九年级二次函数与数形结合重点题---附答案

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九年级数学下第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质1二次函数y=ax2的图象与性质习题

x
命题2.点(1,2)是双曲线 y 2 与抛物线y=2x2的一个交点．
x
命题3.点(1,3)是双曲线 y 3 与抛物线y=3x2的一个交点．
x
…
请你观察上面的命题,猜想出命题n(n是正整数)：
_________________________________________．
【解析】从已知得出点的横坐标都是1,纵坐标与反比例函数的
x
y 1 x2 2
y 1 x2 2
y=2x2
y=-2x2
…
-3
-2
-1 0
…
4.5
_2_
_0_._5_ 0
…
_-_4_._5_ -2
-0.5 0
…
_1_8_
_8_
20
…
-18-8-2源自0xy 1 x2 2
y 1 x2 2
y=2x2
y=-2x2
1 0.5 _-_0_._5_ 2 _-_2_
【想一想错在哪？】若点A(m,-2),B(n,-4)是二次函数y=-3x2
图象上的两点,则m,n的大小关系为( )
A.m>n
B.m<n
C.m≥n
D.不能确定
提示:忽视点A,B的位置,它们可能在对称轴的两侧,也可能在同侧,给出的数值是点的纵坐标,因而需要分类讨论.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月22日星期二2022/3/222022/3/222022/3/22 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/222022/3/222022/3/223/22/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/222022/3/22March 22, 2022

(易错题精选)初中数学二次函数知识点总复习附答案解析(1)

（易错题精选）初中数学二次函数知识点总复习附答案解析(1)一、选择题1．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（）A ．13x =-，21x =-B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．13x =-，21x =【答案】C【解析】【分析】【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =．故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )A ．﹣4＜P ＜0B ．﹣4＜P ＜﹣2C ．﹣2＜P ＜0D ．﹣1＜P ＜0【答案】A【解析】【分析】【详解】解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0．∵对称轴在y 轴的左边，∴b 2a-＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0． ∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2．把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4，∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0．故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．3．对于二次函数()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，下列说法正确的个数是（） ①对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()2,1和()0,0两点；②若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有001x <<；③当0x ≥时，y 随x 的增大而增大；④若()14,P y ，()()24,0Q m y m +>是函数图象上的两点，如果12y y >总成立，则112a ≤-． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可．【详解】对于()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭当2x =时，142(2)12y a a =+-=，则二次函数的图象都经过点()2,1当0x =时，0y =，则二次函数的图象都经过点()0,0则说法①正确此二次函数的对称轴为1212124a x a a-=-=-+ 0a <Q1114a∴-+> 01x ∴>，则说法②错误由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当114x a<-+时，y 随x 的增大而增大；当114x a ≥-+时，y 随x 的增大而减小因11104a-+>> 则当1014x a <-≤+时，y 随x 的增大而增大；当114x a ≥-+时，y 随x 的增大而减小即说法③错误0m >Q44m ∴+>由12y y >总成立得，其对称轴1144x a=-+≤ 解得112a ≤-，则说法④正确综上，说法正确的个数是2个故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．4．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2B ．322C ．52D ．3【答案】A【解析】【分析】根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可.【详解】∵2119y x =-， ∴当0y =时，21019x =-，解得：=3x ±，∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∴OC=4，∴BC 长度=2205OB C +=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，即：OE=12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∴BD 的最小值为4，∴OE=12BD=2，即OE 的最小值为2，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.5．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a ＋b ＝0；④4ac ＞b 2．其中错误的是( )A ．②④B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】C【解析】【分析】利用抛物线开口方向得到0a >，利用对称轴在y 轴的右侧得到0b <，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <，则可对A 进行判断；利用当1x =时，0y <可对B 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，则可对C 进行判断；根据抛物线与x 轴的交点个数对D 进行判断．【详解】解：Q 抛物线开口向上，0a ∴>，Q 对称轴在y 轴的右侧，a ∴和b 异号，0b ∴<，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ∴<，0bc ∴>，所以①错误；Q 当1x =时，0y <，0a b c ∴++<，所以②错误；Q 抛物线经过点(1,0)-和点(3,0)，∴抛物线的对称轴为直线1x =，即12b a-=， 20a b ∴+=，所以③正确；Q 抛物线与x 轴有2个交点，∴△240b ac =->，即24ac b <，所以④错误．综上所述：③正确；①②④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置（左同右异）．常数项c 决定抛物线与y 轴交点(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由△决定．6．在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点（x 1，m ）、（x 2，m ）、（x 3，m ），则x 1+x 2+x 3的结果是（） A ．3122m -+ B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．【详解】解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ），∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）∴抛物线的对称轴为直线x ＝m+1， ∴232x x ＝m+1， ∴x 2+x 3＝2m+2， ∵A （x 1，m ）在直线y ＝﹣12x 上， ∴m ＝﹣12x 1， ∴x 1＝﹣2m ， ∴x 1+x 2+x 3＝﹣2m+2m+2＝2，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．7．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF 可得S=﹣t 2+4t ，配成顶点式得S=﹣（t ﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t ）2=（t ﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．解：当0≤t≤4时，S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF=4•4﹣•4•（4﹣t ）﹣•4•（4﹣t ）﹣•t•t=﹣t 2+4t=﹣（t ﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t ）2=（t ﹣8）2．故选D ．考点：动点问题的函数图象．8．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（）．A ．①②④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a ->0，又∵a>0，∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c<0，故abc>0，故②错误；③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确；⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ，故⑤正确；故正确的有：③④⑤．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．9．将抛物线y ＝x 2﹣4x +1向左平移至顶点落在y 轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y ＝﹣3和x 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】【分析】 B ，C 分别是顶点，A 是抛物线与x 轴的一个交点，连接OC ，AB ，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO 的面积.【详解】抛物线y ＝x 2﹣4x +1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y 轴上,此时顶点B(0,-3)，点A 是抛物线与x 轴的一个交点，连接OC ，AB ，如图，阴影部分的面积就是ABCO 的面积，S=2×3=6；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．10．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【解析】【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【详解】由图象可得，a ＞0，b ＞0，c ＜0，∴abc ＜0，故①错误，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确，当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a ->-，a ＞0，得122b a >>，故③正确，故选C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．11．如图，ABC ∆为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．【详解】根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．12．已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )A ．该图象的顶点坐标为()1,4a -B ．该图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-C ．若该图象经过点()2,5-，则一定经过点()4,5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：y=a （x 2-2x-3）=a （x-3）（x+1）令y=0，∴x=3或x=-1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（3，0）与（-1，0），故B 成立；∴抛物线的对称轴为：x=1，令x=1代入y=ax 2-2ax-3a ，∴y=a-2a-3a=-4a ，∴顶点坐标为（1，-4a ），故A 成立；由于点（-2，5）与（4，5）关于直线x=1对称，∴若该图象经过点（-2，5），则一定经过点（4，5），故C 成立；当x ＞1，a ＞0时，y 随着x 的增大而增大，当x ＞1，a ＜0时，y 随着x 的增大而减少，故D 不一定成立；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．13．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0， ∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵b=-2a ，∴2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x=3时，y=0，∴930a b c ++=，所以③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下，∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大 ∵103132-<-< 点13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．14．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．考点：二次函数图象与系数的关系15．若A（－4，1y），B（－3，2y），C（1，3y）为二次函数y=x2+4x－m的图象上的三点，则1y，2y，3y的大小关系是（）A．1y＜2y＜3y B．3y＜1y＜2y C．2y＜1y＜3y D．1y＜3y＜2y【答案】C【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -，y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --，y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -，∵-3m -＜m -＜5m -，∴y 2＜y 1＜y 3．故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．16．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】【分析】根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．【详解】当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A 、D 不正确；由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2b a＞0，且a ＞0，则b ＜0，但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ．故选C ．17．平移抛物线2:L y x =得到抛物线L '，使得抛物线L '的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L '上，下列的平移中，不能得到满足条件的抛物线L '的是（）A ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．向左平移32个单位，再向下平移92个单位 D ．向左平移3个单位，再向下平移9个单位【答案】D【分析】通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式，再判断原点是否在该抛物线上即可．【详解】解：由A 选项可得L '为：2(1)2y x =--，则顶点为（1，-2），顶点（1，-2）关于原点的对称点为（-1，2），当x ＝-1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故A 选项不符合题意；由B 选项可得L '为：2(1)2y x =+-，则顶点为（-1，-2），顶点（-1，-2）关于原点的对称点为（1，2），当x ＝1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故B 选项不符合题意；由C 选项可得L '为：239()22y x =+-，则顶点为（-32，-92），顶点（-32，-92）关于原点的对称点为（32，92），当x ＝32时，y ＝92，则对称点在该函数图像上，故C 选项不符合题意；由D 选项可得L '为：2(3)9y x =+-，则顶点为（-3，-9），顶点（-3，-9）关于原点的对称点为（3，9），当x ＝3时，y ＝27≠9，则对称点不在该函数图像上，故D 选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．18．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（）A ．2B ．4C ．3D ．3【答案】C【解析】【分析】点P 、Q 的速度比为3：3，根据x ＝2，y ＝63，确定P 、Q 运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB ＝a ，∠C ＝30°，则AC ＝2a ，BC ＝3a ，设P 、Q 同时到达的时间为T ，则点P 的速度为3a T ，点Q 的速度为3a ，故点P 、Q 的速度比为3：3，故设点P 、Q 的速度分别为：3v 、3v ，由图2知，当x ＝2时，y ＝63，此时点P 到达点A 的位置，即AB ＝2×3v ＝6v ， BQ ＝2×3v ＝23v ，y ＝12⨯AB ×BQ ＝12⨯6v ×23v ＝63，解得：v ＝1，故点P 、Q 的速度分别为：3，3，AB ＝6v ＝6＝a ，则AC ＝12，BC ＝63，如图当点P 在AC 的中点时，PC ＝6，此时点P 运动的距离为AB +AP ＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ ＝3x ＝43，CQ ＝BC ﹣BQ ＝63﹣43＝23，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×12＝3，同理CH ＝3，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝333，PQ 22PH HQ +39+3，故选：C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．19．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,2，将抛物线21322y x x =-+沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（）A ．12B ．1C ．5D ．52【答案】B【解析】【分析】先求出平移后P 点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项．【详解】解：21322y x x =-+=()215322x --，当沿水平方向平移时，纵坐标和P 的纵坐标相同，把y=2代入得：解得：x=0或6，平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P 的横坐标相同，把x=1代入得：解得：y=12-，平移的最短距离为152=22⎛⎫--⎪⎝⎭，即平移的最短距离是1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键．20．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断．【详解】解：Q 抛物线开口向下，0a ∴<，Q 对称轴12b x a=-=， 0b ∴>，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，0c ∴>，0abc ∴<，故①错误；Q 抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，故②正确；Q 对称轴12b x a=-=， 2a b ∴=-， 20a b ∴+=，故③正确；根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．。

专题05 二次函数与实际应用(图形动态问题)-2022年中考数学二次函数重点题型(全国通用版)解析版

专题05 二次函数与实际应用（图形动态问题）1．（2021—2022江苏苏州九年级月考）如图所示，已知ABC 中，12BC =，BC 边上的高6h =，D 为BC 上一点，//EF BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，设点E 到边BC 的距离为x ，则DEF 的面积y 关于x 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】可过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，所以根据相似三角形的性质可求出EF ，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：如图，过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，∵//EF BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF h x BC h -=，即6126EF x -=， ∴()26EF x =-，∴y =12×2（6-x ）x =-x 2+6x （0＜x ＜6），∴该函数图象是抛物线y =-x 2+6x （0＜x ＜6）的部分，故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象，解题的关键是综合运用相关知识解题．2．（2021·山东邹城·中考二模）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是射线AB 上的动点（点E 不与点A ，点B 重合），点F 在线段DA 的延长线上，且AF AE =，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒得到EG ，连接,,EF FB BG ．设AE x =，四边形EFBG 的面积为y ，下列图象能正确反映出y 与x 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．【详解】解：∵四边形ABCD 是边长为1的正方形，∴∠DAB =90°，AD =AB ，在△ADE 和△ABF 中，AD AB DAE BAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ABF （SAS ），∴∠ADE =∠ABF ，DE =BF ，∵∠DEG =90°，∴∠ADE +∠AED =∠AED +∠BEG ，∴∠BEG =∠ADE ，∴∠BEG =∠ABF ，∴EG //BF ，∵DE =BF ，DE =GE ，∴EG =BF ，∴四边形BFEG 是平行四边形，∴四边形EFBG 的面积=2△BEF 的面积=2⨯12BE •AF ，设AE =x ，四边形EFBG 的面积为y ，当0≤x ≤1时，y =（1-x ）•x =-x 2+x ；当x ＞1时，y =（x -1）•x =x 2-x ；综上可知，当0≤x ≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x ＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，符合上述特征的只有B ，故选：B ．【点睛】本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．3．（2021·山东威海·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，2cm AB =，60D ∠=︒，点P ，Q 同时从点A 出发，点P 以1cm /s 的速度沿A ﹣C ﹣D 的方向运动，点Q 以2cm /s 的速度沿A﹣B ﹣C ﹣D 的方向运动，当其中一点到达D 点时，两点停止运动．设运动时间为x （s ），APQ的面积为y （cm 2），则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先证明∠CAB =∠ACB =∠ACD =60°，再分0≤x ≤1、1＜x ≤2、2＜x ≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠D =60°，∴△ABC ，ACD 都是等边三角形，∴∠CAB =∠ACB =∠ACD =60°．如图1，当0≤x ≤1时，AQ =2x ，AP =x ，作PE ⊥AB 于E ，∴sin PE AP PAE x =∠=， ∴21332222y x x =⨯=，故D 选项不正确；如图2，当1＜x ≤2时，CP =2-x ，CQ =4-2x ，BQ =2x -2，作PF ⊥BC 与F ，作QH ⊥AB 于H ，∴)sin 2PF CP PCF x =∠=-，))sin 221QH BQ B x x =∠=-=-，∴)()()22113221422222y x x x x =-⨯--⨯--=，故B 选项不正确；当2＜x ≤3时，CP =x -2，CQ =2x -4，∴PQ =x -2，作AG ⊥CD 于G ，∴sin 2AG AC ACD =∠==∴()132322y x x =⨯-= 故C 不正确．故选：A【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键．4．（2021—2022福建厦门市九年级期中）如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系xOy 中，A ，(0,2)C ．抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点B ，C ，顶点为D ．将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜360°），得到矩形OA 'B 'C '，记A 'C '的中点E ，连结DE ，线段DE 的长度最大值为 ___．【答案】2##【分析】由A 0)，(0,2)C ，得B ，2)，用待定系数法可得抛物线解析式为22y x =-++，即得顶点D 5)，可得27OD ，根据E 为A C ''的中点，得11222OE A C AC ''===，当D 、O 、E 不构成三角形，即E 在DO 的延长线上时，DE 的长度最大，此时2DE OD OE =+=．【详解】解：如图：四边形OABC 是矩形，A 0)，(0,2)C ，B ∴2)，4AC =，将B ，2)，(0,2)C 代入2y x bx c =-++得：2122c c ⎧=-++⎪⎨=⎪⎩，解得2b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴抛物线解析式为22y x =-++，∴顶点D 5)，OD ∴=E 为A C ''的中点，11222OE A C AC ''∴===，在DOE ∆中，DE OD OE <+，∴当D 、O 、E 构成三角形时，2DE <，当D 、O 、E 不构成三角形，即E 在DO 的延长线上时，DE 的长度最大，如图：此时2DE OD OE =+=，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握E 在DO 的延长线上时，DE 的长度最大．5．（2021·浙江·温州市实验中学九年级月考）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝10，CD ＝P 从点A 沿着A －B －C 运动，同时点Q 从点D 沿着D －A 运动，它们同时到达终点，设点P 运动的路程为x ，AQ 的长度为y ，且2163y x =-+．（1）求AD ，BC 的长和四边形ABCD 的面积．（2）连接PQ ，设△APQ 的面积为S ，在P ，Q 的运动过程中，S 是否存在最大值，若存在，求出S 的最大值；若不存在，请说明理由．（3）当PQ与四边形ABCD其中一边垂直时，求所有满足要求的x的值．【答案】（1）120；（2）存在，最大值为1123；（3）24043x=或487x=或12x=【分析】（1）当x＝0时，当y＝0时，分别求解得出对应线段的长度，过点B作BM⊥AD，过点D作DN⊥BC，求出高，即可求解；（2）分情况讨论（点P在线段AB上、当P在BC上时），得出△APQ的面积的函数表达式，根据函数性质求解即可；（3）分三种情况讨论，利用三角形相似的性质求解即可．【详解】解（1）：由题意：∵P，Q两点同时到达终点，所以，当x＝0时，y＝16，即AD＝16；当y＝0时，x＝24，所以BC＝14过点B作BM⊥AD，过点D作DN⊥BC，如下图：又∵AD∥BC，可知四边形BMDN为矩形设AM＝m，∴MD＝16－m，即BN＝16－m，∴CN＝m－2，根据BM＝DN，可得：102－m2＝2－（m－2）2，解得m＝6．即BM＝8，4CN=∴四边形ABCD 的面积为：（16＋14）×8÷2＝120（2）当点P 在线段AB 上时，010x <≤，作PE AD ⊥，如下图，则//PE BM ，∴APE ABM △∽△ ∴AP PE AE AB BM AM ==，即45PE x =，35AE x = 21124432(16)2235155APQ S AQ PE x x x x =⨯=-+⨯=-+△ 对称轴为12x =，0a <又∵010x <≤∴10x =时，APQ S 最大，为1123当P 在BC 上时，1024x ≤≤， 186423APQ S AQ BM x =⨯=-+△ 0k <，APQ S 随x 的增大而减小，综上所述，APQ S 的最大值为1123（3）当PQ AB ⊥时，如下图：∴APQ AMB △∽△ ∴AP AQ AM AB =，即2163610x x -+=，解得487x = 当PQ BC ⊥时，可得BP MQ =，即2101663x x -=-+- 解得12x =当PQ CD ⊥时，如下图：∵//AD BC ，∴C QDH ∠=∠又∵90H CND PEQ ∠=∠=∠=︒，PQE DQH ∠=∠∴PEQ DHQ CND △∽△∽△ ∴PE CN EQ DN= 由（1）（2）得45PE x =，35AE x =，4CN =，8DN = ∴231635EQ x x =-+- ∴4452381635x x x =-+-，解得24043x = 综上所得24043x =或487x =或12x = 【点睛】本题考查了一次函数图象和性质，二次函数最值问题，三角形面积，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，是一道关于四边形的综合题，解题关键是熟练掌握并运用二次函数性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，并应用数形结合思想、方程思想和分类讨论思想解决问题．6．（2021·吉林·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，AD =．动点P 从点A 出发沿折线AB BC -向终点C 运动，在边AB 上以1cm/s 的速度运动；在边BC的速度运动，过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为()s x ，DPQ 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．（1）当点P 与点A 重合时，直接写出DQ 的长；（2）当点P 在边BC 上运动时，直接写出BP 的长（用含x 的代数式表示）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】（1）1；（2）)3PB x =-；（3）222)3)(34)x x y x x x ≤≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩ 【分析】（1）在Rt PDQ中，由tan 60ADDQ︒== （2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=，则点P 在BC上时)3PB x -．（3）分类讨论①：点P 在AB 上，点Q 在CD 上；②：点P 在AB 上，点Q 在DC 延长线上；③：点P 在BC 上．【详解】解：（1）如图，在Rt PDQ中，AD =60PQD ∠=︒，∴tan 60ADDQ︒==∴1DQ AD ==．（2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=， ∴点P 在BC上时：)3PB x -．（3）当03x ≤≤时，点P 在AB 上，作PM CD ⊥于点M ，PQ 交AB 于点E ，作EN CD ⊥于点N ，同（1）可得1MQ AD ==． ∴1DQ DM MQ AP MQ x =+=+=+，当13x +=时2x =，①∴02x ≤≤时，点Q 在DC 上，∵tan BC BDC CD ∠==∴30DBC ∠=︒， ∵60PQD ∠=︒， ∴90DEQ ∠=°． ∵1sin 302EQ DQ ︒==， ∴1122x EQ DQ +==，∵sin 60EN EQ ︒==，∴)1EN x ==+，∴()))21111122y DQ EN x x x =⋅=++=+)202x x =≤≤．②当23x <≤时，点Q 在DC 延长线上，PQ 交BC 于点F ，如图， ∵132CQ DQ DC x x =-=+-=-，tan 60CFCQ︒=，∴)tan 602CF CQ x =⋅︒-，∴211(2)2)22CQF S CQ CF x x =⋅=--=-+△∴22DEQ CQF y S S =-=+-+⎝△△23)x x x =<≤．③当34x <≤时，点P 在BC 上，如图，∵3)CP CB BP x =--=，∴11(34)22y DC CP x x =⋅=⨯=<≤．综上所述：222)3)(34)x x y x x x x ≤≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩．【点睛】题目主要考察运用三角函数解三角形求出相应边的长度，然后利用三角形面积公式确定函数解析式，同时也对二次函数在几何动点问题进行考察，难点是在进行分类讨论时，作出对应图形并作出相应辅助线，同时确定相应的自变量范围．7．（2021·湖北天门·中考真题）如图1，已知45RPQ ∠=︒，ABC 中90ACB ∠=︒，动点P 从点A出发，以的速度在线段AC 上向点C 运动，,PQ PR 分别与射线AB 交于E ，F 两点，且PE AB ⊥，当点P 与点C 重合时停止运动，如图2，设点P 的运动时间为s x ，RPQ ∠与ABC 的重叠部分面积为2cm y ，y 与x 的函数关系由15(0)C x <≤和2()5C x n <≤两段不同的图象组成．（1）填空：①当5s x =时，EF =______cm ； ②sin A =______；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）当236cm y ≥时，请直接写出．．．．x 的取值范围．【答案】（1）①10；（2）222(05)34360900(56)x x y x x x ⎧<≤=⎨-+-<≤⎩；（3）6x ≤≤．【分析】（1）①先根据等腰直角三角形的判定与性质可得EF PE =，再根据5x =时，50y =即可得； ②先根据运动速度和时间求出AP 的长，再根据正弦三角函数的定义即可得；（2）先求出当点P 与点C 重合时，n 的值，再分05x <≤和5x n <≤两种情况，解直角三角形求出PE 的长，然后利用三角形的面积公式即可得；（3）分05x <≤和56x <≤两种情况，分别利用二次函数的性质即可得．【详解】解：（1）①,45PE AB RPQ ∠=︒⊥，Rt EFP ∴是等腰直角三角形， EF PE ∴=，由图可知，当5x =时，2115022y EF PE EF =⋅==，解得10EF =或10EF =-（不符题意，舍去），故答案为：10；②由题意得：当5x =时，5AP ==则sinPE EF A AP AP ==（2）由函数图象可知，当5x =时，点F 与点B 重合，如图所示：10cm AP PE EF ===，20cm AE ∴=，30cm AB AE BE AE EF ∴=+=+=，在Rt ABC 中，sin BC AB A =⋅=，AC ∴=，则当点P 与点C 重合时，6()n s ==，①当05x <≤时，cm AP =，sin 2cm EF PE AP A x ==⋅=，则2211222RtEFPy S EF PE EF x ==⋅==； ②当56x <≤时，如图，设PR 交BC 于点N ，过点F 作FM AC ⊥，交AC 延长线于点M ，连接BP ，2cm AP =，sin 2cm EF PE AP A x ==⋅=，4cm AE x ∴==，)cm CP AC AP =-=， (304)cm BE AB AE x ∴=-=-，6cm AF EF AE x =+=，在Rt AFM △中，sin cm FM AF A x =⋅=，cm AM ∴，cm PM AM AP ∴=-=， ,90FM AC ACB ∠=︒⊥，//BC FM ∴， PCN PMF ∴~，CN CP FM PM ∴==，解得(cm)CN =，BN BC CN ∴=-=-，则1122BNP BEPy SSBN CP BE PE =+=⋅+⋅，11)(304)222x x =-+-⋅， 234360900x x =-+-，综上，222(05)34360900(56)x x y x x x ⎧<≤=⎨-+-<≤⎩；（3）①当05x <≤时，22y x =，令2236x =，解得x =x =-，在05x <≤内，y 随x 的增大而增大，∴当36y ≥时，5x ≤；②当56x <≤时，234360900x x y =-+-，此二次函数的对称轴为3609034217x =-=-⨯，则由二次函数的性质可知，当90517x <≤时，y 随x 的增大而增大；当90617x <≤时，y 随x 的增大而减小，当5x =时，2345360590050y -⨯+⨯-==，当6x =时，234636069003650y -⨯+⨯-=<=，则当6x =时，y 取得最小值，最小值为36，即在56x<≤内，都有36y ≥，综上，当236cm y ≥时，x 的取值范围为6x ≤．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．8．（2021·内蒙古·包头市第四十八中学九年级月考）在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm /s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm /s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：BQ ＝，PB ＝（用含t 的代数式表示）；（2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于26cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在t 的值，使△BPQ 的面积最大，若存在，请直接写出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2t ，(5)t -；（2）2；（3）存在．1t =时，使得五边形APQCD 的面积等于26 2cm ；（4）存在， 52t =时，使得PBQ ∆的面积最大，等于2542cm ．【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可；（2）利用勾股定理得到方程222(5)(2)5t t -+=，求解即可得到结果；（3）根据长方形ABCD 的面积减去PBQ ∆的面积等于五边形APQCD 的面积，列出方程，然后求解即可得到结果；（4）根据（3）可知PBQ ∆的面积为252524t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，据此求解即可．【详解】解：（1）由题意：2BQ t = cm ，(5)PB t cm =-，故答案为2t ，(5)t -．（2）由题意得：222(5)(2)5t t -+=，解得10t =（不合题意，舍去），22t =， ∴当t=2秒时，PQ 的长度等于5cm ．（3）存在．理由如下：长方形ABCD 的面积是：25630()cm ⨯=，使得五边形APQCD 的面积等于26 2cm ，则PBQ ∆的面积为230264()cm -=，即有：11(5)2422PB BQ t t =-=，解得14t =，21t =．当4t =时，28BQ t BC ==>，不合题意，舍去，即当1t =时，使得五边形APQCD 的面积等于262cm ．（4）存在，理由如下：由（3）可知PBQ ∆的面积为2211525(5)252224PB BQ t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，即当52t =时，使得PBQ ∆的面积最大，等于2542cm ．【点睛】本题考查四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积，最值等知识，利用参数构建方程解决问题是解题的关键．9．（2021·广东佛山·九年级月考）如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90º，AC =4cm ，BC =3cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /s ；点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm /s ；连结PQ ．若设运动时间为t （s ）（0<t <2），解答下列问题：（1）当t 为何值时？PQ //BC ？（2）设△APQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系？（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的周长和面积同时平分？若存在求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（4）如图2，连结PC ，并把△PQC 沿AC 翻折，得到四边形PQP 'C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP 'C 为菱形？若存在求出此时t 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）t =107；（2）y =-235t +3t （0<t <2）；（3）不存在，理由见解析；（4）存在，t =109【分析】（1）当PQ ∥BC 时，我们可得出△APQ 和△ABC 相似，那么可得出关于AP ，AB ，AQ ，AC 的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有AC，根据P，Q的速度，可以用时间t表示出AQ，BP的长，而AB可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出AP，那么将这些数值代入比例关系式中，即可得出t的值．（2）过点P作PD⊥AC于D，则有△APD∽△ABC，由相似三角形的性质构建二次函数即可解决问题．（3）如果将△ABC的周长和面积平分，那么AP＋AQ＝BP＋BC＋CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（2）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是△ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．（4）过P作PD⊥AC于点D，若QD=CD，则PQ=PC，四边形PQP'C就为菱形，同（2）的方法求出AD的表达式，再根据QD=CD即可求出t的值．【详解】解：（1）连接PQ，4,3,90,AC BC C==∠=︒5,AB∴==若APAB=AQAC时，PQ//BC，即55t-=24t，∴t=10 7（2）过P作PD⊥AC于点D，则有APAB=PDBC，即55t-=3PD，∴PD=35（5-t）∴y=12·2t·35（5-t）=-235t+3t（0<t<2）（3）若平分周长则有：AP+AQ=12（AB+AC+BC），即：5－t +2t =6， ∴t =1当t =1时，y =3.4；而三角形ABC 的面积为6，显然不存在．（4）过P 作PD ⊥AC 于点D ，若QD =CD ，则PQ =PC ，四边形PQP 'C 就为菱形．同（2）方法可求AD =45（5-t ），所以： 45（5-t ）-2t =4-45（5-t ）；解之得：t =109．即t =109时，四边形PQP 'C 为菱形．【点睛】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会由参数构建方程解决问题． 10．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，OAB 是等腰直角三角形，90,OBA BO BA ∠=︒=，顶点()4,0A ，点B 在第一象限，矩形OCDE 的顶点7,02E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第二象限，射线DC 经过点B ．（Ⅰ）如图①，求点B 的坐标；（Ⅰ）将矩形OCDE 沿x 轴向右平移，得到矩形O C D E ''''，点O ，C ，D ，E 的对应点分别为O '，C '，D ，E '，设OO t '=，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积为S ．①如图②，当点E '在x 轴正半轴上，且矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分为四边形时，D E ''与OB 相交于点F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围； ②当5922t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）点B 的坐标为()2,2；（Ⅰ）①21717228S t t =-+-， t 的取值范围是1142t ≤<；②2363816S ≤≤．【分析】(I )过点B 作BH OA ⊥，垂足为H ，由等腰三角形的“三线合一”性质得到122OH OA ==，再由∠BOH =45°得到△OBH 为等腰直角三角形，进而2BH OH ==，由此求得B 点坐标； (II )①由平移知，四边形O C D E ''''是矩形，得790,2O E D O E OE '''''∠=︒==，进而得到72FE OE t '==-'，再由重叠部分面积OABFOE S S S'=-即可求解；②画出不同情况下重叠部分的图形，分5722t ≤≤和7922t <≤两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t 的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解．【详解】解：(I )如图，过点B 作BH OA ⊥，垂足为H ．由点()4,0A ，得4OA =． ∵,90BO BA OBA =∠=︒，∴122OH OA ==．又∠BOH =45°，∴△OBH 为等腰直角三角形，∴2BH OH ==． ∴点B 的坐标为()2,2．(II )①由点7,02E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得72OE =．由平移知，四边形O C D E ''''是矩形，得790,2O E D O E OE '''''∠=︒==． ∴72OE OO O E t '''='=--，90FE O ∠='︒．∵BO BA =，90OBA ∠=︒， ∴45BOA BAO ∠=∠=︒． ∴9045OFE BOA ∠=︒-∠='︒ ∴FOE OFE ∠=∠''． ∴72FE OE t '==-'． ∴2117222FOE SOE FE t '⎛⎫=⋅=- ⎪⎝'⎭'． ∴211742222OABFOE S S St '⎛⎫=-=⨯⨯-- ⎪⎝⎭．整理后得到：21717228S t t =-+-．当'O 与A 重合时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时4OO t '==，当'D 与B 重合时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到'E 与A 点重合，如下图(2)所示：此时''711222t OO DD ===+=， ∴t 的取值范围是1142t ≤<，故答案为：21717228S t t =-+-，其中：1142t ≤<；②当5722t ≤≤时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积如下图3所示：此时'4AO t =-，∠BAO =45°，'AO F 为等腰直角三角形， ∴''4AO FO t ， ∴22'111''(4)48222AO FSAO FO t t t ， ∴重叠部分面积22'114(48)4422AOBAO FS SSt t t t ， ∴S 是关于t 的二次函数，且对称轴为4t =，且开口向下，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将72t =代入，得到最大值217731()442228S ，将52t =代入，得到最小值215523()442228S，当7922t <≤时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积如下图4所示：此时''4'AO OA OO t FO =-=-=，7'''2OE EE EO t ME =-=-= 'AO F 和'OE M 均为等腰直角三角形， ∴22'111''(4)48222AO FSAO FO t t t ， 22'1171749''()222228OE MSOE ME t t t ， ∴重叠部分面积222''1174915814(48)()222828AOBOE MAO FS SSSt t t t t t ， ∴S 是关于t 的二次函数，且对称轴为154t =，且开口向下，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将154t =代入，得到最大值21515158163()424816S ，将92t =代入，得到最小值291598127()22288S ， ∵272388，6331168， ∴S 的最小值为238，最大值为6316，故答案为：2363816S ≤≤．【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论． 11．（2021·安徽·中考一模）如图，直线443y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，过点()40C ，的直线恰好与y 轴交于点B ，点P 为线段AC 上的一动点（点P 与点A ，C 不重合），过点P 作//PQ BC 交AB 于点Q ，点A 关于PQ 的对称点为点D ，连接PD QD BD ，，．（1）当点D 恰好落在BC 上时，求点P 的坐标；（2）设点P 的坐标为()0m ,，若PDQ 和ABC 重叠部分的面积S 与点P 的横坐标m 之间的函数解析式为221(3)326161 4772a m m S m bm m ⎧⎛⎫+-<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++<< ⎪⎪⎝⎭⎩，，其图象如图②所示，请结合图①、②，求出a ，b 的值；（3）当BDQ △为直角三角形时，求出点P 的坐标．【答案】（1）1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）27a =，207b =；（3）点P 的坐标为3,07⎛⎫ ⎪⎝⎭或4,07⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由直线AB 与y 轴交于点B ，即可得出()04B ，，再由()40C ，，易得直线BC 的解析式为4y x =-+．设点P 的坐标为()0x ，，由题意可知4OB OC PQ BC ==，∥，即可求出290APD QPA ∠=∠=︒，所以可知点D 的坐标为()4x x -+，，最后由AP PD =，即可得出34x x +=-+，解x 即可得出点P 的坐标；（2）设直线PQ 的解析式为y x n =-+，即得y x m =-+．联立443y x y x m⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，可求出Q 点坐标为31241277m m -+⎛⎫⎪⎝⎭，．当231m -<≤时，点D 在ABC 内，即PQDAPQS SS==，即可列出等式，求出a ．再由函数图象可知点3227⎛⎫⎪⎝⎭，在267671m S bm ++=-的图象上，即3261642777b =-⨯++，解出b 即可．（3）由（2）可知312412(04)(3)77m m B D m m Q -+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，，，．由于BQD ∠不可能为90︒，所以分类讨论①当BDQ ∠为直角时，过点Q ，B 作PD 的垂线，分别交PD 及其延长线于点M ，N ，连接BD ．由余角的性质可推出MDQ NBD ∠=∠，即tan tan MDQ NBD ∠=∠，所以MQ NDMD BN=，由题意可知3124124123934(3)17777m m m m MQ m MD m BN m ND m m -+++=-==+-===-+=-，，，，即41217397m m m m+-=+，解出m 即可求出P 点坐标．②当QBD ∠为直角时，即BD QB ⊥，由此可得直线BD 的解析式为344y x =-+，将()3D m m +，代入，即3344m m +=-+，解出m即可求出P 点坐标．【详解】（1）对于直线443y x =+，令x =0，则y =4；令y =0，则x =-3． ∴B 点坐标为()04，，A 点坐标为()30-，．设经过点B 、C 的直线解析式为y kx b =+，则404bk b =⎧⎨=+⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∴设经过点B 、C 的直线解析式为4y x =-+．设点P 的坐标为()0x ，， ∵4OB OC PQ BC ==，∥， ∴45QPA BCO ∠=∠=︒， ∴290APD QPA ∠=∠=︒，∴点D 的坐标为()4x x -+，， ∵AP PD =，∴34x x --=-+（），解得12x =， ∴点P 的坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭，；（2）设直线PQ 的解析式为y x n =-+，将点()0P m ，代入得直线PQ 的解析式的得：y x m =-+，联立443y x y x m ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得31274127m x m y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．∴31241277m m Q -+⎛⎫⎪⎝⎭，．当231m -<≤时，点D 在ABC 内， ∴重叠部分的面积即为PQD △的面积， ∴[]()()221133224122(3)77PQDAPQQ S S SAP y m a m m m +-===⋅=+=-⋅=+， ∴27a =， ∵由函数图象可得，当2m =时，327S =， ∴将3227⎛⎫⎪⎝⎭，代入267671m S bm ++=-，得3261642777b =-⨯++，解得207b =．（3）由（2）得，312412(04)(3)77m m B D m m Q -+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，，，．分析题目可知BQD ∠不可能为90︒，∴①当BDQ ∠为直角时，过点Q 、B 作PD 的垂线，分别交PD 及其延长线于点M 、N ，连接BD ．∵9090NDB NBD NDB MDQ ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴MDQ NBD ∠=∠， ∴tan tan MDQ NBD ∠=∠，即MQ NDMD BN=， ∵3124124123934(3)17777m m m m MQ m MD m BN m ND m m -+++=-==+-===-+=-，，，，∴41217397m m m m+-=+，解得37m =或3m =-（舍去），∴点P 的坐标为307⎛⎫⎪⎝⎭，； ②当QBD ∠为直角时，即BD QB ⊥，由此可得直线BD 的解析式为344y x =-+，将()3D m m +，代入，得3344m m +=-+，解得：47=m ， ∴407P ⎛⎫⎪⎝⎭，．综上，当BDQ △为直角三角形时，点P 的坐标为307⎛⎫ ⎪⎝⎭，或407⎛⎫⎪⎝⎭，．【点睛】本题为一次函数与二次函数综合题．考查利用待定系数法求解析式，平行线的性质，两直线的交点问题，解直角三角形，两垂直直线的比例系数的关系，综合性强，很难．正确的作出辅助线和利用分类讨论的思想是解答本题的关键．12．（2021·江苏·淮安市中考模拟预测）如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，点,A C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，连接,3,30AC OA OAC =∠=︒，点D 是BC 的中点．（1）OC =_________；点D 的坐标为_________；（2）若在矩形边BC 上存在点E 满足2CE =，如图2，动点P 从点C 出发，沿C O A --以每秒1个单位长度匀速运动，到达点A 后停止运动．点P 在运动过程中，记点C 关于直线PE 的对称点为点C '，求当t 为何值时，点C '落在矩形的一边上．（3）过,,O B D 三点的抛物线记为1C ，点F 为直线OB 上方的抛物线1C 上一点，已知点()1,1M ，点()3,1N ，过,M N 两点的抛物线记为()22:0C y ax bx c a =++<①当FBO BAD ∠=∠时，求点F 的坐标；②过点O 作OG BF ⊥交直线BF 于点G ，记m =，若直线y mx =与抛物线2C 恰好有3个交点，请直接写出实数a 的值．【答案】（132⎛ ⎝；（2),1s ；（3）①⎛ ⎝；②91,.22-- 【分析】（1）由四边形OABC 是矩形，3,30OA OAC =∠=︒，利用锐角三角函数与中点的含义可得答案；（2）分两种情况讨论，如图，当P 在CO 上时，则0t ≤≤ 由,C C '关于PE 对称，则,,,PC PC t OP t CC PE ''===⊥ 再表示32CP OC tOC CE '== 再由勾股定理列方程)222,t t=+⎝⎭解方程可得答案，如图，当P 在AO 上时，3,t ≤≤ 由,C C '关于PE 对称，则2,CE C E '== 此时,A C '重合，同理可得：(3,OP t PC PA t PC '===-= 而(222,PC t =+ 再列方程解方程可得答案；（3）①先求解过,,O B D 抛物线的解析式为：2,y = 如图，作DAB 的外接圆K ，过D 作//,DP OB 与外接圆交于点,P 连接BP 与抛物线的交点为,F 外接圆与OB 交于,H 连接,,,DH FH DA 当//,DP OB 证明,BHD BAD FBO ∠=∠=∠则满足条件，再求解DP 为y = P 的坐标为15,8P ⎛ ⎝⎭同理可得：BP 的解析式为：y = 再解方程组可得答案；②由()1,1M ，点()3,1N ，求解抛物线为()22:4310C y ax ax a a =-++<如图，延长BF 交y 轴于,Q 过O 作OG BF ⊥于,G 过G 作GT y ⊥轴于,T 再求解OG ==可得3,m === 正比例函数为：3y x =或3,y x =- 显然：3y x =-与抛物线记为()22:4310C y ax ax a a =-++<有两个交点，所以：3y x =与抛物线记为()22:4310C y ax ax a a =-++<只有一个交点，从而可得答案．【详解】解：（1）四边形OABC 是矩形，3,30OA OAC =∠=︒，113tan 30,222OC OA CD BC OA ∴=︒=== 3.2D ⎛∴ ⎝（2）如图，当P 在CO 上时，则0t ≤≤ 由,C C '关于PE 对称，则,,,PC PC t OP t CC PE ''===⊥90,PCC CPE CPE CEP '∴∠+∠=︒=∠+∠ ,PCC CEP '∴∠=∠ tan tan ,PCC CEP '∴∠=∠,CP OC CE OC'∴= 32CP OC tOC CE '∴==)222,t t∴=+⎝⎭(30,t t ∴--=解得：t =t =，如图，当P 在AO 3,t ≤ 由,C C '关于PE 对称，则2,CE C E '== 此时,A C '重合，同理可得：(3,OP t PC PA t PC '===-=而(222,PC t =+((2233,t t ⎡⎤∴+=-⎣⎦66,t ∴=1,t ∴=综上：当t =或)1t s =时，点C '落在矩形的一边上．（3）①设过()(30,0,,2O B D ⎛ ⎝的抛物线为2,y ax bx =+939342a b a b ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩解得：a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为：2,y x = 如图，作DAB 的外接圆K ，过D 作//,DP OB 与外接圆交于点,P 连接BP 与抛物线的交点为,F 外接圆与OB 交于,H 连接,,,DH FH DA当//,DP OB 则,DPH PHB ∠=∠∴ ,DH BP = ,BD PH ∴=,BHD BAD FBO ∴∠=∠=∠满足条件，设OB 为,y kx =则3k =k ∴=∴ 设DP为,y b + 3,3,2D ⎛⎝b = b ∴= ∴DP 为y x = ()390,,3,0,2ABD D A ⎛∠=︒⎝9,44K DK AK ⎛∴=== ⎝⎭设,P x ⎛ ⎝⎭由PK DK =可得，2229,4x ⎫⎛⎫∴-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()815230,x x ∴--=12153,,82x x ∴== 当158x =时，158y =15,8P ⎛∴ ⎝⎭同理可得：BP的解析式为：y =2,y y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩解得：2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ()3,3,B.F ⎛∴ ⎝ ②由()1,1M ，点()3,1N ，过,M N 两点的抛物线记为()22:0C y ax bx c a =++<1931a b c a b c ++=⎧∴⎨++=⎩可得：431b a c a =-⎧⎨=+⎩ ∴ 抛物线为()22:4310C y ax ax a a =-++<如图，延长BF 交y 轴于,Q 过O 作OG BF ⊥于,G 过G 作GT y ⊥轴于,T90,QGT OGT TOG OGT ∴∠+∠=︒=∠+∠,QGT TOG ∴∠=∠tan tan ,QGT TOG ∴∠=∠,QT TG TG TO∴= 则2,TG QT TO =:BF y = 则,Q ⎛ ⎝⎭ 设,,G x x ⎛ ⎝⎭2,x ⎛∴= ⎝⎭G 在第一象限，则x ＞0,3,7x ∴= 则OG =3,m ∴=== 3,m ∴=±∴ 正比例函数为：3y x =或3,y x =-显然：3y x =-与抛物线()22:4310C y ax ax a a =-++<有两个交点，所以：3y x =与抛物线()22:4310C y ax ax a a =-++<只有一个交点，∴ 24313ax ax a x -++=有两个相等的实数根，()243310ax a x a ∴-+++=时，=0,242090,a a ∴++=1291,,22a a ∴=-=- 【点睛】本题考查的矩形与二次函数的综合题，考查了矩形与折叠，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，难度大，灵活选择解题方法是解题的关键．。

