x=12 （4）解不等式.062<--x x 解略：-2<x<3. （5）把分母有理化.2525-+解：原式=).615(31325)25)(25()25(2+=+=+-+ （6）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数） 解：设地球仪的表面积为S ，则.)(44.136.04)22.1(4S 22米π=⨯π=⋅π=所以，共需油漆 ).(67821644.1150克≈π=π⨯3．某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台，①求十一月、十二月份每月增长率;②原计划年产拖拉机多少台？解：①设十一、十二月份平均每月增长率为x ，则根据题意可得：1000（1+x)+1000(1+x)2=2310,100x 2+300x-31=0,x=0.1,x=-3.1（舍去） 故十一月，十二月份平均每月增长率为10%②设原计划年生产拖拉机y 台，则11000%212310=÷=y （台）4．求抛物线x y 92=和圆3622=+y x 在第一象限的交点处的切线方程解：解方程组⎩⎨⎧=+=)2(36)1(9222 y x x y （1）代入（2）得,03692=-+x x x=3,x=-12（不合题意）将x=3代入（1），得33=y （仅取正值）， ∴在第一象限的交点为（33,3） 从抛物线x y 92=得.29=p∴过点（33,3）的抛物线的切线方程是.09323),3(2933=+-+=y x x y 即 过点（33,3）的圆的切线方程是,36333=+y x即.0123=-+y x5．某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A 和P 之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B 和C （如图），测得AB=AC=50 m ，∠BAC=600，∠ABP=1200，∠ACP=1350，求A 和P 之间的距离（答案可用最简根式表示）解：连CB ，AP∵∠CAB=600， AC=AB=50 m ， ∴△ABC 为等边三角形于是，∠BCP=1350-600=750， ∠CBP=1200-600，∠BPC=1800-（750+600）=450 由正弦定理，得)(62522235045sin 60sin 50sin sin ,sin sin m BPC CBP CB CP BPC CBCBP CP =⋅=︒︒⋅=∠∠⋅=∠=∠ 由余弦定理，可得)(341025)3410(625))(3410(625)22(625502)625(50135cos 2222222m AP m CP AC CP AC AP +=+=+=-⋅⋅⋅-+=︒⋅⋅⋅-+=故A 、P 两点间的距离是341025+米1977年普通高等学校招生考试数学(河北省)试题及答案1．解答下列各题：CB（1）叙述函数的定义答：略（2）求函数x y 3211--=的定义域解：由.32032<>-x x 解得（3）计算.827(])5.0(1[312-÷--解：原式=2（4）计算.2log 4 解：原式2（5）分解因式x 2y-2y 3. 解：原式=).2)(2(y x y x y -+（6）计算).43(625cos 34sinπ-⋅π⋅πtg 解：原式=.4346cos 3sin (-=π⋅π⋅π-tg2．证明：从圆O 外一点P 向这个圆所引的两条切线PA 、PB 所成的角APB 被PO 平分（本题要求写出已知、求证、证明并画图）解：已知：圆O 及圆O 外一点P ，PA 、PB 是圆O 的切线，A 、B 是切点（如图），求证：∠OPA=∠OPB证明：联结OA 、OB∴∠OAP=∠OBP=900在直角△OPA 与直角△OPB 中，∵OA=OB ，OP=OP ，∴△OPA ≌△OPB ，∠OPA=∠OPBB3．证明：.21212sin 2cos 112sin +α=α+α++αtg证：左边=)sin (cos cos 2)cos (sin cos sin 2cos 2cos sin cos sin 22222α+ααα+α=αα+αα+α+α⋅α αα+α=cos 2cos sin 2121+α=tg =右边4．已知),6lg(2lg lg 2+=+x x 求x 解：由原方程可得)(23,2,062),6lg(2lg 22增根-==∴=--+=x x x x x x 故原方程的解为x=2.5．某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为1350的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD 和DC 为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？ 解：如图，设BC 长为x ，苗圃面积为S.过D 作DE ⊥AB 交AB 于E. 由已知条件可得AB=30-x ， ∠DAB=450， AE=DE=BC=x ， CD=BE=AB-AE=30-2x ，.150)10(23)360(21)(212+--=-=⋅+=∴x x x BC AB CD S 由此可知，当x=10时，S 取最大值所以，当BC=10米，AB=20米时，苗圃面积最大，这时S=150米26．工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5:2，做这样的容器需要多少平方米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要D CA E B求写出已知、求解，直接求解并画图即可）解：设正四棱台形容器上口边长AB=5x ，则下底面边长A 1B 1=2x ， 设表面积为S因正四棱台的体积)(56.1)(156)2410(4)410(2144)(214).(4),(10,2,4],25)2()5[(431208).(31222111211112222121平方米平方分米由此可得分米分米==-+⋅+⋅⋅+=⋅+⋅⋅+===∴=∴=∴⋅++⋅⋅=∴++=FF B A AB B A S B A AB x x x x x x s s s s h V故共需铁皮1.56平方米7．已知：如图，MN 为圆的直径，P 、C 为圆上两点，连PM 、PN ，过C 作MN 的垂线与MN 、MP 和NP 的延长线依次相交于A 、B 、D ，求证：AC 2=AB ·AD证：在△ABM 与△AND 中， ∠BAM=∠NAD=900 ∠AMB=∠ADN=900-∠MND ， ∴△ABM ∽△AND ， AB:AN=AM:AD, AN ·AM=AB ·AD ……①又∵在直角△MCN 中，AC ⊥MN ， ∴AC 2=AM ·AN ………② 由①，②得AC 2=AB ·ADC BD D 1 A 1 FE 1F 1DN8．下列两题选做一题（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y 2=4x 的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长解：设所求之椭圆方程为12222=+by a x ∵2b=2,∴b=1.由抛物线方程y 2=4x 可知它的焦点而（1，0），所以点（1，0）也是椭圆的一个焦点，于是c=1,从而,2,2222==+=a c b a故所求之椭圆方程为1222=+y x ，长轴的长为（乙）已知菱形的一对内角各为600，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形600角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程解：设以菱形内角为600的一对顶点为端点的对角线所在的直线 为X 轴，建立直角坐标系设欲求之椭圆方程为12222=+by a x由图及已知条件可得 b=BO=BC ·sin300=2a =BC=4.故所求之椭圆方程为.141622=+y x 参考题X1．将函数x e x f =)(展开为x 的幂级数，并求出收敛区间（e=2.718为自然对数的底）)2,1(|||)(|,.1)0()0()0()0(.)()()(,)(: =≤=≤≤-==''='=∴==''='∴=n e e x f r x r f f f f e x f x f x f e x f r x n n x n x 有上函数在区间解所以函数x e 可以在区间[-r ，r]上展开成幂级数，因为r>0是任意的，所以，函数x e 在区间),(+∞-∞上可展成幂级数，特别的它的马克劳林级数是++++++=!!3!2132n x x x x e nx2．利用定积分计算椭圆)0(12222>>=+b a by a x 所围成的面积解：因为椭圆12222=+by a x 关于x 轴和y 轴都是对称的，所以所求之面积为.22]2cos 2[222cos 14)(cos 4cos cos 4cos ,cos sin )20.(sin .44202020220222220220ab ab d ab d ab d ab d a a a b s d a dx a a a x a a x dx x a b a ydx s aa π=π⋅=θθ+π=θθ+=θθ=θθ⋅⋅θ⋅⋅=∴θθ=θ=θ-=-π≤θ≤θ=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππ则令1977年普通高等学校招生考试数学(黑龙江省)试题及答案1．解答下列各题： （1）解方程.443=+x 解：方程两边平方得,0432=--x xx=4,x=-1（增根） 故 x=4是原方程的根（2）解不等式|x|<5.解：-5<x<5.（3）已知正三角形的外接圆半径为36cm ，求它的边长解：设正三角形的边长为a ，则).(18)(9233630cos 21cm a cm R a =∴=⋅=︒= 2．计算下列各题： （1）.222a ma m +-解：当.2,22a m a ma m a m -=+-≥时当.2,22m a a ma m a m -=+-<时（2）︒⋅︒+︒⋅︒3sin 12cos 3cos 78cos （不查表求值） 解：原式=)3045sin(15sin 3sin 12cos 3cos 12sin ︒-︒=︒=︒⋅︒+︒⋅︒.4)13(230sin 45cos 30cos 45sin -=︒︒-︒︒=（3）)6arcsin(cos π 解：原式=.323arcsinπ= 3．解下列各题： （1）解方程.189321=-+xx解：18331=-+x x.2,393,18)13(32=∴===-x x x （2）求数列2，4，8，16，……前十项的和解：由题设可知，此等比数列的首项21=a 公比2=q.204612)12(21)1(1010110=--⋅=--=∴q q a S4．解下列各题：（1）圆锥的高为6cm ，母线和底面半径成300角，求它的侧面积解：由题设条件可知，圆锥底面半径R=,36306=︒ctg圆锥母线,1230sin 6=︒=l ∴侧面积)(3722cm Rl S π=π=（2）求过点（1，4）且与直线0352=+-y x 垂直的直线方程解：因为直线0352=+-y x 的斜率为52，所以所求直线的斜率为2-所求直线的方程为1325=-+y x5．如果△ABC 的∠A 的平分线交BC 于D ，交它的外接圆于E ，那么 AB ·AC=AD ·证：连结BE （如图）∵∠CAE=∠EAB ，∠ACB=∠AEB ， ∴△ACD ∽△AEB ， ∴.ABADAE AC = ∴AB ·AC=AD ·AE6．前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？解：设后两年造林面积的年平均增长率为x ，依照题意可得200+200（1+x ）+200（1+x ）2=728， 200（1+x)2+200（1+x ）-528=0， （1+x)2+（1+x ）-2.64=0， [（1+x ）-1.2][（1+x ）+2.2]=0，B1+x=1.2，x=0.2=20%1+x=-2.2，x=-3.2（不合题意，舍去） 故后两年造林面积的年平均增长率为20%7．解方程).5lg 1()1622lg(-=-+x x x 解：,2lg 2lg )5lg 1()1622lg(x x x x x ==-=-+.8,162,21622=∴=∴=-+∴x x x x x8．已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm ，面积为54cm 2，求三边的长解：设三角形三边的长分别为,,,d a a d a +-则依题意有⎩⎨⎧=---+-=+++-)2(54)18)(18)(18(18)1(36)()( d a a d a d a a d a 由（1）得).(12cm a =代入（2）得,54)6(6)6(18=-⋅⋅+d d.3,9,273622±===-d d d故此三角形的三边长分别为9cm,12cm,15cm.9．（参考题）如图，AP 表示发动机的连杆，OA 表示它的曲柄当A 在圆上作圆周运动时，P 在x 轴上作直线运动，求P 点的横坐标为什么当α是直角时，P ∠是最大？解：过A 作AB ⊥OP 设x 为点P 的横坐标，则 x=OP=OB+BP=α⋅-+α222sin cos R l R 因为∠P 随连杆位置的变化而改变，但连杆上下摆A动的幅度是一样的，所以∠P 的最大值是一样的故可以考虑π≤α≤0内∠P 变化的情况，由正弦定理得α⋅=∠sin sin lRP 在π≤α≤0内，当2π=α时，αsin 的值最大，因而P ∠sin 的值也最大∵OA ＜AP ，∴∠P ＜α，即∠P 总是锐角在20π<∠<P 内，P ∠sin 是单调上升的，所以2π=α时，∠P 最大 10．（加试题）求曲线x y sin =在],0[π上的曲边梯形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积解：设旋转体的体积为V ，则.202sin 2)2(cos 2222cos 222cos 1sin 2220002π=π⋅π-π=⋅π-π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ=-π=π=⎰⎰⎰⎰ππππx x xd xdx dx x xdx v1977年普通高等学校招生考试数学(江苏省)试题及答案1．（1）计算.)827(()14.3()101()412(21221---+-+解：原式=99（2）求函数)5lg(312x x x y -+-+-=的定义域解：根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≠<≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-352030502x x x x x x 故函数的定义域为.5332<<<≤x x 和 （3）解方程.125522=+x x解：原方程即,55322=+x x..1,3,322均为原方程的解=-==+∴x x x x（4）计算⎪⎭⎫⎝⎛-333333log log 解：原式=.33log )3log 271(log )3(log log 333327133=-=-=-- （5）把直角坐标方程9)3(22=+-y x 化为极坐标方程 解：原方程可展开为,99622=++-y x xθ=ρθ=ρ=ρ∴=θρ⋅-ρ=+-cos 6cos 60,0cos 6,06222即或y x x（6）计算.321lim2n nn ++++∞→解：原式=.2121lim 2)1(lim 2=+=+∞→∞→n n nn n n n（7）分解因式.4832224-+--y y y x x 解：原式=2222)22()(---y y x).23)(2()22)(22(2222+--+=+---+-=y x y x y y x y y x3．过抛物线x y 42=的焦点作倾斜角为π43的直线，它与抛物线相交于A 、B 两点求A 、B 两点间的距离解：抛物线x y 42=的焦点坐标为（1，0）所作直线方程为,1)1(43x y x tgy -=-π=或它与抛物线之二交点坐标由下面方程组 确定⎩⎨⎧=+-=-=-=,016,4)1(41222x x x x xy xy 解得 由根与系数关系，得x 1+x 2=6, x 1x 2=1.又解得,044),1(422=-+-=yyyyy1+y2=-4,y1y2=-4.由两点间距离公式221221)()(yyxxd-+-=但,324364)()(21221221=-=-+=-xxxxxx83232,3216164)()(21221221=+=∴=+=-+=-dyyyyyy故AB两点间距离为83．在直角三角形ABC中，∠ACB=900，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3:1，求证CD=DE证：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=900，∴∠ACD=∠B又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线∴CE=EB∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB但∵∠BCD=3∠ACD，∠ECD=2∠ACD=21∠ACB=21×900=450，△EDC为等腰直角三角形∴CE=DE4．在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，C但这时甲球速度的大小是原来的２倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D点已知AmC=40厘米，BnD=20厘米,求ACB的长度CA D E B厘米甲球速度为甲v ，乙球速度为v 根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同，可得第一次等候时方程.4040xv v v x v ==乙甲乙甲或 第二次等候时方程.280)20(42120220300x x v v v x v x -+=+=--甲乙乙甲或 由此可得,280)20(440xx x -+= .0)80)(40(=--x x由于已知条件甲v ≠乙v ，∴x ≠40,（厘米）ACB=40+80=120（厘米）5．