1988年全国统一高考数学试卷(文科)
1988年全国普通高等学校招生统一考试理数
1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分（1）2i 1i 1⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−的值等于 （ ） （A）1 （B）-1 （C）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ ） （A）点P 在直线L 上，但不在圆M 上（B）点P 在圆M 上，但不在直线L 上（C）点P 既在圆M 上，又在直线L 上（D）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ ） （A）7个 （B）8个 （C）6个 （D）5个（4）已知双曲线方程15y 20x 22=−，那么它的焦距是 （ ）（A）10 （B）5 （C）15 （D）152（5）在10)3x (−的展开式中，x 6的系数是 （ ）（A）610C 27− （B）410C 27 （C）610C 9− （D）410C 9（6）函数x sin x cos y 44−=的最小正周期是 （ ） （A）π （B）π2 （C）2π（D）π4（7）方程03x cos 34x cos 42=+−的解集是 （ ） （A）}Z k ,6)1(k x |x {k ∈π⋅−+π= （B）}Z k ,3)1(k x |x {k ∈π⋅−+π= （C）}Z k ,6k 2x |x {∈π±π= （D）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π= （8）极坐标方程θ−=ρcos 234所表示的曲线是 （ ）（A）圆 （B）双曲线右支 （C）抛物线 （D）椭圆 （9）如图，正四棱台中，D A ′′所在的直线与B B ′所在的直线是 （A）相交直线 （ ） （B）平行直线（C）不互相垂直的异面直线 （D）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg (tg +的值等于 ( ） （A）4 （B）21 （C）81 （D）8 （11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列数列那么（ ）（A）甲是乙的充分条件，但不是必要条件（B）甲是乙的必要条件，但不是充分条件（C）甲是乙的充要条件（D）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（12）在复平面内，若复数z 满足|i z ||1z |−=+，则z 所对应的点Z 的集合构成的图形是 （ ） （A）圆 （B）直线 （C）椭圆 （D）双曲线′C（13）如果曲线x 2-y 2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为1y x 22=′−′，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 （ ）（A）（1，1） （B）（-1，-1） （C）（-1，1） （D）（1，-1） （14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ ）（A）319723C C 种 （B）219733319723C C C C +种 （C）51975200C C −种 （D）4197135200C C C −种（15）已知二面角β−−αAB 的平面角是锐角，C 是平面α内一点（它不在棱AB 上），点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任一点，那么 （ ） （A）∠CEB>∠DEB （B）∠CEB=∠DEB （C）∠CEB<∠DEB （D）∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果（1）求复数i 3−的模和辐角的主值（2）解方程.27329x 1x =⋅−−−α C A E D β B（3）已知2tg ,273,53sin θπ<θ<π−=θ求（4）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD，求αsin 的值（5）已知等比数列}a {n 的公比q>1，并且a 1=b(b≠0）求.a a a a a a a a limn 876n321n L L ++++++∞→三．（本题满分10分）已知,a tgx =求x3cos x cos 3x3sin x sin 3++的值四．（本题满分10分）如图，正三棱锥S-ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 是SA 的中点，E 是BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得的旋转体的体积Sα B A C DS D F A C E B五．（本题满分11分）设21t log t log 21,0t ,1a ,0a aa +>≠>与比较的大小，并证明你的结论六．（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分， 第（2）小题满分8分.给定实数a1x ,R x (1ax 1x y ,1a ,0a ,a ≠∈−−=≠≠且设函数且 证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴;（2）这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形七．（本题满分12分）如图，直线L 的方程为2p x −=，其中p＞0;椭圆的中心为 D )0,2p 2(+，焦点在x 轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点为A 0,2p(问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线LY L。
1987高考数学全国卷及答案文
1987年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案考生注意：这份试卷共八道大题，满分120分一．（本题满分24分）本题共有8个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内选对的得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分（1）设S ，T 是两个非空集合，且S T ，T S ，令X=S ⋂T ，那么S ⋃X 等于 （ D ） （A ）X （B ）T （C ）φ （D ）S（2）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，令222b a c -=，那么它的准线方程为 （ C ）（A ）c a y 2±= （B ）c b y 2±= （C ）c a x 2±= （D ）cb x 2±=（3）设m ,16log m log 8log 4log 4843那么=⋅⋅等于 （ B ） （A ）29 （B ）9 （C ）18 （D ）27（4）复数︒-︒40cos i 40sin 的辐角为 （ D ） （A ）400 （B ）1400 （C ）2200 （D ）3100（5）二次函数y=f(x)的图象如图所示，那么此函数为 （ C ） （A ）4x y 2-=（B ）2x 4y -=（C ）)x 4(43y 2-=（D ）)x 2(43y 2-= （6）在区间)0,(-∞上为增函数的是 （ B ） （A ）)(log 21x y --= （B ）x xy -=1YX⊆⊆（C ）2)1(+-=x y （D ）21x y +=（7）已知平面上一点P 在原坐标系中的坐标为（0，m ）（m ≠0），而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m,0），那么新坐标系的原点O ＇在原坐标系中的坐标为 （ A ）（A ）（-m,m ） （B ）（m,-m ） （C ）（m,m ） （D ）（-m,-m ） （8）要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（图略） （ D ）（A ）向左平行移动3π （B ）向右平行移动3π（C ）向左平行移动6π （D ）向右平行移动6π二．（本题满分28分）本题共7小题，每一个小题满分4分只要求写出结果（1）求函数x 2sin y 2=的周期[答]2π（2）已知方程11y 2x 22=λ+-λ+表示双曲线，求λ的范围[答]λ>-1或λ<-2.（注：写出一半给2分）（3）若（1+x)n 的展开式中，x 3的系数等于x 的系数的7倍，求n.[答]8 （注：若给出8同时给出-5得2分）（4）求极限⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→2222n n n 2n 3n 2n1lim [答]2（5）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数求这种五位数的个数[答]72（6）求函数)x 3x 21(log y 22-+=的定义域[答]1x 31<<-（7）圆锥底面积为3π，母线与底面所的成角为600，求它的体积[答] 3π 三．（本题满分10分）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数：),240t sin(I I ),120t sin(I I ,t sin I I C B A ︒+ω=︒+ω=ω= 求C B A I I I ++的值解：)240t sin(I )120t sin(I t sin I I I I C B A ︒+ω+︒+ω+ω=++)]240t sin()120t sin(t [sin I ︒+ω+︒+ω+ω=0I )]t cos 23t sin 21()t cos 23t sin 21(t [sin I =⋅=ω-ω-+ω+ω-+ω=四．（本题满分12分）在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为i 2321,2+，求第三个顶点所表示的复数 解：设第三个顶点所表示的复数为z 那么根据题意，z-2和)i 2321(z +-的模相等，辐角差为)3(3π-π或，因而i 2321z ),4341(2z )i 2321(),i 2321)(i 2321(z )i 2321()i 2321)](i 2321(z [2z ;i 32z )i 2321(2z )i 2321(])i 23(i 2321241[2z )]i 2321(1[)i 2321(z )i 2321()3sin i 3)](cos i 2321(z [2z 22-=∴+-=+-+--=-+-=-+=∴+--=-+⋅⋅+-=+-+-+=π+π+-=-或 （列方程组解亦可） 五．（本题满分12分）如图，三棱锥P-ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=L,PA,BC 的公垂线ED=h 求证三棱锥P-ABC 的体积V=61L 2h.证：连结AD 和PD ∵BC ⊥PA ，BC ⊥ED ， PA 与ED 相交，∴BC ⊥平面PAD ∵ED ⊥PA ，∴S △ABC =21PA ·ED=21Lh V B-PAD =31(21Lh)·BD=61Lh ·BD同理，V C-PAD =61Lh ·CD∴三棱锥P-ABC 的体积V=61Lh ·BD+61Lh ·CD=61Lh （BD+CD ）=61Lh ·BC=61L 2h.若E ，D 不是分别在线段AP ，BC 上，结论仍成立 （此话不说，也不扣分） 六．（本题满分12分）PE C A D B设对所有实数x ，不等式0a4)1a (log 1a a 2log x 2a )1a (4log x 222222>+++++恒成立，求a 的取值范围解：由题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+⋅+-+>+>+)3(0a 4)1a (log a )1a (4log 4)1a a 2log 2()2(,0a )1a (4log )1(,01a a2222222令,1a a2log z 2+=则（3）式变为,0)z 2)(z 8(log z 22<--- 化简为,0)z 6(z <-解得0z 6z <>或 （4） （2）式变为,0z 8log 2>-即,3z < （5） 综合（4），（5）得,01a a2log ,0z 2<+<即 由此，11a a2<+ （6） 解（1），（6）得a 取值范围：.1a 0<< 七．（本题满分12分）设数列 ,a ,,a ,a n 21的前n 项的和S n 与n a 的关系是,1ka S n n +=（其中k 是与n 无关的常数，且k ≠1)（1）试写出用n ，k 表示的n a 的表达式;（2）若,1S lim n n=∞→求k 的取值范围 解：（1）),1ka ()1ka (S S a n 1n n 1n 1n +-+=-=+++)1(a 1k ka 1k ,ka a )1k (,ka ka a n1n n 1n n 1n 1n -=≠=--=++++解得若,0k ≠则由题设知0a 1≠，由（1）式易知,1n ,0a n >≠所以1k ka a n 1n -=+故该数列是公比为1k k -的等比数列， 其首项为k11a ,1ka S a 1111-=+== .)1k (k )1k k (k 11a n1n 1n n --=--=∴--当0k =时，由（1）式知,1n ,0a n >=上式当1n >时对0k =也成立（2）若,1S lim n n=∞→即,1)1ka (lim n n =+∞→ .21k ,11k k ,01k k (lim ,0)1k (k k lim ,0)1S (lim ka lim n n n 1n n n n n n <<-∴=-∴=--⋅=-=∞→-∞→∞→∞→解得即（注：第（1）题解的过程中，不考虑0k =的情况，不扣分）八．（本题满分12分）正方形ABCD 在直角坐标平面内，已知其一条边AB 在直线 y=x+4上，C ，D 在抛物线x=y 2上，求正方形ABCD 的面积解：设CD 的直线方程为y=x+b 由方程组⎩⎨⎧=+=)2(yx )1(bx y 2解得C （c c y ,x ），D （D D y ,x ）两点坐标为.6b ,2b ,012b 8b ,)b 822()b 4()3(b822|b 4||,AD ||CD |.2|b 4|2|4y x ||AD |b 82)y y ()x x (|CD |).b 411(21y ,b )b 411(21x );b 411(21y ,b )b 411(21x 21222D D 2D C 2D C D D C C -=-==++-⋅=-∴-=-∴=-=+-=-=-+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-+=--+=--=---=解得即经检验b 1,b 2均为方程（３）的根（注：不检验不扣分）解二：∵C ，D 两点在抛物线上， ∴可设C （s 2,s ），D （t 2,,t),又∵A ，B 在直线y=x+4上，∴AB 与y 轴成450角， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴对角线AC 与边AB 也成450角， ∴AC ∥y 轴，同理BD ∥x 轴， ∴可设A （s 2,s 2+4),B(t-4,t)∵AB ∥CD,对角线AC,BD 互相垂直平分，所以有⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=--.3t ,2s ;2t ,1s .t 2s )4s (,1s t st 2211222解得 ∴面积S 1=|C 1D 1|2=[（-1）2-22]2+[（-1）-2]2=18，S 2=|C 2D 2|2=[（-1）2-32]2+[（-1）-3]2=50答：这样的正方形有两个，其面积分别为18，50。
1988高考数学全国卷及答案文
1988年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分（1）2i 1i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-的值等于 （ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ D ） （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个（4）函数)1a 0(a y x <<=的图象是 （ B ）（5）已知椭圆方程111y 20x 22=+，那么它的焦距是 （ A ）（A ）6 （B ）3 （C ）312 （D ）31（A ） （B ） （C ） （D ） Y Y1X X X X1 1 1 1（6）在复平面内，与复数z=-1-i 的共轭复数对应的点位于（ B ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （7）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9（8）函数)6x 52cos(3y π-=的最小正周期是 （ D ）（A ）π52（B ）π25（C ）π2 （D ）π5（9）)619sin(π-的值等于 （ A ） （A ）21 （B ）21- （C ）23 （D ）23- （10）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是 （A ）21a =（B ）21a -= （C ）1a = （D ）1a -= （ C ）（11）函数)21x ,R x (1x 22x y ≠∈--=且的反函数是 （ A ）（A ）21x ,R x (1x 22x y ≠∈--=且 （B ）)2x ,R x (2x 1x 2y ≠∈--=且 （C ）)21x ,R x (1x 22x y ≠∈-+=且 （D ）)2x ,R x (2x 1x 2y -≠∈+-=且 （12）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是 （A ）相交直线 （ C ） （B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线D ' C 'C B（13）函数)4x sin(y π+=在闭区间 （ B ）（A ）]2,2[ππ-上是增函数 （B ）]4,43[ππ-上是增函数 （C ）]0,[π-上是增函数 （D ）]43,4[ππ-上是增函数（14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ A ）（A ）219733319723C C C C +种 （B ）319723C C 种 （C ）51975200C C -种 （D ）4197135200C C C -种（15）已知二面角β--αAB 的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么θtg 的值等于 （ C ） （A ）43（B ）53 （C ）773 （D ）731 二．（本题满分20分）本题共5小题，每1个小题满分4分直接写出结果（1）求复数i 3-的模和辐角的主值[答]2;π611（只答对一个值的给2分） （2）解方程.27329x 1x =⋅---[答]x=-2（直接答-2也算对） （3）已知2tg ,273,53sin θπ<θ<π-=θ求的值 [答]-3（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积[答]3cm 548π（未写单位，只给3分） （5）求.1n 3n n 2n 3lim 22n-++∞→[答]3三．（本题满分10分）证明α-α=αcos 3cos 43cos 3 证明：略四．（本题满分10分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αs i n 的值解：因为SB 垂直于底面ABCD ，所以斜线段SA 在底面上的射影为AB ，由于DA ⊥AB所以 DA ⊥SA 从而.SD1SD AD sin ==α 连结BD ，易知BD=2由于SB ⊥BD ，所以5)2()3(BD SB SD 2222=+=+=因此，.55151sin ==α 五．（本题满分11分）在双曲线x 2-y 2=1的右支上求点P （a,b ），使该点到直线y=x 的距解：由题意，点P （a,b ）是下述方程组的解：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-)2(,22|b a |)1(,1b a 22并且a>0.由（1）式得,b 1a 22+=因为a>0， 所以|b |b b 1a 22=>+=，从而a>b ，于是由（2）式得SαB AC Da-b=2 （3）把（3）式代入得,1b )2b (22=-+ 解得.45a )3(,43b =-=得代入 ∴所求的点P 的坐标为).43,45(- 六．（本题满分12分）解不等式.0)x1x lg(<-解：原不等式等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.1x1x ,0x1x 22情形1 当x>0时，上述不等式组变成⎩⎨⎧+<>.1x x ,1x 22解得：.251x 1+<< 情形2 当x<0时，上述不等式组变成⎩⎨⎧+><.1x x ,1x 22解得.251x 1-<<- 所以原不等式解集为}251x 1|x {}251x 1{|+<<⋃-<<- 七．（本题满分12分）一个数列}a {n ：当n 为奇数时，;1n 5a n +=当n 为偶数时，.2a 2nn =求这个数列的前2m 项的和（m 是正整数）解：因为,10]1)1k 2(5[]1)1k 2(5[a a 1k 21k 2=+--++=--+ 所以1m 2531a ,a ,a ,a - 是公差为10的等差数列因为,2)2()2(a a 2k 222k 2k 22k 2=÷=÷++所以m 2642a ,a ,a ,a 是公比为2的等比数列从而数列}a{n的前2m项和为：.22mm521)21(22m]1)1m2(56[)a,a,a,a()a,a,a,a(S1m2mm26421m2531m2-++=--++-+=+=+-。
1987年全国统一高考数学试卷(文科)
1987年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S⊈T，T⊈S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）A．X B．T C．φD．S2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）A．B．C．D．3．（3分）设log34•log48•log8m=log416，那么m等于（）A．B．9C．18 D．274．（3分）复数sin40°﹣icos40°的辐角为（）A．40°B．140°C．220°D．310°5．（3分）二次函数y=f（x）的图象如图所示，那么此函数为（）A．y=x2﹣4 B．y=4﹣x2C．D．6．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f （x）在区间（1，2）上是（）A．减函数，且f （x）＜0 B．增函数，且f（x）＜0C．减函数，且f（x）＞0D．增函数，且f（x）＞07．（3分）已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为（0，m）（m≠0），而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m，0），那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（ A ）A．（﹣m，m）B．（m，﹣m）C．（m，m）D．（﹣m，﹣m）8．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动二、解答题（共7小题，满分96分）9．（28分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．10．（10分）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：I A=Isinωt，I B=Isin（ωt+120°），I C=Isin（ωt+240°），求I A+I B+I C的值．11．（12分）在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为，求第三个顶点所表示的复数．12．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．13．（10分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．14．（12分）设数列a1，a2，…，a n，…的前n项的和S n与a n的关系是S n=ka n+1，（其中k是与n无关的常数，且k≠1）．（1）试写出用n，k表示的a n的表达式；（2）若=1，求k的取值范围．15．（12分）正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线y=x+4上，C，D在抛物线x=y2上，求正方形ABCD的面积．1987年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S⊈T，T⊈S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）A．X B．T C．φD．S考点：并集及其运算．分析：根据交集的性质，易得X⊆S，进而由并集的性质，可得答案．解答：解：若X=S∩T，则有X⊆S，由并集的意义，易得S∪X=S，故选D．点评：本题考查交、并集的性质与相互关系，注意X=S∩T⇒X⊆S，S∪X=S⇒X⊆S，反之也成立．2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先判断椭圆的焦点在x轴还是在y轴，再根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程．解答：解：∵a＞b，∴椭圆的焦点在x轴，根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程为故选C点评：本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．3．（3分）设log34•log48•log8m=log416，那么m等于（）A．B．9C．18 D．27考点：对数的运算性质．分析：根据换底公式知，log4•log48•log8m===2，即可得答案．3解答：解：∵log4•log48•log8m===23∴lgm=2lg3=lg9∴m=9故选B．点评：本题主要考查对数运算中的换底公式的应用．4．（3分）复数sin40°﹣icos40°的辐角为（）A．40°B．140°C．220°D．310°考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：化简成复数的三角形式即可解答：解：原复数可化成sin140°+icos140°，故辐角为140°，选B．点评：注意到复数的三角形式为z=r（cosθ+isinθ）5．（3分）二次函数y=f（x）的图象如图所示，那么此函数为（）A．y=x2﹣4 B．y=4﹣x2C．D．考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：先看图象的开口方向，再看定点坐标，结合所给的选项选出正确的答案．解答：解：由二次函数的图象是抛物线，开口向下，顶点（0，3），结合所给的选项，故答案选C．点评：本题考查二次函数图象的特征．6．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f （x）在区间（1，2）上是（）A．减函数，且f （x）＜0 B．增函数，且f（x）＜0C．减函数，且f（x）＞0D．增函数，且f（x）＞0考点：函数的单调性及单调区间．专题：计算题．分析：欲求f（x）在区间（1，2）上的性质，可先求出其解析式，根据解析式研究性质．解答：解：设﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1，∴f（﹣x）=log2，又f（x）=﹣f（﹣x），∴f（x）=log2（1+x），∴1＜x＜2时，﹣1＜x﹣2＜0，∴f（x）=f（x﹣2）=log2（x﹣1）．∴f（x）在区间（1，2）上是增函数，且f（x）＜0．故选B．点评：已知奇函数的一侧的解析式，可以求出其关于原点对称的另一侧的解析式，这是奇函数的一个重要应用．7．