计算方法上机1舍入误差与数值稳定性

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实验一误差传播与算法稳定性

实验一误差传播与算法稳定性1.1 实验目的体会稳定性在选择算法中的地位．误差扩张的算法是不稳定的，是我们所不期望的；误差衰竭的算法是稳定的．是我们努力寻求的，这是贯穿本课程的目标．通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。

1.2 算法描述概要：舍人误差在计算方法中是—个很重要的概念。

在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响．将会得到截然不同的结果。

因此，选取稳定的算法，在实际计算中是十分重要的。

考虑一个简单的由积分定义的序列101n x n I x e dx e =⎰， 0,1,2,n=(E.1)利用分部积分易得 11111000111n x n x n x n n n I x e dx x e x e dx nI e e e --==-=-⎰⎰, 0,1,2,n= 得递推公式11n n I nI -=-， 0,1,2,n=(E.2)注意到 110100111111n n n n x e dx I x e dx I e e e(n )n ⋅<<⋅∴<<++⎰⎰ 取100111063212056x I e dx .e e ==-≈⎰由利用(E.2)变形得到11n n I I n --= (E.3)计算方法：先估计一个N I ,再反推要求的n I (n N )。

11(1)1N I e N N <<++ 可取 1112(1)1N I e N N ⎡⎤≈+⎢⎥++⎣⎦（0I →+∞→当时,N N ）。

1.3 实验内容由递推关系(E.2)，可以得到计算(E.1)积分序列{}n I 的两种算法．其一为(E.2)的直接应用，即100111x I e dx e e ==-⎰， 11n n I nI -=-， 0,1,2,n = (E.4)另外一种算法则是利用(E.2)变形得到的0N I =， 11n n I I n --=， 1,2,,1n N N =--(E.5)1.4 实验要求（1）分别用算法(E.4)、(E.5)并在计算中分别采用5位、6位和7位有效数字，请判断哪种算法能给出更精确的结果．（2）两种算法的优劣，与你的第一感觉是否吻合．请从理论上证明你实验得出的结果，解释实验的结果．设(E.4)中0I 的计算误差为0e ，由0I 递推计算n I 的误差为n e ；算法(E.5)中N I 的误差为N ε，由N I 向前递推计算()n I n N <的误差为n ε．如果在上述两算法中都假定后面的计算不再引入其他误差，试给出n e 与0e 的关系和n ε与N ε的关系．（3）算法(E.4)中通常0e 会很小，当n 增大时，n e 的变化趋势如何?算法(E.5)中N ε通常相对比较大，当n 减小时，误差n ε又是如何传播的?也就是说比较一下上述两个算法，当某一步产生误差后．该误差对后面的影响是衰减还是扩张的．（4）通过理论分析与计算实验，针对算法(E.4)和(E.5)的稳定性，给出你的结论。

数值算法的稳定性

用上式计算 Im 可使计算的误差减少5倍，因而它对应的算法是数值稳定的算法。
线性代数一④
有递推公式
In

5In1

1 n
(n
1,2,...)
15/32
在该例中,用上述公式计算积分的值,I0=ln6-ln5
≈0.182322的舍入误差在计算过程迅速传播，每次扩大 5倍，致使I12= -0.32902110×10-2 严重失真，所以这一公式是不稳定的。
n
I9n/32
5 0.0284684
4 0.0343063
3 0.0431387
2 0.0580389
1 0.0883922
最后得: I0=0.182322
与我们开始计算的I0≈0.182322是一样的
该公式给出的算法
I n1

1 5
In

1 5n
(n

m,
m
1,...,2,1)
就是稳定的
11
就是稳定
In1 5 In 5n (n m, m 1,...,2,1) 的
线性代数一④
五、简化计算步骤,减小运算次数,避免误差积累18/32
简化计算步骤是提高程序执行速度的关键，它不仅可以节省时间，还能减少舍入误差。
例6：计算9255的值若逐个相乘要用254次乘法, 9255 = 9•9•9•……•9
≈0.182322的舍入误差在计算过程迅速传播，每次扩大 5倍，致使I12= -0.32902110×10-2 严重失真，所以这一公式是不稳定的。
线性代数一④
7/32
n
In
n
In
n
In
n

