第六章向量知识点梳理

减法的____三__角__形__法__则______．
2．给定一个向量，我们把与这个向量__方__向__相___反___、__大__小__相__等____ 的向量称为它的相反向量，向量 a 的相反向量记作_－__a___．因为零 向量的始点与终点相同，所以－0＝__0____． 不难看出，a＋(－a)＝__0____，A→B＋(－A→B)＝__0____． 向量的减法可以看成向量加法的逆运算，即 a－b＝__a_＋__(_－__b_)___． ■名师点拨 相反向量与相等向量一样，都从“长度”和“方向”两方面进行定 义，相反向量必为平行向量．
【解】 (1)①A→B＋O→A－O→B＝A→B＋(O→A－O→B)＝A→B＋B→A＝0； ②A→B＋(B→D＋C→A)＋D→C＝(A→B＋B→D)＋(D→C＋C→A)＝A→D＋D→A＝ 0； ③O→B－O→A－O→C－C→O＝(O→B－O→A)－(O→C＋C→O)＝A→B. 故填①0，②0，③A→B. (2)因为B→C＝a，C→D＝b，D→E＝c. ①D→B＝C→B－C→D＝－B→C－C→D＝－a－b. ②E→C＝－C→E＝－(C→D＋D→E)＝－b－c.
2．向量的相等与平行
一般地，把大小__相__等___、方向__相__同___的向量称为相等的向量． 如果两个 非零向量 的方向 __相__同__或__相__反____，则称这 两个向量 平
行．因为零向量的方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平 行．两个向量 a 和 b 平行，记作 __a_∥__b__．两个向量平行也称为两
1.一般地，平面上任意给定两个向量 a，b，如果 向量 x 能够满足 b＋x＝a，则称 x 为向量 a 与 b 的差，并记作__x_＝__a_－__b___．在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，作出向量B→A，注意到O→B＋B→A＝O→A， 因此向量B→A就是向量 a 与 b 的差(也称B→A为向量 a 与 b 的差向 量)，即O→A－O→B＝B→A.上述求两向量差的作图方法也常称为向量
向量 a，b 的模与 a＋b 的模之间满足不等式 __|_|a_|_－__|b_|_|≤__|_a_＋__b_|≤__|a_|_＋__|b_|_____．
2．向量加法的平行四边形法则
一般地，平面上任意给定两个不共线的向量 a，b，在该平面内任取
一点 A，作A→B＝a，A→C＝b，以 AB，AC 为邻边作一个平行四边形
②始点和终点相同的向量称为_零__向__量__．零向量的模为___0____．零 向量的方向是_不__确__定__．模不为 0 的向量通常称为__非___零__向__量____．模 等于 1 的向量称为___单__位__向___量____．e 是单位向量的充要条件是 _|_e_|＝__1__．
■名师点拨 向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大 小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．
解析：由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知 A→C＝a＋b，B→D＝b－a.
答案：a＋b b－a 在平行四边形 ABCD 中，向量A→B的相反向量为________．
答案：B→A，C→D
向量加减法的运算及简单应用
(1)化简：①A→B＋O→A－O→B＝________； ②A→B＋(B→D＋C→A)＋D→C＝________； ③O→B－O→A－O→C－C→O＝________． (2)如图，①用 a，b 表示D→B； ②用 b，c 表示E→C.
利用已知向量表示相关向量 (1)如图，▱ABCD 中，E 是 BC 的中点，若A→B＝a，A→D＝ b，则D→E＝( )
A．12a－b C．a＋12b
B．12a＋b D．a－12b
2．在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则E→B
＝( )
A.34A→B－14A→C
B.14A→B－34A→C
3．多个向量相加 结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c_)__． 因为向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果 是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相 加的顺序．例如 (a＋b)＋(c＋d)＝a＋[(b＋c)＋d]＝[(d＋c)＋a]＋b.
