函数的值域专题
高中数学《函数定义域值域》专题复习
求函数定义域和值域专题1 知识点拨一、函数的定义域及求法1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；3、正切函数：x ≠kπ+ π/2 ,k∈Z；4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；5、复合函数定义域的求法：取交集及分类讨论；6、抽象函数定义域的求法；二、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。
例1：求函数f(x)=211xx-+的定义域．三、含偶次根式的函数注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.例2 ：求函数y ＝3-ax （a 为不等于0的常数）的定义域.四、复合型函数注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.例3：求函数y ＝23-x ＋30323-+x x ）（的定义域．练习1、求下列函数的定义域。
⑴y=xx -||1 ⑵y=3102++x x （3）y=||11x - （4）y=2121---x x （5）2143)(2-+--=x x x x f五、抽象函数1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
专题二：函数值域的求法
专题二：函数值域的求法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。
遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。
原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。
本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。
一、直接法方法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。
【例题1】求函数()1y x =≥的值域。
)+∞【例提2】求函数y = [)1,+∞【例题3】求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
二、配方法方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
【例题】求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
解：2242(2)6y x x x =-++=--+，∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴21(2)9x ≤-≤∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。
三、最值法：方法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。
【例题1】求函数y=3-2x-x2 的值域。
解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。
函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。
∴函数的值域是［0,2］【例题2】求函数2x y =，[]2,2x ∈-的值域。
1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例题3】求函数2256y x x =-++的值域。
73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦四、反函数法方法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
函数值域的常见求法8大题型(解析版)
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
高考数学专题5 函数的定义域与值域(原卷版)
专题5函数的定义域与值域专题知识梳理1．函数的定义域(1)函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合．(2)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式组；③写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)．(3)常见基本初等函数的定义域：①分式函数中分母不等于零；②偶次根式函数中被开方式大于或等于0；③一次函数、二次函数的定义域为R ．④y ＝a x ，y ＝sinx ，y ＝cosx ，定义域均为R ．⑤y ＝tanx 的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k ∈Z }．⑥函数log a y x =的定义域为{x|x>0}．2．函数的值域(1)在函数y ＝f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2)基本初等函数的值域：①y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．②y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为24[,)4ac b a -+∞；当a<0时，值域为24(,]4ac b a --∞．③y ＝k x(k≠0)的值域为{y|y≠0}．④y ＝a x (a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．⑤y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ．⑥y ＝sinx ，y ＝cosx 的值域是[－1，1]．⑦y ＝tanx 的值域是R ．3．最大(小)值一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；(2)存在x 0∈I ，使得f(x 0)＝M ．那么称M 是函数y ＝f(x)的最大(小)．考点探究考向1函数的定义域【例1】求下列函数的定义域：（1）f (x )＝x －104－2x ；（2）()312log (1)xf x x -=-；（3）已知函数f(2x)的定义域是[－1，1]，求f(x)的定义域．题组训练1.（2019·江苏卷）函数的定义域是______．2．已知函数[lg(1)]y f x =+的定义域为[0,9]，则()y f x =的定义域为________.3.已知函数f （x ）的定义域是1(,8]2，则(2)x f 的定义域是．【例2】(1)若函数f(x)R，则a的取值范围为________；(2)若函数y＝ax＋1ax2＋2ax＋3的定义域为R，则实数a的取值范围是________．题组训练1.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是______．2.函数的定义域为R，则实数m的取值范围是______．考向2函数的值域【例】求下列函数的值域．(1)y＝x＋4x；(2)y＝2x－1＋5－2x；(3)y＝2x－1x＋1，x∈[3，5]；(4)y＝x2－4x＋5x－1(x>1)．题组训练1.函数的值域是______．2.函数的值域为__________．3.函数的值域是______．4.函数的值域为________．考向3函数的定义域、值域和最值的综合题【例】已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．题组训练1.已知函数y＝x2－2x＋a的定义域为R，值域为[0，＋∞)，则实数a的取值集合为________．2.已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．3.若函数y＝f(x)＝12x2－2x＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的值为_______．4.（拔高题）已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．。
函数的定义域与值域求法典型例题(解析版)
专题13：函数的定义域与值域求法典型例题（解析版）函数定义域的常见其一、已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1、求函数yx 2 2x 15的定义域。
