空间中的平行与垂直

空间中的平行与垂直(文/理)热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．例1(1)(·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥bD．若a⊥α，b⊥α，则a∥b答案(1)D(2)D解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．(2)线面平行的判定定理中的条件要求a⊄α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D.思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．跟踪演练1设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①因为“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”，所以①正确；②当m平行于两个相交平面α，β的交线l时，也有m∥α，m∥β，所以②错误；③若m∥n，m∥β，则n∥β或n⊂β，所以③错误；④平面α，β与直线m的关系如图所示，必有α⊥β，故④正确．热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．例2(·广东)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．(1)证明因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)证明 因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD .(3)解 如图，取CD 的中点E ，连接AE 和PE.因为PD ＝PC ，所以PE ⊥CD ，在Rt △PED 中，PE ＝PD 2－DE 2＝42－32＝7.因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ， 所以PE ⊥平面ABCD . 由(2)知：BC ⊥平面PDC ， 由(1)知：BC ∥AD ， 所以AD ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD . 设点C 到平面PDA 的距离为h ， 因为V 三棱锥C —PDA ＝V 三棱锥P —ACD ， 所以13S △PDA ·h ＝13S △ACD ·PE ，即h ＝S △ACD ·PE S △PDA＝12×3×6×712×3×4＝372，所以点C 到平面PDA 的距离是372.思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l ⊥α，a ⊂α⇒l ⊥a .跟踪演练2 如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，且BC ＝2AD ，AD ⊥CD ，PB ⊥CD ，点E 在棱PD 上，且PE ＝2ED .(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；(2)求证：PB∥平面AEC.证明(1)因为AD⊥CD，AD∥BC，所以CD⊥BC，又PB⊥CD，PB∩BC＝B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以CD⊥平面PBC，又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PBC.(2)连接BD交AC于点O，连接OE.因为AD∥BC，所以△ADO∽△CBO，所以DO∶OB＝AD∶BC＝1∶2，又PE＝2ED，所以OE∥PB，又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.热点三平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．例3如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接P A，PB，PD，得到如图的五棱锥P—ABFED，且PB＝10.(1)求证：BD⊥P A；(2)求四棱锥P —BFED 的体积．(1)证明 ∵点E ，F 分别是边CD ，CE 的中点， ∴BD ∥EF .∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC . ∴EF ⊥AC .∴EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO ＝O ， ∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA ， 又P A ⊂平面POA ，∴BD ⊥P A .(2)解 设AO ∩BD ＝H .连接BO ，∵∠DAB ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3， 在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7， 在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2，∴PO ⊥BO .∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED ，梯形BFED 的面积S ＝12(EF ＋BD )·HO ＝33，∴四棱锥P —BFED 的体积 V ＝13S ·PO ＝13×33×3＝3.思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．跟踪演练3 如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 将△ABC 折成60°的二面角B —AD —C ，如图2.(1)证明：平面ABD ⊥平面BCD ；(2)设点E 为BC 的中点，BD ＝2，求异面直线AE 和BD 所成的角的大小． (1)证明 (1)因为折起前AD 是BC 边上的高，则当△ABD 折起后，AD ⊥CD ，AD ⊥BD ， 又CD ∩BD ＝D ，则AD ⊥平面BCD .因为AD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD . (2)解 如图，取CD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥BD ，所以∠AEF 为异面直线AE 与BD 所成的角．连接AF ，DE ，由BD ＝2，则EF ＝1，AD ＝23，CD ＝6，DF ＝3. 在Rt △ADF 中，AF ＝AD 2＋DF 2＝21. 在△BCD 中，由题设∠BDC ＝60°，则BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD ·cos ∠BDC ＝28， 即BC ＝27，从而BE ＝12BC ＝7，cos ∠CBD ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝－127，在△BDE 中，DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos ∠CBD ＝13， 在Rt △ADE 中，AE ＝AD 2＋DE 2＝5. 在△AEF 中，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22AE ·EF ＝12.因为两条异面直线所成的角为锐角或直角， 所以异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60°.1．(·课标全国甲)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 答案 ②③④解析 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.2．(·江苏)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，且DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是() A．m⊥n⇒m⊥βB．m⊥n⇒α⊥βC．α∥β⇒m∥βD．m∥n⇒α∥β押题依据空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点．此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力．答案 C解析构造长方体，如图所示．因为A1C1⊥AA1，A1C1⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直．所以选项A，B都是假命题．CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题．“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C. 2．如图1，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC 上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图2所示．(1)求证：A1E⊥FP；(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE 平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式．(1)证明在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图1.图1因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形．又AE ＝DE，所以EF⊥AD.所以在图2中A1E⊥EF，BE⊥EF.故∠A1EB为二面角A1—EF—B的一个平面角．因为平面A1EF⊥平面BEFC，所以∠A1EB＝90°，即A1E⊥EB.因为EF∩EB＝E，所以A1E⊥平面BEFC.因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.(2)解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．理由如下：如图1，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.如图2，取A1P的中点M，连接MK，图2因为点K为棱A1F的中点，所以MK∥FP.因为FP∥BE，所以MK∥BE.因为MK⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，所以MK∥平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．A组专题通关1．(·湖北)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则() A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 A解析由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以p⇒q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1∥l2，所以q⇏p.