（1）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为600证：设三角形三内角分别为,,,d d +αα-α则有.601803,180)()(︒=α∴︒=α︒=+α+α+-αd d（2）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是600证：由题（1）可知，此三角形必有一内角为600，今设其对边为a ，则三角形的三边分别为aq a qa ,,（此处q 为公比，且0>q ） 由余弦定理可得DB,021,21211,60cos 2)()(2222222=+-⋅-+=︒⋅⋅-+=q qq qq aaq q a a),(1,1,11,0)1(22舍去不合题意-===∴==-q q q q q q q 由1=q 可知，此三角形为等边三角形，三个内角均为6006．在两条平行的直线AB 和CD 上分别取定一点M 和N ，在直线AB 上取一定线段ME=a ;在线段MN 上取一点K ，连结EK 并延长交CD 于F 试问K 取在哪里△EMK 与△FNK 的面积之和最小？最小值是多少？ 解：过点K 作两条平行直线的公垂线PQ ， 设PQ=l ，MN=m ， 令PK=x ，则KQ=x l - ∴△EMK ∽△FNK ， ∴.NKMK NF ME = 又∵△MKP ∽△NKQ ， ∴.KQKPNK MK = 于是得到,KQKPNF ME = .)(xx l a KP KQ ME NF -=⋅=从而△EMK 与△FNK 的面积之和为P M EA B K C D F N Q,)12()2()2(222)(2)()(212122222⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+-⋅=+-⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-⋅-⋅+⋅⋅=l x l x a xl l x a xl lx x a x x l x a x x l a x l a x A ,22,02时也即时当l x xl x ==-∴A 有最小值.)12(al - l x 22=表示点K 到直线AB 的距离为22倍的PQ ，从而点K 到M 的距离也为MN 的22倍，即KM=22MN. 附加题1求极限).1(lim x x x n -+∞→ 解：原式=x x x x x x x n ++++-+∞→1)1)(1(lim.211111lim1lim=++=++=∞→∞→xxx x n n 2．求不定积分.)1(2⎰+x e dx解：令,1t e x =+则,)1(dx t dx e dt x -==.1-=t dt dx.11)1ln(11)1ln(ln 1ln )1ln()1111()1)1(1()1()1(2222C e e x C e e e Ctt t dtt t t dtt t t t t dte dx xx xx x x ++++-=++++-=++--=---=--=-=+∴⎰⎰⎰⎰1977年普通高等学校招生考试理科数学(上海市)试题及答案1．（1）化简)()2(222222ba ab a a b ab a a b a a --+÷++-+ 解：原式=.)1()1(b a a b b a a b a a b a a ba a +-=--++-+ （2）计算2log 9log 1.0lg 2lg 25lg 2132⨯--+解：原式=21-（3）i =-1，验算i 是否方程2x 4+3x 3-3x 2+3x-5=0的解解：令x=i,左边=2-3i+3+3i-5=0所以i 是所给方程的一个解（4）求证：.2cos 2)4cos()4cos()4sin()4sin(θ=θ-πθ+π+θ-πθ+π.2cos 22cos 211)4cos()4sin(2sin)4cos()4sin()4sin()4cos()4cos()4sin(:右边左边证=θ=θ=θ-πθ-ππ=θ-πθ-πθ-πθ+π+θ-πθ+π=2．在△ABC 中，∠C 的平分线交AB 于D ，过D 作BC 的平分线交AC 于E ，已知BC=a ,AC=b,求DE 的长解：∵DE ∥BC ，∴∠1=∠3又∠1=∠2，∴∠2=∠3 DE=EC 由△ADE ∽△ABC ，,,b DE b a DE AC AE BCDE -==∴b ·DE=ab-a ·DE ，.b a abDE +=3．已知圆A 的直径为32，圆B 的直径为324-，圆C 的直径为2，圆A 与圆B 外切，圆A 又与圆C 外切，∠A=600，求BC 及∠C解：由已知条件可知，AC=31+，AB=2，∠CAB=600根据余弦定理，可得由正弦定理，则︒=∠∴=⋅=45,22sin sin C BC A AB C 4．正六棱锥V-ABCDEF 的高为2cm ，底面边长为2cm （1）按1:1画出它的二视图;（2）求其侧面积; （3）求它的侧棱和底面的夹角解：（1）见六五年试题1（2）斜高为)(7672216),(7)223(2222cm cm =⨯⨯⨯==⨯+故侧面积BC（3）侧棱与底面的夹角为4505．解不等式⎩⎨⎧>--≥-0601622x x x 并在数轴上把它的解表示出来 解：略-4≤x ＜-2，3＜x ≤4.6．已知两定点A （-4，0）、B （4，0），一动点P （x,y ）与两定点A 、B 的连线PA 、PB 的斜率的乘积为4-P 的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线解：直线PA 、PB 的斜率分别是故此曲线为椭圆其标准方程为由题意,14161644144.4,4222221=+=+-=-⋅+-=+=y x y x x y x y x y k x y k7．等腰梯形的周长为60，底角为600，问这梯形各边长为多少时，面积最大？ 解：设等腰梯形的腰长为x ，则有AE=2x ，BE=23x ，.2360226022260x x x AEAB BC -=--=-⋅-=等腰梯形ABCD 的面积=BE AE BC BE ADBC ⋅+=⋅+)(2].)15(225[23)30(232322360(22--=-=⋅+-=x x x x x x由此可知，当且仅当x=15时等腰梯形的面积最大此时，腰AB=CD=x=15,上B C底BC=7.5，下底AD=BC+2AE=22.58．当k 为何值时，方程组⎩⎨⎧=---=--)2(0102)1(02 k y kx y x 有两组相同的解？并求出它的解解：由（1），x ≥0，y ≥2由（2），y=kx-2k-10.代入（1），得)122(,)122(2=++-+-=k kx x k kx x此方程有二等根的条件是判别式为零，即 k 2-4(2k+12)=0,k 2-8k-48=0,(k-12)(k+4)=0, k 1=12,k 2=-4(增根） ∴当k=12时，x=6,y=38. 附加题9．如图所示，半圆O 的直径为2，A 为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B 为半圆上任一点，以AB 为边作等边△ABC ，问B 在什么地方时，四边形OACB 的面积最大？并求出这个面积的最大值解：四边形OACB 的面积=△OAB 的面积+△ABC 的面积 设∠AOB=θ， 则 △OAB 的面积θ=θ⋅⋅⋅=θ⋅⋅⋅=sin sin 1221sin 21OB OA△ABC 的面积 C)cos 45(43)cos 2(434360sin 21222θ-=θ⋅⋅⋅-+=⋅=︒⋅⋅⋅=OA OB OA OB AB AC AB∴四边形OACB 的面积∴当θ-600=900，即θ=1500时，四边形OACB 的面积最大，其最大面积为.2435+ 10．已知曲线y=x 2-2x+3与直线y=x+3相交于点P（0，3）、Q （3，6）两点，（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率;（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积解：（1）∵y=x 2-2x+3，∴y ＇=2x-2,∴过点（0，3）的切线斜率k 1=y ＇|x=0=-2过点（3，6）的切线斜率k 1=y ＇|x=3=4（2）设所求的带阴影的图形的面积为S S 为梯形OAQP 的面积与曲边梯形OAQP 的面积的差而梯形OAQP 的面积.227)(21=⋅+=OA AQ OP 曲边梯形OAQP 的面积9)331()32(3030232=+-=+-=⎰x x x dx x xY X)60sin(2435cos 3sin 435︒-θ+=θ-θ+=.5.49227=-=∴S1977年普通高等学校招生考试文科数学(上海市)试题及答案1．（1）计算.2343(311()23)(3121[(÷-⨯+----解略：原式=.21-（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？ 解：根据已知条件，今年比去年增长%2596249696120==-. 明年养猪头数为120（1+40%）=168（头）（3）计算.51lg 5lg 32lg 4-+ 解：原式=42．在△ABC 中，∠C 的平分线与AB 相交于D ，过D 作BC 的平分线与AC 相交于E ，已知BC=a ，AC=b ，求DE 的长解：∵DE ∥BC ，∴∠1=∠3又∠1=∠2，∴∠2=∠3 DE=EC 由△ADE ∽△ABC ，,,b DEb a DE AC AE BC DE-==∴ b ·DE=a b-a ·DE ，.b a abDE +=3．（1）化简)()2(222222b a a b a a b ab a a b a a --+÷++-+2A E C解：原式=.)1()1(b a a b ba ab a a b a a ba a +-=--++-+ （2）解不等式.4213312-->-x x 解：不等式解为x ＜5 （3）解方程.92131342--=--+x x x x 解：可得x 2-5x+6=0, x=2,x=3（增根） 故原方程的解为x=2. 4（1）计算.)120cos(330225sin ︒-︒+︒tg解：原式=.3322360cos )30(45sin +=︒-︒-+︒-=tg（2）求证：.2sin 2xctgx tgx =+ 证：右边左边==+=xx x x x 2sin 2sin cos cos sin （3）△ABC 中，∠A=450，∠B=750，AB=12，求BC 的长解：由正弦定理可知：.64sin sin =⋅=CAAB BC 5．六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm 3） 解：由图可知此六角螺帽的体积为Φ20)(725010)36(101010)620232021(332mm V ≈⨯π-=⨯⨯π-⨯⨯⨯⨯⨯= 6.求直线0333=++y x 的斜率和倾角，并画出它的图形解：由0333=++y x 可得.150)33(33.333331︒=-=θ-=--=--=arctg k x x y 倾角斜率图略7．当x 为何值时，函数y=x 2-8x+5的值最小，并求出这个最小值 解：y=x 2-8x+5=2（x-2)2-3，所以，当x=2时，函数最小值为-38．将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？解：设甲种流酸取x 升，乙种流酸取y 升，根据题意可得如下方程组：⎩⎨⎧⋅=⋅+⋅=+)2(%70600%36%96)1(600 y x y x 由（1）得y=600-x.代入（2）得x=340（升）y=260(升）故应取甲种流酸340升，乙种流酸260升1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分）1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简： 二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k 2，半短轴=2.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----原式解如图：2)k=0时，方程为y 2=4形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为三．（本题满分14分） （如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD ∴CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴ CD 2=AD ·DBY Y YXXy=-2 M C NA B D14422=+-y k x。
1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.理)答案
参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分,满分65分.(1)B (2)B (3)A (4)C (5)B (6)D (7)D(8)C(9)B (10)B (11)A (12)D (13)C (14)C (15)D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分.三、解答题(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力.满分10分.解法一：-------2分于是,.-------5分由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三解形. -------------7分解法二:由此得OP⊥OQ,│OP│=│OQ│.由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.-------------10分(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.满分11分.解:,. -------------3分分两种情况讨论.(Ⅰ)p>1.=p. -------------7分(Ⅱ)p<1.∵ 0<q<p<1,-------11分(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分.-------------4分故所求函数及其定义域为.-------------5分(Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有.因为c-v≥0,且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,也即当v=c时,全程运输成本y最小.(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间想象能力,满分12分.解:(Ⅰ)∵AC1是正方体,∴AD⊥面DC1.又D 1F 面DC1,∴AD⊥D1F. -------------2分(Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角. -------------5分(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F 面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1. -------------7分(Ⅳ)连结GE,GD1.∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1,∵AA1=2,(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以F(x)=a(x-x1)(x-x2).------------2分当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0,又a>0,得F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即x<f(x). ------------4分,所以x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.得 x1-f(x)>0.由此得f(x)<x1.------------7分(Ⅱ)依题意知因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根.,------------9分.因为ax2<1,所以.------------12分(25)本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.解法一:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.r2=2b2------------2分又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1. -------------5分又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为,-------------7分所以 5d2=│a-2b│2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.-------------10分由此有解此方程组得由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. -------------12分解法二:同解法一得∴得①将a2=2b2-1代入①式,整理得②把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即△=8(5d2-1)≥0,得 5d2≥1..将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.综上a=±1,b=±1,r2=2.由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. -------------12分。
1977-1987年高考理科数学试题参考答案
