求圆锥曲线离心率的几种方法
离心率公式
离心率根据不同的条件有五种求法：
一、已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可2113利用率心率公式e=c/a 来解决。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于a、c的一元方程，从而5261解得离心率e。
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解。
四、根据圆4102锥曲线的统一定义求解。
五、构建关于e的不等式，求e的取值范围。
扩展资料：
由于要验证3组数据的可靠性，1653因而也很难严格地评价w值的可靠性。
当提出更新更可靠的值内或蒸气压数据时，在原则上应该重新计算w值。
但过去的一系列方程(其中许多是状态方程)已经使用当时的w值建立了相应的经验关系，对于这些方程仍以使用当时的tO值为宜。
被广泛使用的w值主要来自专用手册，如Reid的专著容或文献，但是Reid的专著提供的数据并非全是实验值，因为蒸气压数据多于临界数据，所以w的数据基本决定于临界数据；当缺乏临界数据时，w的数据一定是估算的。
参考资料来源：百度百科-离心率。
圆锥曲线离心率的求法
离心率是圆锥曲线的一个几何性质.与圆锥曲线离心率有关的问题主要考查圆锥曲线的定义、性质以及离心率的公式，属于一类基础性的问题.求圆锥曲线离心率的关键是求得圆锥曲线方程中a、b、c的值或关系式.本文重点介绍求圆锥曲线离心率的三种方法，以供大家参考.一、公式法公式法是指运用公式e=c a求出离心率的方法.在解题时，我们可以根据已知条件以及圆锥曲线的标准方程、性质建立与a、c相关的关系式，结合圆锥曲线中a、b、c之间的关系求出a、c的值，然后利用公式e=ca求得离心率的大小.例1.过双曲线C：x2-y2b2=1()b＞0的左顶点A作斜率为1的直线l，若直线l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且||AB=||BC,则双曲线的离心率为____.解：由双曲线的方程可知a=1，∴点A()-1,0，∴直线l方程为y=x+1，∵双曲线C：x2-y2b2=1()b＞0知两条渐近线分别为y=bx,y=-bx，∴Bæèöø-1b+1,b b+1，Cæèöø1b-1,b b-1，∵||AB=||BC，∴b2=9，c=b2+1=10，∴e=c a=10.我们首先根据双曲线的方程求出a的值，然后由B、C两点的坐标以及已知条件||AB=||BC建立关于b的式子，求得b、c的值，便可利用离心率公式求得问题的答案.二、齐次式法齐次式法是求圆锥曲线离心率的重要方法之一.齐次式法是指通过构建齐次式来解答问题的方法.有些问题中a、c的值不易直接求出，我们可以结合已知条件构造关于a、c的齐次式，通过解方程得到e=ca的值.例2.已知F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为____.解：结合题意绘制如图的图形，设||OF1=c，MF1的中点为P，∴点P的横坐标为-c2，∵||PF1=12||F1F2=c，由焦半径公式可得||PF1=-2x p-a，∴c=-c a×æèöø-c2-a，化简得c2-2a2-2ac=0，∴e2-2e-2=0，解方程得e1=1+3，e2=1-3()舍去，∴双曲线的离心率为1+3.在解答上题的过程中，需建立关于a、c的齐次式，再将其左右同除以a2，通过整理和化简得到关于e的一元二次方程，解方程便可求得e的值.三、定义法定义法是指利用圆锥曲线的定义求出离心率的方法.一般地，圆锥曲线的定义中都蕴含着a（动点到圆锥曲线上两焦点的距离之和或差）与c（焦点之间的距离）之间的关系.因此在求圆锥曲线的离心率时，我们可以根据圆锥曲线的定义绘制相应的图形，找出a、c对应的线段，建立关系式，便可求得圆锥曲线的离心率.例3.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，点P在椭圆C,线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30∘，则椭圆的离心率为_____.解：∵线段PF1的中点在y轴上，F1F2的中点为点O，∴PF2//y轴，∴PF2⊥F1F2,∵∠PF1F2=30∘,∴在Rt△PF1F2中，||PF1:||PF2:||F1F2=2:1:3,∵2a=||PF1+||PF2,2c=|F1F2∴e=c a=2c2a=||F1F2||PF1+||PF2=.解答本题，需结合题意绘制出图形，通过解直角三角形PF1F2得到||PF1、||PF2、||F 1F2的关系式，结合椭圆的定义求得a与c的值以及e的值.公式法、齐次式法、定义法都是解答圆锥曲线离心率问题的有效方法.其中公式法和定义法是比较常用的方法，齐次式法虽然较为复杂，但能有效地简化运算.(作者单位:广东省惠州市博罗县石湾中学)解题宝典翟勇超38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）A. 10B. 5C.310D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。
二、变用公式)c e a =双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34C.45D.23 分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。
1.设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A. C. D.解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即224b a =e ∴===2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A ．B ．C ．D ． 答案：C【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，，，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ，即224b a =，e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．【解析】因为，再由有即2223b a =从而可得e ∴===B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
离心率的五种求法
7.设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ， 且 ，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
8．如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.
椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ．
一、直接求出 ，求解
已知标准方程或 易求时，可利用离心率公式 来求解。
例1.过双曲线C： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，
又 ,∴ ,两边平方，得 ，整理得 ，
得 或 ，又 ，∴ ，∴ ，∴ ，故选A
11.知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设 的中点为 ，
A． B． CБайду номын сангаас D．
解析：满足 的点 总在椭圆内部，所以c<b.
