优化方案·高中同步测试卷·人教B数学必修5：高中同步测试卷(五)-Word版含答案
【优化方案】2020高中数学 模块综合检测 新人教B版必修5
(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A ．{x |x ＜－2} B ．{x |x ＞3} C ．{x |－1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3}解析：选C.M ＝{x |－2＜x ＜2}，N ＝{x |－1＜x ＜3}，故M ∩N ＝{x |－1＜x ＜2}． 2．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1且B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或32 答案：D3．在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a 2＜b 2＋c 2，则A 的取值范围是( ) A ．90°＜A ＜180° B ．45°＜A ＜90° C ．60°＜A ＜90° D ．0°＜A ＜90°解析：选C.由b 2＋c 2－a 2＞0得cos A ＞0，故A ＜90°，又A 为不等边三角形中的最大角，故A ＞60°.4．若两个等差数列{a n }、{b n }前n 项和分别为A n 、B n ，满足A n B n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N ＋)，则a 11b 11的值为( )A.74B.32C.43D.7871解析：选C.a 11b 11＝2a 112b 11＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝n a 1＋a 212n b 1＋b 212＝A 21B 21＝7×21＋14×21＋27＝43.5．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，若b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前5项和等于( )A ．1B.56 C.16D.130解析：选B.由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，得{a n }为等差数列，公差d ＝a 2－a 1＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)×1＝n ，∴b n ＝1a n a n ＋1＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，∴{b n }的前5项和为S 5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝56.6．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝2 3.则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B.32 C ．1 D.12解析：选C.x ＝log a 3，y ＝log b 3， 则1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3(a ＋b 2)2＝1，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以1x ＋1y的最大值为1.7．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) A ．2∈M,0∈M B ．2∉M,0∈M C ．2∈M,0∉M D ．2∉M,0∉M解析：选A.M ＝{x |x ≤k 4＋4k 2＋1}，∵k 4＋4k 2＋1＝k 4－1＋5k 2＋1＝k 2－1＋5k 2＋1＝k 2＋1＋5k 2＋1－2≥25－2>2.∴2∈M,0∈M .8．设等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，则下列结论中正确的是( ) A ．S n ＝na n －3n (n －1) B ．S n ＝na n ＋3n (n －1) C ．S n ＝na n －n (n －1) D ．S n ＝na n ＋n (n －1) 解析：选C.因为a n ＝a 1＋(n －1)d ， 所以a 1＝a n －2(n －1)，所以S n ＝n a 1＋a n 2＝2a n －2n －12×n＝na n －n (n －1)．9．若一个等差数列前三项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项 解析：选A.设此数列为{a n }，则a 1＋a 2＋a 3＝34，a n ＋a n －1＋a n －2＝146， ∴3(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝60.又S n ＝n a 1＋a n 2，∴390＝60n 2，解得n ＝13.10．(2020年高考江西卷)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90解析：选C.由a 24＝a 3·a 7，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )． ∵d ≠0，∴2a 1＋3d ＝0.①∵S 8＝32，∴a 1＋a 8＝8，∴2a 1＋7d ＝8.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴S 10＝－3×10＋10×92×2＝60.11．在△ABC 中，若三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，则边b 所对的角为( ) A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．不能确定解析：选A.设公差为d .当d ＝0时，1a ＝1b ＝1c ，∴a ＝b ＝c ，B ＝60°.当d ＞0时，1a ＜1b＜1c，∴c ＜b ＜a ，B 为锐角，当d ＜0时，1a ＞1b ＞1c，∴a ＜b ＜c ，B 为锐角．∴B 为锐角．12．若△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，则f (x )的图象是( )A ．在x 轴的上方B ．在x 轴的下方C ．与x 轴相切D ．与x 轴交于两点解析：选A.由Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2＝4b 2c 2cos 2A －4b 2c 2＝－4b 2c 2sin 2A ＜0，故f (x )图象与x 轴无交点，又b 2＞0则图象在x 轴上方．二、填空题(本大题共4小题，把答案填写在题中横线上)13．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，那么数列{a n }的前6项和S 6＝________.解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2，∴S 6＝1·1－261－2＝63.答案：6314．(2020年高考北京卷)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x ≤4y ≤5，则s ＝y －x 的最小值为________．解析：如图画出可行域知，当直线过(4，－2)点时s min ＝－6.答案：－615．已知△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 的值为________．解析：依题意，得ab sin C ＝a 2＋b 2－c 2＋2ab .由余弦定理知：a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .∴ab sin C ＝2ab (1＋cos C )，即sin C ＝2(1＋cos C )．∵sin C 2cos C2＝2cos 2C2，又0°<C <180°，∴cos C 2≠0，∴sin C 2＝2cos C2，即tan C2＝2.∴tan C ＝2tanC21－tan 2C 2＝41－4＝－43.答案：－4316．设集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b ＝________.解析：A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，所以B ＝{x |－1≤x ≤4}，即－1,4是关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根，由此得a ＝－3，b ＝－4，故a ＋b ＝－7.答案：－7三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的三边长分别为a 、b 、c ，若a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，a ＝43，B ＝45°，求△ABC 的面积．解：因为a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，所以变形得(a ＋b )(a 2＋b 2－c 2－ab )＝0.因为a ＋b ≠0，所以a 2＋b 2－c 2－ab ＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab .根据余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又因为0°<C <180°，所以C ＝60°. 因为B ＝45°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(60°＋45°)＝75°.根据正弦定理得a sin A ＝bsin B， 所以b ＝a sin Bsin A ＝43×226＋24＝12－4 3. 根据三角形的面积公式得S △ABC ＝12ab sin C ＝12×43×(12－43)×32＝36－12 3.18．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋4x －5＜0的解集为B . (1)求A ∪B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∪B ，求ax 2＋x ＋b ＜0的解集．解：(1)解不等式x 2－2x －3＜0，得A ＝{x |－1＜x ＜3}解不等式x 2＋4x －5＜0， 得B ＝{x |－5＜x ＜1}， ∴A ∪B ＝{x |－5＜x ＜3}．(2)由x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－5,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 25－5a ＋b ＝09＋3a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－15， ∴2x 2＋x －15＜0，求得解集为{x |－3＜x ＜52}．19．△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . (1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)求cos B 的最小值．解：(1)证明：由正弦定理得sin A (1＋cos C )＋sin C (1＋cos A )＝3sin B⇒sin A ＋sin C ＋sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin B ⇒sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ⇒sin A ＋sin C ＝2sin B . 由正弦定理知a ＋c ＝2b ， 所以a ，b ，c 成等差数列．(2)cos B ＝a 2＋c 2－b22ac ＝a 2＋c 2－a ＋c 222ac＝3a 2＋3c 2－2ac 8ac ＝38·a 2＋c 2ac －14≥34－14＝12， 所以当a ＝c 时，(cos B )min ＝12.20.如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线．在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B 、C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8 s 后监测点A,20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速率是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(精确到0.01 km)． 解：(1)依题意，PA －PB ＝1.5×8＝12(km)， PC －PB ＝1.5×20＝30(km)，∴PB ＝(x －12) km ，PC ＝(x ＋18) km.在△PAB 中，AB ＝20 km ，由余弦定理，得cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB＝x 2＋202－x －1222x ·20＝3x ＋325x.同理cos ∠PAC ＝72－x3x.由于cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ， 即3x ＋325x ＝72－x 3x ，解得x ＝1327km.(2)作PD ⊥a ，垂足为D ，在Rt△PDA 中， PD ＝PA cos ∠APD ＝PA cos ∠PAB＝x ·3x ＋325x≈17.71(km)．所以，静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为 17．71 km.21．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋1n )a n ＋n ＋12n .(1)设b n ＝a n n，求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)由已知得b 1＝a 1＝1且a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n，即b n ＋1＝b n ＋12n ，从而b 2＝b 1＋12，b 3＝b 2＋122，…b n ＝b n －1＋12n －1(n ≥2)，于是b n ＝b 1＋12＋122＋…＋12n －1，＝2－12n －1(n ≥2)，又b 1＝1，∴{b n }的通项公式b n ＝2－12n －1.(2)由(1)知a n ＝n ·b n ＝2n －n2n －1，令T n ＝120＋221＋322＋…＋n 2n －1，则2T n ＝2＋220＋32＋…＋n2n －2，作差得：T n ＝2＋(120＋121＋…＋12n －2)－n 2n －1＝4－n ＋22n －1，∴S n ＝(2＋4＋6＋…＋2n )－T n＝n (n ＋1)＋n ＋22n －1－4.22．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >0y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．解：(1)由x >0，y >0，y ＝3n －nx >0，得0<x <3.所以x ＝1或x ＝2，即D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记直线y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与x ＝1，x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2，则y 1＝2n ，y 2＝n ，所以a n ＝3n (n ∈N ＋)．(2)因为S n ＝3(1＋2＋…＋n )＝3n n ＋12，所以T n ＝n n ＋12n.又T n ＋1T n ＝n ＋22n， 所以当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32.所以实数m 的取值范围为[32，＋∞)．。
【人教B版】数学《优化方案》必修5测试第1章1.2知能优化训练
1．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )A ．a 和cB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α解析：选D.在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中AC 即可看作基线，在△ABC 中，能够测量到的边角分别为b 和α.2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a kmC.2a km D ．2a km解析：选B.利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×(－12)＝3a 2. ∴AB ＝3a .3．在200 m 的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A.4003 mB.40033m C.20033 m D.2003m 解析：选A.如图，设塔高为AB ，山顶为C ，在Rt △CDB 中，CD ＝200，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∴BC ＝200cos30°＝40033.在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝120°，BC sin120°＝AB sin30°， ∴AB ＝BC ·sin30°32＝4003(m)． 4．一河两岸有A 、B 两地，为了测出AB 的距离，在河岸上选取一点C ，测得∠CAB ＝60°，∠ACB ＝45°，AC ＝60 m ，则AB ≈________.(精确到1 m)．解析：在△ABC 中，先由三角形的内角和定理求出∠B ，再由正弦定理求出AB .答案：44 m5．已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°方向，甲船从A 点以50海里/小时的速度向B 航行，同时乙船从B 点以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？解：如图所示，设航行x 小时以后，甲船到达C 点，乙船到达D 点，在△BCD 中，BC ＝100－50x (海里)(0≤x ≤2)，BD ＝30x (海里)，∠CBD ＝60°，由余弦定理得：CD 2＝(100－50x )2＋(30x )2－2(100－50x )·30x ·cos60°＝4900x 2－13000x ＋10000，作为二次函数考虑，当x ＝130002×4900＝6549(小时)时， CD 2最小，从而得CD 最小．故航行6549小时，两船之间距离最小．1．海面上有A ，B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成30°的视角，则B 岛与C 岛之间的距离是( )A ．10 3 海里 B.1063海里 C ．5 2 海里 D ．5 3 海里解析：选D.在由A ，B ，C 三岛组成的△ABC 中，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝90°， 所以BC ＝AB ·sin60°＝5 3.2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析：选B.∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，又∵AC ＝BC ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝180°－80°2＝50°， 又90°－50°－30°＝10°，∴塔A 在塔B 的北偏西10°.3．如图，D 、C 、B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D 、C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1)mD ．5(3＋1) m 解析：选D.在△ACD 中，由DC sin (45°－30°)＝AC sin30°得 AC ＝10×12sin (45°－30°)＝56－24＝5(6＋2)． 在△ABC 中，AB ＝AC ·sin45°＝5(6＋2)×22＝5(3＋1)．4. 如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角θ为2°，若θ的弧度数很小时，可取sin θ为θ的弧度数，由此可估计该气球的高BC 约为( )A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m解析：选B.由题意，知∠BAC ＝30°，所以BC ＝12AC .又圆的半径为3 m ，sin1°＝sin π180≈π180，所以AC ≈3×180π，即BC ＝12AC ≈270π≈86 (m)．5．(2011年温州质检)北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)．旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度为50秒，升旗手应以多少米/秒的速度升旗( ) A.15 B.35C.35D.65解析：选B.∠ABC ＝180°－60°－15°＝105°，∠CAB ＝180°－105°－45°＝30°.∴AB ＝BC sin ∠CAB·sin ∠BCA ＝106sin 30°·sin 45°＝20 3. 在Rt △OAB 中，OA ＝AB sin ∠ABO ＝203·sin 60°＝30.∴v ＝3050＝35(米/秒)．故选B. 6．