高中数学《圆的一般方程》导学案

2.2 圆的一般方程[学习目标] 1.掌握圆的一般方程及其特点． 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小． 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.【主干自填】1．圆的一般方程的定义当□01D ＋E －4F >0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程．2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以□02⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以□0312 D 2＋E 2－4F 为半径的圆．(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点□04⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2. (3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程□05不表示任何图形． 3．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．则其位置关系如下表：位置关系 代数关系点M 在□06圆外 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0点M 在□07圆上 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝0点M 在□08圆内 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F <0【即时小测】1．思考下列问题(1)方程x2＋y2＋2x－2y＋3＝0是圆的一般方程吗？为什么？提示：此方程不表示圆的一般方程．∵D2＋E2－4F＝22＋(－2)2－4×3＝－4<0.∴此方程不表示任何图形．(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时需要具备什么条件？提示：需同时具备三个条件．①A＝C≠0②B＝0③D2＋E2－4AF>02．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的方程为() A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0提示：A由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为y－12－1＝x－2 1－2，即x＋y－3＝0.3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)提示：D例1判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；(4)x2＋y2＋2ax＝0.[解](1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它表示点(－1，0)，不表示圆．(2)原方程可化为x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆心在(0，－a)，半径为a2＋1的圆，标准方程为x2＋(y＋a)2＝(a2＋1)2.(3)原方程可化为(x＋10)2＋y2＝－21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．(4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆；②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.类题通法二元二次方程是否表示圆的判定方法对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．[变式训练1]下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.解(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．∴它不能表示圆．(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x－542＋y2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542，∴它表示以⎝⎛⎭⎪⎫54，0为圆心，54为半径长的圆.例2已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆一般方程、圆心坐标和外接圆半径．[解]解法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D＋4E＋F＝0，4＋9－2D＋3E＋F＝0，16＋25＋4D－5E＋F＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D＝－2，E＝2，F＝－23，∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.解法二：设△ABC的外接圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a)2＋(4－b)2＝r2，(－2－a)2＋(3－b)2＝r2，(4－a)2＋(－5－b)2＝r2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝－1，r＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.解法三：∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形． ∴圆心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5. ∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.类题通法待定系数法求圆的方程的规律(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .[变式训练2] 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 点的坐标分别代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③设x1，x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F.由|x1－x2|＝6得(x1＋x2)2－4x1x2＝36，有D2－4F＝36.④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.易错点⊳二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，忽略D2＋E2－4F>0 [典例] 已知定点P(m,2)在圆x2＋y2－2mx－y＋m2＋m＝0的外部，求实数m 的取值范围．[错解] ∵点P(m,2)在圆外，∴m2＋4－2m2－2＋m2＋m>0，∴m>－2.[错因分析] 错解的根本原因是没理解圆的一般方程的定义．[正解]∵点P(m,2)在圆外，∴m2＋4－2m2－2＋m2＋m>0，即m>－2，∵方程x2＋y2－2mx－y＋m2＋m＝0表示圆，∴(－2m)2＋(－1)2－4(m2＋m)>0，即m<1 4.∴－2<m<1 4.课堂小结1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单地了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.1．能将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 C解析 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．2．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k >1 B ．k <1 C ．k ≥1 D ．k ≤1 答案 B解析 由D 2＋E 2－4F ＝16＋4－20k >0得k <1，故k <1时所给方程表示圆． 3．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F答案 A解析 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线为圆，圆关于直线y ＝x 对称，故圆心在直线y ＝x 上．∴－E 2＝－D2，即E ＝D .4．已知圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0.那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．答案 (0，－1)解析 将圆的方程配方后得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2.∴当k ＝0时，r 最大为1，面积最大，此时圆心为(0，－1)．时间：25分钟1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的标准方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －3)2＝16 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝16 C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝16 D ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝16 答案 C解析 将x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0配方得：(x ＋2)2＋(y －3)2＝16. 2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 答案 A解析 由x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12－m .∵该方程表示圆，∴12－m >0，即m <12.3．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 答案 D解析 由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，2a >0，|－a |>2，|2a |>2，解得a >2，故选D.4．过A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)三点的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋4x －2y －20＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0C ．x 2＋y 2－4x －2y －20＝0D ．x 2＋y 2＋4x ＋4y －20＝0 答案 C解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)三点分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＝－26，5D ＋5E ＋F ＝－50，6D －2E ＋F ＝－40，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，故选C.5．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A. 5 B ．3＋5 C ．14－6 5 D ．14＋65答案 D解析 由题意，知圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝9的圆心为(－2,1)，半径r ＝3.圆心(－2,1)到坐标原点的距离为(－2)2＋12＝5，故x 2＋y 2的最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.6．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A ．2 B.22 C ．1 D.2 答案 D解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离d ＝|1＋2－1|2＝ 2.7．已知点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－x ＋y －4＝0的外部，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 ∵点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－x ＋y －4＝0的外部，∴(a ＋1)2＋(a －1)2－(a ＋1)＋(a －1)－4>0，即2a 2－4>0，∴a >2或a <－ 2.8．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．答案 5解析 由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.9．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值为________． 答案 －3或7解析 设A ，B ，C 三点所在的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧5D ＋F ＋25＝0，D －F －1＝0，3D －3E －F －18＝0.解得D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.由点D (a,3)在圆上知a 2＋9－4a －253×3－5＝0，即a 2－4a －21＝0，解得a ＝－3或7.10．求经过A (4,2)、B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．数学•必修2[S] 解设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，∴圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，∴圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.由题设x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2.∴D＋E＝－2.①又A(4,2)，B(－1,3)在圆上，∴16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0.③由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.。