专题01 二次函数(重点)(解析版)

专题01 二次函数（重点）一、单选题1．下列y 关于x 的函数中，属于二次函数的是（）A ．y ＝（x +1）2﹣x 2B ．y ＝ax 2+bx +cC ．y ＝3x 2﹣1D ．y ＝3x ﹣1【答案】C【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义和概念一般地，把形如²y ax bx c =++（0a ¹）（a b c 、、是常数）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．【解析】A. y ＝（x +1）2﹣x 221x =+，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；B. y ＝ax 2+bx +c （0a ¹），故该选项不正确，不符合题意；C. y ＝3x 2﹣1，是二次函数，故该选项正确，符合题意；D. y ＝3x ﹣1，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；故选C【点睛】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题的关键．2．二次函数y ＝2（x ﹣1）2+2图象的顶点坐标（）A ．(-1，2)B ．(2，1)C ．(1，2)D ．(1，-2)【答案】C【分析】根据二次函数2()y a x h k =-+ 顶点坐标是()h k ，进行解答即可．【解析】解：∵二次函数2()y a x h k =-+顶点坐标是()h k ，，∴二次函数2212y x +=(﹣)图象的顶点坐标为（1，2）．故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键．3．把抛物线y ＝2(x ﹣1)2+3先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是（）A ．y ＝2(x +2)2+4B ．y ＝2(x ﹣4)2+4C ．y ＝2(x +2)2+2D ．y ＝2(x ﹣4)2+2【答案】B【分析】根据平移的性质先得到平移后得到的抛物线的顶点坐标为()4,4 ，即可求解．【答案】B【分析】利用抛物线与x 轴的交点个数可对A 进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对B 进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x =-3，则根据二次函数的性质可对C 进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y =ax 2+bx +c 上的点（-1，-4）的对称点为（-5，-4），则可对D 进行判断．【解析】解：A 、图象与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，b 2﹣4ac ＞0，所以b 2＞4ac ，故A 选项不符合题意；B 、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax 2+bx +c ≥﹣6，故B 选项符合题意；C 、抛物线的对称轴为直线x =﹣3，因为﹣4离对称轴的距离等于﹣2离对称轴的距离，所以m =n ，故C 选项不符合题意；D 、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D 选项不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合是解题的关键．9．如图，ABC V 中，90C Ð=°，15AC =，20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止，过点D 作DE AB ^，垂足为E ．设点D 运动的路径长为x ，BDE △的面积为y ，若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（）A ．54B ．52C ．50D ．48【答案】B 【分析】根据点D 运动的路径长为x ，在图中表示出来，设,25AE z BE z ==-，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到BDE △的值．【解析】解：当10x =时，由题意可知，10,5AD CD ==，故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．10．如图，二次函数2y ax=+上移动，MN∥y轴，NR∥x轴，标的最大值为3，则a -b +c 的最大值是（）A ．15B ．18C ．23D ．32【答案】C 【分析】先求出N ，R 的坐标，观察图形可知，当顶点在R 处时，点B 的横坐标为3，由此求出a 值，当=1x -时y a b c =-+，当顶点在M 处时y a b c =-+取最大值，求此可解．【解析】解：(6,2)M --Q ，MN ＝2，NR ＝7，(6,4)N \--，(1,4)R -，由题意可知，当顶点在R 处时，点B 的横坐标为3，则抛物线的解析式为2(1)4y a x =--，将点B 坐标(3,0)代入上式得，20(31)4a =--，解得，1a =，当=1x -时，y a b c =-+，观察图形可知，顶点在M 处时，y a b c =-+取最大值，此时抛物线的解析式为：2(6)2y x =+-，将=1x -代入得，2(16)223y a b c =-+=-+-=，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数2y ax bx c =++图像的性质，解题关键时利用数形结合的思想，判断出抛物线顶点在R 处时点B 的横坐标取最大值，由此求出a 值．二、填空题【答案】41x -££【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的【解析】解：∵抛物线2y ax c =+∴不等式2ax c kx m +³+的解集是故答案为41x -££．所以当直线y x m =-+与新图象有4个交点时，m 的取值范围为62m -<<-．故答案为：62m -<<-．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ¹）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)根据图象直接写出当21y y <时x 的取值范围．【答案】(1)()1,0A -，()3,0B(1)求点B的坐标和抛物线的表达式．(2)将抛物线顶点向上平移m的值．【答案】(1)B点坐标为(5,0)(2)254 m=(1)求直线AC 的函数表达式；(2)若将直线AC 沿y 轴的正方向向上平移【答案】(1)1y x =+(2)9n 4=(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点E 是抛物线上的第一象限的点，求ACE S V 的最大值，并求(3)如图2，在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使ACP △是等腰三角形？若存在，直接写出点若不存在请说明理由．【答案】(1)抛物线解析式为：213222y x x =-++设点213(,2)22E x x x -++，则DE x =，213222DO x x =-++ACE AOC DCEAODE S S S S \=--V V V 梯形211311(4)(2)(22222x x x x =+-++--∵一次函数过定点(3,6)--，∴一次函数36y nx n =+-与n y x=-联立方程组得，36y nx x n y x =+-ìïí=-ïî，整理得，2(3nx n +∵有一个交点，(1)求此抛物线的表达式；(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点①求B的坐标；②点P足抛物线上的动点，当【答案】(1)抛物线的表达式为(2)①点B的坐标为(2,6-设直线OA 与抛物线对称轴交于点()2BH m \=--．10OAB S =Q △，125102m \´+´=，6m \=-（正值已舍）．即点B 的坐标为()2,6-．设直线AB 的解析式为y nx =把()()5,5,2,6A B --分别代入，得解得1;320.3n d ì=ïïíï=-ïî\直线AB 的解析式为13y =令2120433x x x -+=-，解得。

(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试(有答案解析)(3)

一、选择题1．将抛物线22y x =平移，得到抛物线22(4)1y x =-+，下列平移方法正确的是（）A ．先向左平移4个单位，在向上平移1个单位B ．先向左平移4个单位，在向下平移1个单位C ．先向右平移4个单位，在向上平移1个单位D ．先向右平移4个单位，在向下平移1个单位2．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象中，对称轴是直线1x =，王刚同学观察得出了下面四条信息：①1c >；②若()12,y ，()24,y 是抛物线上两点，则12y y >；③420a b c -+<；④方程20ax bx c ++=的两根是11x =-，23x =．其中说法正确的有（）A ．①②③④B ．②④C ．①②④D ．①③④3．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像，对于下列说法：①abc ＞0，②240b ac ->，③a +b +c ＜0，④当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（）A ．直线2x =-B ．直线3x =C ．直线1x =D ．直线2x =5．在平面直角坐标系中抛物线2y x =的图象如图所示，已知点A 坐标为(1，1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A 过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ，……则点2020A 的坐标为（）A ．(1011， 21011)B ．(-1011， 21011)C ．(-1010， 21011)D ．(1010， 21011)6．已知函数235y x =-+经过A （m ，1y ）、B （m−1，2y ），若12y y >．则m 的取值范围是（） A ．0m ≤B ．12m <C ．102m <<D ．12m <<7．抛物线2(3)y a x k =++的图象如图所示．已知点()15,A y -，()22,B y -，()36.5,C y -三点都在该图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．231y y y >>8．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（）A ．7.9(12)y x =+B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++9．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A ．0ac >B ．方程20ax bx c ++=的两根是1213x x =-=， C ．20a b -=D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小．10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中：①20a b +>；②()a b m am b +≠+（1m ≠的实数）；③2a c +>；④在10x -<<中存在一个实数0x 、使得0a bx a+=-其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．抛物线y=2(x －1)2－3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（） A ．x =－3B ．x =－1C ．x =－2D ．x =412．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论正确的是（）A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c ++=D ．240b ac -<二、填空题13．对于抛物线243y x x =-+，当712x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解，则t 的取值范围是 ______．14．如果抛物线y =x 2﹣6x +c 的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于____． 15．将抛物线2(3)2y x =--向左平移3个单位后的解析式为______．16．高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动，运动员会利用不同的高尔夫球杆将高尔夫球打进球洞，从而使其在优美的自然环境中锻炼身体，并陶冶情操. 如图，某运动员将一只高尔夫球沿某方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力等因素，小球的飞行高度 h （单位：米）与飞行时间 t （单位：秒）之间满足函数关系2205h t t =- .则小球从飞出到落地瞬间所需的时间为________秒.17．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．18．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()24y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____．19．已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，P 为抛物线上一点，且1APB S ∆=，则P 的坐标为_______．20．抛物线y ＝x²－x 的顶点坐标是________三、解答题21．已知：直线2l y x =+：与过点(0,2)-且平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =- 的对称点为点B ．（1）求A B 、两点的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++的顶点(,)m n 在直线l 上移动．①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，求抛物线解析式；②若抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，当抛物线的顶点(,)m n 向上运动时，抛物线与y 轴的交点也向上运动，求m 的取值范围．22．已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0-，()2,5-．求此抛物线的解析式． 23．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+-．（1）若2m =，写出该函数的表达式，并求出函数图象的对称轴．（2）已知点()1,P m y ，()24,Q m y +在该函数图象上，试比较1y ，2y 的大小．（3）对于此函数，在13x -≤≤的范围内函数最大值为-2，求m 的值．24．已知抛物线2221y x x m =--+，直线2y x =-与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ．（1）求证：抛物线与x 轴必有公共点；（2）若抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且抛物线的顶点C 落在此直线上，求ABC 的面积；（3）若线段MN 与抛物线有且只有一个公共点，求m 的取值范围．25．为了在体育中考中取得更好地成绩，小明积极训练.在某次试投中，实心球经过的路线是如图所示的抛物线的一部份.已知实心球出手处A 距离地面的高度是169米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度259米的B 处，实心球的落地点为C . （1）如图，已知AD CD ⊥于D ，以D 为原点，CD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点B 的坐标为________；（2）小明此次投掷的成绩是多少米？26．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A 'B 'O ．一抛物线经过点A '、B '、B ．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB 'A 'B 的面积是△A 'B 'O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【详解】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x-4）2+1的顶点坐标为（4，1），而点（0，0）先向右平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（4，1），所以抛物线y=2x2先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2（x+4）2+1．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．2．A解析：A【分析】由OC与OA的大小对①进行判断；利用二次函数的性质对②进行判断；利用x=-2时，y ＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可对④进行判断．【详解】∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，且OC＞1，∴c＞1，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（2，y 1）到直线x=1的距离小于点（4，y 2）到直线x=1的距离相等， ∴y 1＞y 2，所以②正确； ∵x=-2时，y ＜0，∴4a-2b+c ＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3，所以④正确．故选：A ．【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟记二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．3．C解析：C 【分析】根据抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上即可求出a 、b 、c 的正负，即可判断①；根据抛物线与x 轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a ＞0，-2ba＞0，c ＜0，即b ＜0， ∴abc ＞0， ∴①正确；由抛物线与x 轴有两个交点， ∴△=b 2-4ac ＞0，故②正确；由图象可知：x=1时，y=a+b+c ＜0，故③正确；由图象可得，当0<x<-2ba时，y 随着x 的增大而减小，故④错误； ∴正确的个数有3个．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力．解析：D 【分析】直接利用二次函数对称轴求法得出答案．【详解】解：抛物线y=（x-2）2+3的对称轴是：直线x=2．故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握对称轴确定方法是解题关键．5．A解析：A 【分析】根据二次函数性质可得出点A 1的坐标，求得直线A 1A 2为y ＝x ＋2，联立方程求得A 2的坐标，即可求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A 2020的坐标．【详解】∵A 点坐标为（1，1）， ∴直线OA 为y ＝x ，A 1（−1，1）， ∵A 1A 2∥OA ，设直线A 1A 2为y ＝x ＋b 把A 1（−1，1）代入得1=-1+b 解得b=2∴直线A 1A 2为y ＝x ＋2，解22y x y x=+⎧⎨=⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩，∴A 2（2，4）， ∴A 3（−2，4）， ∵A 3A 4∥OA ，设直线A 3A 4为y ＝x ＋n ，把A 3（−2，4）代入得4＝-2＋n ，解得n=6 ∴直线A 3A 4为y ＝x ＋6，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4（3，9）， ∴A 5（−3，9）同理求出A 6（4，16），A 7（-4,16）A 8（5，25），A 9（-5,25）A 10（6，36），A 11（-6,36）∴A 2n 为22222,22n n ⎡⎤++⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴A 2020（1011，10112），故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．6．B解析：B 【分析】由235y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0知，要使12y y >，需使A 点更靠近对称轴y轴，由此列出关于m 的不等式解之即可．【详解】解：∵235y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0且12y y >∴1m m <-，下面解此不等式．第一种情况，当m ＜0时，得1m m -<-，解得m ＜0；第二种情况，当01m ≤<时，得1m m <-，解得12m <；第三种情况，当m 1≥时，得1m m <-，解得，无解；综上所述得12m <．故选：B ．【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小．7．C解析：C 【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=-3，图象开口向下；根据二次函数图象的对称性，利用在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，可判断y 2>y 1>y 3．【详解】由二次函数y =a (x +3)2+k 可知对称轴为x =−3，根据二次函数图象的对称性可知，()22,B y -与2(4,)D y -对称，∵点()15,A y -，()36.5,C y -， 2(4,)D y -)在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， ∵-4>-5>-6.5，∴y 2>y 1>y 3，故选C. 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性.8．C解析：C 【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第三季度季度GDP 总值约为7.9（1+x ）元，第四季度GDP 总值为7.9（1+x ）2元，则函数解析式即可求得．【详解】解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：y=7.9（1+x ）2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．9．B解析：B 【解析】解：A 、∵抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，ac ＜0，故本选项错误；B 、∵抛物线对称轴是x=1，与x 轴交于（3，0），∴抛物线与x 轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C 、∵抛物线对称轴为，∴b=-2a ，∴2a+b=0，故本选项错误；D 、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．故选B ．根据抛物线的开口方向，对称轴，与x 轴、y 轴的交点，逐一判断．10．B解析：B 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判定即可求出答案．【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：12ba-< 由抛物线的图象可知：a ＞0，∴-b ＜2a ，∴2a+b ＞0，故①正确；②当x=1时，y=a+b+c=0，当y=ax 2+bx+c=0，∴x=1或x=m ，∴当m≠1时，a+b=am 2+bm ，故②错误；③由图象可知：x=-1，y=2，即a-b+c=2，∵a+b+c=0，∴b=-1，∴c=1-a∴a+c=a+1-a=1＜2，故③错误；④由于a+b=-c=a-1，∵c ＜0，∴a-1＞0，∴a ＞1，∴0＜11a< ∵x 0=111,a a a--=-+ ∴-1＜-1+1a ＜0 ∴-1＜x 0＜0，故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是应用数形结合思想解题．11．C解析：C【分析】根据二次函数图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，由此即可得出答案．【详解】由题意，平移后的抛物线的解析式为2213()3y x =-+-，即22(2)3y x =+-，则此时抛物线的对称轴是直线2x =-，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 12．C解析：C【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0x >，以及二次函数与y 的交点在x 轴的上方，与x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【详解】A 、观察图象，二次函数的开口向下，∴0a <，与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，又∵对称轴为2b x a =-，在x 轴的正半轴上，故02b x a=->，即0b >． ∴0abc <，故选项A 不正确；B 、观察图象，抛物线对称轴为直线12122x -+== ∴在对称轴右侧，当1x =时，函数值0y a b c =++>，故选项B 不正确； C 、观察图象，当2x =时，函数值420y a b c =++=，故选项C 正确；D 、∵二次函数与x 轴有两个交点，∴240b ac =->，故D 不正确．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．二、填空题13．﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题确定二次函数在上的取值范围即可求解【详解】解：当时关于x 的一元二次方程有解∴即在图象上和在相交∵当x=2时有最小解析：﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系，将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题，确定二次函数 21=43y x x -+在712x -<<上的取值范围即可求解．【详解】解：当712x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解， ∴243x x t -+= 即在图象上21=43y x x -+和2=y t 在712x -<<相交， ∵()21=21y x -- 当x=2时，1y 有最小值﹣1当x ＝﹣1是，1y 有最大值8 即当712x -<<是，﹣1≤y 1＜8 ∴﹣1≤t ＜8故答案为：﹣1≤t ＜8【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数交点的问题，解题的关键是正确理解题意，将方程转化为二次函数与一次函数相交的问题． 14．c=6或12【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3列出方程求出解则可【详解】解：根据题意得：±3解得：c=6或12故答案为：c=6或12【点睛】本题考查了二次函数的性质熟记顶点的纵坐标公式是解题的解析：c =6或12【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3，列出方程求出解则可．【详解】解：根据题意得：24(6)4c --=±3，解得：c =6或12．故答案为：c =6或12．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点的纵坐标公式是解题的关键．15．【分析】根据得到该抛物线的顶点坐标为(3-2)将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0-2)即可得到解析式；【详解】∵抛物线∴顶点坐标为(3-2)∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0-2)∴平解析：22y x =-【分析】根据2(3)2y x =--得到该抛物线的顶点坐标为(3，-2)，将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0，-2)，即可得到解析式；【详解】∵抛物线2(3)2y x =--∴顶点坐标为(3，-2)，∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0，-2)，∴平移后的解析式22(33)22y x x =-+-=-．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握二次函数平移的方法是解题的关键； 16．4【分析】根据函数关系式当h=0时0=20t-5t2解方程即可解答【详解】由题意得：20t-5t2=0解之：t1=0（不符合题意）t2=4∴小球从飞出到落地瞬间所需的时间为4秒故答案为：4【点睛】本解析：4【分析】根据函数关系式，当h=0时，0=20t-5t 2，解方程即可解答．【详解】由题意得：20t-5t 2=0，解之：t 1=0（不符合题意），t 2=4.∴小球从飞出到落地瞬间所需的时间为4秒.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键． 17．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y 值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛解析：不能．【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y 值，然后与车高比较大小即可解答本题．【详解】解：将x=2代入y=-18x 2+3.25，得 y=-18×22+3.25=2.75， ∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 18．24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴则可以确定AB 的长度然后根据等边三角形的周长公式即可求解【详解】抛物线的对称轴是过点作于点如下图所示则则则以为边的等边的周长为故答案为24【点睛】此题考查解析：24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB 的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．【详解】抛物线2(4)y a x k =-+的对称轴是4x =过C 点作CD AB ⊥于点D ，如下图所示则4=AD ，则28AB AD ==则以AB 为边的等边ABC 的周长为2483=⨯．故答案为24．【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB 的长是关键．19．(2-1)或（2-1）或（2+1）【分析】当y=0时求得x 的值确定AB 的长设点P 坐标为根据三角形面积公式列方程求解即可【详解】解：当y=0时解得：∴AB=2设点P 坐标为∴∴当时解得x=2此时P 点坐标解析：(2，-1)或（21），或（2，1）．【分析】当y=0时，求得x 的值，确定AB 的长，设点P 坐标为2(,43)x x x -+，根据三角形面积公式列方程求解即可．【详解】解：当y=0时，243=0x x -+解得：121,3x x ==∴AB=2设点P 坐标为2(,43)x x x -+， ∴214312APB S AB x x ∆=-+= ∴2431x x -+=当2431x x -+=-时，解得x=2，此时P 点坐标为(2，-1)当2431x x -+=时，解得12=2+222x x =，P 点坐标为（2，1），或（2，1）综上，P 的坐标为：(2，-1)或（21），或（2，1）故答案为：(2，-1)或（2，1），或（2，1）．【点睛】本题考查二次函数与图形，利用数形结合思想列方程求解是解题关键．20．【分析】先把函数解析式配成顶点式得到然后根据顶点式即可得到顶点坐标【详解】解：所以抛物线的顶点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式解析：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先把函数解析式配成顶点式得到21124()y x =--，然后根据顶点式即可得到顶点坐标．【详解】解：2211()24y x x x =-=--，所以抛物线的顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式．三、解答题21．（1）()4,2A --；()2,2B -；（2）①244y x x =---；②43m -≤≤-或0＜5m ≤【分析】（1）根据已知直线和对称点的性质即可求出A 、B ．（2）①根据抛物线的顶点为直线2l y x =+：与x 轴的交点()2,0-求解即可；②根据已知条件判断出二次函数顶点的位置，计算即可；【详解】（1）直线2l y x =+：与2y =-的交点为A ，则可得到：22x -=+，∴4x =-，∴点A 的坐标是()4,2--，设(),2Bb -，点A 与点B 关于1x =-对称，则()()141b ---=--， ∴2b =，∴()2,2B -；（2）①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，此时抛物线的顶点为直线2l y x =+：与x 轴的交点()2,0-，则222b b x a =-==-， ∴4b =-，代入顶点可得4c =-， ∴抛物线的解析式为244y x x =---；②抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，∴顶点坐标为(),2m m +，∴抛物线的解析式可化为()22y x m m =--++，把点()4,2A --代入解析式可得，()2242m m -=---++，13m =-，24m =-，∴43m -≤≤-，把点()2.2B -代入解析式得， ()2222m m ---++=-， 30m =，45m =，∴0＜5m ≤；综上所述：43m -≤≤-或0＜5m ≤．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，准确分析计算是解题的关键．22．223y x x =--+【分析】将点3,0，2,5代入抛物线23y ax bx =++解方程组求出b 、c 的值即可得答案．【详解】由题意得，93304235a b a b -+=⎧⎨++=-⎩解得，12a b =-⎧⎨=-⎩，则二次函数的解析式为223y x x =--+．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值是解题关键．23．（1）256y x x =--，直线52x =；（2）21y y >；（3）4 【分析】（1）把m=2代入y=x 2-（2m+1）x-3m 即可求得函数的表达式，进而根据对称轴x=-2b a求得对称轴；（2）把P （m ，y 1），Q （m+4，y 2）两点代入y=x 2-（2m+1）x-3m 比较即可；（3）分132m +>，1132m -≤+≤，112m +<-三种情况，列式求解即可．【详解】解：（1）2(21)3y x m x m =-+-，∴当2m =时，256y x x =--，对称轴：直线55222b x a -=-=-=， ∴函数的解析式为：256y x x =--，对称轴为：直线52x =．（2）2(21)3y x m x m =-+-，∴对称轴为直线(21)1222b m x m a -+=-=-=+， ∵抛物线开口向上，(,)P m y 距对称轴为：1122m m +-=， ()24,Q m y +距对称轴为：17422m m +--=， ∴Q 离对称轴更远，2y 值更大．21y y ∴>．（3）2(21)3y x m x m =-+-，∴对称轴为：12x m =+， ①当132m +>，即52m >，当1x =-时，max 2y =-，12132m m ∴++-=-，4m ∴=，符合52m >．．②当1132m -≤+≤时，即3522m -≤≤，若1x =-时，y 取最大-2，12132m m ∴++-=-，解得4m =，不符合：3522m -≤≤（舍）若3x =时，y 取最大-2，则93(21)32m m -+-=-，解得：89m =，符合3522m -≤≤，当89m =时，对称轴：81259218x =+=， 2518x =离3x =距离为：2918， 2518x =离1x =-距离为：4318， ∴离1x =-更远，最大值应在1x =-处取得，与3x =处取最大值矛盾，故舍去．③当112m +<-时，即32m <-时，3x =处，取最大值，如图，93(21)32m m ∴-+-=-，解得：89x =，不符合32m <-，故舍去．综上所述，m 的值为4．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意得到一元一次不等式．24．（1）见解析；（2）1；（3）m =或13m <或1m <- 【分析】（1）根据根的判别式2=4∆-b ac 的正负性，即可求证；（2）利用顶点的特点，求得点C 的坐标，将点C 坐标代入抛物线即可求得抛物线解析式，继而可得抛物线与x 的交点A 、B 坐标，继而根据三角形面积公式即可求解；（3）先求出点M 、N 的坐标，再分两种情况讨论即可：【详解】解：（1）∵()222(2)4140m m ∆=---+=≥∴抛物线与x 轴必有公共点．（2）∵2221y x x m =--+ ∴其定点C 的横坐标为1212--⨯= 又∵定点C 在直线2y x =-上，所以定点C 的坐标为(1,1)- 把点(1,1)-代入抛物线2221y x x m =--+中，解得21m =∴抛物线方程为22(2)y x x x x =-=-∴抛物线与x 轴的交点分别为(0,0)和(2,0)∴2AB = ∴1121122ABC C S AB y =⋅=⨯⨯= （3）当0x =时，2y =-，则N 为(0,2)- 当0y =时，20x -=，即M 为(2,0)∵拋物线的对称轴为1x =∴分两种情况：①由22221y x y x x m =-⎧⎨=--+⎩，得22330x x m --+=∴()22(3)410m ∆=---+=，解得2m =±时，线段MN 与抛物线有且只有一个公共点；②当2210m --+<，解得13m <或1m <-时，线段MN 与抛物线有且只有一个公共点．综上所述，m 的取值范围是m =或13m <或1m <-．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合问题，涉及到根的判别式，解题的关键是综合运用所学知识，特别是二次函数的性质，有一定的难度．25．（1）253,9B ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）8米【分析】（1）根据题意直接写出坐标即可；（2）求出二次函数表达式，求C 点横坐标即可；【详解】（1）坐标系253,9B ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）设抛物线的表达式为225(3)(0)9y a x a =-+≠ 由抛物线经过点160,9A ⎛⎫ ⎪⎝⎭得21625(3)99a =-+解得19a =- 2125(3)99y x =--+ 0y =时，18x =，22x =-（舍）答：小明此次投掷的成绩是8米【点睛】此题考查利用二次函数解决实际问题，理解函数定义是关键26．（1）22y x x =-++；（2）存在，P （1，2）．【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（−1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S 四边形PB′A′B ＝S △B′OA′＋S △PB′O ＋S △POB ，再假设四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4倍，得出一元二次方程，得出P 点坐标即可．【详解】解：（1）△A′B′O 是由△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得到的，又A （0，1），B （2，0），O （0，0），∴A′（−1，0），B′（0，2），∵A′（−1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x＋1）（x−2）将B′（0，2）代入得出：2＝a（0＋1）（0−2），解得：a＝−1，故抛物线的解析式为y＝−（x＋1）（x−2）＝−x2＋x＋2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y＝−x2＋x＋2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B＝S△B′OA′＋S△PB′O＋S△POB，＝12×1×2＋12×2×x＋12×2×y，＝x＋（−x2＋x＋2）＋1，＝−x2＋2x＋3，∵A′O＝1，B′O＝2，∴△A′B′O面积为：12×1×2＝1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4＝−x2＋2x＋3，即x2−2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝1，此时y＝−12＋1＋2＝2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标和图形的变换−旋转，利用四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍得出等式方程求出x是解题关键．。

