有理系数多项式可归结为整系26页PPT

第九节有理系数多项式

f (x) 的一阶导数； f (x) 的导数 f (x) 称为 f (x) 的二阶导数；等等. f (x) 的 k 阶导数记为 f (k)(x) .
§1.6 重因式
多项式导数的基本公式： ( f (x) + g(x) ) = f (x) + g (x) , (c f (x) ) = c f (x) , ( f (x) g(x) ) = f (x) g(x) + f (x) g(x) , 可推广 ( f m (x) ) = m ( f m -1(x) f (x) ) . 可推广
如果 f (x) 的标准分解式为
r2 f ( x) cp1r1 ( x) p2 ( x) psrs ( x)，
§1.6 重因式
那么 p1(x) , p2(x) , … , ps(x) 分别是 f (x) 的 r1 重，
r2 重 , … , rs 重因式. 指数 ri = 1 的那些不可约因式
因此
从而
p (x) | ( kg(x) p(x) + p (x) g(x) ) ，
pk (x) | f (x)，证毕
§1.6 重因式
所以 p (x) 是 f (x) 的 k - 1 重因式.
推论 1 如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式(k 1)，那么 p(x) 是 f (x) , f (x) , … , f (k-1)(x) 的因式，但不是 f (k)(x) 的因式. 证明根据定理1 对 k 作数学归纳法即得. 证毕
高等代数
第一章多项式 Polynomial
第六节重因式
§1.6 重因式
一、重因式的概念
定义 1 不可约多项式 p(x) 称为多项式 f (x) 的 k 重因式，如果 pk(x) | f (x) , 但 pk+1(x) | f (x) . 如果 k = 0 , 那么 p(x) 不是 f (x) 的因式；如果 k = 1 , 那么 p(x) 称为 f (x) 的单因式；如果k > 1 ,那么 p(x) 称为 f (x) 的重因式.

复系数,实系数,有理系数多项式

任意一个有理系数多项式总可转化为整系数多项式．
介绍一类重要的整系数多项式：介绍一类重要的
1、本原多项式
设 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0 是一有理系数多项式. 选取适当的整数 c 乘 f (x) ，总可以使 c f (x) 是一整系数多项式. 如果 c f (x) 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到 c f (x) = d g(x) ，也即
f (α ) = anα n + an-1α n-1 + … + α0 = 0 .
定理 4.6 （实系数多项式因式分解定理）每个次数≥1 的实系数多项式 f (x) 在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.
证明定理对一次多项式显然成立.
假设定理对次数 < n 的多项式结论成立. 则当 f (x) 是 n 次实系数多项式时, 由代数基本定理, f (x) 在复数域内一定有一根 α . 如果 α 是实数，那么数域内 f (x) = (x - α ) f1(x) , 其中 f1(x) 是 n - 1 次实系数多项式.
多项式. 由归纳法假设， f1(x) 或 f2(x) 可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积，因此，实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.
证毕
实系数多项式的标准分解式
f ( x) = an ( x − c1 )
l1
( x − cs ) ( x + p1 x + q1 )
2 例如，方程 x − 2 = 0 在有理数域上没有根，但在实数域上有根： x = ± 2.
2 又如，方程 x + 1 在实数域上没有根，但是，在复数域上有根：

高代第一章第9节

令f ( x ) af1 ( x ), g( x ) rg1 ( x ), h( x ) sh1 ( x ), 其中f1 ( x ), g1 ( x ), h1 ( x )均为本原多项式, a是整数,r , s为有理数. 于是有
af1 ( x) rsg1 ( x)h1 ( x)
rs a
有理系数多项式在有理数域上的因式分解
整系数多项式在有理数域上的因式分解
整系数多项式在整数环中的因式分解
8
推论设 f ( x ), g( x )是整系数多项式, 且g( x )是本原的, 若f ( x ) g( x )h( x ), 其中h( x )是有理系数多项式, 那么h( x )一定是整系数多项式.
n m
a0 b0
d0
d n m 1 x
n m 1

