浅谈微分方程的起源与发展史
常微分方程的发展史
常微分方程的发展史摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”.关键词：常微分方程，发展，起源正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。
17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。
但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。
1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。
雅可比·伯努利自己解决了前者。
翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。
有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。
线性微分方程的科学发展和科学创新
线性微分方程的科学发展和科学创新线性微分方程是数学中的基本概念，它在科学发展和科学创新中扮演着重要角色。
线性微分方程经过长期的科学发展和创新，已经成为数学的重要分支，同时也影响着其他学科的发展。
本文将从历史、应用和前景三方面探讨线性微分方程的科学发展和创新。
历史线性微分方程的历史可以追溯到17世纪，当时欧洲的数学家们开始探索微积分学的原理和应用。
在这个时代，很多基本的微分方程被发现，如与热和光有关的方程。
但是，当时的数学家并没有意识到这些方程的重要性，因此直到19世纪它们才被认为是数学的基础。
19世纪中期是线性微分方程的重要时期。
数学家Bernhard Riemann提出了复变函数的概念，然后线性微分方程逐渐被分类和研究，包括解析理论和代数理论。
这些研究对微积分、数学物理和应用数学领域的发展产生了深远影响。
线性微分方程的解析理论在19世纪后期被逐渐发展，从而有了更多应用场景，如电磁学、机械振动和量子力学等。
应用线性微分方程除了在数学理论中应用广泛外，微分方程也在众多实际应用中扮演着重要角色。
例如，在工业领域中常常需要解决工程问题，如气体涡轮和动力机器的运转问题。
线性微分方程能够很好地解决这些问题，因此工程领域是线性微分方程的另一个重要应用领域。
在物理领域中还有很多实际问题，如相对论、流体力学和量子力学等。
线性微分方程的应用能够从理论上量化这些问题，并提供有关物理变量之间的关系。
线性微分方程还在地球科学、生物医学和金融学等领域中得到广泛应用。
因此，线性微分方程不仅是数学基础理论，也是其他学科的重要理论。
前景线性微分方程已经发展了几个世纪，但在当今时代中，它仍然是一个热门研究领域。
对于线性微分方程的研究和应用仍然在不断发展和改进。
随着科技的发展，更加复杂的问题会涌现，科学家们需要用更加精细的理论去解决这些问题。
同时，在研究线性微分方程的过程中，也可以发现和创新出新的理论或方法。
在应用领域，微分方程的求解方法和应用场景也会随着技术的发展而不断改进和更新。
线性微分方程的历史发展和现代应用
线性微分方程的历史发展和现代应用历史上，线性微分方程的研究始于18世纪，在数学家们的努力下，逐渐出现了一些重要的成果和定理。
在现代科学和工程学中，线性微分方程广泛应用于理论研究和实际问题的解决。
1. 历史发展18世纪，欧洲的数学家们正致力于研究微积分学的基本问题，其中一个重要问题就是微分方程。
而在这些微分方程中，线性微分方程成为了研究的主军。
著名的数学家欧拉(Euler)被认为是线性微分方程理论的始创者之一，他在1748年的《积分方程论》中提出了一些线性微分方程的基本概念和结论。
后来，拉普拉斯(Laplace)进一步发展了欧拉的理论，在他的著作《数学理论》中，对线性微分方程做出了更加深入的研究，提出了著名的拉普拉斯变换的概念，这为后来的控制系统和电路分析提供了重要工具。
19世纪末20世纪初，矩阵代数的发展也大大促进了线性微分方程的研究和应用。
矩阵理论的发现使得人们可以更加简单和方便地处理一类特殊的线性微分方程，即常系数线性微分方程，而该方程在主导了科学研究和工程实践中的许多问题的解决中发挥着至关重要的作用。
2. 常见的线性微分方程发展至今，线性微分方程已经成为一个包罗万象的大门类，其中常见的线性微分方程类型大致可以分为以下几类：- 常系数线性微分方程：此类微分方程中，系数不随时间变化，可以借助于矩阵理论、Legendre多项式等工具求解，包括简谐振动、RC电路等实际问题。
- 变系数线性微分方程：系数随时间变化，可以借助于Laplace变换、特解法等求解，例如二阶变系数线性微分方程、弹性波方程等。
- 偏微分方程（PDE）：包括齐次线性偏微分方程和非齐次线性偏微分方程，是研究热传导、波动传播等领域中重要的数学工具。
3. 现代应用线性微分方程在现代科学和工程学中广泛应用，以下列举几个例子：- 控制系统理论：控制系统设计中常使用的PID控制器实际上就是一个常系数线性微分方程的解，PID参数的设置和调整可以借助线性微分方程的理论和方法解决。
常微分方程的起源与发展
