第7讲 一元二次方程

5． (2014· x2 是关于 x 的一元二次方程 x2－ mx＋ m 玉林)x1， 1 1 －2＝0 的两个实数根 ，是否存在实数 m 使 x ＋x ＝0 成 1 2 立？则正确的是结论是 ( A ) A．m＝0 时成立 C．m＝0 或 2 时成立 B．m＝2 时成立 D ．不存在
一元二次方程的解法 【例1】 解下列方程： (1)x2－2x＝0；
与几何问题的综合 【例4】 (1)已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程
x2－9x＋20＝0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．
解：解方程x2－9x＋20＝0，x1＝4，x2＝5，
当腰长x＝4时，4＋4＝8，不合题意，舍去，
∴腰长x＝5
(2)(2013· 绵阳)已知整数 k＜5，若△ABC 的边长均满足关
【例2】 用配方法把代数式3x－2x2－2化为
a(x＋m)2＋n的形式，并说明不论x取何值，这个代
数式的值总是负数．并求出当x取何值时，这个代
数式的值最大．
3 3 9 9 解：3x－2x2－2＝－2(x2－ x)－2＝－2(x2－ x＋ － )－2＝ 2 2 16 16 3 9 9 3 7 3 －2(x2－ x＋ )＋ －2＝－2(x－ )2－ ，∵－2(x－ )2≤0， 2 16 8 4 8 4 3 7 3 7 ∴－2(x－ )2－ ＜0，当 x＝ 时，代数式最大值为－ 4 8 4 8
x1＝2，x2＝4，由于△ABC 的边长均满足关于 x 的方程 2， 2 或 4， 4， x2－6x＋8＝0， 所以△ABC 的边长可以为 2， 4 或 4，4，2，然后分别计算三角形周长．
4．(2013·铁岭)如果三角形的两边长分别是方程
x2－8x＋15＝0的两个根，那么连接这个三角形三
边的中点，得到的三角形的周长可能是( A )
－8± 104 (y＋3)(1－3y)＝1＋2y ，y－3y ＋3－9y＝1＋2y ，∴5y ＋8y－2＝0，y＝ 2×5
2 2 2 2
－4± 26 －4＋ 26 －4－ 26 ＝ ，∴y1＝ ，y2＝ 5 5 5
(4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0；
(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0，(3x＋5－1)(3x＋5－4)＝0， (3x＋4)(3x＋1)＝0，3x＋4＝0 或 3x＋1＝0， 4 1 ∴x1＝－ ，x2＝－ 3 3
A．b2－4ac＝0
) B
B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0
D．b2－4ac≥0
3．(2014·安徽)已知x2－2x－3＝0，
则2x2－4x的值是( B )
A．－6
C．－2或6
B．6
D．－2或30
4．(2014·枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15 的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( A ) A．x1小于－1，x2大于3 B．x1小于－2，x2大于3 C．x1，x2在－1和3之间 D．x1，x2都小于3
－2＝0 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围是( C )
1 A．k＞2 1 C．k＞2且 k≠1
1 B．k≥2 1 D．k≥2且 k≠1
(2)(2014·十堰)已知关于x的一元二次方程 x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0. ①若方程有实数根，求实数m的取值范围；
②若方程两实数根分别为x1，x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，
1．用指定的方法解下列方程：
(1)(2x－1)2＝9；(直接开平方法)
1± 3 (2x－1) ＝9，2x－1＝± 3，∴x＝ ，x1＝2，x2＝－1 2
2
(2)x2＋3x－4＝0；(配方法)
3 2 25 3 5 x ＋3x－4＝0，(x＋ ) ＝ ，x＋ ＝± ， 2 4 2 2 ∴x1＝1，x2＝－4
(3)b2－4ac＜0⇔方程
没有
实数根．
要点梳理 5．一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为
b x1，x2，则有x1＋x2＝ －a c ，x1x2＝ a
．
转化思想 一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、公 式法、因式分解法，都是运用了“转化”的思想， 把待解决的问题(一元二次方程)，通过转化、归结为 已解决的问题(一元一次方程)，也就是不断地把“未 知”转化为“已知”．
(5)(1997－x)2＋(x－1996)2＝1. 解法一：(1997－x)2＋(x－1996)2－1＝0，
(1997－x)2＋(x－1997)(x－1995)＝0，
(x－1997)[(x－1997)＋(x－1995)]＝0，
2(x－1997)(x－1996)＝0，x1＝1997，x2＝1996
解法二：因为(1997－x)2＋(x－1996)2＝
结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11.你 是否同意他的说法？说明你的理由． 解：不同意小聪的说法．理由如下：
x2－10x＋36＝x2－10x＋25＋11＝(x－5)2＋11≥11，
当x＝5时，x2－10x＋36有最小值11
一元二次方程根的判别式 【例3】 (2014·深圳)下列方程没有实数根的是( C ) A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0 C．x2－2x＋3＝0
[(1997－x)＋(x－1996)]2－2(1997－x)(x－1996)，
所以原方程可化为1－2(1997－x)(x－1996)＝1， 2(1997－x)(x－1996)＝0，x1＝1997，x2＝1996
