[医学]中国医科大学医学统计学 直线回归分析
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【医学统计学】9直线回归分析(研)
b
(
X
X )(Y (X X )2
Y
)
lXY lXX
➢对回归系数b 进行假设检验：
方差分析
t检验
2021/2/8 Monday
14
方差分析
• 因变量y 的取值大小不同，y 取值的这种波动称为变异。变异来源 于两个方面：
• 由于自变量x 的取值不同造成的 • 除x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响
28
三、直线回归分析的区间估计
➢因变量条件均数 Yˆ 的区间估计：
Yˆx x0 t (n2) SYˆ
SYˆ SY . X
1 n
( X0 X )2 ( X X )2
➢ 总体中当x取某定值x0时y的条件均数为x0
代x=入x0回时归的方条程件求均Yˆxx得数0Yˆx点，bx00 估它bx计遵0 值从Yˆx总x0 体 Y均ˆxx0数Yˆ为xx0
)
l XY l XX
➢ 其中， 为X 和Y 的离均差积和
➢
l XY l XX
为X 的离均差平方和
➢
b0 Y bX
2021/2/8 Monday
12
lXX
X 2 ( X )2 n
l XY
XY
(
X )(Y )
n
2021/2/8 Monday
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二、直线回归分析的基本步骤
➢绘制散点图
➢计算回归系数b
2021/2/8 Monday
18
SS残 (Y Yˆ)2
亦称剩余平方和(residual sum of squares), SS 剩。考虑回归之后y的随机误差，是x 对y 的线性 影响之外的一切因素对y的变异，即总变异中无法 用x解释的部分。 SS残即SS剩越小，回归效果越好。
医学统计学-直线相关和回归分析
Page 6
2.相关的概念
➢当两个数值变量之间出现如下情况：当一个 变量增大，另一个也随之增大(或减少)，我 们称这种现象为共变，也就是有相关关系。
➢若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同 向的，则两变量之间的关系为正相关 (positive correlation)；若一个变量增加时，另 一个变量减少，变化趋势是反向的，则称为 负相关(negative correlation)。
Page 17
➢H0：ρ＝0，两变量间无直线相关的关系；
➢H1：ρ≠0，两变量间有直线相关的关系；
➢a =0.05
t 0.9456 7.1196 1 0.94562
82
➢ν=8-2=6
➢以自由度为6查附表2的t界值表，得P<0.01， 按α=0.05的水准拒绝H0，接受H1，认为2岁 时的身高和成年身高之间存在正相关。
)
XY X Y / X 2 X 2 / n
n
lXY lXX
a Y bX
Page 41
最小二乘法求解(了解)
Q (Y Yˆ )2 (Y a bX )2 最小
根据微积分学中的求极值的方法，令 Q对a、
b的一阶偏导数等于0，即：
Q
a
n
2
i 1
Yi
a
bX i
0
Q b
n
2
i 1
Yi
Page 7
直线相关的概念
➢直线相关（linear correlation），又称简单相 关，用以描述两个呈正态分布的变量之间的 线性共变关系，常简称为相关。
Page 8
➢用以说明具有直线关系的两个变量间相关关 系的密切程度和相关方向的指标，称为相关 系数（correlation coefficient），又称为积差 相关系数（coefficient of product-moment correlation），Pearson相关系数 。
2.相关的概念
➢当两个数值变量之间出现如下情况：当一个 变量增大，另一个也随之增大(或减少)，我 们称这种现象为共变，也就是有相关关系。
➢若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同 向的，则两变量之间的关系为正相关 (positive correlation)；若一个变量增加时，另 一个变量减少，变化趋势是反向的，则称为 负相关(negative correlation)。
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➢H0：ρ＝0，两变量间无直线相关的关系；
➢H1：ρ≠0，两变量间有直线相关的关系；
➢a =0.05
t 0.9456 7.1196 1 0.94562
82
➢ν=8-2=6
➢以自由度为6查附表2的t界值表，得P<0.01， 按α=0.05的水准拒绝H0，接受H1，认为2岁 时的身高和成年身高之间存在正相关。
)
XY X Y / X 2 X 2 / n
n
lXY lXX
a Y bX
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最小二乘法求解(了解)
Q (Y Yˆ )2 (Y a bX )2 最小
根据微积分学中的求极值的方法，令 Q对a、
b的一阶偏导数等于0，即：
Q
a
n
2
i 1
Yi
a
bX i
0
Q b
n
2
i 1
Yi
Page 7
直线相关的概念
➢直线相关（linear correlation），又称简单相 关，用以描述两个呈正态分布的变量之间的 线性共变关系，常简称为相关。
Page 8
➢用以说明具有直线关系的两个变量间相关关 系的密切程度和相关方向的指标，称为相关 系数（correlation coefficient），又称为积差 相关系数（coefficient of product-moment correlation），Pearson相关系数 。
医学统计学直线回归分析
直线回归分析的局限性
直线回归分析假设变量之间存在线性关系，对非线性关系的描述效果较差； 同时需要注意多重共线性和异常值的影响。
结论
直线回归分析是一种强大的工具，能够帮助我们理解变量之间的关系和预测未来趋势，但要注意其局限性和合 理使用。
直线回归模型的建立
建立直线回归模型需要收集变量数据、进行数据预处理、选择适当的回归算 法，并评估模型的拟合效果。
直线回归模型的评估
评估直线回归模型的常用指标包括回归系数、残差分析、决定系数等，用于 判断模型的可靠性和拟线回归分析广泛应用于医学研究、经济预测、市场分析等领域，帮助解析变量之间的关系和预测未来趋势。
医学统计学直线回归分析
