余弦定理知识点总结与复习
正余弦定理知识点及题型归纳
正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。
下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：一、正弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
二、余弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
三、题型归纳1. 已知三个角的度数，求边长：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
4. 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和两条边的长度代入公式中，求解第三个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
余弦定理知识讲解_基础
余弦定理【学习目标】1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系. 【要点梳理】要点一、学过的三角形知识 1.ABC ∆中（1）一般约定：ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ； （2）0180A B C ++=；（3）大边对大角，大角对大边，即B C b c >⇔>； 等边对等角，等角对等边，即B C b c =⇔=；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a c b +>，a c b -<. 2.Rt ABC ∆中，090C ∠=， （1）090B A +=， （2）222a b c += （3）sin a A c =，sin bB c =，sin 1C =； cos b A c =，cos aB c=，cos 0C =要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据 要点二、余弦定理及其证明三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即：余弦定理的推导已知：ABC ∆中，BC a =，AC b =及角C ，求角C 的对应边c . 证明： 方法一：向量法（1）锐角ABC ∆中（如图），Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=∵AC CB AB +=u u u r u u u r u u u r ，∴()()AB AB AC CB AC CB ⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r222AC CB AC CB =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r22||2||||cos()||AC CB AC C CB π=+⋅-+u u u r u u u r u u u r u u u r222cos b ba C a =-+即：2222cos c a b ab C =+- (*)同理可得：2222cos b a c ac B =+-,2222cos a b c bc A =+- 要点诠释：（1）推导（*）中，AC u u u r 与CB u u u r 的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此AC u u u r 与CB u u u r的夹角应为C π-，而不是C .（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
正余弦定理知识点总结及高考考试题型一、正余弦定理的概念正余弦定理，又称余正定理、角-边-角定理，是指用三角形中的一个角和与它相对的两边的长度，来表示三角形中的另外两个角与其对应的两边之间的关系的公式。
二、正余弦定理的形式对于一个三角形ABC，设三个边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，将角A所对应的边称为边a，角B所对应的边称为边b，角C所对应的边称为边c。
（1）正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sin C}$（2）余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$三、正余弦定理的应用正余弦定理是基本的三角函数之一，它们在高中数学教育中被广泛应用。
通常在三角形的求面积过程中被使用。
考生还需能够将它们应用在其他相关的三角形求解问题中。
例如，可以用正余弦定理解决以下问题：（1）求三角形的面积。
（2）判断三角形是否为等腰三角形，是否为等边三角形。
（3）确定三角形的内角度数。
（4）求解三角形的未知边和角。
四、正余弦定理在高考考试中的出现形式正余弦定理在高考考试中经常作为解决三角形问题的关键公式。
它们常表现为单独的选择题或解答题，也可能是复合型题目的一部分。
（1）选择题样例：已知三角形ABC的边长分别为11、12、13，若$\angle C$ 的角度等于$\frac{\pi}{2}$，则$\sin A+\cos B$ 等于（）A. $\frac{24}{13}$B. $\frac{22}{13}$C. $\frac{20}{13}$D. $\frac{18}{13}$（2）解答题样例：已知$\triangle ABC$，且$AB=8, AC=6,BC=10$，则$\triangle ABC$的面积是多少？解：由余弦定理，$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{100-36-64}{2×10×8}=-\frac{1}{8}$由正弦定理，$2S=\frac{1}{2}bc\sin A=24\sin A=24\sqrt{1-\cos^2 A}=24\sqrt{1-\frac{1}{64}}=\frac{48}{\sqrt{3}}$因此，$\triangle ABC$ 的面积为$\frac{24}{\sqrt{3}}$。
《余弦定理》 知识清单
《余弦定理》知识清单一、余弦定理的定义余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
对于任意三角形，若三边为a、b、c，它们所对的角分别为A、B、C，则有：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc ＼cos A\）＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac ＼cos B\）＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\）二、余弦定理的推导我们可以通过向量的方法来推导余弦定理。
假设在三角形 ABC 中，向量\（＼overrightarrow{AB}＼）＝＼（＼vec{c}＼），＼（＼overrightarrow{AC}＼）＝＼（＼vec{b}＼），则\（＼overrightarrow{BC}＼）＝＼（＼vec{a}＼）。
因为\（＼vec{a}＼）＝＼（＼vec{b} ＼vec{c}＼），所以\（＼vec{a}＼cdot\vec{a}＼）＝（＼（＼vec{b} ＼vec{c}＼））＼（＼cdot\）（＼（＼vec{b} ＼vec{c}＼））＼＼begin{align}＼vec{a}＼cdot\vec{a}＆＝＼vec{b}＼cdot\vec{b} 2\vec{b}＼cdot\vec{c} ＋＼vec{c}＼cdot\vec{c}＼＼＼vert\vec{a}＼vert^2&＝＼vert\vec{b}＼vert^2 2\vert\vec{b}＼vert\vert\vec{c}＼vert\cos A ＋＼vert\vec{c}＼vert^2\＼a^2&＝b^2 2bc\cos A ＋ c^2\＼a^2&＝b^2 ＋ c^2 2bc\cos A＼end{align}＼同理可推导出另外两个式子。
三、余弦定理的作用1、已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
例如，在三角形 ABC 中，已知 a ＝ 5，b ＝ 7，C ＝ 60°，则可以通过\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\）求出 c 的长度。
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
三角函数五——正、余弦定理一、知识点 （一）正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===a b c3sin B C4（（（解可 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+有关三角形内角的几个常用公式 解三角形常见的四种类型（1）已知两角,A B 与一边a ：由180A B C ++=︒及正弦定理sin sin sin a b cA B B==，可 求出C ∠，再求,b c 。
（2）已知两边,b c 与其夹角A ，由2222cos a b c bc A =+-，求出a ，再由余弦定理， 求出角,B C 。
（3）已知三边a b c 、、，由余弦定理可求出A B C ∠∠∠、、。
（4讲解 （知∆A ∠,A ．由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2a b B A =⋅==,故选A（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，02cos cos 232=+A A ，7=a ，c=6，则=b （ ） A.10B.9C.8D.5【解题指南】由02cos cos 232=+A A ，利用倍角公式求出A cos 的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b 的值.【解析】选D.因为02cos cos 232=+A A ，所以01cos 2cos 2322=-+A A ，解得251cos 2=A ， 方法一:因为△ABC 为锐角三角形，所以51cos =A ,562sin =A . 由正弦定理C cA a sin sin =得，C sin 65627=.6sin =C 所以sin =B5.方法二5∴sin 9、（)0C =，求边又1+即12cos 0A -=，2，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =得sin 2sin 2b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD 752sin(4530)=+在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且 b.(1)求角A 的大小.(2)若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.【解题指南】(1)由正弦定理易求角A 的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.【解析】(1)由及正弦定理sin sin a bA B=,得, 因为(2)b 2+c 26、（3,则c =.4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=,则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = .【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,abc ，3A π=,1a b ==，则c =（ ）A 、1B 、2 C1 D 、32、在△ABC 中，分别为的对边.如果成等差数列，30°，△ABC 的面 A 、3）75213 C D 4B π=，则___________________.3，＝60°AB 的长度等于13（20132012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =(）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B B C B B ≠∴===-=（2013·湖南高考文科·Ｔ5）在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2asinB=3b ，则角A 等于（ ） A.3π B.4π C.6π D.12π【解题指南】本题先利用正弦定理B bA a sin sin =化简条件等式，注意条件“锐角三角形” .