4.设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（B）
，又 ，
在 中，由余弦定理，得 ,
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B
3.设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
4.设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
高中数学圆锥曲线中离心率的14种求解方法
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。
本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。
每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。
方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。
对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。
这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。
方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。
当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。
当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。
这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。
方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。
通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。
这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。
方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。
通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。
这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。
方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。
通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。
这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。
方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。
求圆锥曲线离心率的几种方法
关于椭圆离心率设椭圆得左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P,使,求离心率e 得取值范围。
解法1:利用曲线范围 设P(x,y ）,又知,则将这个方程与椭圆方程联立,消去ｙ,可解得解法2:利用二次方程有实根由椭圆定义知又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()解法３:利用三角函数有界性 记||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有解法4:利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即解法5:利用基本不等式 由椭圆定义,有 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||解法6:巧用图形得几何特性 由，知点Ｐ在以为直径得圆上。
又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点Ｐ 故有演练一、直接求出或求出a与ｂ得比值,以求解。
在椭圆中,,1、已知椭圆得长轴长就是短轴长得2倍,则椭圆得离心率等于_＿＿＿＿2、已知椭圆两条准线间得距离就是焦距得２倍,则其离心率为_____３、若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆得离心率为＿___4、已知矩形ＡBＣD,AＢ=4,BC＝3,则以Ａ、Ｂ为焦点,且过C、D两点得椭圆得离心率为＿__5、若椭圆短轴端点为满足,则椭圆得离心率为＿＿_6、、已知则当ｍｎ取得最小值时,椭圆得得离心率为_＿＿_７、椭圆得焦点为,,两条准线与轴得交点分别为,若,则该椭圆离心率得取值范围就是____＿＿_＿_8、已知F１为椭圆得左焦点,Ａ、B分别为椭圆得右顶点与上顶点，P为椭圆上得点,当ＰF1⊥F1A,PO∥AB(Ｏ为椭圆中心)时,椭圆得离心率为＿__＿_______9、P就是椭圆＋=1（a>b＞0)上一点,就是椭圆得左右焦点,已知椭圆得离心率为＿＿＿__10、已知就是椭圆得两个焦点,P就是椭圆上一点,若，则椭圆得离心率为____＿＿_１1、在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴得弦长为，焦点到相应准线得距离为1,则该椭圆得离心率为_＿＿_＿__二、构造得齐次式,解出1.已知椭圆得焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆得离心率就是____２.以椭圆得右焦点F２为圆心作圆，使该圆过椭圆得中心并且与椭圆交于M、Ｎ两点,椭圆得左焦点为F1,直线ＭF１与圆相切，则椭圆得离心率就是____＿３.以椭圆得一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆得中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣ＭF∣=∣MO∣,则椭圆得离心率就是_＿__＿4.设椭圆得两个焦点分别为F1、、F2,过F２作椭圆长轴得垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆得离心率就是____＿５.已知Ｆ１、F2就是椭圆得两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直得直线交椭圆于A、Ｂ两点,若△ABF2就是正三角形,则这个椭圆得离心率就是_＿_＿_三、寻找特殊图形中得不等关系或解三角形。
圆锥曲线离心率归类(学生版)
圆锥曲线离心率归类目录题型01 离心率基础题型02 第一定义求离心率题型03 中点型求离心率题型04 点差法型求离心率(第三定义型)题型05 渐近线型离心率题型06 渐近线中点型求离心率题型07 构造a、b、c齐次式型题型08 焦半径型离心率题型09 焦点三角形求离心率题型10 双焦点三角形余弦定理型题型11 焦点三角形双角度型题型12 共焦点型椭圆双曲线离心率题型13 借助均值不等式求共焦点型题型14 焦点三角形内心型求离心率题型15 焦点三角形重心型求离心率题型16 小题大做型求离心率高考练场题型01离心率基础【解题攻略】求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.1P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F为椭圆的右焦点，PF⊥x轴，过点P作斜率为13的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为()A.16B.13C.23D.562(2021秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习)双曲线y =kx(k >0)的离心率用e =f (k )来表示，则f (k )()A.在(0,+∞)上是增函数B.在(0,+∞)上是减函数C.在(0,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数D.是常数3(2023秋·高三课时练习)实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为()A.2B.2C.3D.34已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 为C 上一点，若PF 2⊥F 1F 2，且∠PF 1F 2=30°，则椭圆C 的离心率为()A.16B.36C.13D.335已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，若△PF 1F 2的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C 的离心率为( )．A.34B.45C.23D.225题型02 第一定义求离心率【解题攻略】解题时要把所给的几何特征转化为a ,b ,c 的关系式．求离心率的常用方法有：(1)根据条件求得a ,b ,c ，利用e =ca或e =1+b 2a2求解；(2)根据条件得到关于a ,b ,c 的方程或不等式，利用e =ca将其化为关于e 的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围．1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (5，0)，点A ，B 为C 上关于原点对称的两点，且AF ⊥BF ，|AF ||BF |=43，则C 的离心率为.2设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点F (2,0)点A (-2,1)为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ，使得PA +PF =8，则椭圆E 的离心率的取值范围是()A.49,47B.49，47C.29,27D.29,273椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1､F 2，直线l :y =kx 与C 交于A ､B 两点，若F 2O =12AB ，∠BAF 2=θ，当θ∈π12,π6时，C 的离心率的最小值为()A.2-1B.22C.63D.3-14已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (5，0)，点A ，B 为C 上关于原点对称的两点，且AF ⊥BF ，|AF ||BF |=43，则C 的离心率为.5设椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，点Q c ,a2 在椭圆的内部，点P 是椭圆上的动点，且PF 1 +PQ <5F 1F 2 恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为()A.14,22B.13,32C.13,22D.14,1题型03 中点型求离心率【解题攻略】直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。
高二数学圆锥曲线中离心率的求法
圆锥曲线中离心率的求法在解析几何中，求离心率在高考中经常出现，解法较灵活，下面就介绍些常用的方法。
1、公式法：即利用ace =这一公式求离心率。
[例1]已知椭圆m y mx5522=+的离心率510=e ，求m 的值。
解：将椭圆方程化为标准方程得：1522=+my x （1）当50<<m 时，51055,5,,5222=-==-=∴==m ac e m c m b a ，可得3=m ；（2）当5>m 时，5105,5,5,222=-==-=∴==m m a c e m c b m a ，可得325=m ；3253==∴m m 或。
[例2]已知双曲线的渐近线为x y 43±=，求双曲线的离心率。