dk
r sk
ab,
r s
k 0,1, 2,
,n m
如果h(x)不是本原多项式, 那么必有素数 p能整除
4
h(x)的所有系数. 即有素数 p,使 p | dk , k 0,1, 2, , n m
但f ( x)的有理根只能是 1. 而 f (1) 0, 所以f ( x)没有有理根. 与上述结论矛盾. 故 f ( x )在有理数域上不可约.
22
三、整系数多项式不可约的判别法
定理13 (艾森斯坦因(Eisenstein)判别法)设 f ( x ) a n x a n 1 x
因此h( x ) rh1 ( x)是整系数多项式.
9
二、有理数域上多项式的有理根及其求法
定理12 设 f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a0 r 是一个整系数多项式, 如果是它的有理根,其中r , s s互素, 那么必有 (1) s | an , r | a0 . 特别地, 若an 1, 则 f ( x )的有理根均为整数, 且为a0的因子. r (2) f ( x ) ( x )q( x ), 这里q( x )是一个整系数多 s 项式.

9第一章第九节有理系数多项式

l
并且 k < n , l < n , k + l = n , 由此得到
a0 b0 c0 .
因为 a 0 被p整除,而p是一个素数, 所以b 或c 被p 整除. 0 0 但 a 0不能被 p 2整除, 所以 b0与c0不能同时被p整除.
第一章多项式
不妨假定 b0 被p 整除而
c0 不被p整除. g (x)的系数
第一章多项式
f ( x) a0 a1 x ai x a m x , j n g ( x) b0 b1 x b j x bn x ,
i m
c0 , c1 ,cm n .
由于f (x)和g (x)都是本原多项式,所以p不能整除f (x)
那么多项式f (x)在有理数域上不可约.
第一章多项式
证若是多项式f (x)在有理数域上可约,那么f (x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积:
f ( x ) g ( x ) h( x )
这里
g ( x) b0 b1 x bk x ,
k
h( x) c0 c1 x cl x ,
的有理根. 这个多项式的最高次项系数3的因数 1,3,是常数项
1 2 – 2的因数 1,2是所以可能的有理根是 1,2, , . . 3 3 我们算出 f (1) 12, f (1) 8.所以1与– 1都不是f (x)
的根.另一方面,由于
8 8 12 , , 2 2 1 2 1 1 3 3
比较系数,得 a0 rb0 , an sbn1 , 这就是说 r整除a0而s整除an . 另一方面,比较(2)和(3), 得 q( x) sq1 ( x),所以q (x)也是一个整系数多项式.

高等代数第三版§19 有理系数多项式

有关性质
1． f ( x ) Q[ x ], r Q , 使 f ( x ) rg ( x ),
其中 g ( x )为本原多项式．
（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． 2．Gauss引理定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
n n1 f ( x ) a x a x 证：设 n n1
d i j ai b j ai 1b j 1
在这里 p | d i j , p | ai b j , p | ai 1b j 1 , 故 h( x )是本原的．
矛盾．
二、整系数多项式的因式分解
定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两
个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解
sx r 本原．由上推论，有又 r , s 互素，
f ( x ) ( sx r )(bn1 x n1
a1 x a0
r 是一个整系数多项式，而 s 是它的一个有理根，
其中 r , s 是互素的，则必有
s | an , r | a0 .
r 是 f ( x ) 的有理根，证： s r ∴ 在有理数域上， ( x ) | f ( x ) , s 从而 ( sx r ) | f ( x ).
n n1 事实上，设 f ( x ) an x an1 x
a0 ,
则可选取适当整数 c , 使 cf ( x ) 为整系数多项式．若 cf ( x ) 的各项系数有公因子，就可以提出来，得 d cf ( x ) dg( x ), 也即 f ( x ) g( x ), c 其中 g ( x ) 是整系数多项式，且各项系数没有异于 1 的公因子．
a0 , b0