计算方法与计算实验一误差分析

（1）MATLAB 主程序 function [k,juecha,xiangcha,xk]= liti112(x0,x1,limax) % 输入的量--x0是初值, limax是迭代次数和精确值x;
% 输出的量--每次迭代次数k和迭代值xk,
%
--每次迭代的绝对误差juecha和相对误差xiangcha，
误差分析
误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时，由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法的好坏会影响到数值结果的精度。一、实验目的
因为运行后输出结果为： y 1.370 762 168 154 49， yˆ =1.370 744 664 189
38， R 1.750 396 510 491 47e-005， WU= 1.782 679 830 970 664e-005 104 . 所
以， yˆ 的绝对误差为 10 4 ，故 y
③ 运行后输出计算结果列入表 1–1 和表 1-2 中。
④ 将算法 2 的 MATLAB 调用函数程序的函数分别用 y1=15-2*x^2 和
y1=x-(2*x^2+x-15)/(4*x+1)代替，得到算法 1 和算法 3 的调用函数程序，将其保
存，运行后将三种算法的前 8 个迭代值 x1, x2 ,, x8 列在一起（见表 1-1），进行
的精确解 x* 2.5 比较，观察误差的传播.
算法 1 将已知方程化为同解方程 x 15 2x2 .取初值 x0 2 ，按迭代公式
xk1 15 2xk2

工程数学中数值计算应注意的一些原则

数值计算中应遵循的原则工程问题的数值计算中出现误差的渠道及原因, 分析了这些误差可能会引起的后果。

通过具体例子说明要避免这些误差须遵循的原则。

用数值稳定性好的计算方法;两个数量级相差很大的数进行加减运算时, 防止小的那个数加减不到大的数中; 避免两个相近的数相减, 损失有效数字; 防止出现机器零和溢出停机; 在除法运算中, 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值; 简化计算步骤, 减少运算次数。

用电子数字计算机进行各种工程问题的数值计算, 计算误差是不可避免的。

误差的渠道来源主要有四个: 模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。

用数学模型描述各类实际问题, 一般都要作一定的简化, 由此产生的数学模型的解与实际问题的解之间一定会有差异, 这种差异就是模型误差; 数学模型中包含的某些参数或常数, 大多是经过仪器观测或试验获得的数值, 这样得到的观测数值与实际数值之间也有误差, 这种误差称为观测误差; 求解数学模型所用的数值计算方法往往是近似计算方法, 由此产生的误差称为方法误差。

由于近似方法一般都要用有限的四则算术运算步骤来代替无穷的极限运算, 这种由截断一个无穷过程而引起的误差, 就叫截断误差, 方法误差也属于截断误差; 由于电子数字计算机只能将数表示成有限位进行计算, 对超过位数的数字按一定的规则作舍入, 由此产生的误差称为舍入误差。

数值计算方法主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响, 一般不考虑模型误差和观测误差。

分析参数或常数的观测误差在数值计算中的影响的方法与分析舍入误差的影响所用的方法大致相同,而控制观测误差和模型误差则不是数学计算工作者所能独立解决的。

为了减小误差, 特别是舍入误差的影响, 在数值运算中应注意以下一些原则:1用数值稳定性好的计算方法, 以便控制舍入误差的传播如, 要求在四位有效数字的精度下计算定积分的值[1]:由有理函数积分法知,因而计算这 101 个定积分的算法是:它是数值稳定性不好的一种算法, 因为 y0的舍入误差传播到 y1时增大 5 倍, 如此进行, 传播到 y100时将增大到 5100倍。

数值运算的误差估计四则运算的证明

数值运算的误差估计四则运算的证明数值运算的误差估计是指在进行四则运算（加法、减法、乘法、除法）时，由于计算机在表示和处理实数时存在有限精度的问题，导致结果可能与实际值之间存在一定的差距。