（3分）已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为（0，m）（m≠0），而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m，0），那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（ A ）A．（﹣m，m）B．（m，﹣m）C．（m，m）D．（﹣m，﹣m）考点：向量在几何中的应用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用平移公式求出平移向量，再利用平移公式求出新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标．解答：解：设按向量，则新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（k，l）则据平移公式故∴解得即新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（﹣m，m）故选项为A点评：本题考查平移公式的应用．8．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型；压轴题．分析：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到，根据平移后，求出ρ进而得到答案．解答：解：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到y=sin2（x+ρ）=sin（2x+2ρ）=∴ρ=﹣∴应向右平移个单位故选D．点评：本题主要考查三角函数的平移．属基础题．二、解答题（共7小题，满分96分）9．（28分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．考点：双曲线的标准方程；函数的定义域及其求法；极限及其运算；计数原理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线2+λ和1+λ同号，进而求得λ的范围．解答：解：依题意可知（2+λ）（1+λ）＞0，求得λ＜﹣2或λ＞﹣1；故λ的范围为λ＜﹣2或λ＞﹣1．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．10．（10分）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：I A=Isinωt，I B=Isin（ωt+120°），I C=Isin（ωt+240°），求I A+I B+I C的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用两角和的正弦公式，把sin（ωt+120°）和sin（ωt+240°）展开后代入I A+I B+I C的式子进行化简．解答：解：I A+I B+I C=Isinωt+Isin（ωt+120°）+Isin（ωt+240°）=I[sinωt+sin（ωt+120°）+sin（ωt+240°）]==I•0=0．点评：本题考查两角和的正弦公式的应用以及特殊角的三角函数值．11．（12分）在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为，求第三个顶点所表示的复数．考点：复数代数形式的混合运算．分析：设第三个顶点所表示的复数为z，因为是正三角形，三边长相等，即复数的模相等，夹角60°，化简求解．解答：解：设第三个顶点所表示的复数为z那么根据题意，z﹣2和的模相等，辐角差为，因而；，点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的三角形式的运算，考查复数的模等知识，是难度较大，运算量大，易出错．12．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：由题意说明PAD是垂直边长的两个三棱锥的公共底面，求出其面积，再求体积即可．解答：证明：连接AD和PD∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD，∵ED⊥PA，∴S△ABC=PA•ED=LhV B﹣PAD=（Lh）•BD=Lh•BD=Lh•CD同理，V C﹣PAD∴三棱锥P﹣ABC的体积V=Lh•BD+Lh•CD=Lh（BD+CD）=Lh•BC=L2h．若E，D不是分别在线段AP，BC上，结论仍成立．点评：本题考查学生空间想象能力，考查逻辑思维能力，棱锥的体积公式，是中档题．13．（10分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a 的取值范围．考点：其他不等式的解法；二次函数的性质．专题：计算题；转化思想．分析：本题是一元二次不等式x∈R恒成立问题，用判别式法转化为：再求解．解答：解：由题意得：令，则（3）式变为z2﹣（log28﹣z）（﹣2z）＜0，化简为z（6﹣z）＜0，解得z＞6或z＜0（4）（2）式变为log28﹣z＞0，即z＜3，（5）综合（4），（5）得z＜0，即，由此，（6）解（1），（6）得a取值范围：0＜a＜1．点评：本题主要考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题，解法是用判断式法，要注意其开口方向．14．（12分）设数列a1，a2，…，a n，…的前n项的和S n与a n的关系是S n=ka n+1，（其中k是与n无关的常数，且k≠1）．（1）试写出用n，k表示的a n的表达式；（2）若=1，求k的取值范围．考点：数列递推式；极限及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由前n项的和S n与a n的关系a n+1=S n+1﹣S n，得到数列的递推公式，注意分析k是否为零，再求数列的通项公式．（2）利用极限的值和第（1）的结果，代入s n整理出关于k的式子，再求k的值．解答：解：（1）∵S n=ka n+1，∴a n+1=S n+1﹣S n=（ka n+1+1）﹣（ka n+1），∴a n+1=ka n+1﹣ka n，即（k﹣1）a n+1=ka n，∵若k≠0，则由题设知a1≠0，由（1）式易知a n≠0，n≥1，∴故该数列是公比为的等比数列，其首项为∴当k=0时，由（1）式知a n=0，上式当n≥1时对k=0也成立．（2）若，即，，∴∴k的范围：k＜点评：本题由前n项和公式和s n和a n的关系式，求出递推公式，然后求数列的通项公式；再由所给的极限值求k的范围．15．（12分）正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线y=x+4上，C，D在抛物线x=y2上，求正方形ABCD的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：根据C，D两点在抛物线上可设出C，D的坐标，根据直线A，B的方程可知AB与y轴成的夹角，进而推断出角线AC与边AB也成450角，进而推断出AC∥y轴，和BD∥x轴，设出A，B的坐标，根据AB∥CD，对角线AC，BD互相垂直平分，联立方程求得s和t，则正方形ABCD的面积可求得．解答：解：∵C，D两点在抛物线上，∴可设C（s2，s），D（t2，，t），又∵A，B在直线y=x+4上，∴AB与y轴成450角，∵四边形ABCD为正方形，∴对角线AC与边AB也成450角，∴AC∥y轴，同理BD∥x轴，∴可设A（s2，s2+4），B（t﹣4，t）∵AB∥CD，对角线AC，BD互相垂直平分，所以有解得∴面积S1=|C1D1|2=[（﹣1）2﹣22]2+[（﹣1）﹣2]2=18，S2=|C2D2|2=[（﹣1）2﹣32]2+[（﹣1）﹣3]2=50．答：这样的正方形有两个，其面积分别为18，50．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生的分析推理和数形结合思想的灵活运用．。
1988高考数学全国卷及答案理
1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分（1）2i 1i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-的值等于 （ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ B ） （A ）7个 （B ）8个 （C ）6个 （D ）5个 （4）已知双曲线方程15y20x22=-，那么它的焦距是 （ A ）（A ）10 （B ）5 （C ）15（D ）152（5）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9（6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是 （ A ） （A ）π （B ）π2 （C ）2π（D ）π4（7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是 （ C ） （A ）}Z k ,6)1(k x |x {k∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3)1(k x |x {k∈π⋅-+π=（C ）}Z k ,6k 2x|x {∈π±π= （D ）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π=（8）极坐标方程θ-=ρcos 234所表示的曲线是 （ D ）（A ）圆 （B ）双曲线右支 （C ）抛物线 （D ）椭圆 （9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是 （A ）相交直线 （ C ） （B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg(tg +的值等于 ( D ）（A ）4 （B ）21（C ）81 （D ）8 （11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列数列那么（ C ）（A ）甲是乙的充分条件，但不是必要条件（B ）甲是乙的必要条件，但不是充分条件（C ）甲是乙的充要条件（D ）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（12）在复平面内，若复数z 满足|i z ||1z |-=+，则z 所对应的点Z 的集合构成的图形是 （ B ） （A ）圆 （B ）直线 （C ）椭圆 （D ）双曲线'C（13）如果曲线x 2-y 2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为1y x 22='-'，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 （ D ）（A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（-1，1） （D ）（1，-1） （14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ B ） （A ）319723C C 种 （B ）219733319723C C C C+种（C ）51975200C C-种 （D ）4197135200C C C-种（15）已知二面角β--αA B 的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB 上），点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任一点，那么 （ A ） （A ）∠CEB>∠DEB （B ）∠CEB=∠DEB （C ）∠CEB<∠DEB （D ）∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分直接写出结果 （1）求复数i 3-的模和辐角的主值α C A E D β B[答]模：2;复角主值：π611（只答对一个值的给2分）（2）解方程.27329x1x=⋅---[答]x=-2（直接答-2也算对） （3）已知2tg,273,53sin θπ<θ<π-=θ求的值[答]-3（4）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长 为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αsin 的值[答]55（5）已知等比数列}a {n 的公比q>1，并且a 1=b(b ≠0）求.a a a a a a a a limn876n 321n ++++++∞→[答]1三．（本题满分10分）已知,a tgx =求x3cos x cos 3x 3sin x sin 3++的值解：xcos x 2cos 2x cos 2x cos x 2sin 2x sin 2x3cos x cos x cos 2x 3sin x sin x sin 2x3cos x cos 3x 3sin x sin 3++=++++=++)3a (2a )3x tg (2tgx )2x (sec2tgx xcos 2)x cos 21(tgx )x 2cos 1(x cos 2x cos x sin 4x sin 2222222+=+=+=+=++=四．（本题满分10分）S α B A C D如图，正三棱锥S-ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 是SA 的中点，E 是BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得的旋转体的体积解：连结AE ，因为△SDE 和△ABC 都是边长为a 的正三角形，并且SE和AE 分别是它们的中线，所以SE=AE ，从而△SDE 为等腰三角形，由于D 是SA 的中点，所以ED ⊥SA DF ⊥SE ，交SE 于点F SDE 的面积，得到,DE SD 21DF SE 21⋅=⋅所以，.a 66a23a 222aDF ,,a 22)2a(a 43SDSEDE ,a 23)2a (a BESBSE ,.SEDE a 21SEDE SD DF 22222222=⋅==-=-==-=-=⋅=⋅=所以易知所求的旋转体的体积是以DF 为底面半径，分别以SF 和EF 为高的两个圆锥的体积的和，即.a 363a 236a31SE )a 66(31EF )a 66(31SF )a 66(3132222π=⋅⋅π=⋅⋅π=⋅⋅π+⋅⋅π五．（本题满分11分）设21t log t log21,0t ,1a ,0aaa+>≠>与比较的大小，并证明你的结论解：当t>0时，由重要不等式可得t 21t ≥+，当且仅当t=1时取“=”号.t l o g2121t l o g,t l o g21t l o g,1t aaaa=+=+=∴即时S D F A C E Btlog2121t log,t log 21t log,x log y ,1a .t log2121t log,t log21t logx log y ,1a 0.t 21t ,1t aaaaaaaaaa>+>+=><+<+=<<>=≠即所以是增函数时当即所以是减函数时当六．（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分， 第（2）小题满分8分.给定实数).a 1x ,R x (1ax 1x y ,1a ,0a,a ≠∈--=≠≠且设函数且证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴;（2）这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形解：（1）设M 1（x 1,y 1),M 2(x 2,y 2)是这个函数图象上任意两个不同的点，则x 1≠x 2，且.0y y ,x x ,1a ,)1ax )(1ax()1a )(x x ()1ax )(1ax()x x ()x x (a )1ax )(1ax()1ax x x ax (1ax x x ax 1ax 1x 1ax1x y y 122112121212121211211221112212≠-∴≠≠----=-----=--+---+--=-----=-且从而直线M 1M 2的斜率,0x x y y k1212≠--=因此，直线M 1M 2不平行于x轴（2）设点P )y ,x (''是这个函数图象上任意一点，则,111)1(,1,01)2(,1)1(,1)1()1(),(),()1(11,1-'-'=='=-'-'=-''-'=-'''''=''-'-'='≠'x a x a ay y a y y a x x x a y x y P x y y x P x a x y a x 得代入则假如即式得由的坐标为的对称点关于直线易知点且,,1,1与已知矛盾由此得即=-'=-'a x a a x a成轴对称图形线这个函数的图象关于直因此在已知函数的图象上这说明点式得于是由xy x y P y a y x y a ='''-'-'='≠-'∴,,),(.11)2(.01（注：对（1）也可用反证法或考察平行x 轴的直线y=c 与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况由其无交点或恰有一交点，从而得证对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x 对称）七．（本题满分12分）如图，直线L 的方程为2p x -=，其中p ＞0;椭圆的中心为D )0,2p 2(+，焦点在x 轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的 一个顶点为A )0,2p (问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离 解：假定椭圆上有符合题意的四点，则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程：,1y4)]2p 2(x [22=++-又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y 2=2px,从而椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同的实数解：⎪⎩⎪⎨⎧==++-)2(.px 2y )1(,1y 4)]2p 2(x [222 YL将（2）式代入（1）式，得)3(.0p 24px )4p 7(x ,4px 8)]2p 2(x [222=++-+=++-即所以原方程组有4个不同的实数解，当且仅当方程（3）有两个不相等的正根而这又等价于310,,0.047,024,0)24(4)47(222<<>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<->+>+--=∆p p p p pp p p 得到解此不等式组的条件下在所以，所求的p 的取值范围为.31p 0<<。
1988年试题全国高考数学试题及参考答案
1988年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.(A)1 (B)－1 (C)I (D)－i【】[Key]一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B(2)设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2,直线L的方程为x＋y－3＝0,点P的坐标为(2,1),那么(A)点P在直线L上,但不在圆M上(B)点P在圆M上,但不在直线L上(C)点P既在圆M上,又在直线L上(D)点P既不在圆M上,也不在直线L上【】[Key] (2)C(3)集合{1,2,3}的子集总共有(A)7个 (B)8个(C)6个 (D)5个【】[Key] (3)B(A)10 (B)5【】[Key] (4)A(5)在的展开式中,x6的系数是【】(6)函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期是(A)π(B)2π【】[Key] (6)A(7)方程的解集是【】[Key] (7)C(A)圆(B)双曲线右支(C)抛物线(D)椭圆【】[Key] (8)D(9)如图,正四棱台中,A＇D＇所在的直线与BB＇所在的直线是(A)相交直线(B)平行直线(C)不互相垂直的异面直线(D)互相垂直的异面直线【】【】[Key] (10)D(11)设命题甲:△ABC的一个内角为60°.命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[Key] (11)C(12)复平面内,若复数z满足│z＋1│＝│z－i│,则z所对应的点Z的集合构成的图形是(A)圆(B)直线(C)椭圆(D)双曲线【】[Key] (12)B(13)如果曲线x2－y2－2x－2y－1＝0经过平移坐标轴后的新方程为那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为(A)(1,1) (B)(－1,－1)(C)(－1,1) (D)(1,－1)【】[Key] (13)D(14)假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有【】[Key] (14)B上),点D是点C在面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点,那么(A)∠CEB>∠DEB(B)∠CEB＝∠DEB(C)∠CEB＜∠DEB(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定【】[Key] (15)A二、只要求直接写出结果.(5)已知等比数列{a n}的公比q>1,并且a1＝b(b≠0),求[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需要写出结果.[Key] 三、本题主要考查三角公式和进行三角式的恒等变形的能力.解法一:解法二:解法三:解法四:四、如图,正三棱锥S－ABC的侧面是边长为a的正三角形,D是SA的中点,E是BC的中点,求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.[Key] 四、本题主要考查空间想象能力、体积计算等知识和推理能力.解法一:连接AE,因为△SBC和△ABC都是边长为a的正三角形,并且SE和AE分别是它们的中线,所以SE＝AE,从而△SEA为等腰三角形,由于D是SA的中点,所以ED⊥SA.作DF⊥SE,交SE于点F.考虑直角△SDE的面积,得到所求的旋转体的体积是以DF为底面半径,分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和,即解法二:连结BD.因为BD是正三角形SBA的中线,所以BD⊥SA.连结CD,同理CD⊥SA.于是SA⊥平面BDC,所以SA⊥DE.作DF⊥SE,交SE于点F.在直角△SDE中,SD2＝SF·SE,所求的旋转体的体积为[Key] 五、本题主要考查对数函数的性质,以及运用重要不等式解决问题的能力.解法一:情形1∶0＜a＜1.情形2∶a>1.解法二:当t>0时,由重要不等式可得当且仅当t＝1时取“＝”号.当0＜a＜1时,y＝log a x是减函数,当a>1时,y＝log a x是增函数,解法三:因为t>0,又有当且仅当t＝1时取“＝”号,当且仅当t＝1时取“＝”号.以下同解法二.六、给定实数a,a≠0,且a≠1设函数证明(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;(2)这个函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形.[Key] 六、本题主要考查考生在正确理解数学概念(函数的图象的概念,轴对称图形的概念等)的基础上进行推理的能力,以及灵活运用学过的代数和解析几何的知识(互为反函数的图象之间的关系,两条直线平行的条件等)解决问题的能力.证法一:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点,∵a≠1,且x1≠x2,∴y2－y1≠0.因此,M1M2不平行于x轴.即,由此得a＝1,与已知矛盾,于是由②式得证法二:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数的图象上任意两个不同的点,则x1≠x2.假如直线M1M2平行于x轴,那么y1＝y2,即亦即(x1－1)(ax2－1)＝(x2－1)(ax1－1),整理得a(x1－x2)＝x1－x2,因为x1≠x2,所以a＝1,这与已知矛盾.因此M1M2不平行于x轴.(2)先求所给函数的反函数:由得y(ax－1)＝x－1,即(ay－1)x＝y－1.即ax－a＝ax－1,由此得a＝1,与已知矛盾,所以ay－1≠0.因此得到由于函数y＝f(x)的图象和它的反函数y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对证法三:(1)任取一条与x轴平行的直线L,则l的方程为y＝c(c为常数).考虑L与所给函数的图象是否相交以及交点数目的情况.将②代入①得c(ax－1)＝x－1,即(ca－1)x＝c－1. ③从而直线L与所给函数的图象无交点.这说明原方程组恰有一个解,从而直线L与所给函数的图象恰有一个交点.综上述,平行于x轴的直线与所给函数的图象或者不相交,或者恰有一个交点.因此,经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.(2)同证法一或证法二.[Key] 七、本题主要考查考生利用方程研究曲线性质的能力,以及综合运用学过的代数知识(一元二次方程的判别式,根与系数的关系,解二元二次方程组,解不等式等)去解题的能力.解法一:假定椭圆上有符合题意的四个点,则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程:又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y2＝2px,从而它们都是下面的方程组的解:将②式代入①式,得由于上述方程组有4个不同的实数解,所以方程③的判别式应大于零,整理得 3p2－4p＋1>0,由已知,椭圆上的点的横坐标都大于零,所以方程③的两个根应都为正数,于是得 7p－4＜0,解此不等式得由④、⑤以及已知条件得一次项系数7p－4＜0,所以x1,x2都为正数.把x1及x2分别代入②中,可解得显然y1,y2,y3,y4两两不相等.由于(x1,y1)适合②式和③式,从而也适合①式,因此点M1(x1,y1)是符合题意的点.同理M2(x1,y2),M3(x2,y3),M4(x2,y4)都是符合题意的点,并且它们是互不相同的.解法二:椭圆上有四个点符合题意的充要条件是方程组有四个不同的实数解.所以原方程组有四个不同的实数解,当且仅当方程③有两个不相等的正根.而这又等介于在p>0的条件下,解此不等式组,得到解法三:易求出所给椭圆的方程为假定这个椭圆上有符合题意的四个点,则这些点的坐标应是下述方程组的解:把②式化简得y2＝2px.以下同解法一.。
1988年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题