x 3 82 x 5或x3 x 2x 15 0解：要使函数有意义，则必须满足即 x 5且x 11 x 3 8 0解得x 5或x 3且x 11即函数的定义域为x x 5或x 3且x 11 。
二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。
（一）已知f (x )的定义域，求f g (x ) 的定义域。
其解法是：已知f (x )的定义域是[a ,b ]求f g (x ) 的定义域是解a g (x ) b ，即为所求的定义域。
例2、已知f (x )的定义域为[ 2,2]，求f (x 1)的定义域。
2解： 2 x 2， 2 x 1 2，解得 3 x 23即函数f (x 1)的定义域为x 3 x 3（二）已知fg (x ) 的定义域，求f (x )的定义域。
2其解法是：已知f g (x ) 的定义域是[a ,b ]求f (x )的定义域的方法是：a x b ，求g (x )的值域，即所求f (x )的定义域。
例3、已知f (2x 1)的定义域为[1,2]，求f (x )的定义域。
解： 1 x 2， 2 2x 4， 3 2x 1 5。
即函数f (x )的定义域是x |3 x 5 。
三、逆向思维型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例4、已知函数ymx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
22分析：函数的定义域为R ，表明mx 6mx m 8 0，使一切x R 都成立，由x 项的系数是m ，所以应分m 0或m 0进行讨论。
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题
一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.例1:求函数)+=的值域.y-3x32(点拨：根据算术平方根的性质，先求出)-的值域.32(x解：由算术平方根的性质，知)2(x-≥3。
∴函数的值域为)3-≥0，故3+)2(x3,3[+∞ .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
专题：函数的值域问题
专题：函数的值域问题高考要求函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 1.重难点归纳(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力2.值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：(1)一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.(2)二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.， (3)反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. (4)指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >.(5)对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.(6)正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.3.求值域的常见方法（1）直接观察法（基本函数法）：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域。
对于一些比较简单的函数，如正比例、反比例、一次函数、指数函数、对数函数、等等，其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
值域经典题型
值域简略演习题 【2 】 1.求6)(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域2.求函数132)(++=x x x f 的值域 3. 求函数133)(2+++=x x x x f 的值域 4.求函数x x x f -+=1)(的值域5.13213)(x x +⋅-=x f 6.1)(22+--=x x x x x f 7.x-1x3131)(-+=x f 8.x x x f +-+=243)( 9.2x 2x -)(2++=x f10.2610y x x =++11.2256y x x =-++12.2cos 13cos 2x y x +=- 13.求函数()11,1y x x x =-++≥的值域.值域的求法增强演习题解答题（共10小题）1．已知函数的界说域为聚集A,函数的值域为聚集B,求A∩B 和（CRA ）∩（CRB ）．2．已知函数f （x ）=x2﹣bx+3,且f （0）=f （4）．（1）求函数y=f （x ）的零点,写出知足前提f （x ）＜0的x 的聚集;（2）求函数y=f （x ）在区间（0,3]上的值域．3．求函数的值域：．4．求下列函数的值域：（1）y=3x2﹣x+2;（2）;（3）;（4）;（5）（6）;5．求下列函数的值域（1）;（2）;（3）x∈[0,3]且x≠1;（4）．6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|．7．求下列函数的值域．（1）y=﹣x2+x+2;（2）y=3﹣2x,x∈[﹣2,9];（3）y=x2﹣2x﹣3,x∈（﹣1,2];（4）y=．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3,求f（x）的值域．9．已知f（x）的值域为,求y=的值域．10．设的值域为[﹣1,4],求a.b的值．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．已知函数的界说域为聚集A,函数的值域为聚集B,求A∩B和（CRA）∩（CRB）．考点：函数的值域;交.并.补集的混杂运算;函数的界说域及其求法.专题：盘算题.剖析：由可求A,由可求B可求解答：解：由题意可得∴A=[2,+∞）,∵∴B=（1,+∞）,CRA=（﹣∞,2）,CRB=（﹣∞,1]﹣﹣﹣（4分）∴A∩B=[2,+∞）∴（CRA）∩（CRB）=（﹣∞,1]﹣﹣﹣﹣﹣（6分）点评：本题重要考核了函数的界说域及指数函数的值域的求解,聚集的交集.补集的根本运算,属于基本试题2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3,且f（0）=f（4）．（1）求函数y=f（x）的零点,写出知足前提f（x）＜0的x的聚集;考点：函数的值域;二次函数的性质;一元二次不等式的解法.专题：盘算题.剖析：（1）从f（0）=f（4）可得函数图象关于直线x=2对称,用公式可以求出b=4,代入函数表达式,解一元二次不等式即可求出知足前提f（x）＜0的x的聚集;（2）在（1）的基本上,运用函数的单调性可以得出函数在区间（0,3]上的最值,从而可得函数在（0,3]上的值域．解答：解：（1）因为f（0）=f（4）,所以图象的对称轴为x==2,∴b=﹣4,函数表达式为f（x）=x2﹣4x+3,解f（x）=0,得x1=1,x2=3,是以函数的零点为：1和3知足前提f（x）＜0的x的聚集为（1,3）（2）f（x）=（x﹣2）2﹣1,在区间（0,2）上为增函数,在区间（2,3）上为减函数所以函数在x=2时,有最小值为﹣1,最大值小于f（0）=3因而函数在区间（0,3]上的值域的为[﹣1,3）．点评：本题重要考核二次函数解析式中系数与对称轴的关系.二次函数的单调性与值域问题,属于中档题．只要控制了对称轴公式,运用函数的图象即可得出准确答案．3．求函数的值域：．考点：函数的值域.专题：盘算题;转化思惟;判别式法.剖析：因为对随意率性一个实数y,它在函数f（x）的值域内的充要前提是关于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有实数解,是以“求f（x）的值域．”这一问题可转化为“已知关于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有实数解,求y的取值规模”．解答：解：判别式法：∵x2+x+1＞0恒成立,∴函数的界说域为R．