这种差距即为误差，我们需要对误差进行估计，以保证计算结果的准确性和可靠性。

在进行数值运算时，计算机使用有限的位数来表示实数，例如使用二进制的浮点数表示法。

然而，无论使用何种表示方法，都无法完全准确地表示无限的实数集合。

这就意味着，在计算机中进行的数值运算实际上是对实数的一个近似计算。

我们来看加法和减法运算的误差估计。

在进行加法运算时，如果两个数的绝对值差距很大，那么较小的数在计算机中可能被舍入为零，从而引入了较大的误差。

而在进行减法运算时，由于计算机的有限精度，可能会出现两个非常接近的数相减时的大误差。

在实际应用中，我们可以通过控制计算顺序以及合理的舍入规则来减小这些误差。

接下来，我们来看乘法和除法运算的误差估计。

在进行乘法运算时，如果两个数的绝对值都很大，那么结果的绝对值可能会超出计算机的表示范围，从而导致溢出。

而在进行除法运算时，如果除数接近于零，那么结果可能会变得非常大，也可能会变得非常小，这就会引入较大的误差。

因此，在进行乘法和除法运算时，我们需要特别注意数值的范围和精度，避免产生不可预测的结果。

为了更好地估计数值运算的误差，我们可以借助一些数值分析的方法。

其中一种常用的方法是舍入误差分析。

舍入误差是由于将无限精度的实数舍入为有限精度的实数而引入的误差。

通过分析舍入误差的上界和下界，我们可以得到对数值运算结果的误差估计。

另外，我们还可以使用数值稳定性分析来评估数值算法的稳定性和可靠性。

数值稳定性是指在输入数据存在扰动的情况下，算法的输出结果是否能够保持稳定。

如果算法具有较好的数值稳定性，那么它在进行数值运算时产生的误差就相对较小。

总结起来，数值运算的误差估计是保证计算结果准确性和可靠性的重要手段。

在进行四则运算时，我们需要注意加法、减法、乘法和除法运算可能引入的误差，并采取相应的措施来减小误差。

计算方法中的误差

计算方法中的误差标题：计算方法中的误差导言：在科学和工程领域，计算方法是解决问题和预测结果的关键工具。

然而，所有的计算方法都不可避免地涉及到误差。

误差是指计算结果与实际值之间的差异，它可能源自多种因素，包括测量精度、近似方法和计算机数值表示等。

本文将探讨计算方法中的误差类型、其对结果的影响以及如何处理和减小误差的方法。

一、误差类型：1.绝对误差：绝对误差是计算结果与实际值之间的差异的绝对值。

它反映了计算的精确度，通常以相应物理量的单位来表示。

2.相对误差：相对误差是绝对误差与实际值之比。

它描述了计算结果与实际值之间的相对差异，常以百分比或小数形式表示。

3.舍入误差：舍入误差是由于对计算结果进行舍入或截断而引入的误差。

在计算机中，由于数值的有限表示能力，舍入误差是不可避免的。

4.截断误差：截断误差是指使用近似方法或截断级数展开时引入的误差。

它是因为截断了无穷级数或近似了复杂的计算模型而产生的。

二、误差对结果的影响：误差的存在可能对计算结果产生重要影响，特别是在高精度要求的问题中。

小的误差可能会被放大，导致最终结果的明显偏离实际值。

误差还可能导致不稳定性，使计算过程变得不可靠。

三、处理和减小误差的方法：1.提高测量精度：通过使用更精确的测量设备或方法，可以减小测量误差，并提高计算结果的准确性。

2.优化算法和近似方法：选择合适的算法和近似方法，可以减小截断误差和舍入误差。

例如，使用更高阶的数值方法可以提高计算精度。

3.错误传播分析：对于复杂的计算问题，通过误差传播分析可以评估误差在计算过程中的传播情况，从而预测结果的误差范围。

4.数值稳定性分析：在涉及数值计算的问题中，进行数值稳定性分析可以确定潜在的数值不稳定性和误差放大的情况，并采取相应的措施来减小误差。

5.合理选择计算精度：根据问题的要求和计算资源的限制，选择合适的计算精度。

过高的计算精度可能导致不必要的计算开销，而过低的计算精度可能引入较大的误差。

3_舍入误差分析及数值稳定性

当
c a a b p 1 23 p 1 23 x , ,a 2 ) 用 a 表示 [a 2 2 2
记为： a fl ( x )
实数 x 在机器中的浮点 (float)表示记为 fl (x ) . 将由此将表示产生的误差 fl ( x ) x 称之为舍入误差 .
下限
-127
2 2 128
s 7
不区分正零和负零
区分正零和负零
上限
127
下限
-128