【解析】选A.由2asinB=3b 得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3π. （2013·湖南高考理科·Ｔ3）在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A ．12π（2013 A . 3 5,=在△B 0=. (1)(2)若a 【解题指南】(1)借助三角形内角和为π，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B 的方程，求出B 的三角函数值，进而可求出角B.（2）根据（1）求出的B 与a c 1+=，由余弦定理可得b 2关于a 的函数，注意到a c 1+=可知0a 1<<，进而可求出b 的范围.【解析】（1）由已知得cos(A B)cos A cos B A cos B 0-++-=，即sin Asin B A cos B 0=.因为sin A 0≠，所以sin B B 0=,又cosB 0≠,所以tan B =,又0B <<π，所以B 3π=.（2）由余弦定理，有222b a c 2accos B =+-，因为a c 1+=，1cos B 2=,所以2211b 3(a )24=-+，又因为0a 1<<，所以21b 14≤<，即1b 12≤<.1sin BAM ∠=∠（2013·上海高考文科·T5）已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a +ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是 .【解析】π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a 【答案】π32设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，ac c b a c b a =+-++))((（I ）求B ; （II ）若413sin sin -=C A ,求C . 【解题指南】（I ）由条件ac c b a c b a =+-++))((确定求B 应采用余弦定理. （II ）应用三角恒等变换求出C A +及C A -的值，列出方程组确定C 的值. 【解析】（I ）因为ac c b a c b a -=+-++))((.所以ac b c a -=-+222.222（II 221+=故-C A10、（（I c = 所以A （2012（1（2【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3BC B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 则1cos 3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②, ①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=.（I ）求B ； （Ⅱ）若75,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=2222cos b a c ac B =+-cos 2B =45B =（II sin30=故6a +=60645c b ==1、∆C 的对边分别为 ）2 A A 、30° B 、30°或150° C 、60° D 、60°或120° 8、已知在△ABC 中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（ ）A 、14-B 、14C 、23- D 、2310、若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =A B ．34C D ．111611、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．-12 B ．12C ． -1D ．112、已知在△ABC 中，10,a b A ===45°,则B = 。
余弦定理基础知识及常见题型汇总
余弦定理一、考点、热点回顾（一）余弦定理及推论1、余弦定理：a 2＝________________，b 2＝________________，c 2＝________________.2、余弦定理的推论：cos A ＝________________，cos B ＝_____ ______，cos C ＝____ ______.（二）利用余弦定理解三角形（1） 已知三角形的两边及其夹角解三角形基本思路：1）利用余弦定理求出第三边；2）利用余弦定理的推论求出一个未知角；3）利用三角形内角和定理求出第三个角；（2） 已知三边解三角形基本思路：1）利用余弦定理的推论求出一个角；2）利用余弦定理的推论求出第二个角；3）利用三角形内角和定理求出第三个角；（3） 已知两边及其中一边的对角解三角形基本思路：1）根据余弦定理列关于第三边的方程；2）方程的正解就是第三边的边长，正解的个数就是三角形的解的个数。
二、典型例题考点一、基本概念例1、（1）在△ABC 中，已知a ＝9，b ＝23，C ＝150°，则c 等于( ) A.39 B ．8 3 C ．10 2 D ．7 3（2）在ABC ∆中，13,34,7===c b a ，则ABC ∆的最小角为（ ）A 、3πB 、6πC 、4πD 、12π变式训练1、（1）在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( )A ．4B ．8C ．4或8D ．无解（2）在ABC ∆中，若ac c a b ++=222，则B ∠为（ ）A 、60°B 、45°或135°C 、120°D 、30°考点二、已知三角形的两边及其夹角解三角形例2、在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝，C =15°，求角A 。
变式训练2、在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ = ( )A. 1010B. 105 C. 31010 D. 55考点三、已知三角形的三边解三角形例3、在△ABC 中,已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C .变式训练3、在△ABC 中，若a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求A ，B ，C考点四、已知两边及其中一边的对角解三角形例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A =23，则b=（）A. B. C. 2 D. 3变式训练4、在△ABC 中，若b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求A ，C 和a .考点五、判断三角形的形状例5、在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．变式训练5、（1）在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．（2）已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab 且2cos A sin B =sin C ，判断此三角形的形状考点六、正余弦定理的综合应用例6、（1）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝ b sin B.1)求角B 的大小；2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .（2）在△ABC 中，求证a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .变式训练6、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．三、课后练习1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )A. 3B. 2C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30°＝2，∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150° 解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为() A.π6 B.π3C.π6或5π6 D.π3或2π3 解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos Bsin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12， ∴AB →·AC →＝4×1×12＝2. 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案： 310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°. ∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61.答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k ＝1116， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14， ∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223. 又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3.答案：2 314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935) ＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4， ∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78. 答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10.18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12， 所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A， 得AB ＝sin C sin ABC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b. 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b. 又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc， 即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。
数学余弦定理知识点九年级
数学余弦定理知识点九年级数学中的余弦定理是一个关于三角形边长和角度之间的重要定理。
它可以帮助我们计算三角形的边长或角度，是解决三角形问题的重要工具之一。
在九年级的数学课程中，我们需要了解余弦定理的概念、公式以及应用。
本文将详细介绍数学余弦定理的知识点。
一、余弦定理的概念余弦定理是描述三角形边长和角度之间关系的定理。
它指出，在任意三角形ABC中，设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，那么余弦定理可以表示为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc·cosA （1）b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cosB （2）c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cosC （3）其中，a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C为对应的内角。
这三个公式可以互相推导，根据需要使用不同的形式。
二、余弦定理的公式推导我们可以通过向量的内积和三角函数的关系来推导余弦定理。