由得：（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0①①当y﹣2=0即y=2时,①即3x+0=0,∴x=0∈R②当y﹣2≠0即y≠2时,∵x∈R时方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0恒有实根,∴△=（y+1）2﹣4×（y﹣2）2≥0,∴1≤y≤5且y≠2,∴原函数的值域为[1,5]．点评：判别式法：把x作为未知量,y看作常量,将原式化成关于x的一元二次方程情势,令这个方程有实数解,然后对二次项系数是否为零加以评论辩论：（1）当二次项系数为0时,将对应的y值代入方程中进行磨练以断定y的这个取值是否相符x有实数解的请求．（2）当二次项系数不为0时,运用“∵x∈R,∴△≥0”求解,此时直接用判别式法是否有可能产生增根,症结在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形．4．求下列函数的值域：（1）y=3x2﹣x+2;（2）;（3）;（4）;（5）（6）考点：函数的值域.专题：常规题型.剖析：（1）（配办法）∵y=3x2﹣x+2=3（x﹣）2+（2）看作是复合函数先设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0）,则原函数可化为y=,再配办法求得μ的规模,可得的规模．（3）可用分别变量法：将函数变形,y===3+,再运用反比例函数求解．（4）用换元法设t=≥0,则x=1﹣t2,原函数可化为y=1﹣t2+4t,再用配办法求解（5）由1﹣x2≥0⇒﹣1≤x≤1,可用三角换元法：设x=cosα,α∈[0,π],将函数转化为y=cosα+sinα=sin（α+）用三角函数求解（6）由x2+x+1＞0恒成立,即函数的界说域为R,用判别式法,将函数转化为二次方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有根求解．解答：解：（1）（配办法）∵y=3x2﹣x+2=3（x﹣）2+≥,∴y=3x2﹣x+2的值域为[,+∞）（2）求复合函数的值域：设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0）,则原函数可化为y=又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4,∴0≤μ≤4,故∈[0,2],∴y=的值域为[0,2]（3）分别变量法：y===3+,∵≠0,∴3+≠3,∴函数y=的值域为{y∈R|y≠3}（4）换元法（代数换元法）：设t=≥0,则x=1﹣t2,∴原函数可化为y=1﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+5（t≥0）,∴y≤5,∴原函数值域为（﹣∞,5]注：总结y=ax+b+型值域,变形：y=ax2+b+或y=ax2+b+（5）三角换元法：∵1﹣x2≥0⇒﹣1≤x≤1,∴设x=cosα,α∈[0,π],则y=cosα+sinα=sin（α+）∵α∈[0,π],∴α+∈[,],∴sin（α+）∈[﹣,1],∴sin（α+）∈[﹣1,],∴原函数的值域为[﹣1,]（6）判别式法：∵x2+x+1＞0恒成立,∴函数的界说域为R由y=得：（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0①①当y﹣2=0即y=2时,①即3x+0=0,∴x=0∈R②当y﹣2≠0即y≠2时,∵x∈R时方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0恒有实根,∴△=（y+1）2﹣4×（y﹣2）2≥0,∴1≤y≤5且y≠2,∴原函数的值域为[1,5]点评：本题重要考核求函数值域的一些常用的办法．配办法,分别变量法,三角换元法,代数换元法,判别式法…5．求下列函数的值域（1）;（2）;（3）x∈[0,3]且x≠1;（4）．考点：函数的值域.剖析：（1）把函数转化成关于tanx的函数,进而求值域．（2）令因为1﹣x2≥0,即﹣1≤x≤1,故可x=sinx,把函数转化成三角函数,运用三角函数的性质求函数的最值．（3）把原式变成2+,设t=,经由过程幂函数t的图象即可求出t的值域,进而求出函数y=的值域．（4）令t=x﹣4,即x=t+4代入原函数．得出y关于t的函数,进而求出答案．解答：解：（1）∵==1++4tanx+4=5++4tan2x≥2+5≥9∴函数的值域为[9,+∞）（2）令x=sinα,α∈[﹣,]∴=sinα﹣cosα=sin（α﹣）∵α∈[﹣,]∴α﹣∈[﹣,]∴sin（α﹣）∈[﹣1,]∴的值域为[﹣,1]（3）y==2+令t=,则其函数图象如下如图可知函数在区间[0,1）单调减,在区间（1,3]单调增∴t∈（﹣∝,﹣6]∪[3,+∝）∴y∈（﹣∝,﹣4]∪[5,+∝）即函数y=的值域为（﹣∝,﹣4]∪[5,+∝）（4）设t=x﹣4,x=4+t则==﹣=|+2|﹣|﹣2|∵t=x﹣4≥0∴≥0∴y=∴y∈[0,4]即函数的值域为[0,4]点评：本题重要考核求函数的值域问题．此类题常用换元.配方.数形联合等办法．6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|．考点：函数的值域.专题：盘算题;分类评论辩论.剖析：由函数表达式知,y＞0,无最大值,去失落绝对值,把函数写成分段函数的情势,在每一段上根据单调性求出函数的值域,取并集得函数的值域．解答：解：数形结正当：y=|x﹣1|+|x+4|=∴y≥5,∴函数值域为[5,+∞）．点评：本题表现数形联合和分类评论辩论的数学思惟办法．7．求下列函数的值域．（1）y=﹣x2+x+2;（2）y=3﹣2x,x∈[﹣2,9];（3）y=x2﹣2x﹣3,x∈（﹣1,2];（4）y=．考点：函数的值域.专题：盘算题.剖析：（1）求二次函数y=﹣x2+x+2的值域可先求最值,由最值联合图象,写出值域．（2）求一次函数y=3﹣2x在闭区间上的值域,要先求最值,由最值写出值域．（3）求二次函数y=x2﹣2x﹣3在某一区间上的值域,要联合图象,求出最值,再写出值域．（4）求分段函数y的值域,要在每一段上求出值域,再取其并集,得出分段函数的值域．解答：解：（1）二次函数y=﹣x2+x+2;其图象启齿向下,对称轴x=,当x=时y有最大值;故函数y的值域为：（﹣∞,）;（2）一次函数y=3﹣2x,x∈[﹣2,9];单调递减,在x=﹣2时,y有最大值7;在x=9时,y有最小值﹣15;故函数y的值域为：[﹣15,7];（3）二次函数y=x2﹣2x﹣3,x∈（﹣1,2];图象启齿向上,对称轴x=1,当x=1时,函数y有最小值﹣4;当x=﹣1时,y有最大值0;所以函数y的值域为：[﹣4,0）;（4）分段函数y=;当x≥6时,y=x﹣10≥﹣4;当﹣2≤x＜6时,y=8﹣2x,∴﹣4＜y≤12;所以函数y的值域为：[﹣4,+∞）∪（﹣4,12]=[﹣4,+∞）．点评：本组4个标题求函数的值域,都是在其界说域上先求其最值,根据最值,直接写出其值域;它们都是基本题．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3,求f（x）的值域．考点：函数的值域.剖析：留意运用22x=（2x）2这个式子,很轻易把这个看似不识的函数转化为我们再熟习不过的二次函数．解答：解：令t=2x,则t＞0,f（x）=（2x）2+2•2x+3=t2+2t+3,令g（t）=t2+2t+3（t＞0）,则g（t）在[﹣1,+∞）上单调递增,故f（x）=g（t）＞g（0）=3,故f（x）的值域为（3,+∞）．点评：二次函数求最值是我们再熟习不过的函数了,问题的症结是可否把我们不熟习的函数转化为我们熟习的二次函数．并且采用换元法转化函数的时刻,必定要留意换元后变量的规模．9．已知f（x）的值域为,求y=的值域．考点：函数的值域.专题：盘算题.剖析：根据f（x）的值域,运用不等式的性质先求出被开方数的取值规模,进而求得y的值域．解答：解;∵≤f（x）≤,∴﹣≤﹣2f（x）≤﹣,∴≤1﹣﹣2f（x）≤∴≤y≤∴y的值域为：[,]点评：本题考核不等式的性质．10．设的值域为[﹣1,4],求a.b的值．考点：函数的值域.剖析：由题意f（x）的界说域为R,可运用判别式法求值域的技能求参数的值．解答：解：令y=即yx2﹣ax+2y﹣b=0①,当y=0时,有①x=﹣∈R,此时,a,b是随意率性的当y≠0时,有①,方程有根,可得△=a2﹣4y（2y﹣b）≥0即8y2﹣4by﹣a2≤0,又函数的值域是y∈[﹣1,4],所以﹣1和4是方程8y2﹣4by﹣a2=0的两根,由韦达定理得a=±4,b=6．综上得a=±4,b=6即所求点评：本题考核函数的值域问题,属根本题．。
求函数的值域专题 高三数学一轮复习
题型三
[例3] （1）函数y =
（2）函数y =
3x+4
{| ≠ }
的值域为__________.