"" 许多有关 微 分 方 程 的 教 材 都 会 提 到 发 现 海 王星的故事 $ 海王星的发现是人类智慧的结晶 " 也 是微分方程巨大作 用 的 体 现 " 体现了数学演绎法 的强大 威 力 $ 人们注意到 3 $ ? 3 年 发 现 天 王 星 后" 它所在的位置总是和万有引力定律计算出来的结 果不符 $ 于是有人怀疑万有引力定律的正确性 % 但 这可 能 是 受 另 外 一 颗 尚 未 发 现 的 行 也有人认为 " 星吸引所致 $ 当时虽有不少人相信后一种假设 " 但 缺乏去寻找这颗未知行 星 的 办 法 和 勇 气 $ 6 "岁的 英国剑桥大学的学 生 亚 当 斯 承 担 了 这 项 任 务 $ 他 利用引力定律和对天王星的观测资料建立起微分 方程 " 来 求 解 和 推 算 这 颗 未 知 行 星 的 轨 道$ 3 ? ! " 年3 #月6 3 日他把计算结果寄给格林威治天文台 台长艾利 " 但艾利不相信& 小 人 物 ’的 成 果 " 置之 两年后 " 法国青年勒威耶也开始从事这项研 不理 $ 究$ 他把 计 算 结 果 告 诉 了 柏 林 3 ? ! G年%月3 ?日" 天文台助理员 卡 勒 " 卡勒果然在勒威耶 6 " 日 晚" 预言的位置上发现了海王星 $ 对于数学 " 特别是数学的应用 " 微分方程所具 有的重大意义主要 在 于 ( 很多物理与技术问题可 本文以此为契机 " 以化归为微分方程的求解问题 $ 阐述常微分方程发展过程中所经历的四个重要时 期及微分方程的应用意义 $ ! 常微分方程的经典阶段 $ $ $ 以通解为主要研究内容 就像微积分在 3 $ 世纪后期与 3 ? 世纪前期的
常微分方程发展简史
常微分方程发展简史在17世纪初，牛顿和莱布尼茨的微积分发现为常微分方程的研究提供了基础。
他们建立了微分和积分的概念，并发展了微积分的基本原理。
这些成果为后来的常微分方程的研究奠定了基石。
在17世纪晚期，丹麦数学家欧拉（Euler）对常微分方程做出了很大贡献。
他提出了一阶常微分方程的解可以用指数函数来表示，并且解决了许多具体的微分方程问题。
欧拉还提出了欧拉方程，为后来的常微分方程研究奠定了基础。
在18世纪，数学家拉普拉斯（Laplace）和拉格朗日（Lagrange）继续推进了微分方程的研究。
他们提出了许多常微分方程的解法，如分离变量法、变换法和齐次化方法等。
这些方法为常微分方程的求解提供了有效的途径。
19世纪初，高斯（Gauss）提出了可微分曲线的理论，为微分方程的几何解释提供了基础。
同时，柯西（Cauchy）建立了常微分方程的数学理论，给出了数学上严格的解决方法。
他提出了柯西问题，即通过给定初始条件求解微分方程的问题。
这一问题成为后来微分方程理论的核心。
19世纪中期，数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）和韦伊斯特拉斯（Weierstrass）进一步发展了微分方程的理论，提出了广义解和李普希茨条件等概念。
他们的工作为微分方程的研究提供了更加严密的数学基础。
20世纪初，数学家波安卡列（Poincaré）对常微分方程的稳定性和周期性做出了重要贡献。
他提出了位相空间和奇点的概念，并研究了常微分方程在位相空间中的变化规律。
这一工作为后来的动力系统理论的发展奠定了基础。
20世纪后期，随着计算机的发展，常微分方程的数值解法得到了广泛应用。
数学家和工程师利用计算机模拟和迭代求解的方法，可以更加准确地求解含有复杂边界条件的常微分方程。
这一进展使得常微分方程的应用领域得到了大大的拓展，包括物理学、工程学和经济学等。
总结起来，常微分方程的研究经历了几个重要的阶段，从17世纪初的微积分基础，到18世纪的解法发展，再到19世纪的理论建立，最后到20世纪的计算机应用。
浅谈微分方程的起源与发展史
浅谈微分方程的起源与发展史摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。
这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。
引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。
比如，我们可以试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。
通过这些例子，我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。
最后再通过微分方程求出未知函数。
关键字：微分方程起源发展史一、微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。
微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。
例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动规律。
微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数,却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式,即微分方程。
浅谈微分方程的起源与发展史讲解
浅谈微分方程的起源与发展史摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。
这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。
引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。
比如，我们可以试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。
