新七年级数学暑假培训班讲义Word版
七年级数学暑假衔接讲义
分享成功教育引领智慧人生七年级数学衔接班（暑期版）胡老师初中教研室目录第一讲数怎么不够用了 (3)第二讲数轴和相反数 (8)第三讲绝对值 (12)第四讲有理数的加法 (16)第五讲有理数的减法 (21)第六讲有理数的加减混合运算 (25)第七讲有理数的乘法 (29)第八讲有理数的除法 (33)第九讲有理数的乘方 (37)第十讲有理数的运算 (41)第十一讲用字母表示数 (45)第十二讲代数式 (49)第十三讲合并同类项 (53)第十四讲去括号与探索规律 (57)第十五讲总复习 (61)第十六讲质量检测与试卷讲评第一讲数怎么不够用了学习目标1、了解正数和负数是从实际需要中产生的，并会用一个数是正数还是负数。
2、会用正、负数表示具有相反意义的量。
3、在负数概念的形成过程中，培养学生观察、归纳与概括的能力。
学习重点1、理解并掌握有理数的概念。
2、会用正、负数表示生活中具有相反意义的量。
学习难点有理数的分类知识要点知识点一：负数的产生负数的产生是由生活的需要，例如温度计在“零上温度和零下温度”，“比海平面高的高度和比海平面低的高度”等式具有相反意义的量，用小学学过的数是无法表示的，所以为了表示具有相反意义的量就引入了负数。
如果将其中一个表示为正数，那么另一个就是负数。
例如：在数学竞赛中，如果用＋10表示加10分，那么扣20分表示－20分。
考点一：正负数的意义例1．（1）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（）A．向东走5米和向西走2米B．收入100元和支出20元C．上升7米和下降5米D．长大1岁和减少2公斤（2）向东行进记作正，则﹣30m表示的意义是（）A．向东行进30m B．向南行进30m C．向西行进﹣30m D．向西行进30m（3）温度升高5℃，再升高﹣5℃，结果是（）A．温度升高了10℃B．温度下降了5℃C．温度不变D．温度下降了10℃例2．用正数或负数表示下列各题中的数量：（1）如果火车向东开出400千米记作+400千米，那么火车向西开出4000千米，记作；（2）球赛时，如果胜2局记作+2，那么﹣2表示；（3）若﹣4万表示亏损4万元，那么盈余3万元记作；（4）+150米表示高出海平面150米，低于海平面200米应记作．知识点二：正数与负数的概念1、像7，3.2，83，……这样比0大的数叫做正数 2、像－7，－3.2，－83，……这样比0小的数叫做负数正数前面也可以加上“+”（读作：“正”）号。
2024暑期初一数学辅导培训
所以1.41 2 1.4.2
因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225
而1.999396<2<2.002225，所以 1.414 2 1.41.5
……
探究新知 2 有多大呢？
你以前见过这种数吗？
2
2
提示：比较 数的大小， 先估计其算 术平方根的 近似值.
探究新知
例3 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁 出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她 不知能否裁得出来，正在发愁.你能帮小丽用这块纸片裁出符合 要求的纸片吗？Z
解:由题意知正方形纸片的边长为20cm.
2
0.6
7
表2
【讨论】1.你能从表2发现什么共同点吗？ 已知一个正数的平方，求这个正数. 2.表1和表2中的两种运算有什么关系？
探究新知
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即x2＝a，那么这
个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 a ,读作
“ 根号 a” . 规定：0的算术平方根是0，即 0 0 .
A.在1和2之间
B.在2和3之间
C.在3和4之间
D.在4和5之间
解析：因为42<19<52,所以4< 19<5,所以1< 1-93<2. 故选A. 总结：估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断 这个有理数位于哪两个数的平方之间.
巩固练习
1.与 31 最接近的整数是( C )
A. 4 B. 5 C. 6
的长是多少呢?
探究新知
七年级数学暑假培训资料
七年级数学暑假培训资料一、引言数学作为一门重要的学科，对于学生的综合素质培养起到至关重要的作用。
为了帮助七年级学生在暑假期间巩固数学知识，提高解题能力，我们准备了一份七年级数学暑假培训资料。
本资料涵盖了七年级数学的各个重要知识点，通过系统的学习和练习，学生可以更好地掌握数学知识，为接下来的学习打下坚实的基础。
二、资料内容1. 数的性质与运算本部分主要包括自然数、整数、有理数等数的性质与运算的基本概念和方法。
通过理论讲解和例题演练，学生可以掌握数的分类、数的运算规则等基本知识。
2. 代数式与方程式本部分主要介绍代数式的基本概念、运算法则以及方程式的解法。
通过学习代数式的化简和方程式的解法，学生可以提高代数思维能力和解决实际问题的能力。
3. 几何图形与变换本部分主要涵盖了平面图形的基本属性、分类以及常见的几何变换。
学生可以通过学习几何图形的性质和变换的方法，提高几何思维和空间想象能力。
4. 数据的收集、整理与展示本部分主要介绍了数据的收集、整理和展示的方法。
学生可以通过学习数据的统计与分析，培养观察、整理和分析数据的能力。
5. 函数与图像本部分主要介绍了函数的概念与性质，以及函数图像的绘制与分析。
学生可以通过学习函数的基本概念与图像的分析，提高数学建模和问题解决的能力。
三、学习方法1. 系统学习学生应按照资料的顺序，逐个学习各个知识点。
在学习过程中，可以结合教材进行复习和进一步拓展。
2. 理论与实践相结合学生在学习理论知识的同时，要进行大量的练习和实践。
通过解题训练，巩固理论知识，提高解题能力。
3. 疑难问题及时解答学生在学习过程中遇到的疑难问题，可以随时向老师请教。
及时解答问题，帮助学生理解和掌握知识。
四、学习计划为了更好地利用暑假时间进行数学学习，我们建议学生按照以下学习计划进行学习：第一周：复习数的性质与运算，完成相关练习题；第二周：学习代数式与方程式，进行例题演练；第三周：学习几何图形与变换，进行练习和图形绘制；第四周：学习数据的收集、整理与展示，进行数据分析；第五周：学习函数与图像，进行函数绘制和问题解决。
初一数学暑假讲义 第5讲.整式的概念及整式的加减.教师版
．．．．．．．．．．．．．．单项式：像-2a，πr2，-x2y，-abc，3x2yz单项式-ab2c，它的指数1+2+1=4，．．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做44x2y．．．．．．．．．．-x2y与25整式的概念和整式的加减模块一单项式相关概念定义代数式的定义：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字示例剖析2x+1，3ab2，10，a母也是代数式．13例如：a，-3是单项式；，……，这些代数式中，都是数字与字7x+y，3ab-5c+6不是单项式母的积，这样的代数式称为单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减的关系，且单项式的分母中不含字母．单独的一个字母或数也叫做单项式，1单项式的次数：是指单项式中字母的指数2和．单独的一个数（零除外），它们的次数规是四次单项式．定为零．叫做单项式的系数；单项式的系数．77πr2的系数是π．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．134x2y7，abc与-abc，-m与7m易错点：①单项式的系数包括单项式前面的符号；②π是一个数，不要将它当作字母．1【例3】 ⑴ 单项式 - 5ab 3c 2 的系数是 - ，次数是．⑶ 系数为 3，只含字母 x 、 y ，且次数是 3 的单项式共有（）个．A ． x 2 y 与 -32 zB ． 2.2m 2n 3 与 n 3m 2夯实基础【例1】 指出下列各式，哪些是代数式 ？⑴ 2x + 1 ⑵ 3ab 2 ⑶ 10 ⑷ a ⨯10n ⑸ a + b = b + a⑹ 3 > 2 ⑺ S = πR 2⑻ 3 + 4 = 7 ⑼ π 【解析】代数式：⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑼【例2】 写出下列单项式的系数和次数： 单项式 - x 3 y 25-34 a 2b-0.9mn 2πr 2- x 2yzx 3系数次数【解析】单项式 -x 3 y 2 5-34 a 2b -0.9mn2πr 2 - x 2yz x 3系数- 1 5-81-0.92π-11 次数532243能力提升57 7（人大附中期中）⑵ 一个单项式：它的系数是 -1 ，次数是 3 ，必须含 x ， y 两个字母，请写出这样的单项式 ．（写出一个即可）（北京 101 中学期中）．．A ．1B ．2C ．3D ．4（人大附中期中）⑷ 下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是（ ）1 13 12 C ． 0.2a 2b 与 0.2ab 2 D ．11abc 与 11ab（人大附中期中）⑸ ① -2002 与 2000 是同类项；② 2ab 与 -3abc 是同类项；③ 3x 5 与 5x 5 是同类项；④ -5b 与 3b 是同类项，上述说法正确的有（ ） A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个2⑻ 如果 2 x 3 y |n | 与 - x m +1 y 是同类项，则 m + n = __________x - A ． 3a 2bc 与 bca 2 不是同类项 B ． 不是整式（人大附中期中）⑹ 写出 -5x 3 y 2 的一个同类项（清华附中期中）⑺ 若 2x 3n y m +4 与 -3x 9 y 2n 是同类项，那么 m ，n 的值分别是（ ）A ． m = -2 ，n = 3B ． m = 2 ，n = 3C ． m = -3 ，n = 2D ． m = 3 ，n = 2（三帆中学期中）13（北京师范大学附属实验中学期中）【解析】 ⑴ 6； ⑵ - x 2 y 等； ⑶ B ；⑷ B ；⑸ D ； ⑹ 2π3 y 2 等； ⑺B ；⑻ 1或3．模块二 多项式相关概念定义多项式：几个单项式的和叫做多项式．7 9示例剖析x 2- 3x + 1 是多项式．多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个 项．多项式中的各项包括它前面的符号．多项式中 不含字母的项叫做常数项．多项式 2x 2 - 3x + 1中， 2x 2、 3x 、1 是多项式 的项，1 是常数项．多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数就 是这个多项式的次数．7 9x 2- 3x + 1 的次数是二次．-5x 2 y - y 4 + 9 次数是四次． 多项式的命名：几次几项式．7 9x 2 - 3x + 1 是二次三项式；整式：单项式和多项式统称为整式．把多项式按某个字母升幂、降幂排列-5x 2 y - y 4 + 9 是四次三项式．3， ab + 1 ， -5x 2 y - y 4 + 9 是整式．3x 2 - 5x 3 - 6 - 7 x升幂排列： -6 - 7 x + 3x 2 - 5x 3 降幂排列： -5x 3 + 3x 2 - 7 x - 6夯实基础【例4】 ⑴ 多项式 2x 4 y - 5x 3 y 3 + 7 x y 3 - 7 是次四项式，最高次项是．（三帆中学期中）⑵ 下列判断中正确的是（ ）m 2n5C ．单项式 - x 2 y 3 的系数是 -1D ． 3x 2 - y + 5xy 2 是二次三项式（三帆中学期中）3A ． x 5 - 2x + 1B ． ab 5 - 1C ． xy 3 - 5D ． a 2b 3 - ab 5【例5】 - - 0.01x 3 y - 0.1x 4 y 2 + x 2 y 是 次 项式，把它按字母 x 的降幂排列成【解析】 六，四， -0.1x 4 y 2 - 0.01x 3 y + x 2 y - xy 3 ， -0.01 ， - xy 3合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变． 叫 ⑶ 下列代数式中是五次多项式的是（）1 2（清华附中期中）【解析】 ⑴ 六， -5x 3 y 3 ；⑵ C ；⑶ A ．能力提升xy 33_________ ____ _____，排列后的第二项系数是 ，系数最小的项是_________．（人大附中期中）1 13 3【例6】 在多项式 1993u m v n + 3x m y n + u 3m v 2n - 4x n -1 y 2m -4 （其中 m ， n 为正整数）中，恰有两项是同类项，则 mn =【解析】 若 1993u m v n 与 u 3m v 2n 是同类项，则 m = 0 ， n = 0 ，与已知条件矛盾．故只有 3x m y n 与 -4x n -1 y 2m -4 为同类项，于是 m = n - 1 ，且 n = 2m - 4 ，解得 m = 5 ， n = 6 ，于是 mn = 30模块三 整式加减合并同类项：把多项式中同类项合并成一项， 做合并同类项． 3x + (-2x ) = (3 - 2)x = x．．．． ．．去括号与添括号：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号，括号前是 3x - (5 + x ) = 3x - 5 - x = 2x - 5正号，括号里的各项均不变号，添括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号，括号前是 正号，括号里的各项均不变号．3x + (5 + x ) = 3x + 5 + x= 4x + 5夯实基础4A．x5-x4=x B．y2-y2=⑵(3x2-5xy-6y2)-(-y2-4xy+4x2)2y2；⑶-3x2+12【例7】⑴下列各式正确的是（）A．3x+3y=6xy B．x+x=x2C．-9y2+6y2=-3D．-6x y2+6y2x=0（人大附中期中）⑵下列计算正确的是（）111236C．x3+2x5=3x8D．-x3+3x3=2x3（清华附中期中）⑶下列式子中去括号错误的是（）A．5x-(x-2y+5z)=5x-x+2y-5zB．2a2+(-3a-b)-(3c-2d)=2a2-3a-b-3c+2dC．3x2-3(x+6)=3x2-3x-6D．-(x-2y)-(-x2+y2)=-x+2y+x2-y2(人大附中期中)⑷多项式a2-b4+2a2b2-a4=a2-（）．（北京五中期中）【解析】⑴D；⑵D；⑶C；⑷b4-2a2b2+a4能力提升【例8】化简下列各式：⑴-x2-x2-x2-x212（人大附中期中）⑶计算：设A=x3-2x2+4x+3、B=x2+2x-6、C=x3+2x-3，则A-(B+C)=．（人大附中期中）【解析】⑴-4x2；⑵x2-3xy-11【附加】若A=9a3b2-5b3-1，B=-7a2b3+8b3+2．求：⑴2A+B；⑵3B-A．【解析】⑴2A+B=2(9a3b2-5b3-1)+(-7a2b3+8b3+2)=18a3b2-10b3-2-7a2b3+8b3+2=18a3b2-7a2b3-2b3⑵3(-7a2b3+8b3+2)-(9a3b2-5b3-1)=-21a2b3+24b3+6-9a3b2+5b3+1=-21a2b3-9a3b2+29b3+75⑴ 先化简，再求值: 4 - 3x 2 + 2x + 2x 2 - 4x - 7 x 2 - 8 ，其中 x = -． ⑵ 求 4x 2 y - ⎡⎣6xy - 3(4xy - 2) - x 2 y ⎤⎦ + 1的值，其中 x = 2 ， y = - ． - 2x - 4 = -8 ⨯ + 1 - 4 = -7 ； )+ (2x - 4x )- 4 = -8x探索创新【例9】 若关于 x 、y 的多项式 x m -1 y 3 + x 3-m y n -2 + x m -1 y + x 2m -3 y n + m + n - 1 合并同类项后得到一个四次三项式，求 m 、 n 的值（所有指数均为正整数）【解析】 ∵x 、y 的多项式 x m -1y 3+x 3-m y |n-2|+x m -1y +x 2m -3y |n|+m+n -1 合并同类项后得到一个四次三项式，∴m -1=1，解得：m =2，多项式变为：xy 3+xy |n-2|+xy +xy |n|+n +1， ①当|n |=1，n =1 时，xy 3+xy |n-2|+xy +xy |n|+n +1=xy 3+3xy +2，符合题意；n =-1 时，xy 3+xy |n-2|+xy +xy |n|+n +1=xy 3+xy 3+xy +xy =2xy 3+2xy ，不符合题意； ②当|n |=3，n =3 时，xy 3+xy |n-2|+xy +xy |n|+n +1=xy 3+xy +xy +xy 3+3+1=2xy 3+2xy +4，符合题意； n =-3 时，xy 3+xy |n-2|+xy +xy |n|+n +1=2xy 3+xy 5+xy-2，不符合题意． 