(5,0)(1,0)(0,5)(3,-4)x =3yx O 15°45°A C B ED A CB 1977年普通高等学校招生考试(北京市)理科数学参考答案 满分120分，120分钟1．（本小题满分10分） 解：将两边平方，得2169x x x -=-+，即27100x x -+=,解得2,5x x ==, 经检验5x =是增根， ∴原方程的解是2x =． 2．（本小题满分10分） 解：原式=1． 3.（本小题满分10分）解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266．4．（本小题满分10分）证明：∵22cos sin (1)cos tg αααα+⎛⎫+= ⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin cos ααααα++= 21sin 2cos αα+=，∴等式成立． 5．（本小题满分10分）解：由 70,310x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,5x y ==．∴过点(2,5)和(1,1)的直线方程为 430x y --=．6．（本小题满分10分）解：七月份到十月份总产值为2100100(10.2)100(10.2)++++ 3100(10.2)++4100[(1.2)1]1.21⨯-=-100 1.0736536.80.2⨯==（万元）．7.（本小题满分10分）解：（1）2265(3)4y x x x =-+=--， ∴二次函数图象的顶点坐标为(3,4)-， 对称轴方程为3x =．（2）如图（列表，描点略）． （3）令0x =，得5y =；令0y =，得1x =或5x =， ∴二次函数图象与坐标轴 的交点坐标为(0,5),(1,0),(5,0)8．（本小题满分10分）解：由已知条件及图可得AC =20海里，∠BAC =450，∠ABC =300．由正弦定理可得20sin 21sin 2AC ACB B⋅===（海里）.9.（本小题满分10分）证：连接CE ,在△ABD 和△ACE 中，∠BAD =∠CAE ，∠ABD =∠AEC ， ∴△ABD ~△ACE ,∴AB ADCE AC= 即AD AE AC AB ⋅=⋅.10.（本小题满分10分）解：直线与椭圆的交点适合下面方程组：22, (1)1.(2)169y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩将（1）代入（2）得22()1169x x m ++=，即222532(16144)0x mx m ++-=，22(32)425(16144)m m ∆=-⋅⋅- 2576(25)m =-，当2576(25)0m ∆=-=，即5m =±时，直线与椭圆有一个交点； 当2576(25)0m ∆=->，2250m -+>，即5m <时，直线与椭圆有二个交点；当2576(25)0m ∆=-<，即5m >时，直线与椭圆没有交点. 参考题1.（本小题满分10分） 解：（1）当0x ≠时，22()2sin cos()f x x x xx x πππ-'=+2sincosx xxπππ=-；当0x =时，(0)(0)(0)limx f x f f x∆→∆+-'=∆20sin0limx x x xπ∆→∆-∆=∆ 0lim sin 0x x xπ∆→=∆=∆. ∴2sin cos .(0)()0(x 0)x x f x x xπππ⎧-≠⎪'=⎨⎪=⎩. （2）旋转体体积2aaV y dx π-=⎰22224(1)3aa xb dx ab a ππ-=-=⎰. 2. （本小题满分10分） 解：（1）答：略.（2）证：由()f x 在点0x x =处连续，且0()0f x >，所以，由定义，对于给定的0()02f x ε=>，必存在0δ>, 当0x x δ->时，有00()()()2f x f x f x -<,从而000()()()()022f x f x f x f x >-=>， 即在00(,)x x δδ-+内处处有()0f x >.1978年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案 满分120分，120分钟（理科考生五，六两题选做一题.文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题） 一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.解：222444x xy y z -+-22(2)(2)x y z =--(22)(22)x y z x y z =---+2.解：设底面半径为r ，则22ra a π=，即2a r π=，∴22224a a V r a a ππππ⎛⎫=⋅=⋅=⎪⎝⎭. 3．解：∵lg(2)0x +≥, ∴21x +≥，即1x ≥-， ∴函数定义域[)1,-+∞.4.解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22. 5. 解：原式12425b = . 二 、（本题满分14分）解：1）0k >时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①1k >时,长轴在y 轴上，2a =，b =; ②1k =时,为半径2r =的圆; ③1k <时,长轴在x 轴上，a =，2b =.如图：2) 0k =时，方程为2y =图形是两条平行于x 轴的直线2±=y .如图.3）0k <时，方程为22124x y k-+=，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上.如图： 三、（本题满分14分） 证：1)连接CA ，CB ，则∠ACB =900∠ACM =∠ABC , ∠ACD=∠ABC ， ∴∠ACM =∠ACD ， ∴△AMC ≌△ADC ， ∴CM =CD .同理CN =CD ，∴CD =CM =CN .2）∵CD ⊥AB ，∠ACD =900， ∴ CD 2=AD ·DB .由1）知AM=AD ，BN=BD ，∴CD 2=AM ·BN . 四、（本题满分12分）解：∵185b=，∴ 18log 5b =， ∴ 183618log 59log 45log 182⋅=⋅18181818log 5log 9log 18log 22a ba++==+-. 五、（本题满分20分）解：由条件得180A B C ++=︒， 2B A C =+，∴60,120B A C =︒+=︒.∵tan tan 2A C = ∴tan tan (1tan tan )tan()A C A C A C +=-+(13=-=，……② ∴由①，②知tan ,tan A C 是方程2(320x x -+=的两个根，解这个方程得121,2x x ==tan 1,tan 2A C ==tan 21A C ==， ∴45,75A C =︒=︒，或 75,45A C =︒=︒，∴45,60,75A B C =︒=︒=︒，或 75,60,45A B C =︒=︒=︒.∵顶点C 的对边c 上的高等于34，∴8,a b ====cos 45cos 60c AD DB b a =+=︒+︒4=，或8a ==，b ==cos 75cos 60c AD DB b a =+=︒+︒8=.六、（本题满分20分）证明：由223sin2sin 1αβ+= 得2c o s 23s i n βα=，由3sin 22sin 20αβ-= 得3sin 2sin 23sin cos 2βααα==， 2249sin cos 9sin ααα+22sin 2cos 21ββ=+=，即29sin 1α=.∵α为锐角，∴1sin 3α=.∴sin(2)sin cos2cos sin 2αβαβαβ+=+2sin (3sin )cos (3sin cos )ααααα=+ 223sin (sin cos )3sin 1αααα=+==.∵,αβ为锐角，∴22παβ+=.七、（本题满分20分） 解：已知函数配方法得：2214524m m y x ++⎛⎫=+-⎪⎝⎭，1E DC BA ∴y 的极小值为454m +-. 1）由4504m +-=，得54m =-， ∴当54m =-时，y 的极值是0.2）设函数的顶点坐标为(,)x y ，则21122m x m +=-=--，45544m y m +=-=--，消去m 得1l ：34x y -=，∴不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l 上. 当1,0,1m =-时，函数式分别为211()42y x +=-，293()42y x +=+， 251()42y x +=+（图略）.3）设l ：x y a -=为任一条平行于1l 的直线，与抛物线方程22(21)1y x m x m =+++-联立求解，消去y ，得22210x mx m a ++-+=，即2()1x m a +=-.当1-a ≥0，即a ≤1时，直线l 与抛物线相交，而a ＞1时，直线l 与抛物线不相交.当1a ≤时，x m =-直线l 与抛物线两交点的横坐标分别为m m --由条件知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 被抛物线截出的线段长为[((m m ---=m 无关，因此直线l 被各抛物线截出的线段都相等.一九七八年副题 理科数学参考答案 满分120分，120分钟1．（下列各题每题4分，五个题共20分） （1）解：原式=(1)(3)x y x y ---+.(2)解：原式2130124=-+-=⎝⎭. （3）解：由255010x x ⎧->⎨+≠⎩得2x <且1x ≠-，∴函数的定义域∞(-,1)(1,2).（4）解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅=. （5）解：原式=30. 2．（本题满分14分） 解：由已知条件得121239,40x x x x +==-， ∴121212113940x x x x x x ++==-， 1211140x x ⋅=-， ∴所求方程为：2403910x x +-=. 3. （本题满分14分） 证：∵AD 是 △ABC 的外接 圆的切线，∴∠B =∠1，∴△ABD ∽△ACD ，∴22ABC AB ACD AC ∆=∆的面积的面积作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CD BDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积 ∴CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积. 4．（本题满分12分）F aαN MEDCB A证：作ME BD ⊥ 于E ，由△ABC 是 等边三角形知， 在直角△MBE 中，12BE BM =，ME =，2tan 122MEED a BM α==-，BM =类似地，过N 作NF BC ⊥于F ，在直角△NFC中，可证：CN = 5．（本题满分20分）证：1）∵244(1)0p q m --+=，∴2414p q m -+=，∴432()444f x x px qx =-+ 222442()44p q p q p x --+⋅+2222(2x )(4)px p q x =---22244(2)()44p q p q px --+⋅+22222244(2x )2(2x )()44p q p q px px --=---⋅+2224(2x )4p q px -=--，∴()f x 恰好是一个二次三项式的平方.2）由条件得43224442(1)(1)x px qx p m m -+++++ 22(2)x ax b =++4322244(4)2x ax a b x abx b =-++++，∴22244(1)44 (2)2(1)2(3)(1)(4)p a q a b p m ab m b-=⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪+=⎩， 由（1）得a p =-，代入（2）得244q p b -=，将,a b 代入（3）得242(1)24q p p m p -+=-⋅，即2[44(1)]0p p q m --+=，∵0p ≠，∴244(1)0p q m --+=.6．（本题满分14分） 证：∵,a b 不同时为0， ∴①可变形为0x x +=，设in s y y ==，则上式即为sin cos cos sin sin()0x y x y x y -=-=， ∴()x y k k Z π-=+∈，即 ()x y k k Z π=+∈.∴sin 2cos 2A x B x C +-sin(22)cos(22)A y k B y k C ππ=+++- sin 2cos 2A y B y C =+-222sin cos (cos sin )A y y B y y C =---22222220ab a b A B C a b a b -=---=++，即22222()()0abA b a B a b C +-++=. 证（二）：当0,0a b =≠时，由①得cos 0x =，结合②得B C -=，∴22222()()0abA b a B a b C +-++=； 同理可得，当0,0a b ≠=时，22222()()0a b A ba B ab C +-++=； 当0,0a b ≠≠时，由由①得tan bx a=-，sin 2cos 2A x B x C +-B /P/Pl CBA O y x2222222sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x A B C x x x x-=⋅+⋅-++2222tan 1tan 1tan 1tan x x A B C x x -=⋅+⋅-++ 2222222111b b a a A B C b b a a -⋅-=⋅+⋅-++ 22222220ab a b A B C a b a b -=-⋅+⋅-=++,即22222()()0abA b a B a b C +-++=.综上可知，结论成立. 7．（本题满分14分）解：1）直线l ，圆C 和抛物线Q的方程为:L y x =；2:x Q y =； 22:1C x y +=. 草图如右图所示. 2)由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得A点横坐标为2x =- 线段PA 的函数关系为1(),()322f x x x =-≤≤-；由2221y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得B 点横坐标为2x =， 圆弧AB 的函数关系式为2())22f x x =-≤≤；抛物线上OB 一段的函数表达式为3()(02f x x =≤≤, POP S '∆=724OAB π=扇形S ， 14BOB S '∆=，71244π=+阴S .V D CBA βαPCBA1979年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案 满分120分，120分钟一、（本题满分6分） 证： 2()4()()z x x y y z ----22()4()4x z x z y y =+-++ 2(2)0x y z =-+=,∴22x z y +=,即,,x y z 成等差数列． 二、（本题满分6分） 解：原式221111111tan 1cot xx==--+--22211csc 1sin 1csc x xx===-． 三、（本题满分6分）解：由条件知，甲中纯酒精与水的重量分别为1111m v m n +，1111n v m n +；乙中纯酒精与水的重量分别为2222m v m n +，2222n v m n +．混合后所得液体中纯酒精量为11221122m v m vm n m n +++112222111122()()()()m v m n m v m n m n m n +++=++； 混合后所得液体中水的量为11221122n v n vm n m n +++112222111122()()()()n v m n n v m n m n m n +++=++．混合后所得液体中纯酒精与水之比是11222211[()()]:m v m n m v m n +++ 11222211[()()]n v m n n v m n +++．四、（本题满分6分）略． 五、（本题满10分） 解：作PC AB ⊥于C ， 设PC d =，在直角三角形PAC 中， cot AC d α=；在直角三角形PBC 中，cot BC d β=，∴(cot cot )S AC BC d αβ=+=+． 当d D ≤，即cot cot SDαβ+≥时，应向外国船发出警告． 六、（本题满10分）证：设,,VA a VB b VC c ===，AB p =，,BC q CA r ==，则222222222,,p a b q b c r c a =+=+=+．在三角形ABC 中，由余弦定理得222222cos CAB ∠=20=>，∴CAB ∠是锐角． 同理，∠ABC ， ∠BCA 也是锐角． 七、本题满分12分）解：设年增长率为x ，则由条件得40100(1)500x +=,即40(1)5x +=.F 1ED C BA取自然对数有40ln(1)ln 5x +=. 又lg5=1-0.3=0.7 ， ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61． 利用ln(1)x x +≈,有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%． 答：每年约增长百分之四．八、本题满分12分） 证：连接CD ．∵∠CFD =900，∴CD 为圆O 的直径， 又AB 切圆O 于D ，∴CD ⊥AB ．又在直角三角形ABC 中，∠ACB =900， ∴2AC =AD ·AB ，2BC =BD ·AB ， ∴22BD BCAD AC =．…⑴ 又∵2BD =BC ·BF ，2AD =AC ·AE ，∴22BD BC BFAD AC AE⋅=⋅．…⑵ 由（1）与（2）得44BC BF BC AC AE AC ⋅=⋅，∴33BF BC AE AC =． 九、（本题满分14分）解：记已知数列为{}n a ，则由条件知：11lg(100sin )2(1)lg 242n n a n π-==--，∴数列{}n a 是递减等差数列，且其首项为2．