设向量AB和AC的夹角为α，长度分别为b和c，那么有：AB·AC = |AB|·|AC|·cosα即b·c·cosα = AB·AC同理可得：AC·AB = |AC|·|AB|·cosβ即 c·a·cosβ = AC·AB将以上两个等式相加得：b·c·cosα + c·a·cosβ = AB·AC + AC·AB即b·c·cosα + c·a·cosβ = AB^2再将AB拆分成两部分，得到：b·c·cosα + c·a·cosβ = (b - a)·(b + a)即b·c·cosα + c·a·cosβ = b^2 - a^2整理可得：b^2 + c^2 - a^2 = 2bc·cosα即 b^2 = a^2 + c^2 - 2bc·cosα类似地，可以推导出(2)和(3)两个公式。
正余弦定理知识点权威总结
正余弦定理知识点权威总结：一、正弦定理和余弦定理1、定理正弦定理余弦定理2、内容1、正弦定理：在C∆AB中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为C∆AB的外接圆的半径，则有2sin sin sina b cRC===A B．2222222222cos,2cos,2cos.a b c bc Ab c a ac Bc a b ab C=+-=+-=+-3、推论①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;③a:b:c=sinA: sinB: sinC;④sin sin sin sina b c aA B C A++=++222222222cos;2cos;2cos.2b c aAbca c bBcaa b cCab+-=+-=+-=4、注意（1）在△ABC中，已知A,a,b，讨论三角形解的情况.先由aAbBsinsin=可进一步求出B；则 C=180°-(A+B),从而ACacsinsin=.（2）在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件。
（∵sinA>sinB⇔22a bR R>⇔a>b⇔A>B）由余弦定理判断三角形的形状a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。
（注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形，必须说明每个角都是锐角）5、三角形面积公式三角形面积公式：①111sin sin sin222CS bc ab C ac∆AB=A==B；②prcpbpappSABC=---=∆))()((，其中2cbap++=，r为内切圆半径；③RabcSABC4=∆，R为外接圆半径．6、已知两边和其中1.当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否则无解．2.当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况（1）若a＞b sin A，则有两解；（2）若a=b sin A，则只有一解；（3）若a＜b sin A，则无解．注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且b sin A ＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（1）A为直角或钝角（2）A为锐角7、解三角形的一般思路：（1）已知两角及一边，利用正弦定理求解；（2）已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一；（3）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；（4）已知三边，利用余弦定理求解.8、方法与技巧总结1、已知两角A、B，一边a,由A+B+C=π及sin sin sina b cA B C==，可求角C，再求b、c；2、已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2b c cosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C；3、已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C；4、已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sin sina bA B=，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由sin sina cA C=求出C，而通过sin sina bA B=求B时，可能出一解，两解或无解。
高考余弦定理知识点总结
高考余弦定理知识点总结高考中数学是必考科目之一，数学试卷中经常会出现与三角函数相关的问题。
其中，余弦定理是解决三角形边长或角度的一个重要工具。
在本文中，将对高考中与余弦定理相关的知识点进行总结讨论。
一、什么是余弦定理？余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的平方和等于其两倍乘余弦值。
具体而言，设三角形的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理表示为：c² = a² + b² - 2ab cos(C)该定理是三角形中最熟悉且最常用的一个定理，可以用来求解未知边长或角度。
二、如何应用余弦定理？1. 根据已知边长求角度假设我们要求解三角形ABC的角度C，已知边长分别为a、b、c，可以利用余弦定理进行计算。
根据余弦定理可得：cos(C) = (a² + b² - c²)/(2ab)然后通过反余弦函数可以得到角度C的具体数值。
2. 根据已知角度求边长当我们已知两边长度和夹角，而且需要求第三条边长时，可以利用余弦定理进行计算。
具体地，设已知边长为a、b，夹角为C，那么可以通过余弦定理求解边长c。
计算公式如下：c² = a² + b² - 2ab cos(C)将已知值代入公式，求解即可得到边长c的数值。
三、余弦定理的特殊形式除了上述公式外，余弦定理还有两个特殊的形式，即正弦定理和正切定理。
1. 正弦定理正弦定理是余弦定理的一种特殊情况。
在三角形ABC中，三边的长度分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理表示为：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)正弦定理可以用来求解三角形任意两个边与其对应角度之间的关系。
2. 正切定理正切定理是余弦定理的另一种特殊形式。
在三角形ABC中，三边的长度分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正切定理表示为：tan(A) = a/btan(B) = b/a正切定理可以用来求解任意两个角度的正切值与对边与邻边的比值。
初中数学余弦知识的公式定理知识点大全
初中数学余弦知识的公式定理知识点大全余弦定理：在任意三角形ABC中，设边长分别为a，b，c，则余弦定理为：c²=a²+b²-2abcosCb²=a²+c²-2accosBa²=b²+c²-2bccosA其中，A、B、C分别表示三角形的角A、B、C的度数。
角的余弦定理：在任意三角形ABC中，设角A、B、C的余弦值分别为cosA，cosB，cosC，则角的余弦定理为：cosA = (b²+c²-a²)/(2bc)cosB = (a²+c²-b²)/(2ac)cosC = (a²+b²-c²)/(2ab)平行四边形的对角线它们的余弦定理：在平行四边形ABCD中，设对角线AC和BD的长度分别为d1和d2，则余弦定理为：d1² = a² + b² - 2abcosαd2² = c² + d² - 2cdcosβ其中，a，b，c，d分别表示四边形的边长，α和β分别表示AC与AB以及AC与CD的夹角。
这些是余弦知识的一些公式和定理，下面是一些相关的知识点：1.余弦变换关系：根据余弦定理的基础上，可以推导出正余弦函数的变换关系公式：cosA = sin(90°-A)si nA = cos(90°-A)2. 三角函数的性质：余弦函数是一个周期函数，周期为2π，即cos(x+2π) = cosx，它的值域为[-1,1]。
3.三角函数的应用：余弦函数在物理、工程、地理等领域有广泛应用，例如在力学中，可以利用余弦定理计算受力分析中的力的大小和方向；在航海中，可以利用余弦定理计算航向和航速等。
4.余弦定理的证明：余弦定理的证明可以通过向量的方法或平面几何的方法进行，其中向量的方法是其中一种较为常用的方法。
正、余弦定理总结
正余弦定理知识点总结：一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理注：在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件。
（∵sinA>sinB ⇔22a bR R>⇔a>b ⇔A>B ） 二、应用举例1、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向； ②北偏本α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） 2、ΔABC 的面积公式（1）1()2a a S a h h a =表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abcS ab C ac B bc A R R ====为外接圆半径； （3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。
〖例1〗（11浙江文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（ ）A ．12 B ．12C ． -1D ． 1 答案：D1.在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ答案：C 解析：由222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得222a b c bc ≤+-，即222122b c a bc +-≥，∴1cos 2A ≥，∵0A π<<，故03A π<≤，选C ．2.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( )A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．3∶4∶5 D．1∶3∶2答案 D3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案 102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0,180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，∴AB ＝BC ·sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.4．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝18 3.∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.〖例2〗（1）（10上海文）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =则△ABCA ．一定是锐角三角形.B ．一定是直角三角形.C ．一定是钝角三角形.D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角 （2）在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于______，AC 的取值范围为________．解析：由正弦定理得AC sin2A ＝BC sin A . 即AC 2sin A cos A ＝1sin A .∴ACcos A＝2.∵△ABC 是锐角三角形，∴0＜A ＜π2，0＜2A ＜π2，0＜π－3A ＜π2，解得π6＜A ＜π4.由AC ＝2cos A 得AC 的取值范围为(2，3)． 答案：2 (2，3)1．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .2．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B．(10，＋∞) C．