第7章多元函数积分学216(二重积分计算直角坐标系)
高等数学(第三版)课件：二重积分的计算
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y
二重积分详细解答
f ( x, y)dy
= ∫∫ f ( x, y)dσ + ∫∫ f ( x, y)dσ
y
1
则
0 ≤ x ≤ 1, D: 1 0 ≤ y ≤ 2x − x2 .
D1
1 ≤ x ≤ 2, D2 : 0 ≤ y ≤ 2 − x.
o
D2
1
y = 2− x
2 x
设
D = D + D2 1
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零 化整为零 2 以平代曲
z
∆ V i ≈ f ( x i , y i )∆ σ i
3 积零为整 V ≈ ∑ f ( x i , y i )∆σ i
i =1 n
4 取极限 令分法无限变细
0 y
∆σ i
.
V = lim ∑ f ( x i , y i )∆ σ i
i =1
D
特殊地
∫∫ f ( x, y)dσ ≤ ∫∫ f ( x, y) dσ .
D D
性质６ 性质６ 设M、m分别 f ( x, y)在 是 闭区 D 上 最 域 的 大
值和最小值， 的面积， 值和最小值，σ 为 D 的面积，则
mσ ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ ≤ Mσ
D
（二重积分估值不等式） 二重积分估值不等式）
性质１ 性质１ 为常数时， 当 k 为常数时，
∫∫ kf ( x, y)dσ =k∫∫ f ( x, y)dσ .
D D
性质２ 性质２
∫∫[ f ( x, y) ± g( x, y)]dσ
D
= ∫∫ f ( x, y)dσ ± ∫∫ g( x, y)dσ .
D D
性质３ 性质３
直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算二重积分是一个非常重要的数学概念，在多种实际的问题中都得到了广泛应用。
通过对直角坐标系下二重积分的计算，可以深入地理解这个概念的含义。
在本篇文章中，我们将对直角坐标系下二重积分的计算进行详细的讲解。
一、二重积分的定义在直角坐标系下，二重积分可以定义为：如果在平面上有一个区域D，在D中每一点(x,y)都有一个实数f(x,y)，那么二重积分可以表示为：∬Df（x,y）dxdy其中，dxdy是对x和y的区域积分。
从数学上来讲，二重积分可以看做是对一个多元函数在一个二维区域上的积分。
在物理学、工程学和经济学等领域中，二重积分可以用来计算物体的质量、电荷或利润等量。
二、二重积分的计算接下来，我们将具体介绍如何计算直角坐标系下的二重积分。
1、以矩形为例当区域D为矩形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫ab[∫cd f（x,y）dy]dx其中，a、b、c和d是矩形的四个顶点。
从右到左积分是对x的积分，从下到上积分是对y的积分。
这个公式建立在f（x,y）在矩形D内是连续函数的条件下。
如果f（x,y）不连续，那么需要将图形分割成多个子区域，再对每个子区域使用上述公式求解。
如果积分上下限为定值，则直接将定值带入公式中进行计算。
2、以圆形为例当区域D为圆形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫0R[∫0 2πf（rcosθ，rsinθ）rdθ]dr其中，R是圆的半径，r是极径。
θ是极角，取值从0到2π。
这个公式建立在f（x,y）在圆形D内是连续函数的条件下。
如果不连续，需要将圆形分割成多个区域，再对每个区域使用上述公式求解。
3、以三角形为例当区域D为三角形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫a b[∫c(x)(d(x)−c(x))/b a f(x,y)dy]dx 其中，a和b是三角形底边的两个端点。
c（x）是左侧斜线的端点函数，d（x）是右侧斜线的端点函数。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法李季（德州学院数学系，山东德州 253023）摘 要：二重积分计算的基本途径是将二重积分转化为二次积分计算，转化二次积分的方法灵活多变，选择不当将会使积分更加复杂，甚至无法计算，本文针对不同种类的二重积分给出了与之相对应的计算方法，还介绍了如何利用对称性来简化二重积分的计算．关键字：二重积分；积分区域；二次积分；变量代换；二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分，在几何、物理等方面有着重要的应用．理解二重积分的概念，熟练掌握二重积分的计算，是进行有关研究的基础．但是，二重积分的计算往往比较困难，不知道该怎样进行．学习二重积分的计算，关键在于掌握计算方法．1 利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若D 为x 型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x a x b ϕϕ=≤≤≤≤，其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，则有21()()(,)(,)bx ax Df x y d dx f x y dy ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰； （1）若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有图121()()(,)(,)dy cy Df x y d dy f x y dx ψψσ=⎰⎰⎰⎰．[1]（2）例1 计算22Dy dxdy x⎰⎰，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解．解 积分区域为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则2221221x x Dyy dxdy dx dy x x=⎰⎰⎰⎰ 321213xxy dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰251133x dx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰221412761264x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式123(,)(,)(,)(,)DD D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）进行计算，例2 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但y y=xxy=1 D2D1xO 211 2图33D oxy1D2D 图4是将可D 划分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭=≤≤≤≤-均为x 型区域，进而通过公式（3）和（1）可进行计算．解 D 划分为()1,01,22x D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-则12DD D d d d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12230122x xx x dx dy dx dy -=+⎰⎰⎰⎰120112322x x dx x dx ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 1222013333442x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．