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件．故选A. 2．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析若a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，l⊥a，l⊥b，a∥b，则l可以与平面α斜交，推不出l⊥α.若l⊥α，a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则l⊥a，l⊥b.∴“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分条件，故选C. 3．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中不正确的是() A．若m⊂α，n∥α，则n∥mB．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βC．若n⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m⊂α，n⊥α，则m⊥n答案 A解析A中，若m⊂α，n∥α，则n∥m或m，n异面．故不正确；B，C，D均正确．故选A.4．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角答案 D解析如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠ECD即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC答案 D解析 因为在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，所以BD ⊥CD ， 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊂平面BCD ， 所以CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ， 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.6．如图，在空间四边形ABCD 中，点M ∈AB ，点N ∈AD ，若AM MB ＝ANND ，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．答案 平行解析 由AM MB ＝ANND ，得MN ∥BD .而BD ⊂平面BDC ，MN ⊄平面BDC ， 所以MN ∥平面BDC .7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号) ①AC ⊥BE ； ②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E －ABC 的体积为定值； ④直线B 1E ⊥直线BC 1. 答案 ①②③解析 因AC ⊥平面BDD 1B 1，故①正确；因B 1D 1∥平面ABCD ，故②正确；记正方体的体积为V ，则V E －ABC ＝16V ，为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误．8．下列四个正方体图形中，点A ，B 为正方体的两个顶点，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③解析对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP 平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB 与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③. 9．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：(1)AP∥平面C1MN；(2)平面B1BDD1⊥平面C1MN.证明(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，因为点M，P分别为棱AB，C1D1的中点，所以AM＝PC1.又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，所以四边形AMC1P为平行四边形．从而AP∥C1M，又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，所以AP∥平面C1MN.(2)连接AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD.又点M，N分别为棱AB，BC的中点，故MN∥AC.所以MN⊥BD.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，所以DD1⊥MN，而DD1∩DB＝D，DD1，DB⊂平面B1BDD1，所以MN⊥平面B1BDD1，又MN⊂平面C1MN，所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.10．(·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.(1)解点F，G，H的位置如图所示．(2)解平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD—EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形．所以BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH，又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明连接FH，BD.因为ABCD—EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG，同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.B组能力提高11．设a，b，c是空间中的三条直线，α，β是空间中的两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是()A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c答案 B解析B中命题的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，是假命题．而A、C、D中命题的逆命题均为真命题，故选B.12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.答案 a 或2a解析 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF . 要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可． 令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 易知Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ， 得AC A 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0， 解得x ＝a 或x ＝2a .13．如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知AB ＝3BC ，将△ABE 沿边BE 折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，对翻折后的几何体有如下描述：①AB 与DE 所成角的正切值是2； ②AB ∥CE ； ③V B —ACE 是16a 3；④平面ABC ⊥平面ADC .其中正确的是________．(填写你认为正确的序号) 答案 ①③④解析 作出折叠后的几何体的直观图如图所示：∵AB ＝3a ，BE ＝a ，∴AE ＝2a .∴AD ＝AE 2－DE 2＝a ，∴AC ＝CD 2＋AD 2＝2a . 在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝3a 2＋a 2－2a 223a2＝33. ∴sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63. ∴tan ∠ABC ＝sin ∠ABC cos ∠ABC＝ 2.∵BC ∥DE ，∴∠ABC 是异面直线AB ，DE 所成的角，故①正确． 连接BD ，CE ，则CE ⊥BD ，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， ∴CE ⊥AD ，又BD ∩AD ＝D ，BD ⊂平面ABD ， AD ⊂平面ABD ，∴CE ⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABD ， ∴CE ⊥AB .故②错误． 三棱锥B —ACE 的体积V ＝13S △BCE ·AD ＝13×12×a 2×a ＝a 36，故③正确．∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ， ∴BC ⊥AD ，又BC ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ， ∴BC ⊥平面ACD ，∵BC ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面ACD .故答案为①③④.14.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝a ，∠ABC ＝60°，平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是平行四边形，点M 在线段EF 上．(1)求证：BC ⊥平面ACEF ；(2)当FM 为何值时，AM ∥平面BDE ？证明你的结论． (1)证明 ∵在等腰梯形ABCD 中， AB ∥CD ，AD ＝DC ＝a ，∠ABC ＝60°，∴△ADC 是等腰三角形，且∠BCD ＝∠ADC ＝120°， ∴∠DCA ＝∠DAC ＝30°，∴∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACEF . (2)解 当FM ＝33a 时，AM ∥平面BDE .证明如下：设AC ∩BD ＝N ，连接EN ，如图． ∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝a ， ∴AC ＝3a ，AB ＝2a ，∴CN ∶NA ＝1∶2， ∵四边形ACEF 是平行四边形，∴EF ＝AC ＝3a .∵AM ∥平面BDE ，AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝NE ， ∴AM ∥NE ，∴四边形ANEM 为平行四边形， ∴FM ∶ME ＝1∶2， ∴FM ＝13FE ＝13AC ＝3a 3.∴当FM ＝33a 时，AM ∥平面BDE .。