在某个位置测得某山峰的仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后，测得仰角为原来的2倍，继续在地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 m解析：选B.如图所示，在三角形ABC 中，BC ＝AC ＝600.在三角形ADC 中，DC ＝AD＝2003，所以AD sin2θ＝AC sin (180°－4θ)＝AC sin4θ，所以2003sin2θ＝6002sin2θcos2θ， 所以cos2θ＝32，2θ＝30°，所以在三角形ADE 中， AE ＝AD sin4θ＝2003×32＝300(m)． 7．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．解析：如图所示，AB ＝60 km ，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝180°－30°－105°＝45°.由MB sin30°＝AB sin45°，得MB ＝30 2 km. 答案：30 2 km8.某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向(如图)，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°.在C 处测得距C 为31里的公路上有一人正沿公路向A 城走去，走了20里之后，到达D 处，此时CD 间的距离为21里，问此人还要走__________里路可到达A 城．解析：在△CDB 中，由余弦定理得cos ∠DBC ＝DB 2＋BC 2－CD 22·DB ·BC ＝2331， ∴sin ∠DBC ＝12331， ∴sin ∠ACB ＝sin[π－(∠DBC ＋∠DAC )]＝sin(∠DBC ＋π3)＝35362，在△CAB 中，由正弦定理得AB ＝BC ·sin ∠ACB sin ∠CAB＝35， ∴AD ＝35－20＝15.答案：159．如图所示的是曲柄连杆结构示意图，当曲柄OA 在水平位置时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针旋转α角时，P 和Q 之间的距离为x ，已知OA ＝25 cm ，AP ＝125 cm ，若OA ⊥AP ，则x ＝________(精确到0.1 cm)．解析：x ＝PQ ＝OA ＋AP －OP＝25＋125－252＋1252≈22.5(cm)．答案：22.5 cm10．在2008年北京奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出．由经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问游击手在这种布置下能否接着球？解：假设游击手能接着球，接球点为B ，游击手从A 点跑出，本垒为O 点，球速为v ，如图所示，则∠AOB ＝15°，OB ＝v t ，AB ≤v t 4.在△AOB 中，由正弦定理，得OB sin ∠OAB＝AB sin15°， 所以sin ∠OAB ＝OB sin15°AB≥v t v t 4·6－24＝6－ 2. 因为(6－2)2＝8－43>8－4×1.73>1，即sin ∠OAB >1，所以∠OAB 不存在，即游击手不能接着球．11．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是 3a n mile/h ，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解：如图，设经过t h 两船在C 点相遇，则在△ABC 中， BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B， 得sin ∠CAB ＝BC sin B AC＝at ·sin120°3at ＝323＝12. ∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．12．(2011年济南调研)A ，B ，C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，在A 处看见塔在东北方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路的距离．解：如图所示，设BN ＝x ，则PQ ＝x ，P A ＝2x ，∵AB ＝BC ，∴CM ＝2BN ＝2x ，PC ＝2PQ ＝2x .在△P AC 中，由余弦定理，得：AC 2＝P A 2＋PC 2－2P A ·PC ·cos 75°，即4＝2x 2＋4x 2－42x 2·6－24， 解得x 2＝2(4＋3)13. 过P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，则线段PD 的长即为塔到直路的距离．在△P AC 中，由12AC ·PD ＝12P A ·PC sin 75°， 得PD ＝P A ·PC ·sin 75°AC ＝22x 2·sin 75°2＝2·2(4＋3)13 ·6＋24＝7＋5313. 故塔到直路的距离为7＋5313km.高★考≈试*题;库。
优化方案2020高中数学第2章2.2.2第一课时知能优化训练新人教B版必修5
1．等差数列{a}中，S＝0，S＝144，则数列{a}的公差d等于() n612nA．1B．2C．3D．4分析：选D.利用等差数列乞降公式n n－1Sn＝na1＋ d.2．已知{n}是等差数列，其前102等于() a项和10＝70，10＝10，则其公差dS a21 A．－3B．－3 12 C.3 D.3分析：选101010×910D.∵S＝10a＋2×(－d)，a＝10，10×92∴10×10＋×(－d)＝70，解得d＝.233．在小于100的自然数中，全部被7除余2的数之和为() A．765B．665C．763D．663答案：Bd＝________.4．已知{a}是等差数列，a＋a＝6，其前5项和S＝10，则其公差n465分析：设首项为1，公差为，a d2a1＋8d＝6由题意得5×4，5a1＋2d＝101解得d＝2.1答案：(1) 2(2)5．等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.(3)求通项an；(4)令Sn＝242，求n.解：(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，a1＋9d＝30，a1＝12，得方程组a1＋19d＝50，解得d＝2.因此an＝2n＋10.(2)由n＝1＋nn－1·，n＝242得方程S na dS2n n－112n＋×2＝242，2解得n＝11或n＝－22(舍去)，即n＝11.1．设S是等差数列{a}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()n nA．13B．35C．49D．63分析：选C.由a6－a2＝4d＝11－3＝8，得d＝2.又a2＝3，∴a1＝1，7×6∴S7＝7×1＋×2＝49.22．若等差数列{a}的前5项和S＝25，且a＝3，则a等于()n527A．12B．13C．14D．15分析：选B.依据等差数列的前5项和5＝25和a 2＝3，可求出3＝5，从而求出公差，因此可得a7的值．S a d3．(2020年杭州质检)在等差数列{an}中，a1＋a2＋＋a50＝200，a51＋a52＋＋a100＝2700，则a1为()A．－20B．－C．－＋a＋＋a D．－)＝2700－200＝2500d，得d＝1.分析：选B.由(a)－(a＋a＋＋a5152101250又200＝a1＋a2＋＋a50＝50a1＋50×49×1，2得a1＝－20.5.4．等差数列{an}中，若a2＋a6＋a16为一个确立的常数，则以下各式中，也为确立的常数的是()A．S13B．S15C．S17D．S19151617分析：选B.∵a2＋a6＋a16＝3a1＋21d＝3·a8，18a1＋a15∴8为常数，∴15＝＝158为常数．a S2a5．某中学的“希望工程”募捐小组暑期时期走上街头进行了一次募捐活动，共获取捐款1200元，他们第1天只获取10元，以后采纳了踊跃举措，从第2天起，每天获取的捐款都比前一天多10元，此次募捐活动一共进行的天数为()A．14B．15C．16D．17分析：选B.由题意得，每日的捐钱组成了以10为首项，以10为公差的等差数列．设一共进行了n天，则n n－11200＝10n＋×10，解得n＝15或n＝－16(舍)．26．一个有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，全部项的和为234，则它的第七项等于()A．22B．21C．19D．18∴分析：选D.设数列为{an}，项数为 n，则∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146.∴5(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝36.na＋a n×361n，∴n＝13，又Sn＝234＝＝22∴1＋ 13＝36，aa又a1＋a13＝2a7，∴a7＝18.7．已知数列的通项 n ＝－5＋2，则其前n项和 n ＝________.a nS分析：由于a1＝－5×1＋2＝－3，an －an －1＝－5n ＋2－[－5(n －1)＋2]＝－5，因此{an}－5 2－n是首项为－3，公差为－5 的等差数列，因此 Sn ＝n2.答案：－5n 2－n2＝4，设S ＝a ＋a ＋＋a ，则S ＝8．在等差数列{a}中，a ＋a －a ＝8，a －an 3 71011 4n12n 13________. a7－7d ＝8分析：由题知，7d ＝4 a7＝12， S13＝13a7＝156. 答案：1569．(2020年高考辽宁卷)设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.a ，公差为d ，分析：设首项为11＋＝1 1＝－1ada由题意得，解得，2a＋5d＝8d＝21＝a9＝－1＋(9－1)×2＝15.＝答案：15＝10．在等差数列{an}中，公差为－2，且a1＋a4＋a7＋＋a97＝50，求a3＋a6＋a9＋＋＝a99的值．＝解：a3＋a6＋a9＋＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋＋a97)＋2d×3350＋66×(－2)＝－82.11．某市提出实行“校校通”工程的总目标：从2020年起用10年时间在全市中小学建成不一样标准的校园网．据展望，2020年该市用于“校校通”工程的经费为500万元，为了保证工程的顺利实行，计划每年投入的资本比上一年增添50万元，那么从2020年起的10年内，该市在“校校通”工程中总投入是多少？解：设从2020年起各年投入的资本(单位：万元)为n，an1则数列{a}是首项为a＝500，公差d＝50的等差数列．依题意，到2020年(n＝10)，投入的总金额为：101010－1×50＝7250(万元)．S＝10×500＋2即从2020～2020年，该市在“校校通”工程中总投入是7250万元．5na(n∈N＋)．12．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝5＋an(1)求a2，a3；(2)求证：数列{1{an}的通项公式；}成等差数列，并求数列an(3)设Tn是{an}的前n项和，T2n>Tn＋a对随意的n∈N＋恒建立，求a的取值范围．解：25a＝5＝5，(1)＝a15＋a15＋1655a25×6 5a3＝＝5 ＝.5＋a275＋6n＋1＝ 5an ＋1＋1 ＝5an ，(2)证明：a?anan ＋5an5＋an由a1＝1≠0，得an ≠0，得1＋ 55 11 1a＝ a ?－ a ＝，＋1 a ＋15nn nn∴数列 1是等差数列，11 n ＋4＝1＋( －1)·＝，aa n55nn5an ＝n ＋4. 55 5 5 5(3)令f(n)＝T2n －Tn ＝n ＋5＋n ＋6＋＋2n ＋3＋2n ＋4，则f(n ＋1)－f(n)＝2n ＋5＋55－n ＋52n ＋69＋25 ×5优化方案2020高中数学第2章2.2.2第一课时知能优化训练新人教B 版必修5 11 / 1111 ＝n>0， 2n ＋5 2n ＋6 n ＋5故f(n)是对于n 的增函数．∵f(1)＝T －T ＝a ＝ 56是f(n)的最小值，2 1 25a<f(1)＝6时，对随意的n ∈N＋恒建立．。
最新【高考必备】优化方案·高中同步测试卷·人教B数学必修4：高中同步测试卷(五)Word版含答案[精品原创]
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【高考必备】优化方案·高中同步测试卷·人教B数学必修4：高中同步测试卷（五）Word版含答案[精品原创]高中同步测试卷(五)章末检测三角函数(时间:100分钟，满分:120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)x1(y,sin是( ) 2πA(周期为4π的奇函数 B(周期为的奇函数 2C(周期为π的偶函数 D(周期为2π的偶函数35,,2(tan,π的值是( ) ,,33, B.3 A(33C(,3 D. 33(已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，则该扇形的面积为( )22A(4 cm B(6 cm22C(8 cm D(16 cm4(函数y,|sin x|的一个单调递增区间是( ) π,,A.，π B((π，2π) ,,2 3π,,C.π， D((0，π) ,,2πxx,,5(要得到y,cos,的图象，只需将y,sin的图象( ) ,,242ππA(向左平移个单位长度 B(向右平移个单位长度 22ππC(向左平移个单位长度 D(向右平移个单位长度 441226(若tan α,2，则sinα，cosα的值是( ) 355A(, B. 99C(5 D(,5π,,7(函数y,2cos3x,的图象的一个对称中心可能是( ) ,,44π3π,,,,A.,，0 B.，0 ,,,,43ππ,,,,C.，0 D.，0 ,,,,268(直线y,3与函数y,tan ωx(ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是( ) 2πA(π B. ωππC. D. ω2ω3π,,9(已知函数f(x),sin(ωx，φ)(ω>1，0?φ?π)是R上的偶函数，其图象关于点M，0,,4π，，对称，且在区间0，上是单调函数，则ω和φ的值分别为( ) ，，2 ππ2A.， B(2， 343ππ10C(2， D.， 232π,,,,10(已知函数f(x),sin(2x，φ)，其中φ为实数，若f(x)?f对x?R恒成立，且,,,,6π,,f>f(π)，则f(x)的解析式可以是( ) ,,2ππ,,,,A(f(x),sin2x， B(f(x),sin2x， ,,,,637π11π,,,,C(f(x),sin2x， D(f(x),sin2x， ,,,,66题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分(把答案填在题中横线上)3411(已知sin α,，cos α,,，则角α的终边在第________象限( 554744,,,,12(比较大小:cos,π________cos,π. ,,,,109π13(若f(x),2sin ωx(0<ω<1)在区间[0，]上的最大值为2，则ω,________. 314(有下列说法:,,kπ,,,?函数y,,cos 2x的最小正周期是π;?终边在y轴上的角的集合是αα,，k?Z;,,,2?在同一直角坐标系中，函数y,sin x的图象和函数y,x的图象有三个公共点;?把函数yππ,,,3sin2x，的图象向右平移个单位长度得到函数y,3sin 2x的图象;?函数y,,,36π,,sinx,在[0，π]上是减函数( ,,2其中，正确的说法是________(三、解答题(本大题共6小题，共60分(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15((本小题满分10分)已知角α的终边经过点P(,3，4)，求:2sin(π,α)?cos(2π,α)，1的值( 3ππ2cosα，sin(,α)?cos(，α)22 π16((本小题满分10分)已知函数f(x),3tan(2x,)( 3(1)求f(x)的定义域;ππ(2)比较f()与f(,)的大小( 28π,,17.(本小题满分10分)函数f(x),Asinωx,，1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻,,6π两条对称轴之间的距离为. 2(1)求函数f(x)的解析式;πα,,,,(2)设α?0，，f,2，求α的值( ,,,,2218((本小题满分10分)3π,,已知函数f(x),sin2x,，x?[0，π]( ,,4(1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数f(x)的图象;(2)写出y,f(x)的图象是由y,sin x的图象经过怎样的变换得到的(附加题19((本小题满分10分)已知函数f(x),Asin(ωx，φ)，B(A>0，ω>0)的一系列对应值如下表:ππ5π4π11π7π17πx , 6363636y ,1 1 3 1 ,1 1 3 (1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式;2ππ，，(2)根据(1)的结果，若函数y,f(kx)(k>0)的周期为，当x?0，时，方程f(kx),m恰，，33有两个不同的解，求实数m的取值范围(ππ,,，，20((本小题满分10分)已知a>0，函数f(x),,2asin2x，，2a，b，当x?0，时，,,，，62,5?f(x)?1.(1)求常数a，b的值;π,,(2)设g(x),fx，，且lg g(x)>0，求g(x)的单调增区间( ,,2参考答案与解析2πx1([导学号29610081] 【解析】选A.?y,sin，?T,,4π. 212xx,,?sin,,,sin， ,,22x是奇函数( ?y,sin2ππ35,,,,2([导学号29610082] 【解析】选B.tan,π,,tan12π,,tan,3. ,,,,333,,2r，l,8，r,2，,,,,3([导学号29610083] 【解析】选A.由题意得解得 ,l,2r，,l,4.,,112故S,lr,×4×2,4(cm)( 224([导学号29610084] 【解析】选C.作出函数y,|sin x|的图象，如图，观察图象知C正确，故选C.πx5([导学号29610085] 【解析】选A.将y,sin的图象向左平移个单位长度，得到y,22πππxxx,,,,,,sin，的图象，而y,sin，,cos, ,,,,,,242442πx,,,cos,，故选A. ,,24122sinα，cosα13226([导学号29610086] 【解析】选B.sinα，cosα, 223sinα，cosα112tanα，1×2，1353,,,. 2tanα，21，19ππkππ7([导学号29610087] 【解析】选A.令3x,,kπ，，得x,，(k?Z)(令k4234π3π3π,,,,3，则x,,π，,,，一个对称中心为,，0，故选A. ,,4448([导学号29610088] 【解析】选C.因为直线y,3与函数y,tan ωx图象的相邻交点的π距离为函数y,tan ωx的最小正周期，所以d,T,，故选C. ω9([导学号29610089] 【解析】选C.由f(x)是偶函数，得f(x),sin(ωx，φ)的图象关于yππ轴对称，得φ,，kπ，k?Z.又因为0?φ?π，所以φ,.由f(x)的图象关于点M对称，得223π,,f,0. ,,43π3ωππ3ωπ3ωππ,,,,由f,sin，,cos,0，得,，kπ，k,0，1，2，…，所以ω,,,,,442442π22,,(2k，1)，k,0，1，2，….当k,0时，ω,<1，不合题意;当k,1时，ω,2，f(x),sin2x，,,332πππ10，，,,，，在0，上是减函数;当k?2时，ω?，f(x),sinωx，在0，上不是单调函数，所，，,,，，2322 以ω,2，故选C.ππ,,,,,,,,10([导学号29610090] 【解析】选C.若f(x)?f对x?R恒成立，则f,,,,,,,,,66πππππ,,,,,,，φ,1，所以，φ,kπ，，k?Z，φ,kπ，，k?Z.由f>f(π)，可知sin(πsin,,,,,,332627π7π，φ)>sin(2π，φ)，即sin φ<0，所以φ,2kπ，，k?Z.当k,0时，φ,，代入f(x),sin(2x667π,,，φ)，得f(x),sin2x，，故选C. ,,6311([导学号29610091] 【解析】由sin α,>0，得角α的终边在第一、二象限;由cos α54,,<0，得角α的终边在第二、三象限，故角α的终边在第二象限( 5【答案】二477,,12([导学号29610092] 【解析】?cos,π,cosπ， ,,1010448,,cos,π,cosπ. ,,9978又y,cos x在[0，π]上单调递减，且π<π， 10978?cosπ>cosπ. 1094744,,,,即cos,,π>cosπ. ,,,,109【答案】7ππ13([导学号29610093] 【解析】0<ω<1，x?[0，] [0，]， 32ωπ故f(x),2sin,2， max3ωπωππ23?sin,，,，?ω,. 323443【答案】 42π14([导学号29610094] 【解析】对于?，y,,cos 2x的最小正周期T,,π，故?2对;对于?，因为k,0时，α,0，角α的终边在x轴上，故?错;对于?，作出y,sin x与yπ,,,x的图象，可知两个函数只有(0，0)一个交点，故?错;对于?，y,3sin2x，的图象向,,3ππππ，,,，,,右平移个单位长度后，得y,3sin2x,，,3sin 2x，故?对;对于?，y,sinx,,,,,，，6632,,cos x在[0，π]上为增函数，故?错(【答案】??415([导学号29610095] 【解】由题意:tan α,,. 322sin α?cos α，1α，12tan α，tan1原式,,,. ,2cosα，cos αsinα1，tan α3ππ16([导学号29610096] 【解】(1)由已知，得2x,?kπ，(k?Z)， 325π1所以x?kπ，(k?Z)， 2125π1所以f(x)的定义域为{x|x?kπ，，k?Z}( 212ππππππ7π(2)f(),3tan(π,),3tan(,)<0，f(,),3tan(,,),3tan(,),3tan(π,233843127π5π),3tan>0， 1212ππ所以f()<f(,)( 2817([导学号29610097] 【解】(1)?函数f(x)的最大值为3， ?A，1,3，即A,2.π?函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 2?最小正周期T,π.?ω,2.π,,故函数f(x)的解析式为y,2sin2x,，1. ,,6πα,,,,(2)?f,2sinα,，1,2， ,,,,62π1,,即sinα,,. ,,62ππππ?0<α<，?,<α,<. 2663πππ?α,,.故α,. 66318([导学号29610098] 【解】(1)列表如下:3π3πππ5π0 π 2x, , , 44224π3π5π7πx 0 π 888822y ,1 0 1 0 , , 22作图如下:3π3π,,(2)将y,sin x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得y,sinx,的图象， ,,443π1,,再将y,sinx,的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)得y,,,423π,,sin2x,的图象( ,,419([导学号29610099] 【解】(1)设f(x)的最小正周期为T，11ππ2π,,则T,,,,2π，由T,，得ω,1. ,,66ω,,B，A,3，A,2，,,,,又解得 B,A,,1，B,1，,,,,5ππ5πππ令ω?，φ,，即，φ,，解得φ,,， 62623π,,?f(x),2sinx,，1. ,,3π2π,,(2)?函数y,f(kx),2sinkx,，1的周期为. ,,33又k>0，?k,3.πππ2π，，，，令t,3x,，?x?0，，?t?,，. ，，，，3333π2π3，，，,如图，令sin t,s，则它在,，上有两个不同的解，故s?. ，1，，，,332π，，?方程f(kx),m在x?0，时恰好有两个不同的解，则m?[)，即实数m的3，1，3，，3取值范围是[3，1，3)(ππππ7，，，，,,20([导学号29610100] 【解】(1)?x?0，，?2x，?，π，?sin2x，?，，，，,,266661，，b，3a，b,，1，?f(x)?[]. ，，2,,b,,5，a,2，,,,,又?,5?f(x)?1，?? 3a，b,1，b,,5.,,,,π,,(2)由(1)知f(x),,4sin2x，,1， ,,6ππ,,,,?g(x),fx，,4sin2x，,1. ,,,,26π,,由lg g(x)>0，知g(x)>1，?4sin2x，,1>1， ,,6π1,,?sin2x，>， ,,62ππ5?，2kπ<2x，<π，2kπ，k?Z. 666πππ其中，g(x)单调递增时，有，2kπ<2x，?，2kπ，k?Z， 662 π即kπ<x?，kπ，k?Z， 6π,，?g(x)的单调增区间为kπ，，kπ，k?Z. ,，6。