例 3 计算二重积分2Dy x dxdy -⎰⎰，其中D 为区域1x ≤，02y ≤≤．[2]分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．OyxD1D2图6y xOx=2yy=2xx+y=3图5解 区域D 如图6可分为12D D ，其中21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩ 由公式（3）则12222DD D y x dxdy y x dxdy x ydxdy -=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰221212211523x x dx y x dy dx x ydy π--=-+-=-⎰⎰⎰⎰2 利用变量变换法计算定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域∆一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式()()(),,0,x y J u v u v ∂=≠∂，(),u v ∈∆．则()()()()(,),,,,Df x y d f x u v y u v J u v dudv σ∆=⎰⎰⎰⎰ （4）（4）式叫做二重积分的变量变换公式，2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．例4 求x y x yDedxdy -+⎰⎰，其中D 是由0,0,1x y x y ==+=所围曲线（图7）分析 由于被积函数含有e 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T ：,.u x y v x y =+=-在变换T 作用下区域D 的原像∆如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．解 做变换()()12:12x u v T y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ()1,02J u v =>所以12x yux yvDedxdy e dudv -+∆=⎰⎰⎰⎰1012u v v v du e du -=⎰⎰()11012v e e dv -=-⎰ 14e e --=2.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有()(),,,u f x y v g x y ==且,m u n v αβ≤≤≤≤，则把xy 平面上的积分区域D 对应到uv 平面上简单的矩形区域∆，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算．例5 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围区域D 的面积()D μ．分析 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰．实际是计算二重积分Ddxdy ⎰⎰，其被积函数DyxO图7图8vuO很简单，但是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现22,y y m n x x ==；,y yx x αβ==，如果设2,y y u v x x==，则有,m u n v αβ≤≤≤≤，解 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰作变换2:u x v T v y u ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，[][],,m n αβ∆=⨯()()4,,,.uJ u v u v v =∈∆ 所以()()()22334433=6n m D n m udv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ∆--===⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 例6 求233Dx dxdy y xy+⎰⎰．22:1,3,,3D xy xy y x y x ====所围区域． 分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T ：2,y u xy v x==，它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域∆．解 令2:u xy T y v x =⎧⎪⎨=⎪⎩在变换T 作用下，区域D 的原像(){},13,13u v u v ∆=≤≤≤≤， ()1,03J u v v=≠ 所以233113Dx dxdy dudv y xy v uv v ∆=⋅++⎰⎰⎰⎰()3311du dv v v uv =+⎰⎰2ln 23=．2.3 利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有()22f x y +、x f y ⎛⎫⎪⎝⎭或y f x ⎛⎫⎪⎝⎭形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换cos :sin x r T y r θθ=⎧⎨=⎩，0,02θθπ≤<∞≤≤ 这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r .（1）如果原点0D ∉，且xy 平面上射线θ=常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r r θθ≤≤， αθβ≤≤．则有()()()()21,cos ,sin r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰（5）类似地，若xy 平面上的圆r =常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤那么()()()()2211,cos ,sin r r r r Df x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=⎰⎰⎰⎰（6）（2）如果原点O 为积分区域D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆可表示成()0r r θ≤≤，0θπ≤≤则有()()()20,cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰（7）（3）如果原点O 在积分区域D 的边界上，则∆为yxD1D 图 8()0r r θ≤≤，αθβ≤≤那么()()(),cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=⎰⎰⎰⎰（8）例7 计算221Dd I x y σ=--⎰⎰，其中D 为圆域：221x y +≤分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为22()f x y +，且原点为D 的内点，故可采用极坐标变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤⎧⎨=≤≤⎩，可以达到简化被积函数的目的．解 作变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤⎧⎨=≤≤⎩， 则有221Dd I x yσ=--⎰⎰21211d rdr rπθ=-⎰⎰12201r d πθ⎡⎤=--⎣⎦⎰202d πθπ==⎰． 