九年级数学二次函数数形结合训练卷人教版

二次函数数形结合训练题1.如图1，抛物线2x y =的顶点为P ，A 、B 是抛物线上的两点，x AB //轴，四边形ABCD 为矩形，CD 边经过点P ，AD AB 2=.⑴求矩形ABCD 的面积；⑵如图2，若将“抛物线2x y =”改为“抛物线c bx x y ++=2”，其他条件不变，求矩形ABCD 的面积； ⑶若将“抛物线c bx x y ++=2”改为“抛物线c bx ax y ++=2”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD 的面积（用a 、b 、c 表示，并直接写出答案）2.如图1，抛物线22x y =的顶点为P ，A 、B 、C 、D 是抛物线上的四点，PAB ∆为等腰直角三角形，x AB DC ////轴，AB DC 2=.⑴求四边形ABCD 的面积；⑵若将“抛物线22x y =”改为“抛物线1422+-=x x y ”，其他条件不变，求四边形ABCD 的面积； ⑶如图2，若将“抛物线22x y =”改为 “抛物线c bx ax y ++=2”，其他条件不变，求四边形ABCD 的面积（用a 、b 、c 表示）--1--3.如图1，抛物线322+-=x y 的顶点为P ，A 、B 是抛物线上的两点，ABP ∆为等边三角形. ⑴求ABP ∆的周长；⑵如图2，若将“抛物线322+-=x y ”改为“抛物线c bx x y ++-=22”，其他条件不变，求ABP ∆的周长；⑶若将“抛物线c bx x y ++-=22”改为“抛物线c bx ax y ++=2”，其他条件不变，猜想ABP ∆的周长（用a 、b 、c 表示，并直接写出答案）4.如图1，点C 、B 分别是抛物线1C ：121+=x y 、抛物线2C ：22222c x b x a y ++=的顶点，分别过点B 、C 作x 轴的平行线，交抛物线1C 、2C 于点A 、D ，且BD AB =.⑴求点A 的坐标；⑵如图2，若将“抛物线1C ：121+=x y ”改为“抛物线11212c x b x y ++=”，其他条件不变，求CD 的长和2a 的值；⑶如图2，若将“抛物线1C ：121+=x y ”改为“抛物线11211c x b x a y ++=”，其他条件不变，求21b b +的值.--2--5.如图，抛物线2x y -=，A 、B 在x 轴的正半轴上，A （1，0），B （2，0），作x AD ⊥轴交抛物线于D ，作x BC ⊥轴交抛物线于C ，直线CD 交y 轴于E .⑴求点E 的坐标，并判断OE 与OB OA ⋅的关系；⑵将“A （1，0），B （2，0）”改为“A （t ，0），B （2t ，0）”，其他条件与做法不变，判断⑴中OE 与OB OA ⋅的关系是否仍然成立？⑶将“A （1，0），B （2，0）”改为“A （t ，0），B （m t ，0）”，试判断OE 与OB OA ⋅的关系（直接写出答案）⑷将“A （1，0），B （2，0）”改为“A （t ，0），B （2t ，0）”，“抛物线2x y -=”改为“抛物线2ax y =（0<a ）”，试判断OE 与OB OA ⋅的关系6.如图1，在平面直角坐标系中，A （1，0）、B 在x 轴上，P 是抛物线2x y =的顶点，AB AP =，分别过A 、B 两点作x 轴的垂线交2x y =于C 、D ，射线OC 交BD 于E ，CDE ∆面积记作CDE S ∆，梯形ABDC 面积记作梯S .⑴求CDE S ∆：梯S ；⑵将点“A （1，0）”改为“A （t ，0）”，其他条件不变，求CDE S ∆：梯S ；⑶如图2，若将“抛物线2x y =”改为“抛物线c bx x y ++=2”，A 、B 在直线PQ 上，x PQ //轴，PQ AC ⊥，PQ BD ⊥，t AB AP ==，求CDE S ∆：梯S ；⑷如图3，在⑶的基础上将“抛物线c bx x y ++=2”改为“抛物线c bx ax y ++=2”，求CDE S ∆：梯S .--3--7.如图1，抛物线2x y =的顶点为P ，A 、B 是抛物线上的两点，且BP AP ⊥，作x AC ⊥轴于C ，作x BD ⊥轴于D .⑴求BD AC ⋅的值；⑵如图2，若将“抛物线2x y =”改为“抛物线c bx x y ++=2”，x PQ //轴，PQ AC ⊥轴于C ，PQ BD ⊥轴于D .其他条件不变，求BD AC ⋅的值；⑶如图3，在⑵的基础上，若将“抛物线c bx x y ++=2”改为“抛物线c bx ax y ++=2”，其他条件不变，求BD AC ⋅的值.8.在平面直角坐标系中，抛物线1F ：2x y =的顶点为P ，将抛物线1F 平移得到抛物线2F ，使其图象经过抛物线1F 的顶点，与x 轴的交点A 的坐标为（2，0），抛物线2F 的顶点为点C ，其对称轴交抛物线1F 于点B .⑴猜想四边形PCAB 的形状及面积（直接写出答案）⑵若将“抛物线1F ：2x y =”改为“抛物线1F ：2ax y =”，“A 的坐标为（2，0）”改为“A 的坐标为（m ，0）”，其他条件不变，探究四边形PCAB 的形状及面积⑶若将“抛物线1F ：2x y =”改为“抛物线1F ：c ax y +=2”，“A 的坐标为（2，0）”改为“A 的坐标为（m ，c ）”，其他条件不变，请你直接写出直线AB 与y 轴的交点坐标.--4--9.如图1，抛物线1F ：2x y =的顶点为P ，将抛物线1F 平移得到抛物线2F ，使抛物线2F 的顶点Q 始终在抛物线1F 图象上（点Q 不与点P 重合），过点Q 直线x QB //轴，与抛物线1F 的另一个交点为B ，抛物线1F 的对称轴交抛物线2F 于点A .⑴四边形ABOQ 能否成为正方形？若能需增加怎样的条件，说明理由，并求出此时点Q 的坐标； ⑵若将“抛物线1F ：2x y =”改为“抛物线1F ：2ax y =”，其他条件不变，请你探究⑴中的问题； ⑶若将“抛物线1F ：2x y =”改为“抛物线1F ：()n m x a y +-=2”，当四边形ABOQ 为正方形时，请你直接写出点Q 的坐标.10.如图1，抛物线1F ：2x y =的顶点为P ，将抛物线1F 平移得到抛物线2F ，使抛物线2F 的顶点Q 始终在抛物线1F 图象上（点Q 不与点P 重合），过点Q 直线x QB //轴，与抛物线1F 的另一个交点为B ，抛物线1F 的对称轴交抛物线2F 于点A .⑴四边形ABOQ 能否成为︒=∠60BOQ 的菱形？若能需增加怎样的条件，说明理由，并求出此时点Q 的坐标；⑵若将“抛物线1F ：2x y =”改为“抛物线1F ：2ax y =”，其他条件不变，请你探究⑴中的问题； ⑶若将“抛物线1F ：2x y =”改为“抛物线1F ：()n m x a y +-=2”，当四边形ABOQ 为有一个内角为︒60的菱形时，请你直接写出点Q 的坐标.--5--11.如图1，抛物线2x y =的顶点为P ，A 、B 是抛物线上的两点，且x AB //轴. ⑴若︒=∠120AOB ，求AB 的长；⑵如图2，在⑴的基础上，若将“抛物线2x y =”改为“抛物线c bx ax y ++=2”，其他条件不变，求AB 的长；⑶如图3，α=∠APB ，在⑵的基础上，其他条件不变，求AB 的长及ABP ∆的面积.12.如图，抛物线F ：c bx ax y ++=2的顶点为P ，抛物线F 与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ，过点P 作x PD ⊥轴于点D ，平移抛物线F 使其经过点A 、D 得到抛物线F '：'+'+'=c x b x a y 2，抛物线F '与x 轴的另一个交点为C ． ⑴当1=a ，2-=b ，3=c 时，求点C 的坐标(直接写出答案)； ⑵若a 、b 、c 满足了ac b 22= ①求b b ':的值；②探究四边形OABC的形状，并说明理由．--6--。

(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测(包含答案解析)(1)

一、选择题1．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 2．二次函数(2)(3)y x x =--与x 轴交点的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（）A ．﹣1B ．﹣3C ．﹣5D ．﹣7 4．已知函数221y x x =--，下列结论正确的是（）A ．函数图象过点()1,1-B ．函数图象与x 轴无交点C ．当1≥x 时， y 随x 的增大而减小D ．当1x ≤时， y 随x 的增大而减小 5．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图，图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①a ﹣b +c ＝0；②2a +b ＝0； ③4ac ﹣b 2＞0；④a +b ≥am 2+bm （m 为实数）；⑤3a +c ＞0．则其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac ＜0；②b ＜0；③4ac ﹣b 2＜0；④当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论：①0abc <；②420a b c ++>；③b a c <+；④230c b -<；⑤2(1)a b an bn n +>+≠，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在平面直角坐标系中抛物线2y x =的图象如图所示，已知点A 坐标为(1，1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A 过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ，……则点2020A 的坐标为（）A ．(1011， 21011)B ．(-1011， 21011)C ．(-1010， 21011)D ．(1010， 21011)9．已知抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表，给出下列结论：①抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点；②2a +b =0；③当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2；④若点P （m ，n ）在该抛物线上，则am 2＋bm ≤a +b ．其中正确结论的个数是（） x… ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 3 …A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 10．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,1 11．抛物线()2526y x =-+-可由25y x =-如何平移得到（）A ．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位B ．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位C ．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位D ．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位12．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（）A ．3a 1-<<-B ．2a 1-<<C ．1a 0-<<D ．2a 4<<二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x 2=--分别交y 轴，x 轴于点A ，B ，动点E 在抛物线上，EF x ⊥轴，交直线AB 于点F ．则EF 的长为______（用含字母x 的式子来表示）．14．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C ．若点1(2,)M y ，2(1,)N y -，3(8,)K y 也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则1y ，2y ，2y 的从小到大的关系是___．15．抛物线2y x x =+向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式为____．16．已知函数223y x x =--，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是______．17．抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为________18．二次函数2y ax bx c =++的图象经过(1,0)A ，对称轴为1x =-，其图像如图所示，则化简2244||b bc c a b c +++-+的结果为___________．19．将抛物线223y x x =---向右平移三个单位，再绕原点O 旋转180°，则所得抛物线的解析式____．20．抛物线y ＝x²－x 的顶点坐标是________三、解答题21．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中自变量x 和函数值y 的部分对应值如表：（1）求该二次函数的函数关系式；（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）作该二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象关于x 轴对称的新图象，则新图象的函数关系式为．22．在“万众创业、大众创新”的新时代下，大学毕业生小张响应国家号召，开办了家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润且让利给顾客，现将饰品售价降价x （元/件）（且x 为整数），每月饰品销量为y （件），月利润为w （元）．（1）写出y 与x 之间的函数解析式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润等于6000元时，应如何确定销售价格．23．如图1，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若OC =2OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴l 上有一动点P ，当PC +PA 最小时，求出点P 的坐标；（3）如图2所示，连接BC ，M 是线段BC 上（不与B 、C 重合）的一个动点．过点M 作直线l '∥l ，交抛物线于点N ，连接CN ，BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？24．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+-．（1）若2m =，写出该函数的表达式，并求出函数图象的对称轴．（2）已知点()1,P m y ，()24,Q m y +在该函数图象上，试比较1y ，2y 的大小．（3）对于此函数，在13x -≤≤的范围内函数最大值为-2，求m 的值．25．已知抛物线的顶点为()1,4-，且过点()2,5-．（1）求抛物线的解析式；（2）当0y >时，自变量x 的取值范围是______（直接写出结果）．26．已知关于x 的方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=．（1）若2b =，且2x =是此方程的根，求a 的值；（2）若此方程有实数根，当51a -<<-时，求函数242y a a ab =++的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③．【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <，抛物线与y 轴交于正半轴0c >，对称轴直线为1x =-， ∴102b a-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >，∴420a b c -+>，故③正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键2．B解析：B【分析】根据△=24b ac -与零的关系即可判断出二次函数的图象与x 轴的交点问题；【详解】∵ ()()22356y x x x x =--=-+， ∴ △=24b ac -=25-24=1＞0∴二次函数()()23y x x =--与x 轴有两个交点；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握判别式△=24b ac -是解题的关键； 3．C解析：C【分析】当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4，求出a ＝13；当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y ＝13（x ＋2）2﹣3，令y ＝0，求出x 值，即可求解．【详解】当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣1）2﹣3，把点N 的坐标代入得：0＝a （4﹣1）2﹣3，解得：a ＝13，当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y ＝13（x ＋2）2﹣3，令y ＝0，则x ＝﹣5或1，即点M 的横坐标的最小值为﹣5，故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数与x 轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．4．D解析：D【分析】根据二次函数的性质进行判断即可．【详解】解：A 、当x=-1时，221y x x =--=1+2﹣1=2，函数图象过点（-1，2），此选项错误； B 、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x 轴有两个交点，故此选项错误；C 、∵221y x x =--=（x ﹣1）2﹣2，且1＞0，∴当x≥1时，y 随x 的增大而增大，故此选项错误；D 、当x≤1,时，y 随x 的增大而减小，此选项正确，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．5．B解析：B【分析】由抛物线过点A(3，0)及对称轴为直线x=1，可得抛物线与x 轴的另一个交点，则可判断①②是否正确；由抛物线与x 轴有两个交点，可得△>0，据此可判断③是否正确；由x=1时，函数取得最大值，可判断④是否正确；把b=-2a 代入a-b+c=0得3a+c=0，则可判断⑤是否正确．【详解】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，∴点A （3，0）关于直线x ＝1对称点为（﹣1，0），∴当x ＝﹣1时，y ＝0，即a ﹣b +c ＝0．故①正确；∵对称轴为直线x ＝1，∴﹣2b a＝1，∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，故③错误； ∵当x ＝1时，函数有最大值，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确； ∵b ＝﹣2a ，a ﹣b +c ＝0，∴a +2a +c ＝0，即3a +c ＝0，故⑤错误；综上，正确的有①②④．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合并明确二次函数的相关性质是解题的关键．6．B解析：B【分析】由抛物线的开口方向判定a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，∴a ＞0；又∵二次函数的图象与y 轴的交点在负半轴，∴c ＜0；∴ac ＜0，即①正确；②由图象知，对称轴x ＝2b a-＝1，则b ＝﹣2a ＜0．故②正确； ③由图象知，抛物线与x 轴有2个交点，则b 2﹣4ac ＞0，故③正确；④由图象可知当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；故④错误．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：B ．【点睛】此题考查学生掌握二次函数的图像与性质，考查了数形结合的数学思想，解本题的关键是根据图像找出抛物线的对称轴．7．D解析：D【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、以及不等式的性质进行判断即可．【详解】抛物线开口向下，因此a ＜0，对称轴为x ＝−b 2a ＝1＞0，a 、b 异号，因此b ＞0，且2a ＋b ＝0，抛物线与y 轴的交点在正半轴，因此c ＞0，所以：abc ＜0，因此①正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＞0，因此②正确；当x ＝−1时，y ＝a−b ＋c ＜0，即，a ＋c ＜b ，因此③不正确；∵a−b ＋c ＜0，2a ＋b ＝0，∴−12b−b ＋c ＜0，即2c−3b ＜0，因此④正确；当x ＝1时，y 最大值＝a ＋b ＋c ，当x ＝n （n≠1）时，y ＝an 2＋bn ＋c ＜y 最大值，即：a ＋b＋c ＞an 2＋b ＋c ，也就是2a+b an +bn(n 1)>≠，因此⑤正确，正确的结论有：①②④⑤，故选：D ．【点睛】考查二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．8．A解析：A根据二次函数性质可得出点A 1的坐标，求得直线A 1A 2为y ＝x ＋2，联立方程求得A 2的坐标，即可求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A 2020的坐标．【详解】∵A 点坐标为（1，1），∴直线OA 为y ＝x ，A 1（−1，1），∵A 1A 2∥OA ，设直线A 1A 2为y ＝x ＋b把A 1（−1，1）代入得1=-1+b解得b=2∴直线A 1A 2为y ＝x ＋2，解22y x y x=+⎧⎨=⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴A 2（2，4），∴A 3（−2，4），∵A 3A 4∥OA ，设直线A 3A 4为y ＝x ＋n ，把A 3（−2，4）代入得4＝-2＋n ，解得n=6∴直线A 3A 4为y ＝x ＋6，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4（3，9），∴A 5（−3，9）同理求出A 6（4，16），A 7（-4,16）A 8（5，25），A 9（-5,25）A 10（6，36），A 11（-6,36） …，∴A 2n 为22222,22n n ⎡⎤++⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ∴A 2020（1011，10112），故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【详解】解：由表格数据可知：当x=0时，y=0，∴抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点；①正确；抛物线对称轴为：直线0212x +==，即12b a-=，∴2a +b =0，②正确；当y=0时，x=0或x=2且抛物线顶点坐标为（1，-1）∴抛物线开口向上，当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2；③正确由以上分析可知当x=1时，y 取得最小值为a+b+c 若点P （m ，n ）在该抛物线上，则am 2＋bm+c≥a+b+c ．即am 2＋bm≥a+b ，④错误故选：B【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．B解析：B【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．11．C解析：C【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．【详解】解：因为()2526y x =-+-．所以将抛物线25y x =-先向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到抛物线()2526y x =-+-．故选：C ．【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 12．C解析：C【分析】根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．【详解】解：二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，∴当5x =时，0y >，即2(52)90a -+>，解得，1a >-，a ∴的取值范围时10a -<<，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题13．【分析】先分别令y=0x=0求出AB 点的坐标求出直线AB 的解析式在用字母分别表示出EF 点的纵坐标相减即可【详解】令y=0得解得：B （20）令x=0得y=-2A （0-2）设AB 所在直线解析式为：代入A 解析：22x x -【分析】先分别令y =0，x =0，求出A 、B 点的坐标，求出直线AB 的解析式，在用字母分别表示出E 、F 点的纵坐标，相减即可．【详解】令y =0,得220x x --=解得：121,2x x =-=∴ B （2,0）令x =0，得y =-2，∴A （0，-2）设AB 所在直线解析式为：y kx b =+代入A 、B 解得：2y x =-设动点E 的横坐标为x ，∴ F 点的横坐标为x ，E 点的纵坐标为：22x x -- 又F 点在直线AB 之上，∴F 点的纵坐标为：2x -又EF x ⊥∴EF 的长度为：22(2)x x x ---- 化简得：22x x - 故答案为：22x x -【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与一次函数的综合问题以及线段长度的计算，分别用字母表示出E 、F 点的纵坐标是解决本题的关键． 14．【分析】根据点ABC 的坐标可得二次函数的对称轴和增减性由此即可得【详解】点在二次函数的图象上此二次函数的对称轴为点BC 的横坐标大小关系为纵坐标大小关系为当时y 随x 的增大而增大；当时y 随x 的增大而减小解析：123y y y <<【分析】根据点A 、B 、C 的坐标可得二次函数的对称轴和增减性，由此即可得．【详解】点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C 在二次函数2y ax bx c =++的图象上， ∴此二次函数的对称轴为1322+=，点B 、C 的横坐标大小关系为532>>，纵坐标大小关系为72，∴当2x ≥时，y 随x 的增大而增大；当2x <时，y 随x 的增大而减小，由二次函数的对称性得：1x =-时的函数值与5x =时的函数值相等，即为27y =，又点1(2,)M y ，3(8,)K y 在二次函数2y ax bx c =++的图象上，且258， 137y y ，即123y y y <<，故答案为：123y y y <<．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．15．【分析】先把配成顶点式再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式【详解】此抛物线的顶点坐标为()把点()向下平移个单位长度再向左平移个单位长度所得对应点的坐标为()即()所以平移后得到的抛物线的解析式为解析：2710y x x =++【分析】先把2y x x =+配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【详解】 2211()24y x x x =+=+-，此抛物线的顶点坐标为(12-，14-)，把点(12-，14-)向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得对应点的坐标为(132--，124--)，即(72-，94-)，所以平移后得到的抛物线的解析式为279()24y x =+-，即2710y x x =++．故答案为：2710y x x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 16．【分析】先求出函数图像的对称轴然后根据二次函数的增减性即可解答【详解】解：∵函数图像的对称轴为x=1∴当数值随的增大而减小故答案为【点睛】本题考查了二次函数的增减性确定二次函数的对称轴是解答本题的关键解析：1x <【分析】先求出函数图像的对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解答．【详解】解：∵函数223y x x =--图像的对称轴为x=1∴当1x <，数值y 随x 的增大而减小．故答案为1x <．【点睛】本题考查了二次函数的增减性，确定二次函数的对称轴是解答本题的关键．17．【分析】根据二次函数的平移规律上加下减左加右减即可求解【详解】解：抛物线先向上平移1个单位再向左平移1个单位所得的抛物线为故答案为：【点睛】本题考查抛物线的平移掌握二次函数的平移规律上加下减左加右减解析：()2311y x =++【分析】根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．【详解】解：抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为()2311y x =++，故答案为：()2311y x =++．【点睛】本题考查抛物线的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键． 18．【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性二次根式的性质求解即可【详解】解：观察图象得：a<0c>0把A(10)代入得a+b+c=0∴c=-a-b ∵=-1∴b=2a<0∴c=-a-2a=-3a>0∴解析：2a b c -+-【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性，二次根式的性质求解即可．【详解】解：观察图象得：a<0，c>0，把A(1，0)代入2y ax bx c =++得a+b+c=0，∴c= -a-b ， ∵2b a -= -1，∴b=2a<0，∴c=-a-2a=-3a>0，∴2b+c=4a-3a=a<0，a-b+c=a-2a-3a=-4a>0，∴||a b c -+=a b c -+=-(2b+c)+a-b+c=-2b-c+a-b+c= -3b+a=-5a ，故答案为-5a ．【点睛】本题考查了二次函数的性质及绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 19．【分析】先求出抛物线的顶点坐标再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标然后根据平移旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可【详解析：2(2)2y x =++【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．【详解】223y x x =---()22113x x =-+++-2(1)2x =-+-，所以，抛物线的顶点坐标为（-1，-2）．∵向右平移三个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，-2）．∵再绕原点O 旋转180°，∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（-2，2），且开口向上∴所得抛物线解析式为2(2)2y x =++．故答案为：2(2)2y x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．20．【分析】先把函数解析式配成顶点式得到然后根据顶点式即可得到顶点坐标【详解】解：所以抛物线的顶点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式解析：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先把函数解析式配成顶点式得到21124()y x =--，然后根据顶点式即可得到顶点坐标．【详解】解：2211()24y x x x =-=--，所以抛物线的顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式．三、解答题21．（1）y ＝x 2﹣4x+5．（2）见解析；（3）y ＝﹣x 2+4x ﹣5．【分析】（1）当x=1或3时，y 均等于2，那么此二次函数的对称轴是2，则顶点坐标为（2，1），设出顶点式，把表格中除顶点外的一点的坐标代入可得a 的值，也就求得了二次函数的值；（2）描点、连线画出函数图象即可；（3）根据关于x 轴对称的点的坐标特征即可求得．【详解】解：（1）由图表可知抛物线y ＝ax 2+bx+c 过点（1，2），（3，2），∴对称轴为x ＝132+＝2； ∴顶点坐标为：（2，1），∴设y ＝a （x ﹣2）2+1，将（0，5）代入可得：4a+1＝5，解得：a ＝1，∴二次函数的解析式为：y ＝（x ﹣2）2+1，即y ＝x 2﹣4x+5，所求二次函数的关系式为y ＝x 2﹣4x+5．（2）描点、连线画出函数图象如图：；（3）∵新图象与二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象关于x 轴对称，∴﹣y ＝x 2﹣4x+5，∴新图象的函数关系式为y ＝﹣x 2+4x ﹣5，故答案为y ＝﹣x 2+4x ﹣5．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（1）y ＝300+20x ；（2）当售价为57元时，利润最大，最大利润为6120元；（3）将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．【分析】（1）由售价每下降1元每月要多卖20件，可得y 与x 之间的函数解析式；（2）由月利润=单件利润×数量，可得w 与x 的函数解析式，由二次函数的性质可求解；（3）将w=6000代入解析式，解方程可求解．【详解】（1）由题意可得：30020y x =+；（2）由题意可得：()()2203002020( 2.5)6125w x x x =-+=--+，由题意可知x 应取整数，当2x =或3元时，w 有最大值，∵让利给顾客，∴3x =，即当售价为57元时，利润最大，∴最大利润为6120元；（3）由题意，令w=6000，即25600020()61252x =--+，解得10x =（舍去），25x =，故将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的性质，找出正确的函数关系式是本题的关键．23．（1）y =x 2-3x +2；（2）点P 的坐标为（32，12）；（3）当t =1时，S △BCN 的最大值为1．【分析】（1）先确定c ，然后再根据OC =2OA 确定A 点的坐标，再将A 点的坐标代入解析式求得b 即可解答；（2）如图：作点A 关于直线l 对称的对称点，即点B ，连接BC ，与直线l 交于点P '，此时PA+PB 最小；然后求得直线BC 的解析式，最后确定P '的坐标即可；（3）先求出M 点坐标，然后再根据S △BCN =S △MNC +S △MNB 确定二次函数关系式，最后运用二次函数求最值即可．【详解】解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 过点C （0，2），∴c =2又∵OC =2OA ，∴OA =1，即A （1，0）；又∵点A 在抛物线y =x 2+bx +2上，∴0=12+b ×1+2，b =-3；∴抛物线对应的二次函数的解析式为y =x 2-3x +2；（2）如图：作点A 关于直线l 对称的对称点，即点B ，连接BC ，与直线l 交于点P '，则PA +PC 的最小值为P 'B +P 'C =BC ，设BC 的解析式为y =mx +n ，令x 2-3x +2=0，解得：x =1或2，∴B （2，0），又∵C （0，2）， ∴202m n n +=⎧⎨=⎩，解得：12m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y =-x +2，令x =32，代入，得：y =12，∴当PC +PA 最小时，点P 的坐标为（32，12）；（3）如图：∵点M 是直线l '和线段BC 的交点，∴M 点的坐标为（t ，-t +2）（0＜t ＜2），∴MN =-t +2-（t 2-3t +2）=-t 2+2t ，，∴S △BCN =S △MNC +S △MNB =12MN ▪t +12MN ▪（2-t ）=12MN ▪（t +2-t ）=MN =-t 2+2t （0＜t ＜2）， ∴S △BCN =-t 2+2t =-（t -1）2+1，∴当t =1时，S △BCN 的最大值为1．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，正确求出函数解析式并掌握数形结合思想是解答本题的关键．24．（1）256y x x =--，直线52x =；（2）21y y >；（3）4 【分析】（1）把m=2代入y=x 2-（2m+1）x-3m 即可求得函数的表达式，进而根据对称轴x=-2b a 求得对称轴；（2）把P （m ，y 1），Q （m+4，y 2）两点代入y=x 2-（2m+1）x-3m 比较即可；（3）分132m +>，1132m -≤+≤，112m +<-三种情况，列式求解即可．【详解】解：（1）2(21)3y x m x m =-+-，∴当2m =时，256y x x =--，对称轴：直线55222b x a -=-=-=， ∴函数的解析式为：256y x x =--，对称轴为：直线52x =．（2）2(21)3y x m x m =-+-，∴对称轴为直线(21)1222b m x m a -+=-=-=+， ∵抛物线开口向上，(,)P m y 距对称轴为：1122m m +-=， ()24,Q m y +距对称轴为：17422m m +--=， ∴Q 离对称轴更远，2y 值更大． 21y y ∴>．（3）2(21)3y x m x m =-+-， ∴对称轴为：12x m =+， ①当132m +>，即52m >，当1x =-时，max 2y =-，12132m m ∴++-=-，4m ∴=，符合52m >．．②当1132m -≤+≤时，即3522m -≤≤，若1x =-时，y 取最大-2， 12132m m ∴++-=-，解得4m =，不符合：3522m -≤≤（舍）若3x =时，y 取最大-2，则93(21)32m m -+-=-，解得：89m =，符合3522m -≤≤，当89m =时，对称轴：81259218x =+=， 2518x =离3x =距离为：2918，2518x =离1x =-距离为：4318， ∴离1x =-更远，最大值应在1x =-处取得，与3x =处取最大值矛盾，故舍去．③当112m +<-时，即32m <-时，3x =处，取最大值，如图，93(21)32m m ∴-+-=-，解得：89x =，不符合32m <-，故舍去．综上所述，m 的值为4．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意得到一元一次不等式．25．（1）()214y x =--或223y x x =--；（2）1x <-或3x >【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式即可；（2）首先求出图象与x 轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围．【详解】（1）设抛物线的解析式为()214y a x =--把点()2,5-代入得()25214a =---∴1a =∴()214y x =--或223y x x =-- （2）（2）当y ＝0可得，0＝（x−1）2−4，解得：1x ＝3，2x ＝−1，故抛物线与x 轴的交点为：（−1，0），（3，0），如图所示：可得：当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围为：x ＜−1或x ＞3．【点睛】此题主要考查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x 轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．26．（1）12；（2）27y -≤< 【分析】（1）把2b =、2x =代入方程可得()()22212222210a a +⋅-+⋅++=，然后解a 关于的方程即可得解；（2）根据根的判别式的意义可得()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦，整理得()210ab -≤，利用非负数的性质得到1ab =，则函数242y a a ab =++为：()222y a =+-，再由51a -<<-可求得函数的取值范围．【详解】解：（1）∵若2b =，且2x =是此方程的根∴()()22212222210a a +⋅-+⋅++= ∴2102a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴1212a a ==∴a 的值为12．（2）∵方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=有实数根∴()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦ ∴()210ab -≤ ∴10ab -=∴1ab =∴函数242y a a ab =++为：()224222y a a a =++=+-∵51a -<<-∴可画出函数图象，如图：∴函数242y a a ab =++的取值范围是：27y -≤<．【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程、一元二次方程的根的判别式、由自变量取值范围求函数取值范围等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。

