2.3数学归纳法同步练习含答案详解
最新人教版选修2-2高中数学第二章 推理与证明2.3数学归纳法习题课 同步习题及答案
习题课 数学归纳法明目标、知重点1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n 有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步递推归纳时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．题型一 用数学归纳法证明不等式思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论．例 1 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立． 证明 由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1成立． (1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时不等式成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2 >k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1)＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时， 不等式也成立． 由(1)、(2)可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练1 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k2<1－1k，则当n＝k＋1时，1 22＋132＋142＋…＋1k2＋1(k＋1)2<1－1k＋1(k＋1)2＝1－(k＋1)2－kk(k＋1)2＝1－k2＋k＋1k(k＋1)2<1－k(k＋1)k(k＋1)2＝1－1k＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．题型二利用数学归纳法证明整除问题例2 求证：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.证明(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．跟踪训练2 证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．证明(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．由(1)，(2)可知原命题成立．题型三利用数学归纳法证明几何问题思考用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？答用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．例3 平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝n(n－1)2.证明(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设n＝k(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝12k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝12k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k＋1)(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练3 有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．证明(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；那么当n＝k＋1时，依题意，第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．呈重点、现规律]1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4答案 D解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A．2 B．3C．5 D．6答案 C解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.3．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，证明不等式f(2n)>n2时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是( )A．2k－1项B．2k＋1项C．2k项D．以上都不对答案 C解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋12＋…＋12k，而f(2k＋1)＝1＋12＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．4．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1124(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1和12(k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项1 k＋1D．增加了A中的一项，但又减少了一项1 k＋1答案 C解析当n＝k时，不等式左边为1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，不等式左边为1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，故选C.5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案 A解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k3即可．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝n2a n(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想S n的表达式为________________．答案S n＝2n n＋1解析S1＝1，S2＝43，S3＝32＝64，S4＝85，猜想S n＝2nn＋1.7．已知正数数列{a n}(n∈N*)中，前n项和为S n，且2S n＝a n＋1an，用数学归纳法证明：a n＝n－n－1.证明(1)当n＝1时，a1＝S1＝12(a1＋1a1)，∴a21＝1(a n>0)，∴a1＝1，又1－0＝1，∴n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即a k＝k－k－1. 当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(a k＋1ak)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(k－k－1＋1k－k－1)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－k.∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，解得a k＋1＝k＋1－k(a n>0)，∴n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N*都有a n＝n－n－1.二、能力提升8．对于不等式n2＋n≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案 D解析从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________________________．答案122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3解析观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n>56(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k>56.则当n＝k＋1时，1 (k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13(k＋1)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(3×13k＋3－1k＋1)＝56，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)． 则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立． 三、探究与拓展13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1， 当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立． 下面用数学归纳法证明： 证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立， 当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2， 只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．1 2·34·56·…·2n－12n≤322n＋1恒成立．所以，对任意n∈N*，不等式。
2019-2020学年苏教版高中数学选修2-2同步课堂精练：2.3数学归纳法Word版含答案
2019-2020学年苏教版数学精品资料1．数列1,1＋3,1＋3＋5,1＋3＋5＋7，…的一个通项公式为________．2．用数学归纳法证明不等式2n ＞n 2成立时，n 应取的第一个值为________．3．用数学归纳法证明不等式n 3＋1≥4n ＋1时，n 所取的第一个值n 0为__________．4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋121n ＜n (n ∈N *，且n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．5．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)与f (n )之间的关系为．6．用数学归纳法证明2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N )时，第一步的验证为____________________．7．已知x ＞－1且x ≠0，n ∈N *，且n ≥2，求证：(1＋x )n ＞1＋nx .8．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋13＋…＋(4n －3)＝2n 2－n .9．求证：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *.10．已知函数31x f x x (x ≥0)．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足b n ＝|a n －3|，用数学归纳法证明1(31)2nn n b .参考答案1答案：n22答案：53答案：24答案：2k解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k.5答案：f(n＋1)＝f(n)＋n－1 解析：如图，设凸n＋1边形为A1A2…A n A n＋1，连结A1A n，则凸n＋1边形的对角线是由凸n边形A1A2…A n的对角线加上A1A n，再加上从A n＋1点出发的n－2条对角线，即f(n＋1)＝f(n)＋1＋n－2＝f(n)＋n－1.6答案：当n＝0时，20＋1＝2≥02＋0＋2＝2，结论成立7答案：证明：(1)当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，∵x≠0，∴1＋2x＋x2＞1＋2x.∴左边＞右边，不等式成立.(2)假设当n＝k时，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx成立，则当n＝k＋1时，左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x).∵x＞－1，∴1＋x＞0.∴(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2.∵x≠0，∴1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x.∴(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x成立，即当n＝k＋1时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对于所有的n≥2的正整数都成立.8答案：证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立.(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.则当n＝k＋1时，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)＝2k2－k＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1).∴当n＝k＋1时，命题成立.综上所述，原命题成立.9答案：证明：(1)当n ＝1时，a1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立. (2)假设n ＝k 时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·（a ＋1)2k －1＝a ＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a ＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设知，上式中的两部分均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题成立. 根据(1)(2)知，对任意n ∈N*，命题成立.10答案：证明：当x ≥0时，f (x )＝1＋21x ＞1. 因为a 1＝1，所以a n ≥1(n ∈N *).下面用数学归纳法证明不等式1(31)2n n n b . (1)当n ＝1时，b 1＝3－1，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即1(31)2k k k b ，那么b k ＋1＝|a k ＋1－3|＝1(31)|3|31(31)122k kk k ka b a . 所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立. 根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N*都成立.。
高中数学 2.3数学归纳法课后习题 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题
【优化设计】2015-2016学年高中数学 2.3数学归纳法课后习题新人教A版选修2-2课时演练·促提升A组1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=(n∈N*,a≠1),在验证n=1时,左边所得的项为()A.1B.1+a+a2C.1+aD.1+a+a2+a3答案:B2.用数学归纳法证明“凸n(n≥3,n∈N)边形的内角和公式”时,由n=k到n=k+1时增加的是()A.B.π C. D.2π解析:如图,由n=k到n=k+1时,凸n边形的内角和增加的是:∠1+∠2+∠3=π,故选B.答案:B3.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则()A.该命题对于n>2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取值无关D.以上答案都不对解析:因为2与k+2均为偶数,故选B.答案:B4.用数学归纳法证明1++…+<k+1(n∈N*),由n=k(k∈N*)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2kB.2k-1C.2k+1D.2k-1解析:当n=k时,左边有2k项,当n=k+1时,左边有2k+1项,故增加的项数为2k+1-2k=2k.答案:A5.用数学归纳法证明1++…+<n(n∈N*且n>1)时,假设当n=k时不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是.答案:1++…++…+<k+16.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)…(n+n)=2n-1(n2+n)时,从n=k到n=k+1左边需要添加的因式是.解析:当n=k时,左边=(1+1)(2+2)(3+3)…(k+k),当n=k+1时,左边=(1+1)(2+2)(3+3)+…+(k+k)(k+1+k+1),比较两式可知,由n=k到n=k+1,左边需添加的因式为(2k+2).答案:2k+27.用数学归纳法证明:(n∈N*).证明:(1)当n=1时,左边=1-,右边=,故等式成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N*)等式成立,即·…·.当n=k+1时,·…·=,故当n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知对于n∈N*等式都成立.8.已知数列{a n}的第一项a1=5且S n-1=a n(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,a4,并由此猜想a n的表达式;(2)用数学归纳法证明{a n}的通项公式.(1)解:a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20,猜想a n=5×2n-2(n≥2,n∈N*).(2)证明:①当n=2时,a2=5×22-2=5,猜想成立.②假设当n=k时成立,即a k=5×2k-2(k≥2,k∈N*),当n=k+1时,由已知条件和假设有a k+1=S k=a1+a2+…+a k=5+5+10+…+5×2k-2=5+=5×2k-1.故n=k+1时,猜想也成立.由①②可知,对n≥2,n∈N*,有a n=5×2n-2,所以数列{a n}的通项a n=B组1.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么,下列命题总成立的是()A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立解析:对于A项,f(3)≥9,加上题设可推出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A项错误.对于B项,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故B项错误.对于C项,没有奠基部分,即没有f(8)≥82,故C项错误.对于D项,f(4)=25≥42,由题设的递推关系,可知结论成立,故选D项.答案:D2.设f(n)=1++…+(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于.解析:f(n+1)-f(n)=.答案:3.用数学归纳法证明“n3+5n(n∈N*)能被6整除”的过程中,当n=k+1时,式子(k+1)3+5(k+1)应变形为.解析:证明当n=k+1时n3+5n能被6整除,一定要用到归纳假设“k3+5k能被6整除”,故需将(k+1)3+5(k+1)化成含有(k3+5k)的形式,使用拼凑法.答案:(k3+5k)+3k(k+1)+64.平面内有n(n≥2,n∈N*)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,证明:交点的个数f(n)=.证明:(1)当n=2时,两条直线有一个交点,f(2)=1,命题成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,命题成立,即f(k)=.那么,当n=k+1时,第k+1条直线与前k条直线均有一个交点,即新增k个交点,所以f(k+1)=f(k)+k=+k=,即当n=k+1时命题也成立.根据(1)和(2),可知命题对任何n≥2,n∈N*都成立.5.已知正数数列{a n}(n∈N*)中,前n项和为S n,且2S n=a n+,用数学归纳法证明:a n=.证明:(1)∵当n=1时,a1=S1=,∴=1(a n>0).∴a1=1.又=1,∴n=1时,结论成立.(2)假设n=k(k∈N*)时,结论成立,即a k=.当n=k+1时,a k+1=S k+1-S k===.∴+2a k+1-1=0,解得a k+1=(a n>0),∴n=k+1时,结论成立.由(1)(2)可知,对n∈N*都有a n=.6.用数学归纳法证明对一切n∈N*,1++…+.证明:(1)当n=1时,左边=1,右边==1,不等式成立.(2)假设当n=k时,不等式成立,即1++…+,则当n=k+1时,要证1++…+,只需证.因为===≤0,所以,即1++…+,所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)知,不等式对一切n∈N*都成立.。
数学苏教版选修2-2优化训练：2.3数学归纳法含解析
2。
3 数学归纳法5分钟训练 （预习类训练，可用于课前） 1.用数学归纳法证明1+a+a 2+…+a n+1=aa n --+112(a≠1,n∈N *)，验证n=1时等式的左边为（ ) A.1 B.1+a C.1+a+a 2D 。
1+a+a 2+a 3 答案:C解析：当n=1时，左边=1+a+a 2. 2。
用数学归纳法证明不等式2111+++n n +…+n 21>2413(n≥2）的过程中，由n=k 递推到n=k+1时不等式左边（ ) A.增加了一项)1(21+k B.增加了两项221121+++k k C.增加了B 中的两项但减少了一项11+k D.以上均不正确答案：C解析：在n=k+1时,用k+1替换n ，再与n=k 时比较。
3。
用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n <n(n∈N *且n 〉1)”时，由n=k(k 〉1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是( ） A 。
2k —1 B 。
2k —1 C 。
2kD 。
2k+1 答案：C解析：增加的项数为(2k+1—1)-(2k —1）=2k+1-2k =2k 。
4。
凸n 边形有f （n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f （n+1)与f （n ）之间的关系为_________.解析：设凸n+1边形为A 1A 2……A n A n+1,连结A 1A n ,则凸n+1边形的对角线是由凸n边形A1A2…A n的对角线再加A1A n,以及从A n+1点出发的n—2条对角线，即f(n+1）=f（n）+1+n-2=f（n)+n—1.答案：f（n+1)=f(n）+n-110分钟训练(强化类训练，可用于课中）1。
若命题A(n）(n∈N＊），n=k（k∈N*)时命题成立，则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n0（n0∈N＊）时命题成立,则有（）A。
命题对所有正整数都成立B。
命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C。
2.3数学归纳法
创设问题情境
an =1，+1 an = 1 + an
情景2：数列{an},已知a1
(n ∈ N )
∗
通过对 n = 1,2,3,4 前4项归纳，得出:
a1 = 1
1 a2 = 2 1 a3 = 3 1 a4 = 4
猜想出:
1 an = n
问题探究
“多米诺骨牌”效应所要具备的条件：
（1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块 倒下一定能导致后一块倒下。
1 1 1 1 , , L L 3.已知数列 1 × 4 4 × 7 7 × 10 , (3n − 2)(3n + 1) , , 设Sn为数列前n项和，计算S1, S2 ,S3 ,S4,根据计算结果， 猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。
解：
1 1 = S1= 1× 4 4 1 1 2 + = S2= 4 4 × 7 7 2 1 3 + = S3= 7 7 × 10 10
(
) 1 1 B. ＋ k(k＋ 1) (k＋ 1)(k＋ 2) 1 D. (k＋ 1)(k＋ 2)
[解 析 ] 1 ＋ k(k＋ 1)
1 1 当 n＝ k 时 ， 式 左 边 ＝ 等 ＋ ＋… 1· 2 2· 3
1 1 当 n＝ k＋ 1 时 ， 等 式 左 边 ＝ ＋ ＋…＋ 1· 2 2· 3 1 1 ＋ k(k＋ 1) (k＋ 1)(k＋ 2) 1 两者比较需添加的项为 . ( k＋ 1)( k＋ 2) 故 应 选 D.
