[医学]中国医科大学医学统计学 直线回归分析

105 腰围 (cm)
如上图所示，可见散点大致呈直线趋势。
即假设有一条潜在的直线可用来刻画两变量之间的关 系，这样的直线称为回归直线。
通常用 yˆ 来表示回归直线上各点的纵坐标，其数值是
当 x 取某一值时因变量 y 的总体均数的估计值。
在数学上，描述因变量(y)依赖于另一自变量(x)的变化 而变化的方程称为直线回归方程，也称为直线回归模 型，表述为：
表 20名男性志愿受试者腰围和腹腔内脂肪面积的测量值
为直观理解男性腰围与腹腔内脂肪面积的关系，以 腰围为横轴，腹腔内脂肪面积为纵轴，描出20对数 据散点图如图14.1。
腹腔内脂肪面积 (cm2)
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图14.1 两变量直线回归关系散点图
>0，表示 y 随 x 增大而增大；
b
YX
b<0，表示 Yy 随 Xx 增大而减小；
b=0，表示直线与轴平行，即Yy 与 Xx 无直线关系。
a>0
a=0
a<0
b的统计学意义 x增(减)一个单位，y 平均改变b个单位。 说明存在回归关系的两变量间依存变化的数量关系。
二、回归方程的估计
各实测点到该回归线的纵向距离平方和较到其它任何 直线者为小。
yy ˆ2 y a b x 2
(二) 回归系数的估计方法 例 现以例14.1资料说明建立直线回归方程的具体步骤。 1. 绘制两变量间的散点图，如图14.1所示，观察到二者
存在直线趋势，故可进行直线回归分析。 2. 由样本数据计算如下统计量
称预测因子(predictor)，常用x表示。
第一节 直线回归方程的建立
一、直线回归的概念
本章重点介绍两个连续性变量之间的线性依存关系的统 计方法，简称线性回归(linear regression)。
例14.1 某研究欲探讨男性腰围与腹腔内脂肪面积的关系， 对20名男性志愿受试者测量其腰围(cm)，并采用磁共振 成像法测量其腹腔内脂肪面积(cm2)，结果如表14.1所示。 试建立腹腔内脂肪面积( y )和腰围( x )的直线回归方程。
例如，我们可以用身高、体重、肺活量的这些容易测 量的指标来估计心室输出量、体循环总血量等相对难 测的指标。
我们把被估计或预测的变量称为因变量(dependent variable)，或称反应变量(response variable)，常用 y 表示； y 所依存的变量称为自变量(independent variable)，或称解释变量(explanatory variable)，或
n i 1

x
i


n
i1
n
n
2
y
i



2 .1 1 0 5 3
n i 1
x
2 i


xi
i 1
n

4. 求回归截距α。
aybx
1819.82.110531912.996.39212
20
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5. 最小二乘原则下的回归方程。
y ˆ 9 6 .3 9 2 1 2 2 .1 1 0 5 3 x
yx x
其中， y为个体的因变量值，x为其自变量值，为回 归直线的截距参数，为回归直线的斜率参数，又称回 归系数。
通常情况下，研究者只能获取一定数量的样本数据， 用该样本数据建立的有关 y 依 x 变化的线性表达式称 为回归方程，记为：
yˆ abx 其中,
a与b分别为前一模型参数与的估计；
中国医科大学医学 统计学 直线回归
分析
为了研究父亲与成年儿子身高之间的关系，卡尔.皮尔逊 测量了1078对父子的身高。把1078对数字表示在坐标上， 如图。
例如儿子的身高与父亲的身高有着某种依存关系，可以用 回归分析的方法去研究这种关系，即把两个变量间的数 量依存关系用函数形式表示出来，用一个或多个变量去 推测另一个变量的估计值和波动范围，这就是回归分析。
n
b
( xi x)( yi y)
i 1 n

(xi x)2
l xy l xx
i 1
a y bx
y - yˆ 的意义
y yˆ 残差绝对值: 实测点到直线的纵向距离。
6.5
6.0
5.5
5.0
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回归直线的有关性质
直线通过点 x , y
我们希望得到a和b的适宜值，能使所有n个数据点的
残差平方和达到最小值，则称这一对a和b为和的
最小二乘估计(LSE)。上述使回归残差平方和最小的 策略称为最小二乘原则。即要求：
Y Y ˆ2 Y a b X 2 为 最 小
根据数学上的最小二乘法原理，导出 a 和 b 的算式如下：
yˆ是与x对应的y的总体均数的估计值。 以x为横坐标,yˆ为纵坐标,上述回归方程在直角坐标系 中的图形是一条直线，斜率为b,截距为a。
直线回归参数的含义
a ：回归直线在轴上的截距。
a>0，表示直线与纵轴的交点在原点的上方； a<0，则交点在原点的下方； a=0，则回归直线通过原点；
b ：回归系数，即直线的斜率。
第二节 直线回归的统计推断
一、总体回归系数β的假设检验 在简单回归模型中，参数β的意义是： 若自变量x增加一个单位，反应变量y的平均值便增加β。 如果β=0，说明y与x之间并不存在线性关系；反之， β≠0，说明y与x之间存在线性关系。 从β=0的总体中抽样，计算出的样本回归系数 b 很可能 不为零。所以需对样本回归系数 b 进行假设检验。
n20
x1819.8，x2166534.38 y1912.9, y2190252.97, xy176061.42
3. 求回归系数b。
n
( x i x )( yi y )
b i1 n
(xi x )2
i 1

n i 1
xi yi

(一) 回归方程估计的最小二乘原则
参数α和β一般只能通过用样本数据来估计。
当x取值为xi时，y的平均值的估计值 yˆ i 应为a b xi 而
实际观察值是yi。两者之差为残差，即：
i yi yˆi yi (a bxi )
(i 1, 2, n)
其中，(xi, yi)，i=1, 2, , n为已知的样本数据。