通过这些例子，我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。
最后再通过微分方程求出未知函数。
关键字：微分方程起源发展史一、微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。
微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。
例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动规律。
1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数,却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式,即微分方程。
微分学的历史和起源
微分学的历史和起源从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287—前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。
他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。
圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作。
意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。
这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。
17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。
到了17世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾萨克·牛顿（1642－1727）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。
牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。
这些概念是力学概念的数学反映。
牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他还把几何图形——线、角、体，都看作力学位移的结果。
常微分方程发展简史—经典阶段
常微分方程发展简史—经典阶段微分方程是数学的一个重要分支，它研究函数与其导数之间的关系。
常微分方程是其中的一类，它描述了一个未知函数与其导数之间的关系。
常微分方程的研究历史可以追溯到古代，但其经典阶段始于17世纪，并且在18世纪达到了高峰。
下面将简要介绍常微分方程发展的经典阶段。
17世纪是微积分学的发展时期，许多数学家开始研究微分方程。
其中最重要的是牛顿和莱布尼茨的工作，他们独立地发现了微积分的基本原理，并将其应用于物理问题的求解。
牛顿发展了牛顿运动定律，并通过微分方程的形式来描述物体的运动。
他的工作使常微分方程成为了解决物理问题的重要工具。
18世纪是常微分方程研究的黄金时期。
数学家们开始系统地研究微分方程的性质和解法。
最著名的数学家之一是欧拉，他在微分方程领域做出了巨大贡献。
他研究了线性和非线性常微分方程，并提出了解这些方程的方法。
他的工作奠定了常微分方程的基础理论，并推动了后续的研究。
欧拉之后，许多数学家对常微分方程进行了进一步的研究。
拉普拉斯、拉格朗日和傅里叶等数学家都为微分方程的理论和解法作出了贡献。
拉普拉斯提出了一种新的解微分方程的方法，即变量分离法。
这种方法被广泛应用于解常微分方程的各种形式。
拉格朗日则研究了经典力学中的变分原理，并将其应用于解微分方程。
傅里叶的贡献是将常微分方程的解表示为正弦和余弦函数的形式，这被称为傅里叶级数展开。
此外，拉普拉斯和拉格朗日还提出了一种新的方法，即变换法。
这种方法将一个复杂的微分方程转化为一个更简单的形式，从而易于求解。
这为后来的研究提供了重要的思路。
到了19世纪，常微分方程的研究越来越深入。
高斯、庞加莱和魏尔斯特拉斯等数学家在微分方程的解法和理论方面取得了重要进展。
高斯研究了二阶常微分方程的解法，提出了高斯超几何函数的概念。
这个函数在物理学和工程学中有广泛的应用。
庞加莱提出了一种新的方法，即微分方程的数值解法。
他的工作为计算机模拟和数值计算奠定了基础。
微分方程发展简史
微分方程发展简史
微分方程是数学中最重要的问题之一，它是用来描述研究物理和其他自然现象的数学工具。
微分方程的历史可以追溯到古希腊时期。
古希腊时期，欧几里德（Euclid）提出了一种特殊的微分方程，称为“微分比率”。
这种方程可以用来表示古希腊数学家的自然观念，即当一个量变化时，它的比率也会随之变化。
这种思想的萌芽就是微分方程。
17世纪，德国数学家弗朗兹·莱布尼茨开始研究微分方程，他以自己的名字为此方程命名，称之为“莱布尼茨方程”。
他证明了古代希腊人欧几里德和拉斐尔的想法，他们认为变量的导数和变量有关，并且可以用来解释自然界的微分方程。
在这之后，德国数学家弗洛伊德·勃兰特建立了一个更为精确的解微分方程的理论框架。
他提出了一种称为“勃兰特公式”的方法，通过数学建模可以更好地描述物理现象。
18世纪，法国数学家哥白尼和英国数学家拉斐尔也提出了关于微分方程的理论，但是他们没有将其完整地应用到物理学中。