专题01 二次函数图象与系数a、b、c相关的判断问题-2022中考数学二次函数重点题型全国通用解析版

专题01 二次函数图象与系数a 、b 、c 相关结论的判断问题一、单选题1．（2021·山东烟台招远市中考一模）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④30a c +<；⑤1c a ->．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D【分析】从抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点，函数的增减性等去分析判断即可．【详解】∵从图象上看出,直线x =1与抛物线的交点位于第四象限，∴0a b c ++<，故①正确；∵从图象上看出,直线x = -1时，函数有最大值，y =a -b +c ，当x =0时，函数值为y =c =1，∴1a b c -+>，故②正确；∵-12b a=-＜0， ∴ab ＞0，∵c =1,∴0abc >，故③正确；∵0a b c ++<，b =2a ，∴30a c +<，故④正确；∵1a b c -+>，b =2a ，∴1c a ->，故⑤正确．故选D ．2．（2021·四川广安市中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0abc >，②420a b c -+<，③()a b x ax b -≥+，④30a c +<，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴交点可得a ，b ，c 的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x 轴的交点可得当x =-2时，y ＞0，可判断②；再根据x =-1时，y 取最大值可得a -b +c ≥ax 2+bx +c ，从而判断③；最后根据x =1时，y =a +b +c ，结合b =2a ，可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x =-1，即12b a-=-， ∴b =2a ，则b ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x =-1，与x 轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x 轴的另一个交点在-2和-3之间，∴当x =-2时，y =4a -2b +c ＞0，故②错误；∵x =-1时，y =ax 2+bx +c 的最大值是a -b +c ，∴a -b +c ≥ax 2+bx +c ，∴a -b ≥ax 2+bx ，即a -b ≥x （ax +b ），故③正确；∵当x =1时，y =a +b +c ＜0，b =2a ，∴a +2a +c =3a +c ＜0，故④正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于（0，c ）．3．（2021·广东肇庆市九年级月考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论：①24b ac >；②0abc >；③20a b -=；④80a c +<；⑤930a b c ++<．其中结论正确的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】观察抛物线与x 轴的交点情况即可对①作出判断；根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y 轴的交点位置即可对②作出判断；根据抛物线的对称轴为直线x =1，即可对③作出判断；观察图象当x =-2时，y >0，从而可对④作出判断；观察图象当x =3时，y <0，从而可对⑤作出判断．【详解】抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，即24b ac >，故①正确；抛物线开口向上，0a ∴>，对称轴在y 轴的右侧，0b ∴<，抛物线与y 轴交于负半轴，0c ∴<，0abc ∴>，故②正确；12b a-=， 20a b ∴+=，故③错误；2x =-时，0y >，420a b c ∴-+>，即80a c +>，故④错误；根据抛物线的对称性可知，当3x =时，0y <，930a b c ∴++<，故⑤正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及数形结合；对于此类问题，一般是看抛物线的开口方向可确定a 的符号、看对称轴的位置可确定b 的符号、看抛物线与y 轴的交点位置确定c 的符号，看抛物线与x 轴交点的个数确定判别式的符号，根据函数图象可确定2ax bx c ++的符号．关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．4．（2021·黑龙江牡丹江市中考真题）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），与x 轴的一个交点B （3，0），与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①ab c >0；②﹣2＜b 53<-；③（a ＋c ）2﹣b 2＝0；④2c ﹣a ＜2n ，则正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的开口向上，∴a ＞0，∵抛物线线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（1，n ），∴对称轴x =12b a-=， ∴b =-2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间∴-3＜c ＜-2＜0， ∴ab c>0；故①正确； ∵抛物线线x 轴的一个交点B （3，0），∴9a +3b +c =0，抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∵b =-2a∴c =32b ， ∴-3＜32b ＜-2， ∴﹣2＜b 43<-，故②错误； ∵抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∴a -b +c =0，∴（a ＋c ）2﹣b 2＝（a +b +c ）（a -b +c ）=0，故③正确；∵a ＞0，∴-a ＜0∵b =-2a∴3a +2b =-a ＜0∴2c ﹣a ＞2（a +b +c ），∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），∴a +b +c =n ，∴2c ﹣a ＞2n ；故④错误；故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），明确以下几点：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；③常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．5．（2021·湖北荆门中考真题）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）开口向下且过点(1,0)A ，(,0)B m （21m -<<-），下列结论：①20b c +>；②20a c +<；③ (1)0a m b c +-+>；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，则244ac b a -<．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】根据已知条件可判断0c >，0a b <<，据此逐项分析解题即可．【详解】解：抛物线开口向下0a ∴<把(1,0)A ，(,0)B m 代入2y ax bx c =++得200a b c am bm c ++=⎧⎨++=⎩2am bm a b ∴+=+20am bm a b ∴+--=(1)()0m am a b -++=21m -<<-0am a b ∴++=,(1)am c a m b ∴=+=-0c ∴>110m ∴-<+<10m +<11022m +∴-<< 1022b a∴-<-< 10b a∴>> 0a b ∴<<①220b c b a b b a +=--=->，故①正确；②220a c a a b a b +=--=-<，故②正确；③ (1)2230a m b c b c b a b b a +-+=-+=---=-->，故③正确；；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，即2(1)10ax a m x am -++-=22(1)4(1)a m a am ∆=+--222(1)44a m a m a =+-+2244a b b a a a--=-⋅+ 22444b a ab a =+++24()4b a a b a =+++2440b ac a =-+>244ac b a ∴-<，故④正确，即正确结论的个数是4，故选：A ．6．（2021·四川达州市中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】 ①根据图象开口向上，对称轴位置，与y 轴交点分别判断出a ,b ,c 的正负 ②根据对称轴公式2b x a =-，12x =判断,a b 的大小关系 ③根据2x =时，0y =，比较423a b c ++与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等结合②的结论判断即可⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．【详解】①图象开口朝上，故0a > ，根据对称轴“左同右异”可知0b <，图象与y 轴交点位于x 轴下方，可知c <00abc ∴>故①正确； ②122b x a =-=得=-a b 0a b ∴+=故②错误；③2y ax bx c =++经过()2,0420a b c ∴++=又由①得c <04230a b c ∴++<故③正确；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等∴ 当1x =-时0y =，即0a b c -+=a b =-20a c ∴+=即12c a=- ∴ 2y ax bx c =++经过,02c a ⎛⎫⎪⎝⎭，即经过(1,0)- 故④正确； ⑤当12x =时,1142y a b c =++, 当x m =时,2y am bm c =++ 0a > ∴ 函数有最小值1142a b c ++∴ 21142am bm c a b c ++≥++ 化简得2440am bm b +-≥，故⑤正确．综上所述：①③④⑤正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图象逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．7．（2021·广西福绵九年级期中）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线1x =，给出下列结论：①0abc >；②当2x >时，0y >；③80a c +>；④30a b +<，其中正确的结论有( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②④【答案】B【分析】该函数开口方向向上，则a ＞0，由对称轴可知，b ＝−2a ＜0，与y 轴交点在y 轴负半轴，则c ＜0，再根据一些特殊点，比如x ＝1，x ＝−1，顶点等进行判断即可．【详解】解：函数开口方向向上，0a ∴>，对称轴为直线1x =，即12b a-=， 20b a ∴=-<，抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，0c ∴<，0abc ∴>，故①正确，由图象可知，当0x =时，0y c =<，由函数的对称性可知，2x =时，0y c =<，且当1x >时，y 随x 的增大而增大，故②错误，当2x =-时，420y a b c =-+>，即80a c +>，故③正确，320a b a b a a +=++=>，故④错误，综上，正确的是①③，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题关键．8．（2021·山东日照中考真题）抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②()()2242a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】 ①由图象开口方向，对称轴位置，与y 轴交点位置判断a ，b ，c 符号．②把2x =±分别代入函数解析式，结合图象可得22(4)(2)a c b +-的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y 值越大．④由抛物线顶点纵坐标为m 可得2ax bx c m ++，从而进行判断21ax bx c m ++=-无实数根．【详解】解：①抛物线图象开口向上，0a ∴>，对称轴在直线y 轴左侧，a ∴，b 同号，0b >，抛物线与y 轴交点在x 轴下方，0c ∴<，0abc ∴<，故①正确．②22(4)(2)(42)(42)a c b a c b a c b +-=+++-，当2x =时242ax bx c a c b ++=++，由图象可得420a c b ++>，当2x =-时，242ax bx c a c b ++=+-，由图象可得420a c b +-<，22(4)(2)0a c b ∴+-<，即22(4)(2)a c b +<，故②正确．③11|1||(1)|x x +=--，22|1||(1)|x x +=--，12|1||1|x x +>+，∴点1(x ，1)y 到对称轴的距离大于点2(x ，2)y 到对称轴的距离，12|y y ∴>，故③错误． ④抛物线的顶点坐标为(1,)m -，y m ∴，2ax bx c m ∴++，21ax bx c m ∴++=-无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中a ，b ，c 与函数图象的关系．9．（2021·山东枣庄中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为12x =，且经过点()2,0．下列说法：①0abc <；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若11,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，25,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上的两点，则12y y <；⑤()14b c m am b c +>++（其中12m ≠）．正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【分析】先根据抛物线开口向下、与y 轴的交点位于y 轴正半轴0,0a c <>，再根据对称轴可得0b a =->，由此可判断结论①；将点()2,0代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．【详解】解：抛物线的开口向下，与y 轴的交点位于y 轴正半轴，0,0a c ∴<>，抛物线的对称轴为122b x a =-=， 0b a ∴=->， 0abc ∴<，则结论①正确；将点()2,0代入二次函数的解析式得：420a b c ++=，则结论③错误；将=-a b 代入得：20b c -+=，则结论②正确；抛物线的对称轴为12x =， 32x ∴=和12x =-时的函数值相等，即都为1y ，又当12x ≥时，y 随x 的增大而减小，且3522<， 12y y ∴>，则结论④错误；由函数图象可知，当12x =时，y 取得最大值，最大值为1111142424a b c b b c b c ++=-++=+， 12m ≠， 214b c am bm c +>++∴，即1()4b c m am b c +>++，结论⑤正确；综上，正确的结论有①②⑤，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．10．（2021·山东日照九年级月考）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()3,0-，其对称轴为直线12x =-，结合图象分析下列结论：①0abc >；②30a c +>；③当0x <时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为113x =-，212x =；⑤若(),m n m n <为方程()()3230a x x +-+=的两个根，则3m <-且2n >，其中正确的结论有（）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由函数图象可得，0a <，0b <，0c >，则0abc >，故①正确；122b a -=-，得a b =， 3x =-时，930y a bc =-+=，60a c ∴+=，6c a ∴=-，33630a c a a a ∴+=-=->，故②正确；由图象可知，当12x <-时，y 随x 的增大而增大，当102x -<<时，y 随x 的增大而减小，故③错误；抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(3,0)-，其对称轴为直线12x =-，∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(2,0)， 20ax bx c ∴++=的两个根为13x =-，22x =， 211()0a b c x x ∴+⋅+=的两个根为13x =-，22x =，∴一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为113x =-，212x =，故④正确；该函数与x 轴的两个交点为(3,0)-，(2,0)，∴该函数的解析式可以为(3)(2)y a x x =+-，当3y =-时，3(3)(2)a x x -=+-∴当3y =-对应的x 的值一个小于3-，一个大于2，∴若m ，()n m n <为方程(3)(2)30a x x +-+=的两个根，则3m <-且2n >，故⑤错误；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、抛物线与x 轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．11．（2021·四川省宜宾市中考一模）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-，对称轴为直线2x =，下列结论：①40a b +=；93a c b +>；③8720a b c ++>；④若点()13,A y -、点21,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、点37,2C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在该函数图象上，则132y y y <<；⑤若方程(1)(53a x x +-=-)的两根为1x 和2x ，且12x x <，则1215x x <-<<；⑥44a b b a+=-，其中正确的结论有（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A【分析】利用对称轴方程得到−2b a＝2，则b ＝−4a ，于是可对①进行判断；利用x ＝−3时，y ＜0可对②进行判断；利用图象过点（−1，0）得到a −b ＋c ＝0，把b ＝−4a 代入得到c ＝−5a ，则8a ＋7b ＋2c ＝−30a ，然后利用a ＜0可对③进行判断；根据二次函数的性质，通过比较A 、B 、C 点到对称轴的距离的大小得到y 1＜y 2＜y 3．则可对④进行判断．根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（5，0），则抛物线解析式为y ＝a （x ＋1）（x −5），所以方程a （x ＋1）（x −5）＝−3的两根x 1和x 2为抛物线y ＝a （x ＋1）（x −5）与直线y ＝−3的交点的横坐标，于是结合函数图象可对⑤进行判断；根据b ＝−4a ，可对⑥进行判断．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝−2b a＝2， ∴b ＝−4a ，即4a ＋b ＝0，所以①正确；∵x ＝−3时，y ＜0，∴9a −3b ＋c ＜0，即9a ＋c ＜3b ，所以②错误；∵抛物线经过点（−1，0），∴a −b ＋c ＝0，而b ＝−4a ，∴a ＋4a ＋c ＝0，则c ＝−5a ，∴8a ＋7b ＋2c ＝8a −28a −10a ＝−30a ，∵a ＜0，∴8a ＋7b ＋2c ＞0，所以③正确；∵点A （−3，y 1）到直线x ＝2的距离最大、点C （72，y 3）到直线x ＝2的距离最小，抛物线开口向下，∴y 1＜y 2＜y 3．所以④错误．∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（−1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（5，0），∴抛物线解析式为y ＝a （x ＋1）（x −5），∴方程a （x ＋1）（x −5）＝−3的两根x 1和x 2为抛物线y ＝a （x ＋1）（x −5）与直线y ＝−3的交点的横坐标，∴x 1＜−1＜5＜x 2；所以⑤正确；∵b ＝−4a ， ∴()()4145a b b a +=-+-=-，故⑥错误；故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：Δ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．12．（2021·黑龙江齐齐哈尔中考真题）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为1x =-，结合图象给出下列结论：①0a b c ++=；②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根分别为-3和1；④若点()14,y -，()22,y -，()33,y 均在二次函数图象上，则123y y y <<；⑤()a b m am b -<+（m 为任意实数）．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象及性质逐项分析即可判断．【详解】解：∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0， ∴当x =1时，0a b c ++=，故结论①正确；根据函数图象可知，当10x y =-<，，即0a b c -+<，对称轴为1x =-，即12b a -=-，根据抛物线开口向上，得0a ＞，∴20b a =＞，∴0a b c b -+-<，即20a b c -+<，故结论②正确；根据抛物线与x 轴的一个交点为()1,0，对称轴为1x =-可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)，∴关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根分别为-3和1，故结论③正确；根据函数图象可知：213y y y <<，故结论④错误；当x m =时，2()y am bm c m am b c =++=++，∴当1m =-时，()a b c m am b c -+=++，即()a b m am b -=+，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．二、填空题13．（2021·北京师大附中九年级月考）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：①abc ＜0；②3a +c ＜0；③b 2﹣4ac ＞0；④16a +4b +c ＞0．其中正确结论的个数是：___．【答案】3【分析】根据二次函数图象的性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点以及特殊点的值），确定对应代数值的符号即可．【详解】解：图象开口方向向上，所以0a >，对称轴为12b a-=，20b a =-< 图象与y 轴交点在x 轴下方，∴0c <∴0abc >，①错误；由图象可得，当1x =-时，0y <，即0a b c -+<，∴30a c +<，②正确；图象与x 轴有两个交点，∴240b ac ->，③正确；由图象可知，当2x =-时，0y >，又因为(2,)y -关于1x =对称的点为(4,)y∴当4x =时，0y >，即1640a b c ++>，④正确所以正确的个数为3故答案为3【点睛】此题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象确定出对应代数值的符号．14．（2021·湖北新洲九年级月考）抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-，部分图象如图所示，下列判断中：①0abc >；②20a b -=；③240b ac ->；④420a b c ++>；其中判断正确的选项是____________．【答案】②③④【分析】利用抛物线开口方向得到a ＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b ＝2a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点位置得到c ＜0，则可对①进行判断；利用对称轴方程可对②判断；利用抛物线与x 轴交点个数可对③进行判断；利用当x =2时，y ＞0，可对④判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x ＝2b a-＝−1， ∴b ＝2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＜0，所以①错误；∵b ＝2a ，∴20a b -=，所以②正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴Δ＝240b ac ->，所以③正确；∵当x =2时，y ＞0，∴420a b c ++>，所以④正确．故答案是：②③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：Δ＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．15．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分；图象过点(3,0)A -，对称轴为1x =-，给出四个结论：①24b ac >；②20a b +=；③0a b c -+=；④5a b <．其中正确的是__________．（填序号）【答案】①④【分析】①由图象与x 轴有交点，对称轴为x ＝2b a-＝﹣1，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，可以推出b 2﹣4ac ＞0，可对①进行判断；②由抛物线的开口向下知a ＜0，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上得到c ＞0，由对称轴为x ＝2b a -＝﹣1，可对②进行分析判断；③由x ＝﹣1时y 有最大值，由图象可知y ≠0，可对③进行分析判断；④把x ＝1，x ＝﹣3代入解析式得a +b +c ＝0，9a ﹣3b +c ＝0，两边相加整理得5a ﹣b ＝﹣c ＜0，即5a ＜b ，即可对④进行判断．【详解】①∵图象与x 轴有交点，对称轴为x ＝2b a-＝﹣1，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac ＞0，即b 2＞4ac ，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∵对称轴为x ＝2b a-＝﹣1， ∴2a ＝b ，∴2a +b ＝4a ，a ≠0，故②错误；③∵x ＝﹣1时y 有最大值，由图象可知y ≠0，故③错误；④把x ＝1，x ＝﹣3代入解析式得a +b +c ＝0，9a ﹣3b +c ＝0，两边相加整理得5a ﹣b ＝﹣c ＜0，即5a ＜b ，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定，要注意数形结合思想的运用．16．（2021·贵州黔东南中考真题）如图，二次函数()2=++0y ax bx c a ≠的函数图象经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中－1＜1x ＜0，1＜2x ＜2，下列结论：①0abc >；②20a b +<；③420a b c -+>；④当()12x m m =<<时，22am bm c <+-；⑤1b > ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）【答案】②④⑤【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x 轴、y 轴的交点坐标以及过特殊点时系数a 、b 、c 满足的关系等知识进行综合判断即可．【详解】解：抛物线开口向下，a ＜0，对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，因此b ＞0，与y 轴的交点在正半轴，c ＞0，所以abc ＜0，故①错误；对称轴在0～1之间，于是有0＜-2b a＜1，又a ＜0，所以2a +b ＜0，故②正确；当x =-2时，y =4a -b +c ＜0，故③错误；当x =m （1＜m ＜2）时，y =am 2+bm +c ＜2，所以am 2+bm ＜2-c ，故④正确；当x =-1时，y =a -b +c ＜0，当x =1时，y =a +b +c =2，所以-2b ＜-2，即b ＞1，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：②④⑤，故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a 、b 、c 满足的关系是正确判断的前提．17．（2021·山东泰安中考真题）如图是抛物线2y ax bx c =++的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；②0a b c -+=；③y 的最大值为3；④方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．【答案】②④【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x =1， ∴﹣2b a=1，即b =﹣2a ＞0 ∴abc ＜0，故①错误；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），∴根据对称性，与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，故②正确；根据图象，y 是有最大值，但不一定是3，故③错误；由210ax bx c +++=得2=1ax bx c ++﹣，根据图象，抛物线与直线y =﹣1有交点，∴210ax bx c +++=有实数根，故④正确，综上，正确的为②④，故答案为：②④．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键．18．（2021·山东济宁中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的正半轴交于点A ，对称轴为直线1x =，下面结论：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④方程()20y ax bx c a =++≠必有一个根大于1-且小于0．其中正确的是____（只填序号）．【答案】①②④．【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．【详解】解：由图象可得，a ＜0，b ＞0，c ＞0，则abc ＜0，故①正确；∵-2b a=1， ∴b =-2a ，∴2a +b =0，故②正确；∵函数图象与x 轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x =1， ∴函数图象与x 轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；∴当x =-1时，y =a -b +c ＜0，∴y =a +2a +c ＜0，∴3a +c ＜0，故③错误；故答案为：①②④．19．（2021·湖北武汉市九年级月考）如图，二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于两点()1,0x ，()2,0，其中101x <<，下列四个结论①0abc <；②20a c -<；③240a b c ++>；④44a b b a+<-，正确的序号是__________．【答案】①④【分析】根据抛物线开口向上,抛物线对称轴,抛物线与y 轴的交点可判断①正确；根据图象与x 轴交于两点（x 1，0），（2，0）和对称轴的位置可判断②错误；当x 12=时，y 的值为14a 12+b +c ，结合对称轴可判断③错误；根据对称轴12b a-＞；可得2a +b ＜0，变形可判断④正确；【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线对称轴在y 轴的右侧，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确；②∵图象与x 轴交于两点（x 1，0），（2，0），其中0＜x 1＜1， ∴2021222b a ++-＜＜，∴1322b a -＜＜，当322b a -＜时，b ＞﹣3a ， ∵当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＝0，∴b ＝﹣2a 12-c ， ∴﹣2a 12-c ＞﹣3a ， ∴2a ﹣c ＞0，故②错误；③当x 12=时，y 的值为14a 12+b +c ，给14a 12+b +c 乘以4，即可化为a +2b +4c ， ∵抛物线的对称轴在1322b a -＜＜， ∴x 12=关于对称轴对称点的横坐标在32和52之间，由图象可知在32和2之间y 为负值，2和52之间y 为正值， ∴a +2b +4c 与0的关系不能确定，故③错误； ④∵12b a-＞， ∴2a +b ＜0，∴（2a +b ）2＞0，4a 2+b 2+4ab ＞0，4a 2+b 2＞﹣4ab ，∵a ＞0，b ＜0，∴ab ＜0， ∴2244a b ab+-＜，即44a b b a+-＜，故④正确．故答案：①④．20．（2021·湖北武汉市九年级月考）抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0-、()1,0x ，其中110x -<<，0c <，下列四个结论：①0abc >；②20a c -<；③()()30a b a b -->；④若m ，n （m n <）为关于x 的方程()()1210a x x x +-+=的两个根，则32m n -<+<-．其中正确的结论是______（填写序号）．【答案】②④【分析】由题意可知，a ＜0，c ＜0，由对称轴可知得出b ＜0，故判断①；由当x ＝−2时，y ＝0和当x ＝−1时，y ＞0可以判断②；由当x ＝−1时，a −b ＋c ＞0和322b a --＞，可以判断③；y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a （x ＋2）（x −x 1）向上平移1个单位得到，对称轴不变，可以判断④．【详解】解：∵抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0-、()1,0x ，其中110x -<<，0c <，∴抛物线的大致形状为∴a ＜0，对称轴2b a-＜0， ∴b ＜0， ∴0abc ＜，故①错误；∵当2x =-时，0y =，即420a b c -+=①，当1x =-时，0y ＞，即0a b c -+＞②，由①得：24b a c =+，把24b a c =+代入②×2得：2(4)+20a a c c -+＞，整理得：2a c -＜0，故②正确；当1x =-时，+a b c -＞0，∴0a b c --＞＞，又∵322b a --＞， ∴30＜-a b ，∴()(3)0a b a b --＜，故③错误；∵1(2)()10a x x x +-+=，即y '为21(2)()y ax bx c a a x x =++=+-向上平移1个单位得到，∴12,m n x -＜＞， ∴3122m n +--＜＜， ∴32m n -+-＜＜，故④正确；故答案为：②④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；△决定抛物线与x 轴交点个数：Δ＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．。

九年级二次函数与数形结合重点题---附答案

九年级二次函数与数形结合重点题---附答案答案：B 。

【典型例题2】如图，在平面直角坐标系中，点C（－3，0），点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，2310OB OA --=（1）求点A 、点B 的坐标；（2）若点P 从C 以每秒1个单位的速度沿线段CB 由C 向B 运动，连结AP ，设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A ，B ，P 为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（12310OB OA --=，∴230OB-=，10OA -=.∴3OB =1OA =．∵点A ，点B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，∴A （1，0），B （0，3．（2）由（1）得AC =4，221(3)2AB =+=，223(3)23BC =+=∴2222222316ABBC AC +=+==（）．∴△ABC 为直角三角形，90ABC ∠=． ∴S =t t -=⨯-322)3221（（0≤t ＜3．（3）存在，满足条件的的有两个．1(30)P -，， 22133P ⎛-⎝，．【知识点】yxAOCB非负数的概念，函数解析式的求法，相似三角形的判定。

【基本习题限时训练】1.已知013=+++-b b a ，那么ba 的值等于（）（A ）4；（B ）-4；（C ）41；（D ）41-。

答案：D 。

2. 在直角坐标系中，直线y=-2x+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上，且△AOC ∽△ABO ，那么点C 到原点的距离等于（）（A ）1；（B ）551；（C ）552；（D ）554。

答案：D 。

3. 在矩形ABCD 中，AB=12，BC=16，点M 和点N 同时从点B 出发，分别沿边BC 和BA 运动，点M 的运动速度为每秒4厘米，点N 的运动速度为每秒3厘米，设运动的时间为t ，那么当△MNC 成为等腰三角形时，t 的值等于（）（A ）916；（B ）716；（C ）34；（D ）712。

二次函数(单元重点综合测试)(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册单元速记巧练(人教版)

二次函数（单元重点综合测试）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）关于二次函数()215y x =++，下列说法正确的是（）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标为()1,5C ．该函数有最大值，最大值为5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D 【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．【详解】解：()215y x =++中，2x 的系数为1，10>，函数图象开口向上，A 错误；函数图象的顶点坐标是()1,5-，B 错误；函数图象开口向上，有最小值为5，C 错误；函数图象的对称轴为=1x -，1x <-时y 随x 的增大而减小；1x >-时，y 随x 的增大而增大，所以，当1x >时，y 随x 的增大而增大，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．2．（2022秋·河北唐山·九年级校考阶段练习）若()221m y m x -=-是二次函数，最大值为0，则m 的值为（）A ．2m =±B ．m =C ．2m =D ．m =【答案】C【分析】根据二次函数的定义（形如2y ax bx c =++，,,a b c 为常数，且0a ≠的函数叫做二次函数）可得222m -=，由最大值为0，可得10m -<，由此即可求解．【详解】解：由题意得：22210m m ⎧-=⎨-<⎩，解得2m =，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的定义和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．3．（2023·福建宁德·模拟预测）若二次函数2(0)y ax bx c a =++>图象，过不同的六点()1,A n -、()5,1B n -、()6,1C n +、()14,D y 、)2Ey 、()32,F y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y <<【答案】D 【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点()1,A n -，()5,1B n -，()6,1C n +求得抛物线对称轴的范围，然后根据二次函数性质判定可得．【详解】解：由二次函数2(0)y ax bx c a =++>可知，抛物线开口向上，()1,A n - 、()5,1B n -、()6,1C n +，即有11n n n -<<+，A ∴点关于对称轴的对称点在5与6之间，∴对称轴的取值范围为2 2.5x <<，13y y ∴>，点E 到对称轴的距离小于2.5D 到对称轴的距离大于4 2.5 1.5-=，321y y y ∴<<，故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．4．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨x 元，销售利润为y 元，可列函数为：()()302040020y x x =+--．对所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是（）A ．()3020x +-表示涨价后商品的单价B ．20x 表示涨价后少售出商品的数量C ．()40020x -表示涨价后商品的数量D ．()30x +表示涨价后商品的单价【答案】A 【分析】根据题意，分析得出涨价后的单价为()30x +元，涨价后销量为()40020x -件，再根据利润等于售价减去进价得出涨价后每件利润为()3020x +-元即可．【详解】解：A 、()3020x +-表示涨价后单件商品的利润，不是商品的单价，故本选项不符合题意；B 、由销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，得每件商品涨x 元后，20x 表示涨价后少售出商品的数量，故本选项符合题意；C 、由题可知，原销量为400件，涨价后少售出20x 件，则涨价后的商品数量为()40020x -件，故本选项符合题意；D 、由题可知，每件商品原价为30元，涨x 元后单价为()30x +元，故本选项符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了应用题中的利润问题，根据题意准确得出涨价前后的售价和销量以及熟练掌握利润的计算公式是本题的重点．5．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线22y ax bx =+-（a 、b 是常数，0a ≠）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线2142y x x =+-关于y 轴对称，则a 、b 的值为（）A ．1a =-，2b =-B ．12a =-，1b =-C ．12a =，1b =-D ．1a =，2b =【答案】C 【分析】先求出抛物线2142y x x =+-关于y 轴对称的抛物线为()219122y x =--，再根据抛物线平移的性质得出抛物线22y ax bx =+-向下平移2个单位长度后为24y ax bx =+-，即可得出a 和b 的值．【详解】解：∵()2211941222y x x x =+-=+-，∴抛物线2142y x x =+-关于y 轴对称的抛物线为()219122y x =--，∵抛物线22y ax bx =+-向下平移2个单位长度后为24y ax bx =+-，∵24y ax bx =+-与2142y x x =+-关于y 轴对称，∴()22419122y ax bx x =-+-=-，整理得：224412y x x a bx x +-=--=，∴12a =，1b =-，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．6．（2020秋·河南安阳·九年级校考期中）如图，一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣4）（0≤x ≤4）记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1；将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3…如此变换进行下去，若点P （21，m ）在这种连续变换的图象上，则m 的值为（）A ．2B ．﹣2C ．﹣3D ．3【答案】C 【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到点A 1的坐标，从而可以求得OA 1的长度，然后根据题意，即可得到点P （21，m ）中m 的值和x ＝1时对应的函数值互为相反数，从而可以解答本题．【详解】解：∵y ＝﹣x （x ﹣4）（0≤x ≤4）记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1，∴点A 1（4，0），∴OA 1＝4，∵OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4，∴OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝4，∵点P （21，m ）在这种连续变换的图象上，∴x ＝21和x ＝1∴﹣m ＝﹣1×（1﹣4）＝3，∴m ＝﹣3，故选：Ｃ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数()()(0,,y a x m x m k a m k =--->是实数)，则（）A ．当2k =时，函数y 的最小值为a-B ．当2k =时，函数y 的最小值为2a -C ．当4k =时，函数y 的最小值为a-D ．当4k =时，函数y 的最小值为2a -【答案】A【分析】令0y =，则()()0a x m x m k =---，解得：1x m =，2x m k =+，从而求得抛物线对称轴为直线222m m k m k x +++==，再分别求出当2k =或4k =时函数y 的最小值即可求解．【详解】解：令0y =，则()()0a x m x m k =---，解得：1x m =，2x m k =+，∴抛物线对称轴为直线222m m k m k x +++==当2k =时，抛物线对称轴为直线1x m =+，把1x m =+代入()()2y a x m x m =---，得y a =-，∵0a >∴当1x m =+，2k =时，y 有最小值，最小值为a -．故A 正确，B 错误；当4k =时，抛物线对称轴为直线2x m =+，把2x m =+代入()()4y a x m x m =---，得4y a =-，∵0a >∴当2x m =+，4k =时，y 有最小值，最小值为4a -，故C 、D 错误，故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．8．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从点O 正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度()m y 与运行的水平距离()m x 满足关系式2(6) 2.6y a x =-+．已知球网与点O 的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距点O 的水平距离为18m ．下列判断正确的是（）A ．球运行的最大高度是2.43mB ．150a =-C ．球会过球网但不会出界D ．球会过球网并会出界【答案】D 【分析】根据顶点式2(6) 2.6y a x =-+的特征即可判断A 选项；将点()0,2代入函数解析式中即可求得a 的值，即可判断B 选项；分别求出9x =和18x =的函数值，再分别和2.43、0比较大小即可判断C 、D 选项．【详解】解：球的运行的高度()m y 与运行的水平距离()m x 满足关系式2(6) 2.6y a x =-+，∴当6x =时，y 取得最大值2.6，∴运行的最大高度时2.6m ，故A 错误；球从点O 正上方2m 的A 处发出，2(6) 2.6y a x ∴=-+的图象经过点()0,2，22(06) 2.6a ∴=-+，解得：160a =-，故B 错误；当9x =时，21(96) 2.6 2.4560y =--+=，2.45 2.43> ，∴球会过球网，当18x =时，21(186) 2.60.260y =--+=，0.20> ，∴球会出界，故C 选项错误，D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握用待定系数求二次函数解析式以及将实际问题转化为二次函数问题是解题关键．9．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如右图，直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴和y 轴分别相交于A 、B 两点，点C 为线段OA 上一动点，过点C 作直线l 的平行线m ，交y 轴于点D ．点C 从原点O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，运动时间为t 秒，以CD 为斜边作等腰直角三角形CDE （E ，O 两点分别在CD 两侧）．若CDE 和OAB 的重合部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系图象大致是（）A ．B．C．D．【答案】C【分析】分类讨论02,24t t ≤<≤≤时，S 与t 之间的函数关系式式即可求解．【详解】解：①当02t ≤＜时，如图所示：可知：212DCE S S == ②当24t ≤≤时，如图所示：此时，DCE EFGS S S =- (),0C t ，(),4G t t -+，(),E t t ()424EG EF t t t ∴==--+=-()2221132488222DCE EFG S S S t t t t ∴=-=--=-+- 综上：()()22102238822t t S t t t ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-+-≥⎪⎩＜显然只有C 选项符合题意故选：C【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意找到S 与t 之间的函数关系式是解题关键．10．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）题目：“如图，抛物线2y x mx =+与直线y x b =-+相交于点()2,0A 和点B ．点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，直接写出点M 的横坐标M x 的取值范围．”对于其答案，甲答：3M x =，乙答：12M x -≤<，丙答：12M x -<≤，丁答：12M x -≤≤，则正确的是（）A ．只有甲答的对B ．甲、乙答案合在一起才完整C ．甲、丙答案合在一起才完整D ．甲、丁答案合在一起才完整【答案】B 【分析】当点M 在线段AB 上时，当点M 在点B 的左侧时，当点M 在点A 的右侧时，分类求解确定MN 的位置，进而求解．【详解】解：将点A 的坐标代入抛物线表达式得：420m +=，解得2m =-，将点A 的坐标代入直线表达式得：20b -+=，解得2b =，∴抛物线的解析式为22y x x =-，直线的解析式为2y x =-+，当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线只有一个公共点，M ，N 的距离为3，而A ，B 的水平距离是3，故此时只有一个交点，即12M x -≤<，当点M 在点A 的右侧时，当3M x =时，抛物线和MN 交于抛物线的顶点(1,1)-，即3M x =时，线段MN 与抛物线只有一个公共点，综上所述，12M x -≤<或3M x =，即甲、乙答案合在一起才完整，故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，分类求解确定MN 位置是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋·九年级单元测试）已知二次函数()224y x =--+，当2x >时，若y 随着x 的增大而（填“增大”“不变”或“减小”）．【答案】减小【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质进行解答即可．【详解】∵1a =-,对称轴2x =，∴当2x >时，若y 随着x 的增大而减小，故答案为：减小．【点睛】本题考查二次函数顶点式()2y a x h k =-+的图象与性质，分清a 、h 的符号和二次函数顶点式的增减性是解题的关键．12．（2020秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）已知点()()A a m B b m ，、，、(),P a b n +为抛物线224y x x =-+上的点，则n ＝．【答案】4【分析】由抛物线的解析式可知抛物线的对称轴是直线1x =，根据点A 和B 的坐标知，则点A 和B 关于直线1x =对称．据此易求a b +的值，进而把P 点的坐标代入解析式即可求得n 的值．【详解】∵抛物线解析式为224y x x =-+，∴该抛物线的对称轴是直线212x -=-=，∵点()()A a m B b m ，、，为抛物线24y x x =-+上的点，∴点()()A a m B b m ，、，关于直线1x =对称，∴12a b +=，∴2a b +=，∴()2,P n 把2x =代入抛物线的解析式得，222244n =-⨯+=．故答案是：4．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质．二次函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式．13．（2022秋·天津西青·九年级校考期中）行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离我们将它称为“刹车距离”．某车的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）之间的函数关系是20.010.002s x x =+，现在该车在限速120km/h 的高速公路上出了交通事故，事后测得刹车距离为46．5m ，请推测该车刹车时是否超速（填“是”或“否”），车速为km/h ．【答案】是150【分析】将46.5s =代入函数解析式，求出车速x ，与120km/h 比较即可得出答案．【详解】根据题意，当46.5s =时，得：20.010.00246.5x x +=，解得：1155x =-（舍），2150120x =>，∴刹车前，汽车超速．故答案为：是，150．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是将s 的值代入，解一元二次方程，注意将实际问题转化为数学模型．14．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）若二次函数()20y ax bx c a =++≠中，函数值y与自变量x 的部分对应值如表：x…2-1-012…y …02-2-04…则当32x -≤≤时，y 的最大值为．【答案】4【分析】根据表中点的坐标得出函数的对称轴，设二次函数的表达式是21(2y a x k =++，把点的坐标代入求出该二次函数的表达式是22y x x =+-；再画出图象，即可利用图象法求解．【详解】解：根据表中可知：点(1,2)--和点(0,2)-关于对称轴对称，即对称轴是直线12x =-，设二次函数的表达式是21(2y a x k =++，把点(2,0)-和点(0,2)-代入得：221(2)021(0)22a k a k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪++=-⎪⎩，解得：1a =，94k =-，2219(224y x x x =+-=+-，所以该二次函数的表达式是2219224y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭；函数图象如图所示，由图象可得∶当32x -≤≤时，﹣944y ≤≤，最大值为4.故答案为∶4．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键．15．（2023·吉林长春·统考中考真题）2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A 、B 的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H 处相遇，此时相遇点20米，喷水口A 、B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A '、B '到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H '距地面米．【答案】19【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令0x =求平移后的抛物线与y 轴的交点即可．【详解】解：由题意可知：()40,4A -、()40,4B 、()0,20H ，设抛物线解析式为：220y ax =+，将()40,4A -代入解析式220y ax =+，解得：1100a =-，220100x y ∴=-+，消防车同时后退10米，即抛物线220100x y =-+向左（右）平移10米，平移后的抛物线解析式为：()21020100x y +=-+，令0x =，解得：19y =，故答案为：19．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．16．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）已知二次函数224y x x =--+，当1a x a ≤≤+时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为．【答案】0或-31y =时自变量x 的值，结合1a x a ≤≤+时，函数值y 的最小值为1，可得到关于a 的一元一次方程，解即可．【详解】解：令1y =，则2241x x --+=，解得：12x =-，21x =．1a x a ≤≤+时，函数值y 的最小值为1∴12a +=-或11a +=，∴3a =-或0a =．故答案为：3-或0．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图像上点的特征找出1y =时自变量x 的值是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线L ：()227y x =+-．(1)写出L 的对称轴和y 的最小值；(2)点P 为透明片上一点，P 的坐标为()9,6．平移透明片，平移后，P 的对应点为P '，抛物线L 的对应抛物线为L '，其表达式恰为267y x x =-+，求PP '移动的最短路程．【答案】(1)对称轴为直线：7x =，y 的最小值为2(2)PP '=【分析】（1）直接根据解析式进行作答即可；（2）求出平移后的抛物线的顶点坐标，PP '移动的最短路程为两个顶点间的距离，进行求解即可．【详解】（1）解：∵()()222277y x x ==--++，顶点坐标为()7,2，∴对称轴为直线7x =，y 2；（2）∵()226732y x x x =-+=--，顶点坐标为()3,2-，∵抛物线L 的顶点坐标为()7,2，∴PP '=【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．18．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于60元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．(1)求平均每天销售量y 箱与销售价x 元/箱之间的函数关系式．(2)求批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间函数关系式．(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)()21905060y x x =-+≤≤(2)()2227076005060w x x x =-+-≤≤(3)当每箱苹果的销售价为60元时，可以获得1400元的最大利润．【分析】（1）在销售90箱的基础上，价格每提高1元，平均每天少销售2箱，再列函数关系式即可；（2）由销售量乘以每箱苹果的利润可得总利润，可得函数关系式；（3）再依据二次函数的增减性求得最大利润．【详解】（1）解：根据题意，平均每天的销售量y （箱）与销售单价x （元/箱）之间得()90250y x =--，即()21905060y x x =-+≤≤．（2）由（1）可得：()()()2402190227076005060w x x x x x =--+=-+-≤≤；（3）∵222707600w x x =-+-，∵20a =-<，∴抛物线开口向下．当()27067.522x =-=⨯-时，w 有最大值．又67.5x <，w 随x 的增大而增大．∴当60x =元时，w 的最大值为1400元．∴当每箱苹果的销售价为60元时，可以获得1400元的最大利润．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在2b x a=-时取得．19．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，可利用的围墙长度不超过30m ，另外三边所围的栅栏的总长度是60m ，设AB 长为x 米．(1)若矩形的面积为2400m ，求AB 的长度．(2)若矩形的面积是S ，求当x 为何值时，S 有最大值？【答案】(1)20米(2)15x =【分析】（1）设AB 长为x 米，则BC 长为(602)x -米，根据矩形的面积公式列出方程，解之取合适的值即可；（2）列出S 关于x 的函数关系式，再根据二次函数的最值求解即可．【详解】（1）解：设AB 长为x 米，则BC 长为(602)x -米，依题意，得()602400x x -=，解得：110x =，220x =，当10x =时，6021040BC =-⨯=，超过了围墙的长度，∴不合题意，舍去，∴20x =，即AB 的长为20米；（2）设矩形的面积是S ，则()()22602260215450S x x x x x =-=-+=--+，∵20-<，∴()2215450S x =--+开口向下，∴当15x =时，S 有最大值．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据题意正确表示出BC 的长是解题关键．20．（2022秋·河北张家口·九年级张家口市实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点()1,3A ，()3,5B ，()3,7C -，直线:l y x m =+经过点A ，抛物线2:b 2L y ax x =++恰好经过A ，B ，C 三点中的两点．(1)判断点B 是否在直线l 上，并说明理由；(2)求,a b 的值；(3)平移抛物线L ，①使其顶点为B ，求此时抛物线与y 轴交点的坐标；②使其顶点仍在直线l 上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．【答案】(1)点B 在直线l 上，理由见解析，(2)2a =-，3b =(3)①()013-，；②178【分析】（1）先将A 代入y x m =+，求出直线解析式，然后将3x =代入解析式即可求解；（2）先根据抛物线22y ax bx =++与直线AB 都经过()02，点，且B ，C 两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A ，C 两点，然后将A ，C 两点坐标代入22y ax bx =++得出关于a ，b 的二元一次方程组；（3）①根据题意，可得抛物线解析式为()2235y x =--+，令0x =，即可求解；②设平移后所得抛物线的对应表达式为22()=--+y x h k ，根据顶点在直线2y x =+上，得出1k h =+，令0x =，得到平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为221h h -++，再将式子配方即可求出最大值．【详解】（1）解：∵直线:l y x m =+经过点()1,3A ，∴31m =+，解得：2m =，∴直线l ：2y x =+，当3x =时，325y =+=，∴()3,5B 在直线l 上，（2）抛物线22y ax bx =++与直线AB 都经过()0,2点，且B ，C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A ，C 两点，将A ，C 两点坐标代入22y ax bx =++得239327a b a b ++=⎧⎨++=-⎩，解得：2a =-，3b =；（3）解：①依题意，点()3,5B ，则抛物线解析式为()2235y x =--+，令0x =，解得：13y =-，∴抛物线与y 轴交点的坐标为()013-，；②设平移后所得抛物线的对应表达式为22()=--+y x h k ，∵顶点在直线2y x =+上，∴2k h =+，令0x =，得到平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为222h h -++，∵2211722248h h h ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭，∴当14h =时，此抛物线与y 轴交点的纵坐标取得最大值178．【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．21．（2023春·山东德州·九年级德州市第十中学校考阶段练习）某班“数学兴趣小组”对函数22y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x...3-52--21-012523...y (35)4m 1-01-0543…其中，m =___________．(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有___________个交点，所以对应的方程220x x -=有___________个实数根；②方程222x x -=有___________个实数根；③关于x 的方程22x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围是___________．【答案】(1)0(2)见解析(3)见解析(4)①3，3；②2；③10a -<<【分析】（1）根据函数的对称性，即可求解；（2）描点即可画出函数图象；（3）任意指出函数的两条性质即可，如函数的最小值为1-；1x >时，y 随x 的增大而增大，答案不唯一；（4）①从图象上看函数与x 轴有3个交点，即可求解；②设22||y x x =-，从图象看2y =与22||y x x =-有两个交点，即可求解；③当y a =与22||y x x =-有2个交点时，a 在x 轴的下方，即可求解．【详解】（1）解：根据函数的对称性，0m =，故答案为：0；（2）描点画出如下函数图象：（3）函数的最小值为1-；1x >时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；（4）①从图象上看函数与x 轴有3个交点，故对应方程2|2||0x x -=有3个根，故答案为：3，3；②设22||y x x =-，从图象看2y =22||y x x =-有两个交点；故答案为：2；③当y a =与22||y x x =-有2个交点时，a 在x 轴的下方，故10a -<<，故答案为：10a -<<．【点睛】本题考查了抛物线的性质，描点法画函数图象，抛物线与x 轴的交点，数形结合是解答本题的关键．22．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA 为28.75cm 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y （单位：cm ），乒乓球运行的水平距离记为x （单位：cm ）．测得如下数据：水平距离x /cm0105090130170230竖直高度y /cm 28.7533454945330(1)在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点(),x y ，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________cm ；②求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB 为274cm ，球网高CD 为15.25cm ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA 的值约为1.27cm ．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时，击球高度OA 的值（乒乓球大小忽略不计）．【答案】(1)见解析(2)①49；230；②()20.00259049y x =--+(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时，击球高度OA 的值为64.39cm【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当0y =时，230=x ；②待定系数法求解析式即可求解；（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为()20.0025904928.75y x h =--++-，根据题意当274x =时，0y =，代入进行计算即可求解．【详解】（1）解：如图所示，（2）①观察表格数据，可知当50x =和130x =时，函数值相等，则对称轴为直线90x =，顶点坐标为()90,49，又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是49cm ，当0y =时，230=x ，∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm ；故答案为：49；230．②设抛物线解析式为()29049y a x =-+，将()230,0代入得，()202309049a =-+，解得：0.0025a =-，∴抛物线解析式为()20.00259049y x =--+；（3）∵当28.75OA =时，抛物线的解析式为()20.00259049y x =--+，设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时，击球高度OA 的值为h ，则平移距离为28.75h -()cm ，∴平移后的抛物线的解析式为()20.0025904928.75y x h =--++-，依题意，当274x =时，0y =，即()20.0025274904928.750h --++-=，解得：64.39h =．答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时，击球高度OA 的值为64.39cm ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．23．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，抛物线2y x bx c =++过点()1,0A -、点()5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求b ，c 的值．(2)点()()000,05P x y x <<是抛物线上的动点①当0x 取何值时，PBC 的面积最大？并求出PBC 面积的最大值；②过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，再过点P 作PF x ∥轴，交抛物线于点F ，连接EF ，问：是否存在点P ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4b =-，5c =-(2)①当052x =时，PBC 的面积由最大值，最大值为1258；②当点P 的坐标为72⎛ ⎝⎭或()4,5-时，PEF !为等腰直角三角形【分析】（1）将将()1,0A -、()5,0B 代入抛物线2y x bx c =++即可求解；（2）①由（1）可知：245y x x =--，得()0,5C -，可求得BC 的解析式为5y x =-，过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，交x 轴于点Q ，易得20005E PE y y x x =-=-+，根据PBC 的面积PEC PEB S S =+△△，可得PBC的面积()()001122C B PE x x PE x x =⋅-+⋅-2055125228x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即可求解；②由题意可知抛物线的对称轴为4221x -=-=⨯对，则04F x x =-，分两种情况：当点P 在对称轴左侧时，即002x <<时，当点P 在对称轴右侧时，即025x <<时，分别进行讨论求解即可．【详解】（1）解：将()1,0A -、()5,0B 代入抛物线2y x bx c =++中，可得：102550b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：45b c =-⎧⎨=-⎩，即：4b =-，5c =-；（2）①由（1）可知：245y x x =--，当0x =时，5y =-，即()0,5C -，设BC 的解析式为：y kx b =+，将()5,0B ，()0,5C -代入y kx b =+中，可得505k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：15k b =⎧⎨=-⎩，∴BC 的解析式为：5y x =-，过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，交x 轴于点Q ，∵()()000,05P x y x <<，则200045y x x =--，∴点E 的横坐标也为0x ，则纵坐标为05E y x =-，∴()()220000005455E PE y y x x x x x =-=----=-+，PBC 的面积PEC PEBS S =+△△()()001122C B PE x x PE x x =⋅-+⋅-()12B C PE x x =⋅-()200552x x =-+2055125228x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，。

