杆梁结构有限元分析

3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（3）平面杆单元坐标变换 总体坐标系与局部坐标系间结点力的关系式:
f e TT f 'e
u' e
uuvi'i'j'
λ
v'j
λ
uuviij
Tue
v j
ue T 1 u'e T T u'e
f e T T f' e T T K 'e u' e T T K 'e Tue
将压杆件看成是连接三 个节点的两个单元
单元①，由材料力学公式：
l Fl EA
可得到杆件一端位移为1，另一端位移为0时所需 加的力。
同理，对单元②同样处理(所有节点位移和节点力 均向右为正)。
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
由作用和反作用定律可知，节点1、2、3的受力：
Ui U j 0
Vi V j 0
Mi M j 0
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法
Fi e Fje
Kiei
K
e ji
Kiej
K
e jj
e i
e j
（3）平面杆单元坐标变换
需要将原来在局部坐标系中所得到的单元表达等价地转换 到整体坐标系中。
Fe K e e
单元刚度矩阵：
Ui
Vi
k11
k21
k12 k22
k13 k23
k14 k24
k15 k25
k16 k26
ui vi
M i U j
k31
k41
k32 k42
k33 k43
k34 k44
k35 k45
k36 k46
i
u j
V
j
M j
k51 k61
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
由节点平衡有： 即有：
U1(1)u1 U1(1)u2 N1
U
u (1)
21
(U
(2 2
)
U
(1) 2
)u2
U
(2 2
)u3
F1
U
(2 3
)
u2
U
(2 3
)
u3
F2
EA1 l1
u1
EA1 l1
u2
N1
EA1 l1
u1
( EA1 l1
可求出节点位移
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法
由材料力学中的力法求得，正 方向与位移一致；图中作用在单元 上的力均满足平衡方程；
1）以节点位移表示节点力
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 1）以节点位移表示节点力
3.1 杆梁结构的直接解法
k52 k62
k53 k63
k54 k64
k 55 k65
k56 k66
v
j j
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系 单元刚度矩阵：
同一行中的6个元素是由6个节点位移对某一节点力 的影响系数。同一列中的6个元素是同一个节点位移对6个 节点力的影响系数。
Fe K e e
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
杆梁结构是指长度远大于其横截面尺寸的构件组成的杆 件系统，例如机床中的传动轴，厂房刚架与桥梁结构中的梁 杆等,可以用杆单元或梁单元来进行离散化。
空间杆系：平面杆系是指各杆轴线和外力作用线位于一 个平面内，若各杆轴线和外力作用线不在一个平面内。 （1）平面压杆有限元法的直接法
EA1 l1
EA1 l1
0
EA1 l1
EA1 EA2
l1
l2
EA2 l2
0
EA2 l2
EA2 l2
u1
N1
u2
F1
u3 F2
EA1 l1
EA2 l2
EA2 l2
EA2 l2
EA2 l2
u2 u3
F1 F2
单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面 问题，每列元素之和为零。
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系
Ui
Vi
k11
k21
M i U j
k31
k41
V
j
M j
k51
k61
他们在轴和轴的投影之和等于零：
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（3）平面杆单元坐标变换
ul
uvll''
cos sin
sin cos
uvll
λul
l i, j
u' e
uuvi'i'j'
λ
v'j
λ
uuviij
Tue
vj 坐标变换矩阵
当用局部坐标系位移表示总体坐标系中的位移时有：
ue T 1 u'e T T u'e
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（3）平面杆单元坐标变换
ul
uvll''
cos sin
ui' ui cos vi sin
vi' ui sin vi cos
u
' j
uj
cos
vj
sin
v'j u j sin v j cos
sin
cos
uvll
λul
l i, j
vi
6EI l2
i
12EI l3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
vj
6EI l2
j
M
j
6EI l2
vi
2EI l
i
6EI l2
vj
4EI l
j
EA
l
Ui
Vi
Mi
U j
V
j
M j
0
0 EA
l 0
0
12EI l3 6EI l2
0
12EI l3
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
0
6EI 2EI
EA2 l2
)u2
EA2 l2
u3
F1
EA2 l2
u2
EA2 l2
u3
F2
EA1 l1
EA1 l1
0
EA1 l1
EA1 EA2
l1
l2
EA2 l2
0
EA2 l2
EA2 l2
u1
N1
u2
F1
u3
F2
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系
由叠加原理：
EA EA Ui l ui l u j
Vi
12EI l3
vi
6EI l2
i
12EI l3
vj
6EI l2
j
Mi
6EI l2
vi
4EI l
i
6EI l2
vj
2EI l
j
U
j
EA l ui
EA l uj
Vj
12EI l3
l2
l
EA 0 l
0
0
0 EA l 0
12EI l3
6EI l2
0
12EI l3
6EI l2 2EI l
0
6EI l2
ui vi
i u j
v
j
j
0
6EI l2
4EI l
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系