= k 2 − 1 + 2(k + 1) = (k + 1)[(k − 1) + 2] = (k + 1) 2 = 右边 即当n=k+1时等式也成立。
【精品习题】高中数学人教A版选修2-2课时训练：2.3 数学归纳法(一) Word版含答案
2.3 数学归纳法(一)[学习目标]1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． [知识链接]1．对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答 (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下． 3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？答 (1)当n ＝1时，猜想成立；(2)若当n ＝k 时猜想成立，证明当n ＝k ＋1时猜想也成立． [预习导引] 1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 2．应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件．要点一 正确判断命题从n ＝k 到n ＝k ＋1项的变化例1 已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是________． 答案 2k解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k . 因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k项．规律方法 在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k ＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．跟踪演练1 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于________．答案13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析 ∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1，∴f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.要点二 证明与自然数n 有关的等式例2 已知n ∈N *，证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；(2)假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即： 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12). 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋11－12k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋1－12k ＋1＝1k ＋11＋1k ＋12＋…＋1k ＋1k＋12k ＋1＝右边；所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知对一切n ∈N *等式都成立．规律方法 (1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范； (2)用数学归纳法证题时，要把n ＝k 时的命题当作条件，在证n ＝k ＋1命题成立时须用上假设．要注意当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决． 跟踪演练2 用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N *时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n. 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴n ＝2时等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12－12k k ＋1＝k ＋22k ＋1＝k ＋112k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立． 要点三 证明与数列有关的问题例3 某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明． 解 (1)已知a 1＝1，由题意得a 1·a 2＝22， ∴a 2＝22，∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222.同理可得a 4＝4232，a 5＝5242.因此这个数列的前五项为1,4，94，169，2516.(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1n 2n －12 n ≥2下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2n －12.①当n ＝2时，a 2＝222－12＝22，所以等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，结论成立， 即a k ＝k 2k －12，则当n ＝k ＋1时，∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2， ∴a 1·a 2·…·a k ＋1＝(k ＋1)2. ∴a k ＋1＝k ＋12a 1·a 2·…·a k －1a k＝k ＋12k －12·k －12[k ＋11]2＝k ＋12[k ＋11]2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是 a n ＝n 2n －12，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1n 2n －12 n ≥2.规律方法 (1)数列{a n }既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式a n ，并用数学归纳法加以证明．(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法． 跟踪演练3 数列{a n }满足：a 1＝16，前n 项和S n ＝n n ＋12a n ，(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)令n ＝2，得S 2＝22＋12a 2， 即a 1＋a 2＝3a 2，解得a 2＝112.令n ＝3，得S 3＝33＋12a 3， 即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，解得a 3＝120.令n ＝4，得S 4＝44＋12a 4， 即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，解得a 4＝130.(2)由(1)的结果猜想a n ＝1n ＋1n ＋2，下面用数学归纳法给予证明：①当n ＝1时，a 1＝16＝11＋11＋2，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1k ＋1k ＋2，则当n ＝k ＋1时，S k ＝k k ＋12a k ，① S k ＋1＝k ＋1k ＋22a k ＋1， ②②与①相减得a k ＋1＝k ＋1k ＋22a k ＋1－kk ＋12a k ，整理得a k ＋1＝k ＋1k ＋3a k ＝k ＋1k ＋3·1k ＋1k ＋2＝1k ＋2k ＋3＝1[k ＋11][k ＋12]，即当n ＝k ＋1时结论也成立．由①、②知对于n ∈N *，上述结论都成立．1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 答案 C解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析 将n ＝1代入a2n ＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．当n ∈N *时，S n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ，(1)求S 1，S 2，T 1，T 2；(2)猜想S n 与T n 的关系，并用数学归纳法证明．解 (1)∵当n ∈N *时，S n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n .∴S 1＝1－12＝12，S 2＝1－12＋13－14＝712，T 1＝11＋1＝12，T 2＝12＋1＋12＋2＝712. (2)猜想S n ＝T n (n ∈N *)，即1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)．下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，已证S 1＝T 1，②假设n ＝k 时，S k ＝T k (k ≥1，k ∈N *)，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12k ＋1＝T k ＋12k ＋1－12k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋1＝1k ＋11＋1k ＋12＋…＋12k ＋1＋12k ＋1＝T k ＋1.由①，②可知，对任意n ∈N *，S n ＝T n 都成立．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础达标1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立 D ．当n ＝4时命题成立答案 B2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( ) A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立 B ．该命题对于所有的正偶数都成立 C ．该命题何时成立与k 取值无关 D ．以上答案都不对 答案 B解析 由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析 因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( )A ．1B ．13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确答案 C5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k (k∈N *)时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________． 答案 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1等式的左边增加了一项． 6．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________. 答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋17．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2＝2n ＋2(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2＝2k ＋2，当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3＝2k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3＝2k ＋2k ＋2k ＋3＝2k ＋3＝2k ＋12， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立． 二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)． 9．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________． 证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．答案 缺少步骤(1)，没有递推的基础 11．用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n n ＋12.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立． 即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k k ＋12，那么当n ＝k ＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k k ＋12＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k·k ＋1k ＋22＝(－1)k ＋1－1·k ＋1[k ＋11]2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n ＝15×2n －2n ≥2，n ∈N *.(2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立， 即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2.＝5＋51－2k －11－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 n ＝15×2n －2n ≥2，n ∈N *.三、探究与创新13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120.(2)猜想a n＝1n n ＋1.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，猜想显然成立．②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即a k＝1k k ＋1. 那么，当n＝k＋1时，S k＋1＝1－(k＋1)a k＋1，即S k＋a k＋1＝1－(k＋1)a k＋1.又S k＝1－ka k＝kk＋1，所以kk＋1＋a k＋1＝1－(k＋1)a k＋1，从而a k＋1＝1k ＋1k＋2＝1k＋1[k＋11].即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立。
高中数学选修2-2 同步练习 专题2.3 数学归纳法(原卷版)
第二章 推理与证明2.3 数学归纳法一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和S ＝(n －2)π对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时,第一步证明中的起始值n 0应取 A ．2 B ．3 C ．4D ．52．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设，且为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证 A ．时等式成立 B ．时等式成立C ．时等式成立D ．时等式成立 3．用数学归纳法证明“”,则当时,应当在时对应的等式的两边加上 A ．B ．C ．D ．4．设()()*111122f n n n n n=++⋅⋅⋅+∈++N ，那么()()1f n f n +-= A ．121n + B ．122n +C ．112122n n +++ D ．112122n n -++ 5．当是正整数时，用数学归纳法证明从到等号左边需要增加的代数式为 A ． B ． C ．D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上． 6．用数学归纳法证明：()22311111n n c c c c cc c++-+++++=≠-，当1n =时，左边为__________．7．对于不等式<n+1(n ∈N *),某同学用数学归纳法证明的主要过程如下:（1）当n =1时,<1+1 ,不等式成立;（2）假设当n =k (k ∈N *)时,不等式成立,有<k+1,即k 2+k <(k+1)2, 则当n =k+1时,=<==(k+1)+1,所以当n =k+1时,不等式也成立.则下列说法中正确的有__________.(填出所有正确说法的序号) ①证明过程全部正确;②n =1的验证不正确;③n =k 的归纳假设不正确;④从n =k 到n =k+1的推理不正确. 8．用数学归纳法证明不等式()*1111223212nnn n ++++>≥∈-N ，的过程中，由“”到“”时，左边增加了__________项三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．求证:++…+=1-(其中n ∈N *).10．证明：.11．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除.12．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.13．在数列中，，其中.（1）计算的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.。
数学选修2-2温故知新 2.3数学归纳法 含解析 精品
2.3 数学归纳法
温故知新
新知预习
1.数学归纳法
设{p(n)}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题___________(或__________)成立；(2)在假设_______________成立的前提下，推出_______________也成立，那么可以断定，{p n}对一切整数或自然数成立.