直线回归分析是一种常用的统计学方法，用于研究两个变量的关系以及预测 未来的趋势。
直线回归分析的介绍
直线回归是一种线性统计分析方法，通过建立一个线性模型来描述两个变量之间的关系。
直线回归分析的基本原理
直线回归分析基于最小二乘法，寻找一条直线使得实际观测值与回归预测值之间的误差最小。
[医学]中国医科大学医学统计学 直线回归分析
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y y 2 ˆ y y 2 y y ˆ 2
上式用符号表示为：
SS总= SS回+SS残
式中SS总，即 yy2，为y的离均差平方和lyy，又称总
平方和，说明未考虑x与y的回归关系时y的变异。
SS回，即 ˆyy2，它反映在y的总变异中由于x与y的直
现1=1，2=18，查F界值表，得P<0.01，按=0.05水 准拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义，故可认为腹 腔内脂肪面积与腰围之间存在直线回归关系，总体回
归系数不等于零。
(二) t 检验
这里t 检验的基本思想与定量变量中样本均数与总体 均数比较的t 检验类似，统计量t 计算如下式：
>0，表示 y 随 x 增大而增大；
b
YX
b<0，表示 Yy 随 Xx 增大而减小；
b=0，表示直线与轴平行，即Yy 与 Xx 无直线关系。
a>0
a=0
a<0
b的统计学意义 x增(减)一个单位，y 平均改变b个单位。 说明存在回归关系的两变量间依存变化的数量关系。
二、回归方程的估计
差越小。
上述三个平方和各自的自由度及相互关系如下：
总=回+残 总=n-1，回=1，残=n-2
在H0为β=0的假设下，统计量F服从自由度为回、残
的F分布。
S S to ta l ly y yy ˆ2
S S 回 b lx ylx 2 ylx yb 2 lx x
Ⅴ. 下结论 因为p<0.01，按=0.05水准，拒绝H0，接受H1， 差异有统计学意义。即故可认为腹腔内脂肪面积 与腰围之间存在直线回归关系，总体回归系数不 等于零。
对于同一资料，对总体回归系数的假设检验与总体相 关系数的假设检验等价，并且检验统计量值具有如下 关系：
上式用符号表示为：
SS总= SS回+SS残
式中SS总，即 yy2，为y的离均差平方和lyy，又称总
平方和，说明未考虑x与y的回归关系时y的变异。
SS回，即 ˆyy2，它反映在y的总变异中由于x与y的直
现1=1，2=18，查F界值表，得P<0.01，按=0.05水 准拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义，故可认为腹 腔内脂肪面积与腰围之间存在直线回归关系，总体回
归系数不等于零。
(二) t 检验
这里t 检验的基本思想与定量变量中样本均数与总体 均数比较的t 检验类似，统计量t 计算如下式：
>0，表示 y 随 x 增大而增大；
b
YX
b<0，表示 Yy 随 Xx 增大而减小；
b=0，表示直线与轴平行，即Yy 与 Xx 无直线关系。
a>0
a=0
a<0
b的统计学意义 x增(减)一个单位，y 平均改变b个单位。 说明存在回归关系的两变量间依存变化的数量关系。
二、回归方程的估计
差越小。
上述三个平方和各自的自由度及相互关系如下：
总=回+残 总=n-1，回=1，残=n-2
在H0为β=0的假设下，统计量F服从自由度为回、残
的F分布。
S S to ta l ly y yy ˆ2
S S 回 b lx ylx 2 ylx yb 2 lx x
Ⅴ. 下结论 因为p<0.01，按=0.05水准，拒绝H0，接受H1， 差异有统计学意义。即故可认为腹腔内脂肪面积 与腰围之间存在直线回归关系，总体回归系数不 等于零。
对于同一资料，对总体回归系数的假设检验与总体相 关系数的假设检验等价，并且检验统计量值具有如下 关系：
医学统计学 第十一章 第一节 直线回归
2
Y的总变异分解
Y Y
2
ˆ Y Y
ˆ Y Y
2
2
SS 总 SS回 SS 剩
总 回 剩
决定系数 r
2
SS回归 SS 总
(Y Y )
2
lYY
ˆ ) 2 (1 r 2 )l (Y Y YY
a 的意义
ˆ a bX Y
a 截距(intercept, constant)
X=0 时，Y的估计值
a的单位与Y值相同
当X可能取0时，a才有实际意义。
ˆ 估计值 Y 的意义
ˆ =5.145, X=11时, Y
即体重为 11 kg 的三岁女童, 其平均体表面积之 估计为 5.145 (103cm2);
(Y Y )2 r 2 lYY
lYY (1 r )lYY r lYY
2 2
剩余标准差
sY X ˆ Y Y n2
2
(1) 扣除了X的影响后Y方面的变异; (2) 引进 回归方程后, Y方面的变异。
11.6 回归问题的方差分析
前面应变量总变异的分解与方差分析中
l XY 5.9396 b 0.2385(103 cm 2 / kg) l XX 24.9040
a 5.7266- 13.44 0.2385 2.5212
ˆ Y 2.5212 0.2385X
回归直线的绘制
计算不太接近的两点的Y值：
ˆ 2.5212 0.2385X Y
方差的分解原理相同，因而，X对Y的影
响是否有统计学意义，或X与Y的回归关
医学统计学直线回归分析
值
b为回归系数(regression 。
a>0
a=0
a<0
b>0
b>0：x 每增加（减少）一个观测单位，yˆ 增加
（减少）b个单位。
b<0
x yˆ b<0： 每增加（减少）一个观测单位， 减少（增加）
|b|个单位。
b=0
b=0：x与 y 没有直线回归关系。
主要内容
直线回归方程的建立 直线回归的统计推断 直线回归的应用 直线回归需注意的问题 直线回归与直线相关的联系与区别
医学领域里常常需要研究两个变量之间的关系， 例如：人的身高与体重，体温与脉搏次数，年 龄与血压，药剂量与疗效，体表面积与肺活量， 身高与臂长……
两变量关系的密切程度可以用直线相关衡量； 两变量的数量变化关系可以用直线回归衡量。
回归方程的估计
原理：最小二乘法(least square method)
各实测点到直线的纵向距离平方之和达到最小
计算公式
b
lxy lxx
(x x )( y (x x)2
y)
a y bx
其中
lxx x2 ( x)2 / n lyy y2 ( y)2 / n
lxy xy ( x y) / n
➢ yˆ p 的1-α的置信区间估计
公式为： yˆ p t S / 2,(n2) yˆp
其中：
S yˆ p S yx