高等代数第二版课件§1[1].9_有理系数多项式

② v an , u a0
第一章
多项式
由定理1.9.3，要求整系数多项式 f x 的有理根，只要求出最高次项系数的因数 v1 , v2 ,, vk 以及常数项 ui 这样的 a0 的因数 u1, u2 ,, ut 。然后对形如 vj 有理数用综合除法来检验，如果最高次系数为1，则整系数多项式f的有理根只能是整根。
第一章
多项式
二、整系数多项式的有理根定理1.9.3：设
f x an xn an1xn1 a0 ,
是一个整系数多项式，若有理数 u v 是整系数多项式 f x 的一个根，这里u，v是互素的整数，则
u ① f x x q x , q x Z x , v
第一章多项式
引理（高斯定理）：两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。
第一章
多项式
问题： C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判别法回答了这个问题。定理1.9.2（Eisenstein判别法）：
f x 2x4 5x3 7 x2 7 x 1 的有理根。例1.9.3：求
解：2的因数是1, 2, 1的因数是 1,
1 故 f x 可能的有理根只能是 1, 2 1 对1, 用综合除法逐一检验知：
f x 的有理根只能是 1 2 。
第一章多项式
§9
有理系数多项式
本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如何求Q上多项式的有理根，由于 f x 与 cf x 在 Q x 上的可约性相同。因此讨论 f x 在Q上的可约

1.9 有理系数多项式

r { |s 是首项系数 an 的因数，r 是常数项 a0 的因数}. s
有理根在该集合内，但该集合内的数不一定都是 f ( x ) 的有理根. 例1 求方程 2 x4 x3 2 x 3 0 的有理根.
1 3 ，解：该方程可能的有理根为 1， 3，，用综合除法或直接代入 2 2 验证可知该方程仅有有理根 x = 1 .
例1 证明 f ( x) x3 5x 1在有理数域上不可约. 证明：若 f ( x) 在有理数域上可约，至少有一个一次因式，即有一个有理根，但其有理根只能是 1 ，直接验证可知 1 均不是其根，所以 f ( x) 在有理数域上不可约. 三艾森斯坦因（E isen stein ）判别法 7 (定理 13) 设 f ( x) an xn an1xn1 a0 是整系数多项式，若存在一个素数 p ，使得 1. p|an ； 2. p|an1, an2 , , a0 ； 3. p 2 |a0
考察 h( x) 的系数 di j a0bi j ai 1bj 1 aibj ai 1bj 1 ai j b0 ，
p是素数因 p|di j , a0 , , ai 1, b0 , , bj 1 ，故 p|aib j p|ai 或 p|b j ，
不一定满足 E ei senst n 条件，或说不满足 E ei ai senst n 条件的多项式也 ai 可能是不可约的（如 x 2 1是不可约多项式，但不满足此条件）. 有时，不能用 E ei senst n 条件直接判定， ai 但将 f ( x) 变形后则可
以使用此条件.
命题： f ( x ) 中令 x y a(a Z ) 得 g ( y) f ( y a) f ( x), g ( y) 在 Q 上同时可约或不可约 . 证明：仅证 g ( y ) 不可约 f ( x) 不可约 . 假定 f ( x ) 在 Q 上可约，即

线性代数下有理系数多项式

p r2 2
(
x
)
prs s
(
x
)
中:
n
p r1 1
pr2 2

p rs s
4、 [x]中的因式分解：
完全分解为一次项 f ( x) c( x c1 )r1 ( x c2 )r2 ( x cs )rs
韦达公式
,⋯,
, 其中 k=1,2,···,n
5、 [x]中的因式分解：
实根孤独虚根成对 f ( x) c( x c1 )r1 ( x c2 )r2 ( x ck )rk
分解为1、2次项
( x2 p1x q1 )m1 ( x2 pl x ql )ml
本讲提要
有理系数多项式 & 线性映射复习
一、 [x]与 [x], 及Gauss引理二、整系数多项式的有理零点三、Eisenstein判则四、复习：线性映射与矩阵
《线性代数2》
杨晶
2012年 3月5日
第三讲
有理系数多项式 & 线性映射复习
1
上
特性
整数环
讲乘法交换(交换环)
√
乘法消去律(无零因子)
√
复可比大小(全序关系)
数值
习带余除法(欧氏环)
√
整除关系+可约性
√，素数合数
公约数
最大公因子,最小公倍数
唯一分解定理(UFD)
√
1、最大公因式:
公因式+最大条件， d(x)=gcd(f(x),g(x))
5
更具体地，有以下两个Claims:
Claim 1：ℚ[x]中多项式总可写为一个有理数及一个本原多项的乘积, 即 f ( x) rf1( x) (r , f1 [x] primitive)