解：（1）当双曲线的焦点在X 轴上时，可得：43=a b ，从而451222=⎪⎭⎫⎝⎛+=+==a b a b a ac e ； （2）当双曲线的焦点在Y 轴上时，可得：43=b a ，同理可得35=e ； ∴双曲线的离心率为4535或。
2、几何法：求与焦点三角形有关的离心率，可根据三角形的特征设一条边，再想办法求出2a,2c ，从而可得离心率。
[例3]以椭圆的右焦点2F 为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线)(11为左焦点F MF 是圆2F 的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）13- （B ）32- （C ）22（D ）23 解：如图，由题意得21F MF ∆为直角三角形，设12=MF ，则221=F F ，从而31=MF ，131322121-=+=+=∴MF MF F F e ，故选A 。
[例4]F 1，F 2为椭圆的左右两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，PQ PF ⊥1，且||||1PQ PF =，求椭圆的离心率。
解：设2,1,111===Q F PQ PF 则，a QF PQ PF 411=++ ，()261212,2212222222221=-+=+=+=+=∴a PF PF c a ，3622-==∴ace 。
离心率的五种求法(生)
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ） A. 10 B. 5 C. 310 D. 25二、变用公式)c e a ==双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34 C. 45 D. 231.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( )2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uur uu u r ，则双曲线的离心率是 ( )A B3.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )A ．2B ．3C ．12D ．13三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例3.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u r u u r ，则椭圆的离心率是（ ）A ．2 B ．2 C ．13 D ．121.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ．32 B ．2 C ．52D ．32.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ） A 3 B26 C 36 D 333.设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ） A ．221+ B ． 231+ C ． 21+ D ．31+4.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )5.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ D ） A.22 B. 212- C. 22- D. 12-6.双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）AB C D7.设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 8．如图，1F 和2F 分别是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A 3B 5C 25D 13+9. 设1F 、2F 分别是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为c 3（c 为半焦距）的点，且P F F F 221=，则椭圆的离心率是（ ） A213- B 21 C 215- D 2210.设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D.33211.知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 213+ D. 13+四、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
求圆锥曲线的离心率的常用方法
求圆锥曲线的离心率的常用方法一、根据条件先求出a ，c ，利用e=c a 求解 例1 若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为( ) A .34 B .23 C .12 D .14解析：由F 1、F 2的坐标知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a ﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,所以离心率e=c a =12.故选C . 例2 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A. 32B. 62C. 32 D2 解析：由题设a =2，2c =6，则c =3，e =c a =32,因此选C 二、构建关于a ，c 的齐次等式求解例3 设双曲线x 2a 2﹣y 2b2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线L 过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.233解析：由已知，直线L 的方程为bx+ay -ab=0.由点到直线的距离公式，得 aba 2+b 2＝34c ，又c 2=a 2+b 2, ∴4ab=3c 2, 两边平方，得16a 2(c 2﹣a 2)=3c 4.两边同除以a 4，并整理，得 3e 4-16e 2+16=0.解得 e 2＝4或e 2＝43.又0<a<b ，∴e 2＝c 2a 2＝a 2+b 2a 2=1+b 2a 2>2，∴e 2＝4，∴e ＝2.故选A.例4 双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2＝120︒，则双曲线的离心率为（ ）（A ）3 （B ）62 （C ）63 （D ）33解析：如图2所示，不妨设M(0，b)，F 1(-c,0), F 2(c,0),则|MF 1|=|MF 2|=c 2+b 2.又|F 1F 2|＝2c ，在△F 1MF 2中， 由余弦定理，得cos ∠F 1MF 2＝|MF 1|2+|MF 2|2﹣|F 1F 2|22|MF 1|·|MF 2|,即(c 2+b 2)+(c 2+b 2)﹣4c 22c 2+b 2·c 2+b 2)＝cos 120︒＝﹣12，∴b 2﹣c 2b 2＋c 2＝﹣12， 图2∵b 2＝c 2﹣a 2，∴﹣a 22c 2﹣a 2＝﹣12，∴3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62.故选B. 例5 双曲线x 2a 2﹣y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.32解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线，∴a=b ，∴c=2a ，∴e ＝c a＝ 2.故选C. 三、根据曲线方程列出含参数的关系式，求e 的取值范围例6 设θ∈(0，π4)，则二次曲线x 2cot θ﹣y 2tan θ=1的离心率的取值范围为( ) A.(0，12) B.(12，22) C.(22，2) D.(2，+∞) 解析：由x 2cot θ﹣y 2tan θ=1，θ∈(0，π4)，得a 2＝tan θ，b 2= cot θ,∴c 2＝a 2+b 2＝tan θ+ cot θ,∴e 2＝c 2a 2＝tan θ+ cot θtan θ＝1+ cot 2θ,∵θ∈(0，π4)，∴cot 2θ>1,∴e 2>2，∴e >2.故选D. 四、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围例7 如图，已知梯形ABCD 中，｜AB ｜＝2｜CD ｜，点E 分有向线段AC →所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当23≤λ≤34时，求双曲线离心率e 的取值范围． 解析：以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立如图3所示的直角坐标系x Oy ，则CD ⊥y 轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D关于y 轴对称．依题意，记A(﹣c ，0)，C(c 2，h),E(x 0，y 0)，其中c =12｜AB ｜为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 x 0＝-c+λ·c 21+λ＝(λ-2)c 2(1+λ)，y 0＝λh 1+λ． 设双曲线的方程为x 2a 2﹣y 2b 2＝1，则离心率e =c a. 由点C 、E 在双曲线上，所以，将点C 的坐标代入双曲线方程得 c 24a 2﹣h 2b2＝1 ①， 将点E 的坐标代入双曲线方程得c 24a 2(λ﹣21+λ)2－(λ1+λ)2h 2b 2＝1 ②． 再将e =c a ①、②得 e 24﹣h 2b 2＝1，∴h 2b 2＝e 24﹣1 ③，e 24(λ﹣21+λ)2－(11+λ)2h 2b 2＝1 ④． 将③式代入④式，整理得 e 24（4－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－3e 2+2． 图3由题设23≤λ≤34得，23≤1－3e 2+2≤34．解得7≤e ≤10． 所以双曲线的离心率的取值范围为［7，10］．。
(完整版)圆锥曲线离心率范围四种题型
圆锥曲线离心率范围四种题型椭圆的离心率的范围是高考的要点，其主假如列出 a, b,c 的不等式， 从而求出离心率的范围。
此中列不等式是这类题目的要点，下边我们说以下不等式的几种方法。
一、依据圆锥曲线中所隐含的不等关系列式例 1：已知椭圆x 2y 2 1( ab 0) 的左右焦点分别是F 1 ( ,0), F 2 ( ,0)a 2b 2c c ，若椭圆上存在点 P （异于长轴的端点） ，使得 csin PF 1 F 2 a sin PF 2 F 1 ，则该椭圆的离心率的范围是 _________.c sin PF 2 F 1 PF 1 sin PF 2 F 1解： 由已知得 esin PF 1F 2 ， 由正弦定理得sinPF 1F 2aPF 2 PF 12a PF 2PF 22a 2因此 ePF 2，从而 a。
PF 2c又由于 a cPF 2 a c 且 0 e 1 ，解得离心率范围是 ( 21,1) 。
变式训练 1：设椭圆x 2y 2 1(ab 0) 的两焦点为 F 1 , F 2 ，若在其右准线上存在一a 2b 2点 P ，使得线段 PF 1 的中垂线过点 F 2 ，求椭圆离心率的范围。
变式训练 2：双曲线x 2y 2 1(a 0, b 0) 的两个焦点为 F 1 , F 2 ，若 P 为其上一点， a 2b 2且 PF 1 2 PF 2 ，则双曲线离心率的取值范围。
变式训练 3：双曲线x 2y 2 1(a 0, b 0) 的两个焦点为 F 1, F 2 ，若 P 为右支上一点，a 2b 2且PF 1 4 PF 2 ，则双曲线离心率的取值范围。
二、相关存在性问题求离心率例 2：设 P 是椭圆 x2y 2 1( a b 0) 上的一点， F 1, F 2 是椭圆的左右焦点，已知a 2b 2F 1 PF 2 60o ，求椭圆离心率的范围。
剖析：要想使得存在椭圆上的一点P ，知足F 1 PF 2 60o ，也就是要求当点 P 在椭圆上运动时， ( F 1PF 2 ) min 60o ,( F 1PF 2 )max 60o 即可。