1 (xp x)2
n
lxx
应变量个体y值的预测区间
对于给定的x=xp，y值的预测区间
计算公式为： yˆ p t / 2, Sy|xp
其中：
Sy|xp Syx
1 1 (xp x )2
n
lxx
b为回归系数(regression 。
a>0
a=0
a<0
b>0
b>0：x 每增加（减少）一个观测单位，yˆ 增加
（减少）b个单位。
b<0
x yˆ b<0： 每增加（减少）一个观测单位， 减少（增加）
|b|个单位。
b=0
b=0：x与 y 没有直线回归关系。
主要内容
直线回归方程的建立 直线回归的统计推断 直线回归的应用 直线回归需注意的问题 直线回归与直线相关的联系与区别
医学领域里常常需要研究两个变量之间的关系， 例如：人的身高与体重，体温与脉搏次数，年 龄与血压，药剂量与疗效，体表面积与肺活量， 身高与臂长……
两变量关系的密切程度可以用直线相关衡量； 两变量的数量变化关系可以用直线回归衡量。
回归方程的估计
原理：最小二乘法(least square method)
各实测点到直线的纵向距离平方之和达到最小
计算公式
b
lxy lxx
(x x )( y (x x)2
y)
a y bx
其中
lxx x2 ( x)2 / n lyy y2 ( y)2 / n
lxy xy ( x y) / n
➢ yˆ p 的1-α的置信区间估计
公式为： yˆ p t S / 2,(n2) yˆp
其中：
S yˆ p S yx
1 (xp x)2
n
lxx
应变量个体y值的预测区间
对于给定的x=xp，y值的预测区间
计算公式为： yˆ p t / 2, Sy|xp
其中：
Sy|xp Syx
1 1 (xp x )2
n
lxx
直线回归分析的名词解释
直线回归分析的名词解释直线回归分析是一种常用的统计方法，用于研究两个变量之间的关系。
它的基本原理是根据已知的自变量数据，通过拟合一条直线来预测因变量的数值。
这条直线代表了自变量和因变量之间的线性关系，使我们能够预测因变量的数值，或者根据自变量的不同取值来比较因变量的变化情况。
在直线回归分析中，有一些重要的概念需要理解。
首先是自变量和因变量。
自变量是我们已知的、能够影响因变量的变量，它是我们在分析中选定的一个或多个特征。
而因变量是我们要研究或者预测的变量，它的数值取决于自变量。
通过分析自变量和因变量之间的关系，我们可以找到它们之间的数学模型。
在直线回归分析中，我们通常使用最小二乘法来拟合直线。
最小二乘法是一种求解线性模型的方法，它的原则是使预测值与实际观测值的差异平方和最小化。
可通过最小二乘法得到直线的斜率和截距，从而得到我们所拟合的线性关系方程。
当我们进行直线回归分析时，常会遇到两种情况：简单线性回归和多元线性回归。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况，它用一条直线来描述这两个变量之间的关系。
多元线性回归则是指包含多个自变量和一个因变量的情况，它用一个多维空间中的平面或超平面来描述这些变量之间的关系。
直线回归分析还有一些重要的指标需要关注。
其中最重要的是相关系数和方差分析。
相关系数衡量了自变量与因变量之间的线性关系的强弱，它的取值范围是-1到1。
当相关系数接近于1时，表示自变量与因变量之间有较强的正相关性；当相关系数接近于-1时，表示自变量与因变量之间有较强的负相关性；而当相关系数接近于0时，则表示二者之间几乎没有线性关系。
方差分析则是用来评估线性模型的拟合程度。
它通过计算实际观测值与模型的预测值之间的差异来评估模型的拟合程度。
方差分析结果一般以F值来表示，当F值越大时，表示模型拟合程度越好。
直线回归分析在许多领域都有广泛的应用。
例如，在经济学中，直线回归分析可以用来分析价格与销量之间的关系，帮助企业进行市场预测和决策制定。
医学统计学课件：回归分析
利用逐步回归等方法，选择重要 的自变量，优化模型，提高预测 精度。
生存分析模型
生存分析模型概述
生存分析模型是用于研究生存时间与相关因素 之间关系的一种统计分析方法。
模型的建立与拟合
通过Cox比例风险模型等统计技术，拟合生存分 析模型，并评估模型的拟合效果。
生存曲线与影响因素
利用生存曲线描述生存时间与影响因素之间的关系，并评估不同因素对生存时 间的影响。
正态性
误差项应服从正态分布，即近似于钟形曲线。如 果误差项存在偏离正态分布的情况，需要采取措 施进行调整。
多重共线性诊断
定义：多重共线性是指自变量之间存在 较强的线性相关关系，导致模型估计失 真或不稳定。
特征值：如果特征值接近于0，则表明存 在严重的多重共线性问题。
条件指数：条件指数大于10表明模型受 到多重共线性的影响。
模型构建流程
数据清洗
对数据进行预处理，包括缺失值填充、异常值处理等，以确保数 据的质量和可靠性。
模型构建
根据已知的变量和因变量之间的关系，构建线性回归模型。
模型优化
通过逐步回归等方法对模型进行优化，以提高模型的预测精度和 稳定性。
模型评估指标
拟合优度
通过计算模型的R²值等指标，评估模型对数 据的拟合程度。
回归分析的分类
线性回归分析和非线性回归分析。
线性回归模型
线性回归模型的定义
线性回归模型是一种最常用的回归分析模型，其形式为Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn。
线性回归模型的基本要素
因变量Y，自变量X1, X2, ..., Xn，以及模型中的系数β0, β1, ..., βn。
生存分析模型
生存分析模型概述
生存分析模型是用于研究生存时间与相关因素 之间关系的一种统计分析方法。
模型的建立与拟合
通过Cox比例风险模型等统计技术，拟合生存分 析模型，并评估模型的拟合效果。
生存曲线与影响因素
利用生存曲线描述生存时间与影响因素之间的关系，并评估不同因素对生存时 间的影响。
正态性
误差项应服从正态分布，即近似于钟形曲线。如 果误差项存在偏离正态分布的情况，需要采取措 施进行调整。
多重共线性诊断
定义：多重共线性是指自变量之间存在 较强的线性相关关系，导致模型估计失 真或不稳定。
特征值：如果特征值接近于0，则表明存 在严重的多重共线性问题。
条件指数：条件指数大于10表明模型受 到多重共线性的影响。
模型构建流程
数据清洗
对数据进行预处理，包括缺失值填充、异常值处理等，以确保数 据的质量和可靠性。
模型构建
根据已知的变量和因变量之间的关系，构建线性回归模型。
模型优化
通过逐步回归等方法对模型进行优化，以提高模型的预测精度和 稳定性。
模型评估指标
拟合优度