(完整版)有理系数多项式

§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整(数）系数多项式的因式分解问题,并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题。

第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式。

一、有理系数多项式的有理根1．有理系数多项式与整系数多项式设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个有理系数多项式。

选取适当的整数c 乘)(x f ,总可以使)(x cf 是一个整系数多项式. 如果)(x cf 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到)()(x dg x cf =，也就是)()(x g cdx f =其中)(x g 是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子。

2．整系数多项式如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n - 没有异于±1的公因子，也就是说它们是互素的，它就称为一个本原多项式。

上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积，即)()(x rg x f =。

可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的。

亦即,如果)()()(11x g r x rg x f ==，其中1(),()g x g x 都是本原多项式，那么必有)()(,11x g x g r r ±=±=因为)(x f 与)(x g 只差一个常数倍，所以)(x f 的因式分解问题，可以归结为本原多项式)(x g 的因式分解问题.3．本原多项式)(x g 的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的。

第一章多项式9.有理系数多项式 [兼容模式]

§1.9 有理系数多项式本原多项式高斯引理,根与系数的关系艾森斯坦因Eisenstein判别法小结作业12本节要解决的问题:有任意次数的不可约多项式.1.有理系数多项式的因式分解问题,2. 在有理数域Q 上3有理系数多项式对每个有理系数多项式f (x ),其中g (x )是整系数的例如若一非零整系数多项式即是互素的.它就称为一个本原多项式.的系数无异于±1的公因子, f (x )总能写成).()(x g cd x f =且各项系数无异于±1的公因子.x x x 5423234−+011)(b x b x b x g n n n n +++=−−L 01,,,b b b n n L −)6155(15234x x x −+=4定理7.10(高斯Gauss 引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式.非本原的,证明设和是两本原多项式.它们的乘积h (x ) = f (x )g (x ) .0111)(a x a xa x a x f n n n n ++++=−−L 0111)(b x b xb x b x g m m m m ++++=−−L 若0111)(d x d x d x d x h m n m n m n m n ++++=−+−+++L 有异于±1的公因子,矛盾!即011,,,,d d d d m n m n L −++设素数p 为其一个公因子,由f (x )和g (x )本原,则∃i 和j ,使,|,,|10−i a p a p L ,|,,|10−j b p b p L 22112211L L +−+−−+−++++++j i j i j i j i j i j i b a b a b a b a b a d5定理7.11两次数较低的整系数多项式的乘积.若一非零整系数多项式能分解成两次数较低的有理系数多项式的乘积.则它一定能分解成6推论h (x )必是整系数的.设f (x ), g (x )是整系数多项式,且g (x )是本原的.如果f (x )= g (x )h (x ),其中h (x )是有理系数多项式,7定理12是一个特别地,而r /s 是它的一个有理根,其中r , s 互素.那么必有设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−L ,|n a s .|0a r 若f (x )的首项系数a n =1,则f (x )的有理根都是整数,而且是a 0 的因式.证明从而(sx -r )|f (x ),f (x ) = (sx -r )(b n -1x n -1 + L +b 0)比较两边系数,得a n = sb n -1,故s |a n ,8定理12是一个例而r /s 是它的一个有理根,其中r , s 互素.那么必有设0111)(a x a xa x a x f n n n n ++++=−−L ,|n a s .|0a r 求方程032234=−+−x x x 的有理根.解该方程的有理根只可能是,23,21,3,1±±±±代入验证知故其有理根只有x =1.9定理7.13 (艾森斯坦因Eisenstein 判别法)是一整系数多项式,证明若有一个素数p设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++=−−L 则f (x ) 在有理数域上是不可约的.若f (x )在Q 上可约,则由定理11,次数较低的整系数多项式之积:;,,,,|.20121a a a a p n n L −−10定理7.13 (艾森斯坦因Eisenstein 判别法)∈Z[x ],例若∃素数p设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−L 则f (x ) 在Q 上是不可约的.多项式在理数域上是不可约的. 取素数p = 2 即可.;,,,,|.20121a a a a p n n L −−2+n x11练习1.求下列多项式的有理根:.157424−−−x x x 2.下列多项式在有理数域上是否可约?.2128234++−x x x 136++x x (思考题)小结1. 有理系数多项式的因式分解问题, 可归结为整系数2. 在有理数域Q上有任意次数的不可约多项式;3. 整系数多项式的有理根与首项和常数项的关系;12作业p4627.1).3). 28.1).5)13。