高中同步创新课堂优化方案数学必修五答案
高中同步创新课堂优化方案数学答案_高中同步创新课堂优化方案数学必修五答案高中同步创新课堂优化方案数学必修五答案本试卷满分为150分，考试时间为120分钟第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.极坐标方程(-1)( )=0( 0)表示的图形是( )(A)两个圆(B)两条直线(C)一个圆和一条射线(D)一条直线和一条射线2.将曲线y=sin 2x按照伸缩变换x=2xy=3y后得到的曲线方程为()A.y=3sin xB.y=3sin 2xC.y=3sin12xD.y=13sin 2x3. 若复数( 为虚数单位)是纯虚数，则实数的值为( )A. B. C. D.4.六把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.245.盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从中随机地抽取4只，那么为()A.恰有1只坏的概率B.恰有2只好的概率C.4只全是好的概率D.至多2只坏的概率6. 某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，设X表示击中目标的次数，则等于()A. B. C. D.7.设，则等于()A.1.6B.3.2C.6.4D.12.88.设随机变量X的分布列如下表，且，则()0 1 2 30.1 0.1A.0.2B.0.1C.D.9. 已知、取值如下表：0 1 4 5 61.35.6 7.4画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值(精确到0.1)为( ) A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.810.如果随机变量～N(-1，2)，且P(-3-1)=0.4，则P(1)=( )A.0.2 B .0.3 C.0.4 D.0.111. 用数学归纳法证明12+22++(n-1)2+n2+(n-1)2++22+12=n(2n2+1)3时，从n=k到n=k+1时，等式左边应添加的式子是()A.(k-1)2+2k2B.(k+1)2+k2C.(k+1)2D.13(k+1)[2(k+1)2+1]12.调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：晚上白天合计男婴24 31 55女婴8 26 34合计32 57 89你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为()A.80%B.90%C.95%D.99%参考公式及数据：P( )0.25 0.15 0.1 0 0.05 0.025k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：(把答案填在答题纸对应的横线上，每小题5分，共20分。
【人教B版】数学《优化方案》必修5测试第2章2.3.2第一课时知能优化训练
1．首项为a 的数列{a n }既是等差数列，又是等比数列，则这个数列的前n 项和S n 为( )A ．a n －1B ．a nC ．(n －1)aD ．na解析：选D.既是等差数列又是等比数列的数列为常数列．2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172解析：选C.因为S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，所以S 4a 2＝(1＋q 2)(1＋q )q .又因为q ＝2，所以S 4a 2＝5×32＝152. 3．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30的值是( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：选B.∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝a 301q 15×29＝230， ∴a 101q 5×29＝210.又a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 101q 5×31＝a 101q 5×29·q 10，将a 101q 5×29＝210与q ＝2代入， ∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝210·210＝220，故选B.4．等比数列{a n }的首项为1，公比为q (q ≠1)，前n 项之和为S n ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n等于________．解析：S n ＝1－q n 1－q，数列{1a n }也为等比数列，首项为1，公比为1q .∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1－1q n1－1q＝1－q n (1－q )·q n －1＝S n qn －1. 答案：S nqn －15．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ＝1,2,3…)．(1)求证数列{S nn}是等比数列；(2)求证S n ＋1＝4a n .证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 整理，得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ， ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n .故数列{S nn}是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，于是S n ＋1＝4n ＋1n －1S n －1＝4a n (n ≥2)．又∵a 2＝3S 1＝3，故S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1， 故对于任意正整数n ≥1， 都有S n ＋1＝4a n (n ∈N ＋)．1．(2011年济南高二检测)等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n＝( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)C ．4n －1 D.13(4n －1)解析：选D.由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1知数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝2，数列{a 2n }也为等比数列，首项为1，公比为4.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1·(1－4n )1－4＝13(4n －1)．2．(2009年高考海南、宁夏卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( )A ．7B ．8C ．15D ．16 解析：选C.设公比为q ，则由4a 2＝a 3＋4a 1， 即4a 1q ＝a 1q 2＋4a 1，又a 1＝1，∴q 2－4q ＋4＝0， ∴q ＝2，∴S 4＝1－241－2＝15.3．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝12n (3n －2n )，那么这个数列( )A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列解析：选B.∵S n ＝12n (3n －2n )＝(32)n －1，∴a n ＝S n －S n －1＝12(32)n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12也适合上式．故选B.4．设S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1，则S n 的值为( )A ．2n －1B ．2n －1－1C ．2n －n －2D ．2n ＋1－n －2解析：选D.a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1 ＝1·(1－2n )1－2＝2n －1，∴S n ＝2(1－2n )1－2－n＝2n ＋1－n －2.5．已知等比数列{a n }的各项为均不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12.则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134解析：选C.由题知a n ＝e b n ，∴a 3＝e 18，a 6＝e 12，∴q 3＝a 6a 3＝e －6，∴q ＝e －2，∴a n ＝e 24－2n ，∴b n ＝24－2n ，∴{b n }是递减的等差数列，且b 12＝0， ∴S n 最大＝S 11＝S 12＝132.6．已知等比数列{a n }的公比q <0，前n 项和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( ) A ．S 4a 5＝S 5a 4 B ．S 4a 5>S 5a 4 C ．S 4a 5<S 5a 4 D ．无法确定解析：选 B.S 4a 5－S 5a 4＝S 4a 4q －(a 1＋qS 4)a 4＝S 4a 4q －a 1a 4－S 4a 4q ＝－a 1a 4.∵q <0，∴a 1和a 4异号，∴S 4a 5－S 5a 4>0，即S 4a 5>S 5a 4.7．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于其上面一层的2倍，一共点了381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．解析：由题意知每层所点灯的盏数构成一个等比数列，首项为x ，公比为12，则381＝x [1－(12)7]1－12，解得x ＝192.答案：1928．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.解析：设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝2a 1q 4＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12. 数列{a n ·a n ＋1}是首项为8，公比为14的等比数列，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n ·a n ＋1＝8(1－14n )1－14＝323(1－14n )．答案：323(1－14n )9．S n ＝112＋314＋518＋…＋[(2n －1)＋12n ]＝______.解析：S n ＝112＋314＋…＋[(2n －1)＋12n ]＝[1＋3＋…＋(2n －1)]＋(12＋14＋…＋12n )＝n 2＋1－12n .答案：n 2＋1－12n10．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝1，S 8＝17，求数列的公比q . 解：法一：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝1，S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝17，解得q ＝±2.法二：因为数列{a n }是等比数列， 所以有S n ＝kq n －k . 由S 4＝1，S 8＝17，得⎩⎪⎨⎪⎧kq 4－k ＝1，kq 8－k ＝17，解得q ＝±2. 11．已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1，n ＝1,2，….(1)证明：数列{1a n －1}是等比数列；(2)求数列{na n}的前n 项和S n .解：(1)证明：∵a n ＋1＝2a na n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n＝12＋12·1a n ，∴1a n ＋1－1＝12(1a n －1)，又∵a 1＝23，∴1a 1－1＝12，∴数列{1a n －1}是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知1a n －1＝12·12n －1＝12n ，即1a n ＝12n ＋1，∴n a n ＝n2n ＋n . 设T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ①则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1 ② ①－②得 12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n2n .又1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴数列{na n}的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋42－n ＋22n .12．设数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n . (1)求a 3，a 4；(2)证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列； (3)求{a n }的通项公式．解：(1)因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2，所以a 1＝2，S 1＝2.由2a n ＝S n ＋2n 知2a n ＋1＝S n ＋1＋2n ＋1＝a n ＋1＋S n ＋2n ＋1，得a n ＋1＝S n ＋2n ＋1，①所以a 2＝S 1＋22＝2＋22＝6，S 2＝8；a 3＝S 2＋23＝8＋23＝16，S 3＝24；a 4＝S 3＋24＝40.(2)证明：由题设和①式知a n ＋1－2a n ＝(S n ＋2n ＋1)－(S n ＋2n )＝2n ＋1－2n ＝2n .所以数列{a n＋1－2a n}是首项为2，公比为2的等比数列．(3)由(2)知a n＝(a n－2a n－1)＋2(a n－1－2a n－2)＋…＋2n－2(a2－2a1)＋2n－1a1＝(n＋1)·2n－1.高じ考╬试═题|库。
【优化方案】高中人教B数学必修5：高中同步测试卷(九)(含答案解析)
高中同步测试卷(九)单元检测 一元二次不等式的解法 (时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是( ) A.1a ＞1b B.－a ＞－b C ．|a |＞－bD.1a －b ＞1a2．不等式x (x －2)＞0的解集是( ) A ．(－2，0)B ．(0，2)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)3．若x ＞1＞y ，下列不等式不一定成立的是( ) A ．x －1＞1－y B ．x －1＞y －1 C ．x －y ＞1－yD ．1－x ＞y －x4．不等式2x 2－x ＋1＜0的解集为( ) A ．∅B ．R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠145．一元二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为{x |－1＜x ＜13}，则ab 的值为( )A ．－6B ．6C ．－5D ．56．不等式x 2－ax －12a 2＜0(其中a ＜0)的解集为( ) A ．(－3a ，4a ) B ．(4a ，－3a ) C ．(－3，4)D ．(2a ，6a )7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜0x 2－3x ＜0的解集为( )A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－1＜x ＜3}8．对任意实数x ，不等式2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 恒成立，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D ．(2，＋∞)∪(－∞，－23)9．实数α，β是方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两根，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值为( ) A ．8 B ．14 C ．－14D ．－25410．定义区间长度m 为这样的一个量：m 的大小为区间右端点的值减去左端点的值．若关于x 的不等式x 2－x －6a ＜0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长度，则实数a 的取值范围是( )A ．(－124，1]B ．(－∞，－124]∪[1，＋∞)C ．(0，1]D ．[－24，1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．二次函数y ＝12x 2－4x ＋3，当y ＜0时，x 的取值范围是________．12．不等式2xx ＋2＞1的解集是________．13．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根都是负数，则m 的取值范围为________． 14．下列语句中正确的是________． ①若a ＞b ，则a lg 12＞b lg 12；②若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则a 2－d ＞b 2－c ； ③若a ＞b ，且a ，b ∈R ，则(13)a ＜(13)b ；④若α∈[－π，2π3]，则1－sin α＞0.三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)设a ∈R 且a ≠－1，试比较11＋a与1－a 的大小．16．(本小题满分10分)(1)求函数f(x)＝log2(－x2＋2x＋3)的定义域；(2)若不等式x2－2x＋k2－1≥0对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围．17.(本小题满分10分)m为何值时，方程mx2－(2m＋1)x＋m＝0满足下列条件：(1)没有实数解；(2)有实数解；(3)有两个不相等的实数解．18．(本小题满分10分)如图，有一长AM＝30 m，宽AN＝20 m的矩形地块，业主计划将其中的矩形ABCD建为仓库，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，其他地方建停车场和路，设AB＝x m.(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式；(2)若要求仓库占地面积不小于144 m2，则AB的长度应在什么范围？附加题19．(本小题满分10分)设a ＞0，b ＞0，求证(a 2b )12＋(b 2a )12≥a 12＋b 12.20．(本小题满分10分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2≤0，a ∈R.