通过计算模型的R²值等指标，评估模型对数 据的拟合程度。
回归分析的分类
线性回归分析和非线性回归分析。
线性回归模型
线性回归模型的定义
线性回归模型是一种最常用的回归分析模型，其形式为Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn。
线性回归模型的基本要素
因变量Y，自变量X1, X2, ..., Xn，以及模型中的系数β0, β1, ..., βn。
医学统计学直线相关与回归分析
SY|X为Y的剩余标准差——扣除X的影响后Y的变异程度。
SY|X
Y Yˆ 2
n2
残差 2
＝ n2
SS剩 ＝ n2
MS剩＝ˆY|X
Y的剩余标准差——扣除X的影 响后Y （即回归所能解释的部 分）本身的变异程度
SY|X 度量了实际散点远离回归直线的离散程度， 反映了模型的可靠性。越小模型越好。
直线回归系数的t检验
H0：总体回归系数＝0； H1：总体回归系数≠0； =0.05
=15-2=13
按=13查t界值表，t0.05/2,13=2.160， t0.01/2,13=3.012， t>t0.01/2,13，得P<0.01。按 =0.05水准拒绝H0，接受H1。
认为胰岛素和血糖存在直线回归关系。
直线相关与回归
Linear Correlation and regression Analysis
▪ 人的体重往往随着身高的增加而增加。二 者之间是否存在某种关联？如果存在，可 否用身高来推测体重的多少？
▪ 人的肺活量往往随着胸围的增加而增加。 是否可以建立胸围和肺活量的数量关系？
▪ 还有：年龄与血压、药物剂量与动物死亡 率、胰岛素与血糖水平的关系等
可以用回归来解释的部分
Y即的与X有总关变的部异分
份额的大小可以 用相关系数的平
方来衡量 （决定系数）
不能用X来解释的部分 即与X无关的部分（随机误差）
Page 72
估计值 的意义
▪ 给定X时，Y的均数的估计值。 ▪ X=10, = 12.7015
即胰岛素为10mU/L，平均血糖值为 12.7015mmol/L
15例糖尿病患者胰岛素患者胰岛素水平和血糖水平的散点图
医学统计学课件：回归分析
假设检验
03
信息提取
从回归模型中提取有意义的自变量组合和系数，为研究提供新的思路和方向。
多元回归模型的应用
01
预测
利用已建立的多元回归模型，预测新数据或未来数据的因变量值。
02
分类
结合回归模型和分类算法，将因变量进行分类，实现对数据的深度挖掘。
05
其他回归分析方法
总结词
岭回归分析是一种用于处理共线性数据的线性回归方法，通过引入一个惩罚项来改善模型的稳定性和预测精度。
通过线性回归模型，可以估计自变量对因变量的影响程度和方向。
在线性回归模型中，可以考察自变量之间的交互作用，以及自变量与因变量的交互作用。
03
逻辑回归分析
逻辑回归模型的建立
确定自变量和因变量
首先需要确定影响因变量哪些因素作为自变量，并明确因变量和自变量的关系。
数据的正态性检验
对各变量进行正态性检验，以确保数据满足正态分布的要求。
逻辑回归模型的检验
逻辑回归模型的应用
分层分析
根据预测结果，将研究对象分成不同的层，针对不同层进行差异性分析。
风险评估
根据预测结果，对研究对象进行风险评估，以更好地进行临床决策。
预测
利用训练好的模型，输入自变量的值，得到预测的概率值。
04
多元回归分析
多元回归模型的建立
确定自变量
根据研究目的和已有知识，选择与因变量相关的多个自变量。
线性回归分析
假设自变量和因变量之间存在非线性关系，通过建立非线性回归模型来预测因变量的取值。
非线性回归分析
回归分析的分类
回归分析的基本步骤
数据清洗
对收集到的数据进行清洗，包括处理缺失值、异常值、重复数据等。
03
信息提取
从回归模型中提取有意义的自变量组合和系数，为研究提供新的思路和方向。
多元回归模型的应用
01
预测
利用已建立的多元回归模型，预测新数据或未来数据的因变量值。
02
分类
结合回归模型和分类算法，将因变量进行分类，实现对数据的深度挖掘。
05
其他回归分析方法
总结词
岭回归分析是一种用于处理共线性数据的线性回归方法，通过引入一个惩罚项来改善模型的稳定性和预测精度。
通过线性回归模型，可以估计自变量对因变量的影响程度和方向。
在线性回归模型中，可以考察自变量之间的交互作用，以及自变量与因变量的交互作用。
03
逻辑回归分析
逻辑回归模型的建立
确定自变量和因变量
首先需要确定影响因变量哪些因素作为自变量，并明确因变量和自变量的关系。
数据的正态性检验
对各变量进行正态性检验，以确保数据满足正态分布的要求。
逻辑回归模型的检验
逻辑回归模型的应用
分层分析
根据预测结果，将研究对象分成不同的层，针对不同层进行差异性分析。
风险评估
根据预测结果，对研究对象进行风险评估，以更好地进行临床决策。
预测
利用训练好的模型，输入自变量的值，得到预测的概率值。
04
多元回归分析
多元回归模型的建立
确定自变量
根据研究目的和已有知识，选择与因变量相关的多个自变量。
线性回归分析
假设自变量和因变量之间存在非线性关系，通过建立非线性回归模型来预测因变量的取值。
非线性回归分析
回归分析的分类
回归分析的基本步骤
数据清洗
对收集到的数据进行清洗，包括处理缺失值、异常值、重复数据等。
医学统计学课件直线回归
01
预测疾病的发展趋势
通过直线回归模型，可以预测疾病的发展趋势，为制定预防和治疗措施提供依据。
02ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
控制实验因素
在医学研究中，直线回归可以用来控制实验因素对结果的影响，从而提高研究的准确性。
直线回归可以用来对疾病进行分类，例如根据患者的生理指标将疾病分为轻、中、重度。
直线回归可以帮助医生鉴别诊断疾病，例如根据患者的症状和体征，预测患某种疾病的可能性。
此外，直线回归还可以用于评估两个变量之间的关联强度和方向。通过计算相关系数和判定系数，可以量化自变量 x 对因变量 y 的解释程度。
直线回归的统计意义
02
直线回归的参数估计
VS
最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来估计未知参数。在直线回归中，最小二乘法用于找到最佳拟合线，即使得实际数据点和拟合线之间的误差平方和最小的线。
xx年xx月xx日
《医学统计学课件直线回归》
直线回归模型直线回归的参数估计直线回归的假设检验直线回归的应用直线回归的扩展直线回归软件实现
contents
目录
01
直线回归模型