2022年必考点解析华东师大版九年级数学下册第26章二次函数专题测试试卷(含答案解析)

华东师大版九年级数学下册第26章二次函数专题测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知二次函数()21y a x =-，当0x <时，y 随x 增大而减小，则实数a 的取值范围是（） A ．0a >B ．1a <C ．1a ≠D ．1a > 2、已知方程()()112x b x c x ----=的根是1x m =，2x n =，且m n <．若10b c <-<<，则下列式子中一定正确的是（）A ．m b n c <<<B ．b m n c <<<C ．m n b c <<<D ．m b c n <<< 3、二次函数 ()2`0y a x bx c a =++≠ 的图像如图所示，现有以下结论：（1） 0b > ：（2）0abc <；（3）0a b c -+>，（4） 0a b c ++>；（5） 240b ac -> ；其中正确的结论有（）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个．4、对于二次函数y ＝﹣x 2＋2x ＋3，下列说法不正确的是（）A ．开口向下B ．当x ≥1时，y 随x 的增大而减小C ．当x ＝1时，y 有最大值3D ．函数图象与x 轴交于点（﹣1，0）和（3，0）5、如图，顶点为(3,6)--的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,4)--，则下列结论中正确的是（）A ．240b ac -<B ．若点(2,),(4,)--m n 在抛物线上，则m n >C ．当3x <-时，y 随x 的增大而减小D ．关于x 的一元二次方程27(0)++=-≠ax bx c a 有两个不相等的实数根6、二次函数y ＝3（x ﹣2）2+4的图像的顶点坐标是（）A ．（﹣2，﹣4）B ．（﹣2，4）C ．（2，﹣4）D ．（2，4）7、如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)-，对称轴为直线1x =，则下列结论中正确的是（）A ．0b <B ．当1x >时，y 随x 的增大而增大C ．0c <D ．3x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根8、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于(),0m ，,0n 两点，且过()0,A a ，4,B b 两点．若03m n <<<，则ab 的取值范围为（）A ．06ab <<B ．08ab <<C ．012ab <<D ．016ab << 9、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使1y ≤成立的x的取值范围是（）A ．31x -≤≤B ．1≥xC ．3x ≤-D ．3x ≤-或1≥x10、若二次函数2y ax =的图象经过点()2,4--，则a 的值为（）A ．-2B ．2C ．-1D ．1第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，已知二次函数()210y ax bx c a =++≠与一次函数()20y kx m k =+≠的图象相交于点()2,4A -和()82,B ，若无论x 取何值，S 总取1y ，2y 中的最大值，则S 的最小值是___________．2、若关于x 的函数22y x x k =++与x 轴只有一个交点，则实数k 的值为____．3、抛物线221y x x =--+的对称轴是________．4、二次函数2243y x x m =-+的图像的顶点在x 轴上，则m 的值为__________．5、已知一条抛物线经过点()0,1，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物战的表达式可以是_________（写出一个即可）．6、若抛物线263y x x m =+++与y 轴交于原点，则m 的值为 __．7、如图，函数2y ax bx c =++的图象过点(1,0)-和(,0)m ，下列判断：①0abc <；②42a c b +<；③1m +； ④2x =和3x m =-处的函数值相等．其中正确的是__（只填序号）．8、已知抛物线y ＝（x ﹣1）2有点A （0，y 1）和B （3，y 2），则y 1___y 2．（用“＞”，“＜”，“＝”填写）9、已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）为函数y ＝﹣2（x ﹣1）2+3的图象上的两点，若x 1＜x 2＜0，则y 1_____y 2（填“＞”、“＝”或“＜”），10、抛物线22y ax =+经过点()2,6-，那么=a ________．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果y ′＝(0)(0)y x y x ≥⎧⎨-<⎩，那么称点Q 为点P 的“关联点”．例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（-5，6）的“关联点”为点（-5，-6）．(1)在点E （0，0），F （2，5），G （-1，-1），H （-3，5）中，的“关联点”在函数y ＝2x +1的图象上；(2)如果一次函数y ＝x +3图象上点M 的“关联点”是N （m ，2），求点M 的坐标；(3)如果点P 在函数y ＝-x 2+4（-2＜x ≤a ）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是-4＜y ′≤4，求实数a 的取值范围．2、已知抛物线223y x x =+-与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 经过点A 和点B ．(1)求直线m 的函数表达式；(2)若点()1,P a y 和点()2,Q a y 分别是抛物线和直线m 上的点，且30a -<<，判断1y 和2y 的大小，并说明理由．3、如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约5米高，球落地后又一次弹起，根据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C 距守门员多少米？(3)运动员乙要抢到足球第二个落点D ，他应从B 处再向前跑多少米？4、如图，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点B （1，0）点，与y 轴交于点C （0，3），对称轴l 与x 轴交于点F ，点E 是直线AC 上方抛物线上一动点，连接AE 、EC ．(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形AECO 面积最大时，求点E 的坐标；(3)在（2）的条件下，连接EF ，点P 是x 轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以F 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．5、在平面直角坐标系中，已知抛物线243(0)y ax ax a =-+≠．(1)当点(1,0)A 在这个函数图象上时，直接写出a 的值：；(2)当0a >时，函数图象上只有两个点到x 轴的距离等于2，求a 的取值范围；(3)在平面直角坐标系中，点(1,1)M -，点(3,1)N ，连结MN ．直接写出抛物线243(0)y ax ax a =-+≠与线段MN 只有一个公共点时a 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据函数的性质解答．【详解】解：∵二次函数()21y a x =-，当0x <时，y 随x 增大而减小， ∴a -1>0，∴1a >，故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数2y ax =的性质：当a >0时，开口向上，对称轴是y 轴，对称轴左小右大；当a <0时，开口向下，对称轴是y 轴，对称轴左大右小，熟记性质并应用是解题的关键．2、A【解析】【分析】将()()112x b x c x ----=看作二次函数()()12y x b x c =---与一次函数1y x =+的交点横坐标为m ，n ，结合图像即可得m b n c <<<．【详解】将()()112x b x c x ----=变形为 ()()112x b x c x ---=+ 则可理解为二次函数()()12y x b x c =---与一次函数1y x =+的交点横坐标为m ，n 二次函数()()12y x b x c =---与x 轴交点横坐标为b 和c ．如图所示由图象、题意可知c ＞n ，n ＞b ，由二次函数、一次函数性质可知1mn k =，1nb k <故m ＜b则m b n c <<<故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图像综合问题，将将()()112x b x c x ----=看作二次函数()()12y x b x c =---与一次函数1y x =+的交点横坐标为m ，n ，再结合图象判断是解题的关键． 3、C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：（1）∵函数开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴的右边，∴02b a->，∴b ＞0，故命题正确；（2）∵a ＜0，b ＞0，c ＞0，∴abc ＜0，故命题正确；（3）∵当x =-1时，y ＜0，∴a -b +c ＜0，故命题错误；（4）∵当x =1时，y >0，∴a +b +c >0，故命题正确；（5）∵抛物线与x 轴于两个交点，∴b 2-4ac ＞0，故命题正确；故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．4、C【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：y =-x 2++2x +3=-（x -1）2+4，∵a =-1＜0，∴该函数的图象开口向下，故选项A 正确；∵对称轴是直线x =1，∴当x ≥1时，y 随x 的增大而减小，故选项B 正确；∵顶点坐标为（1，4），∴当x =1时，y 有最大值4，故选项C 不正确；当y =0时，-x 2+2x +3=0，解得：x 1=-1，x 2=3，∴函数图象与x 轴的交点为（-1，0）和（3，0），故D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5、C【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质解答即可．【详解】解：A 、由图象可知，抛物线与x 轴交于两点，∴240b ac ∆=->，故A 错误；B 、∵抛物线在对称轴为直线x =－3，点(2,),(4,)--m n 在抛物线上，∴m=n ，故B 错误；C 、由图象可知，当3x <-时，y 随x 的增大而减小，故C 正确；D 、∵抛物线的最小值为－6，∴关于x 的一元二次方程27(0)++=-≠ax bx c a 无实数根，故D 错误，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解答的关键．6、D【解析】【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k 求解即可．【详解】解：抛物线y ＝3（x ﹣2）2+4的顶点坐标是(2,4)故选D【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．7、D【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向向下可得a 是负数，对称轴位于y 轴的右侧可得a 、b 异号；与y 轴的交点在正半轴可得c 是正数，根据二次函数的增减性可得B 选项错误，根据抛物线的对称轴结合与x 轴的一个交点的坐标可以求出与x 轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程20ax bx c ++=的根，从而得解．【详解】解：A 、根据图象，二次函数开口方向向下，则0a <，对称轴位于y 轴的右侧可得a 、b 异号，即0b >，故本选项结论错误；B 、当1x >时，y 随x 的增大而减小，故本选项结论错误；C 、根据图象，抛物线与y 轴的交点在正半轴，则0c >，故本选项结论错误；D 、抛物线与x 轴的一个交点坐标是(1,0)-，对称轴是直线1x =，设另一交点为(,0)x ，121x -+=⨯，3x =，∴另一交点坐标是(3,0)，3x ∴=是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，故本选项结论正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与x 轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．8、D【解析】【分析】由题意可设抛物线为y =（x -m ）（x -n ），则222424abm n ，再利用二次函数的性质可得答案.【详解】解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于两点（m ，0），（n ，0），所以可设交点式y =（x -m ）（x -n ），分别代入()0,A a ，4,B b ，∴,44,a mn b m n224444ab mn m n m m n n222424m n∵0＜m ＜n ＜3，∴0＜224m ≤4 ，0＜224n ≤4 ，∵m ＜n ，∴ab 不能取16 ，∴0＜ab ＜16 ，故选D【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到222424abm n 是解本题的关键.9、D【解析】【分析】根据函数图象写出y =1对应的自变量x 的值,再根据1y ≤判断范围即可．【详解】由图可知，使得()201y ax bx c a =++≠=时123,1x x =-=使1y ≤成立的x 的取值范围是3x ≤-或1≥x故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键．10、C【解析】【分析】把（-2，-4）代入函数y =ax 2中，即可求a ．【详解】解：把（-2，-4）代入函数y =ax 2，得4a =-4，解得a =-1．故选：C ．【点睛】本题考查了点与函数的关系，解题的关键是代入求值．二、填空题1、2【解析】【分析】分x ＞8，x ＜-2，-2≤x ≤8，确定S 的最小值，比较三个最小值的大小，下结论即可．【详解】∵二次函数()210y ax bx c a =++≠与一次函数()20y kx m k =+≠的图象相交于点()2,4A -和()82,B ，∴当x＞8时，1y＞2y，且1y的最小值为2，∴S=1y，且S的最小值为2；∴当x＜-2时，1y＞2y，且1y的最小值为4，∴S=1y，且S的最小值为4；∴当-2≤x≤8时，2y＞1y，∴S=2y，∴248=2k mk m-+=⎧⎨+⎩，解得1-518=5km⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴S=2y=118-55x+，∴S随x的增大而减小，∴当x=8时，2y有最小值，且为118-855⨯+=2，∴S 的最小值为2，综上所述，S 的最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了一次函数的解析式和性质，二次函数与一次函数的综合，正确利用数形结合思想，熟练掌握性质是解题的关键．2、1【解析】【分析】对于二次函数解析式，令0y =得到关于x 的一元二次方程，由抛物线与x 轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出k 的值．【详解】解：对于二次函数22y x x k =++，令0y =，得到220y x x k =++=，二次函数22y x x k =++的图象与x 轴只有一个交点，∴△440k =-=，解得：1k =，故答案为：1．【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．3、直线1x =-【解析】【分析】根据顶点坐标公式计算即可得到答案．【详解】解：抛物线的对称轴是直线x=212(1)--=-⨯-，故答案为：直线1x=-．【点睛】此题考查了求抛物线的顶点坐标，熟记抛物线顶点坐标公式是解题的关键．4、2 3【解析】【分析】顶点在x轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m的值．【详解】解：∵抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上，∴()2423442m⨯⨯--=⨯，∴m=23．故答案为23．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-2424b ac ba a-，），应熟练掌握．5、y=-x2+1 【解析】【分析】首先根据在对称轴右侧部分是下降确定其开口方向，然后根据经过的点的坐标确定解析式即可．【详解】解：∵在对称轴右侧部分是下降，∴设抛物线的解析式可以为y =-x 2+b ，∵经过点（0，1），∴解析式可以是y =-x 2+1，故答案为：y =-x 2+1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键，即根据增减性可以确定出开口方向进而确定出a 的符号．6、-3【解析】【分析】根据函数图象经过原点时，0x =，0y =，代入即可求出m 的值．【详解】解：抛物线263y x x m =+++与y 轴交于原点，∴当0x =时，0y =，30m ∴+=，3m ∴=-，故答案为：3-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握函数图象经过原点，即当0x =时，0y =是解决问题的关键．7、①③④【解析】【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与y 轴的交点即可判断①；根据c 、a 的符号得出2c a >，即可得到422a c a c +>+，根据1x =-时，0y =得到b a c =+，即可得到42a c b +>，即可判断②；根据抛物线与一元二次方程的关系即可判断③；根据抛物线的对称性即可判断④．【详解】解：抛物线开口向下，0a ∴<，抛物线交y 轴于正半轴，0c ∴>，02b a->， 0b ∴>，0abc ∴<，故①正确，0c >，0a <，2c a ∴>，422a c a c ∴+>+，1x =-时，0y a b c =-+=，则b a c =+，222a c b ∴+=，42a c b ∴+>，故②错误，2y ax bx c =++的图象过点(1,0)-和(,0)m ，∴方程20ax bx c ++=的根为11x =-，2x m =，方程20ax bx c ++=的根为x =，12x x ∴-=，1m ∴+ 2y ax bx c =++的图象过点(1,0)-和(,0)m ，∴抛物线的对称轴为直线12m x -=， 32122m m -+-=， 2x ∴=和3x m =-处的函数值相等，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向：当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0)ab >，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0)ab <，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于(0,)c ；△决定抛物线与x 轴交点个数：△240b ac =->时，抛物线与x 轴有2个交点；△240b ac =-=时，抛物线与x 轴有1个交点；△240b ac =-<时，抛物线与x 轴没有交点．8、＜【解析】【分析】分别把A 、B 点的横坐标代入抛物线解析式求解即可．解：x＝0时，y1＝（0﹣1）2＝1，x＝3时，y3＝（3﹣1）2＝4，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出相应的函数值是解题的关键．9、＜【解析】【分析】找到二次函数对称轴，根据二次函数的增减性即可得出结论．【详解】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，∴抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的开口向下，对称轴为x＝1，∴在x＜1时，y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点睛】本题考查二次函数的增减性，掌握其增减规律，找到对称轴是解本题关键．10、1【分析】把点的坐标代入解析式，得6=4a +2，解方程即可．【详解】∵抛物线22y ax =+经过点()2,6-，∴6=4a +2，解得a =1，故答案为：1．【点睛】本题考查了抛物线与点的关系，熟记图像过点，点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．三、解答题1、 (1)F 、H(2)点M (-5，-2)(3)2≤<a 【解析】【分析】(1)点E (0，0)的“关联点”是(0，0)，点F (2，5)的“关联点”是(2，5)，点G (-1，-1)的“关联点”是(-1，1)，点H (-3，5)的“关联点”是(-3，-5)，将点的坐标代入函数y ＝2x +1，看是否在函数图象上，即可求解；(2)当m ≥0时，点M (m ，2)，则2＝m +3；当m ＜0时，点M (m ，-2)，则﹣2＝m +3，解方程即可求解；(3)如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q 的纵坐标y '的取值范围是-4＜y '≤4，而-2＜x ≤a ，函数图象只需要找到最大值(直线y ＝4)与最小值(直线y ＝-4)直线x ＝a 从大于等于0开始运动，直到与y ＝-4有交点结束．都符合要求-4＜y '≤4，只要求出关键点即可求解．(1)解：由题意新定义知：点E(0，0)的“关联点”是(0，0)，点F(2，5)的“关联点”是(2，5)，点G(-1，-1)的“关联点”是(-1，1)，点H(-3，5)的“关联点”是(-3，-5)，将点的坐标代入函数y＝2x+1，得到：F(2，5)和H(-3，-5)在函数y＝2x+1图象上；(2)解：当m≥0时，点M(m，2)，则2＝m+3，解得：m＝-1(舍去)；当m＜0时，点M(m，-2)，-2＝m+3，解得：m＝-5，∴点M(-5，-2)；(3)解：如下图所示为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是-4＜y'≤4，而-2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值(直线y ＝4)与最小值(直线y ＝-4)直线x ＝a 从大于等于0开始运动，直到与y ＝-4有交点结束，都符合要求，∴-4＝-a 2+4，解得：a =舍去负值)，观察图象可知满足条件的a 的取值范围为：2≤<a【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，读懂题意是解决本类题的关键．2、 (1)3y x =--(2)12y y <，理由见解析【解析】【分析】（1）令y =0，可得x 的值，即可确定点A 坐标，令x =0，可求出y 的值，可确定点B 坐标，再运用待定系数法即可求出直线m 的解析式；（2）根据30a -<<可得抛物线在直线m 的下方，从而可得12y y <．(1)令y =0，则2230x x +-=解得，123,1x x =-=∵点A 在另一交点左侧，∴A （-3，0）令x =0，则y =-3∴B (0，-3)设直线m 的解析式为y =kx +b把A （-3，0），B (0，-3)坐标代入得，303k b b -+=⎧⎨=-⎩ 解得，13k b =-⎧⎨=-⎩ ∴直线m 的解析式为3y x =--；(2)∵抛物线223y x x =+-与直线3y x =--的交点坐标为：A （-3，0），B (0，-3)又∵30a -<<∴抛物线在直线m 的下方，∵点()1,P a y 和点()2,Q a y 分别是抛物线和直线m 上的点，∴12y y <【点睛】本题考查了二次函数，其中涉及到运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点坐标的求法，运用数形结合的思想是解答本题的关键．3、 (1)y =-19（x -6）2+5(2)足球第一次落地点C 距守门员(6+米(3)运动员乙要抢到足球第二个落点D ，他应再向前跑(米【解析】【分析】（1）由条件可以得出M （6，5），设抛物线的解析式为y =a （x -6）2+5，由待定系数法求出其解即可；（2）当y=0时代入（1）的解析式，求出x的值即可；（3）根据题意得到CD=EF，由-19（x-6）2+5=2求出EF的长度，就可以求出OD的值，进而得出结论．(1)解：根据题意，可设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a（x-6）2+5，将点A（0，1）代入，得：36a+5=1，解得：a=-19，∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式为y=-19（x-6）2+5；(2)解：令y=0，得：-19（x-6）2+5=0，解得：x1=6+x2=6-（舍去），答：足球第一次落地点C距守门员(6+米；(3)解：如图，足球第二次弹出后的距离为CD，根据题意知CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），∴-19（x -6）2+5=2，解得：x 1=6-x 2=6+∴CD =x 2-x 1=∴BD =BC +CD =66++(米，答：运动员乙要抢到足球第二个落点D ，他应再向前跑(米．【点睛】本题考查了运用顶点式及待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．4、 (1)y ＝﹣x 2﹣2x +3(2)E （﹣32，154）(3)存在，（﹣12，154，﹣154，﹣154）【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；（2）连接OE ，设E （m ，﹣m 2﹣2m +3）,令0y =,求得A 点的坐标，进而根据S △AEC ＝S △AEO +S △ECO ﹣S △AOC 列出关系式，而AOC S 的面积是定值，进而当S △AEC 最大时，四边形AECO 面积最大，根据二次函数的性质求得最值即可；（3）分EF 是平行四边形的边和平行四边形的对角线分析，①EF 是平行四边形的边，根据平行四边形的对称性，满足条件的点Q 的纵坐标为±154，代入二次函数解析式，即可求得点Q 的坐标，②当EF 为对角线时，满足条件的点Q 的纵坐标为154，同①解方程即可(1)∵y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），则： ∴-1+03b c c +=⎧⎨=⎩，解得23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3．故答案为：y ＝﹣x 2﹣2x +3；(2)如图1中，连接OE ．设E （m ，﹣m 2﹣2m +3）．当﹣x 2﹣2x +3=0时x 1=-3,x 2=1(3,0)A ∴-∴OA ＝OC ＝3，AOC S 193322=⨯⨯=,AECO S 四边形AOC AEC S S =+△△ ∴当AEC S 取得最大值时，即四边形AECO 面积最大∵S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝12×3×（﹣m2﹣2m+3）+12×3×（﹣m）﹣12×3×3＝﹣32（m+32）2+278，∵﹣32＜0，∴m＝﹣32时，△AEC的面积最大，即四边形AECO面积最大∴E（﹣32，154）；(3)存在．如图2中，因为点P是x轴上，点Q在抛物线上①EF是平行四边形的边，根据平行四边形的对称性，满足条件的点Q的纵坐标为±154，对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当y＝154时，﹣x2﹣2x+3＝154，解得x＝﹣32（舍弃）或﹣12，∴Q1（﹣12，154）．当y＝﹣154时，﹣x2﹣2x+3＝﹣154，解得x，∴Q 2，﹣154），Q 3154）． ②当EF 为对角线时,154Q y =﹣x 2﹣2x +3＝154，解得x ＝﹣32（舍弃）或﹣12， ∴Q 1（﹣12，154）．综上所述，满足条件的点Q 坐标为（﹣12，154，﹣154，﹣154）【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，已知函数值求自变量的值，分类讨论是解题的关键．5、 (1)1 (2)1544a << (3)23a >或12a =或25a - 【解析】【分析】（1）把点A 的坐标代入抛物线的表达式中，即可求得a 的值；（2）由解析式可确定抛物线的顶点坐标，从而可得函数的最小值，由题意得：其最小值的绝对值小于2，从而可得关于a 的不等式，解不等式即可；（3）分a >0和a <0两种情况考虑：当a >0时，抛物线顶点在直线y =1上满足条件；由函数的对称性，当x =3时，y <1即可；当a <0时，由函数的对称性，当1x =-时，1y ，即符合条件；从而可求得a 的取值范围．(1)将点A 的坐标代入243y ax ax =-+得：043a a =-+，解得1a =，故答案为：1，(2)∵抛物线的表达式为243y ax ax =-+， ∴抛物线的对称轴为直线422a x a -=-=，当2x =时，24334y ax ax a =-+=-，故顶点坐标为()2,34a -，则342a -<，即2342a -<-<，如图所示，解得1544a <<； (3) ①当0a >时，当抛物线的顶点()2,34a -恰在直线1y =上时，符合条件，即341a -=，解得12a =；当抛物线过点N 时，MN 与抛物线有两个交点，所以根据函数的对称性，只要3x =时，1y <，即符合条件，如图所示，当x =3时，91231y a a =-+<，解得23a >，故抛物线与MN 只有一个交点时，23a >或12a =； ②当0a <时，根据函数的对称性，只要1x =-时，1y ，即符合条件，如图所示，当1x =-时，243531y ax ax a =-+=+，解得25a -；综上，a 的取值范围为：23a >或12a =或25a -．【点睛】本题是二次函数的综合，有一定的难度，考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，数形结合是本题最大的特点．。