(0,10) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.3．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( )A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形答案 A解析 由正弦定理：sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .4、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c ，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵cos 2B2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c， ∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形． 答案：B〖例3〗（2009浙江文）在ABC ∆中，角,,AB C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 解析：（Ⅰ）531)552(212cos2cos 22=-⨯=-=A A 又),0(π∈A ，54cos1sin2=-=A A ，而353cos .===bc A ，所以5=bc ，所以ABC ∆（Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b ，所以5232125cos 222=⨯-+=-+=Abc c b a1、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．解 （1）因为cos 25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ⋅=得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴==（2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=2、在∆ABC 中，sin(C-A)=1, sinB=13。
正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳
●高考明方向掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题．★备考知考情1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考考查的热点．2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题中,综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的判断等问题．3.三种题型都有可能出现,属中低档题. 一、知识梳理名师一号P62知识点一 正弦定理其中R 为△ABC 外接圆的半径变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222===a b c A B C R R R变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：补充关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;知识点二 余弦定理222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇔=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：补充1关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化;2勾股定理是余弦定理的特例3在∆ABC 中,222090︒︒<+⇔<<a b c A用于判断三角形形状名师一号P63问题探究 问题3判断三角形形状有什么办法判断三角形形状的两种途径：一是化边为角；二是化角为边, 并常用正弦余弦定理实施边、角转换．知识点三 三角形中常见的结论△ABC 的面积公式有：①S ＝错误!a ·hh 表示a 边上的高；②S ＝错误!ab sin C ＝错误!ac sin B ＝错误!bc sin A ＝错误!；--知两边或两边的积及其夹角可求面积③S ＝错误!ra ＋b ＋cr 为内切圆半径．补充1++=A B C π2在三角形中大边对大角,大角对大边．3任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边．4有关三角形内角的常用三角函数关系式sin()sin ,cos()cos ,tan()tan sin cos ,cos sin 2222+=+=-+=-++==B C A B C A B C A B C A B C A 利用++=A B C π及诱导公式可得之5在△ABC 中的几个充要条件:名师一号P63问题探究 问题4sin A >sin B 错误!>错误! a >b A >B .补充 cos cos A B A B >⇔<若R ∈、αβ或2k απβπ=-+k Z ∈或2k αβπ=-+k Z ∈45套之7--196锐角△ABC 中的常用结论 ∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π4．解斜三角形的类型名师一号P63问题探究 问题1利用正、余弦定理可解决哪几类问题在解三角形时,正弦定理可解决两类问题：1已知两角及任一边,求其它边或角；2已知两边及一边的对角,求其它边或角．情况2中结果可能有一解、二解、无解,应注意区分．余弦定理可解决两类问题：1已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；2已知三边问题．a b A补充已知两边和其中一边的对角如,,用正弦定理或余弦定理均可名师一号P63问题探究问题2选用正、余弦定理的原则是什么若式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理；若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到．补充:一、正弦定理推导必修5证明思路：转化到特殊情形----直角三角形中二、余弦定理推导必修52011年陕西高考考查余弦定理的证明18.本小题满分12分叙述并证明余弦定理;2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-,2222cos c a b ab C =+-.证明：证法一 如图,2c BC = ()()AC AB AC AB =-•-即2222cos a b c bc A =+-同理可证 2222cos b c a ca B =+-,证法二 已知ABC ∆中,,,A B C 所对边分别为,,,a b c ,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系,则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ,∴222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++222cos b c bc A =+-,即 2222cos a b c bc A =+-同理可证 2222cos b c a ca B =+-,二、例题分析：一利用正、余弦定理解三角形例1．1名师一号P62 对点自测1在△ABC 中,A ＝60°,B ＝75°,a ＝10,则c 等于A ．5错误!B ．10错误! D ．5错误!解析 由A ＋B ＋C ＝180°,知C ＝45°,由正弦定理得：错误!＝错误!.即错误!＝错误!. ∴c ＝错误!.注意：已知两角及任一边,求其它边或角----正弦定理,解唯一例1．2名师一号P62 对点自测2在△ABC 中,若a ＝3,b ＝错误!,A ＝错误!,则C 的大小为________．解析 由正弦定理可知sin B ＝错误!＝错误!＝错误!,所以B ＝错误!或错误!舍去,因为a >b 即A ＝错误!> B 所以B ＝错误!所以C ＝π－A －B ＝π－错误!－错误!＝错误!.一解变式1: 在△ABC 中,若b ＝3,a ＝错误!,A ＝错误!, 则C 的大小为________．答案: sin B >1无解变式2:在ABC ∆中,已知45︒===a b B , 解ABC ∆.答案：60,75,︒︒+===A C c或120,15,2︒︒-===A C c两解变式3:求边c注意：知道两边和其中一边的对角如，，a b A 解三角形 可用正弦定理先求出角B 也可用余弦定理先求出边c 再求解;两种方法均须注意解的个数可能有一解、二解、无解,应注意区分．练习:补充2009山东文17已知函数x x x x f sin sin cos 2cossin 2)(2-+=ϕϕ ππϕ=<<x 在)0(处取最小值; I 求ϕ的值；Ⅱ在ABC ∆中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,23)(,2,1===A f b a 求角C; 解析 Ⅰfx ＝2sinx 1cos cos sin sin 2x x ϕϕ++- ＝sinx+ϕ.因为 fx 在x ＝π时取最小值,所以 sin π+ϕ=-1,故 sin ϕ=1.又 0＜ϕ＜π,所以ϕ＝2π, Ⅱ由Ⅰ知fx=sinx+2π=cosx. 因为fA=cosA=3,且A 为△ABC 的角, 所以A ＝6π. 由正弦定理得 sinB ＝sin b A a =22, 又b ＞a, 当4π=B 时,,12746πππππ=--=--=B A C 当43π=B 时,.12436πππππ=--=--=B A C 综上所述,12127ππ==C C 或例2． 补充若满足条件060=C ,a BC AB ==,3的ABC ∆有两个,求a 的取值范围. 32<<a注意：判断三角形解的个数常用方法：1在ABC ∆中,已知,,A a b ;构造直角三角形判断 2利用余弦定理判断一元二次方程正根个数 勿忘大边对大角判断已知两边及其中一边对角,判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．②在△ABC 中,已知a 、b 和A ,以点C 为圆心,以边长a 为半径画弧,此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数 即为三角形的个数,解的个数见下表：图示已知a 、b 、A ,△ABC 解的情况．ⅰA 为钝角或直角时解的情况如下：ⅱA 为锐角时,解的情况如下：③运用余弦定理转化为关于一元二次方程 正根个数问题练习:已知ABC ∆中,若22,2==b a ,且三角形有两解,求角A 的取值范围;答案：由条件知b sin A <a ,即2错误!sin A <2, ∴sin A <错误!,∵a <b ,∴A <B ,∴A 为锐角,∴0<A <错误!.例3．1名师一号P62 对点自测3在△ABC 中,a ＝错误!,b ＝1,c ＝2,则A 等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝错误!＝错误!＝错误!,∵0＜A ＜π,∴A ＝60°.注意：已知三边,求其它边或角---余弦定理例3．2名师一号P63 高频考点例122014·新课标全国卷Ⅱ钝角三角形ABC的面积是错误!,AB＝1,BC＝错误!,则AC＝A．5 C．2 D．1解:由题意知S＝错误!AB·BC·sin B,△ABC即错误!＝错误!×1×错误!sin B,解得sin B＝错误!,∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时,AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝12＋错误!2－2×1×错误!×错误!＝1.此时AC2＋AB2＝BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意；当B＝135°时,AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝12＋错误!2－2×1×错误!×错误!＝5,解得AC＝错误!.符合题意．故选B.注意：已知两边夹角,求其它边或角---余弦定理小结:已知与待求涉及三边和一角的关系---余弦定理例4．1名师一号P63 高频考点例112014·江西卷在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a＝2b,则错误!的值为A．－错误!C．