直线回归是一种简单但重要的回归分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。它基于最小二乘法原理，通过拟合一条直线来描述一个因变量和一个或多个自变量之间的依赖关系。
谢谢您的观看
THANKS
疾病分类
鉴别诊断
分类与鉴别
确定变量之间的关系
01
直线回归可以用来确定变量之间的关系，例如确定血压和心率之间的关系。
相关分析
评估风险因素
02
直线回归可以用来评估风险因素对疾病的影响，例如评估吸烟对肺癌的风险。
预测预后
直线回归分析卫生统计学
区别 1. 相关、回归分析的应用不同
相关表示相互关系，两变量的关系是平行的； 回归表示两变量在数量上依存关系，自变量与因变量关系。
2. 对资料的要求不同
相关要求双变量正态分布，回归分析条件(4个) 当x和y都是随机的，可以进行相关和回归分析； 当y是随机的(x是控制的)，理论上只能作回归而不能作相关分析
yˆ abx
yˆ a
yˆ abx
yˆ abx
yˆ72x
yˆ2.1 7 86.9x8
yˆ abx
yˆ
yˆ72x
(二) 直线回归分析的基本步骤
1. 绘制散点图(观察是否有直线趋势、异常点)
2. 估计回归参数，列出回归方程
求解a、b，实际上就是“合理地”找到一条能最好地代表 数据点分布趋势的直线。
3. 统计量的计算、意义不同
r没有单位，b有单位；取值范围不同；计算不同; 意义不同
四、直线回归与相关的区别与联系
用身高、体重、肺活量估计心室输出量
例14.1 某研究欲探讨男性腰围与腹腔内脂肪面积的关 系，对20名男性志愿受试者测量其腰围(cm)，并采用核 磁共振法测量其腹腔内脂肪面积(cm2)，结果如教材188 页表14.1所示。试建立腹腔内脂肪面积(y)和腰围(x)的 直线回归方程。
若描述男性腰围和腹腔内脂肪面积在数量上的依存关 系 (回归分析)，应变量为腹腔内脂肪面积，自变量为 腰围。 y 表示应变量，因变量，响应变量
Simplelinearregressionanalysis
Regression 释义
第十四章 直线回归分析
直线回归分析
回归模型的一般形式 回归分析的应用条件
回归分析的步骤 残差分析
直线回归分析的应用
相关表示相互关系，两变量的关系是平行的； 回归表示两变量在数量上依存关系，自变量与因变量关系。
2. 对资料的要求不同
相关要求双变量正态分布，回归分析条件(4个) 当x和y都是随机的，可以进行相关和回归分析； 当y是随机的(x是控制的)，理论上只能作回归而不能作相关分析
yˆ abx
yˆ a
yˆ abx
yˆ abx
yˆ72x
yˆ2.1 7 86.9x8
yˆ abx
yˆ
yˆ72x
(二) 直线回归分析的基本步骤
1. 绘制散点图(观察是否有直线趋势、异常点)
2. 估计回归参数，列出回归方程
求解a、b，实际上就是“合理地”找到一条能最好地代表 数据点分布趋势的直线。
3. 统计量的计算、意义不同
r没有单位，b有单位；取值范围不同；计算不同; 意义不同
四、直线回归与相关的区别与联系
用身高、体重、肺活量估计心室输出量
例14.1 某研究欲探讨男性腰围与腹腔内脂肪面积的关 系，对20名男性志愿受试者测量其腰围(cm)，并采用核 磁共振法测量其腹腔内脂肪面积(cm2)，结果如教材188 页表14.1所示。试建立腹腔内脂肪面积(y)和腰围(x)的 直线回归方程。
若描述男性腰围和腹腔内脂肪面积在数量上的依存关 系 (回归分析)，应变量为腹腔内脂肪面积，自变量为 腰围。 y 表示应变量，因变量，响应变量
Simplelinearregressionanalysis
Regression 释义
第十四章 直线回归分析
直线回归分析
回归模型的一般形式 回归分析的应用条件
回归分析的步骤 残差分析
直线回归分析的应用
医学统计学课件直线回归
医学统计学课件直线回归日期:汇报人：contents •直线回归概述•直线回归模型建立•直线回归模型评估•直线回归应用实例•直线回归与医学研究•直线回归前沿进展目录CHAPTER直线回归概述01定义与概念直线回归是一种统计学上的预测分析工具，它通过建立一个变量与另一个变量之间的线性关系，来预测一个变量的值。
在医学领域，直线回归被广泛应用于医学研究、临床实践和健康数据分析等方面。
它可以帮助我们了解两个变量之间的关系，以及预测一个变量的值，从而为医学研究和临床决策提供依据。
直线回归模型直线回归与医学关系0203CHAPTER直线回归模型建立02收集数据确定研究因素和结果收集数据数据清洗散点图观察趋势观察散点图判断是否适合直线回归模型绘制散点图确定回归方程计算回归系数检验模型假设模型评估模型建立步骤CHAPTER直线回归模型评估03残差分析残差图：将残差与对应的预测值绘制在图上，可以直观评估模型是否合适。
残差的分布应无规律且随机分布，若出现规律或集群现象，则说明模型存在问题。
残差是实际观察值与预测值之间的差值，用于评估模型的拟合程度。
斜率与截距检验截距检验的零假设是模型不包含常数项。
其他评估指标R方值衡量模型拟合程度，取值范围为0-1，数值越接近1表示模型拟合度越好。
标准误差衡量预测值的不确定程度，数值越小表示预测值越稳定。
置信区间预测值的可信范围，通常以95%的置信区间表示。
CHAPTER直线回归应用实例04身高的预测总结词通过父母身高可以粗略预测子女的身高。
详细描述医学统计学的线性回归模型可以用来预测身高。
通过收集父母身高的数据，可以建立线性回归模型，从而预测子女的身高。
这种方法可以帮助我们了解遗传因素对身高的影响。
总结词详细描述血压的预测年龄与BMI的关系总结词详细描述CHAPTER直线回归与医学研究05临床诊断与预测疾病风险预测基于患者的流行病学和临床数据，利用直线回归模型可以预测患者未来的疾病风险。
医学统计学课件：回归分析
回归分析在医学中的应用
05
疾病风险预测
利用回归分析，研究疾病发生的相关因素，如年龄、性别、遗传等，从而预测个体或群体在未来患某种疾病的风险。
预防措施制定
通过了解疾病影响因素，制定针对性强的预防措施，如控烟、控糖、加强锻炼等，以降低疾病发生概率。
疾病预测与预防
治疗效果评估与优化治疗方案
通过对比治疗前后的数据，利用回归分析研究治疗效果的影响因素，如治疗方式、病情严重程度等，为改进治疗方案提供依据。
时间序列回归分析
分位数回归分析是一种非参数回归方法，用于估计因变量的分位数与自变量之间的关系。
总结词
在分位数回归分析中，我们通常将因变量的值分成一系列的分位数，然后估计每个分位数与自变量之间的关系。这种方法可以更加灵活地描述因变量与自变量之间的关系，并且可以更好地适应各种不同的数据类型。
详细描述
分位数回归分析
总结词
多元回归分析
