旋转经典例题
旋转相似经典例题
选择题：
下列哪个图形旋转后能与原图形相似？
A. 等腰三角形
B. 矩形
C. 等边三角形（正确答案）
D. 梯形
一个正方形绕其中心旋转45度后，得到的图形与原图形是什么关系？
A. 全等
B. 相似（正确答案）
C. 既不全等也不相似
D. 无法确定
下列哪个图形绕某一点旋转180度后，能与原图形相似？
A. 平行四边形
B. 等腰直角三角形（正确答案）
C. 菱形
D. 不规则四边形
一个正六边形绕其中心旋转60度后，新图形与原图形的相似比是？
A. 1:2
B. 1:1（正确答案）
C. 2:1
D. 无法确定
下列哪个图形不能通过旋转得到与自身相似的图形？
A. 正五边形
B. 正八边形
C. 正十五边形
D. 任意三角形（正确答案）
一个等边三角形绕其一个顶点旋转120度后，新图形与原图形的关系是？
A. 全等且相似（正确答案）
B. 全等但不相似
C. 相似但不全等
D. 既不全等也不相似
下列哪个图形绕其某一点旋转任意角度后，总能与原图形相似？
A. 圆形（正确答案）
B. 椭圆形
C. 抛物线形
D. 双曲线形
一个正方形绕其一条边的中点旋转90度后，新图形与原图形的关系是？
A. 全等
B. 相似（正确答案）
C. 既不全等也不相似
D. 无法确定
下列哪个图形绕其中心旋转任意非零角度后，总能保持与原图形相似？
A. 正多边形（正确答案）
B. 任意四边形
C. 任意五边形
D. 任意多边形。
中考旋转经典例题
同学们做完这道题，你有什么新的启发？不妨试试口算B´、C´点 的坐标。
解得：点B´坐标是（-3,-6）、点C´坐标是（-4,-2）
总 结：
• 在平面坐标系中，若点A（x,y）关于一点 P（a,b）成中心对称，则点A的对应点A´ 的坐标（2a-x,2b-y）。
若过点A，点A´分别作y轴垂线，轻松得出点A，点A´ 横坐标关于y轴对称，纵坐标关于直线y=-1对称，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则P点横、纵坐标分别是点A，点A´横、纵坐标的中 点坐标。
解：设点A´坐标为（x,y)
x 1 0 2
y 2 1 2
得 x=-1，y=-4
B
A C
-1·P C´
A´
B´
所以：点A´坐标为（-1,-4）
中考数学旋转问题
例1、如图，△ABC三点坐标分别是A（1,2），B（3,4），
C（4,1）;△ABC绕点P（0,-1）旋转180°得△A´B´C´，则
△A´B´C´中A´点的坐标是
.
解析：由题意得△ABC与△A´B´C´关于点P成中心对称， 则点A与其对应点A´点、旋转中心点P三点共线，且对 应点到旋转中心的距离相等（即AP=A´P），如图。
初中旋转试题及答案
初中旋转试题及答案在初中数学的学习中，旋转是一个重要的几何概念。
它涉及到图形的平移、旋转和缩放等变换。
以下是一份初中旋转试题及答案，旨在帮助学生掌握旋转的基本概念和计算方法。
试题一：一个点A(3,4)绕原点O(0,0)顺时针旋转90度后，点A的新坐标是什么？答案：当一个点绕原点顺时针旋转90度时，它的坐标会互换并改变符号。
因此，点A(3,4)旋转后的新坐标为(4,-3)。
试题二：一个矩形ABCD，其中A(1,2)，B(5,2)，C(5,6)，D(1,6)，绕点A顺时针旋转90度后，矩形的新位置是什么？答案：矩形ABCD绕点A顺时针旋转90度后，点B(5,2)变为(2,5)，点C(5,6)变为(6,5)，点D(1,6)变为(6,1)。
因此，旋转后的矩形顶点坐标为A(1,2)，B(2,5)，C(6,5)，D(6,1)。
试题三：一个等边三角形，顶点分别为E(0,0)，F(3,0)，G(1.5,3)，绕点E逆时针旋转120度后，三角形的新位置是什么？答案：等边三角形EFG绕点E逆时针旋转120度后，点F(3,0)变为(0,3)，点G(1.5,3)变为(-1.5,1.5)。
因此，旋转后的等边三角形顶点坐标为E(0,0)，F(0,3)，G(-1.5,1.5)。
试题四：一个圆心在H(4,4)的圆，半径为5，绕点H逆时针旋转45度后，圆的位置会如何变化？答案：圆心H(4,4)的圆绕圆心逆时针旋转45度后，圆的位置不会改变，因为旋转是围绕圆心进行的。
圆心坐标仍然是H(4,4)，半径仍然是5。
试题五：一个正方形IJKL，其中I(2,1)，J(3,1)，K(3,2)，L(2,2)，绕点I逆时针旋转45度后，正方形的新位置是什么？答案：正方形IJKL绕点I逆时针旋转45度后，点J(3,1)变为(2.707,0.707)，点K(3,2)变为(2,2.414)，点L(2,2)变为(1.293,1.707)。
因此，旋转后的正方形顶点坐标为I(2,1)，J(2.707,0.707)，K(2,2.414)，L(1.293,1.707)。
旋转 典型例题(精品解析)
典型例题一例 如图，以点O 为旋转中心，将ABC ∆顺时针旋转45°，画出图形．分析 当旋转中心O 在图形之外时，O 是一个孤立的点，没有从O 出发的线段或射线作参照，就无法确定旋转的角度，因此，首先还须将O 与图形上的某点（或某些点）连结起来．解 如图，连结OA 、OB 、OC ．将这三条线段绕O 点分别顺时针旋转45°，得C O B O A O '''、、，则C B A '''∆就是按题目要求得到的旋转后的图形．说明： 图形旋转后的效果有时不像平移那样直观，画图出现错误时可能不易发现，因此画图时要特别细心．典型例题二例 如图，正方形ABCD 中，E 是正方形内的一点，把AED ∆绕着点A 按逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形，并回答：（1）图中有哪些等线段和等角？（2）哪两个三角形形状、大小都一样？分析 一个图形绕它的对称中心旋转一个角度后，图形中的每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度．本例中可以发现AD 旋转90°后，刚好与AB 重合，于是将AE 旋转90°到E A '的位置，使︒='∠90E EA ，确定点E '，连E B '，则E AB '∆就是ADE ∆按要求旋转的三角形．（1）（2）中，根据图形旋转的特征，图形从一个位置旋转到另一个位置，形状和大小都没有改变，可确定相等的线段、相等的角以及形状相同的三角形．答案 （1）相等的线段有：E B DE E A AE CD BC AB AD '='====,,．相等的角有：E E E AB ADE E BA DAE '∠=∠'∠=∠'∠=∠,,．（2）ADE ∆与E AB '∆的形状和大小都一样．典型例题三例 如图，把一块砖ABCD 直立于地面上，然后将其轻轻推倒．在这个过程中，A 点保持不动，四边形ABCD 旋转到B C D A '''位置．（1）指出在这个过程中的旋转中心，并说出旋转的角度是多大？（2）指出图中的对应线段．分析（1）由于四边形B C D A '''是由四边形ADCB 旋转得到的，A 点保持不动，所以A 是旋转中心．又由于D A B ',,三点在一条直线上，且AB AD ⊥，所以旋转的角度是90°．（2）由于D C B A ,,,的对应点分别是D C B A ''',,,，所以不难找出图中的对应线段．答案 （1）A 是旋转中心，旋转的角度是90°．（2）CD BC AD AB ,,,的对应线段分别是D C C B D A B A '''''',,,．典型例题四例 （1）把长方形ABCD 绕着顶点A 逆时针旋转60°．如图．（2）把长方形ABCD 绕着长方形内一点P 逆时针旋转60°．解 （1）①AB 绕A 点逆时针旋转60°到B A '位置，.,60AB B A AB B ='︒='∠②连结AC ，作.,60AC C A AC C ='︒='∠③作.,60AD D A AD D ='︒='∠连结B C C D '''',，则四边形D C B A '''是四边形ABCD 逆时针旋转60°得到的图形．（2）①连结AP ，作︒='∠60PA A ，使.AP P A ='②用同样的方法作出D C B '''、、，连结A D D C C B B A ''''''''、、、．则四边形D C B A ''''是四边形ABCD 绕P 点逆时针旋转60°得到的图形．典型例题五例 画一个三角形，使通过这个三角形的旋转得到一个正六边形，指出这是一个什么三角形、旋转中心和每次旋转的角度、需要旋转多少次才能完成这个图形．分析 这个题目给了我们一个由三角形制作正多边形的方法．解 给出的三角形应该是正三角形，可以以它的任一个顶点为旋转中心，每次旋转60°，旋转六次便可完成这个图形．说明： 利用这个方法，可以画出任意边数的正多边形．请想一下，画正n 边形应该使用什么样的三角形？怎样旋转呢？典型例题六例 把8个同样大小的等腰梯形拼成如图所示的图形．（1）找出它的旋转中心．（2）当它旋转多少度后与自身重合．分析 （1）从图中可以看出，这八个等腰梯形的八个顶点H G F E D C B A ,,,,,,,恰好在同一个圆周上，该图形的旋转中心就是各顶点所在圆的圆心．因此只要把任意两腰延长，它们的延长线的交点就是旋转中心．（2）这八个等腰梯形将圆周八等分，因此，它只要旋转︒=︒458360后就能与自身重合． 答案 （1）任意延长任何梯形的两腰，这两腰延长线的交点就是旋转中心．（2）旋转的角度是45°．典型例题七例 找出下列图形中的旋转中心，旋转角以及旋转的“基本图案”。
旋转练习题
旋转练习题一、选择题1. 一个点绕原点旋转30度后，其坐标变化情况是：A. 坐标不变B. 坐标变为原来的相反数C. 坐标变为原来的两倍D. 坐标变为原来的一半2. 在二维平面上，一个矩形绕其中心点旋转90度后，其形状和大小：A. 发生变化B. 不发生变化C. 形状变化，大小不变D. 形状不变，大小变化3. 一个圆绕其圆心旋转任意角度，其：A. 形状和大小都不变B. 形状不变，大小变化C. 形状变化，大小不变D. 形状和大小都变化4. 一个物体在空间中绕一个轴旋转，其旋转的轨迹是：A. 直线B. 曲线C. 圆D. 椭圆5. 如果一个物体绕一个点旋转180度，其最终位置：A. 与初始位置重合B. 在初始位置的对面C. 在初始位置的旁边D. 在初始位置的上方或下方二、填空题6. 一个点P(x, y)绕原点O(0, 0)顺时针旋转θ度后，新坐标为\( (x', y') \)，其中\( x' = x \cdot \cos(\theta) - y \cdot\sin(\theta) \)，\( y' = \) ________。
7. 在三维空间中，一个物体绕z轴旋转，其旋转矩阵为：\[ R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]8. 若一个物体绕x轴旋转，其旋转矩阵为：\[ R_x(\phi) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\phi) & -\sin(\phi) \\ 0 & \sin(\phi) & \cos(\phi) \end{bmatrix} \]9. 一个物体绕y轴旋转，其旋转矩阵为：\[ R_y(\psi) = \begin{bmatrix} \cos(\psi) & 0 & \sin(\psi) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\psi) & 0 & \cos(\psi) \end{bmatrix} \]10. 一个物体绕任意轴旋转，其旋转矩阵可以由两个已知旋转矩阵的乘积得到，例如绕z轴旋转θ度后再绕x轴旋转φ度，旋转矩阵为\( R_{zx} = R_x(\phi) \cdot R_z(\theta) \)。