1解:∵3a＝2b,∴由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!.∴错误!＝错误!,∴错误!＝2×错误!－1＝2×错误!－1＝错误!－1＝错误!.例4．2名师一号P62 对点自测已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－错误!ab,则此三角形的最大内角为__________．解析∵a2＋b2－c2＝－错误!ab,∴cos C＝错误!＝－错误!,故C＝150°为三角形的最大内角．注意：1关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;2关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化.注意等价转换练习:2010·天津理在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2－b2＝错误!bc,sin C＝2错误!sin B,则A＝A．30°B．60°C．120°D．150°解:由余弦定理得：cos A＝错误!,由题知b2－a2＝－错误!bc,c2＝2错误!bc,则cos A＝错误!, 又A∈0°,180°,∴A＝30°,故选A.注意：已知三边比例关系---余弦定理二三角形的面积例1．1名师一号P62 对点自测62014·福建卷在△ABC中,A＝60°,AC＝4,BC＝2错误!,则△ABC的面积等于________．解析由题意及余弦定理得cos A＝错误!＝错误!＝错误!,解得c＝2.所以S＝错误!bc sin A＝错误!×4×2×sin60°＝2错误!.故答案为2错误!.注意：a b A解三角形可用正知道两边和其中一边的对角如，，弦定理先求出角B也可用余弦定理先求出边c再求解;两种方法均须注意解的个数本例用余弦求边更快捷.例1．2名师一号P63 高频考点例32014·浙江卷在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c＝错误!,cos2A－cos2B＝错误!sin A cos A－错误! sin B cos B.1求角C的大小；2若sin A＝错误!,求△ABC的面积．解:1由题意得错误!－错误!＝错误!sin2A－错误!sin2B,即错误!sin2A－错误!cos2A＝错误!sin2B－错误! cos2B,sin错误!＝sin错误!.由a≠b,得A≠B,又A＋B∈0,π．得2A－错误!＋2B－错误!＝π,即A＋B＝错误!,所以C＝错误!.2由c＝错误!,sin A＝错误!,错误!＝错误!,得a＝错误!.由a<c,得A<C,从而cos A＝错误!,故sin B＝sin A＋C＝sin A cos C＋cos A sin C＝错误!.所以△ABC的面积为S＝错误!ac sin B＝错误!.规律方法三角形面积公式的应用原则1对于面积公式S＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B＝错误! bc sin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．2与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．三三角形形状的判定例1．1名师一号P63 高频考点例2在△ABC中a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2a sin A ＝2b＋c sin B＋2c＋b sin C.1求A的大小；2若sin B＋sin C＝1,试判断△ABC的形状．解:1由已知,根据正弦定理得2a2＝2b＋c·b＋2c＋bc,即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A,故cos A＝－错误!,∵0<A<180°,∴A＝120°.2由1得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝错误!.又sin B ＋sin C ＝1,解得sin B ＝sin C ＝错误!.∵0°<B <60°,0°<C <60°,故B ＝C ＝30°,A ＝120°.∴△ABC 是等腰钝角三角形．法二：因为A ＝120°,且A +B ＋C=180°所以sin B ＋sin C ＝1即sin60°-C ＋sin C ＝1 可求得C=30°例1．2补充根据所给条件,判断△ABC 的形状．1若a cos A ＝b cos B ,则△ABC 形状为________． 2若错误!＝错误!＝错误!,则△ABC 形状为________． 解析：1 解法一: 由正弦定理得sinA cos A ＝sinB cos B 即sin2A ＝sin2B22A B ∴= 或 22A B π=-A B ∴= 或 2A B π+= ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二:由余弦定理得a cos A ＝b cos Ba ·错误!＝b ·错误!a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0,∴a 2－b 2c 2－a 2－b 2＝0∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．2由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!即tan A＝tan B＝tan C,∵A、B、C∈0,π,∴A＝B＝C,∴△ABC为等边三角形．注意：利用正、余弦定理进行边角互化1关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;2关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化;规律方法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状．2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．加加练P9 第6题∆中,已知ABC∆为则ABCA.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：B计时双基练P252 第2题四三角形的综合问题例1．补充 在△ABC 中,sinC-A=1,sinB=31. Ⅰ求sinA 的值；Ⅱ设AC=错误!,求△ABC 的面积.解：Ⅰ由2C A π-=,且C A B π+=-,∴42B A π=-,∴sin sin()sin )42222B B B A π=-=-, ∴211sin (1sin )23A B =-=,又sin 0A >,∴sin A = Ⅱ如图,由正弦定理得sin sin AC BC B A=∴sin 31sin 3AC A BC B ===, 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+∴11sin 223ABC S AC BC C ∆=••==注意:关注三角形内角和、特殊角、三角恒等变换公式、 知两边夹角求面积公式的选择;例2．补充已知ABC ∆中,角A B C 、、所对的边 A BC分别为a b c 、、,3B π∠=,b =求a c +的取值范围解法一：正弦定理结合三角最值 当且仅当62A ππ+=即3A π=时等号成立 法二：余弦定理结合不等式 由2222cos b a c ac B =+-得2228a c ac =+-即()2283a c ac =+-a c ∴+≤当且仅当a c =时等号成立 又三角形两边之和大于第三边注：这是一道好题,刚好都能运用“正余弦定理求解最值问题”的两种主要方法解决; 小结：借助正弦定理,转化为角的正弦值,利用三角函数最值求解借助余弦定理,转化为边的关系,利用均值不等式求解余弦定理注意两数和差与这两数的平方和、两数的积 的关系的运用练习:加加练P11 第11题已知△ABC 中,外接圆半径是1,且满足()()222sin sin sin sin A C A B b -=-,则△ABC 面积的最大值为答案：4计时双基练P251 第6题补充已知向量(sin ,1)2A m =-,()2,cos()nBC =+, ,,A B C 为锐角．．ABC ∆的内角,其对应边为a ,b ,c . Ⅰ当m n ⋅取得最大值时,求角A 的大小；Ⅱ在Ⅰ成立的条件下,当a =,求22b c +的取值范围. 解：Ⅰ2(sin 212sin 22sin 2cos 2sin2)cos(sin 22--=++-=+=+-=⋅A A A A A C B A nm 0,0,0sin 2242A A A ππ<<∴<<∴<<,1sinA ∴=时,即A π=时,m n ⋅取得最大值,∴A π=正弦定理：2sin sin sin ===a b c R A B C其中R 为△ABC 外接圆的半径 22442cos 22cos(2)3sin 2cos 242sin(23b c B B B B B π+=---=-+=-ABC ∆为锐角三角形★注意：∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π讲评：1、计时双基练 P252 基础11---多个三角形问题2014·湖南卷如图,在平面四边形ABCD 中,AD ＝1,CD ＝2,AC ＝错误!.1求cos ∠CAD 的值；2若cos ∠BAD ＝－错误!,sin ∠CBA ＝错误!,求BC 的长．解 1由余弦定理可得cos ∠CAD ＝错误!＝错误!＝错误!,∴cos ∠CAD ＝错误!.2∵∠BAD 为四边形内角,∴sin ∠BAD >0且sin ∠CAD >0,则由正余弦的关系可得sin ∠BAD ＝错误!＝错误!,且sin ∠CAD ＝错误!＝错误!,由正弦的和差角公式可得sin ∠BAC ＝sin ∠BAD －∠CAD＝sin ∠BAD cos ∠CAD －sin ∠CAD cos ∠BAD＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!＋错误!＝错误!, 再由△ABC 的正弦定理可得错误!＝错误!BC ＝错误!×错误!＝3.2、45套之7--192---方程的思想课后作业一、计时双基练P251基础1-6；课本P63变式思考1、3补充练习1、2、3二、计时双基练P251基础7-11；培优1-4课本P63变式思考2三、课本P64典例、※对应训练补充练习4、5预习 第七节补充练习:1、2009山东文17已知函数x x x x f sin sin cos 2cos sin 2)(2-+=ϕϕ ππϕ=<<x 在)0(处取最小值; I 求ϕ的值；Ⅱ在ABC ∆中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,23)(,2,1===A f b a 求角C;解析Ⅰfx ＝2sinx 1cos cos sin sin 2x x ϕϕ++- ＝sinx+ϕ.因为 fx 在x ＝π时取最小值,所以 sin π+ϕ=-1,故 sin ϕ=1. 又 0＜ϕ＜π,所以ϕ＝2π, Ⅱ由Ⅰ知fx=sinx+2π=cosx. 因为fA=cosA=3,且A 为△ABC 的角, 所以A ＝6π. 由正弦定理得 sinB ＝sin b A a =22, 又b ＞a,当4π=B 时,,12746πππππ=--=--=B A C 当43π=B 时,.12436πππππ=--=--=B A C 综上所述,12127ππ==C C 或 2、 已知ABC ∆中,若22,2==b a ,且三角形有两解,求角A 的取值范围;答案：由条件知b sin A <a ,即2错误!sin A <2,∴sin A <错误!,∵a <b ,∴A <B ,∴A 为锐角,∴0<A <错误!.3、已知△ABC 中,∠A ＝60°,BC=2错误!,则其外接圆面积为__________．答案：4π★注意：勿忘正弦定理中三角形各边与对角正弦的比为外接圆直径sin sin in 2s a b c A B R C=== R 为三角形外接圆半径 4、在四边形ABCD 中,∠B ＝∠D ＝90°,∠A ＝60°, AB ＝4,AD ＝5,则AC 的长为B ．2错误!解析 如图,连结AC ,设∠BAC ＝α,则AC ·cos α＝4,AC ·cos60°－α＝5,两式相除得,错误!＝错误!,展开解得,tan α＝错误!∵α为锐角,∴cos α＝错误!∴AC ＝错误!＝2错误!解法二：补充△ABD 中,由余弦定理得21BD =由∠B ＝∠D ＝90°知AC 为△ABD 的外接圆直径由正弦定理得2127sin sin 620BD AC R A ︒====5、已知向量(sin ,1)2A m =-,()2,cos()nBC =+, ,,A B C 为锐角．．ABC ∆的内角,其对应边为a ,b ,c .Ⅰ当m n ⋅取得最大值时,求角A 的大小； Ⅱ在Ⅰ成立的条件下,当a =, 求22b c +的取值范围. 解：Ⅰ2(sin 212sin 22sin 2cos 2sin2)cos(sin 22--=++-=+=+-=⋅A A A A A C B A nm 0,0,0sin 2242A A A ππ<<∴<<∴<<,1sinA ∴=时,即A π=时,m n ⋅取得最大值,∴A π=正弦定理：2sin sin sin ===a b c R A B C其中R 为△ABC 外接圆的半径 22442cos 22cos(2)2cos 242sin(23b c B B B B B π+=---=-+=-∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π6、2013年广州二模文数 第17题某单位有A 、B 、C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点O ,使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ,70BC =m ,50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上．1求BAC ∠的大小；2求点O 到直线BC 的距离．答案13BAC π∠=23m 课后作业三、计时双基练P251基础1-6；课本P63变式思考1补充练习1、3、例2四、计时双基练P251基础7-11;培优1-4课本P63变式思考3补充练习2三、课本P63变式思考2课本P64典例、※对应训练补充练习4、5预习 第七节。