总结词
时间序列回归分析是一种特殊的回归方法，用于研究时间序列数据之间的依赖关系和预测未来趋势。
详细描述
在时间序列回归分析中，我们通常有两个或更多的时间序列数据，它们在时间上具有连续性。通过时间序列回归分析，我们可以估计各个时间序列对目标时间序列的影响程度，并对目标时间序列的未来趋势进行预测。
回归分析的基本步骤
线性回归分析
02
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
确定自变量和因变量
建立回归模型
模型假设检验
线性回归模型的建立
03
模型诊断
通过残差图、残差与预测值图等图形工具，对模型的假设和适应性进行诊断。
线性回归模型的评价与诊断
01
模型拟合度评估
应用R^2、校正R^2等指标，评估回归模型对数据的拟合程度。
医学统计学：第十一章 直线相关与回归分析
24
2、计算相应统计量及相关系数：
直线相关（linear correlation）
x 893 y 3991.56
x x / n 893/15 59.5333
y y / n 3991.56 /15 266.1040
x2 55719 y2 1082440.58
xy 243931.91
9
9.8
正相关
9.8
负相关
8.8
8.8
7.8
7.8
6.8
6.8
5.8
5.8
4.8
4.8
3.8
3.8
2.8
2.8
1.8
1.8
0<r <1 1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
-1<r <0
直线相关（linear correlation）
散点呈椭圆形分布:
X、Y 同时增减---正相关 （positive correlation)； X、Y 此增彼减---负相关 (negative correlation) 。
r 0
r 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5
图1－2 相关关系示意图
直线相关（linear correlation）
非线性相关 不存在直线相关关系----零相关 (zero correlation)
11
直线相关（linear correlation）
二、相关系数的意义及计算 两变量间直线相关的性质和密切程度，用直线相关系数 linear correlation coefficient来描述。直线相关系数亦称积差 相关系数product-moment correlation coefficient或简相关系数 simple correlation coefficient。
医学统计学 第九章 第二十二讲
ˆ 为残差：点到直线的纵向距离。 Y Y
6.5
6.0
5.5
5.0 11 12 13 14 15 16
可导出a、b的最小二乘法估计如下：
( X X )(Y Y ) l b l (X X )
2
XY XX
a y bx
【例9.3】现仍用例9.1的资料，试分析大白鼠 进食量与体重增加量的关系试作直线回归分析。
直线回归方程的一般表达式为：
ˆ a bX Y
a是回归直线在Y轴上的截距 ,即X=0时的值；
b为回归系数，即直线的斜率。 b>0，表示直线从左下方走向右上方，即Y随X的增大而增大； b<0，表示直线从左上方走向右下方，即Y随X的增大而减小； b=0，表示回归直线与X轴平行，即X,Y无回归关系。
通常把一个变量称为自变量，用X表示；另一个变量称为应变 量，用Y表示。
进食量与体重增加量的散点图：散点图的带状分布 有线性趋势
190 180 170 160 150 140 130 120 110 600
增加量(g)
700
800
900
1000
进食量(g)
图9.1 大白鼠进食量与体重增加量的散点图
9.2 直线回归
9.2.1直线回归的概念
直线回归是处理两变量间线性依存关系的的一种统计 分析方法
注：其中至少一个是随机变量 直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回 归分析
直线回归分析的目的:建立一个线性函数，来描述具有相
关关系的两个变量间依存关系。
回归分析中两变量的地位是不相同的：
4．积差和法相关与等级相关。 积差和法相关计算相关系数r适用于正态资 料； 资料明显呈偏态分布或者原始资料只能用 等级划分或难以判定资料属何种分布的， 按等级相关处理。
医学统计学课件：回归分析
《医学统计学课件：回归分析》xx年xx月xx日CATALOGUE目录•回归分析概述•线性回归分析•逻辑回归分析•多重回归分析•回归分析的软件实现•回归分析的应用场景与实例01回归分析概述回归分析是一种统计学方法，研究因变量与自变量之间的关系，并预测因变量在给定自变量值下的值。
定义回归分析旨在找出一个或多个自变量与因变量之间的定量关系，以便根据自变量的值预测因变量的值，或者评估因变量在自变量变化时的稳定性。
目的定义与目的线性回归研究因变量与一个或多个自变量之间的线性关系。
多重回归研究因变量与多个自变量之间的关系，同时考虑它们之间的相互作用。
逻辑回归研究分类因变量与一个或多个自变量之间的关系，主要用于二元分类问题。
非线性回归研究因变量与一个或多个自变量之间的非线性关系，如曲线、曲面等。
回归分析的种类0102确定研究问题和研究设计明确要研究的问题和设计实验或收集数据的方式。
数据收集和整理收集与问题相关的数据，并进行整理和清洗。
选择合适的回归模型根据数据的特征和问题的需求选择合适的回归模型。
拟合模型使用选定的模型对数据进行拟合，得到回归系数。
模型评估评估模型的性能和预测能力，通常使用统计指标如R²、均方误差等。
回归分析的基本步骤03040502线性回归分析线性回归分析是一种预测性的统计方法，它通过研究自变量（通常是多个）与因变量（我们想要预测或解释的变量）之间的关系，建立它们之间的线性关系模型。
模型线性回归模型通常表示为 y = β0 +β1*x1 + β2*x2 + ... + βn*xn + ε，其中 y 是因变量，x1, x2, ..., xn 是自变量，β0, β1, ..., βn 是模型参数，ε 是误差项。
定义定义与模型VS参数估计线性回归分析的参数通常通过最小二乘法进行估计，这种方法试图找到最适合数据的一组参数值，使得因变量的观察值与预测值之间的平方误差最小。
假设检验在检验自变量与因变量之间是否存在显著线性关系时，通常会使用 F 检验或 t 检验。
医学统计学课件-直线回归
03
医学统计学在直线回归分析中具有重要作用，提供了多种统计方法和指标，如简单相关系数、标准误、置信区间等，用于评估回归关系的强度、预测精度和可靠性。