九年级数学上册第二十三章旋转经典大题例题(带答案)
九年级数学上册第二十三章旋转经典大题例题单选题1、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD=DC=1AC=2√22∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵OA2=OD2+AD2∴(4−x)2=x2+(2√2)2，解得x=1∴BC=2OD=2x=2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．2、如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（）A．②③④B．③④⑤C．②④⑤D．②③⑤答案：C分析：根据旋转变换及全等图形的定义对应边相等，对应角相等的图形是全等图形对个图进行一一分析判断即可解：②以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后，两个实线图形刚好重合，③中为平行四边形，而①中为梯形，所以不能和①中图形完全重合，④可上下反转成②的情况，然后旋转可和①中图形完全重合，⑤可旋转180°后可和①中图形完全重合，∴与①中由实线围成的图形全等的有②④⑤．故选择C．小提示：本题考查多边形全等的判定，掌握全等图形的定义，关键是会通过图形的旋转使它们全等．3、在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（）A．﹣4B．4C．12D．﹣12答案：D分析：首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a+2+4=0,2−b=0，可得a，b的值，再代入求解即可得到答案．解：∵点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），∴a+2+4=0,2−b=0，解得：a=−6,b=2,∴ab=−12,故选D小提示：本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数．4、如图，△OAB中，∠AOB=60°，OA=4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（）A．（7，3√3）B．（7，5）C．（5√3，5）D．（5√3，3√3）答案：A分析：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．证明△AOC是等边三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得结论．解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．∵B（6，0），∴OB=6，由旋转的性质可知AO=AC=4，OB=CD=6，∠ACD=∠AOB=60°，∵∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC=OA=4，∠ACO=60°，∴∠DCE=60°，∴CE=1CD=3，DE=√CD2−CE2=3√3，2∴OE=OC+CE=4+3=7，∴D（7，3√3），故选：A．小提示：本题考查了旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质．5、如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种答案：C分析：根据轴对称图形的概念，找到对称轴即可得答案．解：如下图，∵图形是轴对称图形，对称轴是直线AB，∴把1、2、3三个正方形涂黑，与原来涂黑的小正方形组成的新图案仍然是轴对称图形，故选：C．小提示：本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是找到对称轴．6、连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分∠CHEC．整个图形不是中心对称图形D．△CEH是等边三角形答案：D分析：根据正八边形和圆的性质进行解答即可．解：A．∵根据正八边形的性质，四边形ABCH与四边形EFGH能够完全重合，即四边形ABCH与四边形EFGH 全等∴四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等，故选项正确，不符合题意；B．连接DH，如图1，∵正八边形是轴对称图形，直线HD是对称轴，∴HD平分∠CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，∠DOE＝360°=45°8∵OE＝OH∠DOE＝22.5°∴∠OEH＝∠OHE＝12∴∠CHE＝2∠OHE＝45°∴∠HCE＝∠HEC＝1（180°－∠CHE）＝67.5°2∴△CEH不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D．小提示：本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．7、平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(−5,1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转90°得OB，则点B 的坐标为（）A．(−5,1)B．(−1,−5)C．(−5,−1)D．(−1,5)答案：B分析：根据题意证得△AOC≌△OBD，可得结论．解：如图，根据题意得∶∠AOB=90°，∠ACO=∠BDO=90°，OA=OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，∴△AOC≌△OBD，∴BD=OC，OD=AC，∵点A的坐标为(−5,1)，∴BD=OC=1，OD=AC=5，∴B(−1,−5)．故选：B．小提示：本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．8、如图，正方形OABC的边长为√2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．(−√2,0)B．(−√2,0)C．(0,√2)D．(0,2)答案：D分析：连接OB，由正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，推出∠A1OB1=45°，得到△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，利用勾股定理求出O B1即可．解：连接OB，∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，∴∠AOA1=45°，∠AOB=45°，∴∠A1OB1=45°，∴△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，∵∠B1A1O=90°,A1B1=OA1=√2，∴OB1=√A1B12+OA12=√2+2=2，∴B1（0，2），故选：D．小提示：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质．关键是根据旋转角证明点B1在y轴上．9、在平面直角坐标系中，点(3,2)关于原点对称的点的坐标是（）A．(2,3)B．(−3,2)C．(−3,−2)D．(−2,−3)答案：C分析：根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),故选C．小提示：本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识．10、已知两点M1(x1,y1),M2(x2,y2)，若x1+x2=0,y1+y2=0，则点M1与M2（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对答案：C分析：首先利用等式求出x1=−x2,y1=−y2,然后可以根据横纵坐标的关系得出结果．∵x1+x2=0,y1+y2=0，∴x1=−x2,y1=−y2,∵两点M1(x1,y1),M2(x2,y2)，∴点M1与M2关于原点对称，故选：C．小提示：本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点M1与M2横纵坐标的关系是解题关键．填空题11、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB=5，BC=9，则BD=______．答案：√106分析：连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE=BC=9，∠CBE=60°，从而有∠ABE=90°，然后利用勾股定理计算出AE即可．解：连接BE，如图，∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，∴∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，∴△BCE为等边三角形，∴BE=BC=9，∠CBE=60°，∵∠ABC=30°，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，AE=√52+92=√106．所以答案是：√106．小提示：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．12、以原点为中心，把M(3,4)逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为______．答案：(−4,3)分析：建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得出N点坐标，由此即可得出答案．解：如图：由旋转的性质可得：M点横坐标等于N点纵坐标的值，M点纵坐标的值等于N点横坐标的绝对值，又∵M（3，4），∴N（-4，3），所以答案是：（-4，3）．小提示：此题考查有关点的坐标旋转的性质，结合坐标轴和旋转的特点确定坐标即可．13、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．答案：2分析：点F 运动所形成的图象是一条直线，当OF ⊥F 1F 2时，垂线段OF 最短，当点F 1在x 轴上时，由勾股定理得：P 1O =F 1O =4√33，进而得P 1A =P 1F 1=AF 1=8√33，求得点F 1的坐标为(4√33,0)，当点F 2在y 轴上时，求得点F 2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线F 1F 2的解析式为y =√3x -4，再由线段中垂线性质得出F 1F 2=AF 1=8√33，在Rt △OF 1F 2中，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则根据面积法得12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×ℎ，即12×4√33×4=12×8√33×ℎ，解得h =2，根据垂线段最短，即可得到线段OF 的最小值为2．