2.数学归纳法证题的步骤
(1)证明当n取第一个值_________________(例如_______________或_______________)时，命题p(n)正确；
(2)假设_______________ (k≥n0,k∈N*)时命题正确，证明当n=_______________时命题也正确，即p(k+1)为真.
(3)根据(1)、(2)知，当n≥n0且n∈N*时，p(n)正确.
知识回顾
归纳推理与数学归纳法的区别
归纳推理是合情推理，是从特殊出发，通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一类事物的所有对象都具有某种性质的重要方法.它的前提与结论只具有或然性联系，结论不一定正确，结论的正确性需经过理论证明或实践检验.
数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法.它通过有限地考查结论，得出一般性的结论直至无穷.它既可以克服归纳推理不一定可靠的缺点，又避免了对研究对象一一直接进行检查的繁琐.但数学归纳法不能直接发现结论，因此，将归纳推理与数学归纳法并举是探讨数学问题的好方法，这就是我们常见的“归纳、猜想、证明”题型.。
人教A高中数学选修22提能达标过关：2.3 数学归纳法 含解析
第二章 2．3 数学归纳法提能达标过关一、选择题1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 1＋1＝1＋a ＋a 2.答案：B2．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由假设n ＝k (k >1，k ∈N *)不等式成立，推证n ＝k ＋1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是( )A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1解析：当n ＝k 时，不等式左边含有2k －1项，当n ＝k ＋1时，不等式左边含有2k ＋1－1项，所以由n ＝k 推证n ＝k ＋1时，不等式左边增加的项数为(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k ，故选C.答案：C3．(2019·石嘴山中学高二检测)用数学归纳法证明n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N *)时，若记f (n )＝n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)，则f (k ＋1)－f (k )等于( )A ．3k －1B ．3k ＋1C ．8kD ．9k解析：因为f (k )＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)，f (k ＋1)＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1)，则f (k ＋1)－f (k )＝3k －1＋3k ＋3k ＋1－k ＝8k .答案：C4．证明等式12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)时，某学生的证明过程如下①当n ＝1时，12＝1×2×36，等式成立；②假设n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6，则当n ＝k ＋1时， 12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2 ＝(k ＋1)[k (2k ＋1)＋6(k ＋1)]6＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6， 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，故原式成立．那么上述证明( )A ．过程全都正确B ．当n ＝1时验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：通过对上述证明的分析验证知全都正确，故选A.答案：A5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34.解得a ＝12，b ＝14，c ＝14. 答案：A二、填空题6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．解析：∵n 为正奇数，且与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1.∴需证n ＝2k ＋1时，命题成立．答案：2k ＋17．(2019·南阳一中高二月考)用数学归纳法证明“当n ∈N *时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数”时，当n ＝1时，原式为________________，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需增添的项是____________________．解析：当n ＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需添25k ＋25k ＋1＋…＋25(k ＋1)－1.答案：1＋2＋22＋23＋2425k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋48．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n 条直线把平面分为f (n )部分，则f (n )＝1＋n (n ＋1)2.”证明第二步归纳递推时，用到f (k ＋1)＝f (k )＋________.解析：f (k )＝1＋k (k ＋1)2，f (k ＋1)＝1＋(k ＋1)(k ＋2)2， ∴f (k ＋1)－f (k )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(k ＋1)(k ＋2)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋k (k ＋1)2 ＝k ＋1，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(k ＋1)．答案：k ＋1三、解答题9．(2019·泉州高二期末)证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明：①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立．即1－12＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2 ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋1(k ＋1)＋(k ＋1)， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立，由①②知，对一切n ∈N *等式都成立．10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)，且a 1＝0. (1)计算a 2，a 3，a 4的值，并猜想a n 的表达式；(2)请用数学归纳法证明你在(1)中的猜想． 解：(1)a 2＝12－a 1＝12，a 3＝12－a 2＝23，a 4＝12－a 3＝34. 由此猜想a n ＝n －1n (n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝0，结论成立； ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立，即a k ＝k －1k .当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k ＝12－k －1k＝(k ＋1)－1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时结论成立，由①②知，对于任意的n ∈N *，a n ＝n －1n 恒成立．。
【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：2.3数学归纳法(含答案解析)
明目标、知要点 1.认识数学概括法的原理.2.能用数学概括法证明一些简单的数学命题．1．数学概括法(1)假如当 n 取第一个值 n0(比如 n0＝1,2 等 )时结论正确；(2) 假定当 n＝ k(k ∈ N*n＝k＋ 1 时结论也正确．那么，命题，且 k≥n)时结论正确，证明当关于从 n0开始的所有正整数n 都建立．2．应用数学概括法时应注意几点(1) 用数学概括法证明的对象是与正整数n 相关的数学命题．(2)在用数学概括法证明中，两个基本步骤缺一不行．(3) 步骤②的证明一定以， k∈N*“假定当 n＝ k(k ≥n0)时结论建立”为条件．[ 情境导学 ]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按必定间距摆列成行，保证随意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则必定致使后一块骨牌倒下．只需推倒第一块骨牌，就必定致使第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必定致使第三块骨牌倒下，最后无论有多少块骨牌都能所有倒下．请同学们思虑所有的骨牌都一一倒下蕴涵如何的原理？研究点一数学概括法的原理思虑 1多米诺骨牌游戏给你什么启迪？你以为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答 (1) 第一张牌被推倒； (2) 随意相邻两块骨牌，前一块倒下必定致使后一块倒下．结论：多米诺骨牌会所有倒下．所有的骨牌都倒下，条件 (2)给出了一个递推关系，条件 (1) 给出了骨牌倒下的基础．思虑 2 关于数列 {a n} ，已知 a1＝ 1，a n＋1＝a n，试写出 a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请1＋ a n问这个结论正确吗？如何证明？答 a 1＝ 1， a 2＝1， a 3＝ 1， a 4＝ 1，2341 *)．猜想 a n ＝ (n ∈ Nn以下为证明过程：1(1) 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 1＝ 1，所以结论建立．(2) 假定当 n ＝ k(k ∈N *)时，结论建立，即 a k ＝ 1，k 则当 n ＝ k ＋ 1 时 a k ＋1＝ a k (已知 )1＋ a k 1k＝(代入假定 )11＋ k1 k＝ k ＋ 1(变形 )k1＝ k ＋ 1(目标 )，即当 n ＝ k ＋ 1 时，结论也建立．由 (1)(2) 可得，对随意的正整数n 都有 a n ＝1建立．n思虑 3 你可否总结出上述证明方法的一般模式？答 一般地，证明一个与正整数n 相关的命题 P(n) ，可按以下步骤进行：(1)( 概括奠定 )证明当 n 取第一个值 n 0(n 0∈ N * )时命题建立；， k ∈ N *)时命题建立，证明当n ＝ k ＋ 1 时命题也建立．(2)( 概括递推 )假定当 n ＝ k(k ≥n 0 只需达成这两个步骤，就能够判定数题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都建立．上述证明方法叫做数学概括法．思虑 4 用数学概括法证明 1＋3＋ 5＋ ＋ (2n － 1)＝ n 2，如采纳下边的证法，对吗？若不对请更正．证明： (1)n ＝ 1 时，左侧＝ 1，右侧＝ 12＝ 1，等式建立．(2) 假定 n ＝ k 时等式建立，即 1＋ 3＋5＋ ＋ (2k － 1)＝ k 2，(k ＋ 1) ×[1＋ (2k ＋ 1)]2则当 n ＝ k ＋ 1 时， 1＋ 3＋ 5＋ ＋ (2k ＋ 1)＝＝ (k ＋ 1) 等式也建立．由 (1) 和(2) 可知对任何 n ∈ N *等式都建立．答证明方法不是数学概括法，由于第二步证明时，未用到概括假定．从形式上看这类证法，用的是数学概括法，本质上不是，由于证明n＝ k＋ 1 正确时，未用到概括假定，而用的是等差数列乞降公式．研究点二用数学概括法证明等式例 1用数学概括法证明12＋22＋＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)．62证明(1)当 n＝1 时，左侧＝ 1 ＝ 1，6等式建立．(2)假定当 n＝ k(k ∈N * )时等式建立，即12＋22＋＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)，6那么， 12＋ 22＋＋ k2＋ (k＋ 1)2＝ k(k ＋ 1)(2k ＋ 1)＋(k＋1)262＝ k(k ＋ 1)(2k ＋ 1)＋ 6(k＋ 1)2＝ (k＋ 1)(2k ＋ 7k＋ 6)＝(k＋ 1)(k＋ 2)(2k ＋ 3)6＝(k＋ 1)[(k ＋ 1)＋ 1][2(k ＋1)＋ 1]， 6即当 n＝ k＋ 1 时等式也建立．依据 (1)和 (2)，可知等式对任何n∈ N*都建立．反省与感悟用数学概括法证明与正整数相关的一些等式命题，要点在于“先看项”，弄清等式两边的组成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值能否相关．由n＝ k 到 n ＝ k＋ 1 时，等式的两边会增添多少项，增添如何的项．追踪训练 1求证： 1－1＋1－1＋＋ 1 － 1 ＝ 1 ＋ 1＋＋1*2 3 42n－ 12n n＋ 1 n＋ 22n(n∈ N ) ．证明当 n＝ 1 时，左侧＝ 1－1＝1，221右侧＝2，所以等式建立．假定 n＝ k(k∈ N * )时，1－1＋1－1＋ ＋ 1 －12 342k － 12k＝ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 建立．