然而，他们的工作为新一世纪发掘物理奥秘和解决重要物理问题提供了基础。
19世纪，法国数学家萨缪尔·不伦瑞克和德国数学家卡尔·马克斯·哈特曼在萨缪尔不伦瑞克方程中做出了重大贡献。
常微分方程的发展史
常微分方程的发展史古希腊时期，数学家们已经开始研究变化率的概念。
柏拉图的学派研究了一些与变化有关的问题，但没有形成完整的理论体系。
欧几里得和阿基米德的工作也涉及到变化率的概念，但不是以微分方程的形式出现。
到了17世纪，微积分的出现为常微分方程的形成奠定了基础。
众所周知，牛顿和莱布尼茨几乎同时独立发现了微积分学，为数学提供了解决变化问题的新方法。
牛顿在《自然哲学的数学原理》中系统地描述了微积分学，这其中就包括了常微分方程的基本概念和方法。
在牛顿和莱布尼茨之后，许多数学家对常微分方程进行了深入研究。
欧拉和拉格朗日都做出了重要贡献。
欧拉在常微分方程的解法中独创地引入了指数函数，并建立了常微分方程的一种通用解法。
拉格朗日则提出了常微分方程的拉格朗日变换方法，使其在特定问题的求解中更加简化。
到了18世纪，高斯和拉普拉斯等数学家对常微分方程的研究取得了突破性进展。
高斯提出了“用有限项解”的概念，选取了特定形式的函数作为常微分方程的解，从而解决了一些常微分方程的特解问题。
19世纪是常微分方程研究的繁荣时期。
该时期的数学家们在解析解法、级数解、特解以及数值解的研究方法上取得了长足进展。
拉普拉斯为生物、物理和天文学中的实际问题提供了常微分方程的解析解。
波利亚和卡尔内斯则为常微分方程的级数解提供了系统的研究方法。
20世纪是常微分方程研究的极其重要时期。
在此期间，常微分方程与控制论、动力系统等领域发生了深入的交叉。
著名数学家皮卡尔引入了皮卡尔定理，研究非线性常微分方程的局部解存在性和唯一性。
此外，20世纪还出现了新的数值方法，例如欧拉法和龙格-库塔法，用于求解常微分方程的数值解。
从西蒙，泰勒爵士到费曼，众多科学家和数学家在其研究中广泛使用常微分方程。
无论是经济学、物理学、工程学，还是生物学、化学等领域，常微分方程都有着重要的应用。
总结起来，常微分方程是以微积分学为基础的数学分支，其发展历史可以追溯到古希腊时期。
从牛顿和莱布尼茨的发现开始，数学家们对常微分方程进行了深入研究并取得了重要进展。
浅谈微分方程的起源与发展史
浅谈微分方程的起源与发展史摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展.虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题,所以,他们的研究具有非常重要的现实意义。
这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。
引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征.比如，我们可以试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。
通过这些例子,我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。
最后再通过微分方程求出未知函数.关键字：微分方程起源发展史一、微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。
微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程,一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为,变量之间的规律是一目了然的。
例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为,就明确的掌握了物体的运动规律。
1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪,简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根据生物学,物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数，却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式，即微分方程。
常微分方程的形成与发展
常微分方程的形成与发展常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中的一个重要分支，它描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。
常微分方程的形成与发展涉及了很多数学家的研究工作，下面将从古希腊时期的微分方程雏形开始介绍。
微分方程的雏形可以追溯到公元前250年，亚历山大的狄氏方程（Dido's equation）。
狄氏方程是腓尼基王后狄多在建立迦太基城市时遇到的一个问题。
她希望修建一条半圆形的城墙，使得城墙围起的面积最大。
经过求解，她得到了半圆的解，这是一种具有最大面积的形状。
这个问题可以用微分方程的形式表示，即通过求解方程的极值问题来获得最优解。
在17世纪，微积分的发展促进了微分方程的研究。
众多著名的数学家如牛顿、莱布尼茨、欧拉等都对微分方程进行了深入研究，使得微分方程得到了扎实的理论基础。
牛顿在其《自然哲学的数学原理》中首次提出了微分方程的概念，并利用微分方程来描述物体的运动。