5x+6
1−2x
−,
的值域为________.
x
1+2
5 xy 6 y 3 x 4
4 6y
x
5y 3
(3) 反解法与分离常数法
形如f x =
ax+b
的函数可用反解法或分离常数法.
x2 +x+1
解：y x 2 x 1 2 x
y x2 + y 2 x 1 0
1 y 0时, x 0
2 y 0时
2
= y 2 4 y y 2 8 y 4 0
2
得 2 y 且y 0
3
2
故，值域为 y 2 y 0
由图象知 = − ，当直线 = − − 过点 , 时，最大，此时 = ，
所以 ∈ [ − , ]，
即 的值域是[ − , ].
(1) 直接法（观察法）
对于较简单的函数，直接观察即可确定函数的值域.
(2) 判别式法
分式函数分子分母的最高次幂为二次，且定义域无要求
−
，
+ ≥ ，
故当 = 时，取得最大值为1，没有最小值，故值域为(−∞, ].
(5) 换元法
通过换元，将较复杂的值域问题转化为求某些基本初等函数的值域，
并结合单调性求值域.
题型五
[−, ]
[例5]（2）函数y = x + 4 − x 2 的值域为__________.
高中函数值域的7类题型和16种方法
高中函数值域的7类题型和16种方法函数值域是指函数输出值的集合。
在高中数学中，我们常常遇到一些关于函数值域的问题。
下面将介绍高中函数值域的7类题型以及解决这些问题的16种方法。
1. 函数值域的确定式题：给出一个函数的解析式，要求确定函数的值域。
解决方法：- 通过分析函数的定义域和性质推导函数的值域。
- 使用函数的图像来确定函数的值域。
- 借助导数和极值的概念来确定函数的值域。
2. 函数值域的确定性问题：给出一个函数的图像，要求确定函数的值域。
解决方法：- 通过观察图像的特点，确定函数的最大值和最小值。
- 借助极值和区间的概念，确定函数的值域。
3. 函数值域的不等式问题：给出一个函数的不等式解析式，要求确定函数的值域。
解决方法：- 分析给定不等式的解集，确定函数的值域。
- 将不等式转化为等式，解出方程，确定函数的值域。
4. 函数值域的集合表示问题：给出一个函数的值域，要求将其表示为集合。
解决方法：- 分析函数的定义域和性质，将函数的值域表示为集合。
- 借助函数的图像来表示函数的值域。
5. 函数值域的推导题：给出一个函数的值域，要求推导出函数的解析式。
解决方法：- 分析给定的值域，推导出函数的定义域和性质，再根据推导出的定义域和性质写出函数的解析式。
6. 函数值域的综合题：综合运用多种方法，确定函数的值域。
解决方法：- 根据题目要求，运用不同的方法来确定函数的值域。
- 分析题目中给出的条件，结合函数的性质来确定函数的值域。
7. 函数值域的实际问题：将函数值域与实际问题联系起来，解决实际问题。
解决方法：- 将实际问题转化为函数模型，通过确定函数的值域来解决实际问题。
- 根据实际问题给出的条件和约束，运用适当的方法来确定函数的值域，作为问题的解答。
以上是高中函数值域的7类题型和16种方法。
对于不同类型的问题，我们可以根据题目要求和给定条件，选择合适的方法来求解函数的值域。
通过练习这些题型，我们可以提高对函数值域的理解和分析能力。
专题 函数的定义域和值域
专题：函数的定义域、值域之宇文皓月创作A 一、基本知识①函数的定义域：函数自变量的取值范围。
此定义包涵以下内容：⑴自变量即是函数方程中的某一个未知数，可以是x ，也可以是其他字母b a ,；如：12++=ax ax y 的定义域是[]1,1-，无法确定是x 或a 的范围，但1)(2++=ax ax x f 和1)(2++=ax ax a g 就非常明确；⑵复合函数的定义域：①)1(+x f 的定义域是[]1,1-[]1,1-∈⇒x ，不是[]1,11-∈+x ；②)]([x g f 的内函数的值域是外函数定义域的子集。
⑶分段函数的定义域：分段函数各子函数的定义域交集为φ，值域为各子函数的并集。
题型一、惯例函数的定义域例1、求下列函数的定义域1．（1）x x x x x x f +-++-=02)1(65)(； （2）1132---=x x x y ； 2.函数)1lg(11)(++-=x x x f 的定义域是 （ ）A ．(-∞,-1)B ．(1,+∞)C ．(-1,1)∪(1,+∞)D ．R3. 函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 （ ）A ．（∞-，31-）B ．(31-，31）C ．(31-，1）D ．(31-，∞+）4．若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是（ ）A ．[,]a bB ．[,]b a --C ．[,]b b -D ．[,]a a -5. 已知()f x =11+x ，则函数(())f f x 的定义域是 ( )A ．{|1}x x ≠-B ．{|2}x x ≠-C ．{|12}x x x ≠-≠-且D ．{|12}x x x ≠-≠-或6. 函数＝y =R ，则k 的取值范围是（）A.09k k ≥≤-或B.1k ≥C.91k -≤≤D. 01k <≤7．已知函数22(3)1xy ax a x -=--+的定义域是R , 则实数a 的范围是_________________.题型二、抽象函数的定义域例2、1．若函数()f x 的定义域为[－2，2]，则函数f 的定义域是（ ）A ．[－4，4]B ．[－2，2]C ． [0，2]D ． [0，4]2．已知函数)(x f 的定义域为[0，4]，求函数)()3(2x f x f y ++=的定义域为（ ）A ．[2,1]--B ．[1,2]C ．[2,1]-D ．[1,2]-3.若函数)2(+x f 的定义域为[－2，2]，则函数)12(-x f 的定义域是_________________.B 一、基本知识①函数的值域：在定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有取值所组成的集合。
函数的值域(内含答案)
【高中数学专题训练之___】函数的值域一、要点梳理1、值域: 函数值的取值范围叫做函数的值域，函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.2、常见函数的值域：（1）一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.（2）二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦. （3）反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. （4）指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. （5）对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. （6）正，余弦函数的值域为[]1,1-，正切函数的值域为R.（7）,(0)ky x x x=+≠在 0k >时的值域为(),,k ⎡-∞+∞⎣，在0k <时的值域为R3、求解函数值域问题常用方法（1）单调性法（2）换元法 （3）分离系数法（4）数形结合法（5）判别式法 （6）有界法二、习题精练 方法一、函数单调性法 1、求函数y =+-25x log31-x （2≤x≤10）的值域解：令y 1=25-x ，2y =log31-x ，则 y 1 ， 2y 在[ 2， 10 ]上都是增函数。
所以y= y 1 +2y 在[ 2 ，10 ]上是增函数。
当x = 2 时，y m in = 32-+log312-=81，当x = 10 时，max y = 52+log39=33。
故所求函数的值域为：[81，33]。
2、求函数y=1+x -1-x 的值域。
解：原函数可化为： y=112-++x x令y 1 =1+x ，2y = 1-x ，显然y 1 ，2y 在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y= y 1 +2y 在[1，+∞）上也为无上界的增函数。
专题06 函数的定义域、值域--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x ∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ） A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．222⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x a f x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,45．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inx f x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1]B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mx f x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．210．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121xf x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02112y x x x =++-的定义域是________．15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；16.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞； ②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增： ④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．。
