高中数学《圆的一般方程》导学案

2.2 圆的一般方程

[学习目标] 1.掌握圆的一般方程及其特点． 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小． 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.

【主干自填】

1．圆的一般方程的定义

当□01D ＋E －4F >0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程．

2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形

(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以□02⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以□0312 D 2＋E 2－4F 为半径的圆．

(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点□04⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2. (3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程□05不表示任何图形． 3．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系

已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．则其位置关系如下表：

位置关系 代数关系

点M 在□06圆外 x 20＋y 2

0＋Dx 0＋Ey 0＋F >0

点M 在□07圆上 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝0

点M 在□

08圆内 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F <0

【即时小测】

1．思考下列问题

(1)方程x2＋y2＋2x－2y＋3＝0是圆的一般方程吗？为什么？

提示：此方程不表示圆的一般方程．

∵D2＋E2－4F＝22＋(－2)2－4×3＝－4<0.

∴此方程不表示任何图形．

(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时需要具备什么条件？

提示：需同时具备三个条件．

①A＝C≠0②B＝0③D2＋E2－4AF>0

2．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的方程为() A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0

C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0

提示：A由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为y－1

2－1＝

x－2 1－2

，

即x＋y－3＝0.

3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()

A．(2,3) B．(－2,3)

C．(－2，－3) D．(2，－3)

提示：D

例1判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．

(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；

(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；

(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；

(4)x2＋y2＋2ax＝0.

[解](1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它表示点(－1，0)，不表示圆．

(2)原方程可化为x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆心在(0，－a)，半径为a2＋1的圆，标准方程为x2＋(y＋a)2＝(a2＋1)2.

(3)原方程可化为(x＋10)2＋y2＝－21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．

(4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.

①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆；

②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.

类题通法

二元二次方程是否表示圆的判定方法

对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．

[变式训练1]下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．

(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；

(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；

(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；

(4)2x2＋2y2－5x＝0.

解(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．

(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．

∴它不能表示圆．

(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．

(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫

x－

5

4

2＋y2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542，

∴它表示以

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

5

4

，0为圆心，5

4

为半径长的圆.

例2已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆一般方程、圆心坐标和外接圆半径．

[解]解法一：设△ABC的外接圆方程为

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

∵A，B，C在圆上，

∴

⎩⎪

⎨

⎪⎧1＋16＋D＋4E＋F＝0，

4＋9－2D＋3E＋F＝0，

16＋25＋4D－5E＋F＝0，

∴

⎩⎪

⎨

⎪⎧D＝－2，

E＝2，

F＝－23，

∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.

∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.

解法二：设△ABC的外接圆方程为

(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上，

∴

⎩⎪

⎨

⎪⎧(1－a)2＋(4－b)2＝r2，

(－2－a)2＋(3－b)2＝r2，

(4－a)2＋(－5－b)2＝r2，

解得

⎩⎪

⎨

⎪⎧a＝1，

b＝－1，

r＝5，

即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，