他通过对运动物体的速度进行微分得到了物体的加速度。
牛顿开创性地应用微分方程来建立物理学中的数学模型。
在18世纪，欧拉对微分方程作出了重要贡献。
他通过引入复数来解决了一阶线性常微分方程的问题。
此外，欧拉还开发了许多常见的微分方程求解方法，如变量分离、积分因子等。
欧拉的工作为后来的微分方程的研究奠定了基础。
19世纪，数学家拉普拉斯和拉格朗日进一步推动了微分方程的发展。
拉普拉斯系统地研究了线性常微分方程，并加入了对边界条件的考虑，使得求解微分方程的方法更加完善。
拉格朗日则在变分计算（Calculus of Variations）中提出了最值问题的欧拉-拉格朗日方程，使微分方程研究又进了一步。
20世纪，微分方程得到了更为广泛的应用和深入的研究。
具有代表性的成果包括霍普夫林恩（Heinz Hopf）的动力系统理论、庞加莱（Henri Poincaré）的混沌理论、卡尔曼（Rudolf E. Kálmán）的控制理论等。
浅谈微分方程的起源与发展史
浅谈微分方程的起源与发展史微分方程是数学中重要的研究对象之一，它是描述自然现象和工程问题的基本语言之一、微分方程的起源可以追溯到古代，发展至今已有几千年的历史。
古代的微分方程研究主要集中在几何和物理问题上。
在古希腊时期，欧几里得首次提出了求直线和圆的切线问题，这是微分方程的基本问题之一、古代数学家阿基米德在其《圆中插入圆》一书中，也解决了一些微分方程，如螺旋线和平面曲线的问题。
同时，古代数学家也研究了曲线的长度、曲率等与微分方程相关的几何问题。
随着科学和数学的不断发展，微分方程的研究进入了一个新的阶段。
16世纪，新科学运动的开始，使得微分方程的研究得到了更大的关注。
数学家如卡尔丹、布鲁诺和卡特曾先后研究了微分方程，为微分方程的发展打下了基础。
17世纪，微积分的发展极大地促进了微分方程的研究。
数学大师牛顿和莱布尼兹独立地发展了微积分学，为微分方程的理论奠定了坚实的基础。
牛顿的《自然哲学的数学原理》和莱布尼兹的《微积分学》对微分方程的研究起到了决定性的作用。
他们提出了微分方程的基本概念和解法，为微分方程的理论与方法奠定了基础。
18世纪，数学家欧拉和拉格朗日使微分方程的理论得到了深入发展。
欧拉在其著作《机械学》中首次引入了微分方程的概念，提出了解微分方程的方法。
拉格朗日则研究了一阶微分方程与变分法之间的关系，创立了变分法的基本原理，为微分方程的进一步研究提供了新的思路和方法。
19世纪，微分方程的研究得到了进一步的发展。
在这一时期，微分方程的研究主要包括：初等微分方程的解法、连续性理论、以及偏微分方程的研究等。
大量的重要研究成果相继问世。
瑞典人新科学的父亲拉普拉斯和法国的康德罗基于前人的研究工作，分别研究了稳定性理论和热传导方程，并成为后来偏微分方程理论的基础。
线性微分方程的部分理论也逐渐形成。
德国数学家尔朗-栗斯等在矩解法的基础上，发展了常微分方程的新解法。
20世纪，微分方程的研究迈入了一个新的阶段。
浅谈微分方程的起源与发展史
浅谈微分方程的起源与发展史This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020浅谈微分方程的起源与发展史摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。
这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。
引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。
比如，我们可以试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。
通过这些例子，我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。
最后再通过微分方程求出未知函数。
关键字：微分方程起源发展史一、微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。
微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。
例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动规律。
微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。
常微分方程的起源与发展__概述说明
常微分方程的起源与发展概述说明1. 引言：1.1 概述常微分方程是数学中的重要分支，它研究的是未知函数及其导数之间的关系。
解决常微分方程可以帮助我们理解和描述自然现象、社会现象以及工程问题等各个领域中的变化规律。
本文旨在阐述常微分方程的起源与发展历程，并探讨它在科学和工程领域中的应用。
1.2 文章结构本文将围绕以下几个方面展开对常微分方程的探讨：引言部分首先进行概述，介绍了文章涉及内容以及文章结构；接下来，将在第二部分从定义与概念、历史背景和发展过程三个方面介绍常微分方程的起源；第三部分将对常微分方程的基本理论进行详细讨论，包括解的存在唯一性定理、解的稳定性与收敛性以及非线性常微分方程；第四部分将聚焦于常微分方程在物理学、工程学和生物学等科学与工程领域中的应用；最后，在结论部分总结常微分方程的起源和发展，并展望未来发展趋势和研究方向。
1.3 目的本文的目的是系统地介绍常微分方程的起源与发展，阐述其基本理论，并探讨其在科学和工程中的应用。