故 m =2，n =1 或 3【附加】⑴ 当 x = m 时，多项式 x 2 + 998x - 999 的值等于 0，此时多项式 m 2 + 998m + 999 的值等于⑵ 三个有理数 a ， b ， c ，其积是负数，其和是正数，a b c当 x = + + 时，则代数式 x 19 - 95x + 1028 的值是a b c【解析】 ⑴ 由条件知 m 2 + 998m - 999 = 0 ，即 m 2 + 998m = 999 ，所以 m 2 + 998m + 999 = 1998⑵ 由于 a ，b ，c 三数的积是负数，所以要么是三个负数，要么是一负二正；若三个都是负数，它们的和不可能是正数，所以只能是一负二正． 不妨设 a < 0 ， b > 0 ， c > 0 ，则 x = -1 + 1 + 1 = 1 ．将 x = 1 代入代数式 x 19 - 95x + 1028 求值，得119 - 95 ⨯1 + 1028 = 934【附加】化简求值:1 2（人大附中期中） 1 2⑶ 有这样一道题：“已知 A = 2a 2 + 2b 2 - 3c 2 ， B = 3a 2 - b 2 - 2c 2 ， C = c 2 + 2a 2 - 3b 2 ，当 a = 1 ，b = 2 ，c = 3 时，求 A - B + C 的值”．有一个学生指出，题目中给出的 b = 2 ， c = 3 是多余的．他的说法有没有道理？为什么？⑷ 已知多项式 x 2 + ax - y + b 和 b x 2 - 3x + 6 y - 3 的差的值与字母 x 的取值无关， 求代数式 3(a 2 - 2ab - b 2 )- (4a2 + ab + b 2 )的值．【解析】⑴ 化简为 = (2x 2- 3x 2- 7x 221 46⑵原式=4x2y-6xy+12xy-6+x2y+1=5x2y+6xy-5=5⨯4⨯ -⎪-6-5=-21；4，原式=a2b-ab2+4=8．⎛1⎫⎝2⎭⑶有道理，A-B+C=2a2+2b2-3c2-(3a2-b2-2c2)+c2+2a2-3b2=a2，因为a=1，所以A-B+C=1．⑷由于两个多项式的差的值与字母x的取值无关，所以这两个多项式含x的项的系数相同，即a=-3，b=1；原式=3a2-6ab-3b2-4a2-ab-b2=-a2-7ab-4b2当a=-3，b=1时，上式的值为：-(-3)2-7⨯(-3)⨯1-4⨯12=8【附加】先化简，再求值：已知(a+2)2+b-14【解析】易知a=-2，b==0，求5a2b-⎡⎣2a2b-(ab2-2a2b)-4⎤⎦-2ab2的值．（北京师范大学附属实验中学期中）1417学校要求写成 32 ），次数是 7； -3a 2b 3c 的系数是 -3 ，次数是 6； - 的系数为 - ，次m -3⑷ 如果 -a b 与 ab 4n 是同类项，且 m 与 n 互为负倒数，求 m ， n 值． 2009= -1 ；⑷ m = 4 ， n = - ．【解析】⑴ C ；⑵ A ；⑶ m = 1 ， n = 2 ， (1 - 2) 【解析】 xy 2 ， -a ， 25 t 7 ， -3a 2b 3c ， - 是单项式．2xy 的系数是，次数是 3； -a 的系数是 -1 ，次数是 1； 25 t 7 的系数是 25（注意有些 A ． 4bc 2a 3B ． 4ca 2b 3C ． ac 3b 2D ． ac 2b 3是 0；④ 3 ⨯102 x 2 y 是 5 次单项式；⑤是多项式．其中正确的是（ ）实战演练知识模块一单项式相关概念 课后演练【演练1】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．2 a mn x xy 2 ； -a ； ； +3 ； 25 t 7 ； -3a 2b 3c ； - 3 bc 2 π 2 x 3 π 2 23 3x 1 π π数为 1．【演练2】 ⑴ 4ab 2c 3 的同类项是（）．1 1 4 4⑵ 已知 -6a 9b 4 和 5a 4n b 4 是同类项，则式子12n - 10 的值是（ ）A ．17B ． 37C ． -17D ． 98 ⑶ 若 2009a m b 3-m 与156ab n 是同类项，求 (m - n)2009 的值．1 31 4知识模块二多项式相关概念 课后演练【演练3】 ⑴ 现有五种说法：① -a 表示负数；②若| x |= - x ，则 x < 0 ；③绝对值最小的有理数x - y5A ．①②B ．②③C ．③⑤D ．④⑤（北京师范大学附属实验中学期中） ⑵ 把下列多项式按 x 降幂排列，并指出是几次几项式，并指出系数最小的项：① 13 y - 2xy - 18x 3 y - 7 x 2 y 2 ② -3xy 2 - 5x 2 y - x 3 y + 2 y - 1【解析】⑴ C ；⑵ ① -18x 3 y - 7 x 2 y 2 - 2 x y + 13 y ，四次四项式， -18x 3 y ；② - x 3 y - 5x 2 y - 3xy 2 + 2 y - 1 ，四次五项式， -5x 2 y8A ． 2 x 2 - (x - 3 y ) = 2 x 2 - x + 3 yB ． x 2 + (3 y 2 - 2xy )= x 2 - 2xy + 3 y 2【演练6】 如果 -0.3m x n 3 与 m 4n y 是同类项，【解析】因为 -0.3m x n 3 与 m 4n y 是同类项，所以 x = 4 ， y = 3 ；知识模块三 整式加减 课后演练【演练4】 ⑴ 一个多项式减去 x 2 - y 2 等于 x 2 + y 2 ，这个多项式是（）A ． 2x 2B ． -2x 2C ． 2 y 2D ． -2 y 2（三帆中学期中）⑵ 下列去括号错误的是 （）1 13 3C ． a 2 - 4 (-a + 1) = a 2 - 4a - 4D ． - (b - 2a ) - (-a 2 + b 2 )= -b + 2a + a 2 - b 2（北京五中期中）【解析】⑴ A ；⑵ C【演练5】 已知 A = 2x 2 - 3 ， B = -3x + 1 ， C = 5x 2 - x ，且 2B + C = A - D ，求 D ． 【解析】因为 2B + C = A - D ，所以 D = A - 2B - C = 2x 2 - 3 - 2 (-3x + 1)- (5x 2 - x )= -3x 2 + 7x - 51 2那么代数式 (-5x 2 y - 4 y 3 - 2xy 2 + 3x 3 )- (2x 3 - 5xy 2 - 3y 3 - 2x 2 y )的值等于1 2而 (-5x 2 y - 4 y 3 - 2xy 2 + 3x 3 )- (2x 3 - 5xy 2 - 3y 3 - 2x 2 y)= -5x 2 y - 4 y 3 - 2xy 2 + 3x 3 - 2x 3 + 5xy 2 + 3 y 3 + 2x 2 y= -3x 2 y - y 3 + 3xy 2 + x 3 ，当 x = 4 ， y = 3 时，原式的值为： -3 ⨯ 42 ⨯ 3 - 33 + 3 ⨯ 4 ⨯ 32 + 43 = 19。
初一数学暑期衔接班讲义：整式加减
初一数学暑期讲义 暑期复习衔接：整式的加减一、 教学衔接1、单项式： 。
2、多项式： 。
3、整式： 。
4、一个单项式中，所有字母的 叫单项式的次数，它只与 有关，与单项式的系数 ；一个多项式中， 的次数叫多项式的次数。
5、同类项的定义：所含字母 ，并且相同字母的次数也 的项叫做同类项。
6、合并同类项法则：系数相 ，字母及其指数 。
7、去括号法则：括号前是“+”号时，去掉括号和“+”号后括号里的各项符号都 ；括号前是“-”号时，去掉括号和“-”号后括号里的各项符号都 ；8、整式的加减法的步骤：（1） ；（2） 。
二、经典题型讲解：例1、下列代数式中那些是单项式，那些是多项式？若是单项式，请指出它的系数和次数；若是多项式，请指出它是几次几项式。
变式练习：其中单项式有 个，多项式有 个，次数为2的整式有 个。
54,14532,,1,5,3,1,3523222abab ab b a m x x x x x x ππ--+-+--+x x x x y x mn ab a ab 1,145,),(21,1,1,51222--+--π应满足什么条件？次单项式，则的是关于）、已知（例b y x y x a b ,a 5,2223+-?m ,5)2(4xy 2=--+-的三次二项式，则是关于变式练习：若y x xy m m的值为多少？是同类项，则与、单项式例b y x y x a b a ---+a 331321?a 34.5a 02==y x b b x y 的和是单项式，则与变式练习：若.3,31a ,3])23(22[a 342222=-=++---b ab ab b a ab ab b 其中，先化简，再求值：例的值。
）求代数式（变式练习：已知)(])2[(,3,2xy x y xy y x xy y x -----+=-=+的值。
时，多项式答案，并求出当的请你帮他正确地算出结果求出的答案是看成误将”时，试求，其中和“两个多项式：小强在做一道数学题例B A x B A x x B A B A B A x x B B --=-+-+--+--=1,523.,254A 522的值。
初一数学暑期辅导讲义
初一数学暑期辅导讲义第一讲丰富的图形世界(2课时)第二讲有理数(3课时)第三讲字母表示数(3课时)第四讲平面图形及位置关系(3课时)第五讲一元一次方程(3课时)第六讲生活中的数据(3课时)第七讲可能性(3课时)第一讲丰富的图形世界1、认识生活中常见的几何体特点：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球2、知道常见几何体的分类，一共分为三类：球体、柱体（圆柱、棱柱、正方体、长方体）、锥体（圆锥、棱锥）3、平面图形折成立体图形应注意：侧面的个数与底面图形的边数相等。
4、圆柱的侧面展开图是一个长方形；展开图是两个圆形和一个长方形；圆锥的展开图是一个扇形和一个圆形；正方体展开图是一个六个小正方形组成的图形；长方体的展开图是与正方体的类似。
（容易考到）5、特殊立体图形的截面图形：(1)长方体、正方形的截面是：三角形、四边形（长方形、正方形、梯形、平行四边形）、五边形、六边形。
(2)圆柱的截面是：长方形、圆、椭圆。
(3)圆锥的截面是：三角形、圆、椭圆。
(4)球的截面是：圆6、我们经常把从前面看到的图形叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图。
7、点动成线，线动成面，面动成体。
第二讲有理数1 、正数与负数在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。
与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）。
2 、有理数(1) 正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
0既不是正数，也不是负数。
(2) 通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。
数轴三要素：原点、方向箭头、单位长度。
在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。
(3) 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
特别的：0的相反数是0(4) 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；两个负数，绝对值大的反而小。
七年级数学暑假班讲义(学生版) 第5讲.整式的基本概念 - 满分班
第5讲 整式的基本概念1代数式一． 代数式1． 代数式的概念：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．例如：()23a b +，ab ，222a ab b -+等． 单独的一个数或一个字母也是代数式．例如：5，a 等． 2．代数式书写规范：（1） 数与字母、字母与字母相乘时常省略“⨯”号或用“⋅”． 如：22a a -⨯=-，33a b ab ⨯⨯=⋅，2222x x -⨯=-（2） 数字通常写在字母前面．如：()55mn mn ⨯-=-，()()33a b a b ⨯+=+（3） 带分数与字母相乘时要化成假分数．如：15222ab ab ⨯=，切勿错误写成“122ab ”（4） 当字母前面的数字为1或1-时，把数字1省略． 如：1ab ab =，1ab ab -=-（5） 除法常写成分数的形式． 如：ss x x÷= 【例题精选】例1（2020•吉州区一模）有2020个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和，如果第一个数是a ，第二个数是b ，那么这2020个数的和是__________．例2（2019秋•鄄城县期末）如下四种图案的地砖，要求灰、白两种颜色面积大致相同，那么下面最符合要求的是（ ）A ．B ．C ．D ．【随堂练习】1．（2019秋•扬州期末）为了贯彻“房住不炒”要求，加快回笼资金，我市甲、乙、丙三家原售价相同的楼盘在年终前搞促销活动，甲楼盘售楼处打出在原价基础上先降价15%，再降价15%；乙楼盘打出一次性降价30%；丙楼盘打出先九折，再降价20%，如果此时小容的父亲想在上述三家楼盘中选择每平米实际售价最低的一处购买，他应选择的楼盘是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．都一样2．（2019秋•乐亭县期末）某公司在销售一种智能机器人时发现，每月可售出300个，当每个降价1元时，可多售出5个，如果每个降价x元，那么每月可售出机器人的个数是（）A．5x B．305+x C．300+5x D．300+x2.代数式求值【例题精选】例1 （2020•渝中区校级模拟）如图所示，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2020次输出的结果为（）A．125B．25C．1D．5【随堂练习】1．（2019秋•沙坪坝区校级期末）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为﹣4的是（）A．x＝﹣1，y＝﹣2B．x＝1，y＝﹣2C．x＝﹣1，y＝2D．x＝﹣2，y＝12．（2019秋•长垣县期末）若x﹣3y＝4，则1+3y﹣x的值是（）A．﹣3B．5C．3D．﹣53．（2019秋•石家庄期末）当x＝1时，代数式x2﹣2x+a的值为3，则当x＝﹣1时，代数式x2﹣2x+a＝（）A．5B．6C．7D．83.单项式一． 单项式1. 概念：数或字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．2. 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 字母π是圆周率，当做数字来看待．3. 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．对于单独一个非零的数，规定它的次数为0．二． 单项式系数易错点1． 圆周率π是常数，如2r π的系数是2π，次数是1；2r π的系数是π，次数是2． 2． 当一个单项式的系数是1或1-时，通常省略不写数字“1”，如2a bc ，abc -等． 3． 代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如2314xy 写成274xy ．【例题精选】例1（2019秋•郾城区期末）单项式﹣4×103a 4b 3的次数是_______．例2（2019秋•东台市期末）单项式的系数是________，次数是________．【随堂练习】1．（2019秋•咸丰县期末）单项式的系数是___________．2．（2019秋•中山区期末）的次数是_______．3．（2019秋•浦东新区期末）单项式的系数为________．4．（2020•黄冈一模）单项式﹣的系数是________，次数分别是_______．4多项式知识概述一．多项式1.概念：几个单项式的和叫做多项式．2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．其中，不含字母的项叫做常数项．3.多项式的次数：一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．4.降幂升幂排列：通常我们把一个多项式的各个项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．【例题精选】例1 （2019秋•宜宾期末）将多项式5x2y+y3﹣3xy2﹣x3按x的升幂排列____________________ __________．例2 （2019秋•玉田县期末）已知多项式﹣x2y2m+1+xy﹣6x3﹣1是五次四项式，且单项式πx n y4m﹣3与多项式的次数相同，求m，n的值．【随堂练习】1．（2019秋•南京期末）单项式的系数是m，多项式a2b+2ab﹣3的次数是n，则m+n ＝__________．2．（2019秋•梁园区期末）如果（n﹣4）x|n﹣1|y2﹣3x2y﹣4x3+3是关于x、y的五次四项式，则n＝________．3．（2019秋•伊通县期末）在式子：、、、﹣、1﹣x﹣5xy2、﹣x、6xy+1、a2﹣b2中，其中多项式有_______个．5整式整式：单项式与多项式统称整式．【例题精选】例1（2019秋•诸暨市期中）下列代数式中，整式的个数是（）A．2B．3C．4D．5例2（2019秋•花都区期中）对于下列四个式子：①②③④．其中不是整式的是（）A．①B．②C．③D．④【随堂练习】1．（2019秋•江阴市期中）在式子，x+y，0，﹣a，﹣3x2y，中，整式的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．（2019秋•静安区月考）在代数式，，，，，，0，y2+6x+9中，整式共有（）个．A．5B．6C．7D．83．（2019秋•金山区校级月考）在代数式中，整式的个数是（）A．3B．4C．5D．6综合练习一．选择题。