高考余弦知识点归纳总结
高考余弦知识点归纳总结在高考数学中，三角函数是一个重要的知识点，其中余弦函数是较为常见的三角函数之一。
在准备高考数学时，对于余弦函数的理解和掌握是至关重要的。
本文将对高考余弦知识点进行归纳总结，以帮助考生更好地备考。
一、基本概念余弦函数是以角度作为自变量、余弦值作为因变量的函数，通常用cos表示。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
在解决实际问题时，我们常常需要通过余弦函数来求解角度大小或边长。
二、基本性质1. 基本关系：余弦函数与单位圆上的点P(x, y)有着重要的关系，即x = cosθ，y= sinθ。
其中，θ表示点P与x轴正向之间的夹角。
2. 周期性：余弦函数的周期为2π，即cos(θ+2πk) = cosθ，其中k为任意整数。
3. 奇偶性：余弦函数的图像关于y轴对称，即cos(-θ) = cosθ。
因此，余弦函数是偶函数。
4. 单调性：余弦函数在区间[0, π]上单调递减，在区间[π, 2π]上单调递增。
5. 最值问题：余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
三、常见公式1. 余弦函数的和差公式：cos(α±β) = cosαcosβ∓sinαsinβ通过和差公式，我们可以将余弦函数的角度关系转化为余弦函数的乘积关系，便于求解。
2. 余弦函数的积化和差公式：cosαcosβ = 1/2[cos(α+β) + cos(α-β)]sinαsinβ = 1/2[cos(α-β) - cos(α+β)]通过积化和差公式，我们可以将余弦函数的乘积关系转化为余弦函数的和差关系，更好地进行计算和推导。
四、角度的求解在高考中，我们常常需要解方程、求解三角函数的值等。
对于余弦函数而言，以下是一些常用且重要的角度值：1. 特殊角度：cos0° = 1，cos30° = √3/2，cos45° = 1/√2，cos60° = 1/2，cos90° = 0这些特殊角度的值是在数学中经常用到的，考生需要熟记这些数值，并能够快速运用到解题中。
[全]高二数学必修5解三角形之余弦定理必考点详解总结
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高二数学必修5解三角形之余弦定理必考点详解总结第一章解三角形1.1.2余弦定理1．对余弦定理的四点说明(1)勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．(2)与正弦定理一样，余弦定理揭示了三角形的边角之间的关系，是解三角形的重要工具之一．(3)余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量．(4)运用余弦定理时，若已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)，则由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．2．对余弦定理推论的理解余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．例题讲练探究点1 已知两边及一角解三角形方法归纳：(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．[注意] 解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便．练习：1.在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．探究点2 已知三边(三边关系)解三角形方法归纳已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．[注意] 若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．练习：1.(2018·辽源高二检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝( ) A．90°B．60°C．120°D．150°探究点3 判断三角形的形状方法归纳判断三角形形状的思路(1)转化为三角形的边来判断①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2；②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2；③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2；④按等腰或等边三角形的定义判断．(2)转化为角的三角函数(值)来判断①若cos A＝0，则A＝90°，△ABC为直角三角形；②若cos A<0，则△ABC为钝角三角形；③若cos A>0且cos B>0且cos C>0，则△ABC为锐角三角形；④若sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝90°，△ABC为直角三角形；⑤若sin A＝sin B或sin(A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形；⑥若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形．在具体判断的过程中，注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定．章节总结。
初中余弦知识点总结
初中余弦知识点总结一、余弦函数的定义及性质1. 定义余弦函数的定义是一种三角函数，表示在直角三角形中，对边和斜边之比。
即在直角三角形中，余弦函数表示的是“邻边/斜边”的比值。
2. 周期性余弦函数的周期性是2π。
这意味着，在0到2π的范围内，余弦函数的值是周期性变化的。
3. 值域余弦函数的值域在[-1,1]之间。
即余弦函数的取值范围是-1到1之间的实数。
4. 奇偶性余弦函数是偶函数，即f(x)=cos(x)，f(-x)=cos(-x)。
这意味着余弦函数在x轴对称。
5. 单调性余弦函数在0到π之间是递减的，在π到2π之间是递增的。
二、余弦函数的图像及性质1. 余弦函数的图像余弦函数的图像是一条周期性波动的曲线，其波峰和波谷交替出现在x轴上。
2. 峰值与谷值余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
即余弦函数的峰值和谷值分别为1和-1。
3. 零点余弦函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即函数值为0的点。
余弦函数的零点分别为π/2，3π/2，5π/2等。
三、余弦函数的基本公式1. 余弦函数的基本公式余弦函数的基本公式是cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ，即余弦函数的和差公式。
2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式是cos2α = 2cos^2α - 1。
3. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式是cos(α/2) = ±√((1+cosα)/2)。
4. 余弦函数的和化积、差化积公式余弦函数的和化积、差化积公式是：cosα+cosβ = 2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)，cosα-cosβ = -2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)。
四、余弦函数的应用1. 余弦定理余弦定理是用余弦函数来解决三角形的边长和夹角问题的定理。
余弦定理表达的是三角形中任意一侧的平方等于另外两边平方和减去这两边与夹角的余弦值的乘积的两倍。
2. 余弦函数的导数余弦函数的导数是-sin(x)。
余弦定理知识点题型大总结(无答案)
余弦定理知识点题型大总结（无答案）知识概况 1．余弦定理(1)语言叙述：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦求积的两倍．(2)公式表达：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(3)推论：在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.2．余弦定理及其推论的应用：可以解决两类解三角形问题： 一是已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；二是已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解．题型一、 已知两边与一角解三角形1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.2、在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a .3、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B＝________.4．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋3945、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c .6.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小； (2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．7．△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，且AB →·AC →＝AC →2，则BC ＝________.8.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝π3，3a ＝2c ＝6，则b 的值为( )A. 3B. 2C.6－1 D ．1＋ 69．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝14，a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b ，c 的值．10．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求角A 、B 和边c 的值．11.如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．12、在△ABC 中，c ＝150，b ＝503，B ＝30°，则边长a ＝题型二 已知三边解三角形1、在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，c ＝3＋3，解此三角形．