参考答案与解析1． 【解析】选D.因为a ＜b ＜0，所以－a ＞－b ＞0，故－1a ＜－1b ，所以1a ＞1b ，－a ＞－b ，|a |＝－a ＞－b ，故A 、B 、C 成立．因为1a －b －1a ＝b a （a －b ）＜0，所以1a －b ＜1a ，故D 不成立．2． 【解析】选D.由x (x －2)＞0⇒x ＞2或x ＜0.3． 【解析】选A.因为x ＞1＞y ，故x －1＞0，1－y ＞0，x －y ＞0，所以x －1－(y －1)＝x －y ＞0，x －y －(1－y )＝x －1＞0，1－x －(y －x )＝1－y ＞0.所以B 、C 、D 成立．因为x －1－(1－y )＝x ＋y －2符号不定，故A 不一定成立．4． 【解析】选A.因为2x 2－x ＋1＝0的Δ＝(－1)2－4×2×1＜0，且开口向上，所以2x 2－x ＋1＜0的解集为∅.5．【解析】选B.由已知得ax 2＋bx ＋1＝0的两个根为－1，13所以⎩⎨⎧－1＋13＝－ba －1×13＝1a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－2，所以ab ＝6.6．【解析】选B.x 2－ax －12a 2＜0⇔(x －4a )(x ＋3a )＜0.又a ＜0，∴4a ＜x ＜－3a .7．【解析】选C.⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜0x 2－3x ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜10＜x ＜3⇒0＜x ＜1.8【解析】选C.不等式2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 等价于2x ＋2＞k (x 2＋x ＋1)，kx 2＋(k －2)x ＋(k －2)＜0对任意x ∈R 均成立；注意到k ＝0时该不等式不恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝（k －2）2－4k （k －2）＜0，由此解得k ＜－23，因此k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－23. 9． 【解析】选A.∵Δ＝(－2m )2－4(m ＋6)≥0， ∴m 2－m －6≥0， ∴m ≥3或m ≤－2.而(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2 ＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2 ＝(2m )2－2(m ＋6)－2(2m )＋2＝4m 2－6m －10 ＝4⎝⎛⎭⎫m －342－494， ∵m ≥3，或m ≤－2，∴当m ＝3时，(α－1)2＋(β－1)2的最小值为8.10． 【解析】选A.因为关于x 的不等式x 2－x －6a ＜0有解，所以Δ＝1＋24a ＞0，即a ＞－124.设方程x 2－x －6a ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－6a ，又|x 1－x 2|≤5，即（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋24a ≤5，解得a ≤1，故选A.11．【解析】∵y ＜0，∴12x 2－4x ＋3＜0，即x 2－8x ＋6＜0，4－10＜x ＜4＋10，∴x的取值范围为{x |4－10＜x ＜4＋10}．【答案】(4－10，4＋10)12． 【解析】由2x x ＋2＞1得2xx ＋2－1＝x －2x ＋2＞0，解得x ＜－2或x ＞2.【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞)13． 【解析】若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个负根， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m －3）2－4m ≥0x 1＋x 2＝3－m ＜0x 1x 2＝m ＞0， 解得m ≥9. 【答案】[9，＋∞)14． 【解析】lg 12＜0，①是错误的；a ＞b ＞0，a 2＞b 2，c ＞d ＞0，c ＞d ＞0，－c＜－d ，a 2－d ＞b 2－c ，②正确；y ＝(13)x 是减函数，a ＞b ，则(13)a ＜(13)b ，③正确；④中α＝π2时1－sin α＝0，不正确．【答案】②③15． 【解】11＋a －(1－a )＝1－（12－a 2）1＋a ＝a 21＋a .又∵a ≠－1∴当a ＞－1时，a 21＋a ＞0，∴11＋a ＞1－a .当a ＜－1时，a 21＋a ＜0，∴11＋a＜1－a .16．【解】(1)由－x 2＋2x ＋3＞0得，x 2－2x －3＜0， 即(x －3)(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜3，所以f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋3)的定义域为(－1，3)． (2)法一：若x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立， 则Δ＝(－2)2－4(k 2－1)≤0⇒k 2≥2⇒k ≥2或k ≤－ 2. 即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 法二：若x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立， 即k 2≥－x 2＋2x ＋1对一切实数x 恒成立． 因为－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2， 所以当k 2≥2时，x 2－2x ＋k 2－1≥0恒成立， 所以k ≤－2或k ≥ 2.即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．17 【解】当m ＝0时，原方程可化为x ＝0；当m ≠0时，Δ＝[－(2m ＋1)]2－4m 2＝4m ＋1＜0，即m ＜－14时，原方程没有实数解；由Δ＝4m ＋1＞0，得m ＞－14且m ≠0时，原方程有两个不相等的实数根；Δ≥0时原方程有实数解．此时m ≥－14且m ≠0.综上，(1)当m ＜－14时，原方程没有实数解．(2)当m ≥－14且m ≠0时，原方程有实数解．(3)当m ＞－14且m ≠0时，原方程有两个不相等的实数解．18．【解】(1)由题意知，△NDC ∽△NAM ，则DC AM ＝NDNA ，即x 30＝20－AD 20，解得AD ＝20－23x . 所以矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式为S ＝20x －23x 2(0＜x ＜30)．(2)由题意得20x －23x 2≥144，即x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18.故AB 的长度的取值范围是[12，18]．19． 【证明】左边－右边＝（a ）3＋（b ）3ab －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －ab ＋b ）－ab （a ＋b ）ab＝（a ＋b ）（a －2ab ＋b ）ab ＝（a ＋b ）（a －b ）2ab ≥0，∴原不等式成立．20．【解】原不等式可以变形为(ax －1)(x －2)≤0.(1)当a ＝0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为－(x －2)≤0，∴x ≥2. (2)当a ＜0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为(x －1a )(x －2)≥0.∴x ≤1a或x ≥2.(3)当a ＞0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为(x －1a )(x －2)≤0，对应方程的两个根分别为1a 和2，①当1a ＞2，即0＜a ＜12时，(x －1a )(x －2)≤0⇒2≤x ≤1a ；②当1a ＝2，即a ＝12时，(x －1a )(x －2)≤0⇒(x －2)2≤0，∴x ＝2；③当0＜1a ＜2，即a ＞12时，(x －1a )(x －2)≤0⇒1a ≤x ≤2.综上所述，当a ＜0时，原不等式的解集为{x |x ≤1a 或x ≥2}；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≥2}； 当0＜a ＜12时，原不等式的解集为{x |2≤x ≤1a }；当a ＝12时，原不等式的解集为{x |x ＝2}；当a ＞12时，原不等式的解集为{x |1a ≤x ≤2}．。
人教B版高中数学必修5同步章节训练题及答案全册汇编
人教B版高中数学必修5同步章节训练题及答案全册汇编高中数学人教B版必修5同步练习目录1.1.1《正弦定理》测试题 1.1.2《余弦定理》测试题 1.2《正余弦定理的应用》测试2.1《数列》同步练习 2.2.1《等差数列》例题解析2.2.2《等差数列前n项和》例题解析 2.3.1《等比数列》例题解析 2.3.1《等比数列》测试3.1.1《不等关系与不等式》测试题 3.1.2《不等式的性质》测试题 3.2《均值不等式》测试题 3.2《均值不等式》测试题3.3《一元二次不等式的解法》测试题 3.3《一元二次不等式的解法》测试题 3.4《不等式的实际应用》测试题3.4《不等式的实际应用》测试题（人教B版必修5） 3.5.1《二元一次不等式（组）所表示的平面区域》测试题3.5.2《简单线性规划》测试题高中数学人教B版必修5同步练习1.1.1正弦定理测试题【能力达标】一、选择题1. 不解三角形，下列判断正确的是（）ooA. a=7，b=14，A=30，有两解.B. a=30，b=25，A=150，有一解.ooC. a=6，b=9，A=45，有两解.D. a=9，b=10，A=60，无解. 2．在?ABC中acosA=bcosB,则?ABC是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形3．在?ABC中，已知a=52，c=10，∠A＝30，则∠B等于（）oA.105B. 60C. 15D.105或154．在?ABC中，a(sinB－sinC)+b(sinC－sinA)+c(sinA－sinB)的值是（）oo o oo1 B.0 C.1 D.? 25. 在?ABC中下列等式总成立的是（）A.A. a cosC=c cosAB. bsinC=c sinAC. absinC=bc sinBD. asinC=c sinA 6. 在ΔABC中，∠A=45,∠B=60,a=2,则b=( ) A．6 B．26 C．36 D．46 7．在ΔABC中，∠A=45, a=2，b=2，则∠B=（）00A．300 B．300或1500 C．600 D．600或1200 二、填空题8．在ΔABC中，a=8,B=1050,C=150,则此三角形的最大边的长为。
人教B版人教B版高中数学必修五必修模块5测试样题B版答案及评分参考.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学必修模块测试样题答案及评分参考数学5（人教B 版）一、选择题（每小题4分，共56分）题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C A C B C D 题号 8 9 10 11 12 13 14 答案CCCBCCA二、填空题(每小题4分,共16分) 15．> 16．12n n a -= 17．(2,2)- 18． 2(1)2 1 2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩（三、解答题(共3小题,共28分) 19．（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）依题意，由余弦定理得22245(61)1c o s2452C +-==-⨯⨯. 120C ∠=︒ . ………………4分（Ⅱ）过点A 作AH 垂直BC 的延长线于H ，则53sin 5sin 602AH AC ACH =⋅=︒=. 所以1153453222ABCS BC AH ∆=⋅=⨯⨯= . ………………8分20．（本小题满分10分）B C AH解：设水池底面的长为x 米，则宽为48003x米，易知0x >，又设水池总造价为y 元. 根据题意，有48001600150120(2323)3y x x=⨯+⨯+⨯⨯ 1600240000720()x x=++16002400007202x x≥+⨯⋅ 297600=. 当1600,x x=即40x =时，等号成立. 所以，将水池的底面设计成边长为40米的正方形时，总造价最低，最低总造价为297600元..………………10分21．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）答案如图所示：………………3分 （Ⅱ）易知，后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，所以，着色三角形的个数的通项公式为：13n n b -=． ………………6分（Ⅲ）由题意知(1)2n n n a +=，11(1)23231n n n n n c n n --+⨯⨯=⋅+＝， 所以 01113233n n S n -=⋅+⋅++⋅ ①12131323(1)33n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ② ①－②得 0112(333)3n n n S n --=+++-⋅2n S -＝13313nn n --⋅-． 即 (21)31()4n n n S n -+=∈N + ． ………………10分。
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优化方案·高中同步测试卷·人教B数学必修5：高中同步测试卷(十一)-Word版含答案1高中同步测试卷(十一)章末检测不等式(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是( ) A ．若ac ＞bc ，则a ＞b B ．若a 2＞b 2，则a ＞b C ．若1a ＞1b ，则a ＜bD ．若a ＜b ，则a ＜b2．不等式x 2－5x －36＜0的解集为( )A ．(－∞，－4)∪(9，＋∞)B ．(－9，－4)C ．(－∞，－9)∪(4，＋∞)D ．(－4，9) 3．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1，6]D.⎣⎡⎦⎤－6，32 5．若关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋28＜0的解集是{x |－7＜x ＜－1}，则实数m 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46．已知2x ＋8y ＝1(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18 7．不等式(a －3)x 2＋2(a －3)x －4＜0对于一切x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－1，3]C ．(－∞，－3]D ．(－3，3)8．不等式log 2x －1x≥1的解集为( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞)C ．[－1，0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 9．已知a ，b 为正实数，若函数f (x )＝ax 3＋bx ＋ab －1是奇函数，则f (2)的最小值是( )A ．2B ．4C ．8D ．1610．某商场的某种商品的年进货量为10 000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )A ．200件B ．5 000件C ．2 500件D ．1 000件二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．函数f (x )＝－x 2＋4x －3的定义域为________．12．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为________．13．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．14．当实数x 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ≥x ，2x ＋y ＋k ≤0(其中k 为小于零的常数)时，y ＋1x的最小值为2，则实数k 的值是________．三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)解下列不等式：(1)x 2＋2x －15＞0；(2)x 2＞2x －1；(3)x 2＜2x －2.16．(本小题满分10分)某企业生产A 、B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360 t ，并且供电局只能供电200 kW ·h ，试问该企业生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？17.(本小题满分10分)已知f (x )＝x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1. (1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)若a ＞0，解关于x 的不等式f (x )≤0.18．(本小题满分10分)某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．(1)请将从甲地到乙地的运输成本y (元)表示为航行速度x (海里/小时)的函数；(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？附加题19．(本小题满分10分)已知a，b都是正数，并且a≠b，求证：a5＋b5＞a2b3＋a3b2.20．(本小题满分10分)已知f(x)＝lg(x＋1)，g(x)＝2lg(2x＋t)(t∈R，t是参数)．(1)当t＝－1时，解不等式f(x)≤g(x)；(2)如果当x∈[0，1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围．参考答案与解析1．[导学号99450200]【解析】选D.因为c的符号不定，故A不正确，又因为a，b的符号不定B、C不正确，所以只有D 正确．2．[导学号99450201]【解析】选D.因为x2－5x－36＝0的两个根为－4，9，所以x2－5x－36＜0的解集为{x|－4＜x＜9}．3．[导学号99450202]【解析】选C.若x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，则Δ＝m2－4＞0，所以m＜－2或m＞2.4．[导学号99450203]【解析】选A.作出可行域如图所示．目标函数z ＝3x －y 可转化为y ＝3x －z ，作l 0：3x －y ＝0，在可行域内平移l 0，可知在A 点处z 取最小值为－32，在B 点处z 取最大值为6.故选A.5．[导学号99450204] 【解析】选D.由已知得mx 2＋8mx ＋28＝0的两个根为－7，－1，则－7×(－1)＝28m，所以m ＝4.6．[导学号99450205] 【解析】选D.∵2x ＋8y ＝1(x ＞0，y ＞0)，∴x ＋y ＝(x ＋y )(2x ＋8y )＝10＋8x y ＋2yx≥10＋28x y ·2yx＝18. 当且仅当2y x ＝8xy，即x ＝6，而y ＝12时取等号，所以x ＋y 的最小值为18.7．[导学号99450206] 【解析】选B.当a ＝3时，原不等式变为－4＜0对一切x ∈R 恒成立，故排除A 、C 、D.当a ≠3时，若(a －3)x 2＋2(a －3)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0Δ＝4（a －3）2＋16（a －3）＜0，解得－1＜a ＜3.综上，a 的取值范围为(－1，3]．8．[导学号99450207] 【解析】选C.由log 2x －1x ≥1得，⎩⎨⎧x －1x ＞0x －1x ≥2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0或x ＞1x ＋1x ≤0⇒－1≤x ＜0.9．[导学号99450208] 【解析】选C.因为函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，所以ab ＝1.又因为a ，b 为正实数，所以f (2)＝8a ＋2b ＋ab －1＝2(4a ＋b )≥2×24ab ＝8，当且仅当4a ＝b 时取等号，故选C.10．[导学号99450209] 【解析】选D.设每次进货x 件，费用为y 元．由题意y ＝100×10 000x ＋2×x 2＝1 000 000x＋x ≥21 000 000x×x ＝2 000，当且仅当x ＝1 000时取等号，y 最小，故选D. 11．[导学号99450210] 【解析】若f (x )＝－x 2＋4x －3有意义，则－x 2＋4x －3≥0，即x 2－4x ＋3≤0，所以1≤x ≤3.。
人教B版人教B版高中数学必修五必修5综合测试.docx