向量加法运算律的应用
C.34A→B＋14A→C
D.14A→B＋34A→C
利用向量判断三点共线
已知非零向量 e1、e2 不共线．如果A→B＝e1＋e2，B→C＝ 2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)，求证：A、B、D 三点共线． 【证明】 因为A→B＝e1＋e2，B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2＋3e1－ 3e2＝5(e1＋e2)＝5A→B.所以A→B，B→D共线，且有公共点 B，所以 A、 B、D 三点共线．
1．数乘向量
一般地，给定一个实数 λ 与任意一个向量 a，规定它们的乘积是
一个向量，记作__λ_a__，其中： (1)当 λ≠0 且 a≠0 时，λa 的模为_|λ_|_|a_|_，而且 λa 的方向如下：
①当 λ>0 时，与 a 的方向_相__同__； ② 当 λ<0 时，与 a 的方向_相__反__． (2)当 λ＝0 或 a＝0 时，λa＝__0___． 上述实数 λ 与向量 a 相乘的运算简称为__数__乘__向__量__．当 λ 和 μ
化简O→P－Q→P＋P→S＋S→P的结果等于( )
→ A.QP
→ B.OQ
→ C.SP
→ D.SQ
解析：选 B.原式＝(O→P＋P→Q)＋(P→S＋S→P)＝O→Q＋0＝O→Q.
如图，在▱ABCD 中，A→B＝a，A→D＝b，用 a， b 表示向量A→C，B→D，则A→C＝________，B→D＝ ________．
1．共线向量基本定理 如果 a≠0 且 b∥a，则存在唯一的实数 λ，使得_b_＝__λ_a___．
由共线向量基本定理及前面介绍过的结论可知，如果 A，B，C
是三个不同的点，则它们共线的充要条件是： _存__在__实__数___λ_，__使__得__A→_B_＝__λ_A→_C_______．
复习旧知识：
在四边形 ABCD 中，A→B＝D→C，若|A→D－A→B|
＝|B→C－B→A|，则四边形 ABCD 是( )
A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．不确定
解析：选 B.因为A→B＝D→C，
所以四边形 ABCD 为平行四边形，
因为|A→D－A→B|＝|B→C－B→A|，所以|B→D|＝|A→C|.
所以四边形 ABCD 为矩形．
个向量__共__线___． ■名师点拨
共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均
相同．
向量的有关概念
判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．
பைடு நூலகம்B.B→D＋D→A＋A→C
C.A→B＋B→D＋D→C
D.D→C＋B→A＋A→D
解析：选 C.在 A 中B→A＋A→D＋D→C＝B→D＋D→C＝B→C；在 B 中B→D
＋D→A＋A→C＝B→A＋A→C＝B→C；在 C 中A→B＋B→D＋D→C＝A→D＋D→C＝
A→C；在 D 中D→C＋B→A＋A→D＝D→C＋B→D＝B→D＋D→C＝B→C.
都是实数时有 λ(μa)＝_(_λμ__)a_． 数乘向量的定义说明，如果存在实数 λ，使得 b＝λa，则_b_∥__a_．
2．向量的线性运算 (1)向量的加法与数乘向量的混合运算 一般地，对于实数 λ 与 μ，以及向量 a，有 λa＋μa＝__(_λ_＋__μ_)_a__． 一般地，对于任意实数 λ，以及向量 a 与 b，有 λ(a＋b)＝__λ_a_＋__λ_b___． (2)向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混和运算，统称为向量的 线性运算．
答案：③
4．在下列命题中： ①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向 量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等 向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量． 正确命题的序号是________． 解析：由向量的相关概念可知④⑥正确． 答案：④⑥
1．向量加法的三角形法则 一般地，平面上任意给定两个向量 a，b，在该平面内任取一点 A，作A→B＝a，B→C＝b，作出向量A→C，则向量A→C称为向量 a 与 b
1. 共线向量基本定理。
如果a 0 ，且b // a ，则存在唯一的实数 ，使得 b a 如果b 0 ，且a // b ，则存在唯一的实数t ，使得 a tb
ABDC
，
作
出
向
量
→ AD
，
因
为
→ BD
＝
→ AC
，
因
此
→ AD
＝
_A_→_B_＋__B_→D__＝__A→_B__＋__A→_C_______．
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的
___平__行__四__边__形__法__则_____．
由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换 律，即对于任意的向量 a，b，都有___a_＋__b_＝__b_＋__a____．
【解】 (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向， 所以两个向量不能比较大小． (2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量的长度相等，不能确定它们的 方向关系． (3)正确．因为|a|＝|b|，且 a 与 b 同向，由两向量相等的条件，可得 a＝b. (4)不正确．因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不定．