九年级数学第二十二章第1节《二次函数的图象和性质》解答题专题 (10)含解析

第二十二章第1节《二次函数的图象和性质》解答题专题 (10)1．已知关于x 的方程2(41)40kx k x -++=．（1）当k 取何值时，方程有两个实数根；（2）若二次函数2(41)4y kx k x =-++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值并用配方法求出抛物线的顶点坐标．2．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点．（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标；（Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若11,0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值．3．已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且12xx <，若222133x x k +=（k 为正整数），我们把该抛物线称为“B 系抛物线”．特例感知（1）当2b =，15c =-时，请判断抛物线2y x bx c =++是否是“B 系抛物线”，并说明理由．推广验证（2）若234c b =-，且b 为负整数，请判断抛物线2y x bx c =++是否是“B 系抛物线”，并说明理由．拓展应用（3）在（2）的条件下，若M 为该抛物线的顶点，且ABM ∆为等腰直角三角形，求该抛物线的解析式．4．已知：如图抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ()2,0C -与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点连结PA 、PB ．设PAB △的面积为S ．点P 的横坐标为m ．①试求S 关于m 的函数关系式；②请说明当点P 运动到什么位置时PAB △的面积有最大值？③过点P 作x 轴的垂线交线段AB 于点D 再过点P 做//PE x 轴交抛物线于点E 连结DE 请问是否存在点P 使PDE △为等腰直角三角形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy 中抛物线()2420y axax a a =-+≠的顶点为P 且与y 轴交于点A 与直线y a =-交于点BC （点B 在点C 的左侧）.（1）求抛物线()2420y axax a a =-+≠的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记抛物线与线段AC 围成的封闭区域（不含边界）为“W 区域”.①当2a =时请直接写出“W 区域”内的整点个数；②当“W 区域”内恰有2个整点时结合函数图象直接写出a 的取值范围.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知，点A （3，0）、B （－2，5）、C （0，－3）．求经过点A 、B 、C 的抛物线的表达式．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线25y ax bx a =+-与y 轴交于点A ，将点A 向左平移4个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点()1,2P a --，()4,2Q -．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．8．如图1在平面直角坐标系xOy 中抛物线y=-（x-a ）（x-4）（a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C 点D 为抛物线的顶点．（1）若D 点坐标为（32524，）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）若点M 为抛物线对称轴上一点且点M 的纵坐标为a 点N 为抛物线在x 轴上方一点若以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形时求a 的值；（3）直线y=2x+b 与（1）中的抛物线交于点D 、E （如图2）将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移平移后抛物线的顶点为D′与直线的另一个交点为E′与x 轴的交点为B′在平移的过程中求D′E′的长度；当∠E′D′B′=90°时求点B′的坐标．9．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象向左平移4个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数y=x 2﹣2x+1，求：b ，c 的值． 10．在平面直角坐标系中，抛物线y 14=x 2沿x 轴正方向平移后经过点A （x 1，y 2），B （x 2，y 2），其中x 1，x 2是方程x 2﹣2x ＝0的两根，且x 1＞x 2，（1）如图．求A ，B 两点的坐标及平移后抛物线的解析式；（2）平移直线AB 交抛物线于M ，交x 轴于N ，且14AB MN =，求△MNO 的面积；（3）如图，点C 为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点C 作直线交抛物线于E 、F ，交x 轴于点D ，探究CD CDCE CF+的值是否为定值？如果是，求出其值；如果不是，请说明理由．11．已知：关于x 的二次函数2y x ax =-+（a ＞0），点A （n ，y 1）、B （n+1，y 2）、C （n+2，y 3）都在这个二次函数的图象上，其中n 为正整数．（1）y 1=y 2，请说明a 必为奇数；（2）设a=11，求使y 1≤y 2≤y 3成立的所有n 的值；（3）对于给定的正实数a ，是否存在n ，使△ABC 是以AC 为底边的等腰三角形？如果存在，求n 的值（用含a 的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．12．如图①定义：直线:(0,0)l y mx n m n =+<>与x 、y 轴分别相交于A 、B 两点将AOB ∆绕着点O 逆时针旋转90°得到COD ∆过点A 、B 、D 的抛物线P 叫做直线l 的“纠缠抛物线”反之直线l 叫做P 的“纠缠直线"两线“互为纠缠线”．（1）若:22l y x =-+则纠缠物线P 的函数解析式是____________．（2）判断并说明22y x k =-+与212y x x k k=--+是否“互为纠缠线”．（3）如图②若纠缠直线:24l y x =-+纠缠抛物线P 的对称轴与CD 相交于点E 点F 在l 上点Q 在P 的对称轴上当以点C 、E 、Q 、F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时求点Q 的坐标．13．已知二次函数y ＝ax 2（a ≠0）的图象经过点（﹣2，3）（1）求a 的值，并写出这个二次函数的解析式；（2）求出此抛物线上纵坐标为3的点的坐标． 14．关于x 的二次函数y 1＝x 2+kx+k ﹣1（k 为常数）（1）对任意实数k ，函数图象与x 轴都有交点（2）若当x≥75时，函数y 的值都随x 的增大而增大，求满足条件的最小整数k 的值（3）K 取不同的值时，函数抛物线的顶点位置也会变化，但会在某一函数图象上，求该函数图象的解析式（4）若当自变量x 满足0≤x≤3时，与其对应的函数值y 的最小值为10，求此时k 的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+经过(2,4)A --，(2,0)B . （1）求抛物线2y ax bx =+的解析式.（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM OM的最小值.16．在同一个直角坐标系中作出y＝12x2，y＝12x2－1的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝12x2－1与抛物线y＝12x2有什么关系？17．如图：已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3）与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点.（1）求抛物线的解析式；（2）当PA+PB的值是最小时，求点P的坐标.18．在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q是x轴上一点，①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．②抛物线与直线y＝1交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范围．19．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．20．如图抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点交y轴正半轴于C点D为抛物线的顶点A （-10）B（30）．（1）求出二次函数的表达式．（2）点P在x轴上且∠PCB=∠CBD求点P的坐标．（3）在x轴上方抛物线上是否存在一点Q使得以QCBO为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在请直接写出点Q的坐标；如果不存在请说明理由．【答案与解析】1．（1）0k ≠；（2）k=1，（52，94-）.(1)要使方程有两个实数根，必须满足两个条件：[]2(41)440k k k ⎧∆=-+-⨯≥⎨≠⎩从而可求出k 的取值范围；(2)令y=0，得到一个一元二次方程，用含有k 的代数式表示方程的解，根据题意求出k 的值.(1)依题意得[]2(41)4400k k k ⎧∆=-+-⨯≥⎨≠⎩，整理得24k-100k ⎧∆=≥⎨≠⎩（）∵当k 取任何值时，2(41)0k -≥， ∴0k ≠∴当0k ≠时，方程总有两个实数根.(2)解方程2(41)40kx k x -++=，得14x =，21x k=． ∵12x x 和均为整数且k 为正整数，∴取k=1． ∴254y x x =-+222555()()422x x =-+-+ 259()24x =--∴抛物线的顶点坐标为（52，94-）．【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是掌握根的判别式和抛物线的顶点坐标的求法.2．（Ⅰ）()0,3A ，(1,4)E ；（Ⅱ）214y x x =-++；（Ⅲ）3b = （Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b 、c 的值，确定解析式，从而求出抛物线与y 轴交于点A 的坐标，运用配方求出顶点E 的坐标即可；（Ⅱ）先运用配方求出顶点E 的坐标，再根据顶点E 在直线y x =上得出吧b 与c 的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A 位置最高，从而确定抛物线的解析式；（Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E 的坐标得出E 点关于x 轴的对称点E '的坐标，然后根据A 、P 两点坐标求出直线AP 的解析式，再根据点在直线AP 上，此时PA PE +值最小，从而求出b 的值.解：（Ⅰ）把点(-1,0)和(3,0)代入函数2y x bx c =-++，有10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩．解得2,3b c == 2223(1)4y x x x ∴=-++=--+(0,3),(1,4)A E ∴（Ⅱ）由222424b c b y x bx c x +⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，得24,24b c b E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∵点E 在直线y x =上，2424b c b+∴=221111(1)4244c b b b ∴=-+=--+2110,(1)44A b ⎛⎫∴--+ ⎪⎝⎭ 当1b =时，点A 是最高点此时，214y x x =-++（Ⅲ）：抛物线经过点(1,0)-，有10b c --+=1c b ∴=+24,,(0,)24b c b E A c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2(2),,(0,1)24b b E A b ⎛⎫+∴+ ⎪⎝⎭∴E 关于x 轴的对称点E '为2(2),24b b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭设过点A ，P 的直线为y kx t =+.把(0,1),(1,0)A b P +代入y kx t =+，得(1)(1)y b x =-+-把点2(2),24b b E '⎛⎫+- ⎪⎝⎭代入(1)(1)y b x =-+-.得2(2)(1)142b b b +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，即2680b b --=解得，3b =0,3b b >∴=舍去.317b ∴=+ 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．3．（1）是；理由见解析；（2）是；理由见解析；（3）23y 4x x =--．（1）根据“B 系抛物线”代入2b =，15c =-，然后计算与x 轴交点坐标，然后判断22213x x +的值判断即可；（2）将234c b =-代入表达式后计算与x 轴交点坐标，然后判断22213x x +的值判断即可；（3）过M 作MH ⊥AB ，然后根据（2）得到AB 长度和M 的横坐标，然后计算即可．解：（1）当2b =，15c =-时，代入2y x bx c =++即2215y x x =+-令y =0，即20215x x +=-∴(3)(x 5)0x -+= ∴125,3x x =-=∴22213x x +=2233?(-5)3k +=即28k=∴是“B 系抛物线” （2）∵234c b =-∴2234y x bx b =+-令y =0，即22304x bx b =+-∴13()()022x b x b -+= ∵b 为非负数 ∴1213,22x b x b ==- ∴2231()3?()322b b k -+=即233b k =此时2k b = ∴是“B 系抛物线”；（3）如图，当△ABM 为等腰直角三角形时，过M 作MH ⊥AB ，其中AB=2b ，点M 横坐标为2b - 将2b x =-代入2234y x bx b =+-即2223()()224b b y b b b =-+--= ∴MH=-2b∵△ABM 为等腰直角三角形 ∴MH=12AB ∴21×22b b -=解的120(),1b b ==-舍去∴抛物线的解析式234y x x =--【点睛】本题主要考查二次函数性质，理解“B 系抛物线”是解题的关键． 4．（1）2162y x bx =-++；（2）①()2327322S m =--+②当m=3时S 有最大值③点P 的坐标为（4,6）或（55-）．（1）由()2(6)(2)412y a x x a x x =-+=-- 则-12a=6求得a 即可；（2）①过点P 作x 轴的垂线交AB 于点D 先求出AB 的表达式y=-x+6设点21,262P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则点D （m-m+6）然后再表示()222113327332669322222S PD OB PD m m m m m m ⎛⎫=⨯⨯==-+++-=-+=--+ ⎪⎝⎭即可；②由在()2327322S m =--+中32-＜0故S 有最大值；③△PDE 为等腰直角三角形则PE=PD 然后再确定函数的对称轴、E 点的横坐标进一步可得|PE|=2m-4即21266242m m m m -+++-=-求得m 即可确定P 的坐标．解：（1）由抛物线的表达式可化为()22(6)6=(2)412y a x x a x ax bx x =+-++-=- 则-12a=6解得：a=12-故抛物线的表达式为：2162y x bx =-++；（2）①过点P 作x 轴的垂线交AB 于点D由点A(0,6)、B 的坐标可得直线AB 的表达式为：y=-x+6 设点21,262P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则点D （m-m+6） ∴()222113327332669=322222S PD OB PD m m m m m m ⎛⎫=⨯⨯==-+++-=-+--+ ⎪⎝⎭； ②∵()2327322S m =--+32-＜0 ∴当m=3时S 有最大值； ③∵△PDE 为等腰直角三角形 ∴PE=PD ∵点21,262P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭函数的对称轴为：x=2则点E 的横坐标为：4-m 则|PE|=2m-4 即21266242m m m m -+++-=- 解得：m=4或-2或517+517-2和517 当m=4时21262m m -++=6；当m=517-21262m m -++=3175．故点P 的坐标为（4,6）或（5173175）．【点睛】本题属于二次函数综合应用题主要考查了一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等知识点掌握并灵活应用所学知识是解答本题的关键． 5．（1）顶点P 的坐标为()2,2a -；（2）① 6个；② 112a <≤112a -≤<-．（1）由抛物线解析式直接可求；（2）①由已知可知A （02）C （2+2 -2）画出函数图象观察图象可得；②分两种情况求：当a ＞0时抛物线定点经过（2-2）时a=1抛物线定点经过（2-1）时a=12则12＜a≤1；当a ＜0时抛物线定点经过（22）时a=-1抛物线定点经过（21）时a=-12则-1≤a<-12．解：（1）∵y=ax 2-4ax+2a=a （x-2）2-2a ∴顶点为（2-2a ）；（2）如图①∵a=2∴y=2x 2-8x+2y=-2 ∴A （02）C （2-2） ∴有6个整数点；②当a ＞0时抛物线定点经过（2-2）时a=1 抛物线定点经过（2-1）时12a =； ∴112a <≤．当0a <时抛物线顶点经过点（22）时1a =-；抛物线顶点经过点（21）时12a =-； ∴ 112a -≤<-． ∴综上所述：112a <≤112a -≤<-．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．6．223y x x =--设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，再把三个已知点的坐标代入得到关于a 、b 、c 的方程组，解方程组即可得到二次函数的解析式．解：设经过点A 、B 、C 的抛物线的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠．则9304253a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩． ∴经过点A 、B 、C 的抛物线的表达式为223y x x =--．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 7．（1）()4,5B a --；（2）2x =-；（3）205a -≤< （1）根据解析式得到点A 的坐标，利用平移即可得到带你B 的坐标；（2）根据点A 、B 的对称性即可求出对称轴；（3）分两种情况：a>0或a<0时，分别确定点P 、Q 的位置，根据抛物线与线段PQ 恰有一个公共点求出答案.（1）∵抛物线25y ax bx a =+-与y 轴交于点A ，∴点A(0，-5a)，∵将点A 向左平移4个单位长度，得到点B ， ∴B(-4，-5a)；（2）对称轴是x=0422-=-；（3）如图：当a<0时，∵A(0，-5a), ()1,2P a --,且-5a>-2a ， ∴点P 在抛物线下方，∵()4,2Q -，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，B(-4，-5a)， ∴点Q 在抛物线上方或是在抛物线上，即25a ≥-，解得25a ≥-， ∴205a -≤<时抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；当a>0时，∵A(0，-5a), ()1,2P a --，且-5a<-2a<0， ∴点P 在抛物线上方，在x 轴下方， ∵()4,2Q -，B(-4，-5a)， ∴点Q 在抛物线上方，∴此时抛物线与线段PQ 没有公共点；综上，205a -≤<时抛物线与线段PQ 恰有一个公共点. 【点睛】此题考查抛物线的性质，利用解析式求点坐标，点平移的规律，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题.8．（1）y=-x 2+3x+4C （04）；（2）a 11326221-；（3）D ′E ′5B′（-10）．（1）将点D 的坐标代入函数解析式求得a 的值；利用抛物线解析式来求点C 的值．（2）需要分类讨论：BC 为边和BC 为对角线两种情况根据“平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对角线相互平分”的性质列出方程组利用方程思想解答．（3）根据平移规律得到D ′E ′的长度、平移后抛物线的解析式然后由函数图象上点的坐标特征求得点B ′的坐标．（1）依题意得：254=-（32-a ）（32-4）．解得a=-1．∴抛物线解析式为：y=-（x+1）（x-4）或y=-x 2+3x+4． ∴C （04）．（2）由题意知：A （a0）B （40）C （0-4a ）．对称轴为直线x=42a +则M （42a +a ）． ①MN ∥BC 且MN=BC 根据点的平移特征可知N （42a --3a ）．则-3a=-（42a --a ）（42a --4）．解得：②当BC 为对角线时设N （xy ）．根据平行四边形的对角线互相平分可得：4424a x a y a +⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩．解得425a x y a-⎧=⎪⎨⎪=-⎩．则-5a=-（42a --a ）（42a --4）．解得a=63±．（舍去正值） ∴a 12=63-．（3）把D （32524，）代入y=2x+b 得到：2×32+b=254．则b=134．故直线解析式为：y=2x+134．联立2132434y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩．解得1132254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）221294x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴E （-1294）∴．根据抛物线的平移规律则平移后线段D′E′始终等于设平移后的D′（m2m+134）则E′（m-22m-34）．平移后抛物线的解析式为：y=-（x-m ）2+2m+134．则D′B′：y=-12x+n 过点（m2m+134） ∴y=-12x+52m+134则B′（5m+1320）． ∴-12（5m+132）+52m+134=0．解得m 1=-32m 2=-138． ∴B ′1（-10）B′2（-1380）（与D′重合舍去）．综上所述B′（-10）．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来利用点的坐标的意义表示线段的长度从而求出线段之间的关系． 9．b=﹣10，c=22．此题实际上是将抛物线y=x 2﹣2x+1向下平移3个单位，向右平移4个单位得到抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0），由此求得b ，c 的值．解：将y=x 2﹣2x+1向下平移3个单位，向右平移4个单位，得：y=（x ﹣1﹣4）2﹣3=（x ﹣5）2﹣3=x 2﹣10x+22．故：b=﹣10，c=22．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式是关键．10．（1）点A 坐标为（2，0），点B 坐标为（0，1），21(2)4y x =-;（2）12或28；（3）CD CDCE CF+为定值，定值为1．（1）解方程x 2﹣2x ＝0得x 1＝2，x 2＝0．即可求得点A 坐标为（2，0），抛物线解析式为()2124y x =- ，把x ＝0代入抛物线解析式得y ＝1，即可得点B 坐标为（0，1）；（2）如图，过M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，由AB ∥MN ，即可得△ABO ∽△MHN ，根据相似三角形的性质可得14BO HN AB MH AO MN ===，由此求得MH ＝4，HN ＝8，将y ＝4代入抛物线()2124y x =-求得x 1＝﹣2，x 2＝6，所以M 1（﹣2，4），N 1（6，0），M 2（6，4），N 2（14，0）,由此求得△MNO 的面积即可；（3）设C （2，m ），求得CD 解析式为y ＝kx +m ﹣2k ，令y ＝0得kx +m ﹣2k ＝0，由此求得点D 为（2k mk-，0）；把CD 的解析式与抛物线的解析式联立221(2)4y kx m ky x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去y 得，kx +m ﹣2k ＝14（x ﹣2）2．化简得x 2﹣4（k +1）x +4﹣4m +8k ＝0，由根与系数关系得，x 1+x 2＝4k +4，x 1•x 2＝4﹣4m +8k ．过E 、F 分别作EP ⊥CA 于P ，FQ ⊥CA 于Q ，由AD ∥EP ，AD ∥FQ ，可得CD CDCE CF+＝AD AD EP FQ AD EP FQ EP FQ ++=⋅⋅ ＝（2k mk -﹣2）×()()121212424x x x x x x +-⋅-++＝()()()4444482444k m k m k k +--⋅-+-++＝1，由此可得CD CD CE CF+为定值，定值为1．（1）解方程x 2﹣2x ＝0得x 1＝2，x 2＝0． ∴点A 坐标为（2，0），抛物线解析式为()2124y x =- ．把x ＝0代入抛物线解析式得y ＝1． ∴点B 坐标为（0，1）．（2）如图，过M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ∵AB ∥MN ∴△ABO ∽△MHN∴14BO HN AB MH AO MN === ∴MH ＝4，HN ＝8将y ＝4代入抛物线()2124y x =- 可得x 1＝﹣2，x 2＝6∴M 1（﹣2，4），N 1（6，0），M 2（6，4），N 2（14，0）, ∴11164122M N O S ∆=⨯⨯= 221144282M N O S ∆=⨯⨯=（3）设C （2，m ），设直线CD 为y ＝kx +b 将C （2，m ）代入上式，m ＝2k +b ，即b ＝m ﹣2k ． ∴CD 解析式为y ＝kx +m ﹣2k ，令y ＝0得kx +m ﹣2k ＝0， ∴点D 为（2k mk-，0）联立221(2)4y kx m k y x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去y 得，kx +m ﹣2k ＝14（x ﹣2）2．化简得，x 2﹣4（k +1）x +4﹣4m +8k ＝0由根与系数关系得，x 1+x 2＝4k +4，x 1•x 2＝4﹣4m +8k ．过E 、F 分别作EP ⊥CA 于P ，FQ ⊥CA 于Q ， ∴AD ∥EP ，AD ∥FQ ， ∴CD CD CE CF+＝AD ADEP FQ AD EP FQ EP FQ ++=⋅⋅ ＝（2k mk-﹣2）×()()121212424x x x x x x +-⋅-++＝()()()4444482444k mk m k k +--⋅-+-++ ＝1∴CD CDCE CF +为定值，定值为1．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数与二次函数图象的交点问题，解决第（3）问的关键是确定CD CD CE CF+＝AD ADEP FQ AD EP FQ EP FQ ++=⋅⋅，再利用根与系数的关系解决． 11．解：（1）∵点A （n ，y 1）、B （n+1，y 2）都在二次函数2y x ax =-+（a ＞0）的图象上，∴()()2212y n an y n 1a n 1=-+=-+++，． ∵y 1=y 2，∴()()22n an n 1a n 1-+=-+++，整理得：a=2n+1． ∵n 为正整数，∴a 必为奇数．（2）当a=11时，∵y 1＜y 2＜y 3，∴()()()()222n 11n n 111n 1n 211n 2-+≤-+++≤-+++．化简得：0102n 184n ≤-≤-．解得：n 4≤． ∵n 为正整数，∴n=1、2、3、4．（3）存在．假设存在，则AB=AC ，如图所示，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，过点A 作AD ⊥BN 于点D ，CE ⊥BN 于点E ，∵x A =n ，x B =n+1，x C =n+2，∴AD=CE=1．在Rt △ABD 与Rt △CBE 中，AB=BC ，AD=CE ， ∴Rt △ABD ≌Rt △CBE （HL ）．∴∠BAD=∠CBE ，即BN 为顶角的平分线．由等腰三角形性质可知，点A 、C 关于BN 对称． ∴BN 为抛物线的对称轴，点B 为抛物线的顶点， ∴()a an 1212+=-=⨯-．∴a n 12=-．∴存在n ，使△ABC 是以AC 为底边的等腰三角形，an 12=-．（1）将点A 和点B 的坐标代入二次函数的解析式，利用y 1=y 2得到用n 表示a 的式子，即可得到答案；（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解．（3）本问为存在型问题，如图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点B为抛物线的顶点，点A 、C 关于对称轴对称，于是得到()a a n 1212+=-=⨯-，从而可以求出a n 12=-． 12．答案见解析.（1）若l ：y=-2x+2则点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（10）、（02）、（01）、（-20）则抛物线的表达式为：y=a （x+2）（x-1）即可求解；（2）同理：点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（k0）、（02k ）、（0k ）、（-2k0）则抛物线的表达式为：y=a （x+2k ）（x-k ）即可求解；（3）以点C 、E 、Q 、F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时由题意得：|x Q -x F |=1即：m+1=±1即可求解．解：（1）若l ：y=-2x+2则点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（10）、（02）、（01）、（-20）则抛物线的表达式为：y=a （x+2）（x-1）将点B 的坐标代入上式得：2=a （0+2）（0-1）解得：a=-1故答案为：y=-x 2-x+2；(2)同理：点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（k0）、（02k ）、（0k ）、（-2k0）则抛物线的表达式为：y=a （x+2k ）（x-k ）将点B 的坐标代入上式并解得：a=1-k 故抛物线的表达式为：y=211-(2)()2x k x k x x k k k +-=--+ 故y=-2x+2k 与y ＝212x x k k--+“互为纠缠线”；点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（20）、（04）、（02）、（-40）同理可得：抛物线的表达式为：y=21--42x x + 抛物线的对称轴为：x=-1设点F （m-2m+4）点Q （-1n ）将点C 、D 的坐标代入一次函数表达式并求得：直线CD 的表达式为：y=12x+2 点CE 横坐标差为1故纵坐标差为12以点C 、E 、Q 、F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时由题意得：|x Q -x F |=1即：m+1=±1解得：m=0或-2当m=0时点F （04）则点Q （-192）；同理当m=-2时点Q （-1172）；综上点Q 坐标为：Q （-192）或Q （-1172）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用涉及到一次函数、平行四边形性质等其中（3）要注意分类求解避免遗漏．13．（1）34，234y x = （2）（﹣2，3），（2，3）（1）根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式，把点（-2，3）代入解析式得到关于a 的方程，然后解方程即可；（2）把y=3代入解析式求出x 的值即可．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2经过点（﹣2，3），∴4a ＝3，∴a=34， ∴二次函数的解析式为234y x =；（2）∵抛物线上点的纵坐标为3， ∴3＝34x 2，解得x ＝±2， ∴此抛物线上纵坐标为3的点的坐标为（﹣2，3），（2，3）．【点睛】考查了待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，函数解析式与图象上的点之间的关系，点在图象上，则满足解析式；反之，满足解析式则在函数图象上．14．（1）见解析；（2）﹣150；（3）y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1；（4）11．（1）计算△，根据△的值进行判断；（2）根据二次函数的增减性即可判断；（3）得到抛物线的顶点，写成方程组，消去k 得y =-x 2-2x -1，即可判断；（4）函数配方后得y =x 2+kx +k -1=22124k k x k ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭，根据对称轴的位置分三种情况进行讨论可得结论.解：（1）∵△＝k 2﹣4（k ﹣1）＝k 2﹣4k+4＝（k ﹣2）2≥0，∴对任意实数k ，函数图象与x 轴都有交点；（2）∵a＝1＞0，抛物线的对称轴x b k 2a 2=-=-， ∴在对称轴的右侧函数y 的值都随x 的增大而增大，即当x k 2-＞时，函数y 的值都随x 的增大而增大， ∵x≥75时，函数y 的值都随x 的增大而增大， ∴k 2-≤75，k≥﹣150， ∴k 的最小整数是﹣150， ∴满足条件的最小整数k 的值是﹣150；（3）∵y＝x 2+kx+k ﹣1＝（x k 2+）22k 4-+k ﹣1， ∴抛物线的顶点为（k 2-，2k 4-+k ﹣1）， ∴2k x 2k y k 14⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩，消去k 得，y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1，由此可见，不论k 取任何实数，抛物线的顶点都满足函数y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1，即抛物线的顶点在二次函数y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1的图象上；（4）∵y＝x 2+kx+k ﹣1＝（x k 2+）22k 4-+k ﹣1， ∴抛物线的顶点为（k 2-，2k 4-+k ﹣1），又∵0≤x≤3时，与其对应的函数值y 的最小值为10， ①当k 2-≤0时，即k≤0，此时x ＝0时，y 取得最小值是10，则有10＝k ﹣1，k ＝11． ②当k 2-≥3时，即k≤﹣6，此时x ＝3时，y 取得最小值是10，则有10＝32+3k+k ﹣1， k 12=，不符合题意； ③当0k 2-＜＜3时，即﹣6＜k ＜0，此时x k 2=-时，y 取得最小值是10，即2k 4-+k ﹣1＝10，此方程无实根，综上所述，k 的值是11．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解决本题的关键是要熟悉函数关系式和方程的关系、函数的性质.15．（1）抛物线的解析式为212y x x =-+；（2）AM OM +的最小值为42. （1）利用待定系数法可求出该抛物线的解析式；（2）根据O 、B 两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A 、B ，直线AB 和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M 点，而AM +OM 的最小值正好是AB 的长，过点A 作AN ⊥x 轴于点N ．在Rt △ABN 中，根据勾股定理即可得出结论．（1）把A （﹣2，﹣4），B （2，0）两点的坐标代入y =ax 2+bx 中，得：424420a b a b -=-⎧⎨+=⎩，解方程组，得：a 12=-，b =1，∴解析式为y 12=-x 2+x ．（2）由y 12=-x 2+x 12=-（x ﹣1）212+，可得抛物线的对称轴为直线x =1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∴OM =BM ，∴OM +AM =BM +AM ．连接AB 交直线x =1于M 点，则此时OM +AM 最小．过点A 作AN ⊥x 轴于点N ．在Rt △ABN 中，AB 222244AN BN =+=+=42，因此OM +AM 最小值为42．【点睛】本题是二次函数的综合题，难点在于点M 位置的确定，正确理解二次函数的轴对称性以及两点之间线段最短是解题的关键．16．见解析试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y 轴，顶点坐标分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线y＝12x2－1与抛物线y＝12x2形状相同，对称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线y＝12x2－1可由抛物线y＝12x2向下平移1个单位长度得到的．解：如图所示：(1)抛物线y＝12x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；抛物线y＝12x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．(2)抛物线y＝12x2－1可由抛物线y＝12x2向下平移1个单位长度得到．17．（1）y=﹣（x﹣1）2+4；（2）当PA+PB的值是最小时，点P的坐标是（37，0）.试题分析：（1）由题意可设抛物线解析式为“顶点式”，再代入点B的坐标可求得解析式；（2）由题意作出点B关于x轴的对称轴点E，连接AE交x轴于点P，P为所求的点，由A、E的坐标可求得直线AE的解析式，再由AE的解析式就可求得点P的坐标.试题解析：(1)∵抛物线的顶点A的坐标为（1，4），∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋4.∵抛物线过点B(0，3)，∴3＝a(0－1)2＋4.解得a＝－1.∴二次函数的表达式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.(2)作点B关于x轴的对称点E(0，－3)，连接AE交x轴于点P，点P即为所求点．设AE所在直线的表达式为y＝kx＋b，分别代入A，E坐标，得43k bb+=⎧⎨=-⎩，解得73kb=⎧⎨=-⎩，∴y＝7x－3.当y＝0时，x＝3 7 .∴点P 的坐标为(37，0)． 18．（1）y ＝x 2﹣4x +4；（2）①点P 的坐标为（1，1）或（4，4）；②在图象G 上存在点P ，使得∠POQ ＝45°，n 的取值范围为0≤n ≤4．（1）根据抛物线顶点在x 轴上，列式计算可得m 的值；（2）由∠POQ ＝45°，作直线y ＝x ，交抛物线y ＝x 2﹣4x +4于点P ，联立解析式求出P 点坐标即可；（3）分两种情况考虑：当点P ，Q 在y 轴右侧时与点P ，Q 在y 轴左侧时，列出不等式求解即可.解：（1）∵抛物线y ＝x 2﹣4x +m +2的顶点在x 轴上，∴()()2412441m ⨯⨯+--⨯＝0，解得：m ＝2， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2﹣4x +4．（2）①作直线y ＝x ，交抛物线y ＝x 2﹣4x +4于点P ，如图1所示．联立直线OP 及抛物线的表达式成方程组，得：244y x y x x =⎧⎨=+⎩﹣，解得：1111x y =⎧⎨=⎩，2244x y =⎧⎨=⎩， ∴点P 的坐标为（1，1）或（4，4）．②当y ＝1时，x 2﹣4x +4＝1，解得：x 1＝1，x 2＝3，∴点E 的坐标为（1，1），点F 的坐标为（3，1）．分两种情况考虑：（i ）当点P ，Q 在y 轴右侧时，∵抛物线y ＝x 2﹣4x +4与直线y ＝x 交于点（1，1）， ∴当1≤3﹣n ≤3时，图象G 上存在点P ，使得∠POQ ＝45°，解得：0≤n ≤2；（ii ）当点P ，Q 在y 轴左侧时，同①可得出，抛物线y ＝x 2﹣4x +4与直线y ＝﹣x 交于点（﹣1，﹣1）或（﹣4，﹣4），∴当﹣1≤3﹣n ≤1时，图象G 上存在点P ，使得∠POQ ＝45°，解得：2≤n ≤4．综上所述：若在图象G 上存在点P ，使得∠POQ ＝45°，n 的取值范围为0≤n ≤4．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，正确理解∠POQ＝45°的意义，运用数形结合的思想解决问题是解题关键.19．（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在，抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）△ACE的最大面积278，此时E点坐标为（52，34）．（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可．（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点D．（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF ，再根据直线l 与x 轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC 间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+3经过点A （1，0），点C （4，3），∴a b 30{16a 4b 33++=++=，解得a 1{b 4==-． ∴抛物线的解析式为y=x 2﹣4x+3．（2）存在．∵点A 、B 关于对称轴对称，∴点D 为AC 与对称轴的交点时△BCD 的周长最小． ∵y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2．设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0），则k b 0{4k b 3+=+=，解得：k 1{b 1==-．∴直线AC 的解析式为y=x ﹣1．当x=2时，y=2﹣1=1．∴抛物线对称轴上存在点D （2，1），使△BCD 的周长最小．（3）如图，设过点E 与直线AC 平行线的直线为y=x+m ，联立243y x my x x =+⎧⎨=-+⎩，消掉y 得，x 2﹣5x+3﹣m=0．由△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m ）=0得m=134-．∴m=134-时，点E 到AC 的距离最大，△ACE 的面积最大．此时x=52，y=5133244-=-．∴点E 的坐标为（52，34-）．设过点E 的直线与x 轴交点为F ，则F （134，0）．∴AF=139144-=．∵直线AC 的解析式为y=x ﹣1，∴∠CAB=45°．∴点F 到AC 的距离为9292428⨯=．又∵223(41)32AC =+-=．∴△ACE 的最大面积192273228=⨯⨯=，此时E 点坐标为（52，34-）． 20．（1）y=-x 2+2x+3；（2）P （60）或P 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在点Q 113113,⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或17,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）将点A 、B 坐标代入解析式求出b 、c 的值即可得；（2）∠PCB=∠CBD 有两种情况①P 在B 的右侧时延长BD 交y 轴于点H 由∠OCB=∠OBC=45°可证明∠HCB=∠CBP 从而△PCB ≌△HBC 由直线BD 即可求得：OH=OP=6从而得到P 点坐标；②P 在B 的左侧时此时PC ∥BD 根据一次函数解析式即可求出P ；（3）分以下两种情况分别求解①点Q 在y 轴右侧时由OB=OC 可得出OQ 是∠BOC 的平分线联立二次函数解析式与直线OQ 的解析式即可求解；②点Q 在y 轴左侧时可得这条对角线只能是BQ 过点C 作x 轴的平行线EF 过点QB 分别作EF 的垂线垂足分别为FE 延长FQ 交x 轴于点G 设点Q 的坐标为(mn)根据S △BOQ =S △CBQ =S 梯形FQBE -S △FCQ -S △BEC 可得出关于mn 的关系式再与二次函数的解析式联立即可求解．解：（1）将点A （-10）B （30）代入y=-x 2+bx+c 得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩解得23b c =⎧⎨=⎩∴二次函数的表达式为y=-x 2+2x+3；（2）①当点P 在点B 右侧时延长BD 交y 轴于点H∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4∴点D 的坐标为（14）设直线BD 的解析式为y=kx+b 则304k b k b +=⎧⎨+=⎩解得26k b =-⎧⎨=⎩即直线BD 的解析式为y=-2x+6 ∴点H 的坐标为（06）∵OB=OC=3∴∠OBC=∠OCB=45°∴∠HCB=∠CBP=135°又∠PCB=∠CBDBC=BC∴△PCB ≌△HBC∴CH=PB∴OH=OB=6故此时点P 的坐标为（60）；②当点P （P′）在点B 左侧时直线BD 的表达式为：y=-2x+6∵∠P′CB=∠CBD 则P′C ∥BD则直线P′C 的表达式为：y=-2x+3当y=0x=32故此时点P′的坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述点P 的坐标为（60）或3,02⎛⎫⎪⎝⎭；（3）存在．理由如下：①当点Q 在y 轴右侧时以QCBO 为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分这条对角线只能是OQS △COQ =S △BOQ 如图而OB=OC 故OQ 是∠BOC 的平分线即OQ 的函数表达式为：y=x将y=x 与y=-x 2+2x+3联立得-x 2+2x+3=x 解得113+ 故此时点Q 的坐标为（1132+1132+）； ②当点Q 在y 轴左侧时以QCBO 为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分这条对角线只能是BQS △BOQ =S △CBQ 如图过点C 作x 轴的平行线EF 过点QB 分别作EF 的垂线垂足分别。

二次函数图象与系数的关系(压轴题专项讲练)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册(浙教版)