上限
127
区分正零和负零
一般地
不区分正零和负零下限上限
下限
上限
( 2 1)
s
2 1
s
2
s
2 1
s
August 6, 2012
yfnie@
3
4) Overflow
二进制阶数上限 2 1 ，那么表示数的绝对值的上限为：
•当|x|>>1时
x 1 x 1 x 1 x
ln( x
x 1 ) ln( x
2
x 1)
2
•当|x|<<1时
1 1 x
相对误差 e r ：
*
e
* r

fl ( x ) x fl ( x )

2
p 1 23
2
p 1
2
23
10
6 . 923
(
1 2
10
6 . 623
)
单精度实数 fl (x ) 能够有 6~7 位有效数字 .

数值计算方法马东升等第版习题解答

第1章数值计算引论1．1 内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。

1．截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。

这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。

例如，要计算级数∑∞==+++++1!1!1!31!211k k n的值，当用计算机计算时，用前n 项（有限项）的和∑==+++++nk k n 1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n 项后边的无穷多项，因而产生了截断误差∑∞+=1!1n k k2．舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。

例如，用3.141 59表示圆周率π时产生的误差0.000 002 6…,用0.333 33表示1÷3的运算结果时所产生的误差1÷3-0.333 33 = 0.000 003 3…都是舍入误差。

二．近似数的误差表示1．绝对误差设x *是准值x 的一个近似值，称**)(x x x e -=为近似值x *的绝对误差，简称误差。

令|)(|*x e 的一个上界为*ε，即***|||)(|ε≤-=x x x e把*ε称为近似数*x 的绝对误差限，简称误差限。

2．相对误差设*x 是精确值x 的一个近似值，称xx x xx e **)(-=为近似值x *的相对误差。

在实际应用中常取***)(xx x x e r -=为*x 的相对误差。

令相对误差绝对值 |)(|*x e r 的一个上界为ε*r，即 ****|||||)(|r r x x x x e ε≤-=把ε*r称为近似数*x 的相对误差限。

3．有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。

设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯±= ，其中，i x 是0~9之间的任一个数，但i x ≠0，n i ,2,1=是正整数，m 是整数，若nm x x -⨯≤-1021||*则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值，*x 准确到第n 位，n x x x ,,,21 是*x 的有效数字。

数值计算中舍入误差对算法稳定性的影响

２１０１
・
大学教学・
数值计算中舍入误差对算法稳定性的影响
江翠夏丹丹杨翠翠
（京航空航天大学理学院，江苏南京２１Ｏ）南１ｌ０
摘要：定性在选择算法中占有重要的地位。误差扩张的算法是不稳定的，我们所不期稳是望的；差衰竭的算法是稳定的，我们努力寻求的。本文给出一个具体的实例，分别考察其两误是并种算法的稳定性，并给出相关结论。
中对任意输入数据都是稳定的算法，为无条件称稳定，这种算法是我们希望的。另一类算法对某些数据稳定，对另一些数据不稳定，而这种算法称为条件稳定，实际应用中，在需谨慎使用。对于一个数值问题，们主要关心的是计算我
Ｖｏ１４Ｎｏ．２．４２Ｏ１１
Ｅ。推计算Ｅ的误差为；面给出ｅ与的递下
小，当某一步产生误差后，误差对后面的影响即该
关系。算法１的计算误差如下：递推公式为
实际计算结果为
Ｅ１— １ｅＥ一１一／，１一２３ … ，，，（）４
另一种算法则是利用（）２变形得到的
ＥＮ：：Ｏ，：Ｅ１一 —－Ｅｎ１－
—
，ｌ— Ｎ，一１，Ｎ …