2、在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．3、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，则角A 的大小为________．4、在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋3945．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，c ＝2，则角B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°6．在△ABC 中，c 2－a 2－b 2＝3ab ，则角C 为( ) A ．60° B ．45°或135° C ．150° D ．30°7．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π128．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＝( ) A.32 B ．3 C ．6 D ．910.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．511．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( )A ．19B ．－14C ．－18D ．－1912．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.13.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数， 且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( ) A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4题型三 判断三角形形状1.判断三角形形状的基本思想和两条思路基本思想：判断三角形的形状，要从“统一”入手，体现转化思想．两条思路：(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式；(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式．2．判定三角形形状时经常用到下列结论(1)在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则0°<A <90°；反之，若0°<A <90°，则a 2<b 2＋c 2.例如：在不等边△ABC 中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，可得角A 的范围是(π3，π2)．(2)在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则A ＝90°；反之，若A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2. (3)在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.1.在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试确定△ABC 的形状．2、在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定3、若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．若三条线段的长分别为3、5、7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形5．在△ABC 中，若a 2b 2＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＝2b cos C ，试判断△ABC 的形状．8、在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．题型四、取值范围1. 设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围．2、在钝角三角形ABC 中，a ＝1，b ＝2，c ＝t ，且C 是最大角，则t 的取值范围是________．3、已知锐角三角形的边长分别为1,3，x ，则x 的取值范围是多少？4．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是________．题型五、正余弦定理、面积综合1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且a b＝3，则角C 的值为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°2．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 23．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3，△ABC 的面积S △ABC ＝3，则△ABC 的周长为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．4＋2 34．在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°5、三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．(1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2，共中x ∈R .若f (1)＝0， 且B ＝C ＋π3，试求角A ，B ，C .(2)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sinB ＋(2c ＋b )sinC .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．9.在△ABC 中，cos C ＝－33，sin B ＝13. (1)求sin A 的值； (2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．10.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，BC ＝6，CD ＝2,3AB →·AD →＋4CB →·CD →＝0 (1)求四边形ABCD 的面积；(2)求三角形ABC 的外接圆半径R ；(3)若∠APC ＝60°，求PA ＋PC 的取值范围．11.已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12，△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (B )＝1. (1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．12.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．13.已知函数f (x )＝3(1＋cos x )－sin x ，在△ABC 中，AB ＝3，f (C )＝3，且△ABC 的面积为32. (1)求C 的值；(2)求sin A ＋sin B 的值．14.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝π6时，求a 的值；(2)当△ABC 面积为3时，求a ＋c 的值．15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ； (2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．16.已知△ABC 的周长为6，|BC →|，|CA →|，|AB →|成等比数列，求： (1)△ABC 的面积S 的最大值；(2)BA →·BC →的取值范围．。
正余弦定理知识点
正余弦定理知识点一、知识概述《正余弦定理》①基本定义：- 正弦定理呢，简单说就是在一个三角形里，各边和它所对角的正弦值的比是相等的。
也就是说a/sinA = b/sinB = c/sinC。
就好比是三角形三边和它对角正弦之间有着一种平均分配的关系。
- 余弦定理对于边来说，它是说三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
比如对于边a，a²= b²+ c²- 2bc·cosA。
这就像是三边之间有一种和角度余弦相关的计算关系。
②重要程度：在中学的数学学科，尤其是三角函数和三角形这部分知识里，正余弦定理超级重要。
它是求解三角形各种未知元素的非常厉害的工具，像已知两角一边或者两边一角之类的情况，没有它都没法做。
③前置知识：得先知道三角形的一些基本知识，像三角形内角和是180度啊，三角函数的定义（正弦、余弦是怎么一回事儿）等基础知识。
④应用价值：在实际生活中的测量呀，建筑工程里已知一些距离和角度求其他的数据等方面，还有像地图绘制里通过角度和部分距离求未知距离等情况都很有用，非常具有现实意义。
二、知识体系①知识图谱：在三角学这一大块知识里，正余弦定理处于求解三角形相关问题的核心位置。
就像是一根线把三角形的边和角这些零散的珠子串起来了。
②关联知识：它和三角函数的各种性质、三角形的面积公式等联系很紧密。
有时候求三角形面积用到的1/2ab·sinC，这里就有正弦呢，和正余弦定理就有关系。
③重难点分析：- 掌握难度对于有些同学来说中等，关键有点在于准确地记忆公式，并且能够灵活分析已知条件决定是用正弦定理还是余弦定理或者两者结合。
我感觉不少同学开始分不清啥时候该用哪个定理。
- 像在有些复杂图形中，找出符合正余弦定理条件的三角形是个难点。
④考点分析：在考试中超级重要，那是必考内容。
考查方式很多，比如会直接给条件让求三角形某边或者角；还可能会出在大题里，和其他知识综合起来考查，像在立体几何里求某个三角形元素等。
(完整版)正余弦定理知识点总结及全国高考考试题型
一、知识点 （一）正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径。
a=2RsinA ， b=2RsinB, c=2RsinC（二)余弦定理:2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-由此可得：222222222cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab +-+-+-===。
注：2a ＞22c b +⇒A 是钝角；2a =22c b +⇒A 是直角；2a ＜22c b +⇒A 是锐角； （三）三角形面积公式：（1)111sin sin sin .222ABCS ab C bc A ac B === 二、例题讲解 （一)求边的问题1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,3A π=,3,1a b ==，则c =（ )A 、1B 、2C 、31-D 、32、 在△ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边.如果,,a b c 成等差数列，B ∠=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（ ） A 、132+B 、31+C 、232+D 、32+3、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若C ∠=120°,2c a =，则（ ） A 、a b > B 、a b < C 、a b = D 、a 与b 的大小关系不能确定4、在△ABC 中,10a =，B ∠=60°，C ∠=45°，则c 等于（ )A 、310+B 、()1310- C 、13+D 、3105、若△ABC 的周长等于20，面积是310，=A ∠60°,则BC 边的长是（ )A 、5B 、6C 、7D 、86、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ） A 、51<<xB 、135<<xC 、50<<xD 、513<<x7、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A 、52B 、213C 、16D 、4矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