求圆锥曲线离心率的几种方法
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a ba 2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
圆锥曲线离心率及范围问题
因为 MH
OF2 ，所以， OF2
MH
OM
MF2 , MH
ab c
，即 M
点纵坐标为
ab c
，
将M
点纵坐标带入圆的方程中可得
x2
a2b2 c2
b2
，解得 x
b2 c
,M
b2
c
,
ab c
，
将M
b4
点坐标带入双曲线中可得
a2c2
a2 c2
1，
化简得 b4 a4 a2c2 ， c2 a2 2 a4 a2c2 ， c2 3a2 ， e c 3 ，选 D. a
PF2 F1 60 ，则 C 的离心率为（
A．1 3 2
B． 2 3
） C． 3 1 2
D． 3 1
【答案】 3 1
【解析】设椭圆焦点在 x 轴上，则椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0.
因为 F2PF1 90 ， PF2F1 60 ， F1F2 2c ，所以 PF2 c ， PF1 3c
因为 MF1 3 MF2 ， M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知 MF1 MF2 2a ， 即 3 MF2 MF2 2a ， MF2 a 因为圆 x2 y2 b2 的半径为 b ， OM 是圆 x2 y2 b2 的半径，所以 OM b ， 因为 OM b, MF2 a,OF2 c, a2 b2 c2 ， 所以 OMF2 90 ，三角形 OMF2 是直角三角形，
设 F1 为椭圆右焦点， F2 为椭圆左焦点，则 PF1 PF2 2a ，所以 3 1 c 2a ，
所以 e c 2 2 3 1 3 1.故选 D. a 3 1 3 1 3 1
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。
例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。
解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。
变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。
解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。
因此，选C。
变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。
变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。
设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。
设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。
其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。
求圆锥曲线离心率的几种方法
关于椭圆离心率解法1:利用曲线范围则 F j P F 2P 即(X c)(x 仆 2 2得Xy0， c) y 22c2 a 2c 2 a 2b 2x2a b但由椭圆范围及 F 1PF 2知0由椭圆定义知 |PF i | |PF 2I 2a |PF i |2 |PF 2I 2 2|PF iH PF 2I 4a2设 P (x , y ),又知 F i ( c . 0), F 2(c , 0)，则F i P (X c ，y)， F 2 P(Xy)由 F i PF 290，知 F i P F 2P ， 将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得可得从而得 所以eb 2，即c 2e c—，且 ea 2恵、 ［亍，0c 2，且解法2： 利用二次方程有实根2设椭圆笃 a 2占1 椭圆上存在点P,使(a b 0)的左、右焦点分别为 F i 、F 2，如果F 1PF 290 ，求离心率e 的取值范围。
902 2X a 2 22 2a c ab 2 72又由 F j PF ? 90，知 2 |PF 1| 则可得 这样， 2 2 2 |P F 2I IF 1F 2I 4c |P F 1IIPF 2I 2(a 2 c 2) |PF 1|与|PF 2|是方程u 22au 2(a 2 c 2)0的两个实根，因此c 2) 0 24a 2 8(a 2 2c ~2a 昱2，1)解法3:利用三角函数有界性 记 P F 1 F 2 PF 2F 1，由正弦定理有|P F i | IPF 2I IF 1F 2Isin sin sin 90|P F 1| |P F2|IF 1F 2Isin sin又|PF 1I |PF 2I 2a ，IF 1F 2Icsin1 si n 2c ,则有 190 45cos ------ 12从而可得—— e 122 sin ----- c os —2 272 cos —2解法4:利用焦半径 由焦半径公式得 | PF i | a ex , | PF 2I a ex 又由 |P F 112 |P F 2|2 | F 1 F 2 |2，所以有 a 2cx e x a 2cx e x 4c c 222c a2e且x a ，则知0即a 2 e 2x 2 2c 2， x 2 又点P (x ，y )在椭圆上,x 2 a 2，即o2c 2 a 2 20 ---- 2——ae42得e ["2-，1)解法5:利用基本不等式 由椭圆定义，有2a |PF 1||P F 2I 平方后得4a 2 | PF i l 2 |PF 2I 2 2|PF i ll PF 2I 2(|PF i |2 |PF 2|2) 2|F i F 2I 2 8c 21421所以有e ［牙，1)解法6：巧用图形的几何特性 由 F 1PF 2 90 ，知点P 在以|F 1F 2| 2c 为直径的圆上。
2023年新高考数学大一轮复习专题28 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型(原卷版)
专题28 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型【考点预测】 求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系． 二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 【题型归纳目录】题型一：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式 题型二：圆锥曲线第一定义 题型三：圆锥曲线第二定义题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积） 题型五：利用数形结合求解 题型六：利用正弦定理 题型七：利用余弦定理 题型八：内切圆问题 题型九：椭圆与双曲线共焦点题型十：利用最大顶角θ 题型十一：基本不等式 题型十二：已知12PF PF ⋅范围 题型十三：12=PF PF λ 题型十四：中点弦题型十五：已知焦点三角形两底角 题型十六：利用渐近线的斜率 题型十七：坐标法题型十八：利用焦半径的取值范围 题型十九：四心问题 【典例例题】题型一：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且2BF AF =，则双曲线C 的离心率是________．例2．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F 且不与x 轴垂直的直线交C 的右支于A ，B 两点，若1AF AB ⊥，且12AB AF =，则C 的离心率为（ ）AB ．1CD ．1例3．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作直线l 与C 的左、右两支分别交于,M N 两点，且2MNF 是以2MNF ∠为顶角的等腰直角三角形，若C 的离心率为e ，则2e =（ ）A．533B ．5+C ．5+D ．5+例4．（2022·甘肃·瓜州一中高三期中（文））若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ）A B C D例5．（2022·江西·高三开学考试（文））设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则C 的离心率为（ ）A B ．12C D题型二：圆锥曲线第一定义例6．（2022·重庆八中高三开学考试（理））设椭圆E :2222x y a b+=1(a >b >0)的一个焦点为F (c ,0)(c >0),点A (﹣c ,c )为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ,使得|P A |+|PF |=9c ,则椭圆E 的离心率取值范围为（ ） A ．[12,1)B ．[13,12]C ．[12,23]D ．[15,14]例7．（2022·浙江·高三开学考试）已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左､右焦点，过1F 的直线与C 交于,P Q 两点，若12125PF PF FQ ==，则C 的离心率是（ ）A B C D例8．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线222:1y C x b-=的左､右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且12F P F P ⊥，若12PF F △的面积为4，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2 C ．3 D例9．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左焦点为(,0)F c -， 点P 在双曲线C 的右支上， (0,4)A ．若 ||||PA PF +的最小值是 9 ， 则双曲线C 的离心率是_____．例10．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 有一个交点P ，设12PF F △的面积为S ，若()21212PF PF S +=，则双曲线C 的离心率为（ ）A．2 B C D ．题型三：圆锥曲线第二定义例11．（2022·全国·高三专题练习（文））古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.则15=表示的圆锥曲线的离心率e 等于（ ） A ．15B ．45C ．54D ．5例12．（2022·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为12F F ，P 为左支上一点，P 到左准线的距离为d ，若d 、1||PF 、2||PF 成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）A．)+∞ B ．(1C ．[1)+∞D ．(1，1例13．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线交C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（ ） A ．58B ．65C ．75D ．95例14．（2022·四川遂宁·二模（理））已知双曲线22221x y a b -=（0,0a b >> ）的离心率为4，过右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ，若10MN =，则HF =（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20例15．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：22x a －22y b＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为C 于A 、B 两点，若5AF FB =，则C 的离心率为( )A ．