必修5综合测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)1．已知集合M＝{x|x(x－1)3≥0}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于( )A．{x|x>1}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1或x<0}D．∅解析∵M＝(－∞，0]∪(1，＋∞)，N＝[1，＋∞)，∴M∩N＝(1，＋∞)．答案 A2．已知数列{a n}中，a1＝1,2na n＋1＝(n＋1)a n，则数列{a n}的通项公式为( )A.n2n B.n 2n－1C.n2n－1D.n＋12n解析2a2＝2a1,2×2a3＝3a2,2×3a4＝4a3，…，2(n－1)a n＝na n－1.上述式子相乘，2n－1a n＝na1，∵a1＝1，∴a n＝n2n－1.答案 B3．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫5＋12，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋12，5＋12( ) A ．是等差数列但不是等比数列 B ．是等比数列但不是等差数列 C ．既是等差数列又是等比数列 D ．既不是等差数列也不是等比数列解析 可分别求得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋12＝1，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫5＋12＝5－12，则等比数列性质易得三者构成等比数列．答案 B4．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．189解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1＝3，∴q ＝2，或q ＝－3. ∵a n >0，∴q ＝2，a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 2＋a 3)q 2＝21×4＝84. 答案 C5．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．a 2b <ab 2 C ．2a－2b<0 D.1a >1b解析 ∵y ＝2x 在R 上单调递增，a <b ，∴2a <2b . ∴2a －2b <0. 答案 C6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2＝0，有一个根比1大，另一个根比－1小，则a 的取值范围是( )A ．－3<a <1B ．－2<a <0C ．－1<a <0D ．0<a <2解析 令f (x )＝x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2，由题意，可知f (1)<0，f (－1)<0，∴a ∈(－1,0)．答案 C7．已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －25≤0，x －2y ＋2≤0，x －1≥0，则cos ∠POQ 的最小值为( )A.22B.32C.12D ．0解析 画出可行域如图阴影部分，若P ，Q 在可行域内，则∠POQ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，结合余弦函数单调性，可知当P ，Q 位于可行域的边界点时，cos ∠POQ 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，4x ＋3y －25＝0，得P (1,7)；由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，4x ＋3y －25＝0，得Q (4,3)．所以(cos ∠POQ )min ＝1×4＋3×712＋7242＋32＝22.答案 A8．对每一个正整数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴相交于A n ，B n 两点，|A n B n |表示该两点间的距离，则|A 1B 1| ＋|A 2B 2|＋…＋|A 2009B 2009|＝( )A.20062007B.20072008 C.20082009D.20092010解析 ∵|A n B n |＝1n －1n ＋1，∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A n B n |＝11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝nn ＋1，∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2009B 2009|＝20092010.答案 D9．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过点(－1,3)和(1,1)两点，若0<c <1，则a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．[2,3)D ．[1,3]解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝3，a ＋b ＋c ＝1，∴a ＋c ＝2，c ＝2－a .∵0<c <1，∴0<2－a <1，∴1<a <2.答案 B10．在△ABC 中，已知∠A <∠B (∠B ≠90°)，那么下列结论一定成立的是( )A ．cot A <cotB B ．tan A <tan BC ．cos A <cos BD ．sin A <sin B解析 ∵∠A <∠B ，∴a <b ， ∵a sin A ＝bsin B，∴sin A <sin B . 答案 D11．如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为β，α(α<β)，则A 点离地面的高度AB ＝( )A.a sin αsin βsin (β－α)B.a sin αsin βcos (α－β)C.a sin αcos βsin (β－α)D.a cos αsin βcos (α－β)解析 在△ADC 中，∠DAC ＝β－α，∴asin (β－α)＝ACsin α，∴AC ＝a sin αsin (β－α)，∴AB ＝AC ·sin β＝a sin αsin βsin (β－α)，故选A.答案 A12．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1，则m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(0,8)D ．(8，＋∞)解析 ∵a ，b ，a ＋b 成等差数列， ∴2b ＝2a ＋b ，b ＝2a . ∵a ，b ，ab 成等比数列， ∴a ≠0，b ≠0，b 2＝a 2b ，∴b ＝a 2. ∴a 2＝2a ，a ＝2，∴b ＝4，∴ab ＝8. ∵0<log m (ab )<1，∴m >8. 答案 D二、填空题(每题5分，共4个小题，共20分) 13．函数y ＝3x x 2＋x ＋1(x <0)的值域是________．解析 y ＝3x ＋1x＋1，∵x <0，∴x ＋1x ≤－2. ∴x ＋1x＋1≤－1，∴y ∈[－3,0)．答案 y ∈[－3,0)14．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为________．解析 作出该不等式组表示的可行域，∵a >0，且仅在点(3,0)处取得最大值，∴a >12.答案 a >1215．已知△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 的值为________．解析 ∵2S ＝ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2，c 2＝a 2＋b 2＋2ab －ab sin C ，∴2ab －ab sin C ＝－2ab cos C . ∴sin C －2cos C ＝2.∴sin 2C ＋4cos 2C －4sin C cos C ＝4. ∴tan 2C ＋4－4tan C ＝4tan 2C ＋4. ∴3tan 2C ＋4tan C ＝0.∴tan C ＝0(舍)，或tan C ＝－43.答案 －4316．①数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n (n ∈N *)，则1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a 2n ≥15； ②数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N *)，则a 11＝1023； ③数列{a n }满足a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1(n ∈N *)，则数列{b n }是从第二项开始的等比数列；④已知a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝2n －1. 以上命题正确的有________． 解析 ∵S n ＝n 2＋2n ，∴a n ＝2n ＋1， 1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a 2n＝12n ＋3＋12n ＋5＋…＋14n ＋1≥n 4n ＋1＝14＋1n≥15，当且仅当n ＝1时等号成立， 故①正确；∵a n ＋1＝2a n －1，∴a n ＋1－1＝2(a n －1)．∴a n ＋1－1a n －1＝2.∴{a n －1}是等比数列，a n －1＝2n －1.∴a n ＝2n －1＋1，a 11＝210＋1＝1025，故②错误；b n ＋1＝22a n ＋1－1＝22⎝⎛⎭⎪⎫1－14a n －1＝22a n －1＋2 ＝b n ＋2，∴{b n }是公差为2的等差数列，故③错误； ④中当n ＝1时，a 1＝22＝4，不满足a n ＝2n －1，∴④错误． 答案 ①三、解答题(本题共6小题，共70分，其中17题10分，18、19、20、21、22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b 2＋c 2－2bc ＝3.(1)求∠A ；(2)设cos B ＝45，求边c 的大小．解 (1)∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴b 2＋c 2－2bc cos A ＝3. ∴2bc ＝2bc cos A ，∴cos A ＝22，∴∠A ＝π4. (2)∵cos B ＝45，∴sin B ＝35，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×45＋22×35＝7210.a sin A ＝csin C ，∴c ＝a sin Csin A＝3·721022＝735.18．(12分)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定∠C 的大小；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．解 (1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得a c ＝2sin A 3＝sin Asin C ，∵sin A ≠0，∴sin C ＝32.∴△ABC 是锐角三角形，∴∠C ＝π3.(2)解法1：∵c ＝7，∠C ＝π3.由面积公式得12ab sin π3＝332，即ab ＝6.① 由余弦定理，得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5. 解法2：前同解法1，联立①、②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝7，ab ＝6，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝13，ab ＝6，消去b 并整理，得a 4－13a 2＋36＝0，解得a 2＝4，或a 2＝9.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，故a ＋b ＝5.19．(12分)解关于x 的不等式ax ＋1x ＋a>1(其中|a |≠1)．解ax ＋1－x －ax ＋a>0⇔(x ＋a )[(a －1)x ＋1－a ]>0.当a －1>0时，原不等式变为(x ＋a )(x －1)>0，其解集为{x |x >1，或x <－a }．当－1<a <1时，原不等式变为(x ＋a )(x －1)<0，其解集为{x |－a <x <1}．当a <－1时，原不等式变为(x ＋a )(x －1)<0，其解集为{x |1<x <－a }．20．(12分)已知函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x <0时，f (x )＝0； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x .由条件可知，2x－12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0，解得2x ＝1± 2.∵2x >0，∴x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1,2]时，2t⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)． ∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(1＋22t )∈[－17，－5]． 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．21．(12分)已知数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋2na n (n ＝3ax 2)．(1)证明：数列{a nn}是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解 (1)∵a n ＋1＝2n ＋2na n ＝2(n ＋1)na n ，∴a 2＝2×21a 1，a 3＝2×32a 2，a 4＝2×43a 3，…，a n ＝2×nn －1a n －1. 上述式子相乘，a n ＝2n －1·na 1，∴a n ＝n ·2n －1. (2)S n ＝1×20＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1， 2S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，两式相减，－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ×2n ， ∴－S n ＝1－2n1－2－n ×2n .∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.22．(12分)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n (n 为正整数)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题设d >0， 由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16.① 由a 3·a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55.②由①得2a 1＝16－7d ，将其代入②得(16－3d )(16＋3d )＝220，即256－9d 2＝220.∴d 2＝4，又d >0，∴d ＝2，代入①得a 1＝1. ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.(2)令c n ＝b n2n ，则有a n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，a n ＋1＝c 1＋c 2＋…＋c n ＋1.两式相减，得a n ＋1－a n ＝c n ＋1. 由(1)得a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2.∴c n ＋1＝2，c n ＝2(n ≥2)，即当n ≥2时，b n ＝2n ＋1.又当n ＝1时，b 1＝2a 1＝2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，2n ＋1(n ≥2).于是S n ＝b 1＋b 2＋b 3…＋b n ＝2＋23＋24＋…＋2n ＋1＝2＋22＋23＋24＋…＋2n ＋1－4＝2(2n ＋1－1)2－1－4＝2n ＋2－6，即S n ＝2n ＋2－6.。
人教B版高中数学必修5同步练习题及答案全册汇编
人B版高中数学必修5同步习题目录第1章1.1.1第一课时同步练习第1章1.1.1第二课时同步练习第1章1.1.2第一课时同步练习第1章1.1.2第二课时同步练习第1章1.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1第一课时同步练习第2章2.2.1第二课时同步练习第2章2.2.2第一课时同步练习第2章2.2.2第二课时同步练习第2章2.3.1第一课时同步练习第2章2.3.1第二课时同步练习第2章2.3.2第一课时同步练习第2章2.3.2第二课时同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1同步练习第3章3.1.2第一课时同步练习第3章3.1.2第二课时同步练习第3章3.2第一课时同步练习第3章3.2第二课时同步练习第3章3.3第一课时同步练习第3章3.3第二课时同步练习第3章3.4同步练习第3章3.5.1同步练习第3章3.5.2第一课时同步练习第3章3.5.2第二课时同步练习第3章章末综合检测人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于( )A.8381B.2393C.393D ．27 解析：选B.由比例的运算性质知a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，故a sin A ＝1332＝2393. 3．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形5．在△ABC 中，已知b ＝16，A ＝30°，B ＝120°，求边a 及S △ABC .解：由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝16×sin30°sin120°＝1633.又C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1633×16×12＝6433.1．在△ABC 中，若AB ＝3，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝60°，则BC 等于( ) A.3 B ．2 C. 5 D. 6解析：选D.∠BAC ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB＝3×sin 45°sin 60°＝ 6.2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.3．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.4．三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是( )A ．6 cm 2B ．152cm 2C ．8 cm 2D ．10 cm 2 解析：选A.设其夹角为θ，由方程得cos θ＝－35，∴sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．5．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝m ∶(m ＋1)∶2m ，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞2 B ．m ＜0C ．m ＞－12D ．m ＞12解析：选D.由已知和正弦定理可得：a ∶b ∶c ＝m ∶(m ＋1)∶2m .令a ＝mk ，b ＝(m ＋1)k ，c ＝2mk (k ＞0)，则a ，b ，c 满足三角形的三边关系，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a .得m ＞12.6．△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，则△ABC 中最长的边是( )A ．aB ．bC ．cD ．b 或c解析：选A.cos B b ＝cos Cc，∴tan B ＝tan C ，∴B ＝C ， sin A a ＝cos B b ＝cos B a sin B sin A＝sin A ·cos Ba sin B，∴tan B ＝1，∴B ＝4＝π4，A ＝π2，故a 最长．7．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 68．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R (sin A －2sin B ＋sin C )sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：29．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2 310．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°.又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B，∴b ＝215.当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.11．已知△ABC 中，A 、B 、C 分别是三个内角，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，△ABC 的外接圆半径为12，且C ＝π3，求△ABC 面积S 的最大值．解：S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝3R 2sin A sin B ＝32R 2[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝32R 2[cos(A －B )＋12]． 