通过对常微分方程研究历史和应用领域进行概述，旨在增加读者对该学科重要性的认识，并为进一步学习和研究提供基础知识。
同时，还将探讨未来常微分方程发展的趋势和研究方向，促进相关领域的进一步发展与应用。
2. 常微分方程的起源2.1 定义与概念常微分方程是数学中研究函数和其导数之间关系的一个分支。
它描述了未知函数的导数与自变量之间的关系，通常以一阶或高阶导数的形式出现。
在常微分方程中，未知函数可以表示为关于时间、空间或其他独立变量的依赖关系。
这种类型的方程一般用于描述物理、生物和工程等领域中发生的连续变化过程。
2.2 历史背景常微分方程的起源可以追溯到17世纪。
当时，科学家试图解决与运动有关的问题，如天体力学和机械系统的运动规律。
为了建立模型并预测系统的行为，他们需要利用数学方法来描述运动过程。
最早涉及常微分方程思想的著作可以追溯到牛顿和莱布尼茨时代。
牛顿通过描述质点运动过程中加速度与位置之间的关系提出了质点运动方程。
微分方程发展简史
微分方程发展史思考微分方程:大致与微积分同时产生。
事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。
I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。
他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。
用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。
17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。
总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。
在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。
因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。
当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。
但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。
但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。
比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。
也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。
微分方程 故事
微分方程故事摘要：一、微分方程的起源与历史发展1.微分方程的起源2.微分方程的发展历程二、微分方程的重要性和应用领域1.描述自然现象2.工程应用3.经济学和生物学等其他领域三、微分方程的求解方法1.分离变量法2.常数变易法3.线性微分方程组的一般解法4.非线性微分方程的求解方法四、我国在微分方程研究方面的贡献1.我国古代数学家对微分方程的贡献2.现代中国微分方程研究者及其成就五、微分方程的前沿研究方向与挑战1.微分方程稳定性分析2.微分方程的机器学习方法3.微分方程在实际问题中的应用与挑战正文：微分方程是数学领域中一个重要的分支，它起源于古代，经过数百年的发展，现已成为现代科学和工程研究中不可或缺的工具。
早在古希腊时期，数学家们就开始研究各种形式的微分方程。
然而，直到17 世纪，艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨创立了微积分学，微分方程才真正成为一个独立的数学分支。
从那时起，微分方程逐渐发展壮大，成为数学、物理学、工程学等多个领域的核心理论。
微分方程在自然科学和工程领域具有广泛的应用。
例如，它们可以用来描述流体力学、热传导、电磁场、生物现象等各种自然现象。
此外，微分方程还在经济学、生物学、社会学等其他领域发挥着重要作用。
可以说，微分方程是现代科学发展的基石。
为了求解微分方程，数学家们发展了许多方法，如分离变量法、常数变易法、线性微分方程组的一般解法等。
尽管这些方法在某些情况下非常有效，但求解非线性微分方程仍然是一个巨大的挑战。
近年来，计算机科学的发展为微分方程的求解提供了新的思路，如数值解法、符号计算等。
我国在微分方程研究方面有着悠久的历史。
古代中国数学家如刘徽、秦九韶等人已经对某些微分方程进行了研究。
进入现代，我国微分方程研究者取得了举世瞩目的成就，如陈省身、丘吉尔·陈、杨振宁等。
他们不仅在微分方程的理论研究方面做出了突出贡献，还将微分方程应用于实际问题，为我国科技发展作出了巨大贡献。
微分方程的发展
微分方程的发展
微分方程的发展可以追溯到16世纪的高斯和拉格朗日，但它们的应
用始于17世纪，特别是牛顿的研究显示了微分方程在物理学和工程学中
的重要性。
18世纪欧拉和拉普拉斯进一步开发了微分方程的理论和解法。
19世纪微分方程的研究进入了新时期。
拉普拉斯和亚当斯发现了一
个被称为变量分离法的技术，它能够解决许多类型的微分方程。
拉普拉斯
还开发了拉普拉斯变换，这是一种将微分方程转换为代数方程的方法。
20世纪，微分方程的研究变得更加复杂和广泛。
它们应用于几乎所
有领域，包括物理、工程、生物学、经济学等等。
随着计算机技术的发展，数值方法的应用也变得更加普遍，这使得研究人员能够解决更加复杂的微
分方程和更加现实的问题。