例8 计算二重积分Dydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2,0,2x y y =-==，以及曲线22x y y =--所围成的平面区域．分析 首先根据题意，画出积分区域，由于积分区域D 与1D 一起围成规则图形正方形，且1D 为半圆区域，根据极坐标变换简化被积函数．解 积分区域如图15所示，1D D +为正方形区域，1D 为半圆区域，则有11DD D D ydxdy ydxdy ydxdy +=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，而12224D D ydxdy dx dy -+==⎰⎰⎰⎰，又1:02sin ,2D r πθθπ≤≤≤≤故原式12sin 02sin D ydxdy d r rdr πθπθ=⋅⎰⎰⎰⎰428sin 3d ππθθ=⎰ 281cos 212cos 23422ππθπθ+⎛⎫=-+= ⎪⨯⎝⎭⎰． 2.4 利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换：cos ,0:sin ,02x ar r T y br θθθπ=≤≤∞⎧⎨=≤≤⎩并且雅可比行列式(),J u v abr = 同样有()(),cos ,sin Df x y dxdy f ar br abrdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰ （9）例9 计算22221Dx y I c dxdy a b =--⎰⎰，其中()22,01,0x D x y y b x a a ⎧⎫⎪⎪=≤≤-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭分析 根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换cos ,01:sin ,02x ar r T y br θπθθ=≤≤⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩，可以达到简化积分区域和被积函数的目的．解 作广义极坐标变换cos ,01:sin ,02x ar r T y br θπθθ=≤≤⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩，(),J u v abr =由（9）知22221Dx y I c dxdy a b =--⎰⎰122001d c r abrdr πθ=-⎰⎰122016abc d r r dr abc ππθ=-=⎰⎰3 某些特殊函数的计算3.1 利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果D 可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分1D 和2D ，那么有如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值互为相反数，那么(),0Df x y d σ=⎰⎰如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，那么()()()12,2,2,DD D f x y d f x y d f x y d σσσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰[3]例10 计算2Dx ydxdy ⎰⎰，其中D 为双曲线221x y -=及0,1y y ==所围成区域．分析 首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到()2,f x y x y =为x 的偶函数，另一方面D 关于y 轴对称，且(),f x y 在1D 在2D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次积分计算．解 积分区域如图11所示：1D 为D 在第一象限内的部分，D 关于y 轴对称，又()2,f x y x y =为x 的偶函数，由对称性有1222DD x ydxdy x ydxdy =⎰⎰⎰⎰ 宜选择先对x 后对y 的积分次序 故原式1222DD x ydxdy x ydxdy =⎰⎰⎰⎰2112002y dy x ydx +=⎰⎰xyO D1D211()31220213y y dy =+⎰()()521202214211515y =+=-．3.2 分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论．被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区域上被积函数的取值不变号．例11 求224Dx y dxdy +-⎰⎰，其中D 为229x y +≤围成的区域．分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得22224040x y x y +-≥+-≤及的两部分，在两部分上分别积分后，再相加．解 为去绝对值号，将D 分成若干个子区域，即221:4D x y +≤ 222:49D x y ≤+≤在1D 内 222244x y x y +-=--在2D 内 222244x y x y +-=+-故原式224Dx y dxdy +-⎰⎰ ()()12222244D D x y dxdy x y dxdy =--++-⎰⎰⎰⎰， 利用极坐标计算有()()12222200448D x y dxdy d r rdr πθπ--=-=⎰⎰⎰⎰ ()()2232220125442D x y dxdy d r rdr πθπ+-=-=⎰⎰⎰⎰ 故原式2541822πππ=+=．例12 求(),D f x y dxdy ⎰⎰,其中()(),0,0,0,x y e x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他,D 由,,0x y a x y b y +=+==和y b a =+所围成()0b a >>.分析 首先划出积分区域,将区域D 分解为如图所示三个区域,根据被积函数的形式,分别计算出每个积分区域上的积分,再利用二重积分对区域的可加性再相加即得.解 如图12,并由(),f x y 表达式可得123D D D D = .在1D 上有 (),0f x y =,则()1,0D f x y dxdy =⎰⎰.因而()()23x y x y D D I edxdy e dxdy -+-+=+⎰⎰⎰⎰()()00a b x a b x x y x y a x a dx e dy dx e dy ---+-+-=+⎰⎰⎰⎰a b a b ae be e e ----=-+-通过以上例子可以看出,二重积分的计算方法和技巧还是很强的,学习二重积分的计算,需要掌握一些计算方法和技巧,才能准确快速地进行.参考文献：[1] 华师大数学系．数学分析(下)[M]．北京:高等教育出版社．2003．[2] 毛宇辉．数学分析学习指导书(下)[M]．北京:高等教育出版社．2003．[3] 彭辉．高等数学辅导(下)[M]．济南:山东科学技术出版社．2009．[4] 郭大鹏．一个多次分部积分公式的发现、证明[J]．长春师范学院学报，2004，(02):18-19．[5] 汤茂林．分部积分法在二重积分中的巧用[J]．高等数学研究，2007，(02):24-25．[6] 张瑞平．二重积分的几种计算方法[J]．高等数学研究:1997，(01):27-28[7] 倪伟平．用含参变量积分解决积分计算的数学模式[J]．枣庄师专学报:2000，(02):31-32．[8] 林先安．分部积分法在重积分中的应用[J]．数学通报，1993(06):11-12．[9] 汪军、郁时炼．分部积分法的巧用[J]．高等数学研究，1999(04):22-23．D1D2x y aa+bD312 a[10] 缪倩娟、贡韶红．