舍入方法对数据精度的影响及处理策略

舍入方法对数据精度的影响及处理策略舍入方法对数据精度的影响主要体现在以下几个方面：
1.数值精度损失：所有的舍入方法都可能导致数值的精度损失，因为它们都
是基于四舍五入或者近似的方法进行的取整。

在处理需要高精度的数据时，这种精度损失可能会对结果产生显著的影响。

2.舍入误差：由于计算机内部表示浮点数的方式，舍入操作可能会导致舍入
误差。

这种误差可能会在关键的计算过程中累积，从而影响结果的准确性。

3.舍入方向性：不同的舍入方法有不同的舍入方向，如向上取整、向下取整
等。

这些方向性可能会导致数据产生偏移，从而影响数据的整体分布和统计特性。

4.舍入规则的一致性：在处理大量数据时，如果舍入规则不一致，可能会导
致数据在不同阶段的不一致性，从而影响数据分析的准确性和可靠性。

5.边界情况处理：在某些舍入方法中，边界情况的处理可能会影响数据的精
度。

例如，四舍五入在处理0.5的情况时可能会产生不确定性。

6.动态数据变化：对于动态变化的数据，如果舍入策略不随数据变化而调整，
可能会影响数据的整体精度。

因此，需要根据数据的动态变化选择合适的舍入策略。

总的来说，舍入方法对数据精度的影响是多方面的，既包括舍入操作本身的误差，也包括精度损失的累积和舍入规则的不一致性等。

因此，在数据处理和分析过程中，应该根据实际情况选择合适的舍入方法，尽可能地减少舍入对数据精度的影响。

同时，需要注意舍入误差的累积和传播，以及舍入对数据分布和统计特性的影响。

《数值计算方法》实验 (1)

电子科技大学《数值计算方法》
实
验
报
告
输入6,1;0,1,21i i n a b i i n ===+=−" 结果得f=1.718263
输入10,1;0,1,21i i n a b i i n ===+=−" 结果得f=1.718282
输入100,1;0,1,21i i n a b i i n ===+=−" 结果得f=1.718282
从中计算结果看随n 增大迭代计算结果逐渐稳定,可认为出现此现象有两种情况一是对该输入序列a,b 用此迭代公式随序列増长会逐渐逼近一个稳定值，二是在迭代计算过程中产生大数“吃掉”小数现象且计算结果只取7为有效数字。