七年级上数学暑假讲义第二期2024.7.20
暑期精品讲义（第2期）七年级数学上学生姓名________内容摘要第二章几何图形的初步认识2.1 从生活中认识几何图形2.2 点和线2.3 线段的长短2.4 线段的和与差2.5 角以及角的度量2.6 角的大小2.7 角的和与差2.8 平面图形的旋转第五章一元一次方程5.1 一元一次方程5.2 等式的基本性质5.3 解一元一次方程第1课时用移项和合并同类项解一元一次方程第2课时解含括号或含分母的一元一次方程5.4 一元一次方程的应用第1课时列一元一次方程解决和、差、倍、分问题第2课时列一元一次方程解决相遇问题、工程问题第3课时列一元一次方程解决百分率问题、销售问题第4课时列一元一次方程解决追击问题、几何问题第二章几何图形的初步认识2.1 从生活中认识几何图形学习目标：1.能从简单实物的外形中抽象出几何图形，认识平面图形和立体图形;（重点）2.掌握几何图形的构成元素.（重点）学习重点：识别简单的几何图形.学习难点：从具体事物中抽象出几何图形.一、知识链接写出下列图形的名称（1）(4)_____ (5)_____ (6)_______ (7)______ (8)_____ (9)_______二、新知预习观察与思考1.生活中你会常见很多实物，由下列实物能想象出你熟悉的几何图形吗？(1) 文具盒魔方笔筒足球————————————————————————(2).图中所示的各交通标志中，你可以看出哪些熟悉的图形？————————————————————————【归纳】对于各种物体，不考虑它们的颜色、材料和质量等，而只关注它们的__形状_、_大小_和它们之间的__位置关系__，就得到了几何图形.几何图形包括了______________和________________. 2.出示一个长方体的纸盒，让同学们观察,回答问题：从整体上看，它的形状是什么？从不同侧面看，你看到了什么图形？只看棱、顶点等局部，你又看到了什么？想一想：圆柱和球从整体上看，它的形状是什么？从不同侧面看，你看到了什么图形？【归纳】 包围着几何体的是________;面分_____和_____; 面与面相交成___________; 线与线相交成_______._________、___________、__________是几何图形的基本要素. 三、自学自测请把下面的实物与相应的几何体用线连接起来：一、要点探究探究点1：几何图形的分类例1：下列几种图形：①长方形；②梯形；③正方体；④圆柱；⑤圆锥；⑥球. 其中属于立体图形的是（ ）A. ①②③；B. ③④⑤；C. ① ③⑤；D. ③④⑤⑥【归纳总结】 立体图形的各部分不都在同一平面内，而平面图形的各部分都在同一平面内；立体图形中某些部分是平面图形.（1）纸盒（1）长方（2）长方形（3）正方形（4）线段 点例2：将如图所示的几何体分类：【归纳总结】 生活中常见的几何体有两种分类：一种是按柱体、椎体、球体分类；一种是按平面、曲面分类. 【针对训练】观察图中的立体图形，分别写出它们的名称,并将它们分类._____探究点2：几何图形的构成元素 合作探究1.包围着几何体的是面．面分为______和_________两种．如图的圆锥体有两个面，一个是平面，另一个是曲面． 如图的六棱柱有_____个面，分别都是什么面？ 如图的圆柱有_______个面，分别都是什么面？ 2.面与面相交的地方形成线．线分为_____和_____两种．圆锥体的两个面相交形成_______线． 六棱柱的两个面相交成________线. 3.线与线相交形成点． 想一想（1）如果把笔尖可能看作一个点，笔尖在纸上运动会形成什么_______．如果把星星看作一个点，夜空中流星形成什么________．（2）我们可以把汽车的雨刷看成一条线，汽车的雨刷在挡风玻璃上运动形成____． 由此我们可以得出：点动成_____，线动成______．:例3：如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是()【归纳总结】点动成线，线动成面，面动成体，以运动的观点观察静止的点、线、面，就能得到千姿百态的几何图形．解答此题可动手操作，也可以空间想象．【针对训练】将下列图形绕直线l旋转一周, 可以得到右图所示的立体图形的是( )二、课堂小结当堂检测1.圆锥的面有（）A. 1个B.2个C.3个D.无数多个2.将正方体、圆锥、球、四棱柱四种几何体分类正确的是（）Ａ.正方体、四棱柱是柱体，圆锥是锥体，球是球体；Ｂ.正方体、圆锥、四棱柱都是柱体，球是球体；Ｃ.圆锥、四棱柱是柱体一类，正方体的面是平面一类，球的面是曲面一类；Ｄ.正方体、圆锥、球、四棱柱都是柱体。
人教版七年级数学培优班暑期讲义(可编辑)
七年级数学培优班暑期讲义第一章有理数§1有理数的相关概念整数和分数统称为有理数有理数又可分为正有理数0和负有理数规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴在数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大正数都大于零负数都小于零正数大于负数只有符号不同的两个数称互为相反数例如和互为相反数即是的相反数是的相反数在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值记作例如在数轴上表示的点与原点的距离是5所以的绝对值是5记作一个正数的绝对值是它本身零的绝对值是零一个负数的绝对值是它的相反数这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容必须牢固掌握例1 最低气温为那么这天的最高气温比最低气温高A 4B 8C 12D 16例2 下列说法正确的是A 一个有理数不是整数就是分数B 正整数和负整数统称整数C 正整数负整数正分数负分数统称有理数D 0不是有理数例3．数在数轴上的位置如图下列判断正确的是A BC D例4 说出下列各数的相反数16－300001例5 如图若数轴上的绝对值是的绝对值的3倍则数轴的原点在点填ABC或D1．有如下四个命题①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数③两个符号相反的分数之间至少有一个整数④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数其中真命题的个数为A1 B 2 C 3 D 42 下列说服中正确的是A正整数和负整数统称为整数B正数和负数统称为有理数C整数和分数统称为有理数D自然数和负数统称为有理数以下四个判断中不正确的是A在数轴上关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数B两个有理数互为相反数则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称C两个有理数不等则他们的绝对值不等D两个有理数的绝对值不等则这两个有理数不等A 一切有理数的倒数还是有理数B 一切正有理数的相反数必是负有理数C 一切有理数的绝对值必是正有理数D 一切有理数的平方是正有理数5 在数轴上点A对应的数是－2006点B对应的数是＋17则AB两点的距离是A1989 B 1999 C 7>2013 D 20236 如图所示圆的周长为4个单位长度在圆的4等分点处标上数字0123先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－1所对应的点重合再让数轴按逆时针方向绕在该圆上那么数轴上的数－2006将与圆周上的数字重合下列说法中错误的是A所有的有理数都可以用数轴上的点表示B 数轴上原点表示数0C 数轴上点表示从点出发沿数轴上移动2个单位长度到达点则点表示D 在数轴上表示和的两点之间的距离是5下列说法正确的是A有最大的整数 B 有最小的负数C有最大的正数 D 有最小的正整数如果n是大于1的偶数那么n 一定小于它的A相反数 B倒数 C 绝对值 D 平方If we haveand a6 Othen the points in real number axisgiven by a and bcan be represented as 英汉词典point点．real number axis实数轴．represent表示． 3 有理数abc大小关系如图则下列式子中一定成立的是Aabc 0 B c abC a-c acD b-c c-a4 如果abc 0且a b c则下列说法中可能成立的是A ab是正数c 0 Bac是正数b 0C bc是正数a 0D ac是负数b 0如果那么下列不等式中成立的是A B C D6 为有理数下列说法中正确的是A 为正数B 为负数C 为正数D 为正数若a b 0 c d则以下四个结论中正确的是A abcd一定是正数．B dc-a-b可能是负数．C d-c-b-a一定是正数．D c-d-b-a一定是正数．已知和互为相反数求的值若与互为相反数到原点的距离为3求的值已知求的值其中均为整数且的数是有理数这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数3 有理数可以用数轴上的点表示4 零是正数和负数的分界点零不是正数也不是负数5 如果两个数的和为0则称这两个数互为相反数如果两个数的积为1则称这两个数互为倒数6 有理数的运算法则1 加法两数相加同号的取原来的符号并把绝对值相加异号的取绝对值较大的加数的符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值绝对值相等时和为0一个数与0相加仍得这个数2 减法减去一个数等于加上这个数的相反数3 乘法两数相乘同号得正异号得负并把绝对值相乘一个数与0相乘积为0 乘方求个相同因数的积的运算称为乘方记为4 除法除以一个数等于乘以这个数的倒数整数的运算律对有理数的运算也适合二例题与练习例1 ____________例2 ____________实践练习2 计算例3 用简便方法计算__________例4 _________实践练习__________2 计算________3 计算________例5 若则是A 正数B 非正数C 负数D 非负数例6 若是自然数并且有理数满足则必有A BC D实践练习等于它的倒数有理数等于它的相反数则等于A 0B 1C －1D 2练习三1 计算________2 计算_________3 计算4 ______5 的值的整数部分是_______6 设是最小的自然数是最大负整数是绝对值最小的有理数则___7 数轴上对应是整数的点称为整点某数轴的单位长度是1厘米若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段则线段盖住的整点有______个8 电子跳蚤落在数轴上的某点第一步从向左跳1个单位到第二步从向右跳2个单位到第三步从向左跳3个单位到第四步从向右跳4个单位到按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是2008则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是多少§3 有理数的巧算知识要点和分数统称为有理数有理数通常可以表示成分数的形式这里都是整数且有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念法则的基础上能根据法则公式等正确迅速地进行运算．不仅如此还要善于根据题目条件将推理与计算相结合灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题从而提高运算能力发展思维的敏捷性与灵活性．四则运算对有理数是封闭的即任意两个有理数相加相减相乘相除除数不能为0其结果还是有理数有理数可以比较大小任意两个有理数之间都有无穷多个有理数有理数计算中常用到的一些等式如下123456例1计算实践练习123例2计算计算实践练习1计算2－＋－＋－3例3计算实践练习1计算2计算3练习四1计算2计算3计算1－＋－＋－4计算5计算计算计算再减去余下的再减去余下的依此类推一直减去余下的那么最后剩下的数是多少第 2 abc 3 b2 4 －5ab2 5 y 6 －xy2 7 －52单项式系数和次数单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的说出下列四个单项式a2h2πrabc－m的系数和次数例1判断下列各代数式是否是单项式如不是请说明理由如是请指出它的系数和次数①x＋1 ②③πr2 ④－a2b例2下面各题的判断是否正确①－7xy2的系数是7 ②－x2y3与x3没有系数③－ab3c2的次数是0＋3＋2④－a3的系数是－1 ⑤－32x2y3的次数是7 ⑥πr2h的系数是注意①圆周率π是常数②当一个单项式的系数是1或－1时1通常省略不写如x2－a2b等§2．多项式1．列代数式1 长方形的长与宽分别为ab则长方形的周长是2 某班有男生x人女生21人则这个班共有学生人_______3 图中阴影部分的面积为_________4 鸡兔同笼鸡a只兔b只则共有头个脚只2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别1 2 a＋b 2 21＋x 3 a＋b 4 2a＋4b几个单项式的和叫做多项式 polynomial 在多项式中每个单项式叫做多项式的项 term 其中不含字母的项叫做常数项 constant term 例如多项式有三项它们是－2x5其中5是常数项一个多项式含有几项就叫几项式多项式里次数最高项的次数就是这个多项式的次数例如多项式是一个二次三项式单项式与多项式统称整式 integral expression注意1 多项式的次数不是所有项的次数之和多项式的次数为最高次项的次数2 多项式的每一项都包括它前面的符号例1判断①多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为a3a2ｂab2b3次数为12②多项式3n4－2n2＋1的次数为4常数项为1例2指出下列多项式的项和次数1 3x－1＋3x2 2 4x3＋2x－2y2例3指出下列多项式是几次几项式1 x3－x＋12 x3－2x2y2＋3y2例4已知代数式3xn－ m－1 x＋1是关于x的三次二项式求mn的条件课堂练习①填空－a2b－ab＋1是次项式其中三次项系数是二次项为常数项为写出所有的项②已知代数式2x2－mnx2＋y2是关于字母xy的三次三项式求mn的条件§3．多项式的升降幂排列请运用加法交换律任意交换多项式x2＋x＋1中各项的位置可以得到几种不同的排列方式在众多的排列方式中你认为那几种比较整齐1．升幂排列与降幂排列有两种排列x的指数是逐渐变大或变小的我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列例如把多项式5x2＋3x－2x3－1按x的指数从大到小的顺序排列可以写成－2x3＋5x2＋3x－1这叫做这个多项式按字母x的降幂排列若按x的指数从小到大的顺序排列则写成－1＋3x＋5x2－2x3这叫做这个多项式按字母x的升幂排列例1五个学生上前自己选一张卡片根据老师要求排成一列并把排列正确的式子写下来例如按x降幂排列例2把多项式2πr－1＋3πr3－π2r2按r升幂排列例3把多项式a3－b3－3a2b＋3ab2重新排列1 按a升幂排列2 按a降幂排列想一想观察上面两个排列从字母b的角度看它们又有何特点例4把多项式－1＋2πx2－x－x3y用适当的方式排列例5把多项式x4－y4＋3x3y－2xy2－5x2y3用适当的方式排列1 按字母x的升幂排列得2 按字母y的升幂排列得小结对一个多项式进行排列这样的写法除了美观之外还会为今后的计算带来方便在排列时我们要注意1 重新排列多项式时每一项一定要连同它的符号一起移动原首项省略的＋号交换到后面时要添上2 含有两个或两个以上字母的多项式常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列§4同类项创设问题情境⑴5个人8个人⑵5只羊8只羊⑶5个人8只羊观察下列各单项式把你认为相同类型的式子归为一类8x2y－mn2 5a－x2y 7mn2 9a － 0 04mn2 2xy2我们常常把具有相同特征的事物归为一类8x2y与－x2y可以归为一类2xy2与－可以归为一类－mn27mn2与04mn2可以归为一类5a与9a可以归为一类还有0与也可以归为一类8x2y与－x2y只有系数不同各自所含的字母都是xy并且x的指数都是2y的指数都是1同样地2xy2与－也只有系数不同各自所含的字母都是xy并且x的指数都是1y的指数都是2像这样所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项similar terms 另外所有的常数项都是同类项比如前面提到的0与也是同类项例1判断下列说法是否正确正确地在括号内打√错误的打×1 3x与3mx是同类项2 2ab与－5ab是同类项3 3x2y与－yx2是同类项4 5ab2与－2ab2c是同类项5 23与32是同类项例2指出下列多项式中的同类项1 3x－2y＋1＋3y－2x－52 3x2y－2xy2＋xy2－yx2例3k取何值时3xky与－x2y是同类项例4若把 s＋t s－t 分别看作一个整体指出下面式子中的同类项1 s＋t － s－t －＋2 2 s－t ＋ 2－5 s－t － 2＋s－t课堂练习1请写出2ab2c3的一个同类项．