1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分（1）2i 1i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-的值等于 （ ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ ） （A ）7个 （B ）8个 （C ）6个 （D ）5个（4）已知双曲线方程15y 20x 22=-，那么它的焦距是 （ ）（A ）10 （B ）5 （C ）15 （D ）152 （5）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9（6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是 （ ） （A ）π （B ）π2 （C ）2π（D ）π4（7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是 （ ） （A ）}Z k ,6)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （C ）}Z k ,6k 2x |x {∈π±π= （D ）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π= （8）极坐标方程θ-=ρcos 234所表示的曲线是 （ ）（A ）圆 （B ）双曲线右支 （C ）抛物线 （D ）椭圆 （9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是 （A ）相交直线 （ ） （B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg (tg +的值等于 ( ） （A ）4 （B ）21 （C ）81 （D ）8 （11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列数列那么（ ）（A ）甲是乙的充分条件，但不是必要条件（B ）甲是乙的必要条件，但不是充分条件（C ）甲是乙的充要条件（D ）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（12）在复平面内，若复数z 满足|i z ||1z |-=+，则z 所对应的点Z 的集合构成的图形是 （ ） （A ）圆 （B ）直线 （C ）椭圆 （D ）双曲线'C（13）如果曲线x 2-y 2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为1y x 22='-'，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 （ ）（A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（-1，1） （D ）（1，-1） （14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ ）（A ）319723C C 种 （B ）219733319723C C C C +种 （C ）51975200C C -种 （D ）4197135200C C C -种（15）已知二面角β--αAB 的平面角是锐角，C 是平面α内一点（它不在棱AB 上），点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任一点，那么 （ ） （A ）∠CEB>∠DEB （B ）∠CEB=∠DEB （C ）∠CEB<∠DEB （D ）∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果（1）求复数i 3-的模和辐角的主值（2）解方程.27329x 1x =⋅--- （3）已知2tg ,273,53sin θπ<θ<π-=θ求的值 （4）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αsin 的值α C A E D β B（5）已知等比数列}a {n 的公比q>1，并且a 1=b(b ≠0）求.a a a a a a a a limn 876n321n ++++++∞→三．（本题满分10分）已知,a tgx =求x3cos x cos 3x3sin x sin 3++的值四．（本题满分10分）如图，正三棱锥S-ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 是SA 的中点，E 是BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得的旋转体的体积五．（本题满分11分）设21t log t log 21,0t ,1a ,0a aa +>≠>与比较的大小，并证明你的结论 六．（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分， 第（2）小题满分8分.给定实数).a1x ,R x (1ax 1x y ,1a ,0a ,a ≠∈--=≠≠且设函数且 证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴;（2）这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形七．（本题满分12分）如图，直线L 的方程为2p x -=，其中p ＞0;椭圆的中心为 D )0,2p 2(+，焦点在x 轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的 一个顶点为A 0,2p (问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离。
1988年(高考数学试题文理科)
一九八八年（理科）一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。
每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分。
（1）2i 1i 1⎪⎭⎫⎝⎛+-的值等于 （ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上。
（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上。
（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上。
（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上。
（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ B ） （A ）7个 （B ）8个 （C ）6个 （D ）5个（4）已知双曲线方程15y 20x 22=-，那么它的焦距是 （ A ）（A ）10 （B ）5 （C ）15 （D ）152（5）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9 （6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是 （ A ） （A ）π （B ）π2 （C ）2π （D ）π4（7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是 （ C ） （A ）}Z k ,6)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （C ）}Z k ,6k 2x |x {∈π±π= （D ）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π= （8）极坐标方程θ-=ρcos 234所表示的曲线是 （ D ）（A ）圆 （B ）双曲线右支 （C ）抛物线 （D ）椭圆（9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是（A ）相交直线 （ C ）（B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg (tg +的值等于 ( D ） （A ）4 （B ）21 （C ）81 （D ）8（11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600。
1985年全国统一高考数学试卷(文科)
1985年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）如果正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，那么四面体A′﹣ABD 的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．2．（3分）的（ ）A ． 必要条件B ． 充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分又不必要的条件 3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y ）∪Z 是（ ） A ． {0，1，2，6，8} B ． {3，7，8} C ． {1，3，7，8} D ． {1，3，6，7，8}4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ） A ． y =x 2（x ∈R ） B ． y =|sinx|（x ∈R ） C ． y =cos2x （x ∈R ）D ． y =e sin2x （x ∈R ）5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ） A ． 96个 B ． 78个 C ． 72个 D ． 64个二、解答题（共11小题，满分90分） 6．（4分）求函数．7．（4分）求圆锥曲线3x 2﹣y 2+6x+2y ﹣1=0的离心率． 8．（4分）求函数y=﹣x 2+4x ﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值． 9．（4分）设（3x ﹣1）6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0的值． 10．（4分）设i 是虚数单位，求（1+i ）6的值． 11．（14分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…， S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12，… 用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n 都成立．12．（13分）证明三角恒等式．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L 的对称的圆的方程．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．1985年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，直接求解即可．解答：解：如图四面体A′﹣ABD的体积是V=故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．2．（3分）的（）A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．解答：解：由tanx=1得，当k=1时，x=，固由前者可以推出后者，所以tanx=1是的必要条件．故选A．点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，B．{3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{1，3，6，7，8} 8}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．解答：解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，故选C点评：本题考查集合的基本运算，较简单．4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）D．y=e sin2x（x∈R）A．y=x2（x∈R） B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：压轴题．分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．解答：解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A．96个B．78个C．72个D．64个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，分2种情况讨论，当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．二、解答题（共11小题，满分90分）6．（4分）求函数．考点：函数的定义域及其求法．分析：只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可．解答：解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．点评：本题考查具体函数的定义域，属基本题．7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得．解答：解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣=1，即a=1，b=∴c==2∴e==2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．解答：解：y=﹣（x﹣2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2结合函数的图象可得，当x=2时，y max=2；当x=0时，y min=﹣2故最大值是2，最小值是﹣2．点评：二次函数仍是高中阶段研究的重点，对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁，在解决此类问题时往往要根据开口和对称轴，结合着图象，作出解答．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：对等式中的x赋值1求出各项系数和．解答：解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：常规题型．分析：利用（1+i）2=2i及i的各次方的值求解即可．解答：解：因为（1+i）2=2i，故（1+i）6=（2i）3=8i3=﹣8i点评：本题考查复数的简单运算，在进行复数的运算时要注意一些常见结果的运用，如（1+i）2=2i，（1﹣i）2=﹣2i等．11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时对是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．解答：证明：因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A）（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=，故（A）式成立（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即12+22+32+…+k2+…+32+22+12=现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=+（k+1）2+k2，====．即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），（A）式对所有的正整数n都成立，即证得点评：数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．12．（13分）证明三角恒等式．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：证明的思路是化简左边式子，方法是利用2倍角公式和同角三角函数的基本关系，得到式子与右边相等即可．解答：证明：左边=2sin4x+（2sinxcosx）2+5cos4x﹣cos（2x+x）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（cos2xcosx﹣sin2xsinx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（4cos3x﹣3cosx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=（2sin2x+cos2x）（sin2x+cos2x）+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=2（1+cos2x）=右边点评：考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式考点：对数函数图象与性质的综合应用；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）、根据对数的运算法则可知，由lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）得，于是解这求出结果后要根据对数函数的定义域进行验根，去除增根．（2）、由不等式可知解：．解无理不等式时要全面考虑，避免丢解．解答：（1）解：由原对数方程得，于是解这个方程，得x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，因此，原方程的根是x=0．（2）解：解得点评：解对数方程要注意不要产生增根；解无理不等式时要注意不要丢解．14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；计算题．分析：先作辅助线，三棱锥的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，从而作出侧面与底面所成角的平面角，然后，由余弦函数求得斜高在底面的射影，即底面三角形的内切圆的半径．要注意论证．解答：解：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O，再过O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角，由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，所以点O是△ABC的内切圆的圆心在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，因此OE=hcotβ．即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ．点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了几何体的高，斜高及在底面上的射影，侧面与底面所成角等问题，考查全面，属中档题．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；压轴题．分析：求出已知圆的圆心，设出对称圆的圆心利用中点在直线上，弦所在直线与圆心连线垂直，得到两个方程，求出圆心坐标，然后求出方程．解答：解：已知圆方程可化成（x+2）2+（y﹣6）2=1，它的圆心为P（﹣2，6），半径为1设所求的圆的圆心为P'（a，b），则PP'的中点应在直线L上，故有，即3a﹣4b﹣20=0（1）又PP'⊥L，故有，即4a+3b﹣10=0（2）解（1），（2）所组成的方程，得a=4，b=﹣2由此，所求圆的方程为（x﹣4）2+（y+2）2=1，即：x2+y2﹣8x+4y+19=0．点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称的圆的方程，本题的关键是垂直、平分关系的应用，这是解决这一类问题的常用方法，需要牢记．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．考点：极限及其运算；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：当公比q满足0＜q＜1时，．当公比q=1时，S n=n，．．当公比q＞1时，，．综合以上讨论，可以求得的值．解答：解：当公比q满足0＜q＜1时，，于是==．当公比q=1时，S n=1+1+…+1=n，于是=．因此当公比q＞1时，于是．因此．综合以上讨论得到点评：本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．。
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（5）求 lim
3n 2 2n
n n 2 3n 1
三．（本题满分 10 分）
证明 cos 3 4 cos3 3cos
.
四．（本题满分 10 分） 如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 SB 垂直于底面，并且 SB=
3，
用
表示∠ASD，求
五．（本题满分 11 分）
（1）求复数
的模和辐角的主值 新疆
3 i 王新敞
（2）解方程 9x 2 31x 27.
（3）已知 sin
3 ,3
5
7
2
, 求tg
奎屯
2
的值 新疆 王新敞
（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为 3cm 和 4cm，将这个直角三角形以斜边为轴
旋转一周，求所得旋转体的体积 新疆 王新敞 奎屯
（A）第一象限
（B）第二象限
（7）在 (x 3)10 的展开式中，x6 的系数是 ---------------------------------（
）
（A） 27C160
（8）函数 y
2 3 cos(
x
56
（B） 27C140
) 的最小正周期是
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
1988-1998年高考文科数学试题参考答案
SA BCD1988年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案 满分120分，120分钟一、（本题满分45分）BCDBA BDDAC ACBAC二、（本题满分20分）本题共5小题，每1个小题满分4分只要求直接写出结果1.2;π611． 2.2x =- ． 3.-3． 4.3cm 548π． 5.3． 三、（本题满分10分）证明：∵cos3cos(2)ααα=+cos cos 2sin sin 2αααα=-22cos (2cos 1)2sin cos αααα=--322cos cos 2(1cos )cos αααα=---34cos 3cos αα=-，∴结论成立． 四．（本题满分10分）解：∵SB ⊥底面ABCD ，∴斜线段SA 在底面上的射影为AB ． ∵AD ⊥AB ，∴AD ⊥SA ．连接BD ，则BD =2． ∵SB ⊥BD ，∴SD ==，∴sin 5AD SD α===． 五、（本题满分11分）解：由题意知，点P 的坐标(,)a b 是方程组221,(1)(2)a b ⎧-=⎪=的解，且0a >．由（1）得||a b =>， ∴a b >，∴（2）式可变形为2a b -=． （3） 由（1），（3）可得12a b +=，（4） 由（3），（4）解得53,44a b ==-， ∴所求的点P 的坐标为53(,)44-．六、（本题满分12分）解：原不等式等价于不等式组2210, 1112x xx x ⎧->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩（）. （），即 由不等式（1）解得1x >或10x -<<．（3）由不等式（2）解得x <0x <<（4） 由（3），（4）得112x -<<或112x +<<， ∴原不等式解集为151,⎛⎛+- ⎝⎭⎝⎭． 七、（本题满分12分）解：由已知条件知2121k k a a +--[5(21)1][5(21)1]10k k =++--+=， ∴135,,a a a ，…，21m a -是以16a =为首项，10为公差的等差数列．又由已知条件知22222222222k k k ka a ++==， ∴246,,a a a ，…，2m a 是以22a =为首项，2为公比的等比数列．∴数列{}n a 的前2m 项和为2135(m S a a a =+++…21)m a -++ 246(a a a +++…2)m a +[65(21)1]2(12)212m m m +-+-=+-21522m m m +=++-．D 1C 1B 1A 1N MO D C B A 1989年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案 满分120分，120分钟一、选择题（本题满分36分，共12个小题，内每一个小题选对得3分） 1-12 ADCBA CDBBD DC二、填空题本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分果.13.10x y +-= 14.(,1)(4,)-∞-+∞15.(1,1)- 16.必要，必要17.(3,4) 18.900三、解答题本题满分60分，共6个小题. 19.（本小题满分8分）解：5551(1)2()2=55532(cos sin )33i ππ=+252532(cos sin )33i ππ=+32(cos sin )33i ππ=+，∴复数z 的模为32，的模和辐角的主值为.3π 20．（本小题满分8分）证明：3sinsin32222cos cos 22x xx x tg tg -=- 33sin cos cos sin2222cos cos22x x x x -=sin 3cos cos22xx x =2sin cos cos 2x x x =+. 21．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）连接1AO ，则1AO ⊥底面ABCD .作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ．连接1A M ，1A N ，则由三垂线定理得1A M ⊥AB ，1A N ⊥AD .∵∠1A AM =∠1A AN ，∴Rt △1A NA ≌Rt △1A MA ， ∴1A M =1A N ，∴OM ON =.∴点O 在∠BAD 的平分线上. （Ⅱ）由条件及（Ⅰ）知AM =1AA 13cos3322π=⋅=，∴AO =AM csc4AM AO π==.又在Rt △1AOA 中，2221199922AO AA AO =-=-=.∴1A O =∴平行六面体的体积54V =⋅22．（本小题满分10分）证：令2222(1223)(3445)n S =⋅-⋅+⋅-⋅22[(21)(2)2(21)]n n n n ++--+.下面用数学归纳法证明. (1)(43)n S n n n =-++. ①当1n =时，221122314S =⋅-⋅=-,-1·2·7=-14， ∴当1n =时，(1)(43)n S n n n =-++. ②假设当(1)n k k =≥时等式成立，即 (1)(43)k S k k k =-++ 那么，当1n k =+时， 1(1)(43)k S k k k +=-+++y (0,1)内22)cα，即时，).1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）参考答案 满分120分，120分钟一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 1-15 ACDBD CABAC BDACB二、填空题:本题考查基本知识和基本运算. 16．3 17．20- 18．219．7:5 20三、解答题.21.本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程组.解决问题的能力.解一:设四个数依次为,,a d a a d -+，2()a d a +,则由已知条件得 2()16,12.a d a d a a a d ⎧+-+=⎪⎨⎪++=⎩消去d ，整理得213360a a -+=， 解得 124,9a a ==.代入③式得 124,6d d ==-.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解二:设四个数依次为,,12,16x y y x --，则由已知条件得2122, (1)(16)(12).(2)x y y y x y +-=⎧⎨-=-⎩ 由1.式得312x y =-. (3) 将(3)式代入2.式得2(16312)(12)y y y -+=-, 整理得 213360y y -+=. 解得 124,9y y ==. 代入3.式得120,15x x == .从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 22.本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力. 解：由已知得sin sin 3cos cos 4αβαβ+=+，即2sincos32242cos cos22αβαβαβαβ+-=+-， ∴3tan 24αβ+=， ∴22tan2tan()1tan 2αβαβαβ++=+- 2322447314⨯==⎛⎫- ⎪⎝⎭． 23.本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解一: ∵SB ＝BC ,且E 是SC 的中点,∴BE 是等腰三角形SBC 的边SC 的中线, ∴SC ⊥BE ．又已知SC ⊥DE ,BE ∩DE ＝E , ∴SC ⊥面BDE , ∴SC ⊥BD .又∵SA ⊥底面ABC ，BD 在底面ABC 内， ∴SA ⊥BD .而SC ∩SA ＝S ,∴BD ⊥面SAC . ∵DE ＝面SAC ∩面BDE , DC ＝面SAC ∩面BDC , ∴BD ⊥DE ，BD ⊥DC .∴∠EDC 是所求的二面角的平面角. ∵SA ⊥底面ABC ,∴SA ⊥AB ,SA ⊥AC ． 设SA ＝a ，则AB = a ，BC =SB． 