设前k 项的和最大，则由条件得12(1)lg 20,212[(1)1]lg 20.2k k ⎧--≥⎪⎪⎨⎪---<⎪⎩ 解得 13.214.2k <≤，∵k N ∈，∴14k =．11414142a a S +=⨯ 91280.301014.302=-⨯≈． 十、（本题满分18分） 解：设OP 与x 轴正方向的夹角为α，点P 的坐标为(,)x y ,则OP =sin()PD OP θα=-(sin cos cos sin )OP θαθα=-sin cos x y θθ=-，sin()PF OP θα=+(sin cos cos sin )OP θαθα=+sin cos x y θθ=+由2PD PF PE ⋅=得22222sin cos ()x y h x θθ-=-，……① 22222cos 2cos 0x hx y h θθ-++=．由条件知2cos 0θ≠，332211O 3O 2O 1EDC (c ,0)B (b .0)A (0.a )O y x ∴2222220cos cos h h x x y θθ-++=，即 22222sin ()()cos cos h h x y θθθ-+=． 这是以2(,0)cos h θ为圆心，2sin cos h θθ为半径的圆.所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分．2．由PD PE PF +=得sin cos sin cos x y h x x y θθθθ-+-=+，即2cos x y h θ+=．…………………②此直线过点(,0)h 及(0,)2cos hθ．由①，②得222222sin cos 4cos x y y θθθ-=，即 22225cos sin y x θθ=，由PD PE PF +=知0y >，∴y x =．……………③由②，③得(1)x h θ+=，即1h x θ==tan y θ=∴所求点的坐标为P ．1980年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案 满分120分，120分钟一、（本题满分6分） 解：1. 55449(9)x y xy xy x y -=-2222(3)(3)xy x y x y =+-. 2. 559x y xy -22(3)()()xy x y x x =+. 3. 559x y xy -()()()()xy x x x x =.二、（本题满6分） 证：设⊙1O ，⊙2O ， ⊙3O 的半径为1，2，3∵因这三个圆两两外切， ∴12233,5OO O O ==，134O O =，∴()()()222121323O O O O O O +=∴根据勾股定理的逆定理知△123O O O 为直角三角形. 三、（本题满分10分）证：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为x 轴，经过A 的高线为y 轴，设,,A B C 的坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，根据所选坐标系，如图，有0,0,0a b c ><>. 直线AB 的斜率AB ak b=-， 直线AC 的斜率ACa k c=-；∴高线BE 斜率BE ck a=，高线CD 斜率CD b k a =高线BE 的方程为()cy x b a =-，……⑴高线CD 的方程为()by x c a=-，……⑵由（1）-（2）得 ()0b c x -=， ∵b c ≠，∴0x =.lB AP NMDC BA ∴高线CD 、BE 的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO 上. ∴三条高线交于一点. 四、（本题满分10分） 解：见课本. 五、（本题满分10分）证：用反证法假如平面N 与平面M 平行，则PA 也垂直于N ，因此PA 与PB 重合，B 点与A 点重合，但这与题设矛盾，∴平面N 与平面M 相交.设平面N 与平面M 的交线为l∵PA ⊥平面M ，∴PA ⊥l . 又∵PB ⊥平面N ， ∴PB ⊥l ，∴l ⊥平面PAB ，∴l ⊥AB . 六、（本题满分12分） 解：1. M =1，1m =-，5210T k kππ⨯==. 2. ()f x 在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m . 而任意两个整数间的距离都≥1.∴要使任意两个整数间函数()f x 至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使()f x 的周期1T ≤，即.4.3110,110 =≥≤ππk k∴32k =就是这样的最小正整数.七、（本题满分14分）解：设,,CD h AB c BD x ===，则AD c x =-， ∴△ACD 的面积为)(21x c h -， △BCD 的面积为hx 21，△ABC 的面积为hc 21，由题意得2111()(),222hx h c x hc =-⋅2()x c c x =-，即220x cx c +-=，解得12x -=或12c -（舍去） 由直角三角形的性质，有2()AC AD AB c c x =⋅=-211()22c c c ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴AC =， ∴215215sin -=-==c cAB AC B ， ∴B ∠=.八、（本题满分14分） 证（一）：∵0απ<<， ∴cos22sin 2cot2sin 22sin2ααααα-=-22cos 22sin 22sincos 22αααα=-1cos 2sin 2sin ααα+=-2sin 2sin (1cos )sin αααα-+=24sin cos (1cos )sin αααα-+=24(1cos )cos (1cos )sin αααα--+=214(1cos )(cos )20sin ααα+-=-≤，A (m ,0)当且仅当1cos 2α=，即3πα=时取“=” .证（二）：即证：1cos 2sin 2sin ααα+≤.两端乘以sin α，问题化为证明 2sin αsin2α≤1+cos α.而 2sin αsin2α=4sin αcos 2α=4(1-cos 2α)cos α=4(1-cos α)(1+cos α)cos α ∴问题又化为证明不等式(1+cos α)[4(1-cos α)cos α-1]≤0，即（1+cos α)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--221cos 4α≤0，∴不等式得证. ∵0απ<<,∴等号成立当且仅当cos α-21=0 即3πα=.九、（本题满分18分）解：设圆心为(,0)A m ，则圆的方程为22()1x a y -+=.设圆与抛物线的一 个交点为000(,)(0)P x y x ≥， 则00AP y k x a=-， 圆A 在点P 处的切线斜率为010x ak y -=-，抛物线在P 点处的切线斜率201k y =.由在P 点处抛物线的切线与圆的切线垂直得0120011x a k k y y -=-⋅=-，即 200y x a =-.…………①由00(,)P x y 是圆与抛物线的交点得 2002y x = , ………………②2200()1x a y -+= . …………③ 由①，②式消去0y ,得0x a =-,将②代入③，得200()21x a x -+=, 将0x a =-代入，得24210a a --=，∴a =或a =.所求圆的方程为22(1x y +=.由对称性，圆与抛物线的另一交点00(,)x y -处的切线也互相垂直. 附加题（成绩不计入总分，只作参考） 解：消去参数，得l ：;b mx y +=E ：.1)1(222=+-y ax 消去y ，整理得01)1(2)1(2222222=+-+-++a b a x mb a x m a 由条件知l ，E 有交点，∴22222224(1)4(1)(1)0a mb a m a b a ∆=--+-+≥，即.0)1(2)1(222≥-+--b bm m a对任意m 的值，要使这个不等式恒成立，条件是222210,(1)(1)0;a b a b ⎧->⎪⎨---≤⎪⎩或210,0.a b ⎧-=⎨=⎩即||1,a b >⎧⎪⎨≤≤⎪⎩或||1,0.a b =⎧⎨=⎩ 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≥.||1||1,1||22a a b a a a 即所求的条件.（注：也可数形结合，由点(0,)P b 在椭圆E 内或E 上求解）1981年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟一、（本题满分6分）解：1.A∪B={实数},2.A∩B=φ.二、（本题满分6分）解：1.选举种数2412P=（种）.所有可能的选举结果：,,,,,AB AC AD BC BD CD，,,,,,BA CA DA CB DB DC.2.选举种数C43=4（种）.所有可能的选举结果：,,,ABC ABD ACD BCD.三、（本题满分8分）解：1.必要条件 2.充分条件3.充分条件4.充要条件四、（本题满分8分）证（一）：解析法：如图①，以C为原点，边CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设B点的坐标为(,0)a，点A的坐标为(cos,sin)b C b C，则AB==2222cosc a b ab C=+-.同理可证2222cosa b c bc A=+-,2222cosb ac ac B=+-.证（二）：如图②，当ABC∆是直角三角形时，222222cosc a b a b ab C=+=+-.①②如图③，当ABC∆是锐角三角形时，sinAD b A=，cosBD BC CD a b C=-=-，在Rt ABD∆中，由勾股定理得222AB AD BD=+22(sin)(cos)b C a b C=+-，即2222cosc a b ab C=+-.③④如图④，当ABC∆是钝角三角形时，sinAD b C=cosBD CD CB b C a=-=-，在Rt ABD∆中，由勾股定理得222AB AD BD=+22(sin)(cos)b C b AC a=+-，即2222cosc a b ab C=+-.另外两个等式可以类似证明.五、（本题满分10分）解：x a b c x xa xbc x xa b x c a b x c---=----2000()0xx x x x a b ca ab x c==--->-+-，原不等式解是x a b c>++，且0x≠.六、（本题满分10分）用数学归纳法证明等式23sin cos cos cos cos22222sin2nnn x x x x xx ⋅⋅⋅⋅=对一切自然数n都成立.证：略七、（本题满分15分）解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lg x=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿) .2．设人口每年比上年平均递增率最高是y %，按题意得10×（1+y %)20≤12，（1+y %)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y %)≤lg1.2， 即 lg(1+y %)≤0.00396，∴1+y %≤1.0092, y %≤0.0092. 答：略 八、（本题满分17分） 解：1.在平面P 内作直线AD ⊥a 于点D ；在平面Q 内，作直线BE ⊥a 于点E ，从点D 作a 的垂线与从点B 作a 的平行线∴∠ABC 等于AB 和a 所成的角∠ADC 为两面角P a Q --的平面角，∴∠ADC =1200AD =2，BCDE 为矩形，∴CD =BE =4.连接AC ，由余弦定理得.72=AC 又因AD ⊥a ,CD ⊥a ,所以a 垂直于△ACD 所在的平面BC ∥a 得知BC 垂直于△ACD 所在的平面，∴BC ⊥AC 在直角△ABC 中，,57sin ==∠AB AC ABC 57arcsin =∠∴ABC .2．在△ACD 所在的平面内，作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F因为△ACD 所在的平面⊥平面Q ， ∴AF ⊥平面Q在△ADE 中，∠ADE =600，2AD =， ∴AF =360sin 2=︒ 连接BF ，于是∠ABF 是AB 和平面Q 所成的角，而△ABF 为直角三角形，所以.103arcsin .103sin =∠==∠ABF AB AF ABF 九、（本题满分18分）解：1．①当直线l 的斜率不存在时，(2,0)P ． ②当直线l 的斜率为k 时，直线l 的方程为(2)1y k x =-+, …(1) 将（1）式代入双曲线方程，得[]22(2)112k x x -+-=，即2222(2)(42)4430k x k k x k k -+--+-=．… （2） 又设111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ，则12,x x 是方程（2）的两个实根，且).02(22422221≠---=+k k k k x x由题意得212212()22k kx x x k -=+=-，122y y y +=12212(21)(4)122k k x x k -=+-+=-， 显然2,0x y ==不能同时成立． 由,x y 的表达式相除后消去k 得2214()8(1)21(277y x x ---=≠，且 0)y ≠．由①，②可得点P 的轨迹方程为2214()8(1)2177y x ---=． 2．设过点B 的直线方程为(1)1x t y =-+,代入双曲线方程2212y x -=得O F E DC B A []22(1)112y t y -+-=，即222(21)4(1)240t y t t y t t ---+-=（3）设133244(,),(,)Q x y Q x y ，则34,y y 是方程（3）的两个实根，且3424(1)21t t y y t -+=-如果B 是12Q Q 的中点，就有3424(1)21t t y y t -+=-=2，即12t =，代入（3）得1y =，从而1x =，∴ 12,Q Q 重合于点于点，∴满足题设中条件的直线不存在. 十、（附加题，本题满分20分，计入总分） 证：由条件得122(1)k k k k kk u a a b a b b --=-+-+-=ba b a k k k +--+++111)1(由条件可得1a b AC BC AC AF FC -=-=-==, 21ab AC BC CD ===.∴1112(1)n n n n a b u a b------=+111(1)=n n n a b ab a b -----+1(1)n n n a b ab a b---=+，1(1)n n nn a b u a b---=+(1)()n n na b a b a b--=-+111(1)(1)n n n n n n a a b ab b a b+++-----=+∴11112(1)n n n n n n a b u u u a b+++----+==+.1982年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案 满分120分，120分钟一、（本题满分6分）解：1．{}0；2．R ；3．R ；4．[]1,1-； 5．(0,)+∞；6．R 二、（本题满分8分）解：1.第15项146141520(1)()T C i =- 62038760C =-=-.2.122cos sin ()sin 33333x x x xy ''=-=- .三、（本题满分9分）解：1. 由已知条件得2360x y --=，图形是直线.2.由已知条件得,14)1(22=+-y x 图形是椭圆.四、（本题满分12分） 解：设圆柱体半径为r 高为 (0)h h H <<. 由已知条件知△ACD ∽△AOB ， ∴H h rH R -=，即 ()Rr H h H=-，∴圆柱体体积2222()()R V h r h H h h H ππ==-.∵0h H <<， ∴22()422R H h H hV h h Hπ--=⋅⋅⋅⋅2322442727R H R H H ππ≤⋅⋅=，N MP (ρ,θ)BA O x KRQ PN M DCBA当且仅当2H h h -=，即3Hh =时， ()V h 最大，且2max 4()27V h R H π=.（注：可以用求导方法求解） 五、（本题满分15分） 解一：当1a >时，|log (1)|log (1)a a x x -=--，|log (1)|log (1)a a x x +=+，|log (1)||log (1)|a a x x --+ [log (1)log (1)]a a x x =--++2log (1)a x =--，∵1a >，01x <<，∴2011x <-<，∴2log (1)0a x -->， ∴|log (1)||log (1)|a a x x ->+. 当01a <<时，|log (1)|log (1)a a x x -=-， |log (1)|log (1)a a x x +=-+，2|log (1)||log (1)|log (1)a a a x x x --+=-. ∵1a >，01x <<，∴2011x <-<， ∴2log (1)0a x ->，∴|log (1)||log (1)|a a x x ->+. ∴当01,0,1x a a <<>≠时， |log (1)||log (1)|a a x x ->+.解二：|log (1)||log (1)|a a x x -+1log (1)|log (1)|log (1)a x a x x x +-==-+∵01x <<，∴11,011x x +><-<，2011x <-<， ∴|log (1)||log (1)|a a x x -+ 11|log (1)|log (1)x x x x ++=-=--11211log log 11x x xx x +++==--211log (1)1x x +=-->，∴|log (1)||log (1)|a a x x ->+.六、（本题满分16分）解：设P 的极点坐标为(,)P ρθ，则 ∠POM =αθ-， ∠NOP αθ=+，cos()OM ραθ=-， sin()PM ραθ=-, cos()ON ραθ=+， sin()PN ραθ=+. 