3. 实验结论
在计算机内做加法运算时，首先要对加数作对阶处理，加之计算机字长有限，因尽量避免出现大数吃小数现象，计算时要注意运算次序，否则会影响结果的可靠性。

报告评分：
指导教师签字：。

数值计算中的误差

数值计算中的误差数值计算过程中的误差是指由于各种原因产生的计算结果与真实结果之间的差异。

这些误差可以分为三类：截断误差、舍入误差和传播误差。

截断误差是由于计算过程中的近似方法导致的误差。

在数值计算中，通常使用有限的计算步骤来近似数值。

例如，使用泰勒级数展开式来近似一个函数，需要截断级数并且只保留有限的项。

这种近似方法会引入截断误差。

另一个例子是数值积分，将一个连续函数的积分区间离散化为有限个小区间，每个小区间的面积用一个代表性的值来近似。

这种近似方法也会引入截断误差。

舍入误差是由于计算机在进行数值计算时所产生的误差。

计算机中使用二进制来表示数字，而大多数实数是无法精确地用有限的二进制位数来表示的。

当进行数值计算时，计算机必须对数字进行舍入，即将无限位数的数字截断为有限的位数。

这种舍入操作会导致计算结果与实际结果之间产生误差。

另外，计算机在进行加减乘除等运算时，会出现舍入误差。

例如，计算机对两个非常接近的数字进行相减时（称为“减法消失现象”），由于舍入误差的累积，可能会得到一个较大的误差。

传播误差是由于数值计算中的多个步骤之间的误差传播而产生的误差。

当计算过程中的一个步骤的输出作为下一个步骤的输入时，前一步骤的误差会传播到后一步骤，从而导致误差的累积。

例如，在求解微分方程的数值方法中，每个时间步长的计算结果会成为下一个时间步长的初始值。

如果每个时间步长都具有一定的误差，误差会逐渐累积并导致整个计算过程的误差增加。

为了减小数值计算中的误差，一些方法可以采取。

例如，增加计算的精度，使用更高阶的近似方法来减小截断误差；使用更大的计算单位，避免舍入误差的累积；结合多个数值方法，控制误差传播。

此外，还可以通过数值稳定性的分析和合理的算法设计，来降低误差的产生和传播。

总之，数值计算中的误差是不可避免的，但可以通过合理的方法和技术来减小误差并提高计算结果的准确性。

对于一些关键性的计算，还可以通过数值计算的验证方法，如重复计算、精确解的对比等，来评估计算结果的可靠性和准确性。

数值计算中的数值误差与稳定性分析

数值计算中的数值误差与稳定性分析在数值计算领域，数值误差和稳定性是两个重要的概念。

数值误差是指数值计算结果与真实值之间的差异，而稳定性则关注计算方法对初始条件的敏感程度。

本文将就数值误差和稳定性进行分析，并探讨它们在数值计算中的应用。

一、数值误差1.1 精度误差精度误差是由计算机的有限位数表示数字所引起的误差。

在计算过程中，无法无限精确地表示实数，因此会出现舍入误差。

例如，计算π时，无论使用多少位的近似值，都无法精确表示π的真实值。

1.2 截断误差截断误差是指在数值计算过程中，为了减少计算量而对计算结果进行截断或舍入所引起的误差。

当我们对无限级数或函数进行近似计算时，往往只截取有限项或使用有限阶的多项式进行计算，从而引入截断误差。

1.3 累积误差累积误差是指在多次计算中，由于前一步计算的误差被传递到后一步而导致误差不断累积的情况。

当我们进行复杂的数值计算时，每一步的误差都会进一步影响后续的计算，从而导致累积误差的出现。

二、稳定性分析2.1 稳定性定义在数值计算中，稳定性是指计算方法对初始条件的敏感程度。

一个稳定的计算方法应该在输入条件有轻微变动时，计算结果不会发生剧烈的改变。

相反，如果计算方法对初始条件非常敏感，那么它就是不稳定的。

2.2 条件数条件数是衡量问题条件对计算结果影响程度的度量。

条件数越大，计算结果对输入条件的变动越敏感，稳定性越差。

条件数的计算方法因具体问题而异，但一般来说，条件数越大，计算问题就越病态，数值解的稳定性越差。

2.3 稳定性与算法选择在实际的数值计算中，选择合适的算法和计算方法对于保证计算结果的稳定性至关重要。

对于特定的数值计算问题，我们应该选择恰当的数值方法，避免不稳定的计算。

例如，在求解线性方程组时，若矩阵的条件数较大，我们应该选择稳定的求解方法，以避免结果的不确定性。

三、数值误差与稳定性的应用数值误差和稳定性的分析对于各个领域的数值计算都具有重要的应用价值。

以下是一些具体应用的例子：3.1 科学计算在科学计算中，例如天气预报、结构力学分析等，准确的数值计算结果对于判断问题的性质和做出决策至关重要。

数值分析实验报告

《数值分析》实验报告学院：计算机科学与软件学院姓名：XXX班级：计算机XX班学号：XXXXXX实验一：舍入误差与数值稳定性实验目的：1、通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言；2、通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。