优点
直线回归模型简单易懂，易于解释和实施。同时，该模型能够准确地描述两个变量之间的线性关系，并可以用于预测因变量的趋势。此外，直线回归分析还具有较高的灵敏度和特异性。
模型检验
模型假设与检验
选择合适的估计方法
直线回归模型的参数估计方法有多种，例如最小二乘法、加权最小二乘法等。选择合适的估计方法需要考虑数据的性质和研究目的。例如，如果数据的误差项具有异方差性，则应该使用加权最小二乘法等方法进行估计。
软件实现
可以使用多种统计软件来实现直线回归模型的参数估计，例如SPSS、R、Stata等。通过软件操作可以方便快捷地得到模型的估计结果。
散点图
直线回归模型有一些假设条件，例如误差项的独立性、同方差性和无序列相关性等。这些假设条件必须满足，否则模型的估计结果会受到影响。
模型假设
在进行直线回归分析之前，需要对数据进行检验，以确保数据满足模型假设条件。例如，可以通过相关性检验、残差分析等方法来检验数据是否满足同方差性和无序列相关性等假设条件。
样本量和数据质量
03
样本量的大小会影响结果的稳定性和可靠性。样本量越大，结果越可靠。同时，数据质量也很重要，例如数据的完整性、准确性和真实性等。
绘制散点图
将研究因素和结果的数据点在二维平面上表示出来，形成散点图。通过散点图可以大致观察到因素和结果之间的关系趋势。
判断线性关系
在散点图中，如果因素和结果之间的关系大致呈线性趋势，则可以考虑使用直线回归模型来描述它们之间的关系。如果关系呈非线性趋势，则需要选择其他的回归模型。
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称预测因子(predictor)，常用x表示。
第一节 直线回归方程的建立
一、直线回归的概念
本章重点介绍两个连续性变量之间的线性依存关系的统 计方法，简称线性回归(linear regression)。
例14.1 某研究欲探讨男性腰围与腹腔内脂肪面积的关系， 对20名男性志愿受试者测量其腰围(cm)，并采用磁共振 成像法测量其腹腔内脂肪面积(cm2)，结果如表14.1所示。 试建立腹腔内脂肪面积( y )和腰围( x )的直线回归方程。
表 20名男性志愿受试者腰围和腹腔内脂肪面积的测量值
为直观理解男性腰围与腹腔内脂肪面积的关系，以 腰围为横轴，腹腔内脂肪面积为纵轴，描出20对数 据散点图如图14.1。
腹腔内脂肪面积 (cm2)
130
120
110
100
90
70
60
75
80
85
90
95
100
图14.1 两变量直线回归关系散点图
第二节 直线回归的统计推断
一、总体回归系数β的假设检验 在简单回归模型中，参数β的意义是： 若自变量x增加一个单位，反应变量y的平均值便增加β。 如果β=0，说明y与x之间并不存在线性关系；反之， β≠0，说明y与x之间存在线性关系。 从β=0的总体中抽样，计算出的样本回归系数 b 很可能 不为零。所以需对样本回归系数 b 进行假设检验。
n20
x1819.8，x2166534.38 y1912.9, y2190252.97, xy176061.42
3. 求回归系数b。
n
( x i x )( yi y )
b i1 n
(xi x )2
i 1
n i 1
xi yi
n i 1
x
i
n
i1
n
n
2
y
i
2 .1 1 0 5 3
n i 1
x
2 i
xi
i 1
n
4. 求回归截距α。
aybx
1819.82.110531912.996.39212
20
20
5. 最小二乘原则下的回归方程。
y ˆ 9 6 .3 9 2 1 2 2 .1 1 0 5 3 x
n
b
( xi x)( yi y)
i 1 n
(xi x)2
l xy l xx
i 1
a y bx
y - yˆ 的意义
y yˆ 残差绝对值: 实测点到直线的纵向距离。
6.5
6.0
5.5
5.0
11
12
13
14
15
16
回归直线的有关性质
直线通过点 x , y
中国医科大学医学 统计学 直线回归
分析
为了研究父亲与成年儿子身高之间的关系，卡尔.皮尔逊 测量了1078对父子的身高。把1078对数字表示在坐标上， 如图。
例如儿子的身高与父亲的身高有着某种依存关系，可以用 回归分析的方法去研究这种关系，即把两个变量间的数 量依存关系用函数形式表示出来，用一个或多个变量去 推测另一个变量的估计值和波动范围，这就是回归分析。
yˆ是与x对应的y的总体均数的估计值。 以x为横坐标,yˆ为纵坐标,上述回归方程在直角坐标系 中的图形是一条直线，斜率为b,截距为a。
直线回归参数的含义
a ：回归直线在轴上的截距。
a>0，表示直线与纵轴的交点在原点的上方； a<0，则交点在原点的下方； a=0，则回归直线通过原点；
b ：回归系数，即直线的斜率。
各实测点到该回归线的纵向距离平方和较到其它任何 直线者为小。
yy ˆ2 y a b x 2
(二) 回归系数的估计方法 例 现以例14.1资料说明建立直线回归方程的具体步骤。 1. 绘制两变量间的散点图，如图14.1所示，观察到二者
存在直线趋势，故可进行直线回归分析。 2. 由样本数据计算如下统计量
yx x
其中， y为个体的因变量值，x为其自变量值，为回 归直线的截距参数，为回归直线的斜率参数，又称回 归系数。
通常情况下，研究者只能获取一定数量的样本数据， 用该样本数据建立的有关 y 依 x 变化的线性表达式称 为回归方程，记为：
yˆ abx 其中,
a与b分别为前一模型参数与的估计；
我们希望得到a和b的适宜值，能使所有n个数据点的
残差平方和达到最小值，则称这一对a和b为和的
最小二乘估计(LSE)。上述使回归残差平方和最小的 策略称为最小二乘原则。即要求：
Y Y ˆ2 Y a b X 2 为 最 小
根据数学上的最小二乘法原理，导出 a 和 b 的算式如下：
例如，我们可以用身高、体重、肺活量的这些容易测 量的指标来估计心室输出量、体循环总血量等相对难 测的指标。
我们把被估计或预测的变量称为因变量(dependent variable)，或称反应变量(response variable)，常用 y 表示； y 所依存的变量称为自变量(independent variable)，或称解释变量(explanatory variable)，或
105 腰围 (cm)
如上图所示，可见散点大致呈直线趋势。
即假设有一条潜在的直线可用来刻画两变量之间的关 系，这样的直线称为回归直线。
通常用 yˆ 来表示回归直线上各点的纵坐标，其数值是
当 x 取某一值时因变量 y 的总体均数的估计值。