又∵AB ⊥BC，∴AC =． 在R t SAC ∆中SA tg ACS AC ∠==， ∴∠ACS ＝30°.又已知DE ⊥SC ,所以∠EDC ＝60°， 即所求的二面角等于60°．解二: ∵SB ＝BC,且E 是SC 的中点,∴BE 是等腰三角形SBC 的边SC 的中线, ∴SC ⊥BE ．又已知SC ⊥DE ,BE ∩DE ＝E ， ∴SC ⊥面BDE , ∴SC ⊥BD ．∵SA ⊥底面ABC ,且A 是垂足, ∴AC 是SC 在平面ABC 上的射影. 由三垂线定理的逆定理得BD ⊥AC ;又∵E ∈SC ,AC 是SC 在平面ABC 上的射影, ∴E 在平面ABC 上的射影在AC 上, ∵D ∈AC ,∴DE 在平面 ABC 上的射影也在AC 上, 根据三垂线定理又得BD ⊥DE. ∵DE ⊂面BDE ,DC ⊂面BDC ,∴∠EDC 是所求的二面角的平面角． 以下同解法一.24. 本小题考查对数,不等式的基本知识及运算能力.解:原不等式可化为2log (43)log (42)a a x x x +->-. ① 当01a <<时,①式等价于22420,430,4342x x x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+-<-⎩，即1,214,32x x x x ⎧>⎪⎪-<<⎨⎪<->⎪⎩或， ∴24x <<,即当01a <<时,原不等式的解集是()2,4.当1a >时,①式等价于22420,430,4342x x x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+->-⎩，即1,214,32x x x ⎧>⎪⎪-<<⎨⎪-<⎪⎩<， ∴142x <<，即 当1a >时,原不等式的解集是1,22⎛⎫⎪⎝⎭.综上可得，当01a <<时,原不等式的解集是()2,4；当1a >时,原不等式的解集是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25.本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解：设(,R)z x yi x y =+∈,代入原方程得222x y xyi a -+=，即22,(1)0. (2)x y a xy ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 由(2)式得0x =或0y =. ① 若0x =，则方程(1)为2y a -+=，即220(0)y y a y ++=<， (3)或220(0)y y a y -+=≥．(4).由(3)得2(1)1(0)y a y +=-<，当01a ≤≤时，1y =-1y =-，当1a >时无解．由(4)得2(1)1(0)y a y -=-≥，当01a ≤≤时，1y =，或1y = 当1a >时无解．综上可得，当01a ≤≤时，(1z i =±+，或(1z i =±-当1a >时无解．②若0y =，则方程（1）为2x a +=，即2(1)1(0)x a x +=+≥， (5)或2(1)1(0)x a x -=+<． (6) ∵0a ≥，∴解(5)得1x =-； 解(6)得1x =综上可得，1z =±．③若0x =且0y =，则方程（1）为0a =，当0a =时，0x =，0y =是其解；当0a ≠时无解．当0a =时，0z =是其解；当0a ≠时无解．显然，当0a =时，0z =包含在上述两种情况之中．综上可得，实数解为(1z =±； 当01a ≤≤时，(1z i =±，或(1z i =±，当1a >时无纯虚数解．26.本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解：设所求椭圆的直角坐标方程是22221(0)x y a b a b +=>>，则 222222314c a b b e a a a -⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 2a b =，∴椭圆的方程可变形为222214x y b b+=．设椭圆上的点(,)x y 到点P 的距离为d ，则22232d x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22234()2b y y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2213432y b ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，其中b y b -≤≤.若102b <<，则当y b =-时，2d 有最大值，且2372b ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解之得3122b =>，与102b <<相矛盾，舍去． 若12b ≥，则当12y =-时，2d 有最大值，且2437b +=，解之得1b =， ∴2,1a b ==,∴所求椭圆的直角坐标方程是2214x y +=． 当12y =-时，x =∴所求的点的坐标是12⎛⎫- ⎪⎝⎭．B 1C 1A B C DA 11991年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)参考解答试卷共三道大题26个小题.．满分120分，考试时间120分钟．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．1-15 ADBCB ADABC ACCBC二．填空题．本题考查基本知识基本运算．每小题3分，满分15分． 16.(2,2)- 17.2－5 18.(4,2)- 19.1+51020.2 三．解答题 21.（满分8分）解：22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++212sin cos 2cos x x x =++ sin 2cos 22x x =++224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当sin 2=14x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，函数y 有最大值，且最大值为2+2．说明：①没有说明“当sin 2=14x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，函数y 有最大值”而得出正确答案，不扣分．②本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质 22.（满分8分） 解：∵ 1z i =+，∴ 2236(1)3(1)6111z z i i z i -++-++=+++312i i i-==-+， ∴1i -的模为22)1(1-+=2，辐角的主值74π，∴所给复数的模为2，辐角的主值74π．说明：本小题考查复数基本概念和运算能力了．23.（满分10分）解：∵ A 1A ⊥底面ABC ，∴ A 1A ⊥BC ． 又∵BC ⊥BB 1，且棱AA 1和BB 1的延长线交于一点，∴ BC ⊥侧面A 1ABB 1，∴ BC ⊥AB ．∴ △ABC 是直角三角形，∠ABC =90º．并且∠ABB 1就是BB 1和底面ABC 所成的角，且 ∠ABB 1=45º．作B 1D ⊥AB 交AB 于D ，则B 1D ∥A 1A ， ∴B 1D ⊥底面ABC ．∵在Rt △B 1DB 中，∠DBB 1=45º， ∴DB =DB 1=AA 1=a ，∴AB =2a ． ∵由于棱台的两个底面相似， ∴Rt △ABC ∽Rt △A 1B 1C 1．∵B 1C 1=A 1B 1=a ，AB =2a ，∴ BC =2a ．∴12S =上A 1B 1×B 1C 1=22a ，12S =下AB ×BC =2a 2．13V =·A 1A ·()下下上上S S S S +⋅+=31·a ·.67222232222a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+ 说明：本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．24.（满分10分）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，∴ ()1112a n dn b +-⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴()111222132111==222aa da db b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭·由12318b b b =，得3218b =，即212b =． 代入已知条件得12312318218b b b b b b ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.817413131b b b b ， 解得1312,8b b ==或131,28b b ==，∴11,2a d =-=或13,2a d ==-．当11,2a d =-=时，23n a n =-； 当13,2a d ==-时，52n a n =-． 说明：本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程组.解决问题的能力． 25.（满分12分）解： 原不等式可变形为4222xx a a a -->． ①（1）.当01a <<时，由①式得42220x x a -+<，即()22211x a -<- ．∵ 01a <<，∴2011x <<<x <<x <<． ∴当01a <<时，原不等式的解集为⎛ ⎝． （2） 当1a >时，由①式得42220x x a -+>， 即()22211x a ->-．∵1a >，∴210a -<，∴不等式()22211x a ->-对任意实数x恒成立，即得原不等式的解集为R ．综上可得：当01a <<时，原不等式的解集为⎛ ⎝； 当1a >时，原不等式的解集为R ．说明：本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力． 26.（满分12分）解：设所求椭圆方程为22221x y a b+=．由方程组22221,1x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2222(1)1x x a b++=，即 2222222()20a b x a x a a b +++-=． ① 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12,x x 方程①的两个根，且2122222212222,.a x x a b a a b x x a b ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∵OP OQ ⊥，∴1212OP OQ y yk k x x ⋅=⋅1212(1)(1)1x x x x ++=⋅=-，即12122()10x x x x +++=，∴222222222()210a a b a a b a b --+=++，即 22222a b a b =+．∴12221221,1.2x x b b x x b ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵PQ =，∴252PQ =，∴221212()()x x y y -+-222121212()()2()x x x x x x =-+-=-212122()4x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦222222222224a a a b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=--⋅⎢⎥⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦421252(2)2b b =-+=， 解得22b =或223b =，从而223a =或22a =．∴223a =，22b =或22a =，223b =，∴所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x 说明：本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．KH G B 1D 1C 1F A B C ED A 11992年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)参考答案这份试卷共三道大题28个小题..满分120 分.考试时间120分钟一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．1-18 ADDCD BBDDD BACDD CAC 二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分，满分15分.19.41 20.55- 21..x =－1 22.12815 23.1124)2(22=--y x . 三、解答题24.本小题主要考查三角函数恒等变形知识和运算能力（满分9分）.解：sin 220º+cos 280º＋3sin20ºcos80º=1cos 401cos16022-++sin 60)︒-︒13=1(cos160cos40)224+︒-︒+︒-=41－21·2sin100ºsin60º＋23sin100º =41－23sin100º＋23sin100º14=． 25.本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识（满分9分）.解：设 (,R)z x yi x y =+∈，则由已知条件得74x yi i +-=-+，由复数相等的定义，得7,4,x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩ 解得1254,3,3y x x ===，∴34z i =+或543z i =+．26.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力（满分10分）. 解一：∵ EB =BF =FD 1=D 1E=22)2(a a +=25a ， ∴四棱锥11A EBFD -的底面是菱形．连接A 1C 1，EF ，BD 1， 则A 1C 1∥EF ，∴A 1C 1∥平面1EBFD ，∴A 1C 1到底面EBFD 1的距离就是11A EBFD -的高．设G ，H 分别是A 1C 1，EF 的中点，连接D 1G ，GH ，则FH ⊥HG ， FH ⊥HD 1， ∴FH ⊥平面HGD 1． ∵FH ⊂平面1EBFD ， ∴面1EBFD ⊥平面1HGD ．作GK ⊥HD 1于K ，则GK ⊥面1EBFD ． ∵正方体的对角面AA 1CC 1垂直于底面A 1B 1C 1D 1,∴∠HGD 1=90º． 在Rt △HGD 1内，GD 1=22a ，HG =21a ，HD 1=21BD =23a ， ∴23a ·GK =21a ·22a ，从而GK =66a ．∴11EBFD A V -=311EBFD S 菱形·GK=31·21·EF ·BD 1·GK =61·2a ·3a ·66a 31=6a ． 解二 ∵ EB =BF =FD 1=D 1EB 1D 1C 1F AB C E DA1=22)2(a a +=25a ，∴ 四菱锥A 1－EBFD 1的底面是菱形．连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1．∵三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1等底同高，∴111EFD A EFB A V V --=，. ∴EFB A EBFD A V V --=1112．又11EBA F EFB A V V --=， ∴1112EBA F EBFD A V V --=．∵CC 1∥平面ABB 1A 1，∴三棱锥F －EBA 1的高就是CC 1到平面ABB 1A 1的距离，即棱长a ． 又△EBA 1边EA 1上的高为a ， ∴11EBFD A V -=2·31·1EBA S ∆·a =61a 3． 27.本小题主要考查有关直线方程的知识及综合运用知识的能力（满分10分）. 解：由已知条件知顶点A 为直线 210x y -+=与直线0y =的交点，∴由210,0x y y -+=⎧⎨=⎩解得顶点(1,0)A -．∴AB 的斜率2011(1)AB k -==--，∵x 轴是A ∠的平分线，∴1AC k =-，且直线AC 所在直线的方程为(1)y x =-+． ① ∵边BC 上的高所在直线的方程为 210x y -+=，∴2BC k =-，且BC 所在的直线方程为 22(1)y x -=--，即 24y x =-+． ② 由①，②联立解得顶点C 的坐标为(5,6)-． ∴点A 和点C 的坐标分别为(1,0)A -，(5,6)C -，28.本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力（满分12分）. 解：（Ⅰ）由已知条件得()()31121131212,12121120,213131130,2a a d S a d S a d ⎧=+=⎪⎪⨯-⎪=+⋅>⎨⎪⎪⨯-=+⋅<⎪⎩即 111122,2110,60,a d a d a d =-⎧⎪+>⎨⎪+<⎩ ∴ 2470,30,d d +>⎧⎨+<⎩解得 2437d -<<-． （Ⅱ）解一：由（Ⅰ）知0d <， ∴{}n a 单调递减．由已知条件得11313713()1302a a S a +==<，即70a <；112126712()6()02a a S a a +==+>，即670a a +>，∴60a >． ∴在1212,,,S S S 中6S 的值最大．（Ⅱ）解二：()d n n na S n 211-+=()()d n n d n 121212-+-=22124124=552222d d n d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦． ∵0d <，∴ 224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小时，n S 最大．当2437d -<<-时， 124136522d ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∵正整数6n =时224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小，∴6S 最大．（Ⅱ）.解三：由（Ⅰ）.知0d <， ∴{}n a 单调递减．∵ 12130,0,S S >⎧⎨<⎩∴111211120,21312130.2a d a d ⨯⎧+>⎪⎪⎨⨯⎪+<⎪⎩∴1150,260,d a d a d ⎧+>->⎪⎨⎪+<⎩即670,0.a a >⎧⎨<⎩ ∴在12,S S ，…，12S 中6S 的值最大．1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题.和第Ⅱ卷(非选择题.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共68分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分68分．1-17 ACBBA DCABD CADDA CB第Ⅱ卷(非选择题共82分).二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分24分. 18.－a 2 19.{k ||k |>31} 20.100 21..1 22.1760 23.30 三、解答题24.本小题考查三角函数式的恒等变形及运算能力（满分10分） 解. tg20º+4sin20º︒︒︒+︒=20cos 20cos 20sin 420sin ︒︒+︒=20cos 40sin 220sin()︒︒+︒+︒=20cos 40sin 40sin 20sin ︒︒+︒︒=20cos 40sin 10cos 30sin 2︒︒+︒=20cos 40sin 80sin ︒︒︒=20cos 20cos 60sin 2︒=60sin 23=. 25.本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力（满分12分） 解：(Ⅰ)由已知函数知011>-+xx， 解得－1<x <1；∴()f x 的定义域为(1,1)-． (Ⅱ) ∵ ()1log 1axf x x--=+ ()1log 1axf x x+=-=--， ∴ f (x .为奇函数．(Ⅲ.由(Ⅰ.知，()f x 的定义域为(1,1)-，∴当1a >时，由1log 01axx+>-得 111>-+xx，解得01x <<； 当01a <<时，由1log 01axx+>-得 1011x x+<<-，解得10x -<<．综上所述，当1a >时，()0f x >的x 取值范围(0,1)；当01a <<时，()0f x >的x 取值范围(1,0)-．26.本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法（满分12分） 解：由12382448,92549S S S ===,， 48081S =… ，猜想 ()()()N n n n S n ∈+-+=2212112．下面用数学归纳法证明如下：①当1n =时，98313221=-=S ，等式成立．②设当n k =时等式成立，即()().1211222+-+=k k S k 则()()()221321218++++=+k k k S S k k ()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k ()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k ()()2232132+-+=k k ()()22]112[1]112[++-++=k k ，a /d c b a P βαy N a 2a 1Q b a A BCP βMαy由此可知，当1n k =+时等式也成立． 根据①②可知，等式对任何n N ∈都成立． 27.本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力（满分12分） 证法一：(Ⅰ)设α∩γ=AB ，β∩γ=AC ．在γ内任取一点P ，并在γ内作直线PM ⊥AB ，PN ⊥AC 交AB ，AC 于点,M N ．∵γ⊥α，∴PM ⊥α． 而 a ⊂α，∴PM ⊥a ． 同理PN ⊥a ．又PM ⊂γ，PN ⊂γ，∴ a ⊥γ．(Ⅱ)在直线a 上任取点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线1a ，交β于直线2a ． ∵b ∥α，∴b ∥1a ． 同理b ∥2a ． ∴ 1a ∥2a ． ∵12a a Q =，∴1a 与2a 重合． 又1a ⊂α，2a ⊂β，∴1a ，2a 都是α，β的交线，即都重合于a ．∵b ∥1a ，∴ b ∥a ． 而a ⊥γ，∴b ⊥γ．证法二：(Ⅰ.在a 上任取一点P ，过P 作直线a '⊥γ．∵α⊥γ，P ∈α，∴a '⊂α． 同理a '⊂β．∴ a '是α，β的交线，即a '重合于a ．又a '⊥γ，∴ a ⊥γ．(Ⅱ.于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c ．同理过b 作平面与β交于直线d ．∵b ∥α，b ∥β．∴b ∥c ，b ∥d ． 又c ⊄β，d ⊂β，∴c 与d 不重合，且c ∥d ． ∴c ∥β．∵c ∥β，c ⊂α，α∩β=a ， ∴c ∥a ．∵b ∥c ，a ∥c ，b 与a 不重合(b ⊄α，a ⊂α.， ∴b ∥a ．而a ⊥γ，∴b ⊥γ．28.本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力（满分12分）解法一：如图，以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，且焦点为(,0),(,0)(0)M c N c c ->．由tan ,tan 22PMN MNP ∠=∠=-知，直线PM 和直线PN 的斜率分别为1,22，直线方程分别为1(),2()2y x c y x c =+=-．由1(),22()y x c y x c ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得54,33x c y c ==，即54,33P c c ⎛⎫⎪⎝⎭． 在PMN ∆中，|MN |=2c ，MN 上的高为点P 的纵坐标，∴214421233MNP S c c c ∆=⋅⋅==，∴c =P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，． 由椭圆过点P 得2a PM PN =+=，∴a =． ∴222153344b a c =-=-=， ∴所求椭圆方程为1315422=+y x ． 解法二：同解法一得23=c ，P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛332635，．∵ 点P 在椭圆上，且222a b c =+，∴ 13322363522222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b ，即 423830b b --=，解得23b =，或213b =- (舍去.．∴222154a b c =+=，∴所求椭圆方程为1315422=+y x ． 说明：本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．本题也可用正弦定理求解．1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本题考查基本知识和基本运算第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分)1-15 CDBAB DBAAC CBDDC第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本题考查基本知识和基本运算.每空格4分，共24分)16．－189 17．223,(2)1x x y =-+= 18．43- 19．322π 20．121(a a n++…)n a + 三、解答题21.本小题考查利用有关三角公式并借助辅助角求三角函数最小值的方法及运算能力，满分11分.解：332sin3sin cos3cos sin 2cos 2x x x xy x x+=+ 222sin3sin sin cos3cos cos sin 2cos 2x x x x x x x x+=+ 222(cos2cos4)sin (cos2cos4)cos 2cos 2x x x x x x x-++=sin 2x +2cos 2(1cos 4)sin 22cos 2x x x x +=+ 222cos 2cos 2sin 22cos 2x x x x=+cos 2sin 2x x =+)4x π=+．当sin(2)14x π+=-，即3()8x k k Z ππ=-∈时，函数y 取得最小值22.本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力.满分12分.解：∵+12,R x x ∈，∴212122x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(当且仅当12x x =时取“=”号) ．当1a >时，21212log ()log 2a a x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴12121log ()log 22a a x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即 []12121()()()22x x f x f x f ++≤ (当且仅当12x x =时取“=”号) ． 当01a <<时，21212log ()log 2a a x x x x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，∴12121(log log )log 22a a a x x x x ++>， 即[]12121()()()22x x f x f x f ++≥ (当且仅当12x x =时取“=”号) ．23.本小题考查空间线面关系，正棱柱的性质，空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.(1)证明：∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱， ∴四边形B 1BCC 1是矩形.连接B 1C ，交BC 1于E ，则B 1E =EC . 连结DE .在△AB 1C 中，∵AD =DC ， ∴DE ∥AB 1．