1122PMON S OM PM ON PN =⋅+⋅四边形2[cos()sin()2ραθαθ=-- cos()sin()]αθαθ+++， 由题意得2[cos()sin()2ραθαθ--2cos()sin()]c αθαθ+++=，即222cos 2sin 2c ρθα=，22222(cos sin )sin 2c ρθθα-=.令cos ,sin x y ρθρθ==，将上面极坐标方程化为普通方程为2222sin 2c x y α-=.这个方程表示双曲线由题意知，动点P 的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB 内的一部分. 七、（本题满分16分）证：连结AC ，在△ABC 中， ∵,AM MB CN NB ==， ∴MN ∥AC . 在△ADC 中， ∵AQ QD =， CP PD =， ∴PQ ∥AC ， ∴MN ∥QP .A 3A 2A 1x 2=2qyy 2=2px x yO 同理，连接BD 可证MQ ∥NP ， ∴MNPQ 是平行四边形.取AC 的中点K ，连,BK DK . ∵AB BC =C ，∴BK ⊥AC ， ∵AD DC =，∴DK ⊥AC . ∴平面BKD 与AC 垂直.∵BD 在平面BKD 内，∴BD ⊥AC . ∵MQ ∥BD ，QP ∥AC ， ∴MQ ⊥QP ，即∠MQP 为直角. ∴MNPQ 是矩形. 八、（本题满分18分）解：不失一般性，设0,0p q >>. 又设22y px =的内接三角形顶点为111222333(,),(,),(,)A x y A x y A x y ，则2221122332,2,2y px y px y px ===.其中123,,y y y 互不相等，且1230y y y ≠. 由题意知，不妨设1223,A A A A 与抛物线22x qy =相切，要证13A A 也与抛物线22x qy =相切.∵12A A 与22x qy =相切， ∴12A A 不能与y 轴平行，即1212,x x y y ≠≠. ∴直线12A A 的方程是211121()y yy y x x x x --=--21112221212()()22y y p x x x x y y y y p p-=-=-+-，即 2111()()2()y y y y p x x +-=-， 2112()20y y y px y y +--=， ∴直线12A A 的方程是2112()20y y y px y y +--=.………①同理可得：直线23A A 的方程是2323()20y y y px y y +--=. 直线13A A 的方程是1313()20y y y px y y +--=.①与22x qy =联立得22112()420y y x pqx qy y +--=，……②由条件知方程②有两个相等的实根，222112168()0p q q y y y y ∆=++=，即221122()0p q y y y y ++=.………③由边23A A 与抛物线22x qy =相切， 同理可得223232()0p q y y y y ++=.…………④由③-④得21122323()()0y y y y y y y y +-+=，即 1230y y y ++=.直线13A A 的方程与抛物线方程22x qy =联立得21313()420y y x pqx qy y +--=， 221313168()p q q y y y y ∆=++ 222112168()p q qy y y y =---222112168()0p q qy y y y =++=，∴直线13A A 与抛物线22x qy =相切， ∴只要1223,A A A A 与抛物线22x qy =相切，则13A A 也与抛物线22x qy =相切. 九、（附加题，本题满分20分，计入总分）解：1.∵11,n n a p a pa -==， ∴n n a p =.又1b q =,11(2)n n n b qa rb n --=+≥ ，22211()()q p r b qa rb q p r p r -=+=+=-, 3322322()()q p r b qa rb q p pr r p r-=+=++=-,… 猜想121()()n n n n n n q p r b q p p r r p r----=+++=-.用数学归纳法证明：当2n =时结论显然成立;假设当(2,)n k k k N =≥∈时，等式成立，即,)(rp r p q b k k k --=则1()k k kk k k rq p r b qa rb qp p r+-=+=+-11()k k q p r p r++-=-， 即1n k =+时等式也成立. 所以对于一切自然数2n ≥，rp r p q b n n n --=)(都成立. 2．0,0q p r ≠>>，01rp<<.()n n n n q p r -=n n n =[1()]n n r q -==1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案 满分120分，120分钟一、（本题满分10分）1．D 2．A 3．D 4．C 5．C 二、（本题满分12分） 解：1.图形如下图所示.交点坐标是：(0,0),(1,1)O P -.2．曲线名称是：圆.图形如上所示. 三、（本题满分12分） 解：1.(2cos2sin 2)x dy e x x dx -=- .2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C ，或：)(1002012036310种=-=-C C .四、（本题满分12分）解：把第一列乘以ϕsin 加到第2列上，再把第三列乘以)cos (ϕ-加到第2列上，得sin cos()cos cos sin()sin sin cos 2cos ααϕαββϕβϕϕϕ+- sin cos()cos()cos cos sin()sin()sin sin cos 2cos 2cos ααϕαϕαββϕβϕβϕϕϕϕ+-+=----sin 0cos cos 0sin 0sin 0cos ααββϕϕ==. 五、（本题满分15分）解：1.∵i t t z |sin ||cos |+=（其中t 是实数），∴||r z ===αF 2F 1A 2A 1N My x OS N ABCMD≤∴42≤r .2. ∵复数i t t z |sin ||co s |+=的实部与虚部都是非负数，∴z 的幅角主值θ一定适合20π≤θ≤.由04πθ≤≤得01tg θ≤≤.由已知复数得0||≠=z r .∵tg θ==∴0||1tg θ≤≤，即11tgt -≤≤，∴()44k t k k Z ππππ-≤≤+∈.这就是所求的实数t 的取值范围. 六、（本题满分15分） 证：由已知条件知，SN ⊥底面ABC ，NC 是斜线SC 在底面上的射影，AB ⊥NC ， ∴AB ⊥SC .……① 连接DM .∵AB ⊥DC ，AB ⊥SC ，∴AB ⊥面SCD ， 又∵DM ⊂面SCD ，∴AB ⊥DM .∴∠MDC 是截面MAB 与底面ABC 所成二面角的平面角， ∴∠MDC =∠NSC在△MDC 和△NSC 中，因为∠MDC =∠NSC ，∠DCS 是公共角，∴∠DMC =∠NSC =900， ∴DM ⊥SC ，……②∴由①，②得 SC ⊥截面MAB . 七、（本题满分16分） 解一：以椭圆焦点1F 为极点，射线12F F 为极轴建立极坐标系.由已知条件可知椭圆长半轴3a =，半焦距c =短半轴1b =，离心率e =左准线方程为4x =-, ∴焦点1F到左准线的距离p =， ∴椭圆的极坐标方程为θ-=θ-=ρcos 2231cos 1e ep .∴11||F M ρ==，22||F N ρ==，∴由1226||298cos MN ρρα=+==-得cos 2α=±，即6πα=或56πα=， ∴当6π=α或65π=α时，|MN |等于短轴的长.解二：以椭圆的中心为原点，12F F 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）.由已知条件可知椭圆长半轴3a =，半焦距c =1b =，∴椭圆的方程为2219x y +=. 当2πα=时， 易求得|MN |223≠，∴2πα≠.设直线MN 的方程为)()22(α=+=tg k x k y 其中.解方程组221,9(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得0)18(9236)91(2222=-+++k x k x k .设1122(,),(,)M x y N x y ，则12,x x 是上述方程的两个根，且221212229(81),1919k x x x x k k -+=-=++，∴||MN ==222266661919k tg k tg αα++==++. 下同解法一.解三：建立直角坐标系得椭圆方程2219x y +=. 如解二.MN 所在直线的参数方程为cos (sin x t t y t αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩是参数）， 代入椭圆方程得222(cos 9sin ))10t t ααα+--=. 设12,t t 是方程两根，则由韦达定理，1222cos 9sin t t ααα+=+， 12221cos 9sin t t αα-=+，12||||MN t t =-=226cos 9sin αα=+ 下同解一.解四：设|1F M |=x ,则 |2F M |=6x-|12F F |=24，21F F M α∠=，在△21F F M 中，由余弦定理得222(6)cos x x α-=+-，即cos 310x α-+=，∴α-=cos 2231x .同理，设|1F N |=y ，则|2F N |=6y -，在△21F F N 中，由余弦定理得222(6)cos()y y πα-=+--，即3cos 1y α+=，∴y =.∴||MN x y =+= 2698cos α=-. 下同解一. 八、（本题满分16分） 解：1.由已知条件得110S a b ==≠且1(1)n n S bp n -=≥.∵当2n ≥时，121n n n n S a a a S a -=+++=+ ,∴21(1)(2)n n n n a S S bp p n --=-=-≥，∴),2()1()1(211≥=--=--+n p p bp p bp a a n n n n∴234,,,,,n a a a a 是一个公比为p 的等比数列.2.解：当2n ≥时，,)1()1(212111p bpp bp bp p bp S a S a n n n n n n n n =--=---++ 且由已知条件可知21p <， ∴数列2233,,,,n n a S a S a S 是公比为2p 的无穷递缩等比数列， ∴2233lim()n n n a S a S a S →∞+++222222(1)111a S b p p b pp p p-===---+. ∴1122lim lim()n n n n n W a S a S a S →∞→∞=+++112233lim lim()n n n n a S a S a S a S →∞→∞=++++22211b p b b p p=-=++.九、（本题满分12分） 解：1.当e a b <<时，要证baa b >， 只要证ln ln b a a b >，即只要证bba a ln ln >. 构造函数ln ()(0)xf x x x=<<+∞，则21l n ()x f x x -'=.当e x >时，21ln ()0xf x x-'=<， ∴函数ln ()(,)xf x e x=+∞在内是减函数. ∵e a b <<，∴()()f a f b >，即bba a ln ln >， ∴b a a b >.2.证一：由b aa b =，得ln ln b a a b =，即 bba a ln ln =. 构造函数ln ()(0)xg x x x=<<+∞，则 21ln ()xg x x -'=.∴在(0,1)内()0g x '>， ∴()g x 在(0,1)内是增函数. ∵01,0a b <<>,∴1ba <,1abb a =<.由1a b <及0a >,可推出1b <.由01,01a b <<<<,假如b a ≠，则根据()g x 在(0,1)内是增函数，得()()g a g b ≠，即bba a ln ln ≠， 从而ab b a ≠这与b aa b =矛盾. ∴a b =.证二：∵01a <<，b aa b =，∴,log log b a a b a a =即aba log =假如a b <，则1>ab，且log log 1a a b a <=， ∴log a b b a >，这与log a bb a =矛盾. ∴a b ≥.假如a b >，则1<ab，且log log 1a a b a >=，这也与b aba log =矛盾，∴a b ≤， ∴a b =.证三：假如a b <，则可设ε+=a b ，其中0ε>.由于01a <<, 0ε>,∴根据幂函数或指数函数的性质，得1<εa ，1)1(>ε+a a ，∴ (1)a a a εε<+，(1)a aa a a a aεε<+，()a a a a εε+<+，即b a a b <.这与baa b =矛盾， ∴a 不能小于b .假如a b >，则1a b >>，可设a b ε=+,其中0ε>,同上可证得b aa b <.这于b aa b =矛盾所以a 不能大于b . ∴a b =.011O y x2O x c b a γβαpc b a γβα1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案（共八道大题，满分120分.第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一、（本题满分15分） 解：1-5 CCBAB 二、（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．答：.84ππ或 2.答：(,2)-∞-.3．答：7{|,}12x x n n Z ππ=+∈ {|,}12x x n n Z ππ⋃=-+∈.4．答：-20. 5．答：0. 6．答：!647⋅P . 三、（本题满分12分）本题只要求画出图形.解：1． 2 ．四、（本题满分12分）证：设三个平面为,,αβγ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α ∵,c b αβαγ⋂=⋂=， ∴,c b αα⊂⊂，∴从而b 与c 或交于一点或互相平行.1．若b 与c 交于一点，设c b P ⋂=，则由P c ∈，且c β⊂，有P β∈； 又由P b ∈，且b γ⊂，有P γ∈， ∴P a βγ∈⋂=，即,,a b c 交于一点（即P 点）.2.若c ∥b ,则由b γ⊂，有//c γ； 又由c β⊂，且a βγ⋂=知，//c a∴ ,,a b c 互相平行. 五、（本题满分14分）设,,c d x 为实数，0c ≠，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解，有解时求出它的解.解：原方程有解的充要条件是：10, (1)0, (2)1, (3)(). (4)x d cx x d cx x d cx x x ->⎧⎪⎪+>⎪⎪⎨+≠⎪⎪⎪+=⎪⎩由条件（4）知1)(=+xdcx x ，∴ 12=+d cx .由0c ≠，可得21d x c-=.又由1)(=+x dcx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中.再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x ∴原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①0,1c d ><;②0,1c d <>.再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1 从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它。
1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案