【点评】
解一元二次方程要根据方程的特点选择
合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→
因式分解法→公式法．
2 于 x 的方程 x －3 kx＋8＝0，则△ABC 的周长是
6或12或10
．
【点评】 (1)将构成三角形的条件“三角形任意两边之和 大于第三边”与一元二次方程的解结合在一起， 并考查了
2 (2) 0 (3 ) k k 分类讨论的思想． 根据题意得 ≥ 且 －4×8≥0， 2 5 4 k k x 而整数 ＜ ，则 ＝ ，方程变形为 －6x＋8＝0，解得
0(a≠0)，此方程可变形为( A )
2 b 2 b －4ac A．(x＋2 ) ＝ 4 2 a a 2 b 2 4ac－b B．(x＋2 ) ＝ 4 2 a a 2 b －4a b 2 C．(x－2 ) ＝ 4 2 a a 2 4 b 2 ac－b D．(x－2 ) ＝ 4 2 a a
(2)对于二次三项式x2－10x＋36，小聪同学作出如下
2 1．(2014· ) x 宁夏 一元二次方程 －2x－1＝0 的解是( C )
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1＋ 2，x2＝－1－ 2 C．x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2 D．x1＝－1＋ 2，x2＝－1－ 2
2．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有
两个不相等的实数根，则b2－4ac满足的条件是(
一个注意
注意：(1)根的判别式“b2－4ac”只有在确认方程
为一元二次方程时才能使用；(2)使用时，必须将一
元二次方程转化为一般式ax2＋bx＋c＝0，以便确定
a，b，c的值．
一个防范 正确理解“方程有实根”的含义．若有一个实 数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根 则原方程为一元二次方程．在解题时，要特别注 意“方程有实数根”“有两个实数根”等关键文 字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的 “陷阱”．
2
(3)x2－2x－8＝0；(因式分解法)
x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0，x1＝4，x2＝－2 (4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0.(公式法)
－3± 17 x(x＋1)＋2(x－1)＝0，x ＋3x－2＝0，x＝ ， 2×1
2
－3－ 17 －3＋ 17 ∴x1＝ ，x2＝ 2 2
配方法
A．5.5 B．5 C．4.5 D．4
安 徽 省
数
学
第二章 方程与不等式
第7讲 一元二次方程
பைடு நூலகம்
要点梳理 1．定义 只含有一个未知数 ，并且未知数的最高次数是__ 2 ，这 样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的
一般形式： ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0， ) 其
中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数
项．
要点梳理 2．解法 首先考虑 次考虑 3．公式： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：
－b± b2－4ac 2 x＝ (b －4ac≥0) 2a
直接开平方法 配方法
，因式分解法；其 ， 公式法 ．
．
要点梳理
4．一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： (1)b2－4ac＞0⇔方程有两个 不相等 的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔方程有两个 相等 的实数根；
【点评】
(1)代数式的配方是一种重要的数学
方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相 等关系，讨论不等关系的常用方法．在配方前， 先将二次项系数－2提出来，使括号中的二次项 系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方 式．(2)注意与方程的配方的区别．
2 2．(1)(2014· ) ax 聊城 用配方法解一元二次方程 ＋bx＋c＝
解：(1)x2－2x＝0，x(x－2)＝0，∴x1＝0，x2＝2 (2)(2014·徐州)x2＋4x－1＝0；
(2)原式可化为(x2＋4x＋4－4)－1＝0，即(x＋2)2＝5，两 边开方， 得 x＋2＝± 5， 解得 x1＝－2＋ 5， x2＝－2－ 5
(3)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2；
D．(x－2)(x－3)＝12
【点评】
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根
的情况的描述，必须借助根的判别式，Δ≥0方程有两个
实数根，Δ＞0方程有两个不相等的实数根，
Δ＝0方程有两个相等的实数根，Δ＜0方程没有实数根
，反之亦然．
2 3．(1)(2014· 内江)若关于 x 的一元二次方程(k－1)x ＋2x
求实数m的值． 解：①由题意有Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，整理得8m＋8≥0 ，解得m≥－1，∴实数m的取值范围是m≥－1 ②由两根关系，得x1＋x2＝－2(m＋1)，x1· x2＝m2－1， (x1－x2)2＝16－x1x2，(x1＋x2)2－3x1x2－16＝0， ∴[－2(m＋1)]2－3(m2－1)－16＝0，∴m2＋8m－9＝0， 解得m＝－9或m＝1.∵m≥－1，∴m＝1