当cos(A －B )＝1，即A ＝B 时，(S △ABC )max ＝334R 2＝334×144＝108 3.12．在平面四边形OAPB 中，∠AOB ＝120°，OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，且AB ＝23，求OP 的长．解：如图，在平面四边形OAPB 中，∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴O 、A 、B 、P 四点共圆．∴OP 的长就是四边形OAPB 外接圆的直径．∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 在△AOB 中，∠AOB ＝120°，AB ＝23，∴2R ＝AB sin ∠AOB ＝23sin 120°＝4，∴△AOB 外接圆的直径为4， 即OP 的长为4.人教B 版必修5同步练习1．(2011年开封高二检测)在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A＝ 6.2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则∠A 的大小为( )A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°解析：选D.∵∠B 为锐角，又c sin B ＜b ＜c ，∴三角形有两解．4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π65．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°， ∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.1．在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a sin B ＝b sin A C ．a cos A ＝b cos B D ．a cos B ＝b cos A解析：选B.由正弦定理得：a sin A ＝b sin B，故a sin B ＝b sin A . 2．(2009年高考广东卷)已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2 B.6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 3解析：选A.sin A ＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.由a ＝c ＝6＋2可知，∠C ＝75°，所以∠B ＝30°，sin B ＝12，由正弦定理得b ＝asin A ·sin B ＝2＋62＋64×12＝2，故选A. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.4．(2011年青岛高二检测)在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB的取值范围是( )A ．[33，6]B ．(2,43)C ．(33，43]D ．(3,6]解析：选D.在△ABC 中，AC ＝BC ·sin B sin A ＝3·sin Bsin π3＝23sin B ，AB ＝23sin C ，∴AC ＋AB ＝23sin B ＋23sin C ＝23(sin B ＋sin C )＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＝23(sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B )＝23(32sin B ＋32cos B )＝23×3(32sin B ＋12cos B )＝6sin(B ＋π6)，∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴AC ＋AB ＝6sin(B ＋π6)∈(3,6]．5．在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝60°，a ＝1，则最短边的边长是( )A.63B.62C.12D.32解析：选C.由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝12，∵∠B 最小，∴最小边是b .6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝csin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.7．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：328．(2011年盐城高二检测)在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝bsin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 39．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解． 答案：010．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sinB sinC ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.11．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.12．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2B ＝A ＋C ，a ＋2b ＝2c ，求sin C 的值．解：因为2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以B ＝60°，A ＋C ＝120°. 所以0°＜A ＜120°，0°＜C ＜120°.又因为a ＋2b ＝2c ，所以sin A ＋2sin B ＝2sin C ， 所以sin(120°－C )＋2sin60°＝2sin C ，所以3sin C －cos C ＝2，即sin(C －30°)＝22.又因为0°＜C ＜120°且sin(C －30°)＞0， 所以0°＜C －30°＜90°. 所以C －30°＝45°，C ＝75°.所以sin C ＝sin75°＝6＋24.人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c 2－a 2－b22ab＞0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C.∵cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． 2．如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．k ＝8 3 B ．0＜k ≤12 C ．k ≥12 D ．0＜k ≤12或k ＝8 3 解析：选D.设AB ＝x ，由余弦定理得 122＝x 2＋k 2－2kx cos60°，化简得x 2－kx ＋k 2－144＝0，因为方程的两根之和x 1＋x 2＝k ＞0，故方程有且只有一个根，等价于k 2－4(k 2－144)＝0或k 2－144≤0，解得0＜k ≤12或k ＝8 3.3．在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，那么a 、b 、c 的关系是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋c ＝2bC ．b ＋c ＝2aD ．a ＝b ＝c解析：选B.cos 2C 2＝1＋cos C 2，cos 2A 2＝1＋cos A2，代入已知条件等式，得a ＋c ＋a cos C ＋c cos A ＝3b ，a ＋c ＋a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc＝3b ，整理，得a ＋c ＝2b .4．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________.解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°5．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A，得AB ＝sin Csin ABC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.1．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c .3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．4．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.5．已知△ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的三边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ＝c 2－(a －b )2，则tan C2等于( )A.12B.14C.18D ．1 解析：选B.依题意知S ＝c 2－(a －b )2＝c 2－a 2－b 2＋2ab ＝2ab －2ab cos C ＝12ab sin C ，得sin C ＋4cos C ＝4，即2sin C 2cos C 2＋4(2cos 2C2－1)＝4，即2sin C 2cos C 2＋8cos 2C 2sin 2C 2＋cos 2C 2＝8，得2tan C 2＋8tan 2C 2＋1＝8.解得tan C 2＝14或tan C2＝0(舍去)．6．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°解析：选B.设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求．7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或618．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(2k )2＋(4k )2－(3k )22×2k ×4k＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)9．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3. 答案：2 310．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝cb.由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ， 因此△ABC 为等边三角形．11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，c ＝3b .求： (1)ac的值； (2)cot B ＋cot C 的值．解：(1)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(13c )2＋c 2－2·13c ·c ·12＝79c 2，故a c ＝73.(2)cot B ＋cot C ＝cos B sin C ＋cos C sin B sin B sin C ＝sin (B ＋C )sin B sin C ＝sin Asin B sin C，由正弦定理和(1)的结论得sin A sin B sin C ＝1sin A ·a 2bc＝23·79c 213c ·c ＝1433＝1439，故cot B ＋cot C ＝1439.12．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.证明：法一：右边＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝a ·cos B －cos A ·b c＝a ·a 2＋c 2－b 22ac －b 2＋c 2－a 22bc·bc＝a 2＋c 2－b 2－b 2－c 2＋a 22c c ＝a 2－b 2c 2＝左边．法二：左边＝sin 2A －sin 2Bsin 2C＝1－cos 2A 2－1－cos 2B2sin 2C＝cos 2B －cos 2A 2sin 2C＝－2sin (B ＋A )sin (B －A )2sin 2C＝sin C ·sin (A －B )sin 2C ＝sin (A －B )sin C＝右边．人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案： 35．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12解析：选B.易知c 最小，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32. 又∵0＜C ＜π，∴C ＝π6.2．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)解析：选C.因为a 是最大的边，所以A >π3.又a 2<b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，所以A <π2，故π3<A <π2.3．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.4．在△ABC 中，已知a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 等于( ) A ．30° B ．60° C ．45°或135° D ．120°解析：选C.由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)， 得(a 2＋b 2－c 2)2＝2a 2b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±22，所以C ＝45°或135°.5．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D.π3或2π3解析：选C.由a 2＝b 2＋bc ＋c 2得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， 即b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，联想到余弦定理，∴cos A ＝－12，∴∠A ＝2π3.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.22解析：选B.由b 2＝ac ，又c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.7．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19. 答案：－198．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋(k －1)2－(k ＋1)2＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：789．设△ABC 中，AB →＝(1,2)，AC →＝(－x,2x )(x >0)．若△ABC 的周长为65时，则x 的值为________．解析：c ＝5，b ＝5x ，∴a ＝(5－x )5，由余弦定理得cos A ＝5x －12x ，又cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝35， ∴x ＝3011.答案：301110．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，求边c 的长． 解：由题意得a ＋b ＝5，ab ＝2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝25－4＝21， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21－2＝19. ∴c ＝19.11．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10.12．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ， 两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB22AC ·BC＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°.人教B 版必修5同步练习1．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )A ．a 和cB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α解析：选D.在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中AC 即可看作基线，在△ABC 中，能够测量到的边角分别为b 和α.2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 解析：选B.利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×(－12)＝3a 2.∴AB ＝3a .3．在200 m 的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A.4003 mB.40033mC.20033 mD.2003m解析：选A.如图，设塔高为AB ，山顶为C ，在Rt △CDB 中，CD ＝200，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∴BC ＝200cos30°＝40033.在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝120°，BC sin120°＝ABsin30°，∴AB ＝BC ·sin30°32＝4003(m)．4．一河两岸有A 、B 两地，为了测出AB 的距离，在河岸上选取一点C ，测得∠CAB ＝60°，∠ACB ＝45°，AC ＝60 m ，则AB ≈________.(精确到1 m)．解析：在△ABC 中，先由三角形的内角和定理求出∠B ，再由正弦定理求出AB . 答案：44 m5．已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°方向，甲船从A 点以50海里/小时的速度向B 航行，同时乙船从B 点以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？解：如图所示，设航行x 小时以后，甲船到达C 点，乙船到达D 点，在△BCD 中，BC ＝100－50x (海里)(0≤x ≤2)，BD ＝30x (海里)，∠CBD ＝60°，由余弦定理得： CD 2＝(100－50x )2＋(30x )2－2(100－50x )·30x ·cos60° ＝4900x 2－13000x ＋10000， 作为二次函数考虑，当x ＝130002×4900＝6549(小时)时，CD 2最小，从而得CD 最小．故航行6549小时，两船之间距离最小．1．海面上有A ，B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成30°的视角，则B 岛与C 岛之间的距离是( )A ．10 3 海里 B.1063海里C ．5 2 海里D ．5 3 海里解析：选D.在由A ，B ，C 三岛组成的△ABC 中，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝90°， 所以BC ＝AB ·sin60°＝5 3.2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析：选B.∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，又∵AC ＝BC ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝180°－80°2＝50°，又90°－50°－30°＝10°， ∴塔A 在塔B 的北偏西10°.3．如图，D 、C 、B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D 、C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1)mD ．5(3＋1) m解析：选D.在△ACD 中，由DC sin (45°－30°)＝ACsin30°得AC ＝10×12sin (45°－30°)＝56－24＝5(6＋2)．在△ABC 中，AB ＝AC ·sin45°＝5(6＋2)×22＝5(3＋1)．4. 如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角θ为2°，若θ的弧度数很小时，可取sin θ为θ的弧度数，由此可估计该气球的高BC 约为( )A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m解析：选B.由题意，知∠BAC ＝30°，所以BC ＝12AC .又圆的半径为3 m ，sin1°＝sinπ180≈π180，所以AC ≈3×180π，即BC ＝12AC ≈270π≈86 (m)．5．(2011年温州质检)北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)．旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度为50秒，升旗手应以多少米/秒的速度升旗( )A.15B.35C.35D.65 解析：选B.∠ABC ＝180°－60°－15°＝105°， ∠CAB ＝180°－105°－45°＝30°.