k ＋ 1 k ＋ 2 2k 那么当 n ＝k ＋ 1 时，1 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ ＋ 2k 1 － 1 ＋ 1 － 1 ＝ 1 ＋1＋＋ 1 ＋ 1 －2 3 4 － 1 2k 2(k ＋ 1)－1 2(k ＋ 1) k ＋ 1 k ＋ 2 2k 2k ＋ 11 2(k ＋ 1)＝1＋1＋＋1＋1＋[1－1k ＋ 2 k ＋ 3 2k 2k ＋ 1 k ＋ 1 2(k ＋ 1)]＝ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 ＋1 ，2(k ＋ 1)(k ＋ 1)＋ 1 (k ＋ 1)＋ 2 (k ＋ 1)＋ k所以 n ＝ k ＋ 1 时，等式也建立．*综上所述，关于任何n ∈ N ，等式都建立．例 2已知数列1 ， 1 ，1， ，1， ，计算 S ，S ，S ，S ，依据计1×4 4×7 7×10(3n －2)(3n ＋ 1) 1234算结果，猜想 S n 的表达式，并用数学概括法进行证明．11解 S 1＝ 1×4＝ 4；S 2＝ 1＋ 1 ＝2；44×7 7S 3＝ 2＋1 ＝ 3； 77×10 10 S 4＝ 3＋1 ＝ 4. 1010×13 13能够看出，上边表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为 3n ＋1.n于是能够猜想S n＝3n ＋ 1.下边我们用数学概括法证明这个猜想．(1) 当 n ＝ 1 时，左侧＝ S 1＝ 1，4n11右侧＝＝ ＝ ，猜想建立．(2) 假定当 n ＝ k(k ∈N * )时猜想建立，即1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1＝ k ， 1×4 4×7 7×10 (3k － 2)(3k ＋ 1) 3k ＋ 1那么，1＋1＋1 ＋＋1＋11×4 4×77×10(3k － 2)(3k ＋ 1)[3(k ＋ 1)－ 2][3(k ＋ 1)＋ 1]＝k＋13k ＋ 1(3k ＋ 1)(3k ＋ 4)＝3k2＋ 4k＋1(3k ＋ 1)(3k ＋ 4)＝(3k＋ 1)(k ＋ 1)(3k ＋ 1)(3k ＋ 4)k＋ 1，＝3(k ＋ 1)＋ 1所以，当 n＝ k＋ 1 时猜想也建立．依据 (1)和 (2)，可知猜想对任何 n∈ N*都建立．反省与感悟概括法分为不完整概括法和完整概括法，数学概括法是“完整概括”的一种科学方法，关于无量尽的案例，常用不完整概括法去发现规律，得出结论，并想法赐予证明，这就是“概括——猜想——证明”的基本思想．追踪训练 2 数列 {a n} 知足 S n＝ 2n－ a n(S n为数列 {a n} 的前 n 项和 )，先计算数列的前 4 项，再猜想a n，并证明．解由 a1＝ 2－ a1，得 a1＝ 1；由 a1＋ a2＝ 2×2－ a2，得 a2＝3；2由 a1＋ a2＋ a3＝ 2×3－ a3，得 a3＝7；4由 a1＋ a2＋ a3＋ a4＝ 2×4－ a4，15得 a4＝8 .n2 － 1下边证明猜想正确：(1)当 n＝ 1 时，由上边的计算可知猜想建立．(2)假定当 n＝ k 时猜想建立，2k－ 1则有 a k＝2k－1，当 n＝ k＋1 时， S k＋ a k＋1＝ 2(k＋ 1)－ a k＋1，1∴ a k ＋ 1＝ 2[2(k ＋ 1)－S k ]12k － 1＝ k ＋ 1－2(2k － 2k － 1 )2 k ＋1－ 1＝ (k ＋ 1)－ 1，2所以，当 n ＝ k ＋ 1 时，等式也建立．由 (1) 和(2) 可知， a n ＝2n － 1n 都建立．2n －1 对随意正整数1．若命题 A(n)(n ∈N * )在 n ＝ k(k ∈ N * )时命题建立， 则有 n ＝ k ＋ 1 时命题建立． 现知命题对 n＝ n 0(n 0 ∈N * )时命题建立，则以下说法正确的选项是________．①命题对所有正整数都建立；②命题对小于 n 0 的正整数不建立，对大于或等于n 0 的正整数都建立；③命题对小于 n 0 的正整数建立与否不可以确立，对大于或等于 n 0 的正整数都建立．答案 ③分析 由已知得 n ＝n 0(n 0∈ N * )时命题建立，则有 n ＝n 0＋ 1 时命题建立； 在 n ＝ n 0＋ 1 时命题建立的前提下，又可推得n ＝ (n 0＋1)＋ 1 时命题也建立，依此类推，可知③正确．2n ＋222n ＋1＝ 1－a(a ≠ 1)．”在考证 n ＝ 1 时，左端计算所2．用数学概括法证明 “1＋ a ＋a ＋ ＋ a1－ a得项为 ________．答案1＋a ＋ a 2＋ a 33．用数学概括法证明1＋ 2＋ 22＋ ＋ 2n － 1＝ 2n － 1(n ∈ N * )的过程以下：(1) 当 n ＝ 1 时，左侧＝ 1，右侧＝ 21－ 1＝ 1，等式建立．(2) 假定当 n ＝ k(k ∈N * )时等式建立，即 1＋ 2＋ 22＋ ＋ 2k －1＝ 2k － 1，则当 n ＝ k ＋ 1 时， 1＋ 2k ＋12k －1k1－ 2k ＋ 1＋ 2 ＋＋ 2 ＋ 2 ＝＝ 2 － 1.所以当 n ＝ k ＋1 时等式也建立．由此可知关于任何n ∈ N *，等式都建立．上述证明的错误是 ________．答案 未用概括假定分析此题在由 n ＝k 建立，证 n ＝ k ＋1 建即刻，应用了等比数列的乞降公式，而未用上假定条件，这与数学概括法的要求不符．4．用数学概括法证明： 对全部大于1 的自然数， 不等式 (1＋ 1 )(1＋ 1) · ·＋(1 1)>2n ＋ 123 5 2n － 1 均建立．证明 (1)当 n ＝2 时，左侧＝ 1＋1 453＝3；右侧＝2.∵左侧 >右侧，∴不等式建立．(2) 假定 n ＝ k(k ≥2，且 k ∈N * )时不等式建立，即(1＋ 1 )(1＋ 1 ) · ·＋(1 12k ＋ 13 5 )> 2 .2k －1 则当 n ＝ k ＋ 1 时，(1＋ 1 )(1＋ 1 ) · ·＋(1 1)[1＋ 1 ]> 2k ＋ 1 2k ＋ 2 2k ＋ 22 · ＝2 2k ＋13 5 2k －1 2(k ＋1)－ 1 2k ＋ 1 ＝4k 2＋ 8k ＋44k 2＋ 8k ＋ 32>2 2k ＋12k ＋ 1＝2k ＋3 2k ＋1 ＝2(k ＋1) ＋1.2 2k ＋12∴当 n ＝ k ＋ 1 时，不等式也建立．由 (1)(2) 知，关于全部大于1 的自然数 n ，不等式都建立．[ 呈要点、现规律 ]在应用数学概括法证题时应注意以下几点：(1) 考证是基础：找准起点，奠定要稳，有些问题中考证的初始值不必定为1；(2) 递推是要点：正确剖析由 n ＝k 到 n ＝ k ＋ 1 时式子项数的变化是应用数学概括法成功证明问题的保障；(3) 利用假定是中心：在第二步证明中必定要利用概括假定，这是数学概括法证明的中心环节，不然这样的证明就不是数学概括法证明.一、基础过关1．用数学概括法证明：1 ＋1 ＋ ＋ 1 ＝2n时，由 n ＝k 到 n ＝ k ＋ 1 左侧需要增添的项1＋1＋2 1＋2＋3 1＋2＋ 3＋ ＋ n n ＋ 1是 ________________________________________________________________________ ．1答案1＋ 2＋3＋＋ k ＋ (k ＋ 1)2．一个与正整数 n 相关的命题，当 n ＝ 2 时命题建立，且由 n ＝ k 时命题建立能够推得 n ＝k＋ 2 时命题也建立，则以下说法正确的选项是 ________．①该命题关于 n>2 的自然数 n 都建立；②该命题关于所有的正偶数都建立；③该命题何时建立与 k 取值没关．答案 ②分析 由 n ＝ k 时命题建立能够推出n ＝ k ＋ 2 时命题也建立．且 n ＝ 2，故对所有的正偶数都建立．13．在应用数学概括法证明凸 n 边形的对角线为 2n(n － 3)条时，第一步考证n ＝ ________.答案 3分析由于是证凸 n 边形，所以应先考证三角形．1 11*4．若 f(n) ＝ 1＋ 2＋3＋ ＋ 2n ＋ 1(n ∈ N)，则 n ＝ 1 时 f(n) 是 ________．答案1＋1＋ 12 31 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 15．已知 f(n)＝2，则 f(n) 共有 ________项，且 f(2) ＝ ________.n n ＋ 1 n ＋ 2 n21 1 1 答案n － n ＋ 1 2＋ 3＋4分析察看分母的首项为 n ，2最后一项为 n ，公差为 1，2∴项数为 n － n ＋ 1.6．在数列 {a n } 中， a 1＝ 2， a n ＋ 1＝a n *a 2， a 3 ， a 4，概括推断出 {a n } 的通＋ 1(n ∈ N )，挨次计算3a n项 a n ＝ ________. 答案26n － 5分析 a 1＝ 2，a 2＝ 2， a 3＝ 2 ， a 4＝ 2， ，7 13 192 可推断 a n ＝ 6n － 5.7．用数学概括法证明1111 2*(1－ 3)(1－ 4)(1 －5) (1－ n ＋ 2)＝ n ＋2(n ∈ N ) ．证明(1)当 n ＝1 时，左侧＝ 1－ 1＝2，右侧＝ 2 ＝2，等式建立．3 3 1＋ 2 3 (2) 假定当 n ＝ k(k ≥1，k ∈N * )时等式建立，即11 1 12(1－ 3)(1－ 4)(1 －5) (1－ k ＋ 2)＝ k ＋2，当 n ＝ k ＋1 时，11 1 11(1－ 3)(1－ 4)(1 －5) (1－ k ＋ 2) ·(1－ k ＋ 3)＝ 21 2(k ＋ 2) ＝2 ，k ＋ 2(1－k ＋ 3)＝(k ＋ 2)(k ＋ 3)k ＋ 3所以当 n ＝k ＋ 1 时等式也建立．由 (1)(2) 可知，关于随意 n ∈ N * 等式都建立．二、能力提高8．用数学概括法证明等式(n ＋ 1)(n ＋2) (n ＋ n)＝ 2n · 1· 3· ·－1)(n2n ∈N * )，从 k 到 k ＋1 左端需要增乘的代数式为________．答案2(2k ＋ 1)分析n ＝k ＋ 1 时，左端为 (k ＋ 2)(k ＋ 3)[(k ＋ 1) ＋ (k － 1)] ·[(k ＋ 1) ＋ k] ·(2k ＋ 2) ＝ (k ＋ 1)(k ＋ 2)(k ＋ k) ·(2k ＋1) ·2，∴应增乘 2(2k ＋ 1)．1 ＋1 ＋ ＋ 1*)，则 f(k ＋ 1)＝ ______________________.9.已知 f(n)＝ n ＋ 1 n ＋ 2 3n － 1(n ∈N1 1 1 1答案 f(k) ＋ 3k ＋ 3k ＋ 1 ＋ 3k ＋2 －k ＋ 110．证明：假定当 n ＝ k(k ∈ N * )时等式建立，即 2＋4＋ ＋ 2k ＝ k 2＋ k ，那么 2＋ 4＋ ＋ 2k＋ 2(k ＋ 1)＝ k 2＋ k ＋2(k ＋ 1)＝ (k ＋ 1)2＋ (k ＋ 1)，即当 n ＝ k ＋ 1 时等式也建立．所以关于任何 n ∈ N *等式都建立．以 上 用 数 学 归 纳 法 证 明 “2＋ 4 ＋＋ 2n ＝ n 2 ＋ n(n ∈ N * ) ”的 过 程 中 的 错 误 为________________________________________________________________________ ．答案 缺乏步骤概括奠定－1·n 2 －n(n ＋1).11．用数学概括法证明 12－ 22＋ 32－ 42＋ ＋ (－1) n ＝(－ 1) n 1· 2证明 (1)当 n ＝1 时，左侧＝1，1－11×2右侧＝ (－ 1) ×2 ＝1，结论建立．(2) 假定当 n ＝ k 时，结论建立．即 12－ 22＋ 32－ 42＋ ＋ (－ 1)k － 1k 2＝ (－ 1)k － 1·k(k ＋1)， 2那么当 n ＝k ＋ 1 时，12－ 22＋ 32－ 42＋ ＋ (－ 1)k－1k 2＋ (－ 1)k (k ＋1) 2＝(－1)k －1k(k ＋ 1) ＋(－1) k (k ＋ 1) 2·2－ k ＋ 2k ＋ 2＝ (－ 1)k ·(k ＋ 1) ·2＝(－1)k (k ＋ 1)(k ＋ 2).·2即 n ＝ k ＋1 时结论也建立．由 (1)(2) 可知，对全部正整数n 都有此结论建立．n 1＝5 且 S n －1＝ a n (n ≥2，n ∈ N *)， S n 为数列 {a n12.已知数列 {a } 的第一项 a } 的前 n 项和．(1) 求 a 2， a 3，a 4，并由此猜想 a n 的表达式；(2) 用数学概括法证明 {a n } 的通项公式．(1) 解 a 2 ＝S 1＝ a 1＝ 5， a 3＝ S 2＝ a 1＋ a 2＝ 10，a 4＝S 3＝ a 1＋ a 2＋ a 3＝ 5＋ 5＋10＝ 20，5(n ＝1)猜想a n ＝5×2n－2 ，(n ≥2， n ∈ N * ) .(2) 证明2－2＝ 5，公式建立．①当 n ＝ 2 时， a 2＝ 5×2 ②假定 n ＝k(k ≥2， k ∈ N * )时建立，即 a k ＝ 5×2k －2，当 n ＝ k ＋1 时，由已知条件和假定有a k ＋ 1＝ S k ＝ a 1＋ a 2＋ a 3＋ ＋ a k＝ 5＋ 5＋ 10＋ ＋ 5×2k －2.k －1＝5＋ 5(1－ 2 )＝ 5×2k－1. 1－ 2故 n ＝ k ＋1 时公式也建立．由①②可知，对 n ≥2， n ∈N * ，有 a n ＝ 5×2n － 2.所以数列 {a n } 的通项公式为5(n ＝ 1)a n ＝n －2*.5×2 ( n ≥2， n ∈N )三、研究与拓展13.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ＝ 1－ na n (n ∈N * )．(1) 计算 a 1， a 2， a 3， a 4；(2) 猜想 a n 的表达式，并用数学概括法证明你的结论．1 1 1 1解 (1)计算得 a 1＝2； a 2＝ 6； a 3＝ 12；a 4＝ 20.1(2) 猜想： a n ＝n(n ＋ 1).【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：2.3数学概括法(含答案分析)下边用数学概括法证明①当 n ＝ 1 时，猜想明显建立．*1 ②假定 n ＝k(k ∈ N )时，猜想建立，即a k ＝ . 那么，当 n ＝ k ＋ 1 时， S k ＋1＝ 1－ (k ＋ 1)a k ＋1 ，即 S k ＋ a k ＋ 1＝1－ (k ＋ 1)a k ＋ 1.又 S k ＝ 1－ ka k ＝k ，k ＋ 1 所以k ＋ a ＋ ＝ 1－(k ＋1)a ＋ ，k ＋ 1 k 1 k 1进而 a k ＋ 1＝ 1 ＝ 1. (k ＋ 1)(k ＋ 2) (k ＋ 1)[(k ＋1)＋ 1] 即 n ＝ k ＋1 时，猜想也建立．故由①和②，可知猜想建立．。
人教a版数学【选修2-2】备选练习：2.3数学归纳法(含答案)