1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案北京市高考数学试卷（文科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．2．（10分）化简：．3．（10分）解方程：．4．（10分）不查表求sin105°的值．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．1977年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：由分数指数幂的运算法则，把原式转化为1+﹣，由此能求出的值．解答：解：原式=1+﹣=1+=0．点评：本题考查分数指数幂的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解．2．（10分）化简：．考点：方根与根式及根式的化简运算．分析：分子分母同乘以，整理可得．解答：解：原式=．点评：本题考查分母或分子有理化．3．（10分）解方程：．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：先对等式两边同乘x2﹣1进行化简，然后解方程即可．解答：解：根据题意可知x≠1等式两边同乘x2﹣1得，x+1+x2﹣1=4x﹣2化简得x2﹣3x+2=0，解得x=2．∴原方程的解为x=2．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础题．4．（10分）不查表求sin105°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：综合题．分析：把105°变为180°﹣75°，然后利用诱导公式化简，把75°变为30°+45°，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值．解答：解：sin105°=sin（180°﹣75°）=sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得，为S=•2•2•sin60°，已知高h=10，由体积公式即可求得．解答：解：正三棱柱形的底面积为S=•2•2•sin60°，高h=10，由柱体的体积公式得，体积V=sh=•2•2•sin60°•10==（cm3）．点评：本题考查了柱体的体积公式的应用．是简单的计算题．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：先求与直线2x+y﹣5=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，﹣3），用点斜式求直线方程．解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率k=﹣2，∴所求直线斜率k′=﹣2．故过点（1，﹣3）且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2（x﹣1），即2x+y+1=0．点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证．解答：zm：如图，在△BDC与△CEB中，∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=90°，BC=BC，∴△BDC≌△CEB，CD=BE．点评：此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．考点：余弦定理；解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：利用余弦定理把CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°代入即可求得答案．解答：解：由余弦定理可得AB=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos，∠ACB=70米．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得x和y，则插入的两个数可求．解答：解：设此数列为2，x，y，30．于是有解得x=6，y=18．故插入的两个正数为6，18，因此，所成的数列为2、6、18、30．点评：本题主要考查等比数列的性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力．10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数标轴的交点坐标．北京市高考数学试卷（理科）一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．2．（10分）计算：．3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．4．（10分）证明：．5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．10．（10分）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．11．（10分）求函数f（x）=的导数．12．（10分）（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先要保证方程有意义即x﹣1≥0，3﹣x≥0，再将方程两边平方，解不等式组求出x的值即为方程的解．解答：解：原方程同解于，解得x=2故方程的解为x=2点评：本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义．2．（10分）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：由题意根据根式与分数指数幂的运算法则进行计算．解答：解：原式=+++1=．点评：此题主要考查根式分母的有理化和分数指数幂的化简，比较简单．3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的运算法则，将欲求lg．的式子转化成条件中的式子：“lg2=0.3010，lg3=0.4771”来表示即可．解答：解：∵lg=lg．又∵知lg2=0.3010，lg3=0.4771，∴lg=lg=0.8266．答案是：0.8266．点评：本题主要考查对数的运算性质，切实掌握对数的运算律是解题的关键．4．（10分）证明：．考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：先看左边，把正切换成正弦和余弦的形式，利用同角函数三角函数的基本关系化简整理，结果为右边，进而证明原式．解答：证：∵（1+tana）2===∴原式成立．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系．解题的关键是熟练记忆同角三角函数基本关系的中各种公式，并灵活运用．5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：求出两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点坐标，两点式写出直线方程，将它化为一般式．解答：解：由x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0联立方程组并解得：x=2，y=5．∵直线过点（2，5）和（1，1）∴所求的直线方程为，即：4x﹣y﹣3=0．点评：本题考查用两点式求直线方程．6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？考点：数列的应用；等比数列的前n项和．专题：应用题．分析：由题意知七月份到十月份总产值为：100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100，然后利用等比数列求和公式进行计算即可．解答：解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100=．答：今年七月份到十月份总产值是536.8万元．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考，合理地建立方程．7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数标轴的交点坐标．8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：根据题意可分别可知AC，∠BAC和∠ABC，进而利用正弦定理求得BC．解答：解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=45°，∠ABC=30°．由正弦定理可得（海里）．答：船和灯塔的距离CB为20海里．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的方法一般是利用三角函数中的基本公式，如正弦定理，余弦定理，勾股定理，面积公式等建立数学模型，然后求得问题的解．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．考点：相似三角形的性质；与圆有关的比例线段。
1997年全国统一高考数学试卷(理科)
1997年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A ．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A ．﹣6 B．﹣3 C．D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选A．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A ．B．C．D．考点：正切函数的图象．专题：综合题．分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）的最小正周期为2π，排除B．解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选A点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC﹣A的大小为（）A ．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC的中点E，连接AE，PE，则∠AEP即为所求二面角的平面角．且AE=EP=，∵AP2=AE2+PE2，∴∠AEP=，故选C．点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x=sin（2x+θ）∴T==π故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos（1﹣x）≥arccosx的x的取值范围是（）A ．[﹣1，﹣]B．[﹣，0]C．[0，]D．[，1]考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．解答：解：arccos（1﹣x）≥arccosx 化为cos[arccos（1﹣x）]≤cos[arccosx]所以1﹣x≤x，即：x，又x∈[﹣1，1]，所以x的取值范围是[，1]故选D．点评：本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的图象（）A ．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位考点：反函数；函数的图象与图象变化．分析：本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．解答：解：利用指数式和对数式的互化，由函数y=log2（x+1）解得：x=2y﹣1则函数y=log2（x+1）（x＞﹣1）的反函数为y=2x﹣1（x∈R）即函数y=2x平移后的函数为y=2x﹣1，易见，只需将其向下平移1个单位即可．故选D点评：本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A ．20πB．25πC．50πD．200π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A ．（x﹣1）2（y﹣1）=1B．y=C．D．考点：参数方程的概念．专题：计算题．分析：由题意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．解答：解：∵曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），∴，∴将两个方程相乘可得，（x﹣1）2（1﹣y）=1，∴y=，故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A ．2 B．0 C．D．6考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时y min=0，故选B点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．11．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A ．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．解答：解：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．∵椭圆的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）故椭圆C的方程为故选A．点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A ．πB．2πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．解答：解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D点评：本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A ．①与④B．②与③C．①与③D．②与④考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f （b），对①②③④进行逐一验证即可得答案．解答：解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．14．（5分）不等式组的解集是（）A ．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜2.5}C．D．{x|0＜x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决．解答：解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D故选C点评：本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决．15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A ．150种B．147种C．144种D．141种考点：排列、组合的实际应用；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为4．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．解答：解：的展开式的通项为=令解得r=8∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为∴解得a=4故答案为4点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．18．（4分）的值为．考点：角的变换、收缩变换．专题：计算题；压轴题．分析：先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案为：点评：本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，是中档题．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：压轴题．分析：对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是①④解答：解：①，符合定理的条件故正确；②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正确；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，故正确命题的序号是①④．点评：本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数三角形式，化简复数，．然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．解答：解法一：，于是，，=因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．因为，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二：因为，所以z3=﹣i．因为，所以ω4=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．考点：等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和．专题：计算题．分析：先根据等比数列的通项公式分别求出a n和b n，再根据等比数列的求和公式，分别求得S n和S n﹣1的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．解答：解：，．分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==点评：本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明．专题：证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]因为所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以．点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．。
1977年普通高等学校招生考试(北京市)理科数学试题含答案
直线与椭圆有一个交点的充要条件是m = 5,这时直线与椭圆相切.
直线与椭圆有两个交点的充要条件是 : −m2 + 25 0 即m 5,
这时直线与椭圆相割.
直线与椭圆没有交点的充要条件是：-m2+25<0,即|m|>5
参考题
f
(x)
=
x
2
sin
x
(x 0)的导数.
1．（1）求函数
0 (x = 0)
100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100
= 100 [(1.2)4 −1] = 100 1.0736 = 536.8(万元)
1.2 −1
0.2
7.已知二次函数 y=x2-6x+5
(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;
(2)画出它的图象;
(3)分别求出它的图象和 x 轴、y 轴的交点坐标 新疆 王新敞 奎屯
(2)求椭圆 x2
+
y2
= 1绕
x 轴旋转而成的旋转体体积 新疆 王新敞
奎屯
a2 b2
f (x) = (x2 sin ) = 2x sin + x2 cos ( − ) = 2x sin − cos .