在数学上，描述因变量(y)依赖于另一自变量(x)的变化 而变化的方程称为直线回归方程，也称为直线回归模 型，表述为：
>0，表示 y 随 x 增大而增大；
b
YX
b<0，表示 Yy 随 Xx 增大而减小；
b=0，表示直线与轴平行，即Yy 与 Xx 无直线关系。
a>0
a=0
a<0
b的统计学意义 x增(减)一个单位，y 平均改变b个单位。 说明存在回归关系的两变量间依存变化的数量关系。
二、回归方程的估计
(一) 回归方程估计的最小二乘原则
参数α和β一般只能通过用样本数据来估计。
当x取值为xi时，y的平均值的估计值 yˆ i 应为a b xi 而
实际观察值是yi。两者之差为残差，即：
i yi yˆi yi (a bxi )
(i 1, 2, n)
其中，(xi, yi)，i=1, 2, , n为已知的样本数据。
第一节 直线回归方程的建立
一、直线回归的概念
本章重点介绍两个连续性变量之间的线性依存关系的统 计方法，简称线性回归(linear regression)。
例14.1 某研究欲探讨男性腰围与腹腔内脂肪面积的关系， 对20名男性志愿受试者测量其腰围(cm)，并采用磁共振 成像法测量其腹腔内脂肪面积(cm2)，结果如表14.1所示。 试建立腹腔内脂肪面积( y )和腰围( x )的直线回归方程。
表 20名男性志愿受试者腰围和腹腔内脂肪面积的测量值
为直观理解男性腰围与腹腔内脂肪面积的关系，以 腰围为横轴，腹腔内脂肪面积为纵轴，描出20对数 据散点图如图14.1。
腹腔内脂肪面积 (cm2)
130
120
110
100
90
70
60
75
80
85
90
95
100
图14.1 两变量直线回归关系散点图
第二节 直线回归的统计推断
一、总体回归系数β的假设检验 在简单回归模型中，参数β的意义是： 若自变量x增加一个单位，反应变量y的平均值便增加β。 如果β=0，说明y与x之间并不存在线性关系；反之， β≠0，说明y与x之间存在线性关系。 从β=0的总体中抽样，计算出的样本回归系数 b 很可能 不为零。所以需对样本回归系数 b 进行假设检验。
n20
x1819.8，x2166534.38 y1912.9, y2190252.97, xy176061.42
3. 求回归系数b。
n
( x i x )( yi y )
b i1 n
(xi x )2
i 1
n i 1
xi yi
n i 1
x
i
n
i1
n
n
2
y
i
2 .1 1 0 5 3
n i 1
x
2 i
xi
i 1
n
4. 求回归截距α。
aybx
1819.82.110531912.996.39212
20
20
5. 最小二乘原则下的回归方程。
y ˆ 9 6 .3 9 2 1 2 2 .1 1 0 5 3 x
n
b
( xi x)( yi y)
i 1 n
(xi x)2
l xy l xx
i 1
a y bx
y - yˆ 的意义
y yˆ 残差绝对值: 实测点到直线的纵向距离。
6.5
6.0
5.5
5.0
11
12
13
14
15
16
回归直线的有关性质
直线通过点 x , y
中国医科大学医学 统计学 直线回归
分析
为了研究父亲与成年儿子身高之间的关系，卡尔.皮尔逊 测量了1078对父子的身高。把1078对数字表示在坐标上， 如图。
例如儿子的身高与父亲的身高有着某种依存关系，可以用 回归分析的方法去研究这种关系，即把两个变量间的数 量依存关系用函数形式表示出来，用一个或多个变量去 推测另一个变量的估计值和波动范围，这就是回归分析。
yˆ是与x对应的y的总体均数的估计值。 以x为横坐标,yˆ为纵坐标,上述回归方程在直角坐标系 中的图形是一条直线，斜率为b,截距为a。
直线回归参数的含义
a ：回归直线在轴上的截距。
a>0，表示直线与纵轴的交点在原点的上方； a<0，则交点在原点的下方； a=0，则回归直线通过原点；
b ：回归系数，即直线的斜率。
各实测点到该回归线的纵向距离平方和较到其它任何 直线者为小。
yy ˆ2 y a b x 2
(二) 回归系数的估计方法 例 现以例14.1资料说明建立直线回归方程的具体步骤。 1. 绘制两变量间的散点图，如图14.1所示，观察到二者
存在直线趋势，故可进行直线回归分析。 2. 由样本数据计算如下统计量
yx x
其中， y为个体的因变量值，x为其自变量值，为回 归直线的截距参数，为回归直线的斜率参数，又称回 归系数。
通常情况下，研究者只能获取一定数量的样本数据， 用该样本数据建立的有关 y 依 x 变化的线性表达式称 为回归方程，记为：
yˆ abx 其中,
a与b分别为前一模型参数与的估计；
我们希望得到a和b的适宜值，能使所有n个数据点的
残差平方和达到最小值，则称这一对a和b为和的
最小二乘估计(LSE)。上述使回归残差平方和最小的 策略称为最小二乘原则。即要求：
Y Y ˆ2 Y a b X 2 为 最 小
根据数学上的最小二乘法原理，导出 a 和 b 的算式如下：
例如，我们可以用身高、体重、肺活量的这些容易测 量的指标来估计心室输出量、体循环总血量等相对难 测的指标。
我们把被估计或预测的变量称为因变量(dependent variable)，或称反应变量(response variable)，常用 y 表示； y 所依存的变量称为自变量(independent variable)，或称解释变量(explanatory variable)，或
105 腰围 (cm)
如上图所示，可见散点大致呈直线趋势。
即假设有一条潜在的直线可用来刻画两变量之间的关 系，这样的直线称为回归直线。
通常用 yˆ 来表示回归直线上各点的纵坐标，其数值是
当 x 取某一值时因变量 y 的总体均数的估计值。
在数学上，描述因变量(y)依赖于另一自变量(x)的变化 而变化的方程称为直线回归方程，也称为直线回归模 型，表述为：
>0，表示 y 随 x 增大而增大；
b
YX
b<0，表示 Yy 随 Xx 增大而减小；
b=0，表示直线与轴平行，即Yy 与 Xx 无直线关系。
a>0
a=0
a<0
b的统计学意义 x增(减)一个单位，y 平均改变b个单位。 说明存在回归关系的两变量间依存变化的数量关系。
二、回归方程的估计
(一) 回归方程估计的最小二乘原则
参数α和β一般只能通过用样本数据来估计。
当x取值为xi时，y的平均值的估计值 yˆ i 应为a b xi 而
实际观察值是yi。两者之差为残差，即：
i yi yˆi yi (a bxi )
(i 1, 2, n)
其中，(xi, yi)，i=1, 2, , n为已知的样本数据。