你能写出多少个它本身是自己的同类项吗若2amb2m3n与a2n－3b8的和仍是一个单项式则m与 n的值分别是______ 为了搞好班会活动李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品他们首先购买了15本软面抄和20支水笔经过预算发现这么多奖品不够用然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔问①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔②若设软面抄的单价为每本x元水笔的单价为每支y元则这次活动他们支出的总金额是多少元可根据购买的时间次序列出代数式也可根据购买物品的种类列出代数式再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起将它们合并起来化简整个多项式所的结果都为 21x＋25y 元由此可得把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项合并同类项的法则把同类项的系数相加所得的结果作为系数字母和字母指数保持不变例1找出多项式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5种的同类项并合并同类项例2下列各题合并同类项的结果对不对若不对请改正1 2x2＋3x2 5x4 2 3x＋2y 5xy3 7x2－3x24 4 9a2b－9ba2 0例3合并下列多项式中的同类项1 2a2b－3a2b＋05a2b2 a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b33 5 x＋y 3－2 x－y 4－2 x＋y 3＋ y－x 4例4求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值其中x －3试一试把x＝－3直接代入例4这个多项式可以求出它的值吗与上面的解法比较一下哪个解法更简便例1．化简下列各式8a2b5a－b 25a－3b－3a2－2b．2 计算5xy2－[3xy2－4xy2－2x2y]2x2y－xy2． [5xy2]小结去括号是代数式变形中的一种常用方法去括号时特别是括号前面是－号时括号连同括号前面的－号去掉括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为－变＋不变要变全都变．当括号前带有数字因数时这个数字要乘以括号内的每一项切勿漏乘某些项．学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则并能根据法则进行去括号运算去括号法则顺口溜去括号看符号是号不变号是―号全变号x2―7x―2与―2x24x―1的差练习一个多项式加上―5x2―4x―3与―x2―3x求这个多项式例2计算―2y3 3xy2―x2y ―2 xy2―y3例3化简求值 2x3―xyz ―2 x3―y3xyz xyz―2y3 其中x 1y 2z ―3复习题1找出下列代数式中的单项式多项式和整式4xyx2x0m―201×1052指出下列单项式的系数次数abx2xy53指出多项式a3a2b―ab2b3―1是几次几项式最高次项常数项各是什么4化简并将结果按x的降幂排列1 2x45x2―4x1 ― 3x3―5x2―3x2 ―〔―x 〕 x―13 ―3 x2―2xyy2 2x2―xy―2y25化简求值5ab―2〔3ab 4ab2ab 〕5ab2其中a b6一个多项式加上2x34x2y5y3后得x3x2y3y3求这个多项式并求当x y 时这个多项式的值的两个多项式与的次数相同求的值第三章一元一次方程§1一元一次方程1 定义方程含有未知数的等式称为方程一元一次方程方程中只含一个未知数元并且未知数的指数是1次未知数的系数不等于0这样的方程叫做一元一次方程如解解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值这个值就是方程的解2 等式的性质性质1 等式两边加或减同一个不为0的数结果仍相等如果那么性质2 等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数结果仍相等如果那么如果那么3 同解方程和方程的同解原理1 如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解那么这两个方程是同解方程2 方程同解原理Ⅰ方程两边同时加上或减去同一个数或同一个整式所得的方程与原方程是同解方程方程同解原理Ⅱ方程两边同时乘以或除以同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程方程同解原理Ⅲ方程与或是同解方程4 解一元一次方程的一般步骤1 去分母2 去括号3 移项4 合并同类项化为最简形式5 方程两边同除以未知数的系数解一元一次方程没有固定的步骤去分母与去括号要因题而异灵活掌握但是不管采取什么顺序都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理使得到的方程与原方程同解5 一元一次方程的解由的值确定1 当时方程有唯一的解2 当时方程的解可为任意的有理数3 当且时方程无解例1 利用等式的性质解一元一次方程1 2 3 4例2 检验下列各数是不是方程的解1 2 3实践练习1 解方程12 32 解方程列简易方程解决问题例3 根据下列条件列方程1的5倍比的2倍大12 2某数的比它的相反数小5实践练习1 根据下列问题列出方程不必求解1把若干本书发给学生如果每人发4本还剩下2本如果每人发5本还差5本问共有多少学生2某班50名学生准备集体去看电影电影票中有15元的和2元的买电影票共花88元问这两种电影票应各买多少练习一1 解方程1 22 假设关于的方程有无穷多个解求的值3 若关于的方程的解是2求的值4 若关于的方程的解是4求的值5 某地电话拨号上网有两种收费方式用户可以任选其一1计时制005元分2包月制50元月此外每一种上网方式都得加收通信费002元分问用户每月上网多少小时这两种收费方式所收费用一样请列出方程6 小李去商店买练习本回来后告诉同学店主跟我说如果多买一些就给我8折优惠我就买了20本结果总共便宜了160元你猜原来每本价格是多少你能列出方程吗例4某大型商场三个季度共销售DVD 2800台第一个季度销售量是第二个季度的2倍第三个季度销售量是第一个季度的2倍第一个季度这家商场销售DVD 多少台例5某校高中一年级434名师生外出春游已有3辆校车可乘坐84人还需租用50座的客车多少辆实践练习1 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果如果每人分两箱则剩余20箱如果每人分3箱则还缺20箱这个工厂有工人多少人2 据某《城市晚报》报道2004年2月16日中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约姚明作为麦当劳的形象代言人三年共获酬金1400万美元若后一年的酬金是前一年的两倍并且不考虑税金那么姚明第一年应得酬金为多少万美元例6男女生有若干人男生与女生数之比为4 3后来走了12名女生这时男生人数恰好是女生的2倍求原来的男生和女生人数实践练习1 已知求的值2 一个三位数的三个数字和是15十位数字是百位数字的2倍个位数字比十位数字的2倍还多1求这个三位数例7 甲乙两人骑自行车同时从相距45千米的两地相向而行2小时相遇甲比乙每小时多走25千米求甲乙每小时各走多少千米实践练习1 一轮船在AB两港口之间航行顺水航行用3小时逆水航行比顺水航行多用30分钟轮船在静水中的速度是36千米小时问水流的速度是多少例8宋宋班上有40位同学他想在生日时请客因此到超市花了175元买果冻和巧克力共40个若果冻每20个15元巧克力每30个10元求他买了多少个果冻实践练习1 一个人用540卢布买了两种布料共138俄尺其中蓝布料每俄尺3卢布黑布料每俄尺5卢布两种布料各买了多少俄尺2 某单位开展植树活动由一人植树要80小时完成现由一部分人先植树5小时由于单位有紧急事情再增加2人且必须在4小时之内完成植树任务这些人的工作效率相同那么先安排了多少人植树练习二1 甲乙两站间的距离为365千米一列慢车从甲站开往乙站每小时行驶65千米慢车行驶1小时后另有一列快车从乙站开往甲站每小时行驶85千米快车行驶了几小时后与慢车相遇2 某种商品因换季准备打折出售如果按定价的七五折出售将赔25元而按定价的九折出售将赚20元问这种商品的定价是多少3 聪聪到希望书店帮同学们买书售货员主动告诉他如果用20元钱办希望书店会员卡将享受八折优惠请问在这次买书中聪聪在什么情况下办会员卡与不办会员卡一样当聪聪买标价共计200元的书时怎么做合算办会员卡还是不办会员卡4 有一列数为147它的第个数是多少在这列数中取出三个连续数其和为48问这三个数分别是多少5 若是关于的方程的解解关于的方程6 当取什么整数时关于的方程的解是正整数7 某制衣厂接受一批服装订货任务按计划天数进行生产如果每天平均生产20套服装就比订货任务少生产100套如果每天生产23套衣服就可以超过订货任务20套问这批服装的订货任务是多少套原计划多少天完成8 这里有一杯水第一次倒出一半后又倒出10毫升第二次倒出剩下的一半后又倒出10毫升这时杯子空了问杯子里原来有多少毫升水§2一元一次方程复习代数方程在初中代数中占有很重要的地位而一元一次方程是代数方程中最基础的部分高次方程及方程组往往化为一元一次方程组来求解因此掌握好这部分内容有助于我们学习一些复杂的方程 2 3 45 6 是常数 78 9______________________是方程____________________是一元一次方程例2 1 已知是一元一次方程则_______________2 已知是一元一次方程则_______________3 若关于的方程是一元一次方程则________________________________思考1已知是关于的一元一次方程则_______________思考2在关于的方程中解的情况当________时方程有唯一解当________时方程无解当________ ________时方程有无数个解例3已知则代数式______________思考3下列说法正确的是____________1 如果那么2 如果那么3 如果那么4 如果那么二解一元一次方程去括号→去分母→移项→合并同类项→系数化1例4解下列一元一次方程12 34 56例5有四个数其中三个数之和分别为求此四个数例6已知则__________例7若关于的方程的解是整数则___________________解方程解方程解关于的方程解关于的方程解关于的方程已知关于的方程有无数多个解试求的值已知关于的方程有无数多个解试求的值已知方程有两个不同的解试求的值的方程的根是求的值11 已知关于的方程的解是求的值12若关于的方程的解为正整数求的值13 关于的方程和是同解方程求的值14 已知关于的方程和是同解方程求的值15已知关于的方程仅有正整数解并且和关于的方程是同解方程若求出这个方程可能的解16 1 解方程 2 解方程解方程解方程解关于的方程解关于的方程已知关于的方程无解试求的值关于的方程分别求当为何值时方程1有唯一解2有无数多个解3无解是关于的方程的解解关于的方程20 当取什么整数时关于的方程的解是正整数21 已知关于的方程和有相同的根求的值§3 一元一次方程的应用1列出一元一次方程解应用题的一般步骤是1弄清题意和题目中的已知数未知数及数量关系用字母如表示题目中的一个未知数2找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系3根据这个相等关系列出需要的代数式从而列出方程4解这个方程求出未知数的值5检验写出答案包括单位名称设未知数可分为直接设未知数间接设未知数两类直接设未知数指题目中为什么就设什么它多适用于要求的未知数只有一个的情况间接设未知数顾名思义就是问东设西迂回前进如求整体时可先设其某部分为求部分时又可设其整体为未知数求速度时先设路程为未知数求工作时间时设工作效率为未知数解完方程后要检验方程的解作为应用题的答案是否合理2．几类应用题常用的策略1和差倍分问题抓住关键词列方程2形积变化问题利用各种几何图形的面积体积公式列出相等关系3行程问题i相遇相向问题双方所走路程之和全部路程ii追及同向问题如甲从相同出发点追及乙则相等关系一般是甲所走路程＝乙所走路程iii航行问题注意航行速度与水风速的关系顺水速度＝船在静水中的速度＋水流速度逆水速度＝船在静水中的速度－水流速度行程中的基本关系是其中表示距离表示速度表示时间4调配问题其等量关系反映在调动前后的数量关系上抓住相等几倍多少等词语常可找出相等关系5按比例分配问题若已知两个量之比是则可设其中一份为两量分别为6工程问题基本数量关系是工作量＝工作效率×工作时间若工作量未给出具体数量则常设为17浓度配比问题基本数量关系是溶液重量＝溶质重量＋溶剂重量8商品销售问题利润＝售价－进价售价＝标价×销售折扣9数字问题注意区分数和数字两个概念多用间接设元的方式设某一数位上的数字为其他数位上数字用它的代数式表示在数的表示中注意各位上的数为10的幂的形式列方程解应用题是代数中的重要内容之一列出一元一次方程解应用题是数学联系实际解决实际问题迈出的重要一步例1一队学生从甲地到乙地速度为每小时8千米当行进2千米路后通讯员奉命回到甲地取东西他以每小时10千米的速度回甲地取了东西后立即以同样速度追赶队伍结果在距乙地3千米处追上队伍求甲乙两地的距离取东西的时间不计实践练习1 一个人骑自行车从甲地到乙地如果每小时走10千米下午1点钟才能到达如果每小时走15千米上午11点钟就能到达要在中午12点钟到达乙地他每小时。
七年级数学暑假培训资料
七年级数学暑假培训资料篇一：七年级数学暑假培训资料(2022)第一讲有理数一基本知识结构1 实数的分类???正整数????自然数? ???整数?0????有理数??负整数实数????分数形如q的形式?p,q为既约整数且p?0???p????无理数无限不循环小数或开方开不尽的数2 数轴⑴定义：包含有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。
⑵性质：数轴上的点与全体实数一一对应⑶运用：比较大小数轴上的点所表示的数从左到右越来越大。
3 相反数与倒数⑴性质：互为相反数的数和为0，互为倒数的数积为1。
⑵奇数与偶数：定义表示方法。
⑶质数与合数：性质⑷应用：相反数为本身的数倒数为本身的数绝对值为本身的数平方为本身的数立方为本身的数最小的自然数最小的正整数最大的负整数最小的非负数最大的非正数。
4 绝对值⑴定义：|a|是数轴上表示a的点到原点的距离。
⑵应用：怎样去绝对值符号？a??⑶ |x-a|的几何意义：⑷非负数：①初中数学常用的非负数的一般形式为：（），| |2?aa?0??aa?0。
②性质：非负数的和为0，只有这些非负数分别为0。
5 有理数的混合运算：⑴有理数的运算法则：加(乘)法的结合律,交换律,乘法对加法的分配律.⑵运算顺序:先算乘方,再算乘除,后算加减,有括号先算括号里面的.⑶数列（提高）:①等差数列:一个数列从第二项起,每一项减去它前面项的差都等于一个定值,这样的数列叫等差列.数列中的第一个数叫首项,最后一个数叫末项. 首项?末项??公差?末项-首项等差数列的项=?1，等差数列的和?公差2②等比数列:一个数列从第二项起,每一项与它前面项的比都等于一个定值,这样的数列叫等比列.⑷常用公式: 11111111111??,?(?),?[?]n(n?1)nn?1n(n?a)ann?an(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)1111?[?]n(n?1)(n?2)?(n?a)an(n?1)(n?2)?(n?a?1)(n?1)(n?2)?(n?a) 二基本技能演练A 组(一)有理数的混合运算3713?7?2?32. ?14?(1?0.5)?3?[2?(?3)2] 4848133134??0.5) 3.{1?[?(?)]?(?2)}?(?16416411213324.[?|?3?3|?|?|?3?(?3)]?(?2)(?3) 3321. ?2 (二)解答1.若(a-1)+|b+1| = 0,则a2.2202222022+b2022的值为多少?×(12022)等于多少?（强调多方法求解） 2 555 4443333．试比较3 ，4，5 的大小。