又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1 ∴AB 1∥DBC 1．(2)解：作AF ⊥BC ，垂足为F . ∵面ABC ⊥面B 1BCC 1， ∴AF ⊥B 1BCC 1平面.连接B 1F ，则B 1F 是AB 1在平面B 1BCC 1内的射影．∵BC 1⊥AB 1， ∴BC 1⊥B 1F . ∵四边形B 1BCC 1是矩形， ∴∠B 1BF =∠BCC 1=90º；∠FB 1B =∠C 1BC ，∴△B 1BF ∽△BCC 1， ∴BB BFC C BF BC B B 111==． 又F 为正三角形ABC 的BC 边中点， ∴B 1B 2=BF ·BC =1×2=2， ∴B 1F 2= B 1B 2+ BF 2=3，∴B 1F =3，即线段1AB 在平面11BCC B 内射影长为3．24.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.满分12分.解：如图，设MN 切圆于N ，动点M 的坐标为(,)x y ，则由已知条件得22222(1)()4(14)0x y x λλλ-+-++=． ∴动点M 的轨迹方程是22222(1)()4(14)0x y x λλλ-+-++=．当1λ=时，动点M 的轨迹方程是54x =，它表示一条直线；当1λ≠时，动点M 的轨迹方程是()222222221311x y λλλλ⎛⎫+-+= ⎪-⎝⎭-，它表示以点222,01λλ⎛⎫⎪-⎝⎭为圆心，13122-+λλ为半径的圆．25.本小题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力.满分14分. 证法一：令21d a a =-．下面用数学归纳法证明．1(1)()n a a n d n N =+-∈．(1)当1n =时，上述等式为恒等式11a a =； 当2n =时，1121(21)()a d a a a +-=+-2a =，等式成立.(2)假设当(2)n k k =≥时命题成立，即1(1)k a a k d =+-．由已知条件有()12k k k a a S +=， ()()11112k k k a a S ++++=， ∴11k k k a S S ++=-()()111(1)22k k k a a k a a ++++=-，整理得11(1)(1)(1)k k a k a k k d +-=-+-． ∵2k ≥，∴11k a a kd +=+，即 当1n k =+时等式成立． 由(1)和(2)，等式对所有的自然数n 成立，从而{}n a 是等差数列．证法二：当n ≥2时，由已知条件()()21111--+-=n n a a n S ，()21n n a a n S +=， ∴1n n n a S S -=- ()()111(1)22n n n a a n a a -+-+=-；同理可得11n n n a S S ++=-()()111(1)22n n n a a n a a ++++=-，∴()()11111()2n n n nn a a a a n a a ++++-=-+()()1112n n a a --++，整理得 11n n n n a a a a +--=-， ∴{}n a 是等差数列．1995年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本题考查基本知识和基本运算第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分)1-15 BDCBD CACAA BDDCA第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本题考查基本知识和基本运算，本大题共5小题，每小题4分，共20分) 16．3 17．3237 18．3 19．4 20．144三、解答题（本大题共6小题，共65分） 21．本小题主要考查指数方程的解法及运算能力，本小题满分7分.解：设30x y =>，则原方程可化为098092=--y y ，解得：91=y ，912-=y （舍去）由93=x得2=x ， ∴原方程的解为2=x ．22．本小题主要考查复数的有关概念，三角公式及运算能力，本小题满分12分． 解：由已知条件得)sin (cos )sin (cos 22θθθθi i z z +++=+θθθθs i n c o s 2s i n 2c o s i i +++= )2c o s 23(s i n 2c o s 23c o s 2θθθθi +=)23s i n 23(c o s 2c o s 2θθθi +=)23sin()23[cos(2cos 2θπθπθ+-++--=i ∵)2,(ππθ∈，∴(,)22θππ∈，∴0)2cos(2>-θ．∵复数z z +2的模为2cos 2θ-，辐角)(23)12(z k k ∈+-θπ． 23.本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力，本小题满分10分.证：设}{n a 的公比为q ，由题设知01>a ，0>q ，(1)当1=q 时，1na S n =，从而22111(2)n n n S S S na n a ++⋅-=+22211(1)0n a a -+=-<.(2) )当1≠q 时，()qq a S nn --=111，从而221n n n S S S ++⋅-()()()()()22221112211111n n n a q q a q q q ++---=---021<-=n q a ．由(1)和(2)得212++<⋅n n n S S S ．根据对数函数的单调性，得215.025.0log )(log ++>⋅n n n S S S ，即 15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S ．24．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，本小题满分12分．解：(1)根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ． ∵EB ⊂平面ABE ，∴DA ⊥EB ．∵AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上， ∴AE ⊥EB ． 又AE ∩AD =A ， ∴EB ⊥平面DAE ． ∵AF ⊂平面DAE ， ∴EB ⊥AF ． 又AF ⊥DE ，且 EB ∩DE =E ，∴AF ⊥平面DEB ．∵DB ⊂平面DEB ，∴AF ⊥DB ．(2)设点E 到平面ABCD 的距离为d ，记AD =h ．∵圆柱轴截面ABCD 是矩形，∴AD ⊥AB ．∴221ahAD AB S ABD =⋅=∆，∴dah S d V V ABD ABD E ABE D 613===∆--．又h a AD AB V 2242ππ=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=圆柱， 由题设知ππ36142=dah ha ，即2a d =． 25．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法，本小题满分12分． 解：解：(1)由 Q P =有()2840500)8(1000--=-+x t x ，即0)280644)808(522=+-+-+t t x t x （．当判别式0168002≥-=∆t，即 0t ≤≤25052548t t x -±-=．由0≥∆，0≥t ，148≤≤x ，得不等式组：①0488145t t ⎧≤≤⎪⎨≤-+⎪⎩或 ②048814.5t t ⎧≤≤⎪⎨≤-≤⎪⎩解不等式组①，得100≤≤t ，不等式组②无解．∴所求的函数关系式为25052548t t x -+-=．函数的定义域为]10,0[． (2)为使10≤x ，应有8105052542≤-+-t t ，即 0542≥-+t t ．解得1≥t 或5-≤t ，由0≥t 知1≥t ． 从而政府补贴至少为每千克1元．26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力，本小题满分12分．解：设点P 、Q 、R 的坐标分别为),12(P y ，),(y x ，),(R R y x ，由题设知0>R x ，0>x ，由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组221,2416,R RR R x y y y x x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2222222248, (1)2348. (2)23R R x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩由点O ，Q ，P 共线，得xyy P =12，即xy y P 12=．（3）由题设|OQ |·|OP |=|OR |2得()222222212RRpyxy y x +=+⋅+将（1），（2），（3）式代入上式，整理得点Q 的轨迹方程132)1(22=+-y x )0(>x ． 所以点Q 的轨迹是以(1，0)为中心，长、短半轴长分别为1和36，且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标圆点．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答 第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第1－10题每小题4分，第11－15题每小题5分．满分65分．1-15 CADBC DADAC BDCAB第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 16．4 17．32 18．3 19．42 三、解答题20．本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力． 解：（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.1,01a a x a x 解得12->a x ． (Ⅱ)当10<<a 时，原不等式等价于不等式组10,1.x a x a a +->⎧⎨+-<⎩ 解得 121-<<-a x a ．综上，当1>a 时，不等式的解集为 }12|{->a x x ;当10<<a 时，不等式的解集为 }121|{-<<-a x a x ．21．本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．解：若1=q ，则有133a S =，166a S =，199a S =．由9632S S S =+得1113618a a a +=，解得 10a =，与01≠a 相矛盾， ∴1≠q ．由9632S S S =+得qq a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131 整理得 0)12(363=--q q q ．由0≠q 得方程 01236=--q q ．0)1)(12(33=-+q q ，∵1≠q ，013≠-q ， ∴0123=+q ，∴243-=q ． 22．本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算能力．满分12分．解：由题设条件知B =60°，A +C =120°．∴11cos cos cos60A C +==-，即 C A C A cos cos 22cos cos -=+，2coscos 22A C A C +-)cos()]A C A C =++-，2cos 60cos 2A C-︒cos()]A C =︒+-，1cos cos()]22A C A C -=-+-，023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ，,0)32cos 22)(22cos 2(=+---C A C A∵,032cos 22≠+-CA ∴.022cos 2=--CA 从而得.222cos =-C A 23．本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．满分12分． (Ⅰ)②∵BE :CF =1:2， ∴ DC =2BD ， ∴ DB =BC ，③∵△ABD 是等腰三角形， 且∠ABD =120º，∴∠BAD =30º，∴∠CAD =90º， ④∵FC ⊥面ACD ，∴CA 是F A 在面ACD 上射影， 且DA ⊥AC ，GB 1C 1F AB C E DA 1⑤∵F A ∩AC =A ，DA ⊥面ACF ， DA ⊂面ADF ．(Ⅱ)解：∵ F AA E AEF A V V 11--=． 在面A 1B 1C 1内作B 1G ⊥A 1C 1，垂足为G ，则231aG B =．∵面A 1B 1C 1⊥面A 1 C ，B 1G ⊥A 1C 1， ∴B 1G ⊥面A 1 C ．∵ E ∈B B 1，而B B 1∥面A 1 C ， ∴ 三棱柱E －AA 1F 的高为23a ， ∴ 1211322AA F a S AA AC ∆=⋅=，∴43311a V V F AA E AEF A ==--．24．本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式4410(10.22)(1010)10(10.1)(10.01)M x Mp p+-≥++，化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ∵]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯ 3122101011010[1(10.010.01122C C =-+⋅+⋅+…)]]1045.122.11.11[103⨯-⨯≈ 1.4≈，∴4≤x （公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．25．本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：（I ）依题设，直线12,l l 的斜率都存在，且设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，，则121k k =-，且直线12,l l 的方程分别为11(0)y k x k =≠， ①22(0)y k x k =≠． ②将①代入双曲线方程得221(1k x x ⎡⎤-=⎣⎦，即 01222)1(2121221=-++-k x k x k ．③由题设条件知0121≠-k ，且22221111)4(1)(21)k k ∆=--- 214(31)0k =->．将②代入双曲线方程得222(1k x x ⎡⎤-=⎣⎦，即 01222)1(2222222=-++-k x k x k ．④由题设条件知2210k -≠，且2224(31)0k ∆=->，即21110k -≠，且22134(1)0k ∆=->． ∴1l ，2l 与双曲线各有两个交点，等价于21211310,310,1.k k k ⎧->⎪⎪->⎨⎪⎪≠⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k ∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． (Ⅱ)双曲线122=-x y 的顶点(0,1),(0,1)-．取1(0,1)A 时，有1)20(1=+k ，解得221=k ． 从而2112-=-=k k ． 将22-=k 代入方程④得03242=++x x ． ⑤令2l 与双曲线的两交点为),(112y x A ，),(222y x B ，则12,x x 是方程⑤的两个根，且12123x x x x +=-=， ∴222221212||()()A B x x y y =-+-221212123()3[()4]x x x x x x =-=+-，∴ 60||222=B A ， 152||22=B A ． 当取1(0,1)A -时，由双曲线221y x -=关于x 轴的对称性，知152||22=B A ， ∴1l 过双曲线的一个顶点时，152||22=B A ．1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答 第Ⅰ卷（选择题共65分）一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分．1-12 BBACB CDCAB ADCCB第Ⅱ卷(非选择题 共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．16．4 17．(4，2) 18．32- 19．①，④ 三、解答题：本大题共6小题；共69分． 20．(本小题满分10分)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力． 解一：∵3sin 3cos 2321ππi i z +=+=，i 2222+=ω4sin 4cos ππi +=．由题意得377(cossin )1212zw zw i ππ+=+ 1313(cos sin )1212i ππ++)1213sin 127(sin )1213cos 127(cosππππ+++=i55sin )66i ππ=+，∴复数3zw zw +的模为2，辐角主值为65π． 解二：3zw zw +)1(2w zw += )1)(2222)(2321(i i i +++= )2123(2i i +-=55sin )66i ππ=+，， ∴复数3zw zw +的模为2，辐角主值为65π． 21．(本小题满分11分)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．解：设等差数列}{n a 的公差为d ，则3133S a d =+，4146S a d =+， 51510S a d =+．由已知条件得234534111,345112,34S S S S S ⎧⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩其中05≠S ，即 2111113()()(2),23()()2,2a d a d a d a d a d ⎧++=+⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩ 整理得211350,52 2.2a d d a d ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得11,0a d ==，或1124,5a d ==-，∴1n a =，或1232124(1)555n a n n =--=-．当1n a =时，55=S ；当321255n a n =-时，54S =-． ∴等差数列}{n a 的通项为1=n a ，或n a n 512532-=．22．(本小题满分12分)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vS ， 全程运输成本为)(2bv vaS v S bv v S a y +=⋅+⋅=， ∴所求函数及其定义域为],0(),(c v bv vaS y ∈+=．(Ⅱ)由题意知S ，a ，b ，v 都为正数，∴ab S bv vaS 2)(≥+，当且仅当a bv v =．即bav =时上式中等号成立． 若c b a≤，则当bav =时，全程运输成本y 最小；若c b a>，则当],0(c v ∈时，有 )()(bc c aS bv v a S +-+ )]()[(bc bv c av a S -+-==))((bcv a v c vcS-- ∵0≥-v c ，且2a bc >，∵02>-≥-bc a bcv a ，∴)()(bc caS bv v a S +≥+，且仅当cv =时等号成立，也即当c v =时，全程运输成本y 最小． 综上知，为使全程运输成本y 最小，当c b ab ≤时行驶速度应为b abv =；当c bab>时行驶速度应为c v =． 说明：当c ba>时，可用函数单调性、导数方法求最小值．23．(本小题满分12分)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查逻辑推理和空间想象能力． 解:(Ⅰ)∵AC 1是正方体， ∴AD ⊥面DC 1．又D 1F ⊂面DC 1，∴F D AD 1⊥．(Ⅱ)取AB 中点G ，连接A 1G ，FG ． ∵F 是CD 的中点，∴GF ，AD 平行且相等． 又∵A 1D 1，AD 平行且相等， ∴GF ，A 1D 1平行且相等，∴GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F ． 设A 1G 与AE 相交于点H ，则∠AHA 1是AE 与D 1F 所成的角，∵E 是BB 1的中点，∴Rt △A 1AG ≌Rt △ABE ，∠GA 1A =∠GAH ， ∴∠AHA 1=90°，即直线AE 与D 1F 所成角为直角．(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD ⊥D 1F ，由(Ⅱ)知AE ⊥D 1F ，又AD ∩AE =A ，∴D 1F ⊥面AED ．又因为D 1F ⊂面A 1FD 1， ∴面AED ⊥面A 1FD 1． (Ⅳ)∵体积E AA F F AA E V V 11--=，又FG ⊥面ABB 1A 1，三棱锥F －AA 1E 的高21==AA FG ， 面积2221212111=⨯==∆A ABB E AA S S 矩形． ∴ 3422313111=⨯⨯=⨯⨯=∆-FG S V E AA FAA E ． 24．(本小题满分12分)本小题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力． 解：(Ⅰ)设点A ，B 的横坐标分别为1x ，2x ，。
1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分（1）2i 1i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-的值等于 （ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上 （B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上 （C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上 （D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ B ） （A ）7个 （B ）8个 （C ）6个 （D ）5个（4）已知双曲线方程15y 20x 22=-，那么它的焦距是 （ A ） （A ）10 （B ）5 （C ）15 （D ）152（5）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9（6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是 （ A ） （A ）π （B ）π2 （C ）2π（D ）π4 （7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是 （ C ）（A ）}Z k ,6)1(k x |x {k∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （C ）}Z k ,6k 2x |x {∈π±π= （D ）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π=（8）极坐标方程θ-=ρcos 234所表示的曲线是 （ D ）（A ）圆 （B ）双曲线右支 （C ）抛物线 （D ）椭圆（9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是 （A ）相交直线 （ C ）（B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg(tg +的值等于 ( D ）（A ）4 （B ）21 （C ）81（D ）8（11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列数列那么（ C ）（A ）甲是乙的充分条件，但不是必要条件 （B ）甲是乙的必要条件，但不是充分条件 （C ）甲是乙的充要条件（D ）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（12）在复平面内，若复数z 满足|i z ||1z |-=+，则z 所对应的点Z 的集合构成的图形是 （ B ）（A ）圆 （B ）直线 （C ）椭圆 （D ）双曲线（13）如果曲线x 2-y 2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为1y x 22='-'，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 （ D ）（A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（-1，1） （D ）（1，-1）（14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ B ）（A ）319723C C 种 （B ）219733319723C C C C +种 （C ）51975200C C -种 （D ）4197135200C C C -种（15）已知二面角β--αAB 的平面角是锐角，C 是平面α内一点（它不在棱AB 上），点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任一点，那么 （ A ）（A ）∠CEB>∠DEB （B ）∠CEB=∠DEB （C ）∠CEB<∠DEB（D ）∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果（1）求复数i 3-的模和辐角的主值'Cα C A E D β B[答]模：2;复角主值：π611（只答对一个值的给2分） （2）解方程.27329x 1x=⋅---[答]x=-2（直接答-2也算对）（3）已知2tg ,273,53sin θπ<θ<π-=θ求的值 [答]-3（4）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αsin 的值[答]55 （5）已知等比数列}a {n 的公比q>1，并且a 1=b(b ≠0）求.a a a a a a a a limn 876n321n ++++++∞→[答]1三．（本题满分10分）已知,a tgx =求x3cos x cos 3x3sin x sin 3++的值解：xcos x 2cos 2x cos 2xcos x 2sin 2x sin 2x 3cos x cos x cos 2x 3sin x sin x sin 2x 3cos x cos 3x 3sin x sin 3++=++++=++)3a (2a)3x tg (2tgx )2x (sec 2tgx xcos 2)x cos 21(tgx )x 2cos 1(x cos 2x cos x sin 4x sin 2222222+=+=+=+=++=四．（本题满分10分）S-ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 是SA 的中点，E 是BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得的旋转体的体积解：连结AE ，因为△SDE 和△ABC 都是边长为a 的正三角形，并且SE 和AE 分别是它们的中线，所以SE=AE ，从而△SDE 为等腰三角形，由于D 是SA 的中点，所以ED ⊥SA DF ⊥SE ，交SE 于点F 考虑直角△SDE 的面积，得到,DE SD 21DF SE 21⋅=⋅所以，S α B AC DSD FA C E B.a 66a 23a222a DF ,,a 22)2a (a 43SD SE DE ,a 23)2a (a BE SB SE ,.SE DEa 21SE DE SD DF 22222222=⋅==-=-==-=-=⋅=⋅=所以易知 所求的旋转体的体积是以DF 为底面半径，分别以SF 和EF 为高的两个圆锥的体积的和，即.a 363a 236a 31SE )a 66(31EF )a 66(31SF )a 66(3132222π=⋅⋅π=⋅⋅π=⋅⋅π+⋅⋅π五．（本题满分11分）设21t log t log 21,0t ,1a ,0a a a +>≠>与比较的大小，并证明你的结论 解：当t>0时，由重要不等式可得t 21t ≥+，当且仅当t=1时取“=”号.t l o g 2121t l o g ,t l o g 21t l o g ,1t a a a a =+=+=∴即时t log 2121t log ,t log 21t log ,x log y ,1a .t log 2121t log ,t log 21t log x log y ,1a 0.t 21t ,1t a a a aa a a a a a >+>+=><+<+=<<>=≠即所以是增函数时当即所以是减函数时当 六．（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分.给定实数).a1x ,R x (1ax 1x y ,1a ,0a ,a ≠∈--=≠≠且设函数且 证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴;（2）这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形解：（1）设M 1（x 1,y 1),M 2(x 2,y 2)是这个函数图象上任意两个不同的点，则x 1≠x 2，且.0y y ,x x ,1a ,)1ax )(1ax ()1a )(x x ()1ax )(1ax ()x x ()x x (a )1ax )(1ax ()1ax x x ax (1ax x x ax 1ax 1x 1ax 1x y y 122112121212121211211221112212≠-∴≠≠----=-----=--+---+--=-----=-且从而直线M 1M 2的斜率,0x x y y k 1212≠--=因此，直线M 1M 2不平行于x 轴（2）设点P )y ,x (''是这个函数图象上任意一点，则,111)1(,1,01)2(,1)1(,1)1()1(),(),()1(11,1-'-'=='=-'-'=-''-'=-'''''=''-'-'='≠'x a x a a y y a y y a x x x a y x y P x y y x P x a x y a x 得代入则假如即式得由的坐标为的对称点关于直线易知点且,,1,1与已知矛盾由此得即=-'=-'a x a a x a成轴对称图形线这个函数的图象关于直因此在已知函数的图象上这说明点式得于是由x y x y P y a y x y a ='''-'-'='≠-'∴,,),(.11)2(.01（注：对（1）也可用反证法或考察平行x 轴的直线y=c 与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况由其无交点或恰有一交点，从而得证对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x 对称 七．（本题满分12分）如图，直线L 的方程为2px -=，其中p ＞0;椭圆的中心为 D )0,2p2(+，焦点在x 轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的 一个顶点为A 0,2p(问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离解：假定椭圆上有符合题意的四点，则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程：,1y 4)]2p2(x [22=++- 又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y 2=2px,从而椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同的实数解：⎪⎩⎪⎨⎧==++-)2(.px 2y )1(,1y 42p 2(x [222 将（2）式代入（1）式，得)3(.0p 24p x )4p 7(x ,4px 82p2(x [222=++-+=++-即Y L所以原方程组有4个不同的实数解，当且仅当方程（3）有两个不相等的正根而这又等价于310,,0.047,024,0)24(4)47(222<<>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<->+>+--=∆p p p p pp p p 得到解此不等式组的条件下在所以，所求的p 的取值范围为.31p 0<<。