x
x
x x2
x
x
当x = 0时,
f (0) = lim
f
(x
+
0)
−
f
(0)
=
lim
x 2
对于给定的ε= f(x0)/2>0，必存在δ>0, 当|x- x0|<δ时，有|f(x)-
f(x0)|< f(x0)/2,从而 f(x)> f(x0)- f(x0)/2= f(x0)/2>0
(详细解析)1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1997年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）一．选择题：本大题共15小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（15）题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合{}02M x x =≤<|，集合{}2230N x x x =--<|，集合MN =A ．{}10<≤x xB ．{}20<≤x xC ．{}10≤≤x xD ．{}20≤≤x x 【答案】B【解析】方法一：∵{}13N x x =<<|，则M N ⊂，∴M N M =．方法二：∵{}13N x x =<<|，∴{}{}{}021302M N x x x x x x =≤<<<=≤<||．2．如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，那么系数a = A ．3- B ．6- C ．23- D ．32 【答案】B【解析】由平行关系条件得231a =-，解得6a =．3．函数11tan()23y x π=-在一个周期内的图像是【答案】A 【解析】由于112232x πππ-<-<，所以533x ππ-<<，又正切函数在定义域内为增函数，A 正确．4．已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且2AB AC BC ===，则以BC 为棱，以面BCD与面BCA 为面的二面角的大小是 A． B ．1arccos 3C ．2πD ．32π由题设可知AB AC BD DC ====，2BC AD ==．取BC 中点M ．连结,AM DM ．则,AM BC DM BC ⊥⊥．所以AMD ∠就是所求的二面角．在AMD ∆中，222AM DM AM DM AD ==+=．易知这个三角形是一个等腰直角三角形，即2AMD π∠=，所以这个二面角是2π．5．函数sin(2)cos 23y x x π=-+的最小正周期是A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 【答案】B【解析】2(2)32sin(2)cos 2sin(2)sin(2)2sin 3322x x y x x x x πππππ-+-=-+=-+-= 2(2)5532cos 2sin(2)cos()2sin(2)cos 212121212x x x x ππππππ---⋅=-⋅-=--⋅，所以函数的最小正周期是π．6．满足arccos(1)arccos x x -≥的x 的取值范围是 A ．1[1,]2-- B ．1[,0]2- C ．1[0,]2 D ．1[,1]2【答案】D【解析】由于arccos [0,]y x π=∈，且为减函数，所以11,1x x x -≤≤-≤，解得1[,1]2x ∈．7．将2xy =的图像A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ．先向下平行移动1个单位再作关于直线y x =对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+的图像． 【答案】D【解析】函数2log (1)y x =+的反函数为21xy =-，D 正确．8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 A． B． C ．50π D ．200π 【答案】C【解析】由题设可得球的半径为22R ==，则表面积是2450R ππ=．9．曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x （t 是参数，0t ≠），它的普通方程是 A ．2(1)(1)1x y --= B ．()()221x x y x -=-C ．()1112--=x y D ．112+-=x xy 【答案】B【解析】由11x t =-得11t x =-，所以211()1y x =--，即21()11y x=--，所以 ()()221x x y x -=-．10．函数2cos 3cos 2y x x =-+的最小值为 A ．2 B ．0 C ．41- D ．6 【答案】B【解析】2231cos 3cos 2(cos )24y x x x =-+=--，由1cos 1x -≤≤，所以当1cos 2x =时，函数取得最小值为231(1)024--=．11．椭圆C 与椭圆()()1429322=-+-y x 关于直线0x y +=对称，椭圆C 的方程是A ．()()1934222=+++y x B ．()()1439222=-+-y xC ．()()1439222=+++y x D ．()()1934222=-+-y x【答案】A【解析】设椭圆C 上一点(,)x y ，其关于直线0x y +=对称的对称点为(,)y x --，代入方程()()1429322=-+-y x 并整理得()()1934222=+++y x ．12．圆台上、下底面积分别为,4ππ，侧面积为π6，这个圆台的体积是A ．332π B ．π32 C ．637π D ．337π【答案】D【解析】圆台上、下底半径分别为1,2，由侧面积公式(12)6S l ππ=+=得母线长2l =，所以高h =1(24)33V πππ=++=．13．定义在区间()+∞∞-,的奇函数()f x 为增函数；偶函数()g x 在区间[0,)+∞的图像与()f x 的图像重合，设0a b >>，给出下列不等式：①()()()()f b f a g a g b -->-- ②()()()()f b f a g a g b --<-- ③()()()()f a f b g b g a -->-- ④()()()()f a f b g b g a --<-- 其中成立的是A ．①与④B ．②与③C ．①与③D ．②与④ 【答案】C【解析】本小题考查函数的奇偶性与不等式，由条件知数()g x 在区间(),0-∞上是减函数，()f x 在区间(),0-∞上为增函数，作图并结合对称性可知①与③正确．14．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330 的解集是A ．{}02x x << B ．{}5.20<<x x C ．{}60<<x x D ．{}30<<x x【答案】C【解析】当02x <≤时得3232x x x x -->++，解得02x <≤；当2x >时得3232x xx x-->-++，解得2x <<故答案为C ．15．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 A ．150种 B ．147种 C ．144种 D ．141种 【答案】D【解析】间接法：每个面内的6个点中任意4个点都共面有464C 种，每条棱与相对棱中点共面的有6种，各棱中点中四点共面的有3种，故满足条件的取法有44106463141C C ---=．【本题难度】较难．第Ⅱ卷 （非选择题共85分）二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知9a x ⎛- ⎝的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为 ． 【答案】4【解析】通项为3999221991()((1)()2r rr r r r r r r a T C C a x x ---+==-，由3932r -=得8r =，则884919(1)()24C a -=，所以4a =．17．已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=，则极点到该直线的距离是 ． 【答案】22 【解析】化为直角坐标方程为10x y +-=，原点到直线的距离为22． 18．︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为 ．【答案】32- 【解析】sin 7cos15sin8sin(158)cos15sin8sin15cos8sin15cos 7sin15sin8cos(158)sin15sin8cos15cos8cos15︒+︒︒︒-︒+︒︒︒︒︒===︒-︒︒︒-︒-︒︒︒︒︒tan 60tan 45tan15tan(6045)21tan 60tan 45︒-︒=︒=︒-︒===+︒︒19．已知,m l 是直线，,αβ是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l α⊥； ②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线； ③若,m l αβ⊂⊂，且l m ⊥，则βα⊥； ④若β⊂l ，且α⊥l ，则βα⊥； ⑤若,m l αβ⊂⊂，且//αβ，则//m l ．其中正确的命题是序号是 ．（注：把你认为正确的序号都．填上） 【答案】①④．注：第（19）题多填、漏填和错填均给0分．【解析】略．三．解答题：本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）已知复数1,2z i ω=-=+．复数23,z z ωω在复数平面上所对应的点分别为,P Q ．证明OPQ ∆是等腰直角三角形（其中O 为原点）． 【解】本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．解法一：1cos()sin()2266z i i ππ=-=-+-， 4sin 4cos 2222ππωi i +=+=， 于是cossin1212z i ππω=+，cos()sin()1212z i ππω=-+-，2333[cos()sin()](cos sin )3344z i i ππππω=-+-⨯+125sin125cos ππi += 因为OP 与OQ 的夹角为2)12(125πππ=--，所以OP OQ ⊥．因为1.132====ϖϖz OQ z OP ，所以OQ OP =．由此知△OPQ 有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ 为等腰直角三角形． 解法二：因为)6sin()6cos(2123ππ-+-=-=i i z ，所以i z -=3． 因为4sin 4cos 2222ππωi i +=+=，所以14-=ω 于是i z z z z z z z z ==⋅=22433232ωωωωωωωω，由此得,OP OQ OP OQ ⊥=． 由此知OPQ ∆有两边相等且其夹角为直角，故OPQ ∆为等腰直角三角形．21．（本小题满分11分）已知数列{}{},n n a b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为,p q ，其中p q >，且1,1p q ≠≠．设n n n b a c +=，n S 为数列{}n c 的前n 项和．求1lim-∞→n nn S S ．【解】本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．满分11分．11(1)(1)11n n n a p b q S p q --=+--，)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(1111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S ． 分两种情况讨论．（ⅰ）1p >．∵0,01qp q p>><<， 111111111111[(1)(1)(1)()]limlim 11[(1)(1)(1)()]n nn n n nn x n n n n n n q p a q b p S p p pq S p a q b p p p p-→∞→∞-------+--=--+-- 11111111111(1)(1)(1)[()](1)lim 11(1)(1)(1)(1)[()]n nn n n n n q a q b p a q p p pp p p q a q a q b p p p p→∞-----+---=⋅=⋅=---+--．（ⅱ）1p <．∵01q p <<<，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)lim lim 1(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n S a q p b p q a q b p S a q p b p q a q b p --→∞→∞---+------===--+------22．（本小题满分12分）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时．已知汽车每小时的．．．．运输成本．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比、比例系数为b ；固定部分为a 元．（I ）把全程运输成本．．．．．．y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （II ）为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？ 【解】本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分． （Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs，全程运输成本为)(2bv vaS v S bv v S a y +=⋅+⋅= 故所求函数及其定义域为],0(),(c v bv vaS y ∈+=（Ⅱ）依题意知,,,S a b v 都为正数，故有ab S bv vaS 2)(≥+当且仅当,bv v a=．即bav =时上式中等号成立 若c b a≤，则当bav =时，全程运输成本y 最小， 若c ba>，则当],0(c v ∈时，有 )()(bc c a S bv v a S +-+)]()[(bc bv c a v a S -+-==))((bcv a v c vcS-- 因为0c v -≥，且2a bc >，故有20a bcv a bc >≥->，所以)()(bc caS bv v a S +≥+，且仅当v c =时等号成立， 也即当v c =时，全程运输成本y 最小．综上知，为使全程运输成本y 最小，当c b ab ≤时行驶速度应为bab v =； 当c bab>时行驶速度应为v c =．23．（本小题满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点． （I ）证明1AD D F ⊥； （II ）求AE 与1D F 所成的角； （III ）证明面AED ⊥面11A FD ；（IV ）设12AA =，求三棱锥11F A ED -的体积11F A ED V -．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分．（Ⅰ）∵1AC 是正方体，∴AD ⊥面1DC ．又1D F ⊂面1DC ，∴1AD D F ⊥．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结1,A G FG ．因为F 是CD 的中点，所以,GF AD 平行且相等，又11,A D AD平行且相等，所以11,GF A D 平行且相等， 故11GFD A 是平行四边形，11//A G D F ．设1A G 与AE 相交于点H ，则1AHA ∠是AE 与1D F 所成的角， 因为E 是1BB 的中点，所以11,Rt A AG Rt ABE GA A GAH ∆≅∆∠=∠， 从而190AHA ∠=︒，即直线AE 与1D F 所成角为直角． （Ⅲ）由（Ⅰ）知1AD D F ⊥，由（Ⅱ）知1AE D F ⊥，又ADAE A =，所以1D F ⊥面AED ．又因为1D F ⊂面11A FD ，所以面AED ⊥面11A FD ． （Ⅳ）连结1,GE GD ．∵11//FG A D ，∴//FG 面11A ED ，∴GE A D ED A G ED A F V V V 111111---==． ∵12AA =，∴S S GE A =∆1正方形ABB 1A 12321=--∆∆GBE AG A S S ． 123231311111111=⨯⨯=⨯⨯==∆--GE A GE A D ED A F S D A V V ．24．（本小题满分12分）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足10x <21x a<<． （I ）当1(0,)x x ∈时，证明1()x f x x <<；（II ）设函数()f x 的图像关于直线0x x =对称，证明102x x <．【解】本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．证明：（Ⅰ）令()()F x f x x =-．因为12,x x 是方程()0f x x -=的根，所以12()()()F x a x x x x =--．当1(0,)x x ∈时，由于12x x <，得12()()0x x x x -->，又0a >，得12()()()0F x a x x x x =-->，即()x f x <．1111212()[()]()()()[1()]x f x x x F x x x a x x x x x x a x x -=-+=-+--=-+- 因为a x x x 1021<<<<，所以12220,1()110x x a x x ax ax ax ->+-=+->->． 得1()0x f x ->．由此得1()f x x <． （Ⅱ）依题意知ab x 20-=， 因为12,x x 是方程()0f x x -=的根，即12,x x 是方程2(1)0ax b xc +-+=的根． ∴1212120()111,222a x x ax ax b b x x x a a a a+-+--+=-=-==， 因为21ax <，所以22110x a ax x =<．25．（本小题满分12分） 设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程．【解】本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分．解法一：设圆的圆心为(,)P a b ，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为,b a由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2，故222r b =，又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有221r a =+．从而得2221b a -=． 又点(,)P a b 到直线20x y -=的距离为52b a d -=， 所以2222222222524442()21d a b a b ab a b a b b a =-=+-≥+-+=-=，当且仅当a b =时上式等号成立，此时251d =，从而d 取得最小值．由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于222r b =知2=r ．于是，所求圆的方程是22(1)(1)2x y -+-=，或22(1)(1)2x y +++=．解法二：同解法一，得52b a d -=，∴d b a 52±=-， 得2225544d bd b a +±=，①将2221a b =-代入①式，整理得 01554222=++±d db b ②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即28(51)0d ∆=-≥，得251d ≥．∴25d 有最小值1，从而d 有最小值55． 将其代入②式得22420b b ±+=．解得1b =±．将1b =±代入222r b =，得22r =．由221r a =+得1a =±．综上21,1,2a b r =±=±=． 由21a b -=知,a b 同号．于是，所求圆的方程是22(1)(1)2x y -+-=，或22(1)(1)2x y +++=．。
1997年普通高等学校招生全国统一考数学试题含答案(文)
三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
(x + 2)2 (y + 3)2
(A)
+
=1
4
9
(x − 2)2 (y − 3)2
(B)
+
=1
9
4
(C) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 1
9
4
(D) (x − 2)2 + (y − 3)2 = 1
4
9
(12) 圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为 6π，这个圆台的体积是 ( )
2 3
③ f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；④ f(a)－f(－b)<g(b)－g(a)．
(A) ①与④
(B) ②与③
(C) ①与③
(D) ②与④
x 0
(14)
不等式组
3
−
x
3 + x
2−x 2+ x
的解集是
(A) {x|0<x<2}
(B) {x|0<x<2．5}
()
(C) {x|0<x< 6 }
s
y=a·
+bv2·s
=S(
a
+bv)
v vv
故所求函数及其定义域为
y = S( a +bv)，v∈ (0，c
数学试卷77年普通高等试全国各省市高考数学试题及解答(汇总
1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。
经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。
2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。
解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。
4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。
解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。
过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。