解：∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转60°得到线段PF ，∴∠APF =60°，PF =PA ，∴△APF 是等边三角形，∴AP =AF ，如图，当点F 1在x 轴上时，△P 1AF 1为等边三角形，则P 1A =P 1F 1=AF 1，∠AP 1F 1=60°，∵AO ⊥P 1F 1，∴P 1O =F 1O ，∠AOP 1=90°，∴∠P 1AO =30°，且AO =4，由勾股定理得：P 1O =F 1O =4√33， ∴P 1A =P 1F 1=AF 1=8√33， ∴点F 1的坐标为(4√33,0)， 如图，当点F 2在y 轴上时，∵△P 2AF 2为等边三角形，AO ⊥P 2O ，∴AO =F 2O =4，∴点F 2的坐标为（0，-4），∵tan∠OF 1F 2=OF 2OF 1=4√33=√3，∴∠OF 1F 2=60°，∴点F 运动所形成的图象是一条直线，∴当OF ⊥F 1F 2时，线段OF 最短，设直线F 1F 2的解析式为y =kx +b ， 则{4√33k +b =0b =−4，解得{k =√3b =−4， ∴直线F 1F 2的解析式为y =√3x -4，∵AO =F 2O =4，AO ⊥P 1F 1，∴F 1F 2=AF 1=8√33， 在Rt △OF 1F 2中，OF ⊥F 1F 2，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×ℎ，∴12×4√33×4=12×8√33×ℎ，解得h =2，即线段OF的最小值为2，故答案为2．小提示：本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．14、已知点P(m−2,m)关于原点对称的点在第三象限，则m的取值范围是_______．答案：m>2分析：根据关于原点对称的点的性质可得点P在第一象限，进而得出不等式组，再解不等式组即可．解：∵点P（m−2，m）关于原点对称的点在第三象限，∴点P（m−2，m）在第一象限，∴{m−2>0，m>0解得：m＞2，所以答案是：m＞2．小提示：此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解一元一次不等式组，关键是掌握各象限内点的坐标符号．15、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△AB，则线段B1D的长度为______．A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，OD=12答案：1.5cm##3cm2分析：先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB＝5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出ODAB＝2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1＝OB＝4cm，则问题得解．＝12∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，∴AB＝√OA2+OB2＝5cm，∴OD＝1AB＝2.5cm，2∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1＝OB＝4cm，∴B1D＝OB1-OD＝1.5cm．所以答案是：1.5cm．小提示：本题主要考查勾股定理和直角三角形的性质以及图形旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．解答题16、如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．答案：（1）画图见解析，（2）画图见解析分析：（1）分别确定A,B向右平移4个单位后的对应点A1,B1，再连接A1B1即可；（2）分别确定A,B绕原点O旋转180°后的对应点A2,B2，再连接A2B2即可.解：（1）如图，线段A1B1即为所求作的线段，（2）如图，线段A2B2即为所求作的线段，小提示：本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键. 17、如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形．(1)写出△OAB各顶点的坐标；(2)以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，写出A′，B′的坐标．答案：(1)A（-2，0），B（-1，√3），C（0，0）(2)A′（−1,√3），B′（1,√3）分析：（1）作高线BC，根据等边三角形的性质和勾股定理求OC和BC的长，写出三点的坐标，注意象限的符号问题；（2）如图2，由旋转可知：A′与B重合，B与B′关于y轴对称，可得：A′，B′的坐标．（1）解：如图1，过B作BC⊥OA于C，∵△AOB是等边三角形，且OA=2，OA=1，∴OC=12由勾股定理得：BC=√22−12=√3，∴A(−2，0)，B(−1，√3)，O(0，0)；（2）解：如图2，∵∠AOB=60°，OA=OB，∴A′与B重合，∴A′(−1，√3)，由旋转得：∠BOB′=60°，OB=OB′，∵∠AOD=90°，∴∠BOD=30°，∴∠DOB′=30°，∴BB′⊥OD，DB=DB′，∴B′(1，√3)．小提示：本题考查了坐标与图形变换、等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转和等边三角形的性质是关键，并注意点所在象限的符号问题．18、如图，一伞状图形，已知∠AOB=120°，点P是∠AOB角平分线上一点，且OP=2，∠MPN=60°，PM与OB交于点F，PN与OA交于点E．(1)如图一，当PN与PO重合时，探索PE，PF的数量关系(2)如图二，将∠MPN在(1)的情形下绕点P逆时针旋转α度(0<α<60°)，继续探索PE，PF的数量关系，并求四边形OEPF的面积．答案：（1）PE＝PF，证明详见解析；（2）PE＝PF，√3分析：（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF是等边三角形，得到PE=PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=√3，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：（1）∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，∴∠POF＝60°，∵∠MPN＝60°，∴∠MPN＝∠FOP＝60°，∴ΔPEF是等边三角形，∴PE＝PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，∵OP平分∠AOB，∴PQ＝PH，∠PQO＝∠PHO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠QPH＝60°，∴∠QPE+∠FPH+∠EPH，∴∠QPE＝∠EPF，在ΔQPE与ΔHPF中{∠EQP=∠FHP ∠QPE=∠HPFPQ=PH，∴ΔQPE≌ΔHPF（AAS），∴PE＝PF，S四边形OEPF ＝S四边形OQPH，∵PQ⊥OA，PH⊥OB，OP平分∠AOB，∴∠QPO＝30°，∴OQ＝1，QP＝√22−12＝√3，∴SΔOPQ＝12×1×√3＝√32，∴四边形OEPF的面积＝2SΔOPQ＝√3小提示：本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．。
旋转求阴影面积经典例题
旋转求阴影面积经典例题1. 哇塞，来看这道题呀！有个圆形被分成了好多部分，然后其中一部分旋转起来，形成的阴影可复杂啦！就像在玩拼图游戏一样，你能算出那阴影面积吗？比如这个圆的半径是 5 厘米，那阴影面积会是多少呢？2. 嘿，这道题可有意思啦！一个正方形里有个图形在旋转，产生的阴影让人摸不着头脑，这不是跟走迷宫似的嘛！像那个正方形边长是 8 分米，你来挑战下算出阴影面积呀！3. 哎呀呀，这道经典例题可难倒我啦！一个三角形在那转呀转，弄出的阴影面积可不好算哟！这简直就像解一个超级大谜团！要是这个三角形底是6 米，高是 4 米，你能搞定阴影面积不？4. 哇哦，瞧瞧这道题！一个扇形在那旋转，产生的阴影好奇怪呀！就如同天空中变幻的云朵一样让人好奇。
那要是扇形的圆心角是 60 度，半径是3 厘米，谁能算出那神秘的阴影面积呢？5. 哈哈，这道题太特别啦！一个图形旋转后出现的阴影，简直就像变魔术一样！好比一个圆形和一个长方形组合起来，然后旋转，那阴影面积会给我们带来怎样的惊喜呢？要是圆形直径是 4 厘米，长方形长是 6 厘米宽是2 厘米，你来试试呗！6. 哟呵，这道旋转求阴影面积的题可不简单呐！就像攀登一座高峰一样有挑战性！比如有个不规则图形在旋转，那阴影面积得费点脑筋了吧！要是这个不规则图形有好多边和角，你敢挑战吗？7. 哇，这道例题可真让人兴奋呀！一个图形转呀转，阴影面积可不好找呢！这不就是在大海里捞针嘛！像有个图形是由几个半圆组成的，然后旋转，那阴影面积会是怎样的呢？要是半圆半径分别是 2 厘米和 3 厘米，快来算算呀！8. 嘿嘿，这道题有趣吧！一个图形旋转产生的阴影，就好像隐藏在森林里的宝藏一样等你去发现！要是有个梯形在旋转，那阴影面积得怎么算呢？比如梯形上底 3 厘米下底 5 厘米高 4 厘米，能算出那神秘的阴影面积吗？9. 哎呀，这道旋转求阴影面积的题真的好特别呀！就像夜空中一颗独特的星星一样吸引人！像有个菱形在旋转，那阴影面积可不好琢磨呀！要是菱形对角线分别是 6 厘米和 8 厘米，你来试试看能不能算出呀！10. 哇塞，最后这道题啦！一个图形旋转后带来的阴影，简直太神奇啦！就如同打开一个神秘的盒子一样让人期待。
旋转练习题集锦(含答案)
旋转练习题集锦（含答案）一、作图题1、如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个和一点O，的顶点和点O均与小正方形的顶点重合．（1）在方格纸中，将△ABC向下平移5个单位长度得到，请画出；（2）在方格纸中，将△ABC绕点O旋转180°得到，请画出。