有理系数多项式

有理系数多项式
有理系数多项式（polynomialinrationalcoefficients）指的是指多项式中各项系数都是有理数的多项式。

有理多项式，通常用字母x表示未知数，用数字表示各项系数，以下面的形式表示：
P = ax^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + ... + dx + e 其中，a、b、c、d和e都是有理数，并且n是正整数。

【表达式】
有理系数多项式的表达式是指多项式中各项系数都是有理数，因此此类多项式的表达式为：
a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0
其中，a_i（i=0,1,2,...,n）是任意有理数，n是任意正整数。

【性质】
1、有理系数多项式的系数可以是任意有理数，但指数必须是正整数；
2、有理系数多项式可以是大多数数学问题中的基础，并且它是一个有理函数；
3、有理系数多项式可以用积分来研究它的函数性质，也可以用它来求解有关函数和诸如求局部最小值、极值等问题；
4、有理系数多项式函数可以求解上述问题，从而得到形如
ax^2+bx+c=0的一元二次方程；
5、有理系数多项式可以用牛顿迭代方法求解：斜率=导数/切线
方向。

【应用】
有理系数多项式有很多应用：
1、在统计学中，它常用来建立折线图，表示某些指标随着时间的变化趋势；
2、在物理学中，它可以用来表示各种物体的力学特性；
3、在数学研究中，它也可以用来解决各种有关函数的问题；
4、它还可以用来拟合样本数据，分析和预测某些不可知的变量；
5、它可以用来切割异型物体，求解最短路径问题等。

整式(共26张PPT)

整式的简化
整式的简化
通过合并同类项、提取公因式等方法，将整式化简到最简形式。
例子
$3x + 5x - 2x = 6x$，$a^{2} - a^{2} + a^{2} = a^{2}$。
05
整式的应用
代数方程
代数方程
整式是代数方程中的基本元素，通过整式可以表示和解决各种代数方程问题，如线性方程、二次方程等。
04
整式的表示中，字母的指数表示次数，如 $x^2$ 表示 $x$ 的二次幂。
02
整式的分类
多项式
定义
由有限个单项式通过有限次加、减运算得到的代数式。
形式
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ldots + a_1 x + a_0$，其中 $a_n, a_{n-1}, ldot常用字母和数字的组合表示，如 $x^2 + 3x 4$。
输标02入题
整式的表示形式可以因数学符号的书写习惯而略有不同，但意义相同，如 $x^2 + 3x - 4$ 和 $4 - 3x + x^2$ 是等价的。
01
03
整式中的数字系数表示该项的数值大小，如 $3x$ 表示 $x$ 的系数为 $3$。
利用整式的性质和运算法则，可以求解各种不等式问题，如线性不等式、二次不等式等。
不等式在数学和实际生活中有广泛的应用，如最值问题、优化问题等。
函数与图像
函数表达式
整式可以表示各种函数，如一次函数、二次函数、幂函数等。
函数的图像
通过整式可以绘制出函数的图像，帮助理解函数的性质和变化规律。
函数的应用
整式加减法的注意事项