∴AB ＝BC sin ∠CAB ·sin ∠BCA ＝106sin 30°·sin 45°＝20 3.在Rt △OAB 中，OA ＝AB sin ∠ABO ＝203·sin 60°＝30.∴v ＝3050＝35(米/秒)．故选B.6．在某个位置测得某山峰的仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后，测得仰角为原来的2倍，继续在地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 m解析：选B.如图所示，在三角形ABC 中，BC ＝AC ＝600.在三角形ADC 中，DC ＝AD ＝2003，所以AD sin2θ＝AC sin (180°－4θ)＝ACsin4θ，所以2003sin2θ＝6002sin2θcos2θ，所以cos2θ＝32，2θ＝30°，所以在三角形ADE 中，AE ＝AD sin4θ＝2003×32＝300(m)．7．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．解析：如图所示，AB ＝60 km ，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝180°－30°－105°＝45°.由MB sin30°＝AB sin45°，得MB ＝30 2 km. 答案：30 2 km8.某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向(如图)，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°.在C 处测得距C 为31里的公路上有一人正沿公路向A 城走去，走了20里之后，到达D 处，此时CD 间的距离为21里，问此人还要走__________里路可到达A 城．解析：在△CDB 中，由余弦定理得cos ∠DBC ＝DB 2＋BC 2－CD 22·DB ·BC ＝2331，∴sin ∠DBC ＝12331，∴sin ∠ACB ＝sin[π－(∠DBC ＋∠DAC )]＝sin(∠DBC ＋π3)＝35362，在△CAB 中，由正弦定理得AB ＝BC ·sin ∠ACBsin ∠CAB＝35，∴AD ＝35－20＝15. 答案：159．如图所示的是曲柄连杆结构示意图，当曲柄OA 在水平位置时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针旋转α角时，P 和Q 之间的距离为x ，已知OA ＝25 cm ，AP ＝125 cm ，若OA ⊥AP ，则x ＝________(精确到0.1 cm)．解析：x ＝PQ ＝OA ＋AP －OP ＝25＋125－252＋1252 ≈22.5(cm)． 答案：22.5 cm10．在2008年北京奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出．由经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问游击手在这种布置下能否接着球？解：假设游击手能接着球，接球点为B ，游击手从A 点跑出，本垒为O 点，球速为v ，如图所示，则∠AOB ＝15°，OB ＝v t ，AB ≤v t4.在△AOB 中，由正弦定理，得OB sin ∠OAB ＝ABsin15°，所以sin ∠OAB ＝OB sin15°AB≥v t v t 4·6－24＝6－ 2. 因为(6－2)2＝8－43>8－4×1.73>1， 即sin ∠OAB >1，所以∠OAB 不存在，即游击手不能接着球． 11．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是 3a n mile/h ，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解：如图，设经过t h 两船在C 点相遇， 则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B， 得sin ∠CAB ＝BC sin BAC＝at ·sin120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°， ∴∠CAB ＝30°， ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°. 即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．12．(2011年济南调研)A ，B ，C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，在A 处看见塔在东北方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路的距离．解：如图所示，设BN ＝x，则PQ ＝x ，P A ＝2x ，∵AB ＝BC ，∴CM ＝2BN ＝2x ，PC ＝2PQ ＝2x . 在△P AC 中，由余弦定理，得： AC 2＝P A 2＋PC 2－2P A ·PC ·cos 75°，即4＝2x 2＋4x 2－42x 2·6－24，解得x 2＝2(4＋3)13.过P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，则线段PD 的长即为塔到直路的距离．在△P AC 中，由12AC ·PD ＝12P A ·PC sin 75°，得PD ＝P A ·PC ·sin 75°AC ＝22x 2·sin 75°2＝2·2(4＋3)13 ·6＋24＝7＋5313.故塔到直路的距离为7＋5313km.人教B 版必修5第1章章末综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011年福州高二检测)在△ABC 中，a ＝1，∠A ＝30°，∠B ＝60°，则b 等于( )A.32B.12C. 3 D ．2解析：选C.由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝1·sin60°sin30°＝ 3.2．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，∠A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解解析：选B.由a sin A ＝bsin B得sin B ＝100×sin45°80＝528＜1，又∵a ＜b ， ∴B 有两解．故三角形有两解．3．(2011年临沂高二检测)在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.c 2＝72＋82－2×7×8×1314＝9，∴c ＝3，∴B 最大．cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.4．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4 D.π3解析：选A.由余弦定理cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠BAC ＝2π3.5．在△ABC 中，∠B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°解析：选 C.设最大角为∠A ，最小角为∠C .由∠B ＝60°得∠A ＋∠C ＝120°.根据正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝3＋12，所以2sin(120°－C )＝(3＋1)·sin C ，即3cos C ＋sin C＝3sin C ＋sin C ，所以tan C ＝1，又0°＜∠C ＜180°，所以∠C ＝45°，所以∠A ＝75°.6．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.由a 2＋b 2－ab ＝c 2得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴∠C ＝60°，又23S △ABC ＝a 2＋b 2－ab ，∴23×12ab ·sin 60°＝a 2＋b 2－ab ，得2a 2＋2b 2－5ab ＝0， 即a ＝2b 或b ＝2a .当a ＝2b 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得a 2＝b 2＋c 2； 当b ＝2a 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得b 2＝a 2＋c 2. 故△ABC 为直角三角形． 7．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1523 mC ．15 3 mD ．45 m 解析：选B.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝152＋102－(519)22×15×10＝－12，∴∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝180°－120°＝60°.∴AD ＝AC ·sin60°＝1532(m)．8．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A. 152B.15C ．2D ．3解析：选A.∵b 2－bc －2c 2＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0.∵b ＋c ≠0，∴b －2c ＝0.∴b ＝2c .∴6＝c 2＋4c 2－2c ·2c ×78，∴c ＝2，b ＝4.∴S ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－4964＝152.9．锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜3 B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定 解析：选C.因为△ABC 为锐角三角形， 所以cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0， 所以b 2＋c 2－a 2＞0，a 2＋c 2－b 2＞0， a 2＋b 2－c 2＞0，所以1＋4－a 2＞0， a 2＋4－1＞0，a 2＋1－4＞0，即3＜a 2＜5，所以3＜a ＜ 5. 又c －b ＜a ＜b ＋c ，即1＜a ＜3.由⎩⎨⎧3＜a ＜5，1＜a ＜3.得3＜a ＜ 5.10．△ABC 中，a ，b ，c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3解析：选C.2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33.11．在△ABC 中，下列结论：①a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.①a 2＞b 2＋c 2⇒b 2＋c 2－a 2＜0⇒b 2＋c 2－a 22bc＜0⇒cos A ＜0⇒A 为钝角⇒△ABC为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ⇒b 2＋c 2－a 2＝－bc ⇒b 2＋c 2－a 22bc ＝－12⇒cos A ＝－12⇒A ＝120°；③与①同理知cos C ＞0，∴C 是锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形． ④A ∶B ∶C ＝1∶2∶3⇒A ＝30°，B ＝60°，C ＝90° ⇒a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.12．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设B ＝2A ，则ba的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(2，2)D ．(2，3)解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ＝sin2Asin A＝2cos A ，又∵△ABC 是锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧B ＝2A ＜90°A ＋2A ＞90°，∴30°＜A ＜45°，则ba＝2cos A ∈(2，3)．二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.解析：在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝cos120°＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ，即25＋AC 2－492×5×AC＝－12.解得AC ＝－8(舍去)或AC ＝3. 答案：3。
【优化方案】2020高中数学 第2章2.1.2知能优化训练 新人教B版必修5
1．已知数列{a n}满足，a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N＋)，则a20等于( )A．0 B．－ 3C. 3D.3 2解析：选B.a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，a5＝－3，…∴每三项为一个周期，故a20＝－ 3.2．已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝a n－1＋2(n≥2，n∈N)，则通项公式为( ) A．3n B．2nC．n D.1 2 n解析：选B.由条件知a n－a n－1＝2，∴a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－1)·2＋2＝2n.3．若数列{a n}前8项的值各异，且a n＋8＝a n对任意的n∈N＋都成立，则下列数列中可取遍{a n}前8项值的数列为( )A．{a2k＋1} B．{a3k＋1}C．{a4k＋1} D．{a6k＋1}解析：选B.∵k∈N＋，∴k＝1,2,3，….∴当令k＝1,2，…，7,8时，a2k＋1取得的均为奇数项而无偶数项．∴数列{a2k＋1}不能取遍数列{a n}的前8项．又令k＝1,2，…，7,8时，数列{a3k＋1}可以取遍数列{a n}的前8项．∴应选B.4．函数f(x)定义如表，数列{x n}满足x0＝5，且对任意的自然数均有x n＋1＝f(x n)，则x2020＝________.x 1234 5f(x)5134 2答案：25．设数列{a n}满足a1＝1，a n＝2＋1a n－1(n＞1且n∈N)，试写出这个数列的前4项．解：∵a1＝1，a n＝2＋1a n－1(n＞1且n∈N)，∴a2＝2＋1a1＝3，a3＝2＋1a2＝2＋13＝73，∴a4＝2＋1a3＝2＋37＝177.1．已知数列{a n}对任意的p，q∈N＋满足a p＋q＝a p＋a q且a2＝－6，那么a10等于( ) A．－165 B．－33C．－30 D．－21解析：选C.由a p＋q＝a p＋a q，a2＝－6，得a4＝a2＋a2＝－12，同理a8＝a4＋a4＝－24，所以a10＝a8＋a2＝－24－6＝－30.2．已知数列{a n}中，a1＝b(b为任意正数)，a n＋1＝－1a n＋1(n＝1,2,3…)，能使a n＝b成立的n的值是( )A．14 B．15C．16 D．17解析：选C.∵a2＝－1b＋1，a3＝－b＋1b，a4＝b，∴数列{a n}中各项数以3为周期出现，在a14，a15，a16，a17四个数中，a16＝a4＝b.3．已知数列{x n}满足x1＝a，x2＝b，x n＋1＝x n－x n－1(n≥2，n∈N)，设S n＝x1＋x2＋…＋x n，则下列结论正确的是( )A．x100＝－a，S100＝2b－a B．x100＝－b，S100＝2b－aC．x100＝－b，S100＝b－a D．x100＝－a，S100＝b－a解析：选 A.∵x1＝a，x2＝b，∴x3＝b－a，x4＝－a，x5＝－b，x6＝a－b，x7＝a，∴数列{a n}是周期数列，周期T＝6，可得x100＝－a，S100＝2b－a.4．数列{a n}中，a1＝a2＝1，a n＋2＝a n＋1＋a n对所有正整数n都成立，则a10等于( ) A．34 B．55C．89 D．100解析：选B.由递推公式求出数列的前10项是a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a 7＝13，a 8＝21，a 9＝34，a 10＝55.5．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项a n 可能是( )A ．5－3nB ．3·2n －1－1C ．5－3n 2D ．5·2n －1－3 答案：D6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n 解析：选A.由条件知a n ＋1－a n ＝ln(1＋1n )＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n .再由该递推公式：a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)，a n －1－a n －2＝ln(n －1)－ln(n －2)，…，a 2－a 1＝ln2－ln1.将以上等式左右两边分别相加， 得a n －a 1＝ln n ，所以a n ＝a 1＋ln n ＝2＋ln n .故选A.7．已知数列a 1＝67，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n0≤a n＜12，2a n－1 12≤a n＜1，则a 2020的值为________．解析：因为a 1＝67，a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，…，所以此数列是一个以三项为一个周期的数列，所以a 2020＝a 4＝67.答案：678．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2，n ∈N )，则a 4＝________.解析：a 2＝1×a 1＝12，a 3＝2a 2＝2×12＝1，a 4＝3a 3＝3×1＝3. 答案：3 9．根据下列5个图形中相应圆点个数的变化规律，猜测第n 个图中有________个圆点．解析：由前5个图形可知，第n 个图形应是自中间一个圆点起，向外分n 支，每支各有(n －1)个圆点，因此共有(n －1)×n ＋1个圆点，即n 2－n ＋1个圆点．答案：n 2－n ＋110．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n，求数列的前5项．解：由条件可得a n ＋2＝a 2n ＋1－－1na n，∵a 1＝1，a 2＝3，∴a 3＝a 22－－11a 1＝32＋11＝10，a 4＝a 23－－12a 2＝102－13＝33，a 5＝a 24－－13a 3＝332＋110＝109，故前5项分别为1、3、10、33、109.11．已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意n ∈N ＋都有a n ＋1＝2a n2－a n，求该数列的通项公式．解：由a n ＋1＝2a n 2－a n ，得1a n ＋1＝1a n －12.利用累加法，可得1a n ＝3－n2，∴a n ＝23－n(n ∈N ＋)．12．某餐厅供应1000名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A 菜的学生中有20%在下周一选B 菜，而选B 菜的学生中有30%在下周一选A 菜．用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 菜、B 菜的学生数，试写出A n 与A n －1的关系及B n 与B n －1的关系．解：由题意知，A n ＝A n －1×80%＋B n －1×30% ＝45A n －1＋(1000－A n －1)×310 ＝12A n －1＋300(n ≥2，n ∈N )，B n ＝B n －1×(1－30%)＋A n －1×20%＝710B n－1＋(1000－B n－1)×15＝12B n－1＋200(n≥2，n∈N)．。
优化方案2020高中数学第3章3.5.1知能优化训练新人教B版必修5