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余弦定理 教师：lihao(1)语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 ．(2)公式表达2a＝ 2b ＝ 2c = c2＝思路点拨：由题目可获取以下主要信息：①已知三边比例；②求三角形的三内角．解答本题可应用余弦定理求出三个角[题后感悟] 此题为“已知三边，求三角形的三个角”类型问题，基本解法是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦，再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角(一般地，先求最小角，再求最大角)已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 各角的度数．[解题过程] ∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， ∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k . 由余弦定理，有 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6＋(3＋1)2－426×(3＋1)＝22， ∴A ＝45°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋(3＋1)2－62×2×(3＋1)＝12， ∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.1．在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求角A ，B ，C . 解析： 在△ABC 中，由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(26)2－(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23) ＝24(3＋1)242(3＋1)＝22. ∴C ＝45°，sin C ＝22. 由正弦定理得：sin A ＝a sin C c ＝26×2243＝12. ∵a <c ，∴A <C ，∴A ＝30°.∴B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(30°＋45°)＝105°. 已知：在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，解此三角形．[解题过程] 方法一：由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 (3)2＝a 2＋32－2×a ×3×cos 30° ∴a 2－33a ＋6＝0 ∴a ＝3或a ＝2 3 当a ＝3时，b ＝3，A ＝30°，C ＝120°. 当a ＝23时，由正弦定理sin A ＝a sin B b ＝23sin 30°3＝1. ∴A ＝90°，C ＝60°.[题后感悟] 可比较两种方法，从中体会各自的优点，三角形中已知两边及一角，有两种解法，从而摸索出适合自己思维的解题规律和方法．方法一利用余弦定理列出关于a 的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出a 边的长，这样可免去判断取舍的麻烦．方法二直接运用正弦定理，先求角再求边．2．若将题中条件改为“b ＝3，c ＝2，A ＝30°”，应如何求解三角形？方法二：由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°知本题有两解． 由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32 ∴C ＝60°或120°. 当C ＝60°时，A ＝90° 由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝2 3. 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形．∴a＝ 3.解析： 直接运用余弦定理： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋(23)2－2×3×23×cos 30°＝3，从而a ＝3， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(3)2＋(23)2－322×3×23＝612＝12， ∴B ＝60°， ∴C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°. 3．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，若a ＝23，b ＝6，A ＝45°，求边长c .在△ABC 中，若b2sin2C ＋c2sin2B ＝2bccos Bcos C ，试判断三角形的形状思路点拨：由题目可获取以下主要信息：①边角之间的关系：b2sin2C ＋c2sin2B ＝2bccos Bcos C ；②确定三角形的形状．解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论；也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三角形形状．解析： 方法一：在△ABC 中，根据余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即c 2－23c －6＝0，所以c ＝3±3.因为c >0， 所以c ＝3＋3. 方法二：在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6×2223＝12，因为b <a ，所以B ＝30°，C ＝105°，sin C ＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝6＋24，则c ＝a sin C sin A ＝23×6＋2422＝3＋3. [规范作答] 方法一：由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ， 则条件转化为4R 2·sin 2C ·sin 2B ＋4R 2·sin 2C ·sin 2B ＝8R 2·sin B ·sin C ·cos B ·cos C ， 又sin B ·sin C ≠0， ∴sin B ·sin C ＝cos B ·cos C ，6分 即cos(B ＋C )＝0.8分 又0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°，10分[题后感悟] 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状4．在△ABC 中，(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)＝3bc ，且sin A ＝2sin Bcos C ，试确定△ABC 的形状．∴A ＝90°， 故△ABC 为直角三角形.12分 方法二：将已知等式变形为 b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C ，2分 即有b 2＋c 2－b 2·(a 2＋b 2－c 22ab )2－c 2·(a 2＋c 2－b 22ac )2 ＝2bc ·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2＋b 2－c 22ab ，4分即b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a 2＝a 2， 即b 2＋c 2＝a 2，10分 ∴△ABC 为直角三角形.12分解析： 因为(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以a 2＝b 2＋c 2－bc ， 又由余弦定理有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以cos A ＝12，即A ＝60°.又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，且sin A ＝2sin B cos C ， 所以sin B cos C ＝cos B sin C ，即sin(B －C )＝0，所以B＝C ， 又因为A ＝60°，所以B ＋C ＝180°－A ＝120°，即B ＝C＝60°，故△ABC 为等边三角形．1．余弦定理与勾股定理之间的联系(1)对于余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C 中，若C ＝90°，则c2＝a2＋b2，此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况．(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具． ①在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． ②余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛．[特别提醒] 在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．2．解三角形问题的类型解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边. 若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．(4)已知三角形的三边，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角．要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解◎已知钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的取值范围【错解】 ∵c >b >a 且△ABC 为钝角三角形，∴C 为钝角． 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0. k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① 又∵k 为三角形的边长，∴k >0，② 故由①②知0<k <6.【错因】 忽略隐含条件k ＋(k ＋2)>k ＋4，即k>2，而不是k>0.1.1.2 余弦定理 同步练习一、选择题1．在△ABC 中，ab b c a =+-222，则角Ｃ为（ ）Ａ．030 Ｂ．060 Ｃ．0013545或 Ｄ．0120２．在△ABC 中，已知ＡＢ＝364，66cos =B ，ＡＣ边上的中线ＢＤ＝5，则sin Ａ的值为（ ） Ａ．1770 Ｂ．1270 Ｃ．1470 Ｄ．1410 ３．在△ABC 中，若bc a c b c b a 3))((=-+++，并有sinA ＝２sinBcosC,那么△ABC 是（ ）Ａ．直角三角形 Ｂ．等边三角形 Ｃ． 等腰三角形 Ｄ．等腰直角三角形二、填空题４．△ABC 中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，Ｓ△ABC ＝４，则ＡＣ＝_________5. 在△ABC 中，已知060,1==A b ,Ｓ△ABC ＝3,则=Aa sin _________【正解】 ∵c >b >a 且△ABC 为钝角三角形，∴C 为钝角． 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0，k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，③又由两边之和大于第三边，得k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k >2，④由③④可知2<k <6.三、解答题6．在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为c b a ,,，证明C B A c b a sin )sin(222-=-。