关于分部积分法的进一步探讨[J]．中国科技信息，2006(21):63-64．Calculation of double integralsLi Ji(Department of Mathematics, Dezhou University, Dezhou Shandong 253023)Abstract: The double integral calculation of the basic approach is to calculate the double integral into a double integration, method of double integration into flexible, poor choice will make the integration more complex, if not impossible to calculate. This paper shows the different types of double integral corresponding calculation method also describes how to use symmetry to simplify the calculation of double integrals.Keywords: double integrals; integral area; double integration; variable substitution;。
二重积分
s 1 ds ds
D D
这个性质的几何意义是:高为1的平顶柱体的体积在数 值上就等于柱体的底面积．
9
性质5
如果在 D 上，f ( x , y ) ( x , y ) ，则有不等式
f ( x , y )ds ( x , y )ds
D D
特殊的，由于
f ( x, y)ds
D
b
a
b
2 ( x ) f ( x, y )dydx . 1 ( x )
dx
2 ( x ) 1 ( x )
f ( x, y )ds
D
a
f ( x , y )dy
计算时，先把x看作常量,把 f(x,y) 只看作y的函数,并对y计 算从 1 ( x ) 到 2 ( x ) 的定积分,然后把算得的结果再对x计算在区 间[a,b]上的定积分.这种连续的积分计算称为：累次积分
y (x, 1) 1 y=x
1 1 2 (1 x y ) dx 3 1 x 3 1 1 ( x 1)dx 1 3 1 2 1 3 ( x 1)dx 3 0 1 2
3 2 2
1
O ( x, x) 1
1
x
25
解法(2) 画出区域D， 可把D看成是Y型区域：
16
d
d y
c
d
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x , y )dx
3. 计算公式及方法：
当 D 为X型区域时： y
y=2(x)
y=1(x)
y
y=2(x) y=1(x)
O a
b
x
O a
b
多元函数积分学
（ 4）
。
（5）如果 是分段光滑的：
，则
。
（6）如果 是封闭曲线，特记为 。
所围成的区域。
解二：画出积分区域的草图。 因为 D虽然是 X----型区域，但由于在定限时，第一次积分的上、下限发生了一次
改变，故不得已对 D进行分块。（作图：用直线
将 D分成
其中，
，
于是，有
。
注意；由例 2可见，对此题，虽然两种积分次序都可行，但第二种显然更麻烦。我们说有些 时候，就不仅仅是麻烦的问题了，如果积分次序选得不合适，可能做不出来。请看下面的
解：（1）这里
。画出草图如右。
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为三块：
，则
其中，
，
，
于是，有：
例 9。对 （1）画出积分区域的草图；（2）更换积分次序。
解：（1）这里 记
，
。分别画
出草图如右。则
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为四块：
，所以，
3．由积分中值定理，知：
注意：（6）关于重积分的对称性 （i）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
为奇，则
=0；
关于 y（或 X）
（ii）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
关于 y（或 X）
为偶，则
（其中， 为 D的上（右）一半区域）。
三.二重积分的计算 （一）利用直角坐标计算二重积分
的上、下限； （三）。计算累次积分。 注意：选择积分次序的原则 （一）。选择的积分次序使积分区域 D尽可能的少分块，以简化计算过程。 （二）。第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次计算的结果作第二 次积分。 （三）。确定上、下限是重积分的关键。
多元函数的积分概念和性质
Ω
即
∫∫
S
f ( x, y , z ) dS = lim d →0
∑ f (ξ ,η ζ ) ΔS
i =1 i i i
n
S
i
其中dS为曲面的面积微元。
7．2 二重积分的计算
7. 2. 1 二重积分的几何意义 7. 2. 2 直角坐标系下二重积分的计算 7. 2. 3 极坐标系下二重积分的计算
1≤ i ≤ i
n
△Ωi怎样选取, 只要d→0, 上述和式都趋于同一常数 I, 则称 f (M) 并把 I 称为函数 f (M) 在的积分, 记做 ∫Ω f ( M )dΩ 在上Ω可 积, 积分号 积分表达式 积分元素
n
∫
Ω
f ( M )dΩ = I = lim ∑ f (M i ) ΔΩ i d →0
3)“求和”
n
n
(k = 1, 2 ,L, n )
(ξ k ,η k )
D
Δσ k
V = ∑ ΔVk ≈ ∑ f (ξ k , η k ) Δσ k
k =1
k =1
第七章
4)“取极限”
定义Δσ k 的直径为
d (Δσ k ) = max{ P P2 P ,P2 ∈ Δσ k } 1 1
多元数量值函数积分学
1 0
y2
1 2
x
2
x x
y
y
dy
12 2 0
(2) 将D作为Y-型区域，D可表示为： 1 x=y
解 (1)首先画出积分区域D，作先对x 后对y 的二次积分.
例3.计算y2d,其中D是由yx与抛物线xy22围成.
D
y2 2 x y, D
1 y 2.
D
2y
dy
y2dx
1 y22
例5 求曲线
和 x2y2 a2
解 在极坐面标积系.下
x2y2a2 ra,
(x 2 y 2 )2 2 a 2 (x 2 y 2 )
ra 2cos2,
根据对称性有 D4D1
所围成的图形的
ra 2cos2
D1
ra
得交点
所求面积
4 dxdy
D1
4
6d
a
2cos2
rdr
0a
a2(
3 ).
A
(a
的曲边梯形，此截面面积为
x且平行yoz面的平
面截曲顶柱体所得
Ax y2xf x,ydy. y1x
截面面积为 任取x [a,b]，过点
b b y2x
Axdx fx,ydydx, a a y1x
abyy12xxf x,ydydx.
f x, yd
D
f x, yd
D
应用定积分中计算“已知平行截面面积的立体 体积”的方法，得到 这个体积的值，就是二重积分 的值。 因此，二重积分
,
)
3
6
由r a 2cos2 dxdy
r a
D
D
就是柱体的体积, 但此时二重积分
f x, yd 的值
第七章 多元函数积分学及其应用
1
1
dx
1
dy
0 0 (1+ x)(1+ y2 )
∫∫ ∫∫ ∫∫ 【例】（05）设 I1 = cos x2 + y2 dσ , I2 = cos(x2 + y2 )dσ ，I3 = cos(x2 + y2 )2 dσ ，
D
D
D
{ } 其中 D = (x, y) x2 + y2 ≤ 1 ，则
(A) I 3 > I 2 > I1 . （B） I1 > I 2 > I 3 .(C) I 2 > I1 > I 3 .