二、简答题2、如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、．（1）请直接写出点关于轴对称的点的坐标；（2）将绕坐标原点逆时针旋转90°．画出图形，直接写出点的对应点的坐标；（3）请直接写出：以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．三、选择题3、如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转900得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为【】（A）（2，2）（B）（2，4）(C)（4，2） (D)（1，2）4、将图按顺时针方向旋转90°后得到的是( )5、在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如上图中的△ABC称为格点△ABC．现将图中△ABC绕点A顺时针旋转，并将其边长扩大为原来的2倍，则变形后点B的对应点所在的位置是（）A．甲 B．乙C．丙 D．丁6、下图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（）A．60° B．90° C．120°D．180°7、在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是 ( )8、下面四个图案中，是旋转对称图形的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9、下列运动是属于旋转的是( )A．电梯的上下运动 B．火车的运动C．钟表中分针的运动 D．升国旗时，国旗的徐徐运动10、如图所示，将其中的图甲变成图乙，可经过的变换是( )A．旋转、平移 B．平移、对称 C．旋转、对称 D．不能确定11、如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72° B．108° C．144° D．216°12、如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD’的位置，则∠ADD’的度数是( )A．25° B．30° C．35°D．45°13、如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而成的，则每次旋转的度数最小是( )A．90° B．60° C．45°D．30°14、如图，经过平移或旋转不可能将图甲变为图乙的是（）15、下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．菱形B．等边三角形 C．等腰三角形D．平行四边形16、如图所示，可由一个“基本图案”旋转l80°而形成的是（）A B CD17、已知，将点A1（6，1）向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转湖A3的坐标为（）A．（－2，1） B．（1，1） C．（－1，1） D．（5，1）18、下图是一张边被裁直的白纸，把一边折叠后，BC、BD为折痕，、、B在同一直线上，则∠CBD的度数（）A．不能确定B．大于C．小于 D．等于四、计算题19、将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片和．将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点．（1）当旋转至如图②位置，点，在同一直线上时，与的数量关系是．（2）当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在图③中，连接，探索与之间有怎样的位置关系，并证明．20、如图所示，左边方格纸中每个正方形的边长均为a，右边方格纸中每个正方形的边长均为b，将左边方格纸中的图形顺时针旋转90°，并按b:a的比例画在右边方格纸中．21、点B．C．E在同一直线上，点A．D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。
旋转练习题及答案
旋转练习题及答案旋转是几何学中的一个重要概念，它描述了物体在空间中绕着一个固定点或轴线进行的转动。
以下是一些关于旋转的练习题及相应的答案。
练习题1：在平面直角坐标系中，点P(3,4)绕原点O(0,0)顺时针旋转90度后，求新的位置坐标。
答案1：点P绕原点顺时针旋转90度后，其新位置坐标为(-4,3)。
练习题2：已知一个矩形ABCD，其中A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)。
求矩形绕点A顺时针旋转30度后，各顶点的新坐标。
答案2：旋转后，各顶点的新坐标为A'(0,0)，B'(2,2√3)，C'(2,-2√3)，D'(-2,-3)。
练习题3：一个圆心在原点，半径为5的圆，绕原点顺时针旋转45度后，求圆上任意一点P(x,y)的新坐标。
答案3：设点P的极坐标为(r,θ)，其中r=5，θ为点P与x轴正方向的夹角。
旋转45度后，新的角度为θ' = θ + 45°。
使用极坐标到直角坐标的转换公式，新坐标为：\[ x' = r \cdot \cos(\theta') \]\[ y' = r \cdot \sin(\theta') \]练习题4：在三维空间中，一个立方体的顶点A(1,1,1)绕通过原点O(0,0,0)且与x轴平行的直线旋转60度后，求新的位置坐标。
答案4：由于旋转轴与x轴平行，所以A点在x轴上的坐标不变，即x'=1。
y 和z坐标将根据旋转矩阵进行变换：\[ y' = y \cdot \cos(60°) - z \cdot \sin(60°) \]\[ z' = y \cdot \sin(60°) + z \cdot \cos(60°) \]代入数值计算得：\[ y' = 1 \cdot \cos(60°) - 1 \cdot \sin(60°) \]\[ z' = 1 \cdot \sin(60°) + 1 \cdot \cos(60°) \]\[ y' = -1/2, z' = 3/2 \]所以新坐标为A'(1, -1/2, 3/2)。
旋转专项练习题
旋转专项练习题在几何学中，旋转是一种常见的变换操作，它可以将一个图形沿着中心点或轴线旋转一定角度。
通过多次练习旋转操作，不仅可以锻炼我们的思维能力，还能够提高我们的几何学知识。
本文将为您提供一些旋转专项练习题，帮助您巩固和拓展相关知识。
题目一：旋转矩形对于给定的矩形ABCD，中心点为O，若将该矩形按顺时针方向绕O点旋转90度，求旋转后各点的坐标。
解析：根据旋转规则，顺时针旋转90度可以理解为每个点的坐标绕O点逆时针旋转90度。
已知矩形ABCD的坐标如下：A(0, 0) B(4, 0) C(4, 2) D(0, 2)根据旋转规则，逆时针旋转90度后的坐标为：A'(-0, 0) B'(0, -4) C'(-2, -4) D'(-2, 0)题目二：旋转三角形对于给定的三角形ABC，中心点为O，若将该三角形按逆时针方向绕O点旋转180度，求旋转后各点的坐标。
解析：根据旋转规则，逆时针旋转180度可以理解为每个点的坐标绕O点旋转180度。
已知三角形ABC的坐标如下：A(0, 0) B(4, 0) C(2, 3)根据旋转规则，旋转180度后的坐标为：A'(0, 0) B'(-4, 0) C'(-2, -3)题目三：旋转正方形对于给定的正方形ABCD，中心点为O，若将该正方形按逆时针方向绕O点旋转270度，求旋转后各点的坐标。
解析：根据旋转规则，逆时针旋转270度可以理解为每个点的坐标绕O点逆时针旋转270度。
已知正方形ABCD的坐标如下：A(0, 0) B(4, 0) C(4, 4) D(0, 4)根据旋转规则，逆时针旋转270度后的坐标为：A'(0, 0) B'(0, 4) C'(-4, 4) D'(-4, 0)题目四：旋转圆形对于给定的圆形O，若将该圆形按逆时针方向绕O点旋转45度，求旋转后各点的坐标。
解析：由于圆形的每个点到中心点的距离都相等，因此旋转后每个点的坐标仍然是相对于中心点O的极坐标系。
旋转测试题及答案
旋转测试题及答案一、选择题1. 一个物体绕着一个固定点旋转，这个固定点被称为什么？A. 旋转中心B. 旋转轴C. 旋转半径D. 旋转角答案：A2. 如果一个物体绕着一个点旋转了180度，这个物体的状态是：A. 完全翻转B. 回到原位C. 位置不变D. 无法确定答案：B3. 在平面几何中，一个点绕原点旋转90度后，其坐标的变化是：A. 坐标不变B. 坐标变为原来的相反数C. 横坐标变为纵坐标，纵坐标变为横坐标的相反数D. 横坐标变为纵坐标的相反数，纵坐标变为横坐标答案：C二、填空题4. 旋转对称图形在旋转一定角度后，图形的______不变。
答案：形状和大小5. 一个物体在平面上绕一点旋转，如果旋转角度为360度，物体将______。
答案：回到原位三、简答题6. 描述一个物体绕着一个点旋转的过程，并说明旋转的性质。
答案：一个物体绕着一个点旋转的过程是物体的每一个点都以旋转点为中心，按照相同的旋转角度进行移动。
旋转的性质包括旋转的方向（顺时针或逆时针）、旋转的角度以及旋转的中心点。
旋转后，物体上各点到旋转中心的距离保持不变，形状和大小也保持不变。
四、计算题7. 如果一个点P(x, y)绕原点(0, 0)顺时针旋转90度，求旋转后点P 的新坐标。
答案：旋转后点P的新坐标为(-y, x)。
五、论述题8. 论述旋转在日常生活中的应用，并给出至少两个例子。
答案：旋转在日常生活中有广泛的应用。
例如：- 门的开关：门围绕门轴的旋转使得我们可以打开或关闭门。
- 风力发电机：风力发电机的叶片围绕中心轴旋转，将风能转换为电能。
六、绘图题9. 给定一个正方形ABCD，点A位于(0, 0)，点B位于(1, 0)，点C位于(1, 1)，点D位于(0, 1)。
请画出正方形绕点A顺时针旋转45度后的图形。
答案：[绘图题，答案需要根据旋转的几何规则进行作图，此处不提供具体图形，考生需自行绘制]。
数学中考压轴题旋转问题(经典) 答案版
旋转拔高练习一、选择题1. （广东）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】A ．πB ．34π D ．1112π 1、【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA 1、 BCD 和△ACD 计算即可：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，∴BC=12AB=1，∠B=90°－∠BAC=60°。
∴AC =∴ABC 1S BC AC 22∆=⨯⨯=B 扫过的路线与AB 的交点为D ，连接CD ，∵BC=DC，∴△BCD 是等边三角形。
∴BD=CD=1。
∴点D 是AB 的中点。
∴ACD ABC 11S S 22∆∆==S 。
∴1ACD ACA BCD ABC S S S ∆∆=++扇形扇形的面扫过积26013113604612ππππ⨯⨯++=+= 故选D 。
2. （湖北）如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④AOBO S 四形边⑤AOC AOB SS+=．其中正确的结论是【 】 A ．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 2【分析】∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。
∵线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO=BO′，∠O′AO=600。
∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA。
∴△BO′A≌△BOC。
∴△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到。
故结论①正确。
连接OO′，∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形。
旋转相似经典例题