43B ．53C ．2D ．85题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），点A ，B 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P ，使1,03AP BP k k ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率e 的取值范围是______．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知点A 、B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴顶点，P 为椭圆上一点，若直线P A ，PB 的斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．12⎛ ⎝⎭B ．2⎝⎭C ．41⎛ ⎝⎭D ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭例18．（2022·全国·高三专题练习（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A B C ．12D ．13例19．（2022·湖南郴州·高二期末）双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右顶点为,A B ，过原点的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，若,AM AN 的斜率满足2AM AN k k ⋅=，则双曲线C 的离心率为_________．例20．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率为1k ，2k ，若128k k ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．3例21．（2022·全国·高二课时练习）已知A ，B ，P 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上不同的三点，且点A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D题型五：利用数形结合求解例22．（2022·广西·模拟预测（文））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，从2F 发出的光线经过图2中的,A B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且12tan 5CAB ∠=-，2||?BD AD BD =，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．65B C D ．3例23．（2022·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（ ）ABCD例24．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））已知双曲线22221x y C a b-=：（0a >，0b >）的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若215430HP HF HF ++=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6例25．（2022·全国·二模（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与椭圆22143x y +=．过椭圆上一点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC D例26．（2022·全国·模拟预测（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线l 交双曲线C 于P ，Q 两点且使得()2201PF F Q λλ=<<．A 为左支上一点且满足120F A F P +=，1222133F F AFAQ =+，2AF P △的面积为2b ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC D例27．（2022·山东潍坊·三模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右顶点分别是1A ，2A ，圆222x y a +=与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线1A M 交C 的右支于点P ，若△2MPA 是等腰三角形，且2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为（ ）A ．2 BC D例28．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △2，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（ ） AB ．2C ．2+D ．5+题型六：利用正弦定理例29．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F ，则椭圆E 的离心率为（ ）A B CD例30．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F 作倾斜角分别为6π和3π的两条直线1l ，2l ．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A B 1C D例31．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率e 的取值范围是______．例32．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F 作倾斜角分别为6π和3π的两条直线1l ，2l ．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A B 1C D题型七：利用余弦定理例33．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B 2C D ．13例34．（2022·河北廊坊·高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P为C 上一点，且127cos 9F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________.例35．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B C D ．13例36．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左、右焦点，过1F的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △2，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（ ） AB ．2C ．2+D ．5+例37．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ）A ．3BCD ．2题型八：内切圆问题例38．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线上一点，且22()0OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），若12PF F △内切圆的半径为2a，则C 的离心率是（ ）A 1BCD 1例39．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF 的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（ ）A B ．23C D ．12例40．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知12,F F 是椭圆221(1)1x y m m m +=>-的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若12AF F △ ）A 1B ．12C D 1例41．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线C ：()222104x y a a -=>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设1PF 与双曲线的左支交于点Q ，2PQF 的内切圆与2QF 相切于点M .若4QM =，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2D例42．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M 为右支上一点，2112120,MF F MF F ∠=︒的内切圆圆心为Q ，直线MQ 交x 轴于点N ，||2||MQ QN =，则双曲线的离心率为（ ） A．54B ．43C D例43．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（文））已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，12F F P 是y 轴正半轴上一点，线段1PF 交双曲线左支于点A ，若21AF PF ⊥，且2APF 的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是（ ）A B C D例44．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>一点（点P 在第一象限），点12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，12PF F △的内切圆的半径为1．圆心为点I ，若123,4F O F I I π∠== ）AB C D例45．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b ab-=>>的左，右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于点,A B ，点T 在x 轴上，满足23BT AF =，且2BF 经过1BFT 的内切圆圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2C D题型九：椭圆与双曲线共焦点例46．（2022·甘肃省民乐县第一中学三模（理））设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（ ）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦例47．（2022·重庆·模拟预测）如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1与C 2在第二､四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则8e 1+e 2的最小值为（ ）A ．6+2B ．C D例48．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e ，2e ，且满足21e =，1F ，2F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF ∠=︒，则双曲线2C 的离心率为（ ）AB C ．2 D例49．