空间中的平行与垂直

空间中的平行与垂直(文/理)

热点一空间线面位置关系的判定

空间线面位置关系判断的常用方法

(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；

(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．

例1(1)(·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

(2)关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是()

A．若a∥b，b⊂α，则a∥α

B．若a∥α，b⊂α，则a∥b

C．若a∥α，b∥α，则a∥b

D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b

答案(1)D(2)D

解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．

(2)线面平行的判定定理中的条件要求a⊄α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D.

思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．

跟踪演练1设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；

③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.

其中真命题的个数为()

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 B

解析①因为“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”，所以①正确；②当m平行于两个相交平面α，β的交线l时，也有m∥α，m∥β，所以②错误；

③若m∥n，m∥β，则n∥β或n⊂β，所以③错误；④平面α，β与直线m的关系如图所示，必有α⊥β，故④正确．

热点二空间平行、垂直关系的证明

空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．

例2(·广东)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.

(1)证明：BC∥平面PDA；

(2)证明：BC⊥PD；

(3)求点C到平面PDA的距离．

(1)证明因为四边形ABCD是长方形，

所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，

所以BC∥平面PDA.

(2)证明 因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PDC ，

因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD .

(3)解 如图，取CD 的中点E ，连接AE 和PE

.

因为PD ＝PC ，所以PE ⊥CD ，

在Rt △PED 中，PE ＝PD 2－DE 2＝42－32＝7.

因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ， 所以PE ⊥平面ABCD . 由(2)知：BC ⊥平面PDC ， 由(1)知：BC ∥AD ， 所以AD ⊥平面PDC ，

因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD . 设点C 到平面PDA 的距离为h ， 因为V 三棱锥C —PDA ＝V 三棱锥P —ACD ， 所以13S △PDA ·h ＝13

S △ACD ·PE ，

即h ＝S △ACD ·PE S △PDA

＝1

2×3×6×7

12×3×4＝372，

所以点C 到平面PDA 的距离是37

2

.

思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：

(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．

(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l ⊥α，a ⊂α⇒l ⊥a .

跟踪演练2 如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，且BC ＝2AD ，AD ⊥CD ，PB ⊥CD ，点E 在棱PD 上，且PE ＝2ED .

(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；

(2)求证：PB∥平面AEC.

证明(1)因为AD⊥CD，AD∥BC，

所以CD⊥BC，又PB⊥CD，PB∩BC＝B，

PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，

所以CD⊥平面PBC，又CD⊂平面PCD，

所以平面PCD⊥平面PBC.

(2)连接BD交AC于点O，连接OE.

因为AD∥BC，所以△ADO∽△CBO，

所以DO∶OB＝AD∶BC＝1∶2，又PE＝2ED，

所以OE∥PB，又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

热点三平面图形的折叠问题

平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．

例3如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接P A，PB，PD，得到如图的五棱锥P—ABFED，且PB＝10.

(1)求证：BD⊥P A；