旋转与全等、相似中的线段数量关系基本例题：1、如图，△ABC 中，∠C ＝90°.（1)将△ABC 绕点B 逆时针旋转90，画出旋转后的三角形；（2）若BC ＝3,AC ＝4，点A 旋转后的对应点为A′，求A′A 的长变式1，如图 Rt △AB'C'是由Rt △ABC ，绕点A 顺时针旋转得到的，连接C C’交AB 于E ， (1) 证明：△CA C’∽△BA B’(2) 延长C C’交B B'于F ，证明:△CA E ∽△FBE变式2,△ABC 绕点B 逆时针旋转90°得到△DBE ，若恰好得到C 、E 、D 三点共线，则AC 、BC 、CD 的数量关系是变式3,△ABC 绕点B 逆时针旋转a °得到△DBE ，若恰好得到C 、E 、D 三点共线，则AC 、BC 、CD 的数量关系是变式4、Rt △ABC 中，AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD ，求：AD 、CD 、BD 的数量关系EB'C'CA E DBACEBA C变式5、Rt △ABC 中，AC=kBC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,探究：AD 、CD 、BD 的数量关系变式6、如图，在△OAB 和△OCD 中,∠A ＜90°，OB=KOD （K ＞1），∠AOB=∠COD ，∠OAB 与∠OCD 互补，试探索线段AB 与CD 的数量关系，并证明你的结论。
变式7.如图AB ∥CD ,BC ∥ED ， ∠BCD+∠ACE=180°。
(1）当BC=CD 且∠ACE=90°时 如图3探究线段AC 和CE 之间的数量关系 (2)当BC=CD 时如图2探究线段AC 和CE 之间的数量关系(3)当BC=kCD 时如图1探究线段AC 和CE 之间的数量关系（用含k 的式子表示)80中田凌志老师提供1如图R t △ABC,∠ACB=90°,AC=3，BC=4，过点B 作直线MN ∥AC ，点P 在直线BC 上，∠EPF=∠CAB ，且两边分别交直线AB 于E ，交直线MN 于F 。
旋转经典例题
解：如图，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长， 此时θ=∠ACA′=120°， ∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°， ∴A′C=AC=1/2 A1/2 A′B′=2，EC=1/2×2=1， ∴EP=EC+CP=1+2=3． 故答案为：120；3．
例3：如图（1），P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3 （1）∠APB=______． （2）求此正方形ABCD面积。
（1） （2）
（3）
解：如图（2）将△APB绕B点顺时针旋转90° 并连接PE， ∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BEC， ∴△BEC≌△BPA，∠APB=∠BEC， ∴△BEP为等腰直角三角形， ∴∠BEP=45°， ∵PB=2， ∴PE=2 2 ∵PC=3，CE=PA=1， ∴PC 2=PE 2+CE 2 ， ∴∠PEC=90°， ∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．
例2：如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°， ∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60° 得△ADC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形； （2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC， ∴CO=CD，∠OCD=60°， ∴△COD是等边三角形． （2）答：当α=150°时，△AOD是直角三角形． 理由是：∵△BOC≌△ADC， ∴∠ADC=∠BOC=150°， 又∵△COD是等边三角形， ∴∠ODC=60°， ∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°， 即△AOD是直角三角形． （3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO， ∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°， ∴190°﹣α=α﹣60°， ∴α=125°； ②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO． ∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°， ∴α﹣60°=50°， ∴α=110°； ③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD． ∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α， ∠AOD==120°﹣， ∴190°﹣α=120°﹣， 解得α=140°． 综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
专题01与旋转有关的计算(30题)(原卷版)
专题第01讲与旋转有关的计算1．（2023春•秦都区期末）如图，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接DE、AD．（1）求证：AD＝CE；（2）若BC＝8cm，BE＝7cm，求△ADE的周长．2．（2023春•北林区期末）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．（1）求证：EF＝EQ；（2）求证：EF2＝BE2+DF2．3．（2022秋•同心县期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．4．（2023春•清远期末）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：BC＝EF；（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度数．5．（2023春•白银期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝120°，BC＝CD，AC⊥BD，点E在对角线BD上，将线段CE绕点C顺时针旋转120°，得到线段CF，连接DF．（1）求证：BE＝DF；（2）若EB＝EC，求证：AC⊥CF．6．（2023春•南城县期中）如图，点O是等边三角形ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，BO，AD．（1）求证：BO＝AD；（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数．7．（2023春•罗源县校级期中）如图，先将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，再将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，连接BE、BG、AD，且AC＝4．（1）若∠ABC＝135°．B、E、D三点在同一条直线上，求BG的长；（2）若∠ABC＝90°，AC＝2CE，点P在边AB上，求线段PD的最小值．8．（2023春•成武县期中）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．（1）如图（1），CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；（2）如图（2），将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明．9．（2023春•九江期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，分别延长BC与ED交于点F，连接AF、CE．（1）求证：F A平分∠CFE；（2）若S四边形ABFD＝12，AC＝4，求CE的长．10．（2023春•盱眙县期末）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．连接BE、CH．（1）四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论；（2）若BC长为2，则AB的长为时，四边形BEHC为菱形．11．（2023春•平山县期末）如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）（1）a＝，b＝；（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．（3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？12．（2023春•振兴区校级期中）如图（1），在△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，射线BM⊥BC于点C，动点D从点B出发沿射线BM方向运动；以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒；（1）以点A为旋转中心，将AD逆时针旋转120°，得到线段AE，连接BE，BE是否存在最小值，不存在，则说明理由，存在则求出BE最小时的t值及BE的最小值；（2）若射线BN为∠ABM的平分线，当点D从B点出发时，点F从点A向B点与点D同时同速运动（0≤t≤2），连接FD交BN于点G，当△BGF为等腰三角形时，直接写出所有可能的t值．13．（2023春•迁安市期中）老师在黑板上出示题目：如图1，在△ABC中，∠A＝32°，∠C＝55°，线段CB′与CB边重合，CB′从现在的位置绕着点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置是否有一位置使CB′∥AB？如果有这样的位置，请画出示意图，并求出∠BCB′的度数，如果没有说明理由（1）（如图2）嘉嘉认为：有这样一个位置，使得CB′∥AB，如图．请你按照嘉嘉的做法，求出∠BCB′的度数．（2）（如图3）琪琪认为：嘉嘉的想法不全面，还存在另外一种情况使得CB′∥AB你是否同意琪琪的说法？如果同意，请画出图形，并求出此时∠BCB′的度数；如果不同意，请说明理由．14．（2022秋•青山湖区期末）阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．15．（2023春•清江浦区期末）如图1，MN∥PQ，点A在直线MN上，点B在直线PQ上，射线AC绕点A 顺时针从射线AM旋转至射线AN后便立即回转；射线BD绕点B顺时针从射线BP旋转至射线BQ后便立即回转：射线AC、射线BD不停地来回旋转．若射线AC转动的速度是a度/秒，射线BD转动的速度是b度/秒，且a、b是方程a+3b＝6的正整数解．