1988高考数学全国卷及答案文
1988年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分（1）2i 1i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-的值等于 （ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ D ） （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个（4）函数)1a 0(a y x <<=的图象是 （ B ）（5）已知椭圆方程111y 20x 22=+，那么它的焦距是 （ A ）（A ）6 （B ）3 （C ）312 （D ）31（A ） （B ） （C ） （D ） X X X（6）在复平面内，与复数z=-1-i 的共轭复数对应的点位于（ B ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （7）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9（8）函数)6x 52cos(3y π-=的最小正周期是 （ D ）（A ）π52（B ）π25（C ）π2 （D ）π5（9）)619sin(π-的值等于 （ A ） （A ）21 （B ）21- （C ）23 （D ）23- （10）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是 （A ）21a =（B ）21a -= （C ）1a = （D ）1a -= （ C ）（11）函数)21x ,R x (1x 22x y ≠∈--=且的反函数是 （ A ）（A ）)21x ,R x (1x 22x y ≠∈--=且 （B ）)2x ,R x (2x 1x 2y ≠∈--=且 （C ）)21x ,R x (1x 22x y ≠∈-+=且 （D ）)2x ,R x (2x 1x 2y -≠∈+-=且 （12）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是 （A ）相交直线 （ C ） （B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线D ' C '（13）函数)4x sin(y π+=在闭区间 （ B ）（A ）]2,2[ππ-上是增函数 （B ）]4,43[ππ-上是增函数 （C ）]0,[π-上是增函数 （D ）]43,4[ππ-上是增函数（14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ A ）（A ）219733319723C C C C +种 （B ）319723C C 种 （C ）51975200C C -种 （D ）4197135200C C C -种（15）已知二面角β--αAB 的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么θtg 的值等于 （ C ） （A ）43（B ）53 （C ）773 （D ）731 二．（本题满分20分）本题共5小题，每1个小题满分4分直接写出结果（1）求复数i 3-的模和辐角的主值[答]2;π611（只答对一个值的给2分） （2）解方程.27329x 1x =⋅---[答]x=-2（直接答-2也算对） （3）已知2tg ,273,53sin θπ<θ<π-=θ求的值 [答]-3（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积[答]3cm 548π（未写单位，只给3分） （5）求.1n 3n n 2n 3lim 22n-++∞→[答]3三．（本题满分10分）证明α-α=αcos 3cos 43cos 3 证明：略四．（本题满分10分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αs i n的值解：因为SB 垂直于底面ABCD ，所以斜线段SA 在底面上的射影为AB ，由于DA ⊥AB所以 DA ⊥SA 从而.SD1SD AD sin ==α 连结BD ，易知BD=2由于SB ⊥BD ，所以5)2()3(BD SB SD 2222=+=+=因此，.55151sin ==α 五．（本题满分11分）在双曲线x 2-y 2=1的右支上求点P （a,b ），使该点到直线y=x 的距解：由题意，点P （a,b ）是下述方程组的解：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-)2(,22|b a |)1(,1b a 22并且a>0.由（1）式得,b 1a 22+=因为a>0，所以|b |b b 1a 22=>+=，从而a>b ，于是由（2）式得SαB AC Da-b=2 （3）把（3）式代入得,1b )2b (22=-+ 解得.45a )3(,43b =-=得代入 ∴所求的点P 的坐标为).43,45(- 六．（本题满分12分）解不等式.0)x1x lg(<-解：原不等式等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.1x1x ,0x1x 22情形1 当x>0时，上述不等式组变成⎩⎨⎧+<>.1x x ,1x 22解得：.251x 1+<< 情形2 当x<0时，上述不等式组变成⎩⎨⎧+><.1x x ,1x 22解得.251x 1-<<- 所以原不等式解集为}251x 1|x {}251x 1{|+<<⋃-<<- 七．（本题满分12分）一个数列}a {n ：当n 为奇数时，;1n 5a n +=当n 为偶数时，.2a 2nn =求这个数列的前2m 项的和（m 是正整数）解：因为,10]1)1k 2(5[]1)1k 2(5[a a 1k 21k 2=+--++=--+ 所以1m 2531a ,a ,a ,a - 是公差为10的等差数列因为,2)2()2(a a 2k 222k 2k 22k 2=÷=÷++所以m 2642a ,a ,a ,a 是公比为2的等比数列从而数列}a{n的前2m项和为：.22mm521)21(22m]1)1m2(56[)a,a,a,a()a,a,a,a(S1m2mm26421m2531m2-++=--++-+=+=+-。
1988年全国统一高考数学试卷(理科)
阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根1988年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（ ）A ． 1B ． ﹣1C ． iD ． ﹣i 2．（3分）设圆M 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=2，直线L 的方程为x+y ﹣3=0，点P 的坐标为（2，1），那么（ ） A ． 点P 在直线L 上，但不在圆M 上 B ． 点P 在圆M 上，但不在直线L 上C ．点P 既在圆M 上，又在直线L 上 D ． 点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上 3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（ ） A ． 7个 B ． 8个 C ． 6个 D ． 5个4．（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（ ） A ． 10 B ． 5C ．D ．5．（3分）在的展开式中，x 6的系数是（ ）A ． ﹣27C 106B ． 27C 104 C ． ﹣9C 106D ． 9C 104 6．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos 4x ﹣sin 4x 的最小正周期是（ ） A ． B ． π C ． 2π D ． 4π7．（3分）方程的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（3分）极坐标方程所表示的曲线是（ ）A ． 圆B ． 双曲线右支C ．抛物线 D ． 椭圆9．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（ ）A ． 相交直线B ． 平行直线C ． 不互相垂直的异面直线D ． 互相垂直的异面直线10．（3分）的值等于（ ） A ．4 B ．C ．D ． 811．（3分）设命题甲：△ABC 的一个内角为60°，命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列．那么（ ） A ． 甲是乙的充分条件，但不是必要条件 B ． 甲是乙的必要条件，但不是充分条件 C ． 甲是乙的充要条件 D ． 甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 12．（3分）在复平面内，若复数z 满足|z+1|=|z ﹣i|，则z 所对应的点Z 的集合构成的图形是（ ） A ． 圆 B ． 直线 C ． 椭圆 D ． 双曲线 13．（3分）如果曲线x 2﹣y 2﹣2x ﹣2y ﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（ ） A ． （1，1） B ． （﹣1，﹣1） C ． （﹣1，1） D ． （1，﹣1） 14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ） A ． C 32C 1973种 B ． C 32C 1973+C 33C 1972种 C ． C 2005﹣C 1975种 D ． C 2005﹣C 31C 1974种15．（3分）已知二面角α﹣AB ﹣β的平面角是锐角，C 是平面α内一点（它不在棱AB 上），点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任一点，那么（ ）A ． ∠CEB ＞∠DEB B ． ∠CEB=∠DEBC ． ∠CEB ＜∠DEBD ． ∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定二、解答题（共5小题，满分0分） 16．（20分）四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD ，求sinα的值．17．（10分）已知tgx=a，求的值．18．（10分）如图，正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．19．（12分）给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=（x∈R，且x≠）．证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴；（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．20．（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题：（1）本次测试中，抽取了的学生有多少人？（2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几？．21．（11分）21、设的大小，并证明你的结论．1988年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（ ）A ． 1B ． ﹣1C ．i D ． ﹣i考点： 复数代数形式的混合运算． 专题： 计算题．分析： 根据复数的计算方法，可得的值，进而可得=（﹣i ）2，可得答案．解答：解：根据复数的计算方法，可得==﹣i ，则=（﹣i ）2=﹣1，故选B ．点评： 本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方．2．（3分）设圆M 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=2，直线L 的方程为x+y ﹣3=0，点P 的坐标为（2，1），那么（ ） A ． 点P 在直线L 上，但不在圆M 上 B ． 点P 在圆M上，但不在直线L 上 C ． 点P 既在圆M 上，又在直线L 上 D ． 点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上考点： 点与圆的位置关系． 分析： 点P 代入直线方程和圆的方程验证即可． 解答： 解：点P 坐标代入直线方程和圆的方程验证，点P 的坐标为（2，1），适合L 的方程，即2+1﹣3=0；点P 的坐标为（2，1），满足圆M 的方程，即（2﹣3）2+（1﹣2）2=2．显然A 、B 、D 不正确． 选项C 正确． 故选C ．点评： 本题是基础题，考查点的坐标适合方程． 3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（ ） A ． 7个 B ． 8个 C ． 6个 D ． 5个考点： 子集与真子集． 分析： 集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 解答： 解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}…{1，2，3}共8个． 故选B ．点评： 本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．4．（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（）A．10 B．5C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据题设条件求出c2，然后求出c，就能得到双曲线的焦距2c．解答：解：c2=25，c=5，∴双曲线的焦距2c=10．故选A．点评：本题比较简单，解题时注意不要和椭圆弄混了．5．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C104考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．解答：解：展开式的通项为令10﹣r=6得r=4∴展开式中x6的系数是9C104故选项为D点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．解答：解：∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴T=π，故选B点评：对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．7．（3分）方程的解集是（）A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．分析：令t=cosx代入后转化为一元二次方程后即可解．解答：解：令t=cosx则可转化为：4t2﹣4t+3=0∴t=∴cosx=∴x=±故选C．点评：本题主要考查解关于三角函数的二次方程问题．一般通过换元法转化为一元二次方程的问题后再处理．8．（3分）极坐标方程所表示的曲线是（）A．圆B．双曲线右支C．抛物线D．椭圆考点：简单曲线的极坐标方程．分析：圆锥曲线的统一的极坐标方程是，其中e表示曲线的离心率，欲判断极坐标方程所表示的曲线，只须将它化成统一的形式后看其离心率即可．解答：解：∵，∴，∴其离心率e=，是椭圆．故选D．点评：本题主要考查了圆锥曲线的统一的极坐标方程，属于基础题．9．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（）A．相交直线B．平行直线C．不互相垂直的D．互相垂直的异面直线异面直线考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：首先由“直线平行于平面，则该直线与平面内任一直线异面”判定A'D'与BB′异面；然后通过A'D'与BB′的夹角是等腰梯形的内角，确定A'D'与BB′不垂直．解答：解：在正四棱台中，A'D'∥B′C′，又A'D'⊄平面BCC′B′，所以A'D'∥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B′，所以A'D'与BB′异面；又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′与B′C′不垂直，即BB′与A'D'不垂直．故选C．点评：本题考查异面直线的定义及其夹角．10．（3分）的值等于（）A．4B．C．D．8考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用两角和的正切公式直接化简，以及公式tg（arctgx）=x直接求解即可．解答：解：=故选D．点评：本题考查反三角函数的运算，两角和的正切公式，是基础题．11．（3分）设命题甲：△ABC的一个内角为60°，命题乙：△ABC的三内角的度数成等差数列．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件考点：等差关系的确定．分析：根据三角形内角和180°，△ABC的一个内角为60°，另外两个角的和是120°，满足等差中项的特点，△ABC的三内角的度数成等差数列，等差中项是60°．解答：解：∵△ABC的一个内角为60°，∴另外两个角的和是120°，∴三个角满足等差数列；∵△ABC的三内角的度数成等差数列，∴等差中项是60°，故选C点评：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质．以便利于区分等差和等比．12．（3分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z﹣i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是（）A．圆B．直线C．椭圆D．双曲线考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：本题考查的是复数的模的几何意义．|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离．先明确几何意义，再数形结合就可以给出解答．解答：解：|z+1|，|z﹣i|的几何意义分别是点Z到﹣1所对应的点A（﹣1，0）和点Z到i所对应的点B（0，1）的距离．由|ZA|=|ZB|，则点Z的轨迹是线段AB的垂直平分线．点评：本题考查的是复数的模的几何意义．注意掌握|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离．13．（3分）如果曲线x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）考点：函数的图象与图象变化．分析：先将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方，再看此方程可由什么样的平移方式得到新方程为x'2﹣y'2=1，从而新坐标系的原点在原坐标系中的坐标．解答：解：将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方得：（x﹣1）2﹣（y+1）2=1，其中心在（1，﹣1），故新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查了函数的图象的图象变化，属于基础题．14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A．C32C1973种B．C32C1973+C33C1972种C．C2005﹣C1975种D．C2005﹣C31C1974种考点：组合及组合数公式．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．解答：解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选B．点评：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（）A．∠CEB＞∠DEBB．∠CEB=∠DEBC．∠CEB＜∠DEBD．∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定考点：三垂线定理．专题：作图题；综合题；压轴题．分析：作出图形，利用三垂线定理和直角三角形，推出∠CEB、∠DEB的正切值的大小，推出结论．解答：解：过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，因为CD⊥AB又CF⊥AB，所以AB⊥面CDF，所以CF垂直于AB在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以CF＞DF易知tan∠CEF=tan∠DEB=由CF＞DF知，∠CEB＞∠DEB故选A．点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．二、解答题（共5小题，满分0分）16．（20分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．考点：三垂线定理．专题：作图题；证明题．分析：利用三垂线定理说明DA⊥SA，求出SD，解三角形SAD，即可得到sinα的值．解答：解：因为SB垂直于底面ABCD，所以斜线段SA在底面上的射影为AB，由于DA⊥AB 所以DA⊥SA从而连接BD，易知BD=由于SB⊥BD，所以因此，点评：本题考查三垂线定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．17．（10分）已知tgx=a，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：先用和差化积公式再根据二倍角公式即可化简求值．解答：解：==点评：本题主要考查三角函数的和差化积公式和二倍角公式．三角函数中公式比较多，一定要熟练记忆，能够灵活运用．18．（10分）如图，正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征．专题：计算题．分析：连接AE，说明ED⊥SA，作DF⊥SE，交SE于点F．所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，求出DF，然后求出几何体的体积．解答：解：连接AE，因为△SDE和△ABC都是边长为a的正三角形，并且SE和AE分别是它们的中线，所以SE=AE，从而△SEA为等腰三角形，由于D是SA的中点，所以ED⊥SA．作DF⊥SE，交SE于点F．考虑直角△SDE的面积，得到，所以，，．所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，即．点评：本题是基础题，考查空间想象能力，圆锥的体积的求法，考查计算能力以及发现问题解决问题的能力．19．（12分）给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=（x∈R，且x≠）．证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴；（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．考点：反函数．专题：证明题．分析：（1）欲证经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴，设M1（x1，y1），M2（x2，y2）是这个函数图象上任意两个不同的点，可通过证明任意两个不同的点的直线的斜率恒不为0得到；（2）要证这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形，设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，证明其对称点（y'，x'）也在此函数的图象上即可．解答：解：（1）设M1（x1，y1），M2（x2，y2）是这个函数图象上任意两个不同的点，则x1≠x2，且=，∵a≠1，且x1≠x2，∴y2﹣y1≠0．从而直线M1M2的斜率，因此，直线M1M2不平行于x轴．（2）设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，则x'≠，且y'=（1）易知点P（x'，y'）关于直线y=x的对称点P'的坐标为（y'，x'）由（1）式得y'（ax'﹣1）=x'﹣1，即x'（ay'﹣1）=y'﹣1，（2），即ax'﹣a=ax'﹣1，由此得a=1，与已知矛盾，∴这说明点P'（y'，x'）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．点评：本题主要考查了等价转化能力和数式的运算能力，属于中档题．对（1）也可用反证法或考查平行x轴的直线y=c与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况．由其无交点或恰有一交点，从而得证．对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x对称）．20．（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题：（1）本次测试中，抽取了的学生有多少人？（2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几？．考点：频率分布直方图．专题：压轴题；图表型．分析：（1）由频数直方图的意义，将各组人数相加可得共抽取的学生人数，即答案；（2）读直方图可得：这次测试成绩80分以上的人数，除以总人数即可得优秀率，即答案．解答：解：（1）由频数直方图可知：本次测试中，抽取了的学生有2+3+41+4=50人；（2）这次测试成绩80分以上（含80分）的人数为41+4=45，则优秀率为=90%．故答案为：（1）50人；（2）90%．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．（11分）21、设的大小，并证明你的结论．考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：压轴题．分析：先判断与的大小，再由对数函数的单调性可得到答案．解答：解：当t＞0时，由基本不等式可得，当且仅当t=1时取“=”号∴t≠1时，当0＜a＜1时，y=log a x是单调减函数，∴，即当a＞1时，y=log a x是单调增函数，∴＞，即＞点评：本题主要考查对数函数的单调性，即当底数大于1时函数单调递增，当底数大于0小于1时函数单调递减．。