选修2-2第二章 2.31．用数学归纳法证明某个命题时，左边为1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，从n＝k到n＝k＋1左边需增加的代数式为________．[答案](k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)[解析]当n＝k时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)．当n＝k＋1时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k ＋4)，所以从n＝k到n＝k＋1左式应增加(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)．2．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案] D[解析]n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.3．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．[证明]①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n ＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n∈N*都成立．。
【人教B版】选修2-2：2.3《数学归纳法》课时作业及答案.doc
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章2. 3数学归纳法课时作业 新人教B 版选修2-2一、选择题n+2 ］1. --------------------------------------------- 用数学归纳法证明1 + Q +扌 Q 11=~ gHl ）,在验证刀=1等式成q_\立时，等式左边的式子是（）A. 1B. 1 + qC. 1 + g+ qD. 1 + g+ q + q［答案］C［解析］左边=1 + ^+<7* = 1 + g+J 故选C.2. ....................................................................................................... 用数学归纳法证明（/?+1）（卄2）（卄3）…（/?+/?） =2"・1・3 ........................................... （2/7—1）（刀WN"）,从n=k 到刀=&+1,左边的式子Z 比是（）& 2 2A+13. 用数学归纳法证明詁T+册+•••+£；彩（/总2,圧NJ 的过程中，由n=k 递推到 n=k+\时不等式左边（）A. 增加了一项2B. 增加了两项眩+］+2«+21A ------- 2A+1 C. 2A+1 k+1D.2A+3 k+1［答案］B ［解析］A+l k+2 A+3 - k+k A+l + 1 &+1+2 …W+l + W+l £+1 k+2 £+3 …2k 7+2 &+3 …2k 2A+12k+21.故选B.C.增加了B中两项但减少了一项汁YD.以上各种情况均不对［答案］C［解析］/?=&时，左边=计y+计？—右，刀=&+1时，左边=计计^—丄+丄+丄2A- 2A-+1 2A+2••.增加了2«+1+2«+2'减少「叭+1，故选C.4.设平面内有〃条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设&条直线的交点个数为,则/U+1)与f@的关系是()A.f(k+l)=f(/d+k-lB./U+D=/U)+A4-lC.f(W+l)=f(£)+«+2D.f(k+l)=f(/d+k［答案］D［解析］因为任何两条不平行，任何三条不共点，所以当增加一条直线时，则增加k 个交点，故交点个数为/U) +k.5.某个与正整数刀有关的命题，如果当n=kgN\时该命题成立，则可推得n=k+\时该命题也成立，现已知77=5时命题不成立，那么可推得( )A.当/?=4时该命题不成立B.当77=6吋该命题不成立C.当77=4时该命题成立D.当77=6时该命题成立［答案］A［解析］rtl命题及其逆否命题的等价性知选A.6.等式12+22+32+- + /?2=|(5/?2~7/7+4)( )A.刀为任何正整数都成立B.仅当/7=1,2,3时成立C.当/7=4时成立，刃=5吋不成立D.仅当刀=4时不成立［答案］B［解析］经验证，刀=1,2,3时成立，刀=4, 5,…不成立.故选B.4 I 27.(2015 •枣庄一模)用数学归纳法证明1 +2 + 3 +・・・+ /=仝于，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.牙+1B. a+i)2亠k+\4+ A+lD.（#+1） + （护+2） + （#+3）+・・・+（&+1）2［答案］D［解析］•・•当n=k时，左边=1+2 + 3 +・・・+尸.当n=k+l吋，左边=1+2 + 3 +・・・+斥+（护+1）+…+（&+1尸，・••当n=k+\时，左端应在n=k的基础上加上（#+1）+ （#+2）+ （#+3）+・••+（&+ I）2.8.用数学归纳法证明“/+5+1）'+（〃+2）'（用2）能被9整除”，要利用归纳假设证/7=«+1时的情况，只需展开（）A. （£+3尸B. （£+2尸C.（斤+1尸D.（斤+1）3+（斤+2）‘［答案］A［解析］因为从n=k到心&+1的过渡，增加了（&+3几减少了护，故利用归纳假设，只需将（A+3）3展开，证明余下的项9#+27彳+27能被9整除.二、填空题9.（2015 •辽宁师大附中高二检测）用数学归纳法证明“1+2 + 22+・・・+ 2”7 = 2〃一1（刀WN+）”的过程中，第二步n=k时等式成立，则当/7=斤+1时应得到 ___________ .［答案］1+2 + 2'+…+21+2"=2*+| — 110.用数学归纳法证明当用N+时,l+2+22+23+- + 25fl~1是31的倍数时,当刀=1时原式为_________ ,从kf k+1时需增添的项是___________l+2 + 22+23+2* 25X+25A+1 + 25A+2+25糾'+25A+4［答案］11.________________________________________________________ 使不等式2“>d+l对任意n^k的自然数都成立的最小殳值为_____________________________ ［答案］5［解析］2—32,52+1=26，对心5的所有自然数〃,2”>/+1都成立，自己用数学归纳法证明之.三、解答题12.已知f(刀)=1+£+**・・・+*,用N+,求证：刀+厂⑴+…+心―1）=刀心）（处2且用N+).［证明］⑴当n=2时，左边=2 + f(l)=3,右边=2/(2) =3,等式成立.(2)假设n=k时，k+ /'(I) H -------- f(k_V) = kf© .当n=k+l时，&+i+f(i)+・・・+/U-i)+/W=i+/w +MA )= a+i )/U )+1 =(«+i )・(Hw)+^y )=(&+i)f(w+i ).即n=k+1时，命题成立.根据（1）和（2）,可知结论正确.能力提升二一、选择题1. 用数学归纳法证明“S+1）S+2）・・・S+/2）=2”X1X3・・・（2/2-1）5W N+）”，则“从斤到£+1”左端需乘的代数式为（）A. 2&+1B. 2（2&+1）2A+1 2&+3 r -------- n ----------------------------------------------------- ° k+\ k+\［答案］B［解析］n=k 时左式=(斤+1)(&+2)(&+3)n= k~\~ I 时左式=(£+2) (£+3)…(2&+1) (2A+2)故"从 k 到 &+1"左端需乘2. 已知数列｛弘｝, $1 = 1,日2 = 2, /+i = 2/+/_i （&GN"）,用数学归纳法证明釦能被4 整除时，假设釦能被4整除，应证（）A. a u+i 能被4整除B.弘+2能被4整除C.刘+3能被4整除D.创&+4能被4整除［答案］D［解析］在数列仙”｝中，相邻两项下标差为4,所以纵后一项为去+4.故选D.3. （2015 •锦州期中）在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ） A.刀=1成立 B.刀=2成立 C. 〃=3成立D. 〃=4成立［答案］C［解析］多边形的边数最少是3,即三角形， ・•・第一步验证刀等于3.4. 用数学归纳法证明3"2/?（刀$3,刀WN ）,第一步应验证（ ）A.刀=1B. n=2C. 〃=3D. 〃=42A+1 2k+2k+\=2(2&+1).故选 B.［答案］C［解析］・・・〃23, /7WN,・・・第一步应验证/?=3时，命题成立.二、填空题5. 用数学归纳法证明关于刀的恒等式时，当n=k 时，表达式为1X4 + 2X7 +…+斤(3& + 1)=A(A4-1)2,则当n=k+1时，待证表达式应为 _____________ .［答案］lX4 + 2X7 + ・・・ + £(3斤+1) +(斤+1) (3£+4) = (£+1) U+2)26. 用数学归纳法证明:l+2 + 22+- + 2/?-, = 2fl -l(/?GN*)的过程如下：① 当77=1时，左边=2°=1,右边=21—1 = 1,不等式成立； ② 假设n=k 时，等式成立， 即 1+2+2'+…+ 2^ = 2 j 则当n=k+l 时，1 +2 + 労 +…+=2好】一1,所以n= k+1时等式成立.由此可知对任意正整数77,等式都成立. 以上证明错在何处？ ___________ • ［答案］没有用上归纳假设［解析］由数学归纳法证明步骤易知其错误所在.7. 设 5 = 12, &=12+22+12,…，5；=12+22+32+- + /?2+-+22+12.用数学归纳法证明S* 时，第二步从“n=k 到刀=&+1”右边应添加的项为A+2 >2A +1 三、解答题8. 在数列｛禺｝中，曰1 =及=1,当时，满足 亦2=亦1 +孙 且设b n = a.\,｝,求证：｛加 的各项均为3的倍数.［证明］(1) V ^1 = 52=1,故念=臼1 + 观=2, <21 — ^3 4~ 4^2 = 3.5 =越=3,当n — 1时，5能被3整除. (2)假设n= k 时，即反=业是3的倍数.贝9 刀=«+ 1 时 9 bk+\ = &1伙+1)=臼仏+4)= &1&+3+ H\k+2 =&仏+2+十日4«+1 + a“=3日必+1十2&以・［答案］斤+2・2*+12［解析］ S"小广+1k 2*+1rh归纳假设，购是3的倍数，故可知力屮是3的倍数..\n=k+l时命题正确.综合（1）、（2）可知，对于任意正整数/?,数列｛加的各项都是3的倍数.9.若不等式士T+治+治+…+石吕＞法对一切正整数〃都成立，求止整数自的最大值，并证明你的结论.〔解析］取门=1，I + I + I+2+3X 1 + 1=24，26 a令刃〉訂，得日〈26,且日WN十.・・・取日=25.下面用数学归纳法证明: 士+忌+…+爲①77=1时，结论己证.②假设刀=«（心+）时，击+占+•••+侖＞务则当宀+1时，有J +1小+2 + T3A+l+3A+2 + 3A+3 + 3 A+1 +1k+1 +7+2 +，，> + 3A+T) + (3A+2 + 3A+3 + 3A+4 W 24 ■+・・•+! ________ 总•* † £+1 +1 十k+\+2十十3 k+\+1 24' 即n=k+ 1吋，结论也成立.由①②可知，对一切/7WN+,都有占+忌+•••+為＞|为故臼的最大值为25.3 k+l」•1 . 1 6 k+l 2† 3斤+2 3«+4一9F+18W+8 3 k+\.25 「］丿"十L3斤+2十3&+42TT>0.。
高中数学 2.3 数学归纳法基础达标(含解析)新人教A版选
【优化方案】2013-2014学年高中数学 2.3 数学归纳法基础达标（含解析）新人教A 版选修2-21．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3解析：选B.∵n ∈N *，n >1，∴n 取第一个正整数为2，左端分母最大的项为122－1＝13.2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假使n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确(k ∈N *) B ．假使n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确(k ∈N *) C ．假使n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确(k ∈N *)D ．假使n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N *)解析：选B.正奇数的第一值为1，应假设n ＝2k －1时正确，其后面的正奇数为2k ＋1，应再推n ＝2k ＋1正确．故选B.3．(2013·商丘高二检测)在证明不等式1＋12＋13＋…＋12n ＋1＞n2(n ∈N *)时，假设n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．2k 项C ．k 项D ．k －1项解析：选B.令f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1.则f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1，f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1＋1.∴f (k ＋1)－f (k )＝12k ＋2＋12k ＋3＋…＋12k ＋1＋1.∵(2k ＋1＋1)－(2k ＋2)＋1＝2k ， ∴增加了2k 项．4．(2013·济南高二检测)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析：选D.当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故选D. 5．某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立解析：选C.由题意知当n ＝k ＋1时命题不成立可推知当n ＝k (k ∈N *)时命题不成立．因此若当n ＝5时该命题不成立，可推知当n ＝4时该命题也不成立．故选C.6．