6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。
解：如图（列表，描点）略。
8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。
解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。
由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。
1977年北京市高考数学试卷（理科）【最新精选】
1977年北京市高考数学试卷（理科）一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）（1977•北京）解方程．2．（10分）（1977•北京）计算：．3．（10分）（1977•北京）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．4．（10分）（1977•北京）证明：．5．（10分）（1977•北京）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．6．（10分）（1977•北京）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7．（10分）（1977•北京）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．8．（10分）（1977•北京）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．9．（10分）（1977•北京）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．10．（10分）（1977•北京）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．11．（1977•北京）求函数f（x）=的导数．12．（1977•北京）（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．1977年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）（1977•北京）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先要保证方程有意义即x﹣1≥0，3﹣x≥0，再将方程两边平方，解不等式组求出x的值即为方程的解．解答：解：原方程同解于，解得x=2故方程的解为x=2点评：本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义．2．（10分）（1977•北京）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：由题意根据根式与分数指数幂的运算法则进行计算．解答：解：原式=+++1=．点评：此题主要考查根式分母的有理化和分数指数幂的化简，比较简单．3．（10分）（1977•北京）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的运算法则，将欲求lg．的式子转化成条件中的式子：“lg2=0.3010，lg3=0.4771”来表示即可．解答：解：∵lg=lg．又∵知lg2=0.3010，lg3=0.4771，∴lg=lg=0.8266．答案是：0.8266．点评：本题主要考查对数的运算性质，切实掌握对数的运算律是解题的关键．4．（10分）（1977•北京）证明：．考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：先看左边，把正切换成正弦和余弦的形式，利用同角函数三角函数的基本关系化简整理，结果为右边，进而证明原式．解答：证：∵（1+tana）2===∴原式成立．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系．解题的关键是熟练记忆同角三角函数基本关系的中各种公式，并灵活运用．5．（10分）（1977•北京）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：求出两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点坐标，两点式写出直线方程，将它化为一般式．解答：解：由x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0联立方程组并解得：x=2，y=5．∵直线过点（2，5）和（1，1）∴所求的直线方程为，即：4x﹣y﹣3=0．点评：本题考查用两点式求直线方程．6．（10分）（1977•北京）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？考点：数列的应用；等比数列的前n项和．专题：应用题．分析：由题意知七月份到十月份总产值为：100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100，然后利用等比数列求和公式进行计算即可．解答：解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100=．答：今年七月份到十月份总产值是536.8万元．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考，合理地建立方程．7．（10分）（1977•北京）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数图象与坐标轴的交点坐标．8．（10分）（1977•北京）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：根据题意可分别可知AC，∠BAC和∠ABC，进而利用正弦定理求得BC．解答：解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=45°，∠ABC=30°．由正弦定理可得（海里）．答：船和灯塔的距离CB为20海里．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的方法一般是利用三角函数中的基本公式，如正弦定理，余弦定理，勾股定理，面积公式等建立数学模型，然后求得问题的解．9．（10分）（1977•北京）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．考点：相似三角形的性质；与圆有关的比例线段。
七七年高考数学试卷
七七年高考数学试卷
1977年高考数学试卷（人教版，示例）
一、解答题（每题10分）
1. 化简：(√(6)+√(2))/(√(2))
2. 解不等式：2x - 5 < 3x + 4
3. 已知三角形的两边长分别为3和5，这两边的夹角的余弦值是方程5x^2-7x - 6 = 0的根，求这个三角形的面积。
4. 某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份的总产值是多少？
5. 已知二次函数y = x^2+bx + c的图象过点(1,0)与(2,5)，求这个二次函数的解析式。
6. 已知圆的方程为x^2+y^2= 4，求过点(2,2)的圆的切线方程。
7. 已知等差数列{a_n}中，a_1=1，a_3=-3，求数列{a_n}的通项公式。
8. 已知sinα=(3)/(5)，α是第二象限角，求cosα和tanα的值。
9. 一个正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的底面边长为a，高为h，求它的体积。
10. 有一个等比数列{a_n}，a_1+a_2= 3，a_4+a_5=24，求这个等比数列的公比q。
数学试卷77年普通高等试(黑龙江省)数学试题及答案
1977年普通高等学校招生考试数学(黑龙江省)试题及答案1．解答下列各题：（1）解方程.443=+x 解：方程两边平方得,0432=--x xx=4,x=-1（增根） 故 x=4（2）解不等式|x|<5. 解：-5<x<5.（3）已知正三角形的外接圆半径为36cm ，求它的边长解：设正三角形的边长为a ，则).(18)(9233630cos 21cm a cm R a =∴=⋅=︒= 2．计算下列各题： （1）.222a ma m +-解：当.2,22a m a ma m a m -=+-≥时当.2,22m a a ma m a m -=+-<时（2）︒⋅︒+︒⋅︒3sin 12cos 3cos 78cos （不查表求值） 解：原式=)3045sin(15sin 3sin 12cos 3cos 12sin ︒-︒=︒=︒⋅︒+︒⋅︒.4)13(230sin 45cos 30cos 45sin -=︒︒-︒︒=（3）)6arcsin(cos π 解：原式=.323arcsinπ=3．解下列各题： （1）解方程.189321=-+x x解：18331=-+x x.2,393,18)13(32=∴===-x x x （2）求数列2，4，8，16，……前十项的和解：由题设可知，此等比数列的首项21=a 公比2=q.204612)12(21)1(1010110=--⋅=--=∴q q a S4．解下列各题：（1）圆锥的高为6cm ，母线和底面半径成300角，求它的侧面积解：由题设条件可知，圆锥底面半径R=,36306=︒ctg圆锥母线,1230sin 6=︒=l ∴侧面积)(3722cm Rl S π=π=（2）求过点（1，4）且与直线0352=+-y x 垂直的直线方程解：因为直线0352=+-y x 的斜率为52，所以所求直线的斜率为2-求直线的方程为1325=-+y x5．如果△ABC 的∠A 的平分线交BC 于D ，交它的外接圆于E ，那么 AB ·AC=AD ·AE证：连结BE （如图）∵∠CAE=∠EAB ，∠ACB=∠AEB ， ∴△ACD ∽△AEB ，∴.ABADAE AC =∴AB ·AC=AD ·AE6．前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？解：设后两年造林面积的年平均增长率为x ，依照题意可得200+200（1+x ）+200（1+x ）2=728， 200（1+x)2+200（1+x ）-528=0， （1+x)2+（1+x ）-2.64=0， [（1+x ）-1.2][（1+x ）+2.2]=0， 1+x=1.2，x=0.2=20%1+x=-2.2，x=-3.2（不合题意，舍去） 故后两年造林面积的年平均增长率为20%7．解方程).5lg 1()1622lg(-=-+x x x 解：,2lg 2lg )5lg 1()1622lg(x x x x x ==-=-+.8,162,21622=∴=∴=-+∴x x x x x8．已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm ，面积为54cm 2，求三边的长B解：设三角形三边的长分别为,,,d a a d a +-则依题意有⎩⎨⎧=---+-=+++-)2(54)18)(18)(18(18)1(36)()( d a a d a d a a d a 由（1）得).(12cm a =代入（2）得,54)6(6)6(18=-⋅⋅+d d.3,9,273622±===-d d d故此三角形的三边长分别为9cm,12cm,15cm.9．（参考题）如图，AP 表示发动机的连杆，OA 表示它的曲柄A 在圆上作圆周运动时，P 在x 轴上作直线运动，求P 点的横坐标为什么当α是直角时，P ∠是最大？ 解：过A 作AB ⊥OP 设x 为点P 的横坐标，则 x=OP=OB+BP=α⋅-+α222sin cos R l R因为∠P 随连杆位置的变化而改变，但连杆上下摆动的幅度是一样的，所以∠P 的最大值是一样的故可以考虑π≤α≤0内∠P 变化的情况，由正弦定理得α⋅=∠sin sin lRP 在π≤α≤0内，当2π=α时，αsin 的值最大，因而P ∠sin 的值也最大∵OA ＜AP ，∴∠P ＜α，即∠P 总是锐角在20π<∠<P 内，P ∠sin 是单调上升的，所以2π=α时，∠P 最大10．（加试题）求曲线x y sin =在],0[π上的曲边梯形绕x 轴旋转一周所A形成的旋转体的体积解：设旋转体的体积为V ，则.202sin 2)2(cos 2222cos 222cos 1sin 2220002π=π⋅π-π=⋅π-π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ=-π=π=⎰⎰⎰⎰ππππx x xd xdx dx x xdx v古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
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【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答（共34页）【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答 ...................................................... 1 北京市（理科） ............................................................................................................................... 1 北京市（文科） ............................................................................................................................... 3 上海市（理科） ............................................................................................................................... 5 上海市（文科） ............................................................................................................................... 8 天津市 ............................................................................................................................................ 10 河北省 ............................................................................................................................................ 13 福建省（理科） ............................................................................................................................. 17 福建省（文科） ............................................................................................................................. 23 黑龙江省......................................................................................................................................... 26 江苏省 .. (29)北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。
经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。
2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。
解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。
4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。
解：由 x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。
过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。
6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;(2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。
解：如图（列表，描点）略。
8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。
解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。
由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。
证：联接EC,在△ABD 和△AEC 中，∠BAD=∠EAC ，∠ABD=∠AEC ，∴△ABD~△AEC,∴AD ·AE=AC ·AB10.当m 取哪些值时，直线y=x+m 与椭圆191622=+y x 有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象。
解：直线与椭圆的交点适合下面方程组：y=x+m ……………………………①).(220212220Bsin A sin AC CB 海里=⋅=⋅=22……………………………②将①代入②得.,5025:.,5)25(576)14416(254)32(,0)14416(3225,19)(1622222222这时直线与椭圆相割即的充要条件是直线与椭圆有两个交点这时直线与椭圆相切的充要条件是直线与椭圆有一个交点其判别式为整理可得<>+-±=-=-⋅⋅-=∆=-++=++m m m m m m m mx x m x x 直线与椭圆没有交点的充要条件是：-m 2+25<0,即|m|>5 参考题1．（1）求函数 (2)求椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转而成的旋转体体积。
解：（1）当x ≠0时，2.(1)试用ε-δ语言叙述“函数f(x)在点x=x 0处连续的定义。
（2）试证明：若f(x)在点x=x 0处连续，且f(x 0)>0,则存在一个x 0的（x 0-δ，x 0+δ），在这个邻域内，处处有f(x)>0。
（1）答：略。
（2）证：由已知f(x)在点x=x 0处连续，且f(x 0)>0，所以，由定义，对于给定的ε= f(x 0)/2>0，必存在δ>0, 当|x- x 0|<δ时，有|f(x)- f(x 0)|< f(x 0)/2,从而f(x)> f(x 0)- f(x 0)/2= f(x 0)/2>0 即在（x 0-δ，x 0+δ）内处处有f(x)>0北京市（文科）1．计算：.)971(33211-+-解：原式=0⎪⎩⎪⎨⎧=≠π=.)0(0)0(sin )(2的导数x x x x x f ⎰⎰--→∆→∆→∆π=-π=π=⎪⎩⎪⎨⎧=≠ππ-π='∴=∆π∆=∆-∆π∆=∆-+∆='=ππ-π=π-π+π='π='aa aa x x x ab dx ax b dx y V x xx x x f xx x x x xf x f f x xx x x x x x x x x x f .34)1()2(0)(x 0)0(.cos sin 2)(.0sin lim 0sinlim)0()0(lim)0(,0.cos sin 2)(cos sin 2)sin ()(222220200222旋转体的体积时当2．化简：2626-+.32:+=原式解3．解方程.1241112--=+-x x x 解：略，原方程的解为x=2。
4．不查表求sin1050的值。
解：.462)4530sin(75sin 105sin +=︒+︒=︒=︒ 5．一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm ，底面边长是2cm ，求它的体积。
解：体积V=sh=)(10101060sin 22213cm =⋅︒⋅⋅⋅ 6.一条直线过点（1，-3），并且与直线2x+y-5=0平行，求这条直线的方程。
解：∵直线2x+y-5=0的斜率k=-2,∴所求直线斜率k ＇=-2。
故过点（1，-3）且与已知直线平行的直线为y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.7．证明：等腰三角形两腰上的高相等。
证：如图，在△BDC 与△CEB 中，∵∠DBC=∠ECB ，∠BDC=∠CEB=900,BC=BC ，∴△BDC ≌△CEB ，CD=BE 。
8．为了测湖岸边A 、B 两点的距离，选择一点C ，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=1200，求AB 。
解：由余弦定理可得AB=70米。
9．在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？ 解：设此数列为2，x,y,30。
于是有⎪⎩⎪⎨⎧-=-=yx y xy x 302解得x=6,y=18. 故插入的两个正数为6，18，因此，所成的数列为2、6、18、30。
10．已知二次函数y=x 2-4x+3.（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; （2）画出它的图象;（3）求出它的图象与直线y=x-3的交点坐标。
解：（1）y=(x-2)2-1顶点坐标为（2，-1），对称轴方程为x=2.(2)图略。
（3）解方程得交点坐标为（2，-1）和（3，0）。
B C上海市（理科）1．（1）化简()2(222222b a a b a a b ab a a b a a --+÷++-+ 解：原式=.)1()1(b a a b b a a b a a b a a ba a +-=--++-+ （2）计算2log 9log 1.0lg 2lg 25lg 2132⨯--+解：原式=21-（3）i =-1，验算i 是否方程2x 4+3x 3-3x 2+3x-5=0的解。
解：令x=i,左边=2-3i+3+3i-5=0所以i 是所给方程的一个解。