二次函数图象与系数的关系数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

一、二次函数图象与系数的关系对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a 与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．【典例1】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B (4,0)，则下列结论中：①abc>0②4a+b>0；③M(x1,y1)与N(x2,y2)是抛物线上两点，若0<x1<x2，则y1>y2；④若抛物线的对称轴是直线x=3，m为任意实数，则a(m―3)(m+3)<b(3―m)；⑤AB≥3，则4b+3c>0，正确的个数是（）A．5B．4C．3D．2本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象可知，a<0，c<0，b>0，即可判断①结论；根据图象可得对称轴在直线x=2右侧，即―b2a>2，即可判断②结论；根据二次函数的增减性，即可判断③结论；根据对称轴，得出b=―6a，再利用作差法，即可判断④结论；根据抛物线与x轴的交点B(4,0)，整理得出a =―4b+c 16，再根据AB ≥3，得到y =a +b +c ≥0，进而得出4b +5c ≥0，再结合c <0，即可判断⑤结论．根据图象得出二次函数表达式各系数符号是解题关键．解：∵抛物线开口线下，与y 轴交于负半轴，∴a <0，c <0，∵对称轴在x 轴正半轴，∴a 、b 异号，∴b >0，∴abc >0，①结论正确；∵抛物线与x 轴正半轴交于A 、B 两点，且点B (4,0)，∴对称轴在直线x =2右侧，即―b 2a >2，∴2―<0，∴4a+b2a <0，∵a <0，∴4a +b >0，②结论正确；M (x 1,y 1)与N (x 2,y 2)是抛物线上两点，且0<x 1<x 2，∵0<x <―b 2a 时，y 随x 的增大而增大；x >―b2a 时，y 随x 的增大而减小；∴无法判断y 1和y 2的大小，③结论错误；∵抛物线的对称轴是直线x =3，∴―b 2a =3，即b =―6a ，∴ a (m ―3)(m +3)―b (3―m )=a (m ―3)(m +3)+6a (3―m )=a (m ―3)(m +3―6)=a (m ―3)2，∵a <0，(m ―3)≥0，∴a (m ―3)2≤0，∴ a (m ―3)(m +3)≤b (3―m )，④结论正确；∵抛物线与x 轴正半轴交于A 、B 两点，且点B (4,0)，∴当x =4时，y =16a +4b +c =0，∴a =―4b+c 16，∵AB ≥3，∴点A 的横坐标0<x A ≤1，∴当x =1时，y =a +b +c ≥0；∴―4b+c 16+b +c ≥0，整理得：4b +5c ≥0，∴4b +3c ≥―2c ，∵c <0，∴2c >0，∴4b +3c >0，⑤结论正确；∴正确的结论有①②④⑤，共4个，故选：B ．1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象关于直线x =―1对称，与x 轴的一个交点在原点和(1,0)之间，下列结论错误的是（）A ．abc <0B ．b =2aC ．4a ―2b +c >0D ．a ―b ≤m (am +b )（m 为任意实数）【思路点拨】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y 轴交点位置，即可判断选项A ；根据抛物线对称轴即可判断选项B ；根据“对称轴为直线x =―1，0<x 1<1”可判断选项C ；当x =―1时，y =ax 2+bx +c =a ―b +c 为最小值，据此可判断选项D．【解题过程】解：A．∵抛物线开口向上，∴a>0，∵对称轴为直线x=―1，=―1，∴―b2a∴b=2a>0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc<0，原题结论正确，故此选项不符合题意；B．∵对称轴为直线x=―1，=―1，∴―b2a∴b=2a，故选项正确，不符合题意；C．∵对称轴为直线x=―1，0<x2<1，∴―3<x1<―2，∴当x=―2时，y=4a―2b+c<0原题结论错误，故此选项符合题意；D．当x=―1时，y=ax2+bx+c=a―b+c为最小值，∴a―b+c≤am2+bm+c，∴a―b≤am2+bm，∴a―b≤m(am+b)，原题结论正确，故此选项不符合题意．故选：C．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=―1，则下列结论中：>0②am2+bm≤a―b（m为任意实数）③3a+c<1①bc④若M(x1,y)、N(x2,y)是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤―3．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得a<0，b=2a<0即可判断①，x=―1时，函数值最大，即可判断②，根据x=1时，y<0，即可判断③，根据对称性可得x1+x2=―2即可判段④，即可求解．【解题过程】解：∵二次函数图象开口向下∴a<0∵对称轴为直线x=―1，=―1∴x=―b2a∴b=2a<0∵抛物线与y轴交于正半轴，则c>0<0，故①错误，∴bc∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=―1,∴当x=―1时，y取得最大值，最大值为a―b+c∴am2+bm+c≤a―b+c（m为任意实数）即am2+bm≤a―b，故②正确；∵x=1时，y<0即a+b+c<0∵b=2a∴a+2a+c<0即3a+c<0∴3a+c<1，故③正确；∵M(x1,y)、N(x2,y)是抛物线上不同的两个点，∴M,N关于x=―1对称，∴x1+x22=―1即x1+x2=―2故④不正确正确的有②③故选：B3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③ax2+bx≥a+b；④若―2<c<―1，则―83<a+b+c<―43，其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4【思路点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出c=―3a，进一步得到1 3<a<23，又根据b=―2a得到a+b+c=a―2a―3a=―4a，即可判断④.【解题过程】解：①∵函数图象开口方向向上，∴a>0；∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b<0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c<0，∴bc>0，故①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，∴―b2a=1，∵b=―2a，∴x=―1时，y=0，∴a―b+c=0，∴3a+c=0，∴3a+2c<0，故②正确；③∵对称轴为直线x=1，a>0，∴y=a+b+c最小值，ax2+bx+c≥a+b+c，∴ax2+bx≥a+b，故③正确；④∵―2<c<―1，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得x1x2=(―1)×3=―3=ca，∴c=―3a，∴―2<―3a<―1，∴13<a<23，∵b=―2a，∴a+b+c=a―2a―3a=―4a，∴―83<a+b+c<―43，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点1，1，m，0，3，0，若c<0，则下列结论中错误的是（）A．ab<0B．4ac―b2<4aC．3a+b<0D．点2+m，1必在该抛物线上【思路点拨】根据抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右边，可得a<0，c<0，b>0，即可判断A；将抛物线化为顶点式，由顶点在第一象限得到4ac―b24a>1，结合a<0即可判断B；由点3，0在抛物线上得到3a+b=―c3，再由c<0即可判断C；由抛物线的对称性即可判断D．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右边，∴a<0，c<0，―b2a>0，∴b>0，∴ab<0，故A正确，不符合题意；∵y=ax2+bx+c=a x++4ac―b24a ，抛物线的顶点在第一象限，经过点1，1，对称轴为直线x=m+32>1，∴4ac―b24a>1，∵a<0，∴4ac―b2<4a，故B正确，不符合题意；∵抛物线y=ax2+bx+c经过点3，0，∴9a+3b+c=0，∴3a+b=―c3，∵c<0，∴―c3>0，∴3a+b=―c3>0，故C错误，符合题意；∵抛物线y=ax2+bx+c经过点1，1，m，0，3，0，∴对称轴为直线x=m+32，∵1+2+m2=m+32，∴1，1和2+m，1关于对称轴对称，∴点2+m，1必在该抛物线上，故D正确，不符合题意；故选：C．5．（23-24九年级上·河南周口·期末）抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a―2b+c=0；④方程ax²+bx+c=2有两个不相等的实数根；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am²+bm+c≤a+b+c．其中正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】由开口方向及与y轴的交点可判断，a<0，c>0，再根据“左同右异”的方法可判断b的符号，从而可判断可判断②；由图象得x2=4和对称轴可求x1=―2，可得抛物线与x的另一个交点为①；由对称轴x=―b2a(―2,0)，代入即可判断③；设y1=2，则图象为过(0,2)且垂直于y轴的一条直线，并且与抛物线有两个交点，=a+b+c，即可判断⑤．可判断④；当x=1时，y最大【解题过程】解：由图得：a<0，c>0，∵对称轴在y轴右侧，∴b>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴―b=1，2a∴2a+b=0，故②正确；由图象得x 2=4，∴1―x 1=4―1解得：x 1=―2，∴抛物线与x 的另一个交点为(―2,0)，∴a ×(―2)2+(―2)b +c =0，即：4a ―2b +c =0，故③正确；设y 1=2，则图象为过(0,2)且垂直于y 轴的一条直线，与抛物线有两个交点，∴方程ax²+bx +c =2有两个不相等的实数根；故④正确；∵抛物线的对称轴是直线x =1，且a <0，∴当x =1时，y 最大=a +b +c ，∴ am²+bm +c ≤a +b +c ，故⑤正确；综上所述：正确的有②③④⑤，共4个；故选：C ．6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，对称轴为x =12，且经过点(2,0)．下列说法：①abc <0；②―2b +c =0；③4a +2b +c <0；④若―52,y 1y 2是抛物线上的两点，则y 1<y 2；⑤14b >m (am +b )（其中m ≠12），其中说法正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②④⑤D ．②③④⑤【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用抛物线的开口方向、对称轴和与y轴的交点位置来判定①，利用抛物线与x轴的两个交点的坐标、结合一元二次方程根与系数的关系来判定②，把点(2,0)代入二次函数的解析式来判定③，观察图象可得：距离对称轴越近的点的纵坐标越大，据此判定④，根据二次函数的最大值判定⑤．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，抛物线对称轴为x=―b2a =12，∴b=―a>0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，所以①正确；对称轴为x=12，且经过点(2,0)，抛物线与x轴的另一个交点为(―1,0)，∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为2和―1，∴2×(―1)=ca，整理，得c=―2a，∴―2b+c=2a+(―2a)=0，所以②正确；抛物线经过(2,0)，∴当x=2时，y=0，∴4a+2b+c=0，所以③错误；∵a<0，∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大，∵1 2―(―52)>52―12，∴y1<y2所以④正确；∵对称轴为x =12，∴当x =12时，y 有最大值，y 的最大值=14a +12b +c ，∴当x =m ≠12时，14a +12b +c >am 2+bm +c ，整理，得14a +12b >am 2+bm =m(am +b)，∵b =―a ，即a =―b ，∴14a +12b =―14b +12b =14b ，即14b >m (am +b )，所以⑤正确．其中说法正确的是①②④⑤．故选：C ．7．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于两点(x 1,0)、(2,0)，其中0＜x 1＜1．下列四个结论：①abc <0；②a +b +c >0；③2a ―c >0；④点(―2,y 1)，(4,y 2)都在抛物线上，则有y 1>y 2；⑤不等式ax 2+bx +c <―c x 1x +c 的解集为0＜x ＜x 1．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】本题考查了抛物线图像综合，根据抛物线开口向上，a ＞0；对称轴在原点的右边，―b 2a ＞0，得到b ＜0，c ＞0，判断abc <0；结合图像，a +b +c ＜0；根据对称轴，增减性，数形结合思想计算判断即可．【解题过程】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0；∵对称轴在原点的右边，―b 2a ＞0，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴交点位于坐标轴上，∴c ＞0，∴abc <0；故①正确；结合图像，a +b +c ＜0；故②错误；∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于两点(x 1,0)、(2,0)，其中0＜x 1＜1．∴1＜x 1+22＜32，4a +2b +c =0，∴1＜―b 2a ＜32，2b =―c ―4a ，∴―3a ＜b ＜―2a ，2b =―c ―4a ，∴2b ＞―6a ，b +2a ＜0，∴―4a ―c ＞―6a ，∴2a ―c >0，故③正确；∵点(―2,y 1)，(4,y 2)∴y 1=4a ―2b +c,y 2=16a +4b +c ，∴y 1―y 2=4a ―2b +c ―(16a +4b +c )=―6(2a +b )，∵b +2a ＜0，∴―6(2a +b )＞0∴y 1>y 2；故④正确；设直线y =―cx 1x +c ，根据题意，直线经过点(x 1,0)和(0,c )，故直线y =―c x 1x +c 与y =ax 2+bx +c 的交点为点(x 1,0)和(0,c )，画草图如下，x+c的解集为0＜x＜x1．故不等式ax2+bx+c<―c x1故⑤正确；故选D．8．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分如图所示，该函数图像经过点(5，0)，对称轴为直线x=2．对于下列结论：①b>0；②a+c<b；③多项式ax2+bx+c 可因式分解为(x+1)(x―5)；④无论m为何值时，代数式am2+bm―4a―2b的值一定不大于0．其中正确个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】=2可得抛物线与x轴的另一个交先根据图像的开口方向和对称轴可判断①；由抛物线的对称轴为x=x1+x22点为(―1,0)，由此可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点坐标可判断③；根据函数的对称轴为x=2可知x=2时y有最大值，由此可判断④．本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图像和系数的关系．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，>0，∵对称轴为直线x=―b2a∴b>0，∴结论①正确；∵抛物线与x轴的一个交点为(5，0)，且对称轴为直线x=2，由5+x 22=2，得x 2=―1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(―1,0)，即当x =―1时，y =0，∴a ―b +c =0，∴a +c =b ，∴结论②错误；∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点为(―1,0)，(5，0)，∴多项式ax 2+bx +c 可因式分解为a(x +1)(x ―5)，∴结论③错误；∵对称轴为直线x =2，且函数开口向下，∴当x =2时，y 有最大值，由y =ax 2+bx +c 得，x =2时，y =4a +2b +c ，x =m 时，y =am 2+bm +c ，∴无论m 为何值时，am 2+bm +c ≤4a +2b +c ，∴am 2+bm ―4a ―2b ≤0∴结论④正确；综上：正确的有①④．故选：B9．（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (―1,0)，顶点坐标为(1,n )，与y 轴的交点在(0,2)、(0,3)之间（包含端点）．正确结论的个数是（）①当x >3时，y <0；②3a +b >0；③―1≤a ≤―23；④83≤n ≤4．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的关系；熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键．①根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=1，得到另一个交点坐标，结合函数图象即可对于①作出判断；②根据抛物线开口方向得出a<0，由对称轴x=―b求得b与a的关系，代入3a+b，即可判定3a+b的符2a，号；③根据二次函数与x轴的交点坐标即为对应一元二次方程的解，结合一元二次方程两根之积x1⋅x2=ca 得到c与a的关系，然后根据c的取值范围，利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解c，根据c的取值范围，利用不等式的性质来求得n的取值范围．析式得到n=a+b+c=43【解题过程】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,n)，∴对称轴直线是x=1，∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(―1,0)，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，∴根据图象可得，当x>3时，y<0；故①正确；②a<0；=1，∵对称轴x=―b2a∴b=―2a；∴3a+b=3a―2a=a<0，即3a+b<0；故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(―1,0)，(3,0)，即方程ax2+bx+c=0的解是x1=―1和x2=3，∴x1⋅x2=―1×3=―3，=―3，即ca；则a=―c3∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴―1≤―c3≤―23；即―1≤a≤―23；故③正确；④∵a=―c3；b=―2a∴b=―2a=23c，∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,n)，即n=a+b+c=43c∵2≤c≤3，∴8 3≤43c≤4，即83≤n≤4；故④正确；综上所述，正确的说法有①③④．故选：C．10．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴负半轴交于―12,0，对称轴为直线x=1．有以下结论∶①abc<0；②3a+c>0；③若点(―3,y1)，(3,y2)，(0,y3)均在函数图象上，则y1>y3>y2；④若方程a(2x+1)(2x―5)=1的两根为x1、x2，且x1<x2则x1<―1 2<52<x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的范围为a≥23．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．【解题过程】解：∵对称轴为直线x =1，函数图象与x 轴负半轴交于 ―12,0，∴x =―b 2a =1，∴b =―2a ，由图象可知 a >0，c <0，∴b =―2a <0，∴abc >0，故①错误；由图可知，当x =―1时，y =a ―b +c >0 ，∴a +2a +c >0，即3a +c >0，故②正确；∵点(―3,y 1)，(3,y 2)，(0,y 3)均在函数图象上，对称轴为直线x =1，开口向上，∴|―3―1|>|3―1|>|0―1|，则 y 1>y 2>y 3，故③错误；由抛物线对称性可知，抛物线与x ,0，∴抛物线解析式为：y =a x令a x ―=14，则a (2x +1)(2x ―5)=1，如图，作y =14，由图形可知x 1<―12<52<x 2 ，故④正确；由题意可知：M ，N 到对称轴的距离为32，当抛物线的顶点到x 轴的距离不小于 32时，在x 轴下方的抛物线上存在点P ，使得PM ⊥PN ，即4ac―b 24a ≤―32，∵y =a x =ax 2―2ax ―54a ，∴c =―54a ，b =―2a ，≤―32，解得：a ≥23，故⑤正确，综上可知②④⑤正确，共3个，故选：C ．11．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(―2,0)，顶点坐标为―12,m ．对于下列结论：①abc <0；②a +b +c =0；③若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ―3=0无实数根，则m <3；④am 2+bm <14(a ―2b )）（其中m ≠―12）﹔⑤若A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)均在该函数图象上，且x 1>x 2>1，则y 1>y 2．其中正确结论有（）A ．②③④B ．②③⑤C ．②③D ．④⑤【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与直线交点问题，掌握二次函数图象与系数关系，二次根据抛物线与x 轴的一个交点(―2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x 轴的另一个交点(1,0)，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得a <0，进而可得b <0，c >0，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．【解题过程】解：∵抛物线开口方向向下，∴a <0，∵抛物线的对称轴为直线x =―12，∴―b 2a =―12∴b =a <0∵抛物线与抛物线与轴交点在正半轴上，∴c >0，∴abc >0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线与x 轴的一个交点坐标为(―2,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0)，把(1,0)代入y =ax 2+bx +c(a ≠0)，可得：a +b +c =0，故②正确；∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ―3=0无实数根，∴二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象与直线y =3无交点，∵抛物线的顶点坐标为―12,m ，抛物线开口方向向下，∴m <3，故③正确；∵am 2+bm =am 2+am =a m +―14a ，14(a ―2b)=14(a ―2a)=―14a ，∴am 2+bm ―14(a ―2b)=a(m +12)2，又∵a <0，m ≠―12，∴a m <0，即am 2+bm <14(a ―2b)（其中m ≠―12)，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在x >―12时，y 随x 的增大而减小，∵x 1>x 2>1>―12，∴y 1<y 2，故⑤错误，正确的有②③④，故选：A ．12．（2024·四川达州·三模）如图，函数y =ax 2+bx +c 的图象过点(―1,0)和(m,0)，请思考下列判断：①abc <0；②4a +c <2b ；③b c +1m =1；④am 2+(2a +b )m +b +c <0；⑤|am +a |=确的结论有（）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系①利用图象信息即可判断；②根据x =―2时，y <0即可判断；③根据m 是方程ax 2+bx +c =0的根，结合两根之积―m = c a ，即可判断；④根据两根之和―1+m =― b a ，可得ma =a ―b ，可得am 2+(2a +b)m +b +c =2a ―b <0；⑤根据抛物线与x 轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a <0，∵抛物线交y 轴于正半轴，∴c >0，∵― b 2a >0，∴b >0，∴abc <0，故①正确，∵x =―2时，y <0，∴4a ―2b +c <0，即4a +c <2b ，故②正确，∵ y =ax 2+bx +c 的图象过点(―1,0)和(m,0)，∴―1×m = c a ，am 2+bm +c =0，则am c =―1，∴ b c =0，∴ b c +1m =1，故③正确，∵―1+m =― ba ，∴―a +am =―b ，∵am2+(2a+b)m+b+c=am2+bm+c+2am+b=2a―2b+b=2a―b∵a<0，b>0∴2a―b<0，故④正确，对于ax2+bx+c=0，可得：x=由函数图象交点可知x=m或x=―1，∴m+1=，∴m+1=，∴|am+a|=⑤正确，故选：D．13．（23-24八年级下·云南·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图，图象过点(―1,0)下列结论：①b2>4ac；②4a+b=0；③4a+c>2b；④―3b+c=0；⑤若顶点坐标为(2,4)，则方程ax2 +bx+c=5没有实数根．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】本题主要考查二次函数与系数a，b，c相关代数式的判断问题，会利用对称轴求b与a的关系，以及二次函数与方程之间的转换，掌握根的判别式的熟练运用，是解题的关键．由抛物线的开口方向判断a<0，将点(―1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，得a―b+c=0，由图象可得对称轴为x=2，可得b=―4a，代入上式可得c=―5a，再将五个结论分别分析即可由得到答案．【解题过程】解：将点(―1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，∵图象可得二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=2，开口向下，=2，a<0，∴―b2a即b=―4a>0，将b=―4a代入a―b+c=0，可得c=―5a>0．①∵b=―4a、c=―5a，∴b2=(―4a)2=16a2，4ac=4a×(―5a)=―20a2，∴16a2>―20a2，∴b2>4ac，故①正确．②∵b=―4a，∴4a+b=4a―4a=0，故②正确．③∵b=―4a、c=―5a，∴4a+c=4a―5a=―a，2b=―8a，∵a<0，∴―a<―8a，∴4a+c<2b，故③错误．④∵b=―4a、c=―5a，故―3b+c=―3×(―4a)―5a=12a―5a=7a，∵a<0，∴7a≠0，∴―3b+c≠0，故④错误．⑤将(2,4)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，即4a+2b+c=4，再将b=―4a、c=―5a代入上式，化简可得a=―2，∴b=―4a=8，c=―5a=10，将a=―2，b=8，c=10，代入则方程ax2+bx+c=5中，即―2x2+8x+5=0，根据根的判别式Δ=82―4×(―2)×5=104>0，可得方程ax2+bx+c=5没有两个不相同的实数根，故⑤错误．综上作述，正确的结论有两个，故选A．14．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c经过点(―1,0)，与y轴的交点在(0,―2)与(0,―3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①a+b+c<0；②若点M(0.5,y1)、N(2.5,y2)在图象上，则y1<y2；③若m为任意实数，则a(m2―4)+b(m―2)≥0；④―24≤5 (a+b+c)<―16．其中正确结论的序号为．【思路点拨】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征逐一判断即可，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．【解题过程】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(―1,0)，对称轴为直线x=2，∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)x轴相交于点A(―1,0),(5,0)，∵二次函数与y轴的交点B(0,―2)与(0,―3)之间（不包括这两点），大致图象如图：当x=1时，y=a+b+c<0，故结论①正确；∵二次函数的对称轴为直线x=2，且a>0,2―0.5=1.5,2.5―2=0.5，∴y1>y2，故结论②不正确；∵x=2时，函数有最小值，∴am2+bm+c≥4a+2b+c（m为任意实数），∴a(m2―4)+b(m―2)≥0，故结论③正确；∵―b2a=2，∴b=―4a，∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为―1和5，∴―1×5=ca，∴c=―5a，∵―3<c<―2，∴2 5<a<35，∴当x=1时，y=a+b+c=―8a，―245<―8a<―165，∴―24<5(a+b+c)<―16，故结论④正确；故答案为：①③④．15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(―2023,n)，B(2024,n)，M(―1,0)，且交y轴的正半轴于点N，下列结论：①abc<0；②4a+2b+c=0；③若直线y=ax+d与抛物线只有一个公共点T(x T,y T)，则x T=1；④抛物线上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，P在Q的左边，若x1+x2>2，则y1<y2；⑤b2―4ac<―4a，请将所有正确的序号填在横线上．【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线的对称性等知识点，根据二次函数的图象进行逐项分析即可，灵活运用有关知识来分析是解题的关键．【解题过程】解：∵图象过点A(―2023,n)，B(2024,n)，M(―1,0)，∴抛物线对称轴为直线x=12，a―b+c=0，∴与x轴交于点(2,0)，即有4a+2b+c=0，故②正确；∵交y轴的正半轴于点N，∴抛物线开口向下，∴a<0，c>0，b>0，则abc<0，故①正确；由抛物线对称轴为直线x=12，∴―b2a =12，则b=―a，∴代入a―b+c=0得：c=―2a，∴抛物线y=ax2―ax―2a，直线y=ax+d与抛物线只有一个公共点T(x T,y T)，∴ax2―ax―2a=ax+d，整理得：ax2―2ax―2a―d=0∴(―2a)2―4a(―2a―d)=0，解得：d=―3a，∴直线y=ax―3a，代入得：x=1，∴x T=1，故③正确；∵抛物线上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，∴y1=ax12―ax1―2a，y2=ax22―ax2―2a，∴y1―y2=a(x1+x2)(x1―x2)―a(x1―x2)=a(x1―x2)(x1+x2―1)，∵x1<x2，a<0，x1+x2>2，即y1―y2>0，∴y1>y2，故④错误；∵b2―4ac=(―a)2―4a×(―2a)=a2+8a2=9a2>0，∴b2―4ac<―4a错误，∴①②③正确；故答案为：①②③．16．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x=1．有以下结论：①abc<0，②a+c>0，③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，若x1<1<x2，且x1+x2>2，则y1>y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，若am2+bm+c=p，则p(m―x1)(m―x2)≤0．其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．【思路点拨】由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，可判断①；通过取特殊值可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与x轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④．【解题过程】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与y轴的交点在y轴正半轴，∴c>0，∵对称轴为直线x=1，=1，即b=―2a，∴―b2a∵a<0，∴b>0，∴abc<0，故结论①正确；当x=1+y=a(12―2a(1++c=a+c，即当x=1(a+c)与0的大小关系，故结论②错误；∵a<0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向下，∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，∵点P(x1,y1)和Q(x2,y2)在抛物线上，且x1<1<x2，x1+x2>2，∴x2―1>1―x1，即x2到1的距离大于x1到1的距离，∴y1>y2，故结论③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与x轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为x1，右边交点的横坐标为x2，即x1<x2，如图所示，若m<x1，则p<0，m―x1<0，m―x2<0，∴p(m―x1)(m―x2)<0，若x1≤m<x2，则p≥0，m―x1≥0，m―x2<0，∴p(m―x1)(m―x2)≤0，若m≥x2，则p≤0，m―x1>0，m―x2≥0，∴p(m―x1)(m―x2)≤0，综上所述，p(m―x1)(m―x2)≤0，故结论④正确，∴正确的结论是①③④．故答案为：①③④．17．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②9a+6b+c=0，③(4a+c)2<4b2；④方程cx2+bx+a=0的解为x1=1,x2=―1；3⑤a+b>m(am+b)(m≠1)．其中正确的结论有（填序号）．【思路点拨】本题考查的是二次函数的图象与性质，各项系数的符号与解析式的关系，根据图象先判断a<0，c>0，b>0，再结合函数的对称轴，最值，与坐标轴的交点，逐一分析判断即可．【解题过程】解：由图象可知：a<0，c>0，>0，∵―b2a∴b>0，∴abc<0，故①错误；=1，∵对称轴为x=―b2a∴b=―2a，∵a<0，c>0，∴9a+6b+c=9a―12a+c=c―3a>0，故②错误，∵抛物线与x轴的交点在―1与0之间，对称轴为x=1，另一个交点在2与3之间，∴当x=―2时，y=4a―2b+c<0，当x=2时，y=4a+2b+c>0，∴(4a―2b+c)(4a+2b+c)<0，∴(4a+c)2―4b2<0，∴(4a +c )2<4b 2，故③符合题意；∵二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当x =1时，有最大值，∴a +b +c >0，若方程cx 2+bx +a =0的解为x 1=1，则a +b +c =0，∴④错误；当x =1时，y 的值最大．此时，y =a +b +c ，而当x =m (m ≠1)时，y =am 2+bm +c ，∴a +b +c >am 2+bm +c ，∴a +b >am 2+bm ，即a +b >m (am +b )，故⑤正确；综上：正确的有③⑤，故答案为：③⑤．18．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(―2,0)，对称轴为直线x =―12．对于下列结论：①abc <0；②b 2―4ac >0；③a +b +c =0；④am 2+bm <14(a ―2b)（其中m ≠―12）；⑤若A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)均在该函数图象上，且x 1>x 2>1，则y 1>y 2．其中正确结论有．（填写序号）【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质．根据抛物线与x 轴的一个交点(―2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x 轴的另一个交点(1,0)，利用待定系数法得到b =a,c =―2a ，再根据抛物线开口朝下，可得a <0，进而可得b <0，c >0，即可得到③正确，①错误，根据抛物线与与x 轴两个交点可以判断出②正确，根据am 2+bm =a (m +12)2―14a ，14(a ―2b)=―14a ，a <0，m ≠―12，可以得到a(m +12)2<0，从而得到④正确；根据抛物线的对称性和增减性可以判断出⑤错误，问题得解．【解题过程】解：∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线与x 轴的一个交点坐标为(―2,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0)，把(―2，0)，(1，0)代入y =ax 2+bx +c(a ≠0)，可得：4a ―2b +c =0a +b +c =0 ，解得b =a c =―2a ，∴a +b +c =a +a ―2a =0，故③正确；∵抛物线开口方向向下，∴a <0，∴b =a <0，c =―2a >0，∴abc >0，故①错误；∵抛物线与x 轴两个交点，∴当y =0时，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，∴b 2―4ac >0，故②正确；∵am 2+bm =am 2+am =a(m +12)2―14a ，14(a ―2b)=14(a ―2a)=―14a ，∴am 2+bm ―14(a ―2b)=a(m +12)2，又∵a <0，m ≠―12，∴a(m +12)2<0，即am 2+bm <14(a ―2b)（其中m ≠―12)，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在x >―12时，y 随x 的增大而减小，∵x 1>x 2>1>―12，∴y 1<y 2，故⑤错误，正确的有②③④，共3个，故答案为：②③④．19．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A 的坐标为―13,n ，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc>0；②5b+2c<0；③若抛物线经过点(―6,y1),(5,y2)，则y1> y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，则n<4．其中正确结论是（请填写序号）．【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出a=32b，根据图象可得当x=1时，y=a+b+c<0，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设(―6,y1),(5,y2)两点横坐标与对称轴的距离为d1，d2，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．【解题过程】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为―13,n，∴―b2a =―13，∴b 2a =13>0，即ab>0，由图可知，抛物线开口方向向下，即a<0，∴b<0，当x=0时，y=c>0，∴abc>0，故①正确，符合题意；②∵直线x=―13是抛物线的对称轴，∴―b2a =―13，∴b 2a =13>0，∴a=32b由图象可得：当x=1时，y=a+b+c<0，b+c<0，即5b+2c<0，故②正确，符合题意；∴52是抛物线的对称轴，③∵直线x=―13设(―6,y1),(5,y2)两点横坐标与对称轴的距离为d1，d2，则d1=|―6―=173，d2=|5――=163，∴d2<d1，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，∴y1<y2，故③错误，不符合题意；④如图，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，∴n<4，故④正确，符合题意．故答案为：①②④20．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，c<0)经过(1,1)，(m,0)，>1；③当n=3时，若点(2,t)在该抛物线上，则(n,0)三点，且n≥3．下列四个结论：①b<0；②4ac―b24at>1；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则0<m≤1，其中正确的是3(填序号即可)．【思路点拨】①根据图象经过1，1，c<0，且抛物线与x轴的一个交点一定在3，0或3，0的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a<0，再把1，1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即可判断①错误；>1，根②先得出抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点1，1的右侧，得出4ac―b24a据4a<0，利用不等式的性质即可得出4ac―b2<4a,即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，得出1，1到对称轴的距离大于2，t到对称轴的距离，根据a<0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ=(b―1)2―4ac=0，把1，1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1―b=a+c，求出a=c，根据根与系数的关系得出mn=ca =1，即n=1m，根据n≥3，得出1m≥3，求出m的取值范围，即可判断④正确．【解题过程】解：①图象经过1，1，c<0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x 轴的交点都在1，0的左侧，∵(n,0)中n≥3，∴抛物线与x轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧，∴抛物线的开口一定向下，即a<0，把1，1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=1，即b=1―a―c=1―(a+c),∵a<0，c<0，∴a+c<0,∴b>0，故①错误；②∵a<0，b>0，c<0，ca>0，∴方程ax2+bx+c=0的两个根的积大于0，即mn>0，∵n≥3，∴m>0，∴m+n2>1.5，即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，∴抛物线的顶点在点1，1的上方或者右上方，。

人教版初中数学二次函数专项训练及解析答案

x
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出 a，b，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】 ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向下， ∴a＜0，
∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴在 y 轴左侧， ∴a，b 同号， ∴b＜0， ∴一次函数 y=ax+c，图象经过第二、四象限，
A．①④
B．②④
C．②③
D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
①抛物线与 x 轴由两个交点，则 b2 4ac 0 ，即 b2 4ac ，所以①正确；②由二次函
数图象可知， a 0 ， b 0 ， c 0 ，所以 abc 0 ，故②错误；
③对称轴：直线 x b 1， b 2a ，所以 2a b c 4a c ， 2a
有两个不相等的实数根，其中正确的有（）
A．2 个【答案】B 【解析】
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线 x=1，∴ b 2a
=1，∴b=﹣2a＞0，∵与 y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c≤4， ∴abc＜0，故①错误； 3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确； ∵与 x 轴交于点 A（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，∴a﹣（﹣2a）+c=0，∴c=﹣3a，∴3≤﹣
∴函数 y＝的图象在第二、第四象限，
故选 B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求 m 的取值范围是本题的关键．

新人教版九年级上册数学[《二次函数》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0) (轴)(0，) (，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____．【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+．【解析】正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)．因此所求抛物线的解析式有两种．设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+．【点评] 此题容易出错漏解的错误．举一反三：【课程名称：二次函数复习357019 ：(1)-（2）问精讲】【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．（2015•盘锦）如图是二次函数y=ax 2+bx+c=0（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c ＜0；④b ﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（）A ．①③④B ． ②④⑤C ． ①②⑤D ．②③⑤【答案】B ；【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∵﹣=﹣2，∴b=4a ，ab ＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x 轴交于﹣4，0处两点，∴b 2﹣4ac ＞0，方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4， ∴②⑤正确，∵当a=﹣3时y ＞0，即9a ﹣3b+c ＞0， ∴③错误，故正确的有②④⑤．故选：B ．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x ＞3或x ＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值，y ＞0时，x 的取值范围．当x ＞3或x ＜-1时，y ＞0，因此不等式20ax bx c ++>的解集为x ＞3或x ＜-1．【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系，利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集．类型四、函数与方程4．（2016•台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？（）A．1 B．C．D．【思路点拨】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【答案】D．【解析】解：∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），∴OC=k，∵△ABC的面积=AB•OC=AB•k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k=（4﹣k），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x为何实数，二次函数的图象永远在x轴的下方的条件是( ) A．B．C．D．【答案】二次函数的图象与x轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x轴下方，则．答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是( )A．1 B．2 C．0 D．不能确定【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2．故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ．【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=，解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)．当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．（2015•黄陂区校级模拟）进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元（x 为正整数），每星期的利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由．（3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润；（3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000．【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x2+500x+5000=﹣100（x﹣）2+5625，∵x取正整数，当x=2或3时，y=5600.∴5600元是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x2+500x+5000=5000，解得x1=0，x2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。

人教版初中九年级数学上册第二十二章《二次函数》经典练习题(含答案解析)(2)