1988年高考数学 理工农医类、全国卷 真题
1988年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）一、本题每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.（）(A)1(B)-1(C)I(D)-i(2)设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么（）(A)点P在直线L上,但不在圆M上(B)点P在圆M上,但不在直线L上(C)点P既在圆M上,又在直线L上(D)点P既不在圆M上,也不在直线L上(3)集合{1,2,3}的子集总共有（）(A)7个(B)8个(C)6个(D)5个（）(A)10(B)5(5)在的展开式中,x6的系数是（）(6)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是（）(A)π(B)2π(7)方程的解集是（）（）(A)圆(B)双曲线右支(C)抛物线(D)椭圆(9)如图,正四棱台中,A＇D＇所在的直线与BB＇所在的直线是（）(A)相交直线(B)平行直线(C)不互相垂直的异面直线(D)互相垂直的异面直线（）【】(11)设命题甲:△ABC的一个内角为60°.命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么（）(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(12)复平面内,若复数z满足│z+1│=│z-i│,则z所对应的点Z的集合构成的图形是（）(A)圆(B)直线(C)椭圆(D)双曲线(13)如果曲线x2-y2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（）(A)(1,1)(B)(-1,-1)(C)(-1,1)(D)(1,-1)(14)假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有（）(15)如图,二面角αˉABˉβ的平面角是锐角,C是面α内的一点(它不在棱AB上),点D是点C在面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点,那么（）(A)∠CEB>∠DEB(B)∠CEB=∠DEB(C)∠CEB<∠DEB(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定二、只要求直接写出结果.(5)已知等比数列{an}的公比q>1,并且a1=b(b≠0),求四、如图,正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形,D是SA的中点,E是BC的中点,求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.六、给定实数a,a≠0,且a≠1设函数证明(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;(2)这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.1988年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）参考答案一、选择题.(1)B(2)C(3)B(4)A(5)D(6)A(7)C(8)D(9)C(10)D(11)C(12)B(13)D(14)B(15)A二、填空题.三、本题主要考查三角公式和进行三角式的恒等变形的能力.解法一:解法二:解法三:解法四:四、本题主要考查空间想象能力、体积计算等知识和推理能力.解法一:连接AE,因为△SBC和△ABC都是边长为a的正三角形,并且SE和AE分别是它们的中线,所以SE=AE,从而△SEA为等腰三角形,由于D是SA的中点,所以ED⊥SA.作DF⊥SE,交SE于点F.考虑直角△SDE的面积,得到所求的旋转体的体积是以DF为底面半径,分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和,即解法二:连结BD.因为BD是正三角形SBA的中线,所以BD⊥SA.连结CD,同理CD⊥SA.于是SA⊥平面BDC,所以SA⊥DE.作DF⊥SE,交SE于点F.在直角△SDE中,SD2=SF·SE,所求的旋转体的体积为五、本题主要考查对数函数的性质,以及运用重要不等式解决问题的能力.解法一:情形1∶0<a<1.情形2∶a>1.解法二:当t>0时,由重要不等式可得当且仅当t=1时取“=”号.当0<a<1时,y=logax是减函数,当a>1时,y=logax是增函数,解法三:因为t>0,又有当且仅当t=1时取“=”号,当且仅当t=1时取“=”号.以下同解法二.六、本题主要考查考生在正确理解数学概念(函数的图象的概念,轴对称图形的概念等)的基础上进行推理的能力,以及灵活运用学过的代数和解析几何的知识(互为反函数的图象之间的关系,两条直线平行的条件等)解决问题的能力.证法一:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点,∵a≠1,且x1≠x2,∴y2-y1≠0.因此,M1M2不平行于x轴.即,由此得a=1,与已知矛盾,于是由②式得证法二:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数的图象上任意两个不同的点,则x1≠x2.假如直线M1M2平行于x轴,那么y1=y2,即亦即(x1-1)(ax2-1)=(x2-1)(ax1-1),整理得a(x1-x2)=x1-x2,因为x1≠x2,所以a=1,这与已知矛盾.因此M1M2不平行于x轴.(2)先求所给函数的反函数:由得y(ax-1)=x-1,即(ay-1)x=y-1.即ax-a=ax-1,由此得a=1,与已知矛盾,所以ay-1≠0.因此得到由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对证法三:(1)任取一条与x轴平行的直线L,则l的方程为y=c(c为常数).考虑L与所给函数的图象是否相交以及交点数目的情况.将②代入①得c(ax-1)=x-1,即(ca-1)x=c-1.③从而直线L与所给函数的图象无交点.这说明原方程组恰有一个解,从而直线L与所给函数的图象恰有一个交点.综上述,平行于x轴的直线与所给函数的图象或者不相交,或者恰有一个交点.因此,经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.(2)同证法一或证法二.七、本题主要考查考生利用方程研究曲线性质的能力,以及综合运用学过的代数知识(一元二次方程的判别式,根与系数的关系,解二元二次方程组,解不等式等)去解题的能力.解法一:假定椭圆上有符合题意的四个点,则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程:又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y2=2px,从而它们都是下面的方程组的解:将②式代入①式,得由于上述方程组有4个不同的实数解,所以方程③的判别式应大于零,整理得3p2-4p+1>0,由已知,椭圆上的点的横坐标都大于零,所以方程③的两个根应都为正数,于是得7p-4<0,解此不等式得由④、⑤以及已知条件得一次项系数7p-4<0,所以x1,x2都为正数.把x1及x2分别代入②中,可解得显然y1,y2,y3,y4两两不相等.由于(x1,y1)适合②式和③式,从而也适合①式,因此点M1(x1,y1)是符合题意的点.同理M2(x1,y2),M3(x2,y3),M4(x2,y4)都是符合题意的点,并且它们是互不相同的.解法二:椭圆上有四个点符合题意的充要条件是方程组有四个不同的实数解.所以原方程组有四个不同的实数解,当且仅当方程③有两个不相等的正根.而这又等介于在p>0的条件下,解此不等式组,得到解法三:易求出所给椭圆的方程为假定这个椭圆上有符合题意的四个点,则这些点的坐标应是下述方程组的解:把②式化简得y2=2px.。
1988年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案
1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分（1）2i 1i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-的值等于 （ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ B ） （A ）7个 （B ）8个 （C ）6个 （D ）5个（4）已知双曲线方程15y 20x 22=-，那么它的焦距是 （ A ）（A ）10 （B ）5 （C ）15 （D ）152（5）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9（6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是 （ A ） （A ）π （B ）π2 （C ）2π（D ）π4（7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是 （ C ） （A ）}Z k ,6)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （C ）}Z k ,6k 2x |x {∈π±π= （D ）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π= （8）极坐标方程θ-=ρcos 234所表示的曲线是 （ D ）（A ）圆 （B ）双曲线右支 （C ）抛物线 （D ）椭圆 （9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是 （A ）相交直线 （ C ） （B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg (tg +的值等于 ( D ） （A ）4 （B ）21 （C ）81 （D ）8 （11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列数列那么（ C ）（A ）甲是乙的充分条件，但不是必要条件（B ）甲是乙的必要条件，但不是充分条件（C ）甲是乙的充要条件（D ）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（12）在复平面内，若复数z 满足|i z ||1z |-=+，则z 所对应的点Z 的集合构成的图形是 （ B ） （A ）圆 （B ）直线 （C ）椭圆 （D ）双曲线'C（13）如果曲线x 2-y 2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为1y x 22='-'，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 （ D ）（A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（-1，1） （D ）（1，-1） （14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ B ）（A ）319723C C 种 （B ）219733319723C C C C +种 （C ）51975200C C -种 （D ）4197135200C C C -种（15）已知二面角β--αAB 的平面角是锐角，C 是平面α内一点（它不在棱AB 上），点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任一点，那么 （ A ） （A ）∠CEB>∠DEB （B ）∠CEB=∠DEB （C ）∠CEB<∠DEB （D ）∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果（1）求复数i 3-的模和辐角的主值α C A E D β B[答]模：2;复角主值：π611（只答对一个值的给2分） （2）解方程.27329x 1x =⋅---[答]x=-2（直接答-2也算对） （3）已知2tg ,273,53sin θπ<θ<π-=θ求的值[答]-3（4）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αsin 的值[答]55 （5）已知等比数列}a {n 的公比q>1，并且a 1=b(b ≠0）求.a a a a a a a a limn 876n321n ++++++∞→[答]1三．（本题满分10分）已知,a tgx =求x3cos x cos 3x3sin x sin 3++的值解：xcos x 2cos 2x cos 2xcos x 2sin 2x sin 2x 3cos x cos x cos 2x 3sin x sin x sin 2x 3cos x cos 3x 3sin x sin 3++=++++=++)3a (2a)3x tg (2tgx )2x (sec 2tgx x cos 2)x cos 21(tgx )x 2cos 1(x cos 2x cos x sin 4x sin 2222222+=+=+=+=++=四．（本题满分10分）S α B A C D如图，正三棱锥S-ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 是SA 的中点，E 是BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得的旋转体的体积解：连结AE ，因为△SDE 和△ABC 都是边长为a 的正三角形，并且SE和AE 分别是它们的中线，所以SE=AE ，从而△SDE 为等腰三角形，由于D 是SA 的中点，所以ED ⊥SA 作DF ⊥SE ，交SE 于点F 考虑直角△SDE 的面积，得到,DE SD 21DF SE 21⋅=⋅所以，.a 66a 23a222a DF ,,a 22)2a (a 43SD SE DE ,a 23)2a (a BE SB SE ,.SE DEa 21SE DE SD DF 22222222=⋅==-=-==-=-=⋅=⋅=所以易知 所求的旋转体的体积是以DF 为底面半径，分别以SF 和EF 为高的两个圆锥的体积的和，即.a 363a 236a 31SE )a 66(31EF )a 66(31SF )a 66(3132222π=⋅⋅π=⋅⋅π=⋅⋅π+⋅⋅π五．（本题满分11分）设21t log t log 21,0t ,1a ,0a aa +>≠>与比较的大小，并证明你的结论 解：当t>0时，由重要不等式可得t 21t ≥+，当且仅当t=1时取“=”号.t l o g 2121t l o g,t l o g 21t l o g,1t a aaa=+=+=∴即时 S D F A C E Bt log 2121t log ,t log 21t log ,x log y ,1a .t log 2121t log ,t log 21t log x log y ,1a 0.t 21t ,1t a a a aa a a a a a >+>+=><+<+=<<>=≠即所以是增函数时当即所以是减函数时当 六．（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分， 第（2）小题满分8分.给定实数).a1x ,R x (1ax 1x y ,1a ,0a ,a ≠∈--=≠≠且设函数且 证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴;（2）这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形解：（1）设M 1（x 1,y 1),M 2(x 2,y 2)是这个函数图象上任意两个不同的点，则x 1≠x 2，且.0y y ,x x ,1a ,)1ax )(1ax ()1a )(x x ()1ax )(1ax ()x x ()x x (a )1ax )(1ax ()1ax x x ax (1ax x x ax 1ax 1x 1ax 1x y y 122112121212121211211221112212≠-∴≠≠----=-----=--+---+--=-----=-且从而直线M 1M 2的斜率,0x x y y k 1212≠--=因此，直线M 1M 2不平行于x 轴 （2）设点P )y ,x (''是这个函数图象上任意一点，则,111)1(,1,01)2(,1)1(,1)1()1(),(),()1(11,1-'-'=='=-'-'=-''-'=-'''''=''-'-'='≠'x a x a a y y a y y a x x x a y x y P x y y x P x a x y a x 得代入则假如即式得由的坐标为的对称点关于直线易知点且,,1,1与已知矛盾由此得即=-'=-'a x a a x a成轴对称图形线这个函数的图象关于直因此在已知函数的图象上这说明点式得于是由x y x y P y a y x y a ='''-'-'='≠-'∴,,),(.11)2(.01（注：对（1）也可用反证法x 轴的直线y=c 与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况由其无交点或恰有一交点，从而得证对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x 对称）七．（本题满分12分）如图，直线L 的方程为2px -=，其中p ＞0;椭圆的中心为 D )0,2p 2(+，焦点在x 轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的 一个顶点为A 0,2p (问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离解：假定椭圆上有符合题意的四点，则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程：,1y 4)]2p2(x [22=++- 又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y 2=2px,从而椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同的实数解：⎪⎩⎪⎨⎧==++-)2(.px 2y )1(,1y 42p 2(x [222 YL将（2）式代入（1）式，得)3(.0p 24p x )4p 7(x ,4px 8)]2p2(x [222=++-+=++-即所以原方程组有4个不同的实数解，当且仅当方程（3）有两个不相等的正根而这又等价于310,,0.047,024,0)24(4)47(222<<>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<->+>+--=∆p p p p pp p p 得到解此不等式组的条件下在所以，所求的p 的取值范围为.31p 0<<。
1988年全国统一高考数学试卷(理科)
实用标准文档1988年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（）A ．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．（3分）设圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=2，直线L的方程为x+y﹣3=0，点P的坐标为（2，1），那么（）A ．点P在直线L 上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线L上C ．点P既在圆M上，又在直线L上D．点P既不在直线L上，也不在圆M上3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（）A ．7个B．8个C．6个D．5个4．（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（）A ．10 B．5 C．D．5．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A ．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C1046．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π7．（3分）方程的解集是（）A ．B ．C ．D ．8．（3分）极坐标方程所表示的曲线是（）A ．圆B．双曲线右支C．抛物线D．椭圆9．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（）A ．相交直线B．平行直线C ．不互相垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线10．（3分）的值等于（）A ．4 B．C．D．811．（3分）设命题甲：△ABC的一个内角为60°，命题乙：△ABC的三内角的度数成等差数列．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件12．（3分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z﹣i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是（）A ．圆B．直线C．椭圆D．双曲线13．（3分）如果曲线x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（）A ．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A ．C32C1973种B．C32C1973+C33C1972种C ．C2005﹣C1975种D．C2005﹣C31C1974种15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（）A ．∠CEB＞∠DEBB．∠CEB=∠DEBC ．∠CEB＜∠DEBD．∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定二、解答题（共5小题，满分0分）16．（20分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．17．（10分）已知tgx=a，求的值．18．（10分）如图，正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．19．（12分）给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=（x∈R，且x≠）．证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴；（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．20．（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题：（1）本次测试中，抽取了的学生有多少人？（2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几？．21．（11分）21、设的大小，并证明你的结论．1988年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（）A ．1 B．﹣1 C．i D．﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：根据复数的计算方法，可得的值，进而可得=（﹣i）2，可得答案．解答：解：根据复数的计算方法，可得==﹣i，则=（﹣i）2=﹣1，故选B．点评：本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方．2．（3分）设圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=2，直线L的方程为x+y﹣3=0，点P的坐标为（2，1），那么（）A ．点P在直线L上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线L上C ．点P既在圆M上，又在直线L上D．点P既不在直线L上，也不在圆M上考点：点与圆的位置关系．分析：点P代入直线方程和圆的方程验证即可．解答：解：点P坐标代入直线方程和圆的方程验证，点P的坐标为（2，1），适合L的方程，即2+1﹣3=0；点P的坐标为（2，1），满足圆M的方程，即（2﹣3）2+（1﹣2）2=2．显然A、B、D不正确．选项C正确．故选C．点评：本题是基础题，考查点的坐标适合方程．3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（）A ．7个B．8个C．6个D．5个考点：子集与真子集．分析：集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．解答：解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}…{1，2，3}共8个．故选B．点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．4．（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（）A ．10 B．5 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据题设条件求出c2，然后求出c，就能得到双曲线的焦距2c．解答：解：c2=25，c=5，∴双曲线的焦距2c=10．故选A．点评：本题比较简单，解题时注意不要和椭圆弄混了．5．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A ．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C104考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．解答：解：展开式的通项为令10﹣r=6得r=4∴展开式中x6的系数是9C104故选项为D点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．解答：解：∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴T=π，故选B点评：对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．7．（3分）方程的解集是（）A ．B ．C ．D ．考点：正弦函数的图象．分析：令t=cosx代入后转化为一元二次方程后即可解．解答：解：令t=cosx则可转化为：4t2﹣4t+3=0∴t=∴cosx=∴x=±故选C．点评：本题主要考查解关于三角函数的二次方程问题．