暑期文化培训初一数学教材
暑期文化培训初一数学教材The document was finally revised on 2021第1讲 方程（组）、不等式（组）的应用解二次方程、二次不等式一、知识回顾1．解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为1 2．解方程组的基本思想是：“消元”，通过消元把二元一次方程组转化为一个一元一次方程来求解。
常用的消元法有代入消元法和加减消元法。
3、使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
能使不等式成立的所有未知数的值组成的集合，叫做不等式的解集。
4、不等式的性质性质1：c b c a b a ±>±⇒>性质2：c b c a bc ac c b a >>⇒>>,0, 性质3：c bc a bc ac c b a <<⇒<>,0,5、不等式组的解集（借助数轴）当b a >时，填表二、例题精讲【例1】解下列方程（组）：（1） ⎩⎨⎧=+=-33233345y x y x （请使用代入和加减 两种方法完成）（2） 34216152--=+-t t t （3） 432764621x y z x y z x y z ++=⎧⎪--=⎨⎪-+=⎩【例2】 解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（1）312643-≥-x x （2）2111,311;2x x x -+>-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩三、含参数的方程和不等式的应用 【例3】（1）已知关于x 的方程121532-=---m x m x 的解为非负数，求m 的取值范围。
（2）当k 取何值时，关于x 和y 的方程组中⎩⎨⎧=-=+42y x ky x 的1,1<>y x四、二次方程，二次不等式的解法问题：1、你能否写出一元二次方程的所有形式？ 2、你能否写出一元二次不等式的所有形式？【例4】（1）探讨20ax c += ，20ax bx +=的形式的一元二次方程如何求解？举例说明并总结。
人教版七年级数学培优班暑期讲义
七年级数学培优班暑期讲义第一章有理数§1.有理数的相关概念整数和分数统称为有理数,有理数又可分为正有理数,0和负有理数.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.只有符号不同的两个数称互为相反数.例如2.5和 2.5-互为相反数,即2.5是2.5-的相反数； 2.5-是2.5的相反数.在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作||a.例如,在数轴上表示5-的点与原点的距离是5,所以5-的绝对值是5,记作|5|5-=.一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数.这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容,必须牢固掌握.例1.峨眉山上某天的最高气温为12 C,最低气温为4-C,那么这天的最高气温比最低气温高（）A. 4 CB. 8 CC. 12 CD. 16 C例2.下列说法正确的是（）A. 一个有理数不是整数就是分数B. 正整数和负整数统称整数C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数D. 0不是有理数例3．数,,x y z在数轴上的位置如图,下列判断正确的是（）A. 0x y z>>> B. 0y x z>>>C. 0y x z<<< D. 0x y z<<<例4.说出下列各数的相反数：16,－3,0,12007-,0.001,m,n-,m n-.例 5.如图,若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍,则数轴的原点在点 .（填“A”、“B”、“C”或“D”）练习一1．有如下四个命题：①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数；③两个符号相反的分数之间至少有一个整数；④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数.其中真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 下列说服中正确的是（ ）A. 正整数和负整数统称为整数B. 正数和负数统称为有理数C. 整数和分数统称为有理数D. 自然数和负数统称为有理数3. 以下四个判断中不正确的是A. 在数轴上,关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数B. 两个有理数互为相反数,则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称C. 两个有理数不等,则他们的绝对值不等D. 两个有理数的绝对值不等,则这两个有理数不等4. 下面四个命题中,正确的是( )A. 一切有理数的倒数还是有理数B. 一切正有理数的相反数必是负有理数C. 一切有理数的绝对值必是正有理数D. 一切有理数的平方是正有理数5. 在数轴上,点A 对应的数是－2006,点B 对应的数是＋17,则A 、B 两点的距离是（ ）A. 1989B. 1999C. 2013D. 20236. 如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3. 先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－1所对应的点重合,再让数轴按逆时针方向绕在该圆上,那么数轴上的数－2006将与圆周上的数字 重合.7. 下列说法中错误的是（ ）A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示.B. 数轴上原点表示数0.C. 数轴上点A 表示3-,从A 点出发,沿数轴上移动2个单位长度到达B 点,则点B 表示1-.D. 在数轴上表示3-和2的两点之间的距离是5.8. 下列说法正确的是（ ）A. 有最大的整数B. 有最小的负数C. 有最大的正数D. 有最小的正整数练习二1. 如果n 是大于1的偶数,那么n 一定小于它的图73210x 0－1－2－3－4－5A. 相反数B. 倒数C. 绝对值D. 平方2. If we have 0,0<-<b a ba .and a+6>O,then the points in real number axis,given by a and b,can be represented as( )(英汉词典point ：点．real number axis ：实数轴．represent ：表示．)3. 有理数a,b,c 大小关系如图,则下列式子中一定成立的是A. a+b+c>0B. c>|a+b|C. |a-c|=|a|+cD. |b-c|>|c-a4. 如果a+b+c=0,且|a|>|b|>|c|,则下列说法中可能成立的是A. a,b 是正数,c<0B. a,c 是正数,b<0C. b,c 是正数,a<0D. a,c 是负数,b>05. 如果3333||||a b a b -=-+,那么下列不等式中成立的是A. 0ab >B. 0ab ≥C. 0ab <D. 0ab ≤6. a 为有理数,下列说法中正确的是A. 21()2007a +为正数B. 21()2007a --为负数 C. 21()2007a +为正数 D. 212007a +为正数7. 若a<b<0<c<d,则以下四个结论中,正确的是( )A. a+b+c+d 一定是正数．B. d+c-a-b 可能是负数．C. d-c-b-a 一定是正数．D. c-d-b-a 一定是正数．8. 已知23m -和7-互为相反数,求m 的值.9. 若a 与b 互为相反数,c 到原点的距离为3,求2a c b +++的值.10. 已知|4||7||3|0x y z -+++-=,求x y z ++的值.§2. 有理数的运算－、知识提要1. 整数和分数统称为有理数.2. 有理数还可以这样定义： 形如p m(其中,m p 均为整数,且0m ≠)的数是有理数. 这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数.3. 有理数可以用数轴上的点表示.4. 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数.5. 如果两个数的和为0,则称这两个数互为相反数. 如果两个数的积为1,则称这两个数互为倒数.6. 有理数的运算法则：(1) 加法：两数相加,同号的取原来的符号,并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,绝对值相等时,和为0；一个数与0相加,仍得这个数.(2) 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数.(3) 乘法：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；一个数与0相乘,积为0.乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方,记为n a .(4) 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.整数的运算律对有理数的运算也适合.二、例题与练习例1. 2243(43)-⨯--⨯=____________.例2. 13117(0.125)( 1.2)(1)3213-⨯-÷-⨯-=____________ .实践练习：1. 计算：4.40.5 6.60.258.8 1.25⨯+÷+⨯.2. 计算：78(0.125)8-⨯.例3. 用简便方法计算797997999799997++++=__________ .例4. 314151617181()()()()()()4556677889910++++++++++-=_________.实践练习：1. 计算：9999999999991999999⨯+=__________ .2. 计算：112123()()233444++++++ 1234124849()()555550505050+++++++++=________ .3. 计算：11111(1)(1)(1)(1)(1)20082007200610011000-----=________ .例5. 若9160a b +=,则ab 是 ( )(A) 正数. (B) 非正数. (C) 负数. (D) 非负数.例6. 若n 是自然数,并且有理数,a b 满足10a b +=,则必有 ( )(A)210n n a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (B)21210n n a b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(C)3210nn a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (D)212110n n a b ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭.实践练习：1. 2008个不全相等的有理数之和为零,则这2008个有理数中 ( )(A) 至少有一个是零. (B) 至少有1004个正数.(C) 至少有一个是负数. (D) 至多有2006个是负数.2. 有理数a 等于它的倒数,有理数b 等于它的相反数,则20082008a b +等于 ( )(A) 0. (B) 1. (C) －1. (D) 2.练习三1. 计算：211(455)365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=________ .2. 计算：200120082008200820012000⨯-⨯=_________ .3. 计算：374841(0.625)()8(1)54-⨯⨯⨯-.4. 2(3)(4)56(7)(8)910(11)(12)131415+-+-+++-+-+++-+-+++=______.5. 20(0.300.310.320.69)÷++++的值的整数部分是_______ .6. 设a 是最小的自然数,b 是最大负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a b c -+=___ .7. 数轴上对应是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段AB ,则线段AB 盖住的整点有______个.8. 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ,第一步从0K 向左跳1个单位到1K ,第二步从1K 向右跳2个单位到2K ,第三步从2K 向左跳3个单位到3K ,第四步从3K 向右跳4个单位到4K ,…按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是20.08,则电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数是多少?§3. 有理数的巧算知识要点：整数和分数统称为有理数.有理数通常可以表示成分数n m 的形式,这里,m n 都是整数,且0,,m m n ≠互质.有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性．四则运算对有理数是封闭的,即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除（除数不能为0）,其结果还是有理数.有理数可以比较大小,任意两个有理数之间都有无穷多个有理数.有理数计算中常用到的一些等式如下：（1）11m n mn m n+=+；（2）()11111n n n n =-++；（3）()11m n n m n n m =-++ （4）()()22a b a b a b +=+-；（5）()11232n n n +++++=； （6）()()22221211236n n n n ++++++=例1：计算：()1010.5 5.214.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5-÷⨯-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦实践练习：1、计算：831.8216.93 1.16 1.3255⎛⎫⨯÷÷⨯⨯ ⎪⎝⎭2、计算：()()()43188431 2.524242641515⎧⎫⎡⎤⎛⎫----÷+⨯-÷-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎩⎭3、计算：591119219930.4 1.6910505271119950.5199519195050⎛⎫+- ⎪⨯⎛⎫⎝⎭÷+ ⎪⨯⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭例2.（1）计算：111112233419992000++++⨯⨯⨯⨯（2）计算：111113243519982000++++⨯⨯⨯⨯实践练习：1、计算：1111599131317101105++++⨯⨯⨯⨯2、计算：131－127＋209－3011＋4213－56153、计算： 2222222271911119917191111991++++++++----例3.计算：2222222123499100101-+-++-+实践练习：1、计算：22222221949195019511952199719981999-+-++-+2、计算：222222222468101298100-+-+-++-3、计算：()()2222222224610013599123891098321++++-++++++++++++++++练习四1、计算：237970.716.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷2、计算：137153163127255248163264128256+++++++3、计算：131－127＋209－3011＋4213－56154、计算：3112122911532140.25534335⎛⎫⎛⎫-++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5、计算：111111111357911131517612203042567290++++++++6、计算：2222222213579114951-+-+-++-7、计算：11111661111165156++++⨯⨯⨯⨯8、1999减去它的12,再减去余下的13,再减去余下的14,…,依此类推,一直减去余下的11999,那么最后剩下的数是多少?