【例】（00）
f
(x,
y)
=
⎧x2 ⎨
y
⎩0
若 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x ， 其它
{ } ∫∫ 求 f (x, y)dxdy, D：(x, y) x2 + y 2 ≥ 2x 。 D
【例】求 I = ∫∫ xe− y2 dσ ，其中D是由曲线y = 4x2，y = 9x2在第一象限围成的区域．
D
D
∑ ∑ n
【例】（10）lim x→∞ i=1
n
n
j=1 (n + i)(n2 +
= j2)
（）
∫ ∫ (A)
1
x
dx
1
dy
0 0 (1+ x)(1+ y2 )
∫ ∫ 1
x
(B) dx
1
dy
0 0 (1+ x)(1+ y)
∫ ∫ 1
1
(C) dx
1
dy
0 0 (1+ x)(1+ y)
7.8二重积分
区域[0, 1; 0, 1].
解： e dxdy 0 dx 0 e dy 0 e [0 e x y dy ]dx
x y x y x D
1
1
1
1
e dx e y dy (e 1)2 .
x 0 0
1
1
注 本题积分区域是矩形,所以先对 x 或 y 都是
可以的.
示第 i 个小区域的密度, 相应地, 所给平面薄片被分
割成 n个小平面薄片.
第7章 多元函数微积分学
(2)求和 由于 ( x, y) 连续,当 i 的直径很小时,
i 上的密度近似看成不变.
在小区域 i 上任取一
点 (i ,i ) ,则 i 的质量近似为 (i ,i ) i 于是整个薄片
a D
b
2 ( x )
1 ( x)
f ( x, y )dy ]dx.
(8.3)
第7章 多元函数微积分学
(2) 若区域 D可表示为
D {( x, y) | c y d ,1 ( y) x 2 ( y)},
称之为 y－型区域(如图7－18b所示), 则
f ( x, y)dxdy [
第7章 多元函数微积分学
对于均匀薄片,即面密度是常数时,计算公式为 质量M = 面密度×面积. 现在薄片的密度是变量, 薄片的质量, 可用处理 曲顶柱体的体积的方法来计算薄片的质量.
(1)分割 将区域 D任意分割成 n个小区域:1, 2 ,
, n ,它们两两没有公共内点,并用 i (i 1, 2,, n) 表
, n ,它们两两没有公共内点,并用 i (i 1, 2,, n)
表
示第i 个小区域的面积,相应地,所给曲顶柱体被分割
二重积分在直角坐标系下的计算
x.
y
3 x 3 y
x 2y
1D
x
O2
2y
3
3 y
0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx
2
3 x
0 dx1 x f ( x, y)dy.
2
例
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解
D : 2ax x2 y 2ax
0 x 2a
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx .
00
例 改变积分
y 1 x
y2 x y 2x x2
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
0
0
1
0
D1 : 0 y 2x x2 , D2 : 0 y 2 x, 0 x 1,
0 x 1, y 2x x2 , ( x 1)2 y2 1
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
例 求I 1dx 1ey 2dy .
0
x
解 ： 由 于 函 数e y2的 原 函 数 不 是 初 等 函 数， 所 以 这 个
二次积分无法直接积出. 注意到二重积分可以有两种
的直线与区域边界的交点不多于两个.
2） Y型区域
积分区域表示为：
c y d, 1( y) x 2( y).
的区域，称为Y型
第七讲多元函数积分学(一)
第七讲 多元函数积分学（一）知识点分析：一、二重积分1、二重积分的概念：设二元函数(,)f x y 定义在有界闭区域D 上，则二重积分1(,)lim (,)niiii Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰精确定义求极限问题：11(,)lim (,)n nn i j Db a dc b ad cf x y d f a i c j n n n n σ→∞==----=++⋅∑∑⎰⎰ 先提出11n n ⋅，在凑出,i jn n，可以看出n i 是0到1上的x ，j n 是0到1上的y ，n 1是0到1上的,dx dy注：①二重积分的存在性，也称二元函数的可积性，设平面有界闭区域D 由一条或几条逐段光滑闭曲线围成，当(,)f x y 在D 上连续时，或者(,)f x y 在D 上有界，且在D 除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的，则(,)f x y 在D 上可积。
②极限存在与D 的分割方式无关。
d dx dy σ=⋅③几何意义曲顶柱体的体积(,)DV f x y d σ=⎰⎰；物理意义D 的质量(,)Dm x y d μσ=⎰⎰。
2、二重积分的性质 （1）区域面积Dd A σ=⎰⎰，其中A 为区域D 的面积。
（2）可积函数必有界：当(,)f x y 在闭区域D 上可积时，则(,)f x y 在D 上必有界 （3）线性性质：[]1212(,)(,)d (,)d (,)d DDDkf x y kg x y k f x y k g x y σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰12,k k 为常数。