（2022·河南郑州·一模（文））已知12,F F 知是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是12,C C 在第二象限的公共点.若12AF AF ⊥，则双曲线2C 的离心率为（ ）A ．65B C D例50．（2022·河南郑州·一模（理））已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C．D ．8例51．（2022·江西·模拟预测（理））已知12,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的公共点，且1212,,3F PF e e π∠=的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例52．（2022·云南·一模（理））已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1212e e 的最大值为（ ） A ．32BCD ．1例53．（2022·甘肃白银·模拟预测（理））已知1F ，2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是1C ，2C 在第二象限的公共点.若12AF AF ⊥，则2C 的离心率为 A ．45BCD例54．（2022·山东日照·二模）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则221213e e +的值为（ ） A ．1 B ．2512C ．4D ．16例55．（2022·陕西省榆林中学三模（理））椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们在第一象限的交点为P ，设122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+= C ．2212221cos sin e e θθ+=D ．2212221sin cos e e θθ+=题型十：利用最大顶角θ例56．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦例57．（2022·全国·高二专题练习）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．1)C ．D ．例58．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点P 是C 上任意一点，若圆222:O x y b +=上存在点M 、N ，使得120MPN ∠=︒，则C 的离心率的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭例59．（2022·全国·高三专题练习）设1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆外存在点P 使得120PF PF ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围______．例60．（2022·北京丰台二中高三阶段练习）已知1F ，2F 分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点P 使得122F PF θ∠=（02πθ<<，θ是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.例61．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P 使得122π3F PF ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是________．题型十一：基本不等式例62．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B关于原点对你，且满足0FA FB ⋅=，FB FA ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1⎤⎥⎣⎦C ．)1,1D ．⎣⎦例63．（2022·江苏南京·高三阶段练习）设1F 、2F 分别是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，M是椭圆E 准线上一点，12F MF ∠的最大值为60°，则椭圆E 的离心率为（ ）A 2B C 2D例64．（2022·山西运城·高三期末（理））已知点A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点，O 为坐标原点，过椭圆的右焦点F 作垂直于x 轴的直线l ，若直线l 上存在点P 满足30APO ∠=︒，则椭圆离心率的最大值______________.例65．（2022·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．例66．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点为A 、B ，若该双曲线上存在点P ，使得直线PA 、PB 的斜率之和为1，则该双曲线离心率的取值范围为__________．题型十二：已知12PF PF ⋅范围例67．（2022·四川省南充市白塔中学高三开学考试（理））已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，A 为右顶点，B 为上顶点，若在线段AB 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得2123i i c PF PF ⋅=-，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭例68．（2022·全国·高二专题练习）已知1()0F c -，，2(0)F c ，是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A． B． C．1D．1)例69．（2022·全国·高三开学考试（理））设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点，若椭圆E 上存在点P 满足2122a PF PF ⋅=，则椭圆E 离心率的取值范围（ ）A．12⎛ ⎝⎭B．12⎡⎢⎣⎦ C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦例70．（2022·四川·高二期末（文））设1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使得2122c PF PF ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为（ ）A．2⎣⎦B．⎣⎦ C．⎣⎦ D．⎣⎦例71．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二阶段练习）已知()1,0F c -、()2,0F c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P 使得2123PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是______．题型十三：12=PF PF λ例72．（2022·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆C 上存在一点P ，使得2112sin sin PF F cPF F a∠=∠，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．⎛ ⎝⎭B．()1C．)1,1D．⎫⎪⎪⎝⎭例73．（2022·浙江湖州·高二期中）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该离心率e 的取值范围是（ ） A．)1,1 B．⎫⎪⎪⎣⎭C．(1⎤⎦D．⎛ ⎝⎦例74．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭题型十四：中点弦例75．（2022·全国·高三开学考试（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与斜率为1的直线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(4,1)，则C 的离心率e =（ ） ABCD例76．（2022·福建·晋江市第一中学高三阶段练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12l l ∕∕，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN为矩形，且面积为 ） A ．13B ．23CD例77．（2022·全国·高三开学考试（理））以原点为对称中心的椭圆12,C C 焦点分别在x 轴，y 轴，离心率分别为12,e e ，直线l 交12,C C 所得的弦中点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，若121220x x y y =≠，221221e e -=，则直线l 的斜率为( ) A ．±1 B．C ．2± D．±例78．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为60︒的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若3FM OF =（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D ．2例79．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F F的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（ ） A ．14-B ．34-C ．12-D ．1例80．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的焦点且斜率不为0的直线交C 于A ，B 两点，D 为AB 中点，若12AB OD k k ⋅=，则C 的离心率为（ ）A B ．2 CD例81．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的中心在坐标原点，其中一个焦点为()2,0F -，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的离心率为( )AB CD例82．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过1F 的直线l 交双曲线C 的渐近线于A ，B 两点，若22F A F B =，1212285AF F BF F S S c +=△△（12AF F S表示12AF F △的面积），则双曲线C 的离心率的值为（ ）AB C D例83．（2022·全国·高三专题练习）设直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，直线l 与直线OM （O 是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3 CD题型十五：已知焦点三角形两底角例84．（2022·广西·江南中学高二阶段练习（文））已知1F ，2F 分别是椭圆D ：()222210x y a b a b +=>>的左右两个焦点，若在D 上存在点P 使1290F PF ∠=︒，且满足12212PF F PF F ∠=∠，则椭圆的离心率为（ ） AB1CD例85．（多选题）（2022·湖南·高二期末）已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线上存在点P （点P 不与左、右顶点重合），使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线C 的离心率的可能取值为 （ ） ABCD ．2例86．