第二章 整式§1．单项式：1.单项式的概念由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.单独一个数或一个字母也是单项式,如a ,5.判断下列各代数式哪些是单项式? (1)21 x ； (2)a bc ； (3)b 2； (4)－5a b 2； (5)y ； (6)－xy 2； (7)－5.2.单项式系数和次数单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.说出下列四个单项式31a 2h,2πr,a bc,－m 的系数和次数.例1.判断下列各代数式是否是单项式.如不是,请说明理由；如是,请指出它的系数和次数.①x ＋1； ②x1； ③πr 2； ④－23a 2b.例2.下面各题的判断是否正确?①－7xy 2的系数是7； ②－x 2y 3与x 3没有系数； ③－a b 3c 2的次数是0＋3＋2； ④－a 3的系数是－1； ⑤－32x 2y 3的次数是7； ⑥31πr 2h 的系数是31.注意：①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时,“1”通常省略不写,如x 2,－a 2b 等； ③单项式次数只与字母指数有关.§2．多项式1．列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a 、b,则长方形的周长是 ；(2)某班有男生x 人,女生21人,则这个班共有学生 人_______；(3)图中阴影部分的面积为_________；(4)鸡兔同笼,鸡a 只,兔b 只,则共有头 个,脚 只.2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别. (1)2(a ＋b); (2)21＋x ; (3)a ＋b ; (4)2a ＋4b .几个单项式的和叫做多项式(polynomi a l).在多项式中,每个单项式叫做多项式的项(term).其中,不含字母的项,叫做常数项(const a nt term).例如,多项式5232+-x x 有三项,它们是23x ,－2x,5.其中5是常数项.一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式5232+-x x 是一个二次三项式.单项式与多项式统称整式(integr a l expression). 注意：(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；多项式的次数为最高次项的次数. (2)多项式的每一项都包括它前面的符号.例1.判断：①多项式a 3－a 2ｂ＋a b 2－b 3的项为a 3、a 2ｂ、a b 2、b 3,次数为12； ②多项式3n 4－2n 2＋1的次数为4,常数项为1.例2.指出下列多项式的项和次数：(1)3x －1＋3x 2； (2)4x 3＋2x －2y 2.例3.指出下列多项式是几次几项式.(1)x 3－x ＋1； (2)x 3－2x 2y 2＋3y 2.例4.已知代数式3x n －(m －1)x ＋1是关于x 的三次二项式,求m 、n 的条件.课堂练习： ①填空：－45a 2b －34a b ＋1是 次 项式,其中三次项系数是 ,二次项为 ,常数项为 ,写出所有的项 .②已知代数式2x 2－mnx 2＋y 2是关于字母x 、y 的三次三项式,求m 、n 的条件.§3．多项式的升(降)幂排列请运用加法交换律,任意交换多项式x 2＋x ＋1中各项的位置,可以得到几种不同的排列方式?在众多的排列方式中,你认为那几种比较整齐?1．升幂排列与降幂排列：有两种排列x 的指数是逐渐变大(或变小)的.我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列.例如：把多项式5x 2＋3x －2x 3－1按x 的指数从大到小的顺序排列,可以写成－2x 3＋5x 2＋3x －1,这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列.若按x 的指数从小到大的顺序排列,则写成－1＋3x ＋5x 2－2x 3,这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列.例 1.五个学生上前自己选一张卡片,根据老师要求排成一列,并把排列正确的式子写下来. 例如：按x 降幂排列：例2.把多项式2πr －1＋3πr 3－π2r 2按r 升幂排列.例3.把多项式a 3－b 3－3a 2b ＋3a b 2重新排列.(1)按a 升幂排列； (2)按a 降幂排列.想一想：观察上面两个排列,从字母b 的角度看,它们又有何特点?例4.把多项式－1＋2πx 2－x －x 3y 用适当的方式排列.例5.把多项式x 4－y 4＋3x 3y －2xy 2－5x 2y 3用适当的方式排列.(1)按字母x 的升幂排列得： ； (2)按字母y 的升幂排列得： .小结：对一个多项式进行排列,这样的写法除了美观之外,还会为今后的计算带来方便.在排列时我们要注意:(1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的符号一起移动；原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列.§4.同类项创设问题情境⑴、5个人+8个人= ⑵、5只羊+8只羊= ⑶、5个人+8只羊=观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类. 8x 2y,－mn 2, 5a ,－x 2y, 7mn 2,83, 9a , －32xy , 0, 0.4mn 2, 95,2xy 2我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8x 2y 与－x 2y 可以归为一类,2xy 2与－32xy 可以归为一类,－mn 2、7mn 2与0.4mn 2可以归为一类,5a 与9a 可以归为一类,还有83、0与95也可以归为一类.8x 2y 与－x 2y 只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是2,y 的指数都是1；同样地,2xy 2与－32xy 也只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是1,y 的指数都是2.像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(simil a r terms).另外,所有的常数项都是同类项.比如,前面提到的83、0与95也是同类项.例1.判断下列说法是否正确,正确地在括号内打“√”,错误的打“×”. (1)3x 与3mx 是同类项. ( ) (2)2a b 与－5a b 是同类项. ( )(3)3x 2y 与－31yx 2是同类项. ( ) (4)5a b 2与－2a b 2c 是同类项. ( )(5)23与32是同类项. ( )例2.指出下列多项式中的同类项：(1)3x －2y ＋1＋3y －2x －5； (2)3x 2y －2xy 2＋31xy 2－23yx 2.例3.k 取何值时,3x k y 与－x 2y 是同类项?例4.若把(s ＋t)、(s －t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项. (1)31(s ＋t)－51(s －t)－43(s ＋t)＋61(s －t)；(2)2(s －t)＋3(s －t)2－5(s －t)－8(s －t)2＋s －t.课堂练习：1.请写出2ab 2c 3的一个同类项．你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗?2.若2a m b 2m+3n 与a 2n －3b 8的和仍是一个单项式,则m 与 n 的值分别是______§5.整式的加减为了搞好班会活动,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔,经过预算,发现这么多奖品不够用,然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问：①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔?②若设软面抄的单价为每本x 元,水笔的单价为每支y 元,则这次活动他们支出的总金额是多少元?可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所的结果都为(21x ＋25y)元.由此可得：把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项. 合并同类项的法则：把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变.例1.找出多项式3x 2y －4xy 2－3＋5x 2y ＋2xy 2＋5种的同类项,并合并同类项.例2.下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正.(1)2x 2＋3x 2=5x 4； (2)3x ＋2y=5xy ； (3)7x 2－3x 2=4； (4)9a 2b －9b a 2=0.例3.合并下列多项式中的同类项：(1) 2a 2b －3a 2b ＋0.5a 2b ； (2)a 3－a 2b ＋a b 2＋a 2b －a b 2＋b 3；(3)5(x ＋y)3－2(x －y)4－2(x ＋y)3＋(y －x)4.例4.求多项式3x 2＋4x －2x 2－x ＋x 2－3x －1的值,其中x=－3.试一试：把x ＝－3直接代入例4这个多项式,可以求出它的值吗?与上面的解法比较一下,哪个解法更简便?例1．化简下列各式： (1)8a+2b+（5a －b ）； （2）（5a －3b ）－3（a 2－2b ）．(2)计算：5xy 2－[3xy 2－（4xy 2－2x 2y ）]+2x 2y －xy 2． [5xy 2] 小结去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时,特别是括号前面是“－”号时,括号连同括号前面的“－”号去掉,括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变,要变全都变．当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项．学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则,并能根据法则进行去括号运算.去括号法则顺口溜：去括号,看符号：是“+”号,不变号；是“―”号,全变号.不难发现,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此,整式加减的一般步骤可以总结为：（１）如果有括号,那么先去括号.（２）如果有同类项,再合并同类项. 例1.求整式x 2―7x ―2与―2x 2+4x ―1的差.练习：一个多项式加上―5x 2―4x ―3与―x 2―3x,求这个多项式.例2.计算：―2y 3+(3xy 2―x 2y)―2(xy 2―y 3).例3.化简求值:(2x 3―xyz)―2(x 3―y 3+xyz)+(xyz ―2y 3),其中x=1,y=2,z=―3.复习题1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式.3zy x ++,4xy,a1,22n m ,x 2+x+x1,0,xx 212-,m,―2.01×1052.指出下列单项式的系数、次数：a b,―x 2,53xy 5,353zy x-.3.指出多项式a 3―a 2b ―a b 2+b 3―1是几次几项式,最高次项、常数项各是什么?4.化简,并将结果按x 的降幂排列：(1)(2x 4―5x 2―4x+1)―(3x 3―5x 2―3x)； (2)―［―(―x+21)］―(x ―1)；(3)―3(21x 2―2xy+y 2)+21(2x 2―xy ―2y 2).5.化简、求值：5a b ―2［3a b ―(4a b 2+21a b)］―5a b 2,其中a =21,b=―32.6.一个多项式加上―2x 3+4x 2y+5y 3后,得x 3―x 2y+3y 3,求这个多项式,并求当x=―21,y=21时,这个多项式的值.7．如果关于x 的两个多项式42142ax x +-与35bxx +的次数相同,求3212342b b b -+-的值.第三章 一元一次方程§1.一元一次方程1. 定义：方程：含有未知数的等式称为方程.一元一次方程：方程中只含一个未知数（元）,并且未知数的指数是1（次）,未知数的系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程. 如312x +=,658x +=.解：解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.2. 等式的性质：性质1 等式两边加（或减）同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么a c b c ±=±.性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么ac bc =. 如果a b =（0c ≠）,那么a bc c=. 3. 同解方程和方程的同解原理：(1) 如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解,并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解,那么这两个方程是同解方程.(2) 方程同解原理 Ⅰ：方程两边同时加上（或减去同一个数或同一个整式）,所得的方程与原方程是同解方程.方程同解原理 Ⅱ：方程两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数,所得的方程与原方程是同解方程.方程同解原理 Ⅲ：方程()()0f x g x ⋅=与()0f x =或()0g x =是同解方程.4. 解一元一次方程的一般步骤：(1) 去分母；(2) 去括号；(3) 移项；(4) 合并同类项,化为最简形式ax b =；(5) 方程两边同除以未知数的系数.解一元一次方程没有固定的步骤,去分母与去括号要因题而异,灵活掌握,但是,不管采取什么顺序,都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理,使得到的方程与原方程同解.5. 一元一次方程ax b =的解由,a b 的值确定： (1) 当0a ≠时,方程有唯一的解bx a=； (2) 当0a b ==时,方程的解可为任意的有理数； (3) 当0a =且0b ≠时,方程无解.例1. 利用等式的性质解一元一次方程： （1）33x -=； （2）54x =-； （3）5(1)10y -=； （4）352a--=.例2. 检验下列各数是不是方程4323x x -=+的解： （1）3x =； （2）8x =； （3）5y =.实践练习：1. 解方程：（1）3413x +=-； （2）2153x -=； （3）31342x x -=+.2. 解方程：200712233420072008x x xx++++=⨯⨯⨯⨯.列简易方程解决问题例3. 根据下列条件列方程（1）x 的5倍比x 的2倍大12； （2）某数的23比它的相反数小5.实践练习：1. 根据下列问题,列出方程,不必求解.（1）把若干本书发给学生. 如果每人发4本,还剩下2本；如果每人发5本,还差5本. 问共有多少学生?（2）某班50名学生准备集体去看电影,电影票中有1.5元的和2元的,买电影票共花88元,问这两种电影票应各买多少?练习一1. 解方程：（1）19969619x x -=-； （2）7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-.2. 假设关于x 的方程()()0a x a b x b -++=有无穷多个解,求a b +的值.3. 若关于x 的方程(5)60a x --=的解是2,求a 的值.4. 若关于x 的方程332xa x -=+的解是4,求22a a -的值.5. 某地电话拨号上网有两种收费方式,用户可以任选其一. （1）计时制：0.05元/分； （2）包月制：50元/月.此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分,问用户每月上网多少小时,这两种收费方式所收费用一样?请列出方程.6. 小李去商店买练习本,回来后告诉同学：店主跟我说,如果多买一些就给我8折优惠,我就买了20本,结果总共便宜了1.60元,你猜原来每本价格是多少?你能列出方程吗?例4.某大型商场三个季度共销售DVD 2800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍,第三个季度销售量是第一个季度的2倍,第一个季度这家商场销售DVD 多少台?