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.解析：f (n ＋1)－f (n )＝⎝⎛1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋12n⎭⎪⎫＋1n ＋1＋n ＋1n ＋1＋n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案：12n ＋1－12n ＋2 7．(2013·合肥高二检测)用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．解析：令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1)·(k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)．∴f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)． 答案：2(2k ＋1) 8．(2013·银川调研)用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是__________．解析：∵210＝1024>103,29＝512<93， ∴填10. 答案：109．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立． 即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k ·(k ＋1)(k ＋2)2＝(－1)(k ＋1)－1·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．10．证明不等式1＋12＋13＋…＋1n＜2n (n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.左边＜右边，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立．即1＋12＋13＋…＋1k ＜2k .则当n ＝k ＋1时， 左边＝1＋12＋13＋…＋1k＋1k ＋1＜2k ＋1k ＋1＝2kk ＋1＋1k ＋1＜(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．。
高中数学 2.3数学归纳法同步测试 新人教B版选修22
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.3数学归纳法同步测试 新人教B 版选修2-2一、选择题1．用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－q q －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n ＝1等式成立时，等式左边的式子是( )A ．1B ．1＋qC ．1＋q ＋q 2D ．1＋q ＋q 2＋q 3[答案] C[解析] 左边＝1＋q ＋q1＋1＝1＋q ＋q 2.故选C.2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边的式子之比是( )A.12k ＋1 B ．122k ＋1C.2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1[答案] B [解析] k ＋1k ＋2k ＋3…k ＋kk ＋1＋1k ＋1＋2…k ＋1＋k ＋1＝k ＋1k ＋2k ＋3…2kk ＋2k ＋3…2k 2k ＋12k ＋2＝122k ＋1.故选B.3．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12k ＋1B ．增加了两项12k ＋1＋12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 [答案] C[解析] n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2∴增加了12k ＋1＋12k ＋2，减少了一项1k ＋1.故选C.4．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，an ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.5．某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，则可推得n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝4时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题不成立C ．当n ＝4时该命题成立D ．当n ＝6时该命题成立 [答案] A[解析] 由命题及其逆否命题的等价性知选A. 6．等式12＋22＋32＋…＋n 2＝12(5n 2－7n ＋4)( )A ．n 为任何正整数都成立B ．仅当n ＝1,2,3时成立C ．当n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ．仅当n ＝4时不成立 [答案] B[解析] 经验证，n ＝1,2,3时成立，n ＝4,5，…不成立．故选B.7．用数学归纳法证明某命题时，左式为12＋cos α＋cos3α＋…＋cos(2n －1)α(α≠k π，k ∈Z ，n ∈N *)，在验证n ＝1时，左边所得的代数式为( )A.12B.12＋cos α C.12＋cos α＋cos3α D.12＋cos α＋cos3α＋cos5α [答案] B[解析] 令n ＝1，左式＝12＋cos α.故选B.8．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[答案] A[解析] 因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，增加了(k ＋1)3，减少了k 3，故利用归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，证明余下的项9k 2＋27k ＋27能被9整除．二、填空题9．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步n ＝k时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．[答案] 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－110．用数学归纳法证明当n ∈N ＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数时，当n ＝1时原式为__________，从k →k ＋1时需增添的项是________．[答案] 1＋2＋22＋23＋2425k＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋411．使不等式2n＞n 2＋1对任意n ≥k 的自然数都成立的最小k 值为________． [答案] 5[解析] 25＝32,52＋1＝26，对n ≥5的所有自然数n,2n ＞n 2＋1都成立，自己用数学归纳法证明之．三、解答题12．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2×1＝2，∴等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立．即(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k·1·3·5·…·(2k －1)成立． 那么当n ＝k ＋1时，(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)＝2(k ＋1)·(k ＋2)·(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)[2·(k＋1)－1]即n＝k＋1时等式成立．由(1)、(2)可知，对任何n∈N*等式均成立.一、选择题1．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)(n∈N＋)”，则“从k到k＋1”左端需乘的代数式为( )A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D．2k＋3k＋1[答案] B[解析]n＝k时左式＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)n＝k＋1时左式＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)故“从k到k＋1”左端需乘2k＋12k＋2k＋1＝2(2k＋1)．故选B.2．已知数列{a n}，a1＝1，a2＝2，a n＋1＝2a n＋a n－1(k∈N*)，用数学归纳法证明a4n能被4整除时，假设a4k能被4整除，应证( )A．a4k＋1能被4整除B．a4k＋2能被4整除C．a4k＋3能被4整除D．a4k＋4能被4整除[答案] D[解析]在数列{a4n}中，相邻两项下标差为4，所以a4k后一项为a4k＋4.故选D.3．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数f(n＋1)为( )A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]由凸n边形变为凸n＋1边形后，应加一项，这个顶点与不相邻的(n－2)个顶点连成(n－2)条对角线，同时，原来的凸n边形的那条边也变为对角线，故有f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1.故选C.4．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为( ) A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D．2k＋3k＋1[答案] B[解析]n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k )·(2k ＋1)·(2k ＋2)，右边为2k ＋1·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.二、填空题5．用数学归纳法证明关于n 的恒等式时，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，待证表达式应为________．[答案] 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)26．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，不等式成立； ②假设n ＝k 时，等式成立， 即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1.则当n ＝k ＋1时， 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式成立．由此可知对任意正整数n ，等式都成立． 以上证明错在何处？____________. [答案] 没有用上归纳假设[解析] 由数学归纳法证明步骤易知其错误所在．7．设S 1＝12，S 2＝12＋22＋12，…，S n ＝12＋22＋32＋…＋n 2＋…＋22＋12.用数学归纳法证明S n ＝n 2n ＋12时，第二步从k 到k ＋1应添加的项为________．[答案]k ＋2·2k ＋12[解析] S k ＋1－S k ＝k ＋12k ＋1＋12－k 2k ＋12＝k ＋2·2k ＋12.三、解答题8．在数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，当n ∈N *时，满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，且设b n ＝a 4n ，求证：{b n }的各项均为3的倍数．[证明] (1)∵a 1＝a 2＝1， 故a 3＝a 1＋a 2＝2，a 4＝a 3＋a 2＝3.∴b 1＝a 4＝3，当n ＝1时，b 1能被3整除． (2)假设n ＝k 时，即b k ＝a 4k 是3的倍数．则n ＝k ＋1时，b k ＋1＝a 4(k ＋1)＝a (4k ＋4)＝a 4k ＋3＋a 4k ＋2 ＝a 4k ＋2＋a 4k ＋1＋a 4k ＋1＋a 4k ＝3a 4k ＋1＋2a 4k .由归纳假设，a 4k 是3的倍数，故可知b k ＋1是3的倍数． ∴n ＝k ＋1时命题正确．综合(1)、(2)可知，对于任意正整数n ，数列{b n }的各项都是3的倍数． 9．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1、a 2、a 3，并猜想a n 的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立， ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立， 即a k ＝2k－12k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2k ＋1－12k＝2k ＋1－12k ＋1－1，∴当n ＝k ＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n ∈N *，a n ＝2n－12n －1成立．。
高中数学 2.3 数学归纳法同步练习 新人教A版选修2-2