一、选择题1．如果二次函数2112y x ax =-+，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，且关于x 的分式方程4311x ax x++=--有正整数解，则所有符合条件的a 的值之和为（）． A ．9 B ．8C ．4D ．3C解析：C 【分析】由二次函数的性质可先确定出a 的范围，再由二次函数的性质可确定出a 的范围，解分式方程确定出a 的取值范围，从而可确定出a 的取值，可求得答案．【详解】解：∵二次函数2112y x ax =-+， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝a ， ∴当x ＜a 时，y 随x 的增大而减小， ∵当x≤1时，y 随x 的增大而减小， ∴a≥1，解分式方程4311x ax x ++=--可得x ＝72a -， ∵关于x 的分式方程4311x ax x++=--有正整数解， ∵x≠1，∴满足条件的a 的值为1，3，∴所有满足条件的整数a 的值之和是1＋3＝4，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、分式方程的解，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a 的值是解题的关键．2．已第二次函数()2240y ax ax a =-+->图象上三点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．132y y y <<B ．312y y y <<C ．123y y y <<D ．213y y y <<B解析：B 【分析】把三点横坐标代入函数解析式，求出函数值，再进行比较大小即可．【详解】解：当x=-1时，y=-2a-a-4=-3a-4；当x=1时，y=-2a+a-4=-a-4；当x=2时，y=-8a+2a-4=-6a-4； ∵a ＞0∴-6a-4＜-3a-4＜-a-4 ∴312y y y << 故选B 【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，可以判断y 1，y 2，y 3的大小．3．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则点(,)A ac bc 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C解析：C 【分析】根据图像判断二次函数的系数a 、b 、c 的正负性，即可求得．【详解】∵二次函数图像开口向下 ∴a ＜0又∵二次函数图形与y 轴交点在y 正半轴上 ∴c ＞0∵对称轴在y 轴左侧∴02ba -< ∴b ＜0∴ac ＜0，bc ＜0∴点(,)A ac bc 在第三象限故选C 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题关键． 4．二次函数2y ax bx c =++()0a ≠的图象如图所示，观察得出了下面4条信息：①0abc >；②0a b c -+>；③230a b -=；④240b ac ->．你认为其中正确的结论有（）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C 【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行分析，进而对所得结论进行判断．【详解】①由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上可知a ＞0，图象与y 轴交点在负半轴，c ＜0，对称轴b 1x=-=2a 3，2b=-a 3＜0，因此0abc >，故正确； ②由图象可知x ＝−1时，y ＝a−b ＋c ＞0，故正确；③对称轴b 1x=-=2a 3，2+30a b =，故错误； ④由图象与x 轴有两个交点，可知240b ac ->，故正确．所以①②④三项正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号的确定．5．在平面直角坐标系中抛物线2y x =的图象如图所示，已知点A 坐标为(1，1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A 过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ，……则点2020A 的坐标为（）A ．(1011， 21011)B ．(-1011， 21011)C ．(-1010， 21011)D ．(1010， 21011)A解析：A 【分析】根据二次函数性质可得出点A 1的坐标，求得直线A 1A 2为y ＝x ＋2，联立方程求得A 2的坐标，即可求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A 2020的坐标．【详解】∵A 点坐标为（1，1）， ∴直线OA 为y ＝x ，A 1（−1，1）， ∵A 1A 2∥OA ，设直线A 1A 2为y ＝x ＋b 把A 1（−1，1）代入得1=-1+b 解得b=2∴直线A 1A 2为y ＝x ＋2，解22y x y x =+⎧⎨=⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩，∴A 2（2，4）， ∴A 3（−2，4）， ∵A 3A 4∥OA ，设直线A 3A 4为y ＝x ＋n ，把A 3（−2，4）代入得4＝-2＋n ，解得n=6 ∴直线A 3A 4为y ＝x ＋6，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4（3，9）， ∴A 5（−3，9）同理求出A 6（4，16），A 7（-4,16）A 8（5，25），A 9（-5,25）A 10（6，36），A 11（-6,36） …，∴A 2n 为22222,22n n ⎡⎤++⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴A 2020（1011，10112），故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．6．已知二次函数()()2y x p x q =---，若m ，n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根，则实数m ，n ，p ，q 的大小关系可能是（）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．m ＜p ＜n ＜qC ．p ＜m ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜n A解析：A 【分析】根据二次函数图象性质和一元二次方程的知识结合已知条件，可以得到结论：m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间，从而解答本题．【详解】解：∵二次函数的解析式是()()2y x p x q =--- ∴1a =∴该二次函数的抛物线开口向上∵m 、n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根 ∴当x m =或xn =时，0y =∵当x p =或x q =时，2y =-∴m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间．故选：A 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点情况和一元二次方程根的关系、二次函数图象性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的图象性质解答．7．下列各图象中有可能是函数()20y ax a a =+≠的图象（）A ．B ．C ．D ．B解析：B 【分析】从0a >和0a <两种情况进行分析图象的开口方向和顶点坐标，选出正确的答案．【详解】解：当0a >时，开口向上，顶点在y 轴的正半轴；当0a <时，开口向下，顶点在y 轴的负半轴，故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数系数与图象的关系，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键．8．关于抛物线223y x x =-+-，下列说法正确的是（） A ．开口方向向上 B ．顶点坐标为()1,2- C ．与x 轴有两个交点 D ．对称轴是直线1x =-B解析：B 【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵抛物线y=-x 2+2x-3=-（x-1）2-2， ∴该抛物线的开口向下，故选项A 错误；顶点坐标为()1,2-，故选项B 正确；当y=0时，△=22-4×（-1）×（-3）=-8＜0，则该抛物线与x 轴没有交点，故选项C 错误；对称轴是直线x=1，故选项D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的额性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9．抛物线y=2(x －1)2－3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（） A ．x =－3 B ．x =－1 C ．x =－2 D ．x =4C解析：C 【分析】根据二次函数图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，由此即可得出答案．【详解】由题意，平移后的抛物线的解析式为2213()3y x =-+-，即22(2)3y x =+-，则此时抛物线的对称轴是直线2x =-，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论正确的是（）A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c ++=D ．240b ac -<C解析：C 【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0x >，以及二次函数与y 的交点在x 轴的上方，与x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【详解】A 、观察图象，二次函数的开口向下，∴0a <，与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，又∵对称轴为2bx a=-，在x 轴的正半轴上，故02bx a=->，即0b >． ∴0abc <，故选项A 不正确；B 、观察图象，抛物线对称轴为直线12122x -+== ∴在对称轴右侧，当1x =时，函数值0y a b c =++>，故选项B 不正确；C 、观察图象，当2x =时，函数值420y a b c =++=，故选项C 正确；D 、∵二次函数与x 轴有两个交点，∴240b ac =->，故D 不正确．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．二、填空题11．若二次函数26y x x c =-+的图象经过()11,A y -，()22,By ，()33C y +三点，则关于1y ，2y ，3y 大小关系正确的是_______．（用“<”连接）【分析】根据函数解析式的特点其对称轴为x=3图象开口向上；利用y 随x 的增大而减小可判断根据二次函数图象的对称性可判断于是【详解】根据二次函数图象的对称性可知中在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小因为于是解析：231y y y <<【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y 随x 的增大而减小，可判断21y y <，根据二次函数图象的对称性可判断23y y >，于是231y y y <<. 【详解】根据二次函数图象的对称性可知，33()C y 中，|33||32|1+>-=，1(1,)A y -、2(2,)B y 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，因为112-<<，于是231y y y <<.故答案为231y y y <<. 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性.12．如果抛物线y =x 2﹣6x +c 的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于____．c=6或12【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3列出方程求出解则可【详解】解：根据题意得：±3解得：c=6或12故答案为：c=6或12【点睛】本题考查了二次函数的性质熟记顶点的纵坐标公式是解题的解析：c =6或12【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3，列出方程求出解则可．【详解】解：根据题意得：24(6)4c --=±3，解得：c =6或12．故答案为：c =6或12．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点的纵坐标公式是解题的关键．13．把函数y ＝（x ﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为_____．y ＝（x ﹣2）2+2【分析】根据原二次函数的解析式可得原抛物线的顶点进而可得新抛物线的顶点根据平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新函数解析式【详解】∵二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象的顶点坐标为解析：y ＝（x ﹣2）2+2【分析】根据原二次函数的解析式可得原抛物线的顶点，进而可得新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新函数解析式．【详解】∵二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2）， ∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2）， ∴所得的图象解析式为y ＝（x ﹣2）2+2．故答案为y ＝（x ﹣2）2+2．【点睛】本题考查了二次函数的平移问题；用到的知识点为：平移不改变二次项的系数；二次函数的平移，看顶点的坐标平移即可，用顶点式较简便．14．已知二次函数2y ax bx c =++自变量x 的部分取值和对应函数值y 如表：则在实数范围内能使得成立的取值范围是_______．的数据和二次函数的性质可以得到对称轴函数图象的开口方向再根据表格中的数据即可得到y-3＞0成立的x 取值范围【详解】解：由表格可知该二次函数的对称轴是直线函数图象开口向上故y-3＞解析：1x <-或3x > 【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到对称轴、函数图象的开口方向，再根据表格中的数据，即可得到y-3＞0成立的x 取值范围．【详解】解：由表格可知，该二次函数的对称轴是直线1312x -+==，函数图象开口向上，故y-3＞0成立的x 的取值范围是x ＜-1或x ＞3，故答案为：x ＜-1或x ＞3．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15．某种洒杯的轴截面是一条抛物线段，在酒杯中加酒，当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，将酒杯装满酒后，再倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm ，这个酒杯的杯口直径为______cm ．【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系相当于抛物线经过点(00)(11)求得解析式为y=x²设杯口直径为2d 设倒满酒时酒的高度为m 相当于抛物线经过(dm)再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm 时将m 用d 319【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系，相当于抛物线经过点(0,0)，(1,1)求得解析式为y=x²，设杯口直径为2d ，设倒满酒时酒的高度为m ，相当于抛物线经过(d,m)，再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm 时将m 用d 代数式表示，再代入解析式中求出d 即可．【详解】解：如下图所示以酒杯内最低点为原点建立直角坐标系，故抛物线的顶点坐标为原点，设抛物线解析式为y=ax²，当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，相当于抛物线且经过点(1,1)，代入解析式中，a=1，故抛物线解析式为：y=x²，设杯口直径为2d ，设倒满酒时酒的高度为m ，相当于抛物线经过(d,m)，由“倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm”，如下图所示：此时FH=EC=2，∠DEF=30°，DF=d ，在Rt △EDF 中，EF=2DF=2d ，3d ，在Rt △OEC 中，OE=2EC=4， ∴OD=OE+ED=43d ， ∴m=OD=43d ,∴将点(,43d d )，代入y=x²，即：243dd ，解得：3192d(负值舍去)，319 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题目意思，学会建立直角坐标系并求出对应解析式是解决本题的关键．16．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()24y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____．24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴则可以确定AB 的长度然后根据等边三角形的周长公式即可求解【详解】抛物线的对称轴是过点作于点如下图所示则则则以为边的等边的周长为故答案为24【点睛】此题考查解析：24 【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB 的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．【详解】抛物线2(4)y a x k =-+的对称轴是4x = 过C 点作CD AB ⊥于点D ，如下图所示则4=AD ，则28AB AD ==则以AB 为边的等边ABC 的周长为2483=⨯．故答案为24．【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB 的长是关键．17．二次函数y=（x+2）2-5的最小值为_______．-5【分析】根据二次函数的顶点式的意义即可确定函数的最值【详解】解：∵y=（x+2）2-5∴当x=-2时函数有最小值为-5故答案为-5【点睛】本题主要考查了二次函数的最值掌握根据二次函数的顶点式求最解析：-5 【分析】根据二次函数的顶点式的意义即可确定函数的最值．【详解】解：∵y=（x+2）2-5∴当x=-2时，函数有最小值为-5．故答案为-5．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，掌握根据二次函数的顶点式求最值的方法是解答本题的关键．18．二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如下表：_______．（填序号即可）①0abc <；②若点()12,C y -，()2,D y π在该拋物线上，则12y y <；③4n a < ；④对于任意实数t ，总有()2496at bt a b +≤+．①②④【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解【详解】解：由图表知当x=0时y=3当x=3时y=3∴对称轴为且∴①∵∴异号故①正确；②对称轴为解析：①②④ 【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=32，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【详解】解：由图表知，当x=0时，y=3，当x=3时，y=3 ∴对称轴为0+33=222b x a =-=，且3c =，3b a =- ∴23y ax bx =++ ①∵3b a =-，3c =∴a b ，异号，0abc <，故①正确； ②对称轴为32x =，且当1x =-时，.y n = 将(1)n -，代入23y ax bx =++中得3a b n -+=， ∴3a b n -=- 又∵0n < ∴-0a b <又∵a b ，异号， ∴0a ＜，0.b >∴23y ax bx =++的图象开口向下， ∵33|2|||22π-->- ∴12y y <，故②正确； ③∵3b a =-， 3.a b n -=- ∴(3)3a a n --=- ∴4 3.a n =-∴4.a n <，故③错误； ④当32x =时，y 有最大值， ∴最大值为3492a b c ++ ∴对任意实数t ，总有29342at bt c a b c ++≤++， ∴24()96at bt a b +≤+，故④正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．19．过点()0,2，()2,2，()2,1--的二次函数图象开口向_______（填“上”或“下”）下【分析】先用待定系数法确定二次函数的解析式然后根据二次项系数即可解答【详解】解：设一般式y=ax2+bx+c 由题意得：解得由＜0则该函数图像开口向下故答案为：下【点睛】本题考查了二次函数图像的性质解析：下【分析】先用待定系数法确定二次函数的解析式，然后根据二次项系数即可解答．【详解】解：设一般式y=ax 2+bx+c ，由题意得：2=c2=42142a b c a b c ⎧⎪++⎨⎪-=-+⎩解得3=-83 =42 abc⎧⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩由3=-8a＜0，则该函数图像开口向下．故答案为：下．【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，根据题意确定二次函数的解析式是解答本题的关键．20．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为_____．8【分析】根据题意当点C的横坐标取最小值时抛物线的顶点与点A重合进而可得抛物线的对称轴则可求出此时点D的最小值然后根据抛物线的平移可求解【详解】解：∵点AB的坐标分别为（14）和（44）∴AB=3由解析：8【分析】根据题意当点C的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A重合，进而可得抛物线的对称轴，则可求出此时点D的最小值，然后根据抛物线的平移可求解．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），∴AB=3，由抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），可得：当点C的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A重合，∴抛物线的对称轴为：直线1x=，∵点()3,0C-，∴点D的坐标为()5,0，∵顶点在线段AB上移动，∴点D的横坐标的最大值为：5+3=8；故答案为8．【点睛】本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题21．已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）（m为常数）（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m的值变化时，该函数图象的顶点在下列哪个函数的图象上?．A．y＝x﹣1 B．y＝﹣x﹣1 C．y＝﹣（x+1）2 D．y＝﹣（x﹣1）2解析：（1）见解析；（2）D【分析】（1）根据已知函数解析式得到抛物线与x轴的两点交点横坐标：x1=1，x2=m，据此证得结论；（2）根据顶点式先得到抛物线的顶点坐标为（-m，m），然后分别代入四个解析式中看是否满足解析式，再进行判断．【详解】（1）证明：当y＝0时，（x﹣1）（x﹣m）＝0．解得x1＝1，x2＝m．当m＝1时，方程有两个相等的实数根；当m≠1时，方程有两个不相等的实数根．所以，不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．（2）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）＝（x﹣12m+）2+m﹣2(1)4m+得到该抛物线的顶点坐标是（12m+，m﹣2(1)4m+），而点（12m+，m﹣2(1)4m+）满足y＝﹣（x﹣1）2，不满足y＝x﹣1，y＝﹣x﹣1，y＝﹣（x+1）2，∴点（12m+，m﹣2(1)4m+）在函数y＝﹣（x﹣1）2上．故答案是：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识点，需要掌握二次函数与一元二次方程间的关系，二次函数三种形式．22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．（1）若商场平均每天赢利600元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？解析：（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多．【分析】（1）设每件衬衫应降价x 元，由题意可以得到关于x 的一元二次方程，解方程即可得到问题解答；（2）把每件衬衫的降价看成自变量x ，商场平均每天赢利看成因变量y ，由题意可以得到y 与x 之间的函数关系式，然后根据函数的性质可以得到问题解答．【详解】解：（1）设每件衬衫应降价x 元，由题意可以得到：（10+x ）（40-x ）=600，解之得：x=10或x=20，因为尽快减少库存，∴每件衬衫降价20元时，商场平均每天赢利600元；（2）把每件衬衫的降价看成自变量x ，商场平均每天赢利看成因变量y ，由题意可以得到y 与x 之间的函数关系式为：y=（10+x ）（40-x ），配方得：()215625y x =--+， ∴当x=15时，y 取得最大值625，即当每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，且赢利为625元．【点睛】本题考查一元二次方程与二次函数的综合运用，根据题意列出一元二次方程或函数关系式，并根据方程的解或函数的性质作答是解题关键． 23．已知二次函数2y ax =与22y x c =-+．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a =______；若抛物线2y ax =沿y 轴向下平移2个单位就能与22y x c =-+的图象完全重合，则c =______．（3）二次函数22y x c =-+中x 、y 的几组对应值如下表：解析：（1）见解析；（2）2±，2-；（3）p m n << 【分析】（1）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项的变化会影响开口大小，开口方向，对称轴和顶点坐标，根据二次函数的性质即可得出图像的具体影响．（2）由于函数图像形状相同，可以得到2a =±；根据二次函数平移规律上加下减可求得函数22y ax =-，再由题意就可得到c =-2．（3）将表中数值代入二次函数即可分别得到m 、n 、p 含未知数c 的代数式，比较大小即可．【详解】（1）二次函数2y ax =的图像随着a 的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数22y x c =-+的图像随着c 的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变．（只要学生答对变与不变各一个点就给满分）．（2）由于函数2y ax =与函数22y x c =-+的形状相同，所以2a =-，即2a =±．抛物线2y ax =沿y 轴向下平移两个单位，即得到抛物线22y ax =-．因为该抛物线与22y x c =-+的图像完全重合所以2c =- 故答案为2±；2-（3）表中数值代入二次函数22y x c =-+可得;8m c =-+,2n c =-+,50p c =-+因为50c -+<8c -+<2c -+ 所以p m n <<．故答案为p m n << 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数上点的坐标特征．特别注意（2）2a =时两个函数图像形状相同．24．某商场新上市一款运动鞋，每双进货价为150元，投入市场后，调研表明：当销售价为200元时，平均每天能售出10双；而当销售价每降低5元时，平均每天就能多售出5双．（1）商场要想尽快回收成本，并使这款运动鞋的销售利润平均每天均达到675元，那么这款运动鞋的销售价应定为多少元？（2）请用配方法求：这款运动鞋的销售价定为多少元时，可使商场平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？解析：（1）商场要想尽快回收成本，这款运动鞋的销售价应定为165元；（2）这款运动鞋的销售价定为180元时，利润最大，最大利润是900元．【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）根据销售利润=一双运动鞋的利润×销售运动鞋数量，一双运动鞋的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每部的盈利×销售的数量=y ，即可列函数关系式；利用函数最值求法得出即可．【详解】解：（1）设这款运动鞋的销售价应定为x 元.200(150)(105)6755xx --+⨯= 解得：x 1=195，x 2=165因为商场想尽快回收成本，所以定价应为165元；（2）200(150)(105)5xy x -=-+⨯ 2(180)900x =--+∴当定价为180元时，获利最多，最大利润为900元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，本题关键是找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．25．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的顶点A 与原点重合，顶点B 在x 轴的正半轴上，点D 在y 轴的正半轴上．抛物线2y x bx c =-++经过点B 与点D ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）将正方形ABCD 向左平移m 个单位（0m >），边AD 与BC 分别与（1）中的二次函数图像交于P 、Q ，若点Q 纵坐标是点P 纵坐标的2倍，求m 的值．解析：（1）22y x x =-++；（2）5412-+ 【分析】（1）由题意可知点B 、D 的坐标分别为（2，0），（0，2），利用待定系数法即可求得二次函数关系式；（2）先分别表示出点P 、Q 的横坐标，进而可表示出它们的纵坐标，再根据题意列出方程求解即可．【详解】解：（1）由题意可知点B 、D 的坐标分别为（2，0），（0，2），将（2，0），（0，2）代入2y x bx c =-++，得4202b c c -++=⎧⎨=⎩解得12b c =⎧⎨=⎩∴二次函数的表达式为22y x x =-++；（2）∵正方形ABCD 向左平移m 个单位（0m >），边AD 与BC 分别与（1）中的二次函数图像交于P 、Q ，∴点P 的横坐标为-m ，点Q 的横坐标为2-m ，当x=-m 时，22y m m =--+，当x=2-m 时，2(2)22y m m +=---+23m m =-∵点Q 纵坐标是点P 纵坐标的2倍， ∴2232(2)m m m m -=--+解得152m -=，252m -=（舍去）∴m 的值为52-+．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数关系式，正方形的性质等相关知识，熟练掌握待定系数法求二次函数关系式是解决本题的关键．26．疫情期间，某防疫物晶销售量y （件）与售价x （元）满足一次函数关系，部分对应值如下麦，当售价为70元时，每件商品能获得40%的利润．（2）售价为多少时利润最大？最大利润为多少？解析：(1) y=-10x+1000；(2)售价为75元时有最大利润为6250元【分析】(1)设一次函数的解析式为y=kx+b ，然后再代入点(70,300)和点(65,350)即可求解； (2)由售价为70元时，每件商品能获得40%的利润求出商品的成本为50元，进而得出商品的单个利润为(x-50)，再乘以销售量y 即得到关于x 的二次函数，再利用二次函数求出最大利润即可．【详解】解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b ，代入点(70,300)和点(65,350)， ∴3007035065k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得101000k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数关系式为：y=-10x+1000；(2)∵售价为70元时，每件商品能获得40%的利润求出商品的成本为50元， ∴商品的成本为：70÷(1+40%)=50元， ∴商品的单个利润为：(x-50)元，设销售额为w 元，则w=(x-50)y=(x-50)(-10x+1000)=-10x²+1500x-50000，此时w 是关于x 的二次函数，且对称轴为x=75，∴当x=75时，w 有最大值为：-10×75²+1500×75-50000=6250元，故答案为：售价为75元时有最大利润为6250元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常常利函数的增减性来解答，我们首先要读懂题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．27．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过原点，点11,8⎛⎫ ⎪⎝⎭和动点P 都是该抛物线上点．（1）求该抛物线的解析式．（2）若y 轴上点()0,A m ，()()0,0B m m ->，//BC x 轴，过点P 作PC BC ⊥于C ，设点(),P x y 满足AP PC =，求m 的值．解析：（1）218y x =；（2）m=2 【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）分别求出PC ，PA 的长，根据PC=PA 列方程求解即可．【详解】解：（1）由于该抛物线经过原点（0，0），对称轴为y 轴， ∴c=0，b=0∴该抛物线的解析式为2y ax =，把点（1，18）代入得，18a =∴该抛物线的解析式为218y x =；（2）∵()0,A m ，B(0，-m)，P(x ，y) 且//BC x 轴，PC BC ⊥，P 在抛物线上， ∴C （x ，-m ），P （x ，21x 8） ∴PC=218x m + 作AM ⊥PC 于M ，则222PA AM PM =+∴221()8PA x x m =+- ∵PA=PC ∴22PA PC = 即2222211()()88x m x x m +=+- 整理得，2202m x x -= ∴2(1)02m x -= ∵0x ≠ ∴102m -= 解得，m=2．【点睛】此题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，求出PC ，PA 的长是解答此题的关键．28．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2223y x nx n n =-++-与y 轴交于点C ，与x 轴交于点,A B ，点A 在B 的左边，x 轴正半轴上一点D ，满足.OD OA OB =+ （1）①当2n =时，求点D 的坐标和抛物线的顶点坐标；②当2AB BD =时，求n 的值；（2）过点D 作x 轴的垂线交抛物线于P ，作射线CP ，若射线CP 与x 轴没有公共点，直接写出n 的取值范围．解析：（1）①()4,0D ，顶点为()2,1-；②2n =或0n =；（2）1311313n n -+<<<或【分析】（1）①把n=2代入2223y x nx n n =-++-求得243y x x =-+经过配方即可求得顶点坐标；再令y=0，求出x 的值，可得A ，B 的坐标，根据OD OA OB =+可求出点D 的坐标；。

九年级上册数学二次函数测试题及答案

九年级上册数学二次函数测试题及答案23422.在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交x 轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB的面积S.△MCB22.某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.5答案与解析：一、选择题1.考点：二次函数概念.选A.2.考点：求二次函数的顶点坐标.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k 的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C.3.考点：二次函数的图象特点，顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C.4.考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B.5.考点：二次函数的图象特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选C.6.考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，6抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x 轴上方，在第四象限，答案选D.7.考点：二次函数的图象特征.解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.8. 考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C.9. 考点：一次函数、二次函数概念图象及性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1<x1<x2，当x>-1时，由图象知，y 随x的增大而减小，所以y2<y1；又因为x3<-1，此时点P3(x3，y3)在二次函数图象上方，所以y2<y1<y3.答案选D.10. 考点：二次函数图象的变化.抛物线的图象向左平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到.答案选C.二、填空题11.考点：二次函数性质.解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程.答案x=1.7考点：利用配方法变形二次函数解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13.考点：二次函数与一元二次方程关系.解析：二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，求得x1=-1，x2=3，则AB=|x2-x1|=4.答案为4.14.考点：求二次函数解析式.解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-3.15.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.解析：需满足抛物线与x轴交于两点，与y轴有交点，及△ABC是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-1.16.考点：二次函数的性质，求最大值.解析：直接代入公式，答案：7.17.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.解析：如：y=x2-4x+3.18.考点：二次函数的概念性质，求值.答案：.三、解答题19.考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)8考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)由已知x1，x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x1+1)(x2+1)=-8∴x1x2+(x1+x2)+9=0∴-(k+4)-(k-5)+9=0∴k=5∴y=x2-9为所求(2)由已知平移后的函数解析式为：y=(x-2)2-9且x=0时y=-5∴C(0，-5)，P(2，-9).21. 解：(1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x1=5，x2=-1∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME⊥y轴于点E，9则可得S=15.△MCB22.思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量.要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大.因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x元，商品的售价就是(13.5-x)元了.单个的商品的利润是(13.5-x-2.5)这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y元.利用上面的等量关式，可得到y与x的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润.解：设销售单价为降价x元.顶点坐标为(4.25，9112.5).即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5-4.25=9.25时，可取得最大利润9112.5元10。

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第十四讲数形结合问题【典型例题1】如图，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的表达式；（2）点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；（3）是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的表达式为 4)1(21+-=x a y 。

把A （3,0）代入表达式，求得1-=a 。

所以324)1(221++-=+--=x x x y 。

设直线AB 的表达式为 b kx y +=2。

由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 。

把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中，解得 3,1=-=b k 。

所以32+-=x y 。

(2)因为C 点坐标为(１,4)，所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2。

所以CD ＝4-2＝2。

32321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位)。

(3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=。

由S △PAB =89S △CAB ，得 389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 。

化简得 091242=+-x x 。

解得 23=x 。

将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(。

【知识点】抛物线、直线表达式的求法，在直角坐标系中三角形面积的求法，点的坐标的求法。

【基本习题限时训练】1. 已知点A 的坐标为（0，3），点B 与点A 关于原点对称，点P 的坐标为（4，3），那么△PAB 的面积等于（）（A ）6；（B ）9；（C ）12；（D ）24。

答案：C 。

2. 已知抛物线c bx x y ++=23的顶点坐标为（-1，2），那么这条抛物线的表达式为（）xCOy ABD 1 1（A ）5632++=x x y ；（B ）5632+-=x x y ；（C ）1632++=x x y ；（D ）1632+-=x x y 。

答案：A 。

3. 已知直线b x y +=43经过点A （3，3），并与x 轴交于点B ，点C 在x 轴的正半轴上，且∠ABC=∠ACB ，那么点C 的横坐标为（）（A ）3；（B ）4；（C ）5；（D ）6。

答案：B 。

【典型例题2】如图，在平面直角坐标系中，点C （－3，0），点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，10OA -=．（1）求点A 、点B 的坐标；（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 由C 向B 运动，连结AP ，设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A ，B ，P 为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．230OB -=，解：（1）∵10OA -=，∴10OA -=.∴OB =1OA =．∵点A ，点B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，∴A （1，0），B （0）．（2）由（1）得AC =4，2AB ==，BC ==∴22222216AB BC AC +=+==（． ∴△ABC 为直角三角形，90ABC ∠=．∴S =t t -=⨯-322)3221（（0≤t＜．（3）存在，满足条件的的有两个．1(30)P -，，21P ⎛- ⎝．【知识点】非负数的概念，函数解析式的求法，相似三角形的判定。

【基本习题限时训练】1.已知013=+++-b b a ，那么b a 的值等于（）（A ）4；（B ）-4；（C ）41；（D ）41-。

答案：D 。

答案：A 。

【典型例题3】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，AD=6，如果OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程27120x x -+=的两个根，且OA OB >．（1）求sin ABC ∠的值．（2）如果E 为x 轴上的点，且163AOE S =△，求经过D 、E 两点的直线的表达式，并判断AOE △与DAO △是否相似？解：（1）解27120x x -+=得1243x x ==，。

OA OB >，43OA OB ∴==，。

5AB =。

在Rt AOB △中，由勾股定理，得4sin 5OA ABC AB ∴∠==。

（2）∵点E 在x 轴上，163AOE S =△，11623AO OE ∴⨯=。

83OE ∴=。

880033E E ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或，。

由已知可知D （6，4）。

设DE y kx b =+，当803E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时有 46803k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得65165k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴61655DE y x =-。

同理803E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，6161313DE y x =+。

在AOE △中，89043AOE OA OE ∠===°，，。

在AOD △中，∠OAD=90°，OA=4，AD=6。

∵ADOAOA OE =，AOE DAO ∴△∽△。

【知识点】锐角的三角比，解一元二次方程，直线表达式的求法，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的定义和判定。

【基本习题限时训练】1.方程0652=--x x 的解是（）（A ）2或-3；（B ）-2或3；（C ）1或-6；（D ）-1或6。

答案：D 。

2. 在△ABC 中，AB=13，BC=12，AC=5，那么∠A 的正切值等于（）（A ）125；（B ）512；（C ）135；（D ）1312。

答案：B 。

3. 如果菱形的一条对角线与边长都等于6厘米，那么这个菱形的面积等于（）（A ）39；（B ）312；（C ）318；（D ）324。

答案：C 。

【典型例题4】如图，抛物线F ：c bx ax y ++=2的顶点为P ，抛物线F 与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ．过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，平移抛物线F 使其经过点A 、D 得到抛物线F ′：'+'+'=c x b x a y 2，抛物线F ′与x 轴的另一个交点为C ．（1）当a = 1，b =2-，c = 3时，求点C 的坐标；（2）若a 、b 、c 满足了ac b 22=． ①求b ∶b ′的值；②探究四边形OABC 的形状，并说明理由．解：（1）由条件，得2)1(2+-=x y ，∴点P 的坐标为（1，2）。

∴点D 的坐标为（1，0）。

抛物线F ′的表达式为32+'+=x b x y ，∴4-='b 。

∴抛物线F ′的表达式为342+-=x x y 。

∴C 的坐标为（3，0）。

（2）①由题意，得点P 的横坐标为a b2-。

∵PD ⊥x 轴于D ，∴点D 的坐标为（0,2ab-）．根据题意，得a=a ′，c= c ′，∴抛物线F ′的表达式为c x b ax y ++='2．又∵抛物线F ′经过点D （0,2a b-），∴c a b b ab a +-+⨯=)2('4022． ∴ac bb b 4'202+-=．又∵ac b 22=，∴'2302bb b -=． ∴b :b ′=32．②由①得，抛物线F ′为c bx ax y ++=232．令y=0，则0232=++c bx ax ． ∴abx a b x -=-=21,2．∵点D 的横坐标为,2a b -∴点C 的坐标为（0,a b-）． ∵ac b 22=，∴ 242424442c a ac a ac ac a b ac ==-=-，∴点P 的坐标为（2,2ca b -）．设直线OP 的解析式为kx y =．∴k a b c 22-=，∴22222b b b b ac b ac k -=-=-=-=，∴x by 2-=． ∵点B 是抛物线F 与直线OP 的交点，∴x bc bx ax 22-=++．∴abx a b x -=-=21,2．∵点P 的横坐标为a b 2-，∴点B 的横坐标为ab-．把a b x -=代入x by 2-=，得c a ac a b a b b y ===--=222)(22．∴点B 的坐标为),(c ab-．∴BC ∥OA ，BC =OA 。

∴四边形OABC 是平行四边形．又∵∠AOC =90°，∴四边形OABC 是矩形．【知识点】平移的概念，抛物线的顶点坐标，抛物线的与x 轴和y 轴的交点坐标，平行四边形和矩形的判定。

【基本习题限时训练】1.如果把抛物线2x y =进行平移，得到图像的表达式为422+-=x x y ，那么下列移动方法正确的是（）（A ）向右平移1个单位，向上平移3个单位；（B ）向右平移3个单位，向上平移1个单位；（C ）向左平移1个单位，向上平移3个单位；（D ）向左平移3个单位，向上平移1个单位。

答案：A 。

2. 如果二次函数342+-=x x y 的图像与x 轴交于点A 和点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，那么∠CBD 的度数为（）（A ）30度；（B ）45度；（C ）60度；（D ）90度。

答案：D 。

3. 已知在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点A 的坐标为（-3，0），点B 的坐标为（0，4），点D 的坐标为（6，0），那么四边形OABC 的形状是（）（A ）矩形；（B ）菱形；（C ）平行四边形；（D ）梯形。

答案：C 。

【典型例题5】已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .（1）填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ，，，；（2）如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；（3）在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.解：（1）()411133M a N a a ⎛⎫--⎪⎝⎭，，，.N '∴4133a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，（2）由题意得点N 与点N ′关于y 轴对称，将N ′的坐标代入22y x x a =-+得21168393a a a a -=++， 10a ∴=（不合题意，舍去），294a =-.334N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，∴点N 到y 轴的距离为3.904A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N '334⎛⎫⎪⎝⎭，，∴直线AN '的解析式为94y x =-，它与x 轴的交点为904D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，点D 到y 轴的距离为94. 1919918932222416ACN ACD ADCN S S S ∴=+=⨯⨯+⨯⨯=△△四边形. （3）当点P 在y 轴的左侧时，若ACPN 是平行四边形，则PN 平行且等于AC ，∴把N 向上平移2a -个单位得到P ，坐标为4733a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，代入抛物线的解析式，得 27168393a a a a -=-+。

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