总之，微分方程的发展是一段漫长而精彩的历史，其主要进展是从基
本理论的建立到解法的改进和更广泛的应用。
微分方程的发展已经为我们
提供了解释自然现象和解决实际问题的工具和框架。
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浅谈微分方程的起源与发展史摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。
这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。
引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。
比如，我们可以试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。
通过这些例子，我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。
最后再通过微分方程求出未知函数。
关键字：微分方程起源发展史一、微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。
微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。
例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动规律。
1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数,却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式,即微分方程。
只有一个自变量的微分方程称为常微分方程,简称微分方程。
例1 传染病模型传染病（瘟疫）经常在全世界各地流行，假设传染病传播期间其他地区的总x，在t时的健康人数为)(t y，染病人数不变，为常数n，最开始的染病人数为人数为)(tx。
因为总人数为常数n所以可得到式子 n t y t x =+)()( ① 假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，且比例常数为k ，称k 为传染系数，于是即可得到式子0)0(),()()(x x t x t ky dt t dx == ②由①和②可得 0)0(),(x x x n kx dtdx =-= ③ 这个模型就是SI 模型，即易感染者模型和已感染者模型。
对于无免疫的传染性疾病如痢疾、伤风等等，病人在治愈以后还会有再次被感染的危险。
所以我们可以假设单位时间内的治愈率为μ，那么方程②就应该修改为0)0(),()()()(x x t x t x t ky dt t dx =-=μ ④ 由①和④可得 0)0(),1()(x x x n kx x x n kx dt dx =--=--=σμ， μσk = ⑤ 这个模型称为SIS 模型，μ1就是这个传染病的平均传染期，μσk =为整个传染期内每个病人有下接触的平均人数（平均接触数）。
对于很强免疫性的传染性疾病例如天花、流感等等，病人治愈以后不会有再被传染的机会。
我们就可以假设在时刻t 的治愈后的免疫人数为)(t r ，称为移出者，且治愈率为常数l ，所以可得 )()(t lx dtt dr = ⑥ n t r t y t x =++)()()( ⑦ dtt dr t x t ky dt t dx )()()()(-= ⑧ 根据⑥、⑦和⑧可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-=000)0(,)0(,x n y y kxy dtdy x x lx kxy dt dx ⑨ 这个模型称为SIR 模型，综上所述三个类型的传染病模型③、⑤和⑨均为微分方程微分方程就是根据此种生物类型的实际问题和其他的物理、几何、化学等的实际问题所受到的启发。
二、微分方程的推导1.1术语和记号当我们用微分方程处理问题时，习惯性地用y 替代)(x f ，用y '替代)(x f '，更高阶的导数可以记为y ''、y '''①等。
当然其他字母，如u ,v ,z 等等都可以用来代替y .微分方程的阶，意思是出现在其中的导数的最高阶数。
例如，y y ='是一阶，微分方程)sin(3y x y x y ''+='就是一个二阶方程。
1.2 微分方程的推导三、微分方程有哪些类型微分方程的类型：①常微分方程（自变量的个数 1个）；②偏微分方程（自变量的个数2或2个以上）1.1 常微分方程（自变量的个数只有1个）： )(22t f cy dtdy b dt y d =++ 0)(2=++y dtdy t dt dy 上述两个常微分方程（自变量：t 未知函数：y ）常微分方程的发展阶段：①发展初期就是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代。
莱布尼茨（Leibniz ）曾经专门有研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题。
②早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔（Liouville ）于1841年证明里卡帝方程不存在一般的初等解而中断。
再加上柯西（Cauchy ）初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向了“求定解”时代。