函数的值域的7种题型
函数的值域的7种题型函数的值域是函数输出值的集合。
理解函数的值域对于理解函数的性质和行为非常重要。
以下是函数的值域的7种题型：1. 基础题型：给定一个简单的函数，例如 $f(x) = x^2$，求其值域。
这种题型主要考察对基本函数性质的理解。
2. 复合函数：给定一个复合函数，例如 $f(g(x))$，其中 $g(x) = x^2$，求其值域。
这种题型要求理解复合函数的性质，特别是内外函数的值域和定义域关系。
3. 分段函数：给定一个分段函数，例如 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$，求其值域。
这种题型要求理解分段函数的性质，特别是不同分段的值域。
4. 三角函数：给定一个三角函数，例如 $f(x) = \sin x$，求其值域。
这种题型要求理解三角函数的性质，特别是其周期性和振幅。
5. 指数和对数函数：给定一个指数或对数函数，例如 $f(x) = 2^x$ 或 $f(x) = \log_2 x$，求其值域。
这种题型要求理解指数和对数函数的性质，特别是其单调性和定义域。
6. 抽象函数：给定一个抽象函数，例如 $f(x) = x^2 + 1$，求其值域。
这种题型要求对函数性质有更深入的理解，特别是如何通过函数的性质判断其值域。
7. 实际应用题：给定一个实际问题，例如求一个物理过程的输出范围，或者求解一个经济模型的参数范围。
这种题型要求将实际问题转化为数学模型，并利用数学工具求解值域。
通过解决这些题型，可以加深对函数值域的理解，提高解决实际问题的能力。
高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题(含答案解析)
高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题（含答案解析）作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。
所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。
一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。
若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。
（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（2y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。
（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内） 例：()[]223,1,4f x x x x =−−∈−解：()()214f x x =−−∴对称轴为：1x = ()[]4,5f x ∴∈−（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称 （2）当,0x y →+∞→ 当,0x y →−∞→（4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > 注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a = ② 极值点：,x a x a ==− ③ 极值点坐标：()(),2,,2a a a a −−④ 定义域：()(),00,−∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎤⎡−∞−+∞⎦⎣（5）函数：()0ay x a x=−> 注意与对勾函数进行对比 ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =± ③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现1、换元法：将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x 的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。
史上最全面的函数定义域值域求法好题集含详解
史上最全面的函数定义域、值域的求法好题集一、单选题1 .函数y = ∕（x+l ）的值域是[-2,3],则函数y = "x-2）的值域是（ ）A. [-1,4]B. [1,6]C. [-2,3]D. [-3,2]2 .己知函数/（1）=1。
82（--+6工+ 7）的值域记为集合4,函数g （χ） = Ji6-0的值域为B ,则有（），・/、 sin4x + √3cos4x 八函数∕(x) == ----------- - ------- 的值域为()sin2x-√3 cos 2xg(x) + x+4,x< g(x)、 :、，则函数/(幻的值域 g(x)-x,x≥g(x)—Q.CUC + 3cι +1, x < 1,, , 的值域为R,则实数。
的取值范围是（）A. （一2,2）B. (-U )C. [-M]D. [-2,2]6. 函数∕∙（χ）二工-2+2-』在区间（0,4]上的值域为（A.xc / 15η B∙ (-∞,-]4C∙ [|，2] D. (—8,2]A.9、[一:，+8）4 B. 9 —,0(1,÷∞)4C. 97一二,。
（二,+8）4 4 D∙ 9—,0 D (2,+”5) 4 A. β⊂QΛB. A ⊂ C κBC. Au83∙ 若函数V= ∕（Λ）的值域为则函数 ∕7(.v)∕(.v) +的值域为（） /（二）A.B. C.5 1() 2 ’ 3D.4.已知函数∕(x) = lnx-0r 2+(4z-l)x + 6z(4z > 0)的值域与函数∕(∕(x))的值域相同，则。
的取值范围为（A. (0』B.(L+8)C.D. 4一,+835. 7. 8. 已知∕(x) =lnx,x≥∖A. (-00,-1]B. (-1,0)C. [-1,0)D. [-1,09.己知函数 ∕(x) = ------ --- 2sinx + 3x'在区间[-2,2]的值域为, ∣jiιj m+n =3Λ +1 ()取值范围是()A. (l,+∞)B. (2,+∞)cosx. x<a,11.若函数∕(x) = { 1 的值域为［T1］,则实数4的取值范围是(),x a x A. [l,+oo) B. (―00,—1]C. (0, 1] D∙ (—1,0)12 .已知函数八力的定义域A ，值域是3 = {y ∣Q<y≤M' g(x)定义域C,值域是 3 = {y c≤ y≤d^.甲：如果任意再wA,存在々£0,使得/(5)二g(毛)，那么4口。
专题2-1 函数性质1：值域12类归纳-(解析版)