（4）可加性：1212,D D D D D ==∅，12(,)d (,)d (,)d DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
（5）保号性：若在D 上(,)(,)f x y g x y ≤，则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰；特殊的有|(,)d |(,)d DDf x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰。
关于计算二重积分的几种方法
例 ４ ： 求 ： ｆ ｆ （ １ ＋ 。 ’ ） ， 其 中 Ｄ 由 ＝ 一 １ ，
， ＝ ｆ Ｉ ２
皓
号
Ｙ ＝ ， ＝１ 围成。
解 ：利用 函数 的右 禺 性 及积 分区 域的对 称性 可 以简化 计算 ，有
２极 坐 标 系 下 计 算 ＝ Ｉ 积 分
有直 角坐标 系计算 二重 积分 ，极 坐标 系下 计 算二 重积 分 ，利用 对
Ｉ ＋ Ｙ ： １
例３ ： 求 ， ： ｆ 『 ａ ｒ ｃ ｔ ａ １ １
解：
．
称 性计 算 二重 积分 等等 。下 面分 别就 这三 个方 面 介绍计 算 二 重积 分 的方 法 ， 对 每种方 法给 出相 应的求 解思 路 ，并举 出典 型的 实例 ， 便 于读 者 更好 地理 解和 掌握 这 些方 法 ，达到 事半 功倍 、举 一 反三
关键 词 ： 二重积分
二次积分
直 角坐标 系 极 坐标系
中 图分类 号 ：０ ７ １ ２ ． ２ 文献 标识码 ：Ａ
被积函 数ｆ （ ｘ ， ） 或者 积分区 域Ｄ中 含有 “ ， ＋Ｙ ‘ ’＾ ， 一”时
二 重 积 分 的 计算 是 高 等 数 学 中 多 元 函数 积 分 学 重 要 的 一 部 可 以用极 坐标 来计 算二 重积 分 。直 角坐 标与
例 乏 求 ＝ 盯 吾 ， 其 中 Ｄ 由 ： ２ ， ｙ ＝ ｘ ， ｘ ｙ ＝ ｌ ￣。 其中 Ｄ 是 Ｄ 的第一象限部分。
（ ４ ） Ｄ 关 于 ： 轴 对 称 ， Ⅱ 厂 （ ， ｙ ） ｄ ａ ＝ ￣ ｆ （ ｙ ， ｘ ） ｄ ｃ ｒ ；
解： 先确定积分区域 Ｄ ： ｛ ｌ １ ，， ， 则 Ｓ ｘ Ｓ
高等数学微积分课件7.2.1 二重积分计算(直角坐标)
dy e dx
y2
2
0
y y2 1 y 2 2 e4 1 e dy e |0 2 4 4
例
改变积分 dx
0
1
1 x
0
f ( x , y )dy 的积分次序.
解
1
0
dx
1 x
0
f ( x, y)dy
1
0
dy
1 y
0
f ( x, y)dx
重新定限
Sketch the region of integration D
If type I
yx
D1 D2
x dxdy 2 y D 2 x 2 dxdy D1 y
2
y2
D2
x dxdy 2 y
2 2 2
2
y
1 x
1 dx 1
2 x
1
2
x x dy dx 2 dy 2 1 x y y
Evaluate two integrals
解
两曲线的交点
D
yx x y2
y x2 (0,0) , (1,1), 2 x y
（3）定限：确定两次定积分的上限和下限， 将二重积分化为二次积分；
（4）计算：计算二次积分。
Example
Find
2
2
(2 x 6 xy ) dxdy
D
D
O 1 4
D: 1 x 4 , 0 y 2
2
解 利用公式
2 dx (2 x 6 xy ) dy (2 x 6 xy ) dxdy 1 0
A( x) (a x b)
经济数学-在直角坐标系下的二重积分的计算
在直角坐标系下二重积分的计算
一、利用直角坐标系计算二重积分
二、小结 思考题
一、利用直角坐标系(right angle coordinate system)计算二重积分
如果积分区域为： a x b, ［X－型］
y 2 ( x )
1 ( x ) y 2 ( x ).
的对称性及积分区域的对称性两方和积分区域轴对称则有dxdy例13计算其中积分区域由曲线因为关于ydydxydxdy对称例14因为关于若直接在上求二重积分例15计算dxdyxy解法三利用对称性与奇偶性例15计算dxdyxy其中解法一dyxydxdxxy例15计算dxdyxydxxydy例15计算dxdyxy解法三利用对称性与奇偶性例15计算dxdyxydxdyxydxdy因为积分域关于轴对称且函数xyxydxdy所以关于是奇函数二重积分在直角坐标下的计算公式在积分中要正确选择积分次序二小结思考题解答
y x
dx 不能用初等函数表示
y x
先改变积分次序.
原式
y x2
I
1
2
1
1 2
d x 2 e dy
x
x
y x
1
3 1 x (e e )dx e e . 8 2
x
例 11 改变积分
1
0
dx
2 x x2
0
f ( x , y )dy dx
1
2
2 x
D
解： 先去掉绝对值符号，如图
y x
D
2
d
D1
2
D3
D2
D1 D2
1
( x
第7章4对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分
z (x，y，z(x,y)) dS
f x, y, z dS
f x, y, z x, y
1
z
2
x
zy2
dxdy
；
(1)
Dxy
定理的证明从略.