3、通过上机计算，了解运算次序对计算结果的影响，从而尽量避免大数吃小数的现象。

实验内容：用两种不同的顺序计算644834.11000012≈∑=-n n ，分析其误差的变化。

实验流程图：实验源程序:#include <stdio.h>#include <math.h>void main(){ int i;float s1=0,s2=0,d1,d2;for (i=1;i<=10000;i++)s1=s1+1.0f/(i*i);for (i=10000;i>=1;i--)s2=s2+1.0f/(i*i);d1=(float)(fabs(1.644834-s1));d2=(float)(fabs(1.644834-s2));printf("正向求和结果为%f\n 误差为%f\n\n",s1,d1);printf("反向求和结果为%f\n 误差为%f\n\n",s2,d2);if(d1<d2)printf("正向求和误差小于负向求和误差\n");else if(d1==d2)printf("正向求和误差等于负向求和误差\n"); elseprintf("正向求和误差大于负向求和误差\n");}实验结果：实验分析：第一次做数值实验，又一次使用C语言编程，没有了刚学习C语言的艰难，能够将实验步骤转换成流程图并编写出完整的实验代码，在经过多次调试、改正后得到正确的程序和结果。

这个实验较简单，计算误差时如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是稳定的，否则称此算法是数值不稳定的，减少运算次数可以减小舍入误差。

数值解法特点

数值解法特点数值解法是一种通过数值计算来近似求解数学问题的方法。

它主要用于解决无法通过解析方法得到精确解的问题，或者求解复杂的数学模型。

数值解法具有以下特点：1. 近似解：数值解法得到的解是近似解，而不是精确解。

由于使用计算机进行数值计算时存在舍入误差，因此数值解法得到的解通常是一个近似值。

然而，通过增加计算精度和采用更精细的数值方法，可以使近似解更加接近精确解。

2. 数值计算：数值解法是通过数值计算来求解问题的。

数值计算是一种通过计算机对数学问题进行数值逼近的方法。

它涉及到对数学模型进行离散化和数值逼近，通过计算机进行数值计算来求解问题。

3. 离散化：数值解法通常需要对问题进行离散化处理。

离散化是将连续的数学问题转化为离散的数值问题的过程。

通过将问题的自变量和因变量离散化为有限个数值点，可以将问题转化为一个有限的数值计算问题。

4. 迭代求解：数值解法通常使用迭代的方法来逼近解。

迭代是一种通过逐步逼近来求解问题的方法。

数值解法通过反复迭代计算，逐步逼近问题的解。

迭代过程中，根据当前的近似解计算下一个近似解，直到满足一定的收敛条件。

5. 数值稳定性：数值解法的稳定性是指解的误差是否随着计算的进行而不断扩大。

在数值计算过程中，由于舍入误差等原因，解的误差可能会逐步扩大。

数值解法的稳定性能够保证解的误差不会无限扩大，从而保证数值解的可靠性。

数值解法在科学计算和工程领域有着广泛的应用。

它可以用于求解微分方程、积分方程、线性方程组等数学问题，解决流体力学、结构力学、电磁场等物理问题，以及优化、数据拟合等工程问题。

数值解法的发展使得许多无法通过解析方法求解的复杂问题得以解决，为科学研究和工程实践提供了有力的工具。

数值解法的核心是数值计算和数值方法的选择。

数值计算涉及到离散化方法、数值逼近方法和数值计算技巧等方面的内容。

离散化方法包括有限差分法、有限元法、边界元法等，用于将问题离散化为数值计算问题。

数值逼近方法包括插值方法、拟合方法、数值积分方法等，用于逼近问题的解。

计算方法与实习的实验报告范文

计算方法与实习的实验报告范文1舍入误差与数值稳定性1.1目的与要求（1）通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令；（2）通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。