专题2-1 函数性质1：值域12类归纳目录一、热点题型归纳 ...................................................................................................................................... 1 【题型一】值域基础1：幂函数求值域.................................................................................................... 1 【题型二】值域基础2：指数函数求值域................................................................................................ 3 【题型三】值域基础3：对数函数求值域................................................................................................ 3 【题型四】值域基础4：分式（类反比例）型函数求值域 .................................................................... 6 【题型五】值域基础5：“对钩”与“双曲”函数求值域 ...................................................................... 8 【题型六】值域基础6：分段函数与值域.............................................................................................. 10 【题型七】值域基础7：绝对值函数求值域 .......................................................................................... 12 【题型八】值域基础8：“无理函数”求值域 ........................................................................................ 14 【题型九】“高斯函数”与值域 .............................................................................................................. 16 【题型十】“保值函数”与值域 .............................................................................................................. 18 【题型十一】“放大镜”函数与值域....................................................................................................... 20 【题型十二】抽象函数、复合函数与值域............................................................................................. 22 【题型十三】值域综合 ............................................................................................................................ 24 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 26 三、模拟检测 .. (28)【题型一】值域基础1：幂函数求值域【典例分析】若函数()f x =（,,a b c ∈R ）的定义域和值域分别为集合,A B ，且集合{(,)|,}x y x A y B ∈∈表示的平面区域是边长为1的正方形，则b c +的最大值为__________． 【答案】5【详解】由题可知，2040a b ac -，，则A =⎢⎥⎣⎦ ，0B ⎡=⎢⎢⎣， 因为(){|}x y x A y B ∈∈，， 表示的平面区域是边长为1的正方形，1=，可得4a =-，21616b c += ，2116b c =-，所以()2211851616b bc b b +=-++=--+，当8b =时有最大值5．1.设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________. 【答案】[1,13]【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简222211m n n m +++后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f (x )对称轴为1x m=，∵f (x )值域为[]0,∞+，∵0m >且21121001f m n n mn m m mm ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅-+=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n ＞0.()12224f m n m n ≤⇒-+≤⇒+≤，∵()()()()2222224422222222*********m m n n m n m n m n n m m n m n m n +++++++==+++++++ =()22222222222m n m n m n m n +-++++=()()222222222m n mn m n +++-++=()()222222212m n m n m n +++-++=221mn +-∵221211m n mn +-≥-=，22221()34313m n m n +-=+-≤-=，∵222211m n n m +++∵[1,13].故答案为：[1,13]. 2.已知函数3()3f x x x =-在()25,1x m m ∈--的值域为[](),a b b a >，则实数m 的取值范围为________.【答案】由函数知()f x 存在极大、小值，而()25,1x m m ∈--的值域为[](),a b b a >，则()25,1m m --必包含极值点，列不等式组求m 的取值范围.【详解】由解析式知：2()3(1)f x x '=-，∵(,1)-∞-、(1,)+∞上()0f x '>，即()f x 单调递增；(1,1)-上()0f x '<，即()f x 单调递减； ∵()f x 有极大值(1)2f -=，极小值(1)2f =-，由题意知：2,2a b =-=，即有：222155111(5)2(1)2m m m m f m f m ⎧->-⎪-<-⎪⎪->⎨⎪-≥-⎪⎪-≤⎩m ≤，故答案为：3.已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[1,3]-，则⋅a b 的最大值为________.【答案】3【分析】画出函数图像,分析要使函数在闭区间[,]a b 上的值域为[1,3]-,必有1a b ≤-≤,[][,]3,1a b ⊆-,3a =-或1b =,再根据求⋅a b 的最大值最好是正值,可得0a <, 0b <,即⋅a b 的最大值为()()313-⨯-=.【详解】画出函数()22f x x x =+的图像可知,要使其在闭区间[,]a b 上的值域为[1,3]-,由于有且仅有()11f -=-,所以1[,]1a b a b -∈⇒≤-≤, 而()()313f f -==,所以有[][,]3,1a b ⊆-,3a =-或1b =, 又∵0a <,⋅a b 的最大值为正值时,0b <, ∵1,3b a ≠=-,所以3a b b ⋅=-,当b 取最小值时,,⋅a b 有最大值. 又∵1b ≥-,∵⋅a b 的最大值为()()313-⨯-=； 故答案为：3.【题型二】值域基础2：指数函数求值域【典例分析】函数()(,)1xb f x a a b R e =+∈+是奇函数，且图象经过点1ln 3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的值域为______ 【答案】(1,1)-【分析】由题意首先求得函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数的值域即可.【详解】函数是奇函数，则:0(0)012b bf a a e =+=+=+∵, 结合函数所过的点可得:ln31ln 3142b b f a a e ∵,∵∵联立可得:12a b =⎧⎨=-⎩， 则函数的解析式为:2(x)11x f e -=++，结合指数函数的性质可得:11x e +>，2(2,0)1xe -∈-+，2()1(1,1)1x f x e -=+∈-+. 故答案为：(1,1)-.【变式演练】 1.函数的值域为_________．【答案】．【详解】试题分析：设，因为所以又函数为增函数，有所以函数的值域为． 2.关于函数1()42xf x =+的性质，有如下四个命题： ∵函数()f x 的定义域为R ； ∵函数()f x 的值域为(0,)+∞；∵方程()f x x =有且只有一个实根； ∵函数()f x 的图象是中心对称图形． 其中正确命题的序号是_____． 【答案】∵∵∵【分析】∵可以利用指数函数的值域得到40x >，从而求出定义域；∵利用40x >得到值域；∵构造函数，求导，求出单调性，结合零点存在性定理求出答案；∵求出1(1)()2f x f x ++-=，从而得到函数()f x 关于点11,24⎛⎫⎪⎝⎭对称，故()f x 的图象是中心对称图形. 【详解】∵因为40x >，所以函数1()42x f x =+的定义域为R ，∵正确；∵因为40x >，所以函数1()42x f x =+的值域为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，∵错误；∵令()142xg x x =-+，则()()24ln 41042x x g x '=--<+恒成立，故()142x g x x =-+单调递减，又()1003g =>，()11106g =-<，故由零点存在性定理及函数单调性可知：方程()f x x =只有一个实根，∵正确； ∵1111(1)()42422x x f x f x +-++-=+=++，所以函数()f x 关于点11,24⎛⎫⎪⎝⎭对称，∵正确． 