选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜3[答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2 D.12n ＋1－12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n ) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立 [答案] C[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )A ．假设n ＝k (k ∈N *)，证明n ＝k ＋1时命题也成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1时命题也成立 C ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2时命题也成立 D ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N )，证明n ＝k ＋1时命题也成立 [答案] C[解析] ∵n 为正奇数，当n ＝k 时，k 下面第一个正奇数应为k ＋2，而非k ＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( ) A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析] 假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A．30B．26C．36D．6[答案] C[解析] 因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.9．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想a n＝( )A.2 (n＋1)B.2n(n＋1)C.2 2n－1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1 ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ∴a n ＋1＝nn ＋2a n (n ≥2)． 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B.10．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 [答案] D[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立 [解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立， ∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.[答案]nn ＋1[解析] 解法1：通过计算易得答案． 解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立． (3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ； (k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1] ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1] [解析] 由数学归纳法的法则易知． 三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)． [证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立． 16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)．[证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右，∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立． 即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立． 那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12＋1＋…＋12>k －22＋12＋12＋…＋12 ＝k －22＋2k －12k＝(k ＋1)－22，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立．17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立．当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域．所以n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n＋2与n 2的大小关系； ②利用数学归纳法证明猜想的结论． 解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。
2019-2020年高中数学人教B版选修2-2同步训练：2.3 数学归纳法 Word版含答案
2.3 数学归纳法1、已知n 为正偶数,用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-++=+++⎪-++⎝⎭时,若已假设n k = (2k ≥为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( ) A.1n k =+时等式成立 B.2n k =+时等式成立 C.22n k =+时等式成立 D.()22n k =+时等式成立2、用数学归纳法证明"223122221n n +++++⋯+=-",验证1n =时,左边计算所得的式子为( ) A. 1 B. 12+ C. 2122++ D. 231222+++3、已知()231123334333n n n na b c -+⨯+⨯+⨯++⨯=-+对一切*n N ∈都成立,那么,,a b c 的值为( )A. 12a =,14b c == B. 14a b c ===C. 0a =,14b c ==D.不存在这样的,,a b c 4、用数学归纳法证明不等式“()11113212224n n n n ++⋅⋅⋅+>>++”时的过程中,由n k =到1n k =+时,不等式的左边( )A.增加了一项()121k +B.增加了两项()112121k k +++ C.增加了两项()112121k k +++,又减少了11k + D.增加了一项()121k +,又减少了一项11k +5、在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为()32n n -条时,第一步检验n 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.0 6、设函数()()129?39n f n n +=++,当*n N ∈时, ()f n 能被()* m m N ∈整除,猜想m 的最大值为( )A.9B.18C.27D.36 7、在数列{}n a 中, 113a =,且() 21n n S n n a =-,通过求234,,a a a ,猜想n a 的表达式为( ) A.()()111n n -+B.12(21)n n +C.()()12121n n -+D.()()12122n n ++8、用数学归纳法证明“52n n-”能被3整除”的第二步中1n k =+时,为了使用假设,应将1152k k ++-变形为( )A. ()52452k k k k -+⨯- B. ()55232k k k -+⨯C. ()()5252k k -- D. ()55235k k k --⨯9、若命题()()*A n n N ∈在()*n k k N =∈时命题成立,则有1n k =+时命题成立.现知命题对()*00n n n N =∈时命题成立,则有( ) A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于0n 的正整数不成立,对大于或等于0n 的正整数都成立C.命题对小于0n 的正整数成立与否不能确定,对大于或等于0n 的正整数都成立D.以上说法都不正确10、设平面内有k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k 条直线的交点个数为(),f k 则()1f k +与()f k 的关系是( )A. ()()11f k f k k +=++B. ()()11f k f k k +=+-C. ()()1f k f k k +=+D. ()()12f k f k k +=++11、对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式:222213,3135,41357=+=++=+++;333235,37911,413151719=+=++=+++.根据上述分解规律,若()23*13519,n m m N =+++⋯+∈的分解中最小的数是21,则m n +的值为__________.12、记凸k 边形的内角和为()f k ,则凸1k +边形的内角和()()1f k f k +=+__________.13、用数学归纳法证明“221n n >+对于0n n ≥的正整数n 都成立”时,第一步证明中的起始值0n 应取__________.14、用数学归纳法证明()21122221*n n n N -+++⋯+=-∈的过程如下:①当1n =时,左边021==,右边1211=-=,等式成立.②假设(1,n k k =≥且*)k N ∈时,等式成立,即2k 1k 122221-+++⋯+=-则当1n k =+时, 2111222221,k kk +-++++⋯++=-=--k 11212所以当1n k =+时,等式也成立. 由①②知,对任意*,n N ∈等式成立. 上述证明中的错误是__________. 15、在数列{}n a 中, 113a =,且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍(*n N ∈) 1.写出此数列的前5项;2.归纳猜想{}n a 的通项公式,并加以证明.答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：首先分析题目因为n 为正偶数,用数学归纳法证明的时候,若已假设n k = (2k ≥,k 为偶数)时命题为真时,因为n 取偶数,则1n k =+代入无意义,故还需要证明2n k =+成立.若已假设n k = (2k ≥,k 为偶数)时命题为真,因为n 只能取偶数,所以还需要证明2n k =+成立.故选B.2答案及解析： 答案：D解析：左边的指数从0开始,依次加1,直到2n +,所以当1n =时,应加到32,故选D.3答案及解析：答案：A解析：令1,2,3n =,得()()()31,{927,27334,a b c a b c a b c -+=-+=-+=解得12a =,14b c ==. 经验证此时等式对一切*n N ∈均成立.4答案及解析：本题考查的知识点是数学归纳法,观察不等式“()11113212224n n n n ++⋅⋅⋅+>>++左边的各项,他们都是以11n +开始,以12n项结束,共n 项,当由n k =到1n k =+时,项数也由k 变到1k +时,但前边少了一项,后面多了两项,分析四个答案,即可求出结论.n k =时,左边11112k k k k=++⋅⋅⋅++++, 1n k =+时,左边()()()()111111211k k k k =++⋅⋅⋅++++++++111111121212k k k k k k k ⎛⎫=++⋅⋅⋅+-++ ⎪++++++⎝⎭。
高中数学(人教A版选修2-2)同步练测：2.3数学归纳法(含答案详解).docx
2.3 数学归纳法一、选择题（每小题5分，共20分）1．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对2．在数列{a n}中，a n＝1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n，则a k＋1＝( )A．a k＋12k＋1B．a k＋12k＋2－12k＋4C．a k＋12k＋2D．a k＋12k＋1－12k＋23.设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是( )A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1C．f(k＋1)＝f(k)＋kD．f(k＋1)＝f(k)＋k＋24.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n 能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成( ) A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确二、填空题(每小题5分，共10分)5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22时，当n＝k＋1时左端在n＝k时的左端加上________．6．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n ×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________．三、解答题(共70分)7.（15分）对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)．8.（20分）已知正项数列{a n}和{b n}中，a1＝a(0＜a＜1)，b1＝1－a.当n≥2时，a n＝a n－1b n，b n＝b n－11－a2n－1.(1)证明：对任意n∈N*，有a n＋b n＝1；(2)求数列{a n}的通项公式．9．(20分)数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．10.（15分）已知点P n(a n，b n)满足a n＋1＝a n·b n＋1，b n＋1＝b n1－4a n2(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点P n都在(1)中的直线l上．2.3 数学归纳法答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.2.3 数学归纳法 答案一、选择题1.B 解析：本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．