1.2舍入误差和数值稳定性1.2.1概要舍入误差在计算方法中是一个很重要的概念。

在实际计算中如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。

因此，选取稳定的算法在实际计算中是十分重要的。

1.2.2程序和实例对n=0,1,2，…，40计算定积分1某n某5n0d某。

算法利用递推公式yn=ln6-ln50.182322。

程序如下：#include#includevoidmain(){doubley_0=log(6.0/5.0),y_1;intn=1;printf(\while(1){y_1=1.0/n-5某y_0;printf(\if(n>=40)break;y_0=y_1;n++;if(n%2==0)printf(\}}1n5y（n=1,2,…，40）取y0=11某50d某=2方程求根2.1实验目的（1）通过对二分法与牛顿迭代法作编程练习与上级运算，进一步体会二分法与牛顿迭代法的不同特点；（2）编写割线迭代法的程序，求非线性迭代法的解，并与牛顿迭代法作比较。

2.2二分法2.2.1算法给定区间[a,b],并设f(a)与f(b)符号相反，取ε为根的容许误差，δ为|f(某)|的容许误差。

1令c=(a+b)/2；2如果(c-a)0,则令a=c;否则令b=c,重复1,2,3。

2.2.2程序与实例求方程f(某)=某4某100在1.5附近的根。

程序如下：#include#include#defineep5e-6#definedelta1e-6floatBiection(floata,floatb,float(某f)(float)){floatc,fc,fa=(某f)(a),fb=(某f)(b);intn=1;printf(\二分次数\\t\\tc\\t\\tf(c)\\n\while(1){if(fa某fb>0){printf(\不能用二分法求解\c=(a+b)/2,fc=(某f)(c);printf(\if(fab(fc)returnc;}floatf(float某){return某某某某某+4某某某某-10;32}intmain(){floata=1,b=2;float某;某=Biection(a,b,f);printf(\方程的根为%f\return0;}3线性方程组数值解法3.1目的与要求（1）熟悉求解线性方程组的有关理论和方法；（2）会编制列主元消去法、LU分解法、雅克比及高斯赛德尔迭代法的程序；（3）通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。

数值计算中的误差分析与稳定性

数值计算中的误差分析与稳定性数值计算在现代科学和工程领域起着至关重要的作用。

然而，在进行数值计算时，由于数值计算机制的特性，会引入一定的误差，这些误差可能会对计算结果产生重要影响。

因此，在数值计算中，误差分析和稳定性的研究至关重要。

本文将讨论数值计算中的误差来源、误差分析方法以及提高计算稳定性的措施。

一、误差来源在数值计算中，误差可以来自多个方面，主要包括截断误差和舍入误差。

1. 截断误差：截断误差是由于使用有限的计算步骤来近似无限精度的数学运算而引入的误差。

例如，在求解微分方程时，使用数值方法进行离散化处理，会引入截断误差。

2. 舍入误差：舍入误差是由于计算机内部表示实数时所引入的误差。

计算机在存储和计算实数时，通常是以有限的二进制位数进行表示。

因此，无法准确表示所有实数。

在进行计算时，舍入误差会导致最终结果与精确结果之间存在差异。

二、误差分析方法为了评估数值计算的精度和稳定性，需要对误差进行分析。

下面介绍几种常见的误差分析方法。

1. 绝对误差：绝对误差是指计算结果与真实值之间的差距。

绝对误差可以通过减去真实值得到。

2. 相对误差：相对误差是绝对误差除以真实值的比值。

相对误差可以反映计算结果的相对精度。

3. 条件数：条件数是用于衡量在输入数据中的微小变动如何影响计算结果的稳定性的度量。

条件数越大，计算结果对输入数据的变动越敏感，稳定性越差。

三、提高计算稳定性的措施为了提高数值计算的稳定性，可以采取以下几种措施。

1. 使用高精度计算库：使用高精度计算库可以增加计算精度，减小误差的产生。

高精度计算库通常能够提供更多的有效位数，从而减小舍入误差。

2. 选择合适的数值方法：不同的数值方法在不同问题上表现不同的准确性和稳定性。

在进行数值计算时，应根据实际情况选择合适的数值方法，以提高计算的稳定性。

3. 控制计算步骤：合理控制计算步骤对于减小误差具有重要作用。

例如，在求解数值积分时，可以选择适当的积分方法和节点，以减小截断误差。