例5.某校高中一年级434名师生外出春游,已有3辆校车可乘坐84人,还需租用50座的客车多少辆?实践练习：1. 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果,如果每人分两箱,则剩余20箱,如果每人分3箱,则还缺20箱,这个工厂有工人多少人?2. 据某《城市晚报》报道,2004年2月16日,中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约,姚明作为麦当劳的形象代言人,三年共获酬金1400万美元,若后一年的酬金是前一年的两倍,并且不考虑税金,那么姚明第一年应得酬金为多少万美元?例6.男女生有若干人,男生与女生数之比为4 : 3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生的2倍,求原来的男生和女生人数.实践练习：1. 已知::2:3:4a b c--的值.a b ca b c=,27++=,求222. 一个三位数的三个数字和是15,十位数字是百位数字的2倍,个位数字比十位数字的2倍还多1,求这个三位数.例7.甲、乙两人骑自行车,同时从相距45千米的两地相向而行,2小时相遇,甲比乙每小时多走2.5千米,求甲、乙每小时各走多少千米?实践练习：1. 一轮船在A,B两港口之间航行,顺水航行用3小时,逆水航行比顺水航行多用30分钟,轮船在静水中的速度是36千米/小时,问水流的速度是多少?例8.宋宋班上有40位同学,他想在生日时请客,因此到超市花了17.5元买果冻和巧克力共40个,若果冻每20个15元,巧克力每30个10元,求他买了多少个果冻?实践练习：1. 一个人用540卢布买了两种布料共138俄尺,其中蓝布料每俄尺3卢布,黑布料每俄尺5卢布,两种布料各买了多少俄尺?2. 某单位开展植树活动,由一人植树要80小时完成,现由一部分人先植树5小时,由于单位有紧急事情,再增加2人,且必须在4小时之内完成植树任务,这些人的工作效率相同,那么先安排了多少人植树?练习二1. 甲、乙两站间的距离为365千米,一列慢车从甲站开往乙站,每小时行驶65千米；慢车行驶1小时后,另有一列快车从乙站开往甲站,每小时行驶85千米,快车行驶了几小时后与慢车相遇?2. 某种商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元,而按定价的九折出售将赚20元,问这种商品的定价是多少?3. 聪聪到希望书店帮同学们买书,售货员主动告诉他,如果用20元钱办“希望书店会员卡”,将享受八折优惠,请问在这次买书中,聪聪在什么情况下,办会员卡与不办会员卡一样?当聪聪买标价共计200元的书时,怎么做合算,办会员卡还是不办会员卡?4. 有一列数为1,4,7,…,它的第n个数是多少?在这列数中取出三个连续数,其和为48,问这三个数分别是多少?5. 若4y=是关于y的方程85()3ym y m+-=-的解,解关于x的方程(32)m-+50 m-=.6. 当m 取什么整数时,关于x 的方程1514()2323mx x -=-的解是正整数?7. 某制衣厂接受一批服装订货任务,按计划天数进行生产,如果每天平均生产20套服装,就比订货任务少生产100套；如果每天生产23套衣服,就可以超过订货任务20套,问这批服装的订货任务是多少套?原计划多少天完成?8. 这里有一杯水,第一次倒出一半后又倒出10毫升；第二次倒出剩下的一半后又倒出10毫升,这时杯子空了,问杯子里原来有多少毫升水?§2.一元一次方程复习代数方程在初中代数中占有很重要的地位,而一元一次方程是代数方程中最基础的部分,高次方程及方程组往往化为一元一次方程组来求解.因此,掌握好这部分内容,有助于我们学习一些复杂的方程.一.方程及一元一次方程的概念1.含有未知数的等式叫做方程.2.只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.【例1】判断下列那些式子是方程,那些是一元一次方程.(1) 5367x y x +-=; (2) 47x -; (3) 53x >; (4) 22x=; (5) 2620xx +-=; (6) ax b =(,a b 是常数); (7) 123+=; (8) 210x -=; (9) 0y =.______________________是方程,____________________是一元一次方程. 【例2】(1)已知1237m x ++=是一元一次方程,则m =_______________. (2) 已知2(1)20m m x ++=是一元一次方程,则m =_______________.(3)若关于x 的方程232(28)6n m x x --+=-是一元一次方程,则m =_______________,n =_________________. 【思考1】已知22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程,则m =_______________.【思考2】在关于x 的方程ax b =中,解的情况:当a ________时,方程有唯一解;当a ________时,方程无解; 当a ________, b ________时,方程有无数个解.【例3】已知2235xx +=,则代数式2466x x --+=______________. 【思考3】下列说法正确的是____________. (1)如果a b =,那么ac bc =; (2) 如果ac bc =,那么a b =;(3)如果a b c c =,那么ac bc =; (4) 如果ac bc =,那么a b c c=. 二.解一元一次方程去括号→去分母→移项→合并同类项→系数化1【例4】解下列一元一次方程:(1) 4(1)2(1)3(1)(1)x x x x -++=--+;(2)223146x x +--=; (3) 2121116518615x x x x -+---=-;(4)32(1)21235x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦; (5) 1114(2)6819753x ⎧+⎫⎡⎤+++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭(6)0.10.2130.020.5x x ---=.【例5】有四个数,其中三个数之和分别为22,20,17,25,求此四个数.【例6】已知227a b c a b c ::=:3:4,++=,则22a b c --=__________.【例7】若关于x 的方程40kx -=的解是整数,则k=___________________.1.解方程：()()()()24517332x x x x +--=+--2.解方程：()()()()1131121132x x x x +--=--+ 3.解方程：2931123224x x ⎡⎤⎛⎫--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4解关于x 的方程：()()0ax b a b -+=5.解关于x 的方程：1mx nx -=6.解关于x 的方程：2421m x mx -=+7.已知关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+有无数多个解,试求a b 、的值.8已知关于x 的方程()()32215a x b x +=-+有无数多个解,试求a b 、的值.9.已知方程32ax x b +=-有两个不同的解,试求()1999a b +的值.10.关于x 的方程90x p -=的根是9p -,求p 的值.11. 已知关于x 的方程332x a x -=+的解是1a -,求2()2a a --的值.12.若关于x 的方程917x kx -=的解为正整数,求k 的值.13. 关于x 的方程350mx +=和20x n +=是同解方程,求2()mn 的值.14. 已知关于x 的方程21()1(2)532a x a x -+=---和3()5()1232a x x a -=-+是同解方程,求a 的值.15已知关于x 的方程(3)81a b x b -=-仅有正整数解,并且和关于x 的方程(3)81b a x a -=-是同解方程,若0a ≥,220a b +≠,求出这个方程可能的解.16.(1) 解方程：3834122x x +--= (2) 解方程：211132x x +--=(3). 解方程：()()()()11323327322332x x x x ---=--- (4). 解方程：111233234324x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭(5). 解关于x 的方程：()()11234m x n x m -=+(6). 解关于x 的方程：()()1223m x n x +=+17. 已知关于x 的方程()3321x a x -=+无解,试求a 的值.18. 关于x 的方程43mx x n +=-,分别求当,m n 为何值时,方程：（1）有唯一解；（2）有无数多个解；（3）无解.19. 若4y =是关于y 的方程85()3y m y m +-=-的解,解关于x 的方程(32)m x -+ 50m -=.20. 当m取什么整数时,关于x的方程1514()2323mx x-=-的解是正整数?21. 已知关于x的方程mx113227=-和mx22=+有相同的根,求m的值§3. 一元一次方程的应用知识要点1.列出一元一次方程解应用题的一般步骤是：（1）弄清题意和题目中的已知数、未知数及数量关系.用字母（如x）表示题目中的一个未知数.（2）找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.（3）根据这个相等关系列出需要的代数式,从而列出方程.（4）解这个方程,求出未知数的值.（5）检验、写出答案（包括单位名称）.设未知数可分为直接设未知数、间接设未知数两类.直接设未知数指题目中为什么就设什么.它多适用于要求的未知数只有一个的情况.间接设未知数,顾名思义就是问东设西,迂回前进,如求整体时,可先设其某部分为x；求部分时,又可设其整体为未知数；求速度时,先设路程为未知数；求工作时间时设工作效率为未知数.解完方程后要检验方程的解作为应用题的答案是否合理.2．几类应用题常用的策略（1）和、差、倍、分问题：抓住关键词列方程.（2）形积变化问题：利用各种几何图形的面积、体积公式,列出相等关系.（3）行程问题（i）相遇（相向）问题：双方所走路程之和=全部路程。
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项三个数）如果这一列数无限下去与哪个数越来越接近？例2、把下面各小题的数分别表示在三条数轴上:(1)2,-1,0,-3,+3.5; （2）-5,0,+5,15,20;（3）-1 500,-500,0,500,1 000.举一反三：1．已知点A在数轴上表示的数是-2，则与点A的距离等于3的点表示的数是（）A．1 B．-5 C．-1或-5 D．1或-52．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数共有（）A．8个B．9个C．10个D．11个4．数轴上表示-5的点到原点的距离为（）A．5 B．-5 C．D．6．一只蚂蚁沿数轴从点A向右直爬15个单位到达点B，点B表示的数为-2，则点A所表示的数为（）A．15 B．13 C．-13 D．-174、相反数零是正数和负数的分界。
只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称为这两个数互为相反数，零的相反数是零。
例1、判断下列说法是否正确:(1)-5是5的相反数.()(2)5是-5的相反数.()(3)5与-5互为相反数.()(4)-5是相反数.()例2、(1)分别写出5、-7、-3、+11.2的相反数；(2)指出-2.4是什么数的相反数.我们通常在一个数的前面添上“-”号,表示这个数的相反数.例如-(-4)=4,-(+5.5)=-5.5;同样,在一个数前面添上“+”号,表示这个数本身。
例如（1）+(-4)=-4,+(+12)=12；(2) -2.4是2.4的相反数.例3、化简下列各数:(1)-(+10);(2)+(-0.15); (3)+(+3); (4)-(-20).举一反三：1、化简：-[-（-4）]=_____．2、的相反数是_____．6、下列各数中，－15，-0.02，76，2512-，4，312-，1.3，0，3.14，π正数为 ；负数为 ； 整数为 ；分数为 。
7、一个数a 与原点的距离叫做该数的_______. 8、－|－76|=_______，－（－76）=_______，－|+31|=_______，－（+31）=_______，+|－（21）|=_______，+（－21）=_______.9、_______的倒数是它本身，_______的绝对值是它本身. 10、a +b =0,则a 与b _______. 11、若|x |=51，则x 的相反数是_______. 12、若|m －1|=m －1,则m _______1；若|m －1|>m －1,则m _______1. 若|x |=|－4|,则x =_______；若|－x |=|21-|,则x =_______. 13、下列说法错误的是（ ）A ．-2的相反数是2B ．3的倒数是31 C ．（-3）-（-5）=2D ．-11，0，4这三个数中最小的数是0 14、2015的相反数是（ ） A ．2015 B ．-2015 C ．20151 D ．20151-15、32- 的相反数是（ ） A ．32-B ． 32C ．23-D ．23五、课堂小结六、课后作业1、实数-2015的绝对值是（ ）A ．2015B ．-2015C ．±2015D ．20151六、课后作业1、绝对值1、有理数的绝对值一定是（）2、绝对值等于它本身的数有（）个3、下列说法正确的是（）A、—|a|一定是负数B只有两个数相等时它们的绝对值才相等C、若|a|=|b|，则a与b互为相反数D、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数4、若有理数在数轴上的对应点如下图所示，则下列结论中正确的是（）b aA、a>|b|B、a<bC、|a|>|b|D、|a|<|b|5、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。
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初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