（1）a＝，b＝；（2）如图2，若∠BAN＝45°，两条射线同时转动，在射线AC到达AN之前，若两条射线交于点E，过E作EF⊥AC交PQ于F，若∠BEF＝20°，求∠BAC的度数；（3）若射线BD先转动30秒，射线AC才开始转动，在射线BD到达BQ之前，射线AC转动几秒，射线AC与射线BD互相平行？16．（2023春•蒸湘区期末）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），P A，PB 与直线MN重合，且三角板P AC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）在图1中，∠DPC＝；（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板P AC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板P AC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；②如图3，在图1基础上，若三角板P AC的边P A从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？17．（2023春•雄县期中）教材中有这样一道题：如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．求证：AF﹣BF＝EF．小明通过证明△AED≌△BF A解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下以下回题，请你解答．（1）若图1中的点G为CB延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时AF，BF，EF之间的数量关系，并证明你的结论．（2）将图1中的△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F'，如图3所示，若正方形的边长为3，求EF'的长度．18．（2023春•长垣市期末）综合与实践数学社团的同学以“两条平行线AB，CD和一块含45°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°）”为主题开展数学活动，已知点E，F不可能同时落在直线AB和CD之间．探究：（1）如图1，把三角尺的45°角的顶点E，G分别放在AB，CD上，若∠BEG＝150°，求∠FGC 的度数；类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点E恰好落在AB和CD之间，且AB与EF所夹锐角为25°，求∠FGC的度数；迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，旋转三角尺，若存在∠FGC＝5∠DGE（∠DGE＜45°），直接写出射线GF与AB所夹锐角的度数．19．（2023春•阳城县期末）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）观察猜想：将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图2的位置，使得点O与点N重合，CD 与MN相交于点E，则∠CEN＝；（2）操作探究：将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；（3）深化拓展：将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC 旋转多少度时，边CD恰好与边MN平行？20．（2023春•岱岳区期末）知识探究：如图1，点E是正方形ABCD对角线AC上任意一点，以点E为直角顶点的直角△EFG两边EF，EG分别角与AD，AB相交于M点，N点．当EF⊥AD时，请探究EM与EN的数量关系，并说明理由；拓展探究：当△EFG绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图2，请探究EM与EN的数量关系，并说明理由；迁移运用：在图2的基础上，过点E作EH⊥AB于点H，如图3，证明H是线段BN的中点．21．（2023春•顺平县期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形EFGO的一个顶点，且这两个正方形边长相等．OE与BC相交于点M，OG与CD相交于点N．（1）求证：△OBM≌△OCN；（2）嘉琪说：当正方形EFGO绕点O转动，且OE与BC垂直时，四边形OMCN的面积最小．你同意嘉琪的说法吗？请说明理由；（3）若正方形ABCD的边长为a，用含a的代数式表示两个正方形重叠部分的面积为．22．（2023春•沈丘县期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，△ODE中，∠ODE＝90°，∠EOD＝60°，先将△ODE一边OE与OC重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转．（1）当OD在OA与OC之间，且∠COD＝20°时，则∠AOE＝；（2）试探索：在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；（3）在△ODE的旋转过程中，若∠AOE＝7∠COD，试求∠AOE的大小．23．（2023春•东昌府区期末）在等边三角形ABC的内部有一点D，连接BD，CD，以点B为中心，把BD 逆时针旋转630°得到HD′，连接AD′，DD′．以点C为中心，把CD顺时针旋转60°得到CD″，连接AD″，DD″．（1）判断∠D′BA和∠DBC的大小关系，并说明理由；（2）求证：D′A＝DC；（3）求证：四边形AD'DD″是平行四边形．24．（2022秋•河口区期末）感知：如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明．探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE．求：①∠ACE的度数；②若AB＝AC＝2，CD＝2，则线段DE的长是多少？25．（2023春•内乡县期末）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．（1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值；（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系；（3）在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于（直接写出答案即可）．26．（2023春•衡山县期末）一副三角板如图1摆放，∠C＝∠DFE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，点F 在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒5°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒．（1）当t＝秒时，DE∥AB；当t＝秒时，DE⊥AB；（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若△AFP有两个内角相等，求t的值；（3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，连接AE，设∠BAE＝x°，∠AED＝y°，∠DFB＝z°，试问x+y+z是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．27．（2023春•太原期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D是平面内一点，将线段AD 绕点A按逆时针方向旋转100°得到线段AE．（1）当点D在△ABC内部时，连接BD，CE．请判断线段BD与CE的数量关系，并说明理由；（2）请从A，B两题中任选一题作答．A．当点D在△ABC内部时，若直线DE恰好经过点B，直接写出∠BEC的度数．B．当点D在△ABC外部时，若直线DE恰好经过点C，直接写出∠BDC的度数．28．（2023春•遂平县期末）如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A＝30°，∠CDE＝45°．（1）如图1，求∠EFB的度数；（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转．①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为°；②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理由．29．（2023•碑林区校级模拟）似曾相识（1）如图①，正方形ABCD的边长等于4，中心为O，正方形OA′B′C′的边长也等于4，在正方形OA′B′C′绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围．类比探索（2）如图②，等边△ABC的边长等于4，中心为O，等边△OA′B′的边长也等于4，在等边△OA′B′绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．30．（2023•青山湖区模拟）●问题发现如图1，△ABC和△DEF都是等边三角形，边BC和EF在同一直线上，O是边BC的中点，BE＝CF，连接AD，则下列结论正确的是．（填序号即可）①OE＝OF；②AD＝BE；③AD⊥BE；④整个图形是轴对称图形．●数学思考将图1中的△DEF绕着点O旋转，△ABC不动，连接AD和BE，如图2，则AD和BE具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●拓展应用已知AB＝8cm，DE＝4cm，在图1中的△DEF绕着点O旋转的过程中，当BE⊥DF时，求线段AD的长度．#ZZA0。
旋转练习题带答案
旋转练习题带答案旋转是数学中的一个重要概念，它涉及到图形在平面或空间中的转动。
下面是一些关于旋转的练习题，以及它们的答案。
练习题1：在平面直角坐标系中，点A(3, 4)绕原点O(0, 0)顺时针旋转90度后，求点A的新坐标。
答案：点A绕原点O顺时针旋转90度后，其坐标变为(-4, 3)。
练习题2：如果一个正方形的四个顶点在平面直角坐标系中分别位于(1, 1), (1, -1), (-1, -1), (-1, 1)，求这个正方形绕其中心点旋转180度后的顶点坐标。
答案：正方形绕其中心点(0, 0)旋转180度后，顶点坐标变为(-1, -1), (-1, 1), (1, 1), (1, -1)。
练习题3：一个圆心位于(2, 2)的圆，半径为3，求这个圆绕原点O(0, 0)顺时针旋转45度后，圆上任意一点P(x, y)的新坐标。
答案：由于圆的旋转不改变其形状和大小，只是位置发生变化，所以具体点P(x, y)的新坐标取决于其在圆上的位置。
但可以确定的是，圆心的新坐标会发生变化。
通过计算，圆心的新坐标为(1, 2 + √2)。
练习题4：在三维空间中，一个立方体的一个顶点位于(1, 1, 1)，求这个立方体绕通过(1, 1, 1)且与x轴成30度角的直线旋转90度后，该顶点的新坐标。