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M为双曲线右支上的一点，若M 在以12F F 为直径的圆上，且215,312MF F ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A．(B．)+∞C．()1D．1⎤⎦例87．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知1F 、2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为原点，双曲线上的点P 满足OP b =，且1221sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则该双曲线C 的离心率为（ ） AB2C ．2 D例88．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(01) B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D ．1,1)题型十六：利用渐近线的斜率例89．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P 是双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线上一点，F 是双曲线的右焦点，若|PF |的最小值为2a ，则该双曲线的离心率为（ ）AB CD例90．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））定义：双曲线22221x y a b-=为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的“伴随曲线”.已知点2-⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的伴随曲线的渐近线方程为12y x =±，则椭圆C 的离心率为（ ）A B 2C ．12D ．3例91．（2022·天津市新华中学模拟预测）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>，抛物线22:2(0)C y px p =>的准线经过1C 的焦点且与1C 交,A B 两点，8AB =，若抛物线2C 的焦点到1C 的渐近线的距离为2，则双曲线1C 的离心率是（ ）A BCD例92．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知椭圆()222104x y b b +=>与双曲线()22210x y a a-=>有公共的焦点，F 为右焦点，O 为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于P 点，且点P 在第一象限，若OP FP ⊥，则椭圆的离心率等于（ ）A ．12B C D例93．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知点1F 和2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，过点1F 作双曲线C 的渐近线的垂线，垂足为H ，且213F H F H =，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C D例94．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（文））已知双曲线22122:1y x C a b-=及双曲线()22222:10,0x y C a b b a-=>>，且1C ()0y kx k =>与双曲线1C 、2C 都无交点，则k 的值是（ ）A ．2B ．12C D ．1例95．（2022·江西·二模（文））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为(),0F c -，点P 在圆F '：2220x y cx +-=上，若C 的一条渐近线恰为线段FP 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D例96．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上顶点为P ，3OQ OP=（O 为坐标原点），若在双曲线的渐近线上存在点M ，使得90PMQ ∠=︒，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．⎫+∞⎪⎣⎭例97．（2022·新疆·二模（理））如图．已知椭圆221:110x C y +=，双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若以椭圆1C 的长轴为直径的圆与双曲线2C 的一条渐近线交于A ，B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线2C 的离心率为（ ）A ．3BC ．2 D题型十七：坐标法例98．（2022·全国·高三专题练习）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上.当BF AF ⊥时，AF BF =.求双曲线C 的离心率.例99．（2022·全国·高三专题练习）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，A 是其左顶点.若双曲线上存在点P 满足1232PA PF PF =+，则该双曲线的离心率为___________.例100．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，P 为C 右支上一点，P 与x 轴切于点F ，与y 轴交于A ，B 两点，若APB △为直角三角形，则C 的离心率为______.例101．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为1212,,4F F F F =，若线段()4028x y x -+=-≤≤上存在点M ，使得线段2MF 与E 的一条渐近线的交点N 满足：2214F N F M =，则E 的离心率的取值范围是___________.例102．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，直线3a x =与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为原点，若三角形AOB 是等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ） ABCD例103．（2022·河南洛阳·三模（文））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为M ，12F MF ∠的平分线与y 轴交于点P ，若四边形12MF PF2，则椭圆的离心率e =___________.题型十八：利用焦半径的取值范围例104．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左､右焦点分别为1212,,2F F F F c =.若双曲线M 的右支上存在点P ，使12213sin sin a cPF F PF F =∠∠，则双曲线M 的离心率的取值范围为___________.例105．（2022·吉林长春·二模（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．5,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例106．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2(0)c c >，左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 在C 的右支上，且21c PF a PF =，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．)+∞C ．(1,1D ．)1⎡+∞⎣例107．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．例108．（2022·河南·信阳高中高三期末（文））若椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上存在一点P ，使得128PF PF =，其中12,F F 分别C 是的左、右焦点，则C 的离心率的取值范围为______.例109．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭题型十九：四心问题例110．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>）的左､右焦点分别为()1,0F c -和()212,0,,b F c M x c ⎛⎫⎪⎝⎭为C 上一点，且12MF F △的内心为()2,1I x ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B ．25C ．12D ．35例111．（2022·河北衡水·高三阶段练习（理））已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1x C y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．3CD ．5例112．（2022·江苏·高二单元测试）设(),0F c 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心，b 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，线段FP 的中点为D ，∆POF 的外心为I ，且满足()0OD OI λλ=≠，则双曲线E 的离心率为（ ）AB C ．2 D例113．（2022·江西南昌·三模（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P是双曲线右支上一点，且212PF F F ⊥，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4例114．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知双曲线222:1(0)2x y C a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P为C 右支上一点，若12PF F △的重心为11,33G ⎛⎫⎪⎝⎭，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．3例115．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为( )A ．12B C D例116．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在第一象限内，2PF a =，G 为12PF F △重心，且满足11112GF F P GF F F ⋅=⋅，线段2PF 交椭圆C 于点M ，若24F M MP =，则椭圆C 的离心率为（ ）。
求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路
求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路
圆锥曲线的离心率是一个非负实数，表示椭圆或双曲线在长轴与短轴之间的偏离程度。
下面是三种思路来求解圆锥曲线离心率范围的问题：
1. 几何定义法：
根据圆锥曲线的定义，可以通过几何性质来求解其离心率范围。
对于椭圆，其离心率范围是0到1，即0≤e<1；对于双曲线，其离心率范围大于1，即e>1。
这种方法是直观和简单的，适用于初步了解圆锥曲线的性质。
2. 参数方程法：
圆锥曲线可以用参数方程表示，形式为x=f(t)，y=g(t)，其中