一般通过换元法转化为一元二次方程的问题后再处理．8．（3分）极坐标方程所表示的曲线是（）A ．圆B．双曲线右支C．抛物线D．椭圆考点：简单曲线的极坐标方程．分析：圆锥曲线的统一的极坐标方程是，其中e表示曲线的离心率，欲判断极坐标方程所表示的曲线，只须将它化成统一的形式后看其离心率即可．解答：解：∵，∴，∴其离心率e=，是椭圆．故选D．点评：本题主要考查了圆锥曲线的统一的极坐标方程，属于基础题．9．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（）A ．相交直线B．平行直线C ．不互相垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：首先由“直线平行于平面，则该直线与平面内任一直线异面”判定A'D'与BB′异面；然后通过A'D'与BB′的夹角是等腰梯形的内角，确定A'D'与BB′不垂直．解答：解：在正四棱台中，A'D'∥B′C′，又A'D'⊄平面BCC′B′，所以A'D'∥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B′，所以A'D'与BB′异面；又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′与B′C′不垂直，即BB′与A'D'不垂直．故选C．点评：本题考查异面直线的定义及其夹角．10．（3分）的值等于（）A ．4 B．C．D．8考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用两角和的正切公式直接化简，以及公式tg（arctgx）=x直接求解即可．解答：解：=故选D．点评：本题考查反三角函数的运算，两角和的正切公式，是基础题．11．（3分）设命题甲：△ABC的一个内角为60°，命题乙：△ABC的三内角的度数成等差数列．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件考点：等差关系的确定．分析：根据三角形内角和180°，△ABC的一个内角为60°，另外两个角的和是120°，满足等差中项的特点，△ABC的三内角的度数成等差数列，等差中项是60°．解答：解：∵△ABC的一个内角为60°，∴另外两个角的和是120°，∴三个角满足等差数列；∵△ABC的三内角的度数成等差数列，∴等差中项是60°，故选C点评：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质．以便利于区分等差和等比．12．（3分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z﹣i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是（）A ．圆B．直线C．椭圆D．双曲线考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：本题考查的是复数的模的几何意义．|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离．先明确几何意义，再数形结合就可以给出解答．解答：解：|z+1|，|z﹣i|的几何意义分别是点Z到﹣1所对应的点A（﹣1，0）和点Z到i所对应的点B（0，1）的距离．由|ZA|=|ZB|，则点Z的轨迹是线段AB的垂直平分线．点评：本题考查的是复数的模的几何意义．注意掌握|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离．13．（3分）如果曲线x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（）A ．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）考点：函数的图象与图象变化．分析：先将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方，再看此方程可由什么样的平移方式得到新方程为x'2﹣y'2=1，从而新坐标系的原点在原坐标系中的坐标．解答：解：将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方得：（x﹣1）2﹣（y+1）2=1，其中心在（1，﹣1），故新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查了函数的图象的图象变化，属于基础题．14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A ．C32C1973种B．C32C1973+C33C1972种C ．C2005﹣C1975种D．C2005﹣C31C1974种考点：组合及组合数公式．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．解答：解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选B．点评：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（）A ．∠CEB＞∠DEBB．∠CEB=∠DEBC ．∠CEB＜∠DEBD．∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定考点：三垂线定理．专题：作图题；综合题；压轴题．分析：作出图形，利用三垂线定理和直角三角形，推出∠CEB、∠DEB的正切值的大小，推出结论．解答：解：过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，因为CD⊥AB又CF⊥AB，所以AB⊥面CDF，所以CF垂直于AB在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以CF＞DF易知tan∠CEF=tan∠DEB=由CF＞DF知，∠CEB＞∠DEB故选A．点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．二、解答题（共5小题，满分0分）16．（20分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．考点：三垂线定理．专题：作图题；证明题．分析：利用三垂线定理说明DA⊥SA，求出SD，解三角形SAD，即可得到sinα的值．解答：解：因为SB垂直于底面ABCD，所以斜线段SA在底面上的射影为AB，由于DA⊥AB 所以DA⊥SA从而连接BD，易知BD=由于SB⊥BD，所以因此，点评：本题考查三垂线定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．17．（10分）已知tgx=a，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：先用和差化积公式再根据二倍角公式即可化简求值．解答：解：==点评：本题主要考查三角函数的和差化积公式和二倍角公式．三角函数中公式比较多，一定要熟练记忆，能够灵活运用．18．（10分）如图，正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征．专题：计算题．分析：连接AE，说明ED⊥SA，作DF⊥SE，交SE于点F．所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，求出DF，然后求出几何体的体积．解答：解：连接AE，因为△SDE和△ABC都是边长为a的正三角形，并且SE和AE分别是它们的中线，所以SE=AE，从而△SEA为等腰三角形，由于D是SA的中点，所以ED⊥SA．作DF⊥SE，交SE于点F．考虑直角△SDE的面积，得到，所以，，．所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，即．点评：本题是基础题，考查空间想象能力，圆锥的体积的求法，考查计算能力以及发现问题解决问题的能力．19．（12分）给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=（x∈R，且x≠）．证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴；（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．考点：反函数．专题：证明题．分析：（1）欲证经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴，设M1（x1，y1），M2（x2，y2）是这个函数图象上任意两个不同的点，可通过证明任意两个不同的点的直线的斜率恒不为0得到；（2）要证这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形，设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，证明其对称点（y'，x'）也在此函数的图象上即可．解答：解：（1）设M1（x1，y1），M2（x2，y2）是这个函数图象上任意两个不同的点，则x1≠x2，且=，∵a≠1，且x1≠x2，∴y2﹣y1≠0．从而直线M1M2的斜率，因此，直线M1M2不平行于x轴．（2）设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，则x'≠，且y'=（1）易知点P（x'，y'）关于直线y=x的对称点P'的坐标为（y'，x'）由（1）式得y'（ax'﹣1）=x'﹣1，即x'（ay'﹣1）=y'﹣1，（2），即ax'﹣a=ax'﹣1，由此得a=1，与已知矛盾，∴这说明点P'（y'，x'）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．点评：本题主要考查了等价转化能力和数式的运算能力，属于中档题．对（1）也可用反证法或考查平行x轴的直线y=c与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况．由其无交点或恰有一交点，从而得证．对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x对称）．20．（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题：（1）本次测试中，抽取了的学生有多少人？（2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几？．考点：频率分布直方图．专题：压轴题；图表型．分析：（1）由频数直方图的意义，将各组人数相加可得共抽取的学生人数，即答案；（2）读直方图可得：这次测试成绩80分以上的人数，除以总人数即可得优秀率，即答案．解答：解：（1）由频数直方图可知：本次测试中，抽取了的学生有2+3+41+4=50人；（2）这次测试成绩80分以上（含80分）的人数为41+4=45，则优秀率为=90%．故答案为：（1）50人；（2）90%．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．（11分）21、设的大小，并证明你的结论．考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：压轴题．分析：先判断与的大小，再由对数函数的单调性可得到答案．解答：解：当t＞0时，由基本不等式可得，当且仅当t=1时取“=”号∴t≠1时，当0＜a＜1时，y=log a x是单调减函数，∴，即当a＞1时，y=log a x是单调增函数，∴＞，即＞点评：本题主要考查对数函数的单调性，即当底数大于1时函数单调递增，当底数大于0小于1时函数单调递减．。
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1988年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（）A．1B．﹣1 C．i D．﹣i2．（3分）设圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=2，直线L的方程为x+y﹣3=0，点P的坐标为（2，1），那么（）A．点P在直线LB．点P在圆M上，但不在直线L上上，但不在圆M上D．点P既不在直线L上，也不在圆M上C．点P既在圆M上，又在直线L上3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（）A．7个B．8个C．6个D．5个4．（3分）函数y=a x（0＜a＜1）的图象是（）A．B．C．D．5．（3分）已知椭圆方程，那么它的焦距是（）A．6B．3C．D．6．（3分）在复平面内，与复数z=﹣1﹣i的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C1048．（3分）（2014•漳州二模）函数的最小正周期是（）A．B．C．2πD．5π9．（3分）（2014•济南二模）的值等于（）A．B．C．D．10．（3分）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是（ ） A ． B ． C ． a =1 D ． a =﹣ 111．（3分）（2009•湖北）函数的反函数是（ ）A ． B． C ． D ．12．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（ ）A ． 相交直线B ． 平行直线C ． 不互相垂直的异面直线D ． 互相垂直的异面直线13．（3分）函数在闭区间（ ）A ．上是增函数 B ．上是增函数 C ． [﹣π，0]上是增函数D ．上是增函数14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ） A ． C 32C 1973种 B ． C 32C 1973+C 33C1972种C ． C 2005﹣C 1975种D ． C 2005﹣C 31C 1974种 15．（3分）已知二面角α﹣AB ﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tanθ的值等于（ ） A ． B ． C ．D ．二、解答题（共6小题，满分75分） 16．（20分）（1）求复数的模和辐角的主值．（2）解方程9﹣x ﹣2•31﹣x =27． （3）已知，求的值．（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积．（5）求．17．（10分）证明：cos3α=4cos3α﹣3cosα．18．（10分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．19．（11分）在双曲线x2﹣y2=1的右支上求点P（a，b），使该点到直线y=x的距离为．20．（12分）解不等式21．（12分）一个数列{a n}：当n为奇数时，a n=5n+1；当n为偶数时，求这个数列的前2m 项的和（m是正整数）．1988年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（ ）A ． 1B ． ﹣1C ．i D ． ﹣i考点： 复数代数形式的混合运算． 专题： 计算题．分析： 根据复数的计算方法，可得的值，进而可得=（﹣i ）2，可得答案．解答：解：根据复数的计算方法，可得==﹣i ，则=（﹣i ）2=﹣1，故选B ．点评： 本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方．2．（3分）设圆M 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=2，直线L 的方程为x+y ﹣3=0，点P 的坐标为（2，1），那么（ ） A ． 点P 在直线L 上，但不在圆M 上 B ． 点P 在圆M上，但不在直线L 上 C ． 点P 既在圆M 上，又在直线L 上 D ． 点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上考点： 点与圆的位置关系． 分析： 点P 代入直线方程和圆的方程验证即可． 解答： 解：点P 坐标代入直线方程和圆的方程验证，点P 的坐标为（2，1），适合L 的方程，即2+1﹣3=0；点P 的坐标为（2，1），满足圆M 的方程，即（2﹣3）2+（1﹣2）2=2．显然A 、B 、D 不正确． 选项C 正确． 故选C ．点评： 本题是基础题，考查点的坐标适合方程． 3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（ ） A ． 7个 B ． 8个 C ． 6个 D ． 5个考点： 子集与真子集． 分析： 集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 解答： 解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}…{1，2，3}共8个． 故选B ．点评： 本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．4．（3分）函数y=a x（0＜a＜1）的图象是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：题目中条件：“0＜a＜1”，对指数函数的图象走向起着决定性的作用，在此条件下，指数函数是减函数．从而解决问题．解答：解：∵函数y=a x是指数函数，且∵0＜a＜1，∴它的图象过点（0，1），且在R上是减函数．故选B．点评：本题考查指数函数的图象，指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质．5．（3分）已知椭圆方程，那么它的焦距是（）A．6B．3C．D．考点：椭圆的简单性质．分析：已知椭圆方程，我们便可以直接从方程中解读出椭圆中基本参量的数值；然后通过椭圆中a、b、c之间的等量关系，即可解出c，进而得到2c，即该椭圆的焦距．解答：解：依题意得，椭圆的长轴与x轴重合，则有a2=20，b2=11，又∵在任意椭圆中有a2=b2+c2，从而c2=a2﹣b2=20﹣11=9（c＞0），解得c=3．则该椭圆的焦距即2c=2×3=6，故选择A．点评：这道题目是椭圆中的基本题目，考查了椭圆中各个参量的意义以及在方程中相应的相关表示，以及椭圆中重要的基本关系a2=b2+c2．同学们要注意掌握椭圆中的基本知识，这也是对进一步研究椭圆做了铺垫．6．（3分）在复平面内，与复数z=﹣1﹣i的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：注意到共轭复数的特征是实部相等，虚部互为相反数，即可解答．解答：解：=﹣1+i，则所对应的点在第二象限，故选B．点评：本题是对基本概念的考查．7．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C104考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．解答：解：展开式的通项为令10﹣r=6得r=4∴展开式中x6的系数是9C104故选项为D点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．（3分）（2014•漳州二模）函数的最小正周期是（）A．B．C．2πD．5π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：根据T=可得答案．解答：解：T==5π故选D．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．9．（3分）（2014•济南二模）的值等于（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．分析：先根据诱导公式一将角度变为正值，再将角进行缩小．解答：解：∵sin（﹣）=sin（﹣+4π）=sin=sin（）=sin=故选A．点评：本题主要考查运用三角函数的诱导公式化简求值的问题．属基础题．对于三角函数的诱导公式一定要强化记忆．10．（3分）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是（）A．B．C．a=1 D．a=﹣1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．分析：直线平行（不重合）有两种情况：先判断直线有无斜率，有斜率时则斜率相等且不过相同点，无斜率时在x轴上的截距不相等．解答：解：直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合），易知ax+y=a+1有斜率，斜率k=﹣a，直线x+ay=2a+2的斜率为；所以﹣a=；所以a=±1，当a=﹣1时直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1重合，所以a=1故选C点评： 平行的充要条件有斜率和无斜率两种情况，不可漏掉无斜率情况；当然还可用系数之比来解．11．（3分）（2009•湖北）函数的反函数是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 反函数．专题： 计算题．分析： 按照反函数的定义，直接求出函数的反函数．解答：解：可得2xy ﹣y=x ﹣2， 所以把x ，y 互换，它就是原函数的反函数 故选A ．点评： 解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x 、y 换位，2、解：解出y ，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．12．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（ ） A ． 相交直线 B ． 平行直线 C ． 不互相垂直的异面直线 D ． 互相垂直的异面直线考点： 空间中直线与直线之间的位置关系． 分析： 首先由“直线平行于平面，则该直线与平面内任一直线异面”判定A'D'与BB′异面；然后通过A'D'与BB′的夹角是等腰梯形的内角，确定A'D'与BB′不垂直．解答： 解：在正四棱台中，A'D'∥B′C′，又A'D'⊄平面BCC′B′，所以A'D'∥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B′， 所以A'D'与BB′异面；又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′与B′C′不垂直，即BB′与A'D'不垂直． 故选C ．点评： 本题考查异面直线的定义及其夹角．13．（3分）函数在闭区间（ ）A ．B ．上是增函数上是增函数C．[﹣π，0]上是增函数D．上是增函数考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据正弦函数的单调性求出单调区间，然后对选项进行验证即可得到答案．解答：解：令，解得∴原函数的单调增区间为（k∈Z）同理单调减区间为（k∈Z）当k=0时，为增函数故选B．点评：本题主要考查正弦函数的单调性．属基础题．14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A．C32C1973种B．C32C1973+C33C1972种C．C2005﹣C1975种D．C2005﹣C31C1974种考点：组合及组合数公式．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．解答：解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选B．点评：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tanθ的值等于（）A．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题；压轴题．分析：先作CE⊥AB，CD⊥β，连接ED，得到∠CED是二面角α﹣AB﹣β的平面角，在直角三角形CED中求出∠CED的正切值即可．解答：解：如图，作CE⊥AB，CD⊥β，连接ED，由条件可知，∠CED=θ，CD=3，CE=4∴ED=，tan=，故选C点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、解答题（共6小题，满分75分）16．（20分）（1）求复数的模和辐角的主值．（2）解方程9﹣x﹣2•31﹣x=27．（3）已知，求的值．（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积．（5）求．考点：复数的代数表示法及其几何意义；有理数指数幂的运算性质；极限及其运算；三角形的形状判断；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．分析：本题分别涉及到复数，指数方程，三角函数，立体几何，极限等知识体系．解答：解：（1）由题意，|﹣i|=2，又=∴arg（）=（2）设3﹣x=t，（t＞0）则原方程化为t2﹣6t﹣27=0∴t=9或t=﹣3（舍去）即3﹣x=9∴x=﹣2．（3）∵sinθ=，∴tanθ=∴∴tan=﹣3或又∴．（4）如图，由题意，旋转而形成的是以为半径的圆为底形成的同底的两个圆锥．∴．（5）原式==3．点评：本题考查到的知识点比较多，需要综合的能力解决相关问题．17．（10分）证明：cos3α=4cos3α﹣3cosα．考点：三角函数恒等式的证明．分析：把3α化为2α+α的形式，用两角和的余弦公式分解，两边约分，移项，用同角的三角函数关系整理，原式得证，本题可采用分析法来证．解答：解：要证cos3α=4cos3α﹣3cosα成立，只要证cos2αcosα﹣sin2αsinα=4cos3α﹣3cosα成立，只要证cos2α﹣2sin2α=4cos2α﹣3成立，只要证cos2α=2cos2α﹣1成立，而由余弦的二倍角公式知上式成立，故原等式得证．点评：从一边开始证明它等于另一边，一般由繁到简，这类方法的依据是相等关系的传递性“a=b，b=c，则a=c”．证明左、右两边等于同一个式子．这类方法的依据是“等于同量的两个量相等”，即“a=c，b=c，则a=b”，它可由相等关系的传递性及对称性“a=b则b=a”推出．也可用分析法来证．18．（10分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．考点：三垂线定理．专题：作图题；证明题．分析：利用三垂线定理说明DA⊥SA，求出SD，解三角形SAD，即可得到sinα的值．解答：解：因为SB垂直于底面ABCD，所以斜线段SA在底面上的射影为AB，由于DA⊥AB 所以DA⊥SA从而连接BD，易知BD=由于SB⊥BD，所以因此，点评：本题考查三垂线定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．19．（11分）在双曲线x2﹣y2=1的右支上求点P（a，b），使该点到直线y=x的距离为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由题意，点P（a，b）是方程组的解，并且a＞0．求出这个方程组的解即得到点P．解答：解：由题意，点P（a，b）是下述方程组的解：，并且a＞0．由（1）式得a2=1+b2，因为a＞0，所以，从而a＞b，于是由（2）式得a﹣b=2（3）把（3）式代入得（b+2）2﹣b2=1，解得∴所求的点P的坐标为点评：合理运用双曲线的性质，能够准确求解．20．（12分）解不等式考点：对数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：等式可以转化为根据指数函数的单调性进一步可转化为但为了保证式子有意义，对数式的真数部分必须大于0，即故原不等式可转化为不等式组．解答：解：原不等式等价于当x＞0时，上述不等式组变成解得：当x＜0时，上述不等式组变成解得所以原不等式解集为点评：对数不等式，其解法是将不等号两边化为同底的指数式，然后根据相应的指数函数的性质解答，但在解答过程中要注意，要始终保证真数部分的式子大于0，即让真数式有意义．21．（12分）一个数列{a n}：当n为奇数时，a n=5n+1；当n为偶数时，求这个数列的前2m项的和（m是正整数）．考点：数列的求和．专题：压轴题．分析：由题意分析得出这个数列的奇数项是等差数列，偶数项是等比数列，再利用分组求和法求出S2m解答：解：因为a2k+1﹣a2k=[5（2k+1）+1]﹣[5（2k﹣1）+1]=10，﹣1是公差为10的等差数列所以a1，a3，a5，a2m﹣1因为，所以a2，a4，a6，a2m是公比为2的等比数列从而数列{a n}的前2m项和为：S2m=（a1+a3+a5+…+a2m﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2m）=+=5m2+m+2m+1﹣2．点评：本题考查了分段数列及分组求和的相关知识点，属于典型题型，常规方法的考查．。