O x Dx(yx ,y)
▲▲▲
图 7-59
y
dxdy
10
2､对面积曲面积分的计算方法
第七章 多元函数积分学
公式（1）表明，
在计算对面积的曲面积分 f x, y, zdS 时，只要把变量 z 换成 z( x, y) ，积分
第七章 多元函数积分学
26
*3､对面积曲面积分的物理应用
第七章 多元函数积分学
27
*3､对面积曲面积分的物理应用
第七章 多元函数积分学
28
*3､对面积曲面积分的物理应用
第七章 多元函数积分学
29
*3､对面积曲面积分的物理应用
第七章 多元函数积分学
30
二、对坐标的曲面积分（第二类的曲面积分）
O
y
x
x=x ( y ,z )
37
▲▲▲ ▲▲▲
1、曲面的侧
第七章 多元函数积分学
38
2、对坐标的曲面积分的概念和性质
第七章 多元函数积分学
▲▲▲
v n
A
39
2、对坐标的曲面积分的概念和性质
第七章 多元函数积分学
▲▲▲
A
40
2、对坐标的曲面积分的概念和性质
第七章 多元函数积分学
41
2、对坐标的曲面积分的概念和性质
第七章 多元函数积分学
31
1、曲面的侧
第七章 多元函数积分学
32
直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算二重积分是多元函数在二维平面上的积分运算，它可以用来求取平面区域内某个函数的平均值、质心、面积等。
在直角坐标系下进行二重积分的计算，需要掌握对被积函数的区域进行分割、积分区域的确定、积分的限制条件和积分计算的方法等基本步骤。
本文将从这些方面展开讨论，并通过数个例题来具体说明二重积分的计算过程。
一、二重积分的基本概念1.二重积分的定义二重积分是对二元函数在某个有界闭区域上进行积分运算，其定义如下：设函数f(x,y)在闭区域D上有界，且D的边界为简单闭曲线，记为∂D，D的面积为A(D)。
如果对于任意的(x,y)∈D，都有f(x,y)≥0，那么称f(x,y)在D上可积，记为∬D f(x,y) dxdy，其中dxdy表示对x和y的积分。
2.二重积分的几何意义二重积分在几何上表示为对某个闭区域D上的函数f(x,y)进行投影，并对其投影面积进行积分。
它可以用来求取区域D的面积、平均值、质心等几何量。
3.二重积分的存在性对于某个区域上的函数f(x,y)，其在区域D上的二重积分只有在f(x,y)有界、D为有界闭区域且f(x,y)在D上几乎处处连续时才存在。
二、二重积分的计算步骤1.区域的分割对于给定的被积函数在闭区域D上的二重积分运算，首先需要对D 进行分割，使得D可以用简单区域的边界和分割线将其分成若干小区域。
2.积分区域的确定确定积分区域后，需要找出在此积分区域上的极限条件，即确定积分的上下限。
3.积分的限制条件在确定积分区域和积分的上下限后，需要根据积分区域的特点建立积分的限制条件。
4.积分计算利用二重积分的性质和积分的定理来进行具体的积分计算。
以上是进行二重积分计算的基本步骤，下面通过数个例题来具体说明二重积分的计算过程。
例1：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}上的二重积分。
解：根据给定的区域D，我们可以很容易地确定积分的上下限，并进行积分区域的分割。
第7章 多元函数积分学3-16 (二重积分计算 极坐标 )
D
d
3 6
4 sin 2 r rdr 2 sin
15( 3 ). 2
sin( x 2 y 2 ) dxdy, 例 4 计算二重积分 2 2 x y D 其中积分区域为 D {( x , y ) | 1 x 2 y 2 4}.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D
4 a 2 r 2 r d r d
o
2
y
2 acos 0
4a r r d r
2
2a
x
32 3 2 a ( ) 3 2 3
四、概率积分公式推导
•概率积分公式 概率论与数理统计及工程上非常有用的
反常积分公式
解
0
e
x2
dx 2
R x2
I （
0
e
2 2 2
D2 {( x , y ) | x 2 y 2 2 R 2 }
这里 D1 S D2
D2
e
x y
2
2
0,
x2 y2
D1
D S2
S
R
2R
e
D1
x2 y2
dxdy e
S
dxdy e
D2
x2 y2
dxdy.
I1 e
2 0 2 0 2 0 2
2
4
80 .
例7 求球体x 2 y 2 z 2 4a 2 被圆柱面x 2 y 2 2ax (a 0)所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解 设 D : 0 r 2 a cos , 0 z 2 由对称性可知
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D2
D3
D5
o
x
(6)化二重积分 为 二 次积分,关键在于 确 定积分限.
两D 次积D分1 中,Dx2从左D3 右, yD从下D1 上D, 不2 能D颠3 倒次D4序. D5
计算二重积分的步骤：
(1) 画区域图; (2) 列出x型或y型区域的不等式组表示;
(3) 计算二次积分 (若一种次序积不出来时, 换另一种次序).
y 型 : y2 x y 2,1 y 2
(3) 列出二次积分并计算
xyd
xyd
xyd
01dx
x x
在区间[a,b]内任取
一点x，过此点作与yoz z
面平行的平面，它与曲
顶柱体相交得到一个一
个曲边梯形：
y
底为 1(x) y 2 (x)
z f (x, y)
y 2(x)
D
y 1(x)
高为 z f (x, y)
o
a
x
bx
注意D的特殊之处。
Z
A( x)
2 ( x)
1 ( x)
f
( x,
y)dy
三、 直角坐标系下计算二重积分习例
例1 计算 xyd , D由直线y 1, x 2及y x围成.