首先是对常微分方程定解问题包括初值和边值问题的解的存在性、唯一性等解的性质的研究；其次，是针对线性微分方程，特别是二阶线性微分方程，通过专门定义一些特殊函数以求解特殊方程，比如贝塞尔（Bessel ）函数、勒让德（Legendre ）多项式等，这就促成了微分方程与复变函数论结合产生微分方程解析理论。
最后，因为天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数、幂级数等近视方法的研究。
③19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围形态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转为“求所有解”的新时代。
首先，庞加莱创立了定性理论和方法研究常微分方程解的大范围性态。
因为希尔伯特（Hilbert ）提出20世纪23个数学问题中关于极限环个数的第16问题，大大促进了定性理论的发展。
然后，就是李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的运动稳定性理论，用于解决方程解的初值扰动不影响原方程解得趋势问题，在工程技术、天文、以及物理中得到广泛应用，先后在前苏联，美国都受到了很大的重视。
最后，20世纪初，伯克霍夫（Birkhoff ）在动力系统方面开创了一个新的领域，因为拓扑方法的渗入，20世纪50年代后经阿诺的（Arnold ）、斯梅尔（Smale ）等数学界的加入和参与，从而得到了蓬勃发展。
④20世纪六七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的发展从而迎来了一个新的时期，从“求所有解”转化为“求特殊解”的一个时代，还发现了具有新性质的特殊的解和方程。
在20世纪60年代洛伦兹发现了成为Lorenz 方程的常微分方程，对初值敏感的特性导致了混沌现象发现引起了科学界的巨大震动，斯梅尔称之为“利用牛顿的定律推翻了牛顿决定论”。
常微分方程的研究还跟其他领域和学科相结合，从而出现各种新的研究分支，比如说时标微分方程、脉动微分方程、分支理论、控制论、泛函微分方程、种群生态学、广义微分方程等。
例2 化学动力模型1972年，化学家Schlogt 提出了分子反省的化学动力学模型。
设想一个化学反应体系内部包含三种化学成分A 、B 和x ，A 、B 是反应物，x 为中间产物，进行这样一组化学反应：1k k B x , 2323k k A x x +即B 类的一个分子反应后变为x 类的一个分子；A 类得一个分子与x 类的两个分子反应后变成3个x 类分子，相应的反应率分别为0k 和2k ；同时假定反应是可逆的，相应的反应率分别为1k 和3k ，此处0k 、2k 、1k 、3k 均为正常数；A 、B 、x 分别代表A 类、B 类和x 类的分子数。
既定反应过程不涉及任何热效应，所有成分组成一个理想溶液，反应动力学满足质量作用定律，于是有反应引起的各组成成分浓度的变化速率为232301,,.A B x A B v k Ax k x v k B k x v v v =-+=-+=--当反映的条件是固定时，所有速率系数都是恒定的，设除了由于化学反应以外各成分的浓度还是可以通过和外界环境的交换而变化，其中成分i 与外界的交换速率为i w ，于是各成分浓度的变化方程为 ,,.A A B B x x dA v w dtdB v w dtdx v w dt=+=+=+ 如果只有成分A 和成分B 可以和外界交换，并通过交换而维持它们在体系中的浓度恒定，成分x 并不能和外界交换，它的浓度完全决定与体系内部的动力学，所以就有方程0,0,0.x dA dB w dt dt=== 在这种情况下体系的状态仅有单个变量x 来表征，并且有 323210dx k x k Ax k x k B dt=-+-+ ① 这就是Schlogt 单分子化学动力学模型。
考虑有两个中间变量的化学反应体系1232,2,.k kk A x x x y y y E +−−→+−−→−−→ 但这些发行步骤的总结果是kA E −−→ 其中A 和E 是反应物和产物，假定他们的浓度可由外界控制为恒定，x 和y 是两种反应中的中间产物，他们的浓度可以自由发展，逆反应过程可以完全忽略（自催化），则有反应方程 1223,.dx k Ax k xy dt dy k xy k y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ② 这是一类双分子化学动力学模型。
现设一开放的体系中进行着下面一系列化学反应1,k A x −−→ 2,kB x y D +−−→+ 323,k x y x +−−→4.kx E −−→ 假定反应过程是恒定和均匀的，产物D ，E 一经产生即可除去，反应物浓度很高，无扩散，此时对x 和y 的反应动力学方程为 21243223(),.dx k A k B k x k x y dt dy k Bx k x y dt⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 化简上述式子可得：22(1),.dx A B x x y dt dy Bx x y dt⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ③此式子是3分子化学动力学模型。
终上所述①、②和③分子的化学反应模型均为常微分方程。