t是参数。
通过参数方程可以计算圆锥曲线上的点与焦点的距离，并据此确定离心率的范围。
具体步骤是：首先计算离焦点的距离d1，再计算离顶点的距离d2，最后求取d1/d2的范围。
如果d1/d2 < 1，则表示点离焦点的距离小于离顶点的距离，
即离心率小于1；如果d1/d2 > 1，则表示点离焦点的距离大于
离顶点的距离，即离心率大于1。
3. 方程法：
对于标准的圆锥曲线方程，可以通过方程进行计算来求解离
心率的范围。
以椭圆为例，标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
根据离心率的定义，可以推导出离心率e与半长轴a和半短轴b之间的关系，即e
= √(a^2 - b^2)/a。
根据这个公式，可以计算出离心率e的范围。
综上所述，这是三种常见的思路用来求解圆锥曲线离心率范围的问题。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和所给的条件。
求圆锥曲线的离心率的值或取值范围问题第一中学【高考】数学
b tan 60 3,e 1 ( b )2 2
a
a
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
小结：从以上例题的求解过程，我们可以体会到求圆锥曲 线的离心率或取值范围，解题的关键是将问题中的几何条件 用坐标表示或转化为代数条件，然后构造方程或不等式求解 ，这是平面解析几何的基本思想。在求解圆锥曲线离心率的 值或取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立等量 关系或不等关系，记住一些常见结论、不等关系。当然，这 类问题的题型不止今天讲的这几种，还有其他的，我今天讲 这几道例题只是起一个抛砖引玉的作用，希望同学们在今后 做题时不断总结归纳，选择简便的方法解题，尤其注意数形 结合的数学思想在解题中的应用。
∵ 的值，再求2出离心率；
∴
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
a a a 圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
2 e 5 ∴ ，故选 B. 圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
2 2
y2 b2
1(a
0,b
0)右支上
任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，e是双曲线
的离心率，则PF1 ex0 a c a, PF2 ex0 a c a.
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
B
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
B
16.每一个人要有做一代豪杰的雄心斗志!应当做个开创一代的人。 ④20世纪90年代以来，“新经济”、互联网经济不断发展； 18、人少言寡语不一定大智大勇，谈笑风生不一定是不严肃。 导读：本文是关于名人名言励志语录的文章，如果觉得很不错，欢迎点评和分享！ 31、痛过之后就不会觉得痛了，有的只会是一颗冷漠的心。
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1经典的，不会那么容易过时-------------
1
关于椭圆离心率
设椭圆x a y b
a b 222
210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果
椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围
设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则
F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 121212122222
9000→
→
→
→
→
→
=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，
则，
即得
将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得
x a c a b a b F PF x a
a c a
b a b
a 2
222222
1222
2222
222
9000=
--∠=︒
≤<≤--<但由椭圆范围及知即
可得，即，且从而得，且所以，）
c b c a c c a e c a e c a e 2222222
2212
2
1≥≥-<=
≥=<∈[
解法2：利用二次方程有实根
2经典的，不会那么容易过时-------------
2
由椭圆定义知
||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=
又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此
∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()
||||()
∆=--≥⇒=≥
⇒≥
4801
22
2
2222
22a a c e c a e ()
因此，e ∈[
)2
2
1 解法3：利用三角函数有界性
记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有
||sin ||sin ||
sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos
PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222
122
βααβ
αβαβαβαβ
==
︒⇒++=+====+=+-=
-又，，则有
3经典的，不会那么容易过时-------------
3
而知从而可得09002
45222
12
2
1
≤-<︒≤
-<︒<-≤≤<||||
cos αβαβαβ
e
解法4：利用焦半径 由焦半径公式得
||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 1212221222222222
2
2
2
2
2
22
2
22224220=+=-+=+++-+=+==
-≠±≤<，又由，所以有
即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即
022
2
1222
2≤-<∈c a e a
e 得，）
[
解法5：利用基本不等式
由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得
42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||
4经典的，不会那么容易过时-------------
4
得c a
2212≥ 所以有，）e ∈[2
21 解法6：巧用图形的几何特性
由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有c b c b a c ≥⇒≥=-2222
由此可得，）e ∈[
2
2
1 演练
一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。
在椭圆中，a c
e =，222
22221a
b a b a a
c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于_____
2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为
_____
3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为____
5经典的，不会那么容易过时-------------
5
4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为___
5.若椭圆)0(,122
22>>=+b a b
y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则
椭圆的离心率为=
e ___
6..已知
)0.0(12
1>>=+n m n
m 则当mn 取得最小值时，椭圆122
22=+n y m x 的的离心率为____
7.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交
点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围
是_________
8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为___________
是椭圆22a x +22
b
y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知
,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e _____
10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若
75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为
_______
11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为_______
6经典的，不会那么容易过时-------------
6
二、构造a c ，的齐次式，解出e
1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
____
2．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是_____
3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是_____
4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆
于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_____ 5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是
_____
三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。
1．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
_______
2．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
9021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为
_______
3．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
6021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为
______
7经典的，不会那么容易过时-------------
7
4．设椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一
点Q ，使∠F 1QF 2=120º，椭圆离心率e 的取值范围为
_______
5．在ABC △中，AB BC =，7
cos 18
B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点
C ，则该椭圆的离心率e =
____
6．设12F F ，分别是椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，若
在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率
的取值范围是
______-。