华罗庚学校数学教材(五年级下)第01讲 不规则图形面积的计算(一)

G
F
A
N D ME
B
C
3．正方形 ABCD 的边长为 5 厘米，△CEF 的面积比△ADF 的面 积大 5 平方厘米。求 CE 的长。
A
D
F
B
C
E
4．如下图，已知 CF=2DF，DE=EA，三角形 BCF 的面积为 2，四 边形 BEDF 的面积为 4。求三角形 ABE 的面积。
C F D
E
A
B
5．直角梯形 ABCD 的上底 BC=10 厘米，下底 AD=14 厘米，高 CD=5
E
A D
F
H
BG
C
解：连结 AG，自 A 作 AH 垂直 DG 于 H，在△ADG 中，AD=4，DC=4
（AD 上的高）。 ∴ S△AGD=4×4÷2=8，又 DG=5， ∴ S△AGD=AH×DG÷2= ∴ AH=8×2÷5=3.2（厘米）， ∴ DE=3.2（厘米）。 例 8：梯形 ABCD 的面积是 45 平方米，高 6 米，△AED 的面积
3
在△ABE 中，因为 AB=6，所以 BE=4，同理 DF=4，因 此 ，CE=CF=2， 所以△ECF 的面积为 2×2÷2=2。
所以 S△AEF= S 四边形 AECF－S△ECF=12－2=10（平方厘米）。 例 3：两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是 10 厘米 和 6 厘米。如下图那样重合。求重合部分（阴影部分）的面积。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对 这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、 差关系，问题就能解决了。
例 1 如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10 厘米和 12 厘米。求阴影部分的面积。
F
E
A
G
B
C
D
解：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个 “空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。
8．如下图，平行四边形 ABCD 的边长 BC=10，直角三角形 BCE 的直角边 EC 长 8，已知阴影部分的面积比三角形 EFG 的面积大 10。 求 CF 的长。
E
A
G
D
F
B
C
1
1
1
1
11
二、解答题： 1．如右图，ABCD 为长方形，AB=10 厘米，BC=6 厘米，E、F 分 别为 AB、AD 中点，且 FG=2GE。求阴影部分的面积。
D
C
F
G
A
E
B
2．如图，正方形 ABCD 与正方形 DEFG 的边长分别为 12 厘米和 6 厘米。求四边形 CMGN（阴影部分）的面积。
所以，平行四边形 ABCD 的面积与平行四边形 DEFG 的面积相等 。
习题一
一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：
(1) 1 2
1 4
(2) 12
12
10 10
(3)
8 8
10 10
(4)
6 6
4 4
(5)
3
3
3
2
3
2
3
3
(6) 4
3 3
2
1 1
(7) 3
3
1 11
(8) 5
4
3
8
(9) 11
高，即 6－2=4 米。
∴ S△BEC= 1 ×BC×4= 1 ×10×4=20（平方米）。
2
2
例 9：如图，四边形 ABCD 和 DEFG 都是平行四边形，证明它们
的面积相等。
D
G C
F
A
EB
证明：连结 CE，平行四边形 ABCD 的面积等于△CDE 面积的 2
倍，而平行四边形 DEFG 的面积也是△CDE 面积的 2 倍。
本系列共 15 讲
第一讲
不规则图形面积的计算（一）
. 文档贡献者：与你的缘
我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形 、 菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形，它们的面 积及周长都有相应的公式直接计算。
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一 些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接 计算。一般我们称这样的图形为不规则图形。
C
D G
E
B
F
A
解：在等腰直角三角形 ABC 中，
∵ AB=10
∴ S△ABC= 1 ×10×10=50
2
又∵ S△ABG= 1 S△ABC= 1 ×50=25，
2
2
∵ EF=BF=AB－AF=10－6=4，
∴ S△BEF= 1 ×4×4=8，
2
∴ 阴影部分面积= S△ABG－S△BEF=25－8=17（平方厘米）。
例 4：如下图，A 为△CDE 的 DE 边上中点，BC= 1 CD，若
3
△ABC（阴影部分）面积为 5 平方厘米，求△ABD 及△ACE 的 面 积 。
C B F
E
A
D
解：取 BD 中点 F，连结 AF。因为△ADF、△ABF 和△ABC 等底
等高，所以它们的面积相等，都等于 5 平方厘米。
所以△ACD 的面积等于 15 平方厘，△ABD 的面积等于 10 平方
是 5 平方米，BC=10 米，求阴影部分的面积。
A
D
E
B
C
解：∵ 梯形面积=（上底＋下底）×高÷2
即 45=（AD＋BC）×6÷2
45=（AD＋10）×6÷2
∴ AD=45×2÷6－10=5 米。
又 S△ADE= 1 ×AD×高，即 5= 1 ×5×高，
2
2
∴ △ADE 的高是 2 米，△EBC 的高等于梯形的高减去△ADE 的
中 DE 是对角线，所以 S△ECD=S△EDF。 因此，正方形面积=8×2＋8÷ 4 ×2=36（平方厘米）。
5
例 6：已知 S△ABC=1，AE=ED，BD= 2 BC，求阴影部分的面积。
3
A EF
B
D
C
解：连结 DF。∵ AE=ED，∴ S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED，
∴ S 阴影=S△ABF=S△BFD。∵ BD= 2 BC，
因为 S△ABG= 1 ×10×10=50；
2
S△BDE= 1 （10＋12）×12=132；
2
S△EFG= 1 （12－10）×12=12。
2
又因为 S 甲＋S 乙=12×12＋10×10=244， 所以阴影部分面积=244－（50＋132＋12）=50（平方厘米） 例 2 如下图，正方形 ABCD 的边长为 6 厘米，△ABE、 △ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，求三角形 AEF 的面积。 解：因为△ABE、△ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，所以 四边形 AECF 的面积与△ABE、△ADF 的面积都等于正方形 ABCD 面积 的三分之一。也就是： S 四边形 AECF=S△ABE=S△ADF= 1 ×6×6=12。
厘米。又三角形 ABF、三角形 BCE 和四边形 BEDF 的面积相等。求三
角形 DEF 的面积。
B
C
E
A
F
D
6．如下图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个 大正方形，其中大、小正方形的面积分别是 64 平方米和 9 平方米。 求长方形的长、宽各是多少？
7．如下图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右图，它的面积 与原三角形面积之比为 2：3，已知阴影部分的面积为 5 平方厘米， 求原三角形面积。
厘米。
又由于△ACE 与△ACD 等底等高，所以△ACE 的面积是 15 平方
厘米。
例 5：如下图，在正方形 ABCD 中，三角形 ABE 的面积是 8 平
方厘米，它是三角形 DEC 的面积的 4 。求正方形 ABCD 的面积。
5
A
F
D
B
E
C
解：过 E 作 BC 的垂线交 AD 于 F。
在矩形 ABEF 中 ，AE 是对角线，所以 S△ABE=S△AEF=8。在矩形 CDFE
3
∴ S△BFD= 2 S△BCF= 2 （1－S△ABF），
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3
∴ S△ABF= 2 （1－S△ABF）， ∴ S△ABF= 2 。
3
5
∴ 阴影部分面积为 2 。
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例 7：正方形 ABCD 的边长是 4 厘米，CG=3 厘米，矩形 DEFG 的
长 DG 为 5 厘米，求它的宽 DE 等于多少厘米？