故答案为：∵∵∵ 3.已知函数()1424x x f x +=-+，[]1,1x ∈-，则函数()y f x =的值域为（ ）．A ．[)3,+∞B ．[]3,4C ．133,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.依题意，函数()2)(2224x xf x =-⨯+，[]1,1x ∈-，令2x t =，则2x t =在[]1,1x ∈-上单调递增，即122t ≤≤，于是有2224(1)3y t t t =-+=-+，当1t =时，min 3y =，此时0x =，min ()3f x =， 当2t =时，max 4y =，此时1x =，max ()4f x =， 所以函数()y f x =的值域为[]3,4. 故选：B【题型三】值域基础3：对数函数求值域【典例分析】设函数()=log (01)a f x x a a >≠且的定义域为[,])m nm n <（，值域为[0,1]，若n m -的最小值为13，则实数a 的值是_____________．【答案】32或23【分析】根据题意()=log a f x x ，利用函数图像的变换，作出()=log a f x x 的图像，根据图像特点，结合题意，分01a <<和1a >进行讨论，列出关于a 的等式关系，即可求解出结果．【详解】如图所示，做出()=log a f x x 的图像，若01a <<，当1n =时，log 1a m =时，1233n m a -=⇒=． 若1a >时， 当1n =时，log 1a m =-，1332n m a -=⇒=．综上所述，32a =或23【变式演练】1.若函数()()221log 214f x kx k x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，则实数k 的取值范围为_____．【答案】1[0,][1,)4+∞【分析】将问题转化为()21214kx k x +-+能取尽所有的正数，然后再分0k =和0k ≠两种情况，并结合函数的性质求解即可．【详解】∵函数()()221log 214f x kx k x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，∵()()21214g x kx k x =+-+能取尽所有的正数．∵当0k =时，()14g x x =-+，能取尽所有的正数，符合题意；∵当0k ≠时，要使()()21214g x kx k x =+-+能取尽所有的正数，则需满足()220214510k k k k k >⎧⎪⎨=--=-+≥⎪⎩，解得104k <≤或1k ≥， 综上可得104k ≤≤或1k ≥,∵实数k 的取值范围为][10,1,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.2.已知函数2322()log 1x bx cf x x ++=+的值域为[]0,1，则b 与c 的和为_______． 【答案】4或0【详解】试题分析：本题是已知函数值域，求参数值问题，可根据题意知函数定义域为R ，由值域反过来求，即由已知得2221x bx cx +++的值域是[1,3]，从而有222221,1{231x bx cx x bx c x ++≥+++≤+即2210,{30,x bx c x bx c ++-≥-+-≥，注意两个不等式中等号一定成立，因此两式的判别式为0，由此可求得,b c 值． 试题解析：因为()f x 的值域为0,1，即23220log 11x bx cx ++≤≤+，所以222221,1{231x bx cx x bx c x ++≥+++≤+即2210,{30,x bx c x bx c ++-≥-+-≥ 21224(1)0,{4(3)0,b c b c ∆=--≥∆=--≥当且仅当120,{0∆=∆=时，222011x bx cx ++≤≤+取等号． 解方程组可得2,{2b c ==或2,{2.b c =-= 3.已知函数()()2lg 1f x ax x =++.设命题():p f x 的定义域为R ，命题():q f x 的值域为R .若p q ∨为真，p q∧为假，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[)0,∞+ D ．()0,∞+【答案】C【分析】根据一元二次不等式恒成立和二次函数值域可求得,p q 为真命题时a 的取值范围，根据p q ∨和p q ∧的真假性可知,p q 一真一假，分类讨论可得结果.若命题p 为真，则210ax x ++>在R 上恒成立，0140a a >⎧∴⎨-<⎩，1,4a ⎛⎫∴∈+∞ ⎪⎝⎭；若命题q 为真，则21y ax x =++的值域包含()0,∞+，则0a =或0140a a >⎧⎨-≥⎩， 10,4a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦；p q ∨为真，p q ∧为假，,p q ∴一真一假，若p 真q 假，则1,4a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；若p 假q 真，则10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述：实数a 的取值范围为[)0,∞+. 故选：C.【题型四】值域基础4：分式（类反比例）型函数求值域【典例分析】已知,,a b c 为非零实数，(),ax b f x x R cx d +=∈+，且(2)2,(3)3f f ==.若当dx c≠-时，对于任意实数x ，均有(())f f x x =，则()f x 值域中取不到的唯一的实数是_________．【答案】52【详解】试题分析：因为当d x c ≠-时，对于任意实数x ，均有()f f x x =⎡⎤⎣⎦，所以ax ba bcx d x ax b c dcx d +⨯++=+⨯++，即()()()2220a d cx d a x b a d ++--+=，因为()()()2220a d cx d a x b a d ++--+=对dx c ≠-恒成立，所以0a d +=且220d a -=，所以d a =-，因为()22f =，()33f =，所以2和3是方程ax bx cx d+=+的两个根，即2和3是方程()20cx d a x b +--=的两个根，所以5a d c -=，6b c-=，由{56d a a dc b c =--=-=得：52{652a cb c d c ==-=-，所以()5165125225252252cx cx f x x x cx c --===+---，即()f x 取不到52这个数，所以()f x 值域中取不到的唯一的实数是52，所以答案应填：52．【变式演练】1.设x ∈R ，函数INT()x 表示不超过x 的最大整数，例如INT(0.1)1-=-，INT(2.8)2=，若函数222()1x f x x -=+，则函数INT(())y f x =的值域是（ ） A ．{2} B ．{0,1,2} C ．{1,0,1,2}- D ．{0,1} 【答案】C【分析】23()11=-++f x x 可得1()2f x -<≤，分1()0f x -<<、0()1f x ≤<、1()2f x ≤<、()2f x =根据定义可得答案.2222223(1)3()1111x x f x x x x --+===-++++，因为211x +≥，所以23031x <≤+， 所以1()2f x -<≤，当1()0f x -<<时，()()1y INT f x ==-；当0()1f x ≤<时，()()0y INT f x ==； 当1()2f x ≤<时，()()1y INT f x ==；当()2f x =时，()()2y INT f x ==，所以函数()()y INT f x =的值域为{1,0,1,2}-， 故选：C.2.定义区间[]12,x x 长度()2121x x x x ->为，已知函数()()221(,)0a a x f x a xa R a ∈=≠+- 的定义域与值域都是[],m n ，则区间[],m n 取最大长度时a 的值为__________.【答案】3【分析】先分析函数单调性，根据单调性结合值域列方程，转化为对应一元二次方程根的情况，再根据求根公式求[],m n 长度，根据二次函数性质求其最大值，即得a 的值. 【详解】因为()()222111a a x a a xa a f xx +-+==-，所以()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上都是单调递增函数，所以0m n <<或0m n <<因为值域是[],m n ，所以221111,,a a m n a a m a a n++=-=- 即m n ，为方程222211,()10a x a x a a x a a x+=--++=两个不同的实根, 所以222()401a a a a ∆=+->∴>或3a <-[],m n长度为2a ∆所以当11,33a a ==时，[],m n 长度取最大值，故答案为：33.