答案：这个问题较为复杂，需要使用三维空间旋转矩阵来解决。
但一般来说，通过适当的旋转矩阵变换，我们可以找到新的坐标。
具体计算需要用到三角函数和矩阵乘法。
练习题5：考虑一个由四个点组成的矩形，其顶点坐标分别为A(0, 0), B(4, 0), C(4, 3), D(0, 3)。
求矩形绕点A旋转60度后，各顶点的新坐标。
答案：矩形绕点A旋转60度后，可以使用旋转矩阵来计算新坐标。
新坐标分别为：- A点不变，坐标仍为(0, 0)。
- B点新坐标为(2√3, -2)。
- C点新坐标为(2√3, 2)。
- D点新坐标为(-2√3, 2)。
请注意，这些练习题的答案需要根据具体的旋转公式和几何知识来计算得出。
九年级旋转经典题型
九年级旋转经典题型一、旋转性质的基础应用1. 题目- 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE。
若∠CAE = 65°，∠E = 70°，且AD⊥BC，求∠BAC的度数。
- 解析- 因为△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，所以△ABC≌△ADE。
- 根据全等三角形的性质，∠C = ∠E = 70°。
- 因为AD⊥BC，在Rt△ADC中，∠DAC = 90° - ∠C = 90° - 70°= 20°。
- 又因为∠CAE = 65°，所以∠BAC = ∠DAE=∠DAC + ∠CAE = 20°+ 65°= 85°。
2. 题目- 已知正方形ABCD的边长为3，点E在边CD上，且DE = 1。
将△ADE绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF，求EF的长。
- 解析- 因为△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，所以AE = AF，∠EAF = 90°。
- 在正方形ABCD中，AD = 3，DE = 1，根据勾股定理可得：AE=√(AD^2)+DE^{2}=√(3^2)+1^{2}=√(10)。
- 在等腰直角三角形AEF中，EF=√(2)AE=√(2)×√(10) = 2√(5)。
二、旋转与坐标的结合1. 题目- 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,3)，将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点A'，求点A'的坐标。
- 解析- 设点A(x = 1,y = 3)绕原点O逆时针旋转90°后的点A'(x',y')。
- 根据旋转坐标变化规律：对于点(x,y)绕原点逆时针旋转90°后变为(-y,x)。
- 所以点A'的坐标为(-3,1)。
2. 题目- 已知点P(2, - 1)，把点P绕坐标原点O顺时针旋转135°后得到点Q，求点Q的坐标。
旋转练习题及答案
旋转练习题及答案一、选择题1. 一个图形绕某一点旋转90°后，与原图形相比，位置发生了变化，但形状和大小不变。
这种现象称为：A. 平移B. 对称B. 旋转D. 反射答案：C2. 一个正方形绕其中心点旋转180°后，其形状和位置将如何变化？A. 形状改变，位置不变B. 形状不变，位置改变C. 形状和位置都不变D. 形状和位置都改变答案：C3. 在平面直角坐标系中，点P(3,4)绕原点O(0,0)顺时针旋转90°后，新坐标为：A. (4,-3)B. (-4,3)C. (-3,4)D. (3,4)答案：A二、填空题4. 若一个图形绕某点旋转θ°后，旋转后的图形与原图形关于该点对称，则称该图形为______图形。
答案：中心对称5. 一个图形绕某点旋转180°后，与原图形完全重合，这种现象称为图形的______。
答案：中心对称三、解答题6. 已知点A(1,2)，求点A绕原点O(0,0)顺时针旋转90°后的坐标。
解答：设点A旋转后的坐标为(x,y)。
根据旋转公式，我们有：\[ x = 2 \]\[ y = -1 \]因此，点A的新坐标为(2, -1)。
7. 一个等边三角形ABC，其中A(0,0)，B(1,√3)，C(-1,√3)。
求三角形ABC绕点A顺时针旋转60°后的顶点坐标。
解答：首先，我们需要找到等边三角形的旋转矩阵。
对于顺时针旋转60°，旋转矩阵为：\[ \begin{bmatrix} \cos(60°) & -\sin(60°) \\ \sin(60°) & \cos(60°) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & -√3/2 \\ √3/2 & 1/2 \end{bmatrix} \]应用旋转矩阵到点B和C，我们得到：B' = (1/2 - √3/2, √3/2 + 1/2)C' = (-1/2 + √3/2, √3/2 - 1/2)因此，旋转后的顶点坐标为：B'(1/2 - √3/2, √3/2 + 1/2)C'(-1/2 + √3/2, √3/2 - 1/2)四、应用题8. 一个时钟的时针在12点整时指向上方，若时针以恒定速度旋转，求时针在3小时后的位置。
(完整版)旋转经典练习题
第二周旋转周清试题一、选择题（共16小题）1．观察图中的图案，它们绕各自的中心旋转一定的角度后，能与自身重合，其中旋转角可以为120°的是（）A．B．C．D．2．如下所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组3．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=，则BB′的长为（）A．2B．3C．4D．64．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．（1）、（2）B．（1）、（3）C．（2）、（3）D．（1）、（4）5．剪纸是中国的民间艺术．剪纸的方法很多，下面提供一种剪纸方法：如图所示，先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案：下面四个图形中，不能用上述方法剪出图案的是（）A．B．C．D．6．如图所示，△ABC中，AC=5，中线AD=7，△EDC是由△ADB旋转180°所得，则AB边的取值范围是（）A．1＜AB＜29 B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜19(6) (7)7．如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B的对应点B′坐标为（）A．（3，4） B．（7，4） C．（7，3） D．（3，7）8．在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（）(8) (9)A．（1.4，﹣1） B．（1.5，2）C．（1.6，1）D．（2.4，1）9．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A′的坐标为（a，b），则点A的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1）D．（﹣a，﹣b﹣2）10．已知点M（x，y）在第二象限内，且|x|=2，|y|=3，则点M关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）11．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（3a﹣1，b），则a与b的数量关系为（）(11) (12)A．3a+b=1 B．3a+b=﹣1 C．3a﹣b=1 D．a=b12．如图，D是等腰直角△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD 的位置（B与C重合，D与D′重合），则∠ADD′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．45°13．将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是（）cm2．（13）（14）A．12.5 B．C．D．不能确定14．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形A′B′C′D′的位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（）A．3 B．1.5 C．D．15．在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），P点关于x轴的对称点为P2（a，b），则=（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣416．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．65°二．填空题（共7小题）17．点P（2，3）绕着原点逆时针方向旋转90°与点P′重合，则P′的坐标为．18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=9，点O在AC上，且AO=2，点P 是AB上一动点，连接OP将线段OP绕O逆时针旋转90°得到线段OD，要使点D 恰好落在BC上，则AP的长度等于．(18) (19) (20)19、将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD=110°，则∠COB=度20、如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．21．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，如果CD=2DA=2，那么CC′=．（21）（22）（23）22．如图，菱形ABCD的对角线交于平面直角坐标系的原点，顶点A坐标为（﹣2，3），现将菱形绕点O顺时针方向旋转180°后，A点坐标变为．23．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD=90°，则∠D的度数是°三、解答题（共5小题）24．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．25、如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．26、如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的度数．27、请认真观察图（1）的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：．（2）请在图（2）中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征（用阴影表示）．28、【问题提出】如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．29、小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数．小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．图1请回答：图1中∠APB的度数等于? 图2中∠PP′C的度数?参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A 坐标为（，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC. 当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．。