x≥01．(2020年高考安徽卷)不等式组x＋3y≥4所表示的平面地域的面积等于()3x＋y≤432A.2B.343C.3D.4剖析：选C.不等式组表示的平面地域如图，为三角形，又直线x＋3y－4＝0与3x＋y－4＝0的交点为(1,1)144，所以S＝2×(4－3)×1＝3.△2x－y＋1≥00≤x≤4x＋y－4≤0，表示的平面地域为A5，表示．不等式组，不等式组x≥0，y≥00≤y≤2的平面地域为B，则A与B的关系为()A．A＝B B．A∩B＝?C．BA D．A B剖析：选C.分别画出两个不等式组表示的地域后即可求解．3．若是直线 y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N 关于直线xkx－y＋1≥0＋y＝0对称，则不等式组kx－my≤0，所表示的平面地域的面积是()y≥011A.4B.2C．1D．2剖析：选A.∵kMN·(－1)＝－1，∴kMN＝1，∴k＝1，1m1m∴圆心坐标为(－，－)，∴－－＝0，∴＝－1，2222mx－y＋1≥0，1∴不等式组为x＋y≤0，画出不等式组所表示的平面地域，可求得面积是.4y≥0.4．如图，四条直线x＋y－2＝0，x－y－1＝0，x＋2y＋2＝0，3x－y＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部地域(不包括界线)可用不等式组________表示．剖析：(0,0)点在平面地域内，(0,0)点和平面地域在直线x＋y－2＝0的同侧，把(0,0)代入到x＋y－2，得0＋0－2<0，所以直线x＋y－2＝0对应的不等式为x＋y－2<0.同理可获取其他三个相应的不等式为x＋2y＋2>0,3x－y＋3>0，x－y－1<0，则可得所求不等式组为3x－y＋3>0，x＋y－2<0，x＋2y＋2>0，x－y－1<0.3x－y＋3>0，x＋y－2<0，答案：＋2＋2>0，x yx－y－1<0.2x－y＋5≥05．画出不等式组x＋y≥0表示的平面地域．x－y≤3解：在直角坐标系中分别画出不等式2x－y＋5≥0，x＋y≥0，x－y≤3表示的平面地域，以下列图，其中阴影部分就是不等式组表示的平面地域．1．不在3＋2＜6表示的平面地域内的点是()x yA．(0,0)B．(1,1)C．(0,2)D．(2,0)剖析：选D.代入检验：只有(2,0)不在平面地域内．2．不等式组x－y＋5x＋y≥0表示的平面地域是一个() 0≤x≤3A．三角形B．直角梯形C．等腰梯形D．矩形x－y＋5≥0，剖析：选C.原不等式组可化为x＋y≥0，0≤x≤3，x－y＋5≤0，或x＋y≤0，画出各不等式组表示的公共地域，即可看出图形的形状为等腰梯0≤x≤3，形．|x|≤|y|，3．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组的点(x，y)的会合用阴影|x|<1，表示为图中的()|x|≤|y|，剖析：选 C.法一：可以作出不等式组表示的平面地域与选项比较，选|x|<1，C.法二：可以用消除法针对每一个选项，将一些特别值代入考据．应选 C.4．以下二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面地域的是()x＋y－1>0x＋y－1<02x＋3y－6<02x＋3y－6≥0A. B.x－y－1≥0x－y－1≥0x－2y＋2≤0x－2y＋2<0x＋y－1>0x＋y－1≥02x＋3y－6≤02x＋3y－6<0C. D.x－y－1≤0x－y－1<0x－2y＋2>0x－2y＋2≥0答案：C5．设会集＝{(，)|x，y,1－－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面地域(不A x y x含界线的阴影部分)是()剖析：选 A.由于x，y,1－x－y是三角形的三边长，那么由三角形边长的性质得x＋y>1－x－yx＋1－x－y>yy ＋1－－y>，x xx>0 y>0x ＋1> y21整理得0<x<2.0<y<12其表示的平面地域为A选项．6．在平面直角坐标系中，若不等式组的面积等于2，则a的值为()A．－5B．1x＋y－1≥0x－1≤0，(a为常数)所表示的平面地域ax－y＋1≥0 C．2D．3剖析：选D.如图得出的地域即为满足x－1≤0与x＋y－1≥0的平面地域，而直线ax －y＋1＝0恒过点(0,1)，故可看作直线绕点(0,1)旋转，当a＝－5时，则可行域不是一个3封闭地域，当a＝1时，面积为1，当a＝2时，面积为2，当a＝3时，面积为2.7．点(1,2)与点(－3,4)在直线x＋＋＝0的两侧，则实数a的取值范围是________．y a剖析：由题意(1＋2＋a)(－3＋4＋a)＜0，解不等式得－3＜a＜－1.答案：(－3，－1)x≤08A为不等式组y≥0表示的平面地域，则当a从－2连续变化到1时，动．若y－x≤2直线x＋y＝a扫过A中的那部分地域的面积为________．剖析：直线x＋y＝a扫过A中的地域为四边形AOBC.∴S四边形AOBC ＝△AOD－△CBD＝1×2×2－1×2×2＝7.SS222427答案：49．设a，b都是自然数，关于x的二次方程x2＋ax＋b＝0与x2＋bx＋a＝0都没有实数根，那么以(a，b)为坐标的点为________．剖析：1<0，a2－4b<0，2<0，b2－4a<0.如图阴影内整点有三个，(1,1)，(2,2)，(3,3)答案：(1,1)，(2,2)，(3,3)10．用不等式组表示以点 (0,0)、(2,0)、(0，－2)为极点的三角形内部，求该不等式组．解：第一依照三个点的坐标在坐标系内画出相应的三角形，再依照三个点写出三边对应的直线方程，依照直线的地址即可写出对应的不等式组．x>0∴该不等式组为y＜0.x－y－2<011．画出不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面地域，并求地域面积．解：先考虑第一象限(含x，y轴正向)，等价于x≥0，y≥0，x＋y≤1，易作出其表示的平面地域．由关系式的特色知该不等式所表示的平面地域以下列图，该地域是边长为2的正方形，面积为 2.y －2x ≤0 12．画出不等式组 x＋2y ＋3>0 表示的平面地域， 并求平面地域内有多少个整点．5x ＋3y －5<0解：不等式y －2x≤0表示直线y －2x＝0的右下方地域(含界线)，x ＋2y ＋3>0表示直线x＋2y ＋3＝0右上方地域(不含界线)，5x ＋3y－5<0表示直线5x ＋3y －5＝0左下方地域(不含界线)，所以不等式组表示的平面地域是上述三地域的公共部分，以下列图的△ ABC区域．3 6 5 10 19 20可求得A (－5，－ 5)，B (11，11)，C ( 7，－7)，所以△ABC 地域内的点(x ，y )满足3 19 20 10 5≤x <7，－7<y ≤11.x ，y ∈Z ，∴0≤x ≤2，－2≤y ≤0，且x ，y ∈Z.经检验，共有四个整点(0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)．。
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高中同步测试卷(五)单元检测 数列的概念及表示方法和等差数列(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是( ) A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列B ．数列{f(n)}就是定义在正整数集N *上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数值C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列2．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14 3．已知等差数列{a n }中各项都不相等，a 1＝2，且a 4＋a 8＝a 23，则d ＝( )A ．0 B.12 C ．2D ．0或124．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7＝( ) A ．49 B ．42 C ．35 D ．285．已知f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ≤0时，f (x )＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2 013＝( )A ．2B ．4 C.12D ．146．把70个面包分五份给5个人，使每人所得的面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，问最小的一份面包的个数为( ) A ．2 B ．8 C ．14 D ．20 7．已知在数列{a n }中，a 1＝1，对n ≥2且n ∈N *都有a 1a 2·…·a n ＝2n ，则a 2a 3＝( )A ．2B ．4C ．6D ．88．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21 9．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)10．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知(a1 006－1)3＋2 013(a1 006－1)＝1，(a1 008－1)3＋2 013(a1 008－1)＝－1，则()A．S2 013＝2 013，a1 008＞a1 006B．S2 013＝2 013，a1 008＜a1 006C．S2 013＝－2 013，a1 008＞a1 006D．S2 013＝－2 013，a1 008＜a1 006二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知数列2，7，10，13，4，…，3n＋1，…，则210是它的第________项．12．已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N*)，则a20＝________．13．已知等差数列的前三项依次是m，6m，m＋10，则这个等差数列的第10项是________．14．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________．三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)在数列{a n}中，a1＝2，点(a n，a n＋1)在函数f(x)＝2x1＋x的图象上．(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想数列{a n}的一个通项公式．16．(本小题满分10分)已知数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n.(1)求a n；(2)设a n＝2λ－1，试求λ的取值范围．17.(本小题满分10分)设等差数列的前n项和为S n.已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．18．(本小题满分10分)已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，f(1)＝2，且f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域上任意x都成立．(1)求函数f(x)的解析式；(2)正项数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝14[3－2f（a n）]2，求证：数列{a n}是等差数列．附加题19．(本小题满分10分)已知数列{a n}满足：a1＝2t，t2－2a n－1t＋a n－1a n＝0，n＝2，3，4…(其中t为常数，且t≠0)．求数列{a n}的通项公式．20．(本小题满分10分)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款(既无利息贷款)，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费，每一年度申请总额规定不超过6 000元．某大学2013届毕业生王某在本科期间共申请了24 000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清．工作后，王某计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．(1)用x和n表示王某第n个月的还款额a n元；(2)若王某恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款，求x的值．参考答案与解析1．[导学号99450080]【解析】选B.A，D显然正确；对于B，因为数列{f(n)}是定义在正整数集N*上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数a n＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时，对应的是一列函数值，所以B项不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．2．[导学号99450081]【解析】选C.从第三项起，每一项都等于前面连续两项的和即a n＋a n ＋1＝a n＋2，所以x＝5＋8＝13.3．[导学号99450082]【解析】选B.由已知得a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2，即2a1＋10d＝a21＋4a1d＋4d2.又a1＝2，∴4d2－2d＝0，∴2d(2d－1)＝0，∴d＝0或d＝1 2.又∵{a n }中各项都不相等，∴d ＝12.4．[导学号99450083] 【解析】选B.因为数列{a n }是等差数列，所以2a 6＝a 4＋a 8＝a 8＋6， 所以a 4＝6，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7·a 4＝7×6＝42.5．[导学号99450084] 【解析】选C.因为f (2＋x )＝f (2－x )， 所以f (4＋x )＝f (－x )． 又因为f (x )为偶函数， 所以f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )． 所以a 2 013＝f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12.6．[导学号99450085] 【解析】选A.设等差数列为{a n }，首项为a 1，公差为d ＞0，则有⎩⎨⎧16（a 3＋a 4＋a 5）＝a 1＋a 2，5a 1＋5×42×d ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝6.7．[导学号99450086] 【解析】选D.∵a 1·a 2·…·a n ＝2n (n ≥2)，∴a 1·a 2＝22＝4，∴a 2＝4.又a 1·a 2·a 3＝23，∴a 3＝2，∴a 2·a 3＝8.8．[导学号99450087] 【解析】选C.由a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，两式相减得3d ＝－6，即d ＝－2.又a 1＋a 3＋a 5＝105，∴a 1＝39，∴S n ＝39n －n (n －1)＝－(n －20)2＋400，∴当n ＝20时，S n 有最大值400，故选C. 9．[导学号99450088] 【解析】选D.由a n ＋1＞a n ， 得(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2＞n 2＋kn ＋2， 所以k ＞－(2n ＋1)．因为当n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3， 只要k ＞－3，则都有a n ＋1＞a n .10．[导学号99450089] 【解析】选B.∵(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝1且(a 1 008－1)3＋2 013(a 1008－1)＝－1，∴a 1 006－1与1－a 1 008是方程x 3＋2 013x －1＝0的两根．设f (x )＝x 3＋2 013x －1，则f (x )是单调递增函数，∴a 1 006－1＝1－a 1 008，即a 1 006＋a 1 008＝2， ∴S 2 013＝2 013（a 1＋a 2 013）2＝2 013（a 1 006＋a 1 008）2＝2 013.又(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝(a 1 006－1)[(a 1 006－1)2＋2 013]＝1＞0，∴a 1 006－1＞0，即a 1 006＞1，同理可得a 1 008＜1，即a 1 006＞a 1 008，故选B. 11．[导学号99450090] 【解析】由3n ＋1＝210，得3n ＋1＝40， 所以n ＝393＝13. 【答案】1312．[导学号99450091] 【解析】由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)知：a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3，a3＝a2－33a2＋1＝3，a4＝a3－33a3＋1＝0，…，每3项一循环，故a20＝a6×3＋2＝a2＝－ 3.【答案】－ 313．[导学号99450092]【解析】由已知得12m＝2m＋10，所以m＝1，故a1＝1，a2＝6，a3＝11，所以d＝5，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋5(n－1)＝5n－4，所以a10＝5×10－4＝46.【答案】4614．[导学号99450093]【解析】log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝10（a1＋a10）2＝10×（a5＋a6）2＝10×42＝20.【答案】2015．[导学号99450094]【解】(1)∵(a n，a n＋1)在函数f(x)＝2x1＋x的图象上，∴a n＋1＝2·a n1＋a n. ∵a1＝2，∴a2＝43，a3＝87，a4＝1615.(2)由a1＝2＝21，a2＝43，a3＝87，a4＝1615，猜想得a n＝2n2n－1.16．[导学号99450095]【解】(1)由递推关系式知a1＝1，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n，当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2a n－1＝n－1，两式相减得：3n－1a n＝n－(n－1)＝1，故a n＝13n－1，当n＝1时a1＝1也符合此式．所以a n＝13n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，数列{a n}为递减数列，0＜a n≤a1＝1，即0＜2λ－1≤1，解得12＜λ≤1，即λ的取值范围为(12，1]．17．[导学号99450096]【解】(1)依题意⎩⎨⎧S12＝12a1＋12×112d＞0，S13＝13a1＋13×122d＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a1＋11d＞0，a1＋6d＜0.①②由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③把③分别代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，解得－247＜d ＜－3，即公差d 的取值范围是(－247，－3)． (2)法一：由d ＜0可知{a n }是递减数列， 因此若在1≤n ≤12中， 使a n ＞0且a n ＋1＜0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 7＜0， 可得a 6＞－a 7＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大． 法二：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (12－2d )＋n （n －1）2d ＝d 2⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2－d 2⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫5－24d 2， 因为d ＜0，所以⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小时，S n 最大． 因为－247＜d ＜－3，6＜12⎝⎛⎭⎫5－24d ＜132， 所以当n ＝6时，⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小，S 6最大． 18．[导学号99450097] 【解】(1)由ax ·f (x )＝b ＋f (x )(ab ≠0)， 得f (x )(ax －1)＝b ，若ax －1＝0，则b ＝0，不合题意， 故ax －1≠0，∴f (x )＝bax －1. f (1)＝ba －1＝2，得2a －2＝b .① 由f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域上任意x 都成立， 得b a （x ＋2）－1＝－ba （2－x ）－1，解得a ＝12，②把②代入①，可得b ＝－1，∴f (x )＝－112x －1＝22－x (x ≠2)．(2)证明：由(1)得f (a n )＝22－a n， 又S n ＝14[3－2f （a n ）]2，∴S n ＝14(a n ＋1)2，∴a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1.当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n－a 2n －1＋2a n －2a n －1)，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n－1－2)＝0.∵a n ＞0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2，∴数列{a n }是等差数列． 19．[导学号99450098] 【解】∵t 2－2a n －1t ＋a n －1a n ＝0， ∴(t 2－a n －1t )－(a n －1t －a n －1a n )＝0，∴t (a n －1－t )＝a n －1(a n －t )． 由a 1－t ≠0知a n －t ≠0， ∴1a n －t ＝a n －1t （a n －1－t ）＝a n －1－t ＋t t （a n －1－t ）＝1t ＋1a n －1－t， 即1a n －t －1a n －1－t ＝1t ，n ＝2，3，4，…，t ≠0.∴数列{1a n －t }为等差数列，公差为1t ，∴1a n －t＝1a 1－t ＋1t(n －1)＝n t ，∴a n ＝t ＋t n ＝（n ＋1）tn .20．[导学号99450099] 【解】(1)由题意得，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧500（1≤n ≤12，n ∈N *）500＋（n －12）x （13≤n ≤36，n ∈N *）. (2)由已知，每个月的还款额为a n ，从第13个月开始，还款额构成等差数列，其中a 13＝500＋x ，公差为x .从而，到第36个月， 王某共还款12×500＋24a 13＋24×（24－1）2x .令12×500＋(500＋x )×24＋24×（24－1）2x ＝24 000，解得x ＝20(元)，即要在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．。