关于函数2()1xf x x=+（x ∈R ）的如下结论：∵()f x 是奇函数； ∵函数()f x 的值域为（－2,2）；∵若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠； ∵函数()()3g x f x x =-在R 上有三个零点． 其中正确结论的序号有 ．（请将你认为正确的结论的序号都填上） 【答案】∵∵∵【分析】根据函数的解析式，逐一判断以下结论是否正确．【详解】函数()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，2()1x f x x =+，2()1xf x x--=+，所以()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，∵正确；当0x >时，22()(0,2)111x f x x x==∈++， 因为()f x 是奇函数，当0x <时，()(2,0)f x ∈-，又(0)0f =，所以函数()f x 的值域为（－2,2），∵正确；当0x >时，22()111x f x x x==++，函数在(0,)+∞上递增，因为()f x 是奇函数，所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，故若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠，∵正确；由方程()()30g x f x x =-=，得0x =或231x =+，显然方程231x=+无实解，故函数()()3g x f x x =-在R 上有一个零点，∵不正确；综上，正确结论的序号有∵∵∵．【题型五】值域基础5：“对钩”与“双曲”函数求值域【典例分析】已知定义在（0，3]上的函数()111a bf x x a x -+=++-+的值域为[4，5]，若()1,5b a -∈-，则a +b 的值为_________ .【答案】7将函数变形为()1 12 1?a b f x x a x -+=+++-+，令1(1,4]t x =+∈，()1?2a b g t t a t -+=++-，由()10,6a b -+∈，利用对勾函数的性质求解.【详解】因为()1 1?112 1? 1?a b a b f x x a x a x x -+-+=++-=+++-++，令1(1,4]t x =+∈， 所以()1?2a b g t t a t -+=++-，因为()1,5b a -∈-，所以()10,6a b -+∈， 所以()g t在⎡⎣上递减，在⎤⎦递增，所以()min 24g t g a ==-=∵， 又()()931,4,(1,4]4a b g g b g t ++===∈，所以()()max 9344a bg t g ++==∵， 所以934a bb ++≤，由∵∵得6,29a b =-=或2,5a b ==，因为()1,5b a -∈-，所以2,5a b == 所以a +b=7。
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函数的值域专题
第I 类：简单的复合函数
引例1：241x y --=；)4(log 22x y -=；124++=x x y ；1sin sin 2++=x x y
第II 类：带分式的复合函数（换元、部分分式法、反解（判别式法）、公式法）
引例2：直接写出函数=y x
x 3121+-的值域为____________，曲线的对称中心为________；若添加条件[]1,0∈x ，则值域为________； 根据以上结论直接写出函数的值域：)2,0(sin 31sin 21⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈+-=πx x x y ；[])1,0(3121∈+-=x x x y 引例3：求函数1
32+-=x x y 的值域 变式：求函数312-+=
x x y 的值域 变式：求函数x x x x y cos sin 2cos sin ++=（⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ）的值域 引例4：求函数1
58522+++=x x x y 的值域 变式：若已知函数)(1
3)(22R x x n x mx x g ∈++-=的值域为[]8,2，求实数n m ,的值 解答：
练：若已知函数)(1
8)(22R x x n x mx x g ∈+++=值域为[]9,1，求实数n m ,的值 第III 类：带根式的复合函数
引例5：求函数x x y 21--=的值域； 思考：根式函数)0(≠+++=AC D Cx B Ax y 的值域如何研究？
引例6：求函数x x x f 211)(--+=的值域；
变式1：求函数x x x f 21)(-=的值域；
变式2：求函数x x y -++=31的值域；
变式3：求函数2111x x x y -+-++=的值域；
变式4：求函数x x y 3154-+-=的值域； 思考：一般地，求函数D Cx B Ax y +++=
（其中0≠AC ）的值域如何研究？
练习：已知a 2
12x x a
≥+-对 一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为_____
思考：你能给出本题的几种解法？本题的背景问题是什么？ 【高等数学背景】带佩亚诺余项的泰勒展开式)(8
2112
x x x x σ+-+=+，当+∞→x 时，0)(→x σ，故8
2112
x x x -+≥+ 通过无理换元，将无理函数转化为有理函数，从而将问题简化
第IV 类：构造法求函数的值域问题
引例6：求函数2
23)1()(+-=x x x x f 的值域是__________ 变式：若关于x 的方程012
34=++++ax ax ax x 有实数根，求实数a 的取值范围 3
2-≤a 或2≥a 当一个式子中同时出现432,,,x x x x 时，可通过一定手段构造出x x x x 1/1-+和221x
x +两个关联结构 练习：（2015年通州区回归课本专项检测）若函数()432f x x ax bx cx d =++++．
（1）若函数()f x 为偶函数，且在1x =处取得极值1-，求函数()f x 的解析式；
（2）当1a d ==-，0b c ==时，求证：()f x 的图象与x 轴恰有两个交点；
（3）当a c =，1d =时，设函数()f x 有零点，求22a b +的最小值．
解：
29. 已知1≥a ，函数[])1,0(41
94)(∈+++=x x x x f ，1623)(23+--=a x a x x g [])1,0(∈x .
（1）求函数)(x f 与函数)(x g 的值域；
（2）若对任意[]1,01∈x ，存在[]1,02∈x ，使得)()(12x f x g =成立，求实数a 的取值范围.
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡23,1 变式：函数421()421
x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的123x x x 、、，均存在以123()()()f x f x f x 、、 为三边长的三角形，求实数k 的取值范围.
30. 若函数)1(log )(2+=x x f 的定义域和值域都是[]b a ,，则____=+b a 1
变式1：是否存在实数n m ,，使函数26)(x x f -=的定义域和值域均为[]n m ,？
变式2：函数x
a x f 1)(-=的定义域与值域均为区间[]n m ,（n m <），求实数a 的取值范围. 变式3：已知函数x x f 11)(-
=，若存在实数)(,b a b a <使得)(x f 的定义域是[]b a ,，值域是[]),0(,R m m mb ma ∈≠，则实数m 的取值范围为_________
变式4：函数()()21x f x x R x =∈+，区间[]()
,M a b a b =<其中，(){},N y y f x x M ==∈ 则使M N =成立的实数对(),a b 有 个.
31. 若,1)(x
x x f -=则方程x x f =)4(的根是________. 32. 已知21)(x x
x f -=，则))((x f f 的定义域为__________.
33. 求下列函数的值域.
（1）1344342+-++-=x x x y ；
（2）用逆求法求函数的值域： 1
232+⋅=x x
y ；1cos 31sin 2+-=x x y （3）用判别式法求函数的值域：242--+=x x x y ；92342++=x x y ；1
1522+-+-=x x x x y ； 说明：对于分式函数n m p
nx mx c bx ax y ,(22++++=不同时为0）求值域，若c bx ax ++2与p nx mx ++2无公共实根时，可用判别式法.
（4）x x y 21-+=；x x y 292-++=
；。