几何旋转经典例题
几何旋转习题1. 已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）2.如图23－5(a)，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，32==AC AB ，D ，E 两点分别在AC ，BC 上，且DE ∥AB ，22=CD ，将△CDE 绕点C 顺时针旋转，得到△CD ′E ′(如图23－5(b)，点D ′，E ′分别与点D ，E 对应)，点E ′在AB 上，D ′E ′与AC 交于点M ．图23－5(1)求∠ACE ′的度数；(2)求证：四边形ABCD ′是梯形；A DCEG第23题图①FAD G第23题图②FACE第23题图③(3)求△AD′M的面积．3.如图23－8(a)，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD 的中点，易证：CD＝BE，△AMN是等边三角形．图23－8(1)当把△ADE绕A点旋转到图23－8(b)的位置时，D，E，B三点共线，CD ＝BE是否仍然成立?若成立请证明；若不成立请说明理由；(2)当△ADE绕A点旋转到图23－8(c)的位置时，D，E，B三点不共线，△AMN 是否还是等边三角形?若是，请给出证明；并求出当AB＝2AD时，△ADE与△ABC 与△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．4. (2009宁波)如图23－9(a)，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(－8，0)，直线BC经过点B(－8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O 按顺时针方向旋转得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′，直线B′C′分别与直线BC相交于点P，Q．图23－9BP的值是______；(1)四边形OABC的形状是______，当＝90°时，BQ(2)①如图23－9(b)，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴的正半轴上时，求BQBP的值；②如图23－9(c)，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积；(3)在四边形OABC的旋转过程中，当0°＜≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP＝BQ21?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5. 图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分）（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（5分）（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由.（4分）6将两块含E′图1 CB AD′图2FEDCA图2QPRACF图3图3D′E′图4MNAGC图4C/ （C/）（C）30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。
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°﹣∠EAC，
∴EM= ，
∴∠BAE=∠DAC， ∴AM=
，
∴△DAC≌△EAB， ∴CD=BE．）
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形， ∴S△ADE：S△ABC：S△AMN =a ：2 （2a）2 ：（ ）2 =1：4： =4：16：7
∴∠1=∠2,∠3=∠4, 而∠1+∠3=90°, ∴∠2+∠4=90°, 而∠ADC=90°, ∴∠EDF=180°,即E,D,F共线； 由旋转的性质得到△APE,△CPF均为等腰直角三角形, 并且ED=PB=2,DF=PB=2, ∴S△APE=0.5×1×1=0.5； S△CPF=0.5×3×3=4.5, 在△PEF中,PE=√2,PF=3√2,EF=4,
（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC， ∴CO=CD，∠OCD=60°， ∴△COD是等边三角形． （2）答：当α=150°时，△AOD是直角三角形． 理由是：∵△BOC≌△ADC， ∴∠ADC=∠BOC=150°， 又∵△COD是等边三角形， ∴∠ODC=60°， ∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°， 即△AOD是直角三角形． （3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO， ∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°， ∴190°﹣α=α﹣60°， ∴α=125°； ②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO． ∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°， ∴α﹣60°=50°， ∴α=110°； ③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD． ∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α， ∠AOD==120°﹣， ∴190°﹣α=120°﹣， 解得α=140°． 综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
∴PE=2 2 ∵PC=3，CE=PA=1， ∴PC 2=PE +2CE 2， ∴∠PEC=90°， ∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．
（2）如图（3）四边形ABCD为正方形,PA=1,PB=2,PC=3, 把△PAB绕A点逆时针旋转90°得△EAD,把△CPB绕C点 顺时针旋转90°得△CFD,连PE,PF,如图,
B
B
P A
F P
C
A
（1）
C
（2）
解：如图2，∵△ABC是等边
三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠APP′=60°，PP′=PA=6， ∵PP′2+PB2=62+82=100=P′B2，
把△APC绕点A逆时针旋转60°
∴△BPP′是直角三角形，
得由到旋△转A的P性′B，质，AP′=AP，P′B=PC=10，∠∴6∠0∠BP°PAAPPP+′=B9′=9=060∠°0°A°=P，1，P5′+0∠°B，PP′=
:解：（1）CD=BE． 理由如下： ∵△ABC和△ADE为
（2）△AMN是等边三角形．理由如下： ∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CD的中点， ∴AM=AN，NC=MB． ∵AB=AC，
等边三角形，
∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AE=AD， ∴∠MAB=∠NAC，
∠BAC=∠EAD=60°， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°， ∵ ° ∠∠﹣ DAB∠CAE=EA∠=C∠D，ABEA﹣C﹣∠∠EAECA∴设易∴=C6△BA证=E0DA6=B=M0Ea⊥N，是A则C等，AD边=三AE角=D形E=，a，（A7B分=B）C=，AC=2a，
例3：如图（1），P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3 （1）∠APB=______． （2）求此正方形ABCD面积。
（1）
（2）
（3）
解：如图（2）将△APB绕B点顺时针旋转90° 并连接PE， ∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BEC， ∴△BEC≌△BPA，∠APB=∠BEC， ∴△BEP为等腰直角三角形， ∴∠BEP=45°， ∵PB=2，
解：如图，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长， 此时θ=∠ACA′=120°， ∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°， ∴A′C=AC=1/2 A′B′=2， ∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′=90° ∴CP=1/2 A′B′=2，EC=1/2×2=1， ∴EP=EC+CP=1+2=3． 故答案为：120；3．
∴PF2=PE2+EF2, ∴△PEF为直角三角形,∠PEF=90°, ∴S△PEF=0.5×EP×EF=0.5×√2×4=2√2 ∴S正方形ABCD=S五边形APCFE=S△PEF+S△APE+S△CPF=√2+5．
例:4：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， 将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为 (0°＜＜180°)，得到△A1B1C． (1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．1和△BCB1的 面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3； (3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a， 连接EP．当＝ °时，EP的长度最大，最大值为
∴△APP′是等边三角形，
故∠APB的度数是150°．
例2：如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°， ∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60° 得△ADC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形； （2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？