2.D 解析： a 1＝1－12，a 2＝1－12＋13－14，…，a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，a k ＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ，所以，a k ＋1＝a k ＋12k ＋1－12k ＋2. 3.C 解析：当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k )，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f (k )＋k ＝f (k ＋1)．4.B 解析：首先要注意n 为奇数，其次还要使n ＝2k －1能取到1.二、填空题5.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析：n ＝k 时左端为1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时左端为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.6.2(2k ＋1)解析：当n ＝k (k ∈N *)时，左式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k ) ·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．三、计算题7.证明：设f (n )＝1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1. (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n ＝k 时等式成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝1·(k ＋1)＋2[(k ＋1)－1]＋3[(k ＋1)－2]＋…＋[(k ＋1)－2]·3＋[(k ＋1)－1]·2＋(k ＋1)·1 ＝f (k )＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1) ＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋1＋1) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)． ∴由(1)(2)可知当n ∈N *时等式都成立． 8．解： (1)证明：用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＋b 1＝a ＋(1－a )＝1，命题成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立，即a k ＋b k ＝1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋b k ＋1＝a k b k ＋1＋b k ＋1＝(a k ＋1)·b k＋1＝(a k ＋1)·b k 1－a k 2＝b k 1－a k ＝b kb k＝1. ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①、②可知，a n ＋b n ＝1对n ∈N *恒成立．(2)∵a n ＋1＝a n b n ＋1＝a n b n 1－a n 2＝a n (1－a n )1－a n 2＝a n1＋a n， ∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n＋1，即1a n ＋1－1a n＝1.数列{1a n}是公差为1的等差数列，其首项为1a 1＝1a，1a n ＝1a＋(n －1)×1，从而a n ＝a1＋(n －1)a.9. 解：(1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158，由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明：当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1(k ≥1，且k ∈N *)时， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1. ∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k， 这表明n ＝k ＋1时，结论成立．∴a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．10. 解：(1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 12＝13.a 2＝a 1·b 2＝13.∴点P 2的坐标为(13，13)∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1. (2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立， 则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k1－4a k2(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1， 即点P n 在直线l 上．。
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2.3数学归纳法一、选择题(每小题 5分，共20分)1•一个关于自然数 n 的命题，如果验证当 n = 1 时命题成立，并在假设当 n = k (k 》l 且k € N *)时命题 成立的基础上，证明了当 n =k +2时命题成立，那么综合上述，对于()A. —切正整数命题成立B. —切正奇数命题成立C. 一切正偶数命题成立D. 以上都不对三、解答题(共70分)7. ( 15分)对于n € N *，用数学归纳法证明： 1 • n + 2・(n — 1) + 3・(n — 2) +…+ (n — 1)・2 1+ n • 1 = ©n( n + 1)( n + 2).111 12.在数列｛an ｝中, an -1-2+3-4+…+ 冇 1 1B ak + 2k + 2- 2k + 41 1Dak +2k +1-耐3. 设平面内有 k 条直线，其中任何两条不平 行，任何三条不共点，设 k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k + 1)与f (k )的关系是()A.f (k + 1) = f ( k ) +k + 1B. f (k + 1) = f ( k ) + k - 1C. f (k + 1) = f ( k ) + kD.f (k + 1) = f (k ) + k + 28. ( 20分)已知正项数列 ｛a n ｝和｛b n ｝中，a 1 = a (0 v a v 1) ， b 1 = 1 — a .当 n 》2 时，a n = a n - ’b n ， b n = b n —14.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，x n + y n能被x + y 整除”，第二步归纳假设应写成 ( ) A.假设 n = 2k + 1(k € N*)正确，再推 n =2k + 3 n = 2k — 1(k € N*)正确，再推 n =2k + 1n = k ( k € N *)正确，再推n =k + 1正确 n = k (k > 1)正确，再推 n =k + 2正确 二、填空题(每小题5分，共10分) 5.用数学归纳法证明 1 + 2 +3+…+ n 2=七严时,当n = k + 1时左端在n = k 时的左端加上 __________ . 6 .利用数学归纳法证明"( n + 1)( n + 2) •••( n + n )= 2n x 1X 3X-X (2 n - 1)，n € N ” 时，从“ n = k ” 变 到“n =k +1”时，左边应增乘的因式是 _____________ .9 . (20 分)数列｛a n ｝满足 S= 2n -a n (n € N *).1 — a 2n -1.(1)证明：对任意 n € N*，有a n + b n = 1 ； ⑵求数列｛a n ｝的通项公式.12n ，则 a k +1=( )A. a k +12k + 1C. 1 ak + 2k + 2正确B. 假设 正确C.假设D.假设(1)求过点R 1, R 2的直线I 的方程；⑵ 试用数学归纳法证明：对于n € N*，点R 都在(1)中的直线I 上.(1) 计算a i , a 2, a 3, a ，并由此猜想通项公式 an ； (2) 用数学归纳法证明(1)中的猜想.10.（ 15 分）已知点 R （ a n ，b n ）满足 a n +1 = a n •b n + 1 , b n + 1 = b n1- 4a"(n € N*)且点R 1的坐标为(1 , n 1） •2.3数学归纳法答题纸得分：一、选择题二、填空题5. 6 .三、解答题7.8.9.10.1)12.3数学归纳法答案、选择题3.C 解析：当n = k + 1时，任取其中1条直线，记为1，则除1外的其他k 条直线的交点的个数为f (k )，因 为已知任何两条直线不平行，所以直线 I 必与平面内其他 k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的 f (k )个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f (k ) + k = f ( k + 1).4. B 解析：首先要注意n 为奇数，其次还要使 n = 2k — 1能取到1.二、填空题5. ( k 2 + 1) + (k 2 +2) +…+ (k + 1)2解析：n = k 时左端为 1 + 2+3+ …+k 2，n = k + 1 时左端为1 + 2+3+ …2 2 2 2 + k +(k + 1) +(k + 2) +…+ (k + 1).6.2(2 k + 1)解析：当 n = k (k € N *)时，左式为(k + 1)( k + 2)…(k + k )；当 n = k + 1 时，左式为(k + 1 +1) •( k + 1 + 2)……(k + 1 + k — 1) •( k + 1+ k ) •( k + 1 + k + 1)， 则左边应增乘的式子是 (2 k+严/ + 2)= 2(2 k + 1).k +1三、计算题7.证明：设 f (n ) = 1 • n +2・(n — 1) +3・(n — 2) +…+ (n — 1) • 2+ nT . (1) 当n = 1时，左边=1,右边=1,等式成立；1(2) 设当 n = k 时等式成立，即 1 • k + 2 •(k —1) + 3 •( k — 2) +…+(k — 1)• 2+ k • 1=二k ( k + 1)(k + 2)，6则当n = k + 1时，f (k + 1) = 1 •( k + 1) + 2[( k + 1) — 1] + 3[( k + 1) — 2] +…+ [( k + 1) — 2] • 3+ [( k + 1) — 1] • 2+ (k + 1) •I=f ( k ) + 1 + 2+3+…+ k + (k + 1) 1 1=-k (k + 1)( k + 2) +-( k + 1)( k +1 + 1) 6 2 1=6( k + 1)( k + 2)( k + 3).•••由(1)(2)可知当n € N 时等式都成立. 8•解：(1)证明：用数学归纳法证明.① 当n = 1时，a 1 + b 1 = a + (1 — a ) = 1，命题成立； ② 假设n = k ( k >1且k € N)时命题成立，即 a k + b k = 1，则当 .•.当n = k + 1时，命题也成立.由①、②可知，a n + b n = 1对n € N 恒成立.1.B 解析：本题证的是对n = 1,3,5,7 ，…命题成立，即命题对一切正奇数成立.1 1112.D 解析： a 1 = 1 — 2, a 2 = 1 — 2 + 3 — 4，…,2 234 1 1 1 11 2n —11 2n ，1 1 1a k = 1— + 3 — 4 + …+n = k + 1 时, a k +1 + b k + 1 = 3k b k + 1 + b k + 1 = (a k +1 1 1 b kb kbk +1= (ak +1)C =二=1)1⑵•• _ a n b na n + 1 = a nb n + 1 =23n (1 — a n )2~1 — a n 1 — a na n1 +a n1 1 即——一一=1. a n +1 a n1数列｛云｝是公差为1的等差数列，其首项为10.解：(1)由 P 1 的坐标为(1 , — 1)知 a 1= 1, b 1 = — 1. i b 1 1 .b 2 — 2— .1 — 4a 1 3 1a 2 — a 1 •b 2=31 1 •••点P 2的坐标为(3，3)•直线I 的方程为2x + y — 1. ⑵证明：①当n — 1时，2a 1 + b 1 — 2 x 1+( — 1)— 1 成立.②假设 n — k ( k € N ， k > 1)时，2a k + b k = 1 成立， 则当n — k + 1时，b k2ak +1+ bk +1 = 2ak bk +1 + bk +1 = 1—P (2ak +1)b k1 — 2a k= = —1,1 — 2a k 1 — 2a k '.•.当n — k + 1时，命题也成立.由①②知，对 n € N *，都有2a n + b n = 1, 即点P n 在直线I 上.1 1 a +(n-1)x 1从而a n a n 1 + (n — 1) a “ 3 7 159.解：(1)a 1= 1，a 2 = ^，a 3= 4，a 4=—， n . 2 — 1 *由此猜想a n= 2“T (n € N). ⑵ 证明：当n — 1时，a 1= 1，结论成立. 假设n — k (k > 1,且k € N *)时，结论成立， k 2 — 1 即 a k = 2k —1 ， 那么 n — k + 1( k > 1，且 k € N)时， a k +1 = S k +1 — S k = 2( k + 1) — a k +1 — 2k + a k=2 + a k — a k+1. •・2 a k+1 = 2 + a k ， 2k — 1 -2+ 訂 2k +1— 1• a k +1 = == k —， 2 2 2 '这表明n — k + 1时，结论成立.2n — 1 *•- a n = 2“-1 (n € N).2 + a k。