D
例2 计算 xyd , D由y2 x和y x 2围成.
D
例3 计算I x2e y2d , D由x 0, y 1, y x围成.
D
例4
计算
D
sin x
xdxdy,
D由直线y
x,
y
0, x
z f (x, y)
所以：
1 ( x)
y
2(x)
f(x,y)dxdy
b
A(x)dx
b
[
2(x) f(x.y)dy]dx
D
a
a 1(x)
•二重积分
•二次定积分
A(
x)
2 ( x)
1( x)
f
(
x,
y)dy
z
z f (x, y)
f ( x, y)d
D
b[ 2 ( x)
a 1( x)
平行截面面积已知
的立体的体积
oa
V
b
a
A(x)dx.
a
o
y
x
b
a
x
x x dx b
x
y A(x)
o x bx
（1）当积分区域如图所示
z f (x, y)
z
y
y 2(x)
D
oa
y
y 1(x)
bx
相应的曲顶柱体如右图。 o
y 2(x)
D
y 1(x)
a
x
bx
在区间[a,b]内任取一点x，过此点作与yoz 面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一 个曲边梯形：
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
a
b
特点：穿过D的内部且平行于y轴的直线与D的边界的 交点不多于两个，其不等式组的表示如下
Dx
:
a1(
x) x
y b
2
(
x
)
则称此积分区域是x 型区域.
利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分
根据二重积分的几何意义：若ƒ(x,y)≥0，则二重积分是以 z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。 故可以考虑用定积分应用中求平行截面面积为已知的立 体的体积的方法。
xyd
C
2
1
dyy2
xydx
2
1
y
x2 2
2
dy
y
9. 8
例2 计算 xyd , D由y2 x和y x 2围成.
D
解 (1) 画区域图
y
(2) 列出区域的不等式表示
(4,2)
x 型 :D1 : x y x,0 x 1 o D1 D2
x
D2 : x 2 y x,1 x 4 (1,1)
算
一、积分区域的描述
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来 划分区域D，如图.
可见，除边缘外，其 y
Δσ
余均为矩形，其面积为
d
xy
Δy
则面积元素为 d dxdy c
故二重积分可写为
oa
Δx
bx
f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
D
其中dxdy称为面积元素.
y 2(x)
D
y 1( x)
围成.
例5 改变积分01dy02 y f ( x, y)dx 13dy03 y f ( x, y)dx的
积分次序.
例 6 设 f ( x)在[0,1]上连续，且
1
f ( x)dx
A，
0
求
01dx
1
x
f
(
x)
f
(
y)dy.
例1 计算 xyd , D由直线y 1, x 2及y x围成.
D
axb
Dx型
1 ( x)
y
,
2(x)
有助于记住前面推出的二重积分计算公式：
f (x, y)dxdy
b
[
2 (x) f (x, y)dy]dx
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a 1 ( x)
a
1 ( x)
D
（3）类似地， 若积分区域为
特点：穿过
D的内部且
d
d
平行于x轴
x 1( y) c
D
x 1( y) x 2( y)
c
D
x 2( y)
的直线与D 的边界的交 点不多于两
个，则称此
积分区域是
用不等式组表示为：
Dy
1(
c y)
y x
d
2
(
y)
,
y型区域.
则可将二重积分化为先积x后积y的二次积分：
f (x, y)d
d
dy
2 ( y) f (x, y)dx
c
1 ( y)
D
(4)若D既可表为x 型区域,又可表为y 型区域时,则
y d
c oa
bx
y d c
oa b x
D
f (x,
y)d
bdx 2( x) f ( x,
a 1( x)
y)dy
d dy 2( y) f ( x,
c 1( y)
y)dx
(5)若D既不是x 型区域又不是y 型区域时,
则把D分块得到一些x 型区域和y 型区域.
y D2
y
D1
D4
D1 D3
o
x
解 (1)画区域图
y x2
(2)列出区域的不等式表示 x 型 : 1 y x,1 x 2 y 型 : y x 2,1 y 2
2 1 o1 2
y x
y1 x
(3)将二重积分表示成二次积分并计算
D
xyd
2
1
dx
x
1
xydy
2
1
x
y2 2
x
dx
1
2
1
x (x2 2
1)dx
9. 8
或者
f
(
x,
y)dy]dx
A( x)
o 1(x) 2(x)
y
注意：
(1)先对y后对x的二次积分，计算时先把x看作常数，
对y积分得到关于x的函数，再对x在[a,b]上积分，记为
D
f ( x, y)d
bdx 2 ( x) f ( x,
a 1( x)
y)dy
(2) f ( x, y) 0时公式仍成立.
利用X－型区域D的不等式组表示，
高等数学 A
第7章 多元函数积分学
7.1 重积分
7.1.2 二重积分的计算(1)
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
7.1 重积分
7.1.2 二重积分的计算
直 角
一、积分区域的描述
坐
标 系
二、化二重积分为二次积分
下
二 重
三、直角坐标系下计算二重积分习例1-6
积
分 的 计
四、利用区域的对称性和被积函数的奇偶 性以及轮换对称性简化二重积分习例7-11