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七年级数学培训资料Word版上下册目录第01讲与有理数有关的概念（2--8）第02讲有理数的加减法（3--15）第03讲有理数的乘除、乘方（16--22）第04讲整式（23--30）第05讲整式的加减（31--36)第06讲一元一次方程概念和等式性质(37--43)第07讲一元一次方程解法(44--51)第08讲实际问题与一元一次方程(52--59)第09讲多姿多彩的图形(60--68)第10讲直线、射线、线段(69--76)第11讲角(77--82)第12讲与相交有关概念及平行线的判定(83--90)第13讲平行线的性质及其应用(91--100)第14讲平面直角坐标系（一）(101--106)第15讲平面直角坐标系（二）(107--112)第16讲认识三角形(113--119)第17讲认识多边形(120--126)第18讲二元一次方程组及其解法(127--134)第19讲实际问题与二元一次方程组(135--145)第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155)第21讲一元一次不等式（组）的应用(156--164)第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合(165--174)第23讲数据的收集与整理(175--186)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l 5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( )A ．5B ． 15C ． －5D ． －1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b |＞a ，则a ,b 、－a ,－b 的大小顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a |,用式子表示为|a |＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b ,依相反数的意义标出－b ,－a ,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a |＝|b |；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④若|a |≠|b |，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个 02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a |＋b |b |＋c|c |的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a +bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a +b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ． －4B ． －1C ． 0D ． 403．已知|a |＝8，|b |＝2，且|a －b |＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l 8届迎春杯）已知(m ＋n )2＋|m |＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n )2＋|m |的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n )2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n )2＋|m |≥0，而(m ＋n )2＋|m |＝m∴ m ≥0,∴(m ＋n )2＋m ＝m ，即(m ＋n )2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】 01．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l |＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a |＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A ． 156B ． 172C ． 190D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ． 16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b 05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a ( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b ,则|a |＝|b | ②若a ＝－b ,则|a |＝|b | ③若|a |＝|b |，则a ＝－b ④若|a |＝|b |,则a ＝b A ． ①② B ． ③④ C ． ①④ D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b |的大小关系正确的是( )A ． |b |＞a ＞－a ＞bB ． |b | ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b |＞b ＞－aD ． a ＞|b |＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a |a ＋|b |b ＋|abc |abc ＋|c |c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、ba的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a |＝4，|b |＝5，|c |＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 2001 02．（第l 8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b |＋|b －c |＝|a －c |；③（a －b ）(b －c )(c －a )＞0；④|a |＜1－bc ．其中正确的结论有( )A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a |＋b |b |＋c |c |＋abc|abc |的所有可能的值为（ ）A ． －1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－2 04．已知|m |＝－m ，化简|m －l |－|m －2|所得结果( )A ． －1B ． 1C ． 2m －3D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p |＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( )A ． 30B ． 0C ． 15D ． 一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a |＋|x －b |＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m |＋|n |－5＝0所有这样的整数组(m ，n )共有 组 09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m ＋|n |n ＋|p |p ＝1．则2mnp|3mnp |＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l |＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l |）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）132164116181412-a -b 0b a【例３】计算111112233420082009++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++-＝111111112233420082009-+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________. 【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ） A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－a ＞b ＞－b C ．b ＞a ＞－b ＞－a D ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b＞a【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号） 02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋3 5＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋2 50＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋ (49)49(491)2⨯+＝1225 ∴S＝12252【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋1 2004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5 03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－3 04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－x＝0 B．－x－x＝0 C．|x|＋|－x|＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（ ） A ．14 B ．14- C ．12 D ．12- 02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51c＋61d 等于（ ） A ．18 B ．316 C ．732 D ．1564 03．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ）A ．30B ．32C ．34D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c25632015201051216158412410982654321534333231305．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．406．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）A ．－22003B ．22003C ．－22004D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m |＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________ 08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________ 10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________12．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋...＋n 3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋ (1003)值.第03讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例１】计算 ⑴11()24⨯- ⑵1124⨯ ⑶11()()24-⨯- ⑷25000⨯ ⑸3713()()(1)()5697-⨯-⨯⨯- 【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积. 解：⑴11111()()24248⨯-=-⨯=- ⑵11111()24248⨯=⨯= ⑶11111()()()24248-⨯-=+⨯= ⑷250000⨯= ⑸3713371031()()(1)()()569756973-⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=- 【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯- ⑵11()124-⨯ ⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯- ⑸111112(2111)42612-⨯-+-02．24(9)5025-⨯ 3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab ＜0知a 、b 异号，又由a ＋b ＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D ．【变式题组】01．若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．b ＋c ＜0C ．ab ＋ac ＞0D ．a ＋bc ＞002．已知a ＋b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|. 03．(山东烟台)如果a ＋b ＜0，0b a>，则下列结论成立的是（ ） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＜0 C ．a ＞0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞004．(广州)下列命题正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0【例３】计算⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13()()1025-÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184-÷-=÷= ⑵17331(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255()()()()10251036-÷=-⨯=- ⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷ ⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3)245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a 、b 满足0a b +=，则ab ＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab ＞0，2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>⎧+=⎨-<<⎩； 当ab ＜0，0a b a b+=，∴ab ＜0，从而ab ab ＝－1. 【变式题组】01．若k 是有理数，则(|k|＋k )÷k 的结果是（ ）A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数02．若A ．b 都是非零有理数，那么ab a b a b ab ++的值是多少？03．如果0x y x y +=，试比较x y -与xy 的大小.【例５】已知223(2),1x y =-=-⑴求2008xy 的值； ⑵求32008x y的值. 【解法指导】n a 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1x y =-=-⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy=-= 当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy =-⨯-=-⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==-- 【变式题组】01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n n x y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A ．0.135×106B ．1.35×106C ．0.135×107D ．1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）A ．1.03×105B ．0.103×105C ．10.3×104D ．103×10302．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）A ．25.3×105亩B ．2.53×106亩C ．253×104亩D ．2.53×107亩【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+ 原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+ ＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A ．31003 B ．31004 C ．1334 D ．1100002．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞004．若|ab |＝ab ，则（ ）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜005．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a b m cd m +-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或106．若a ＞1a，则a 的取值范围（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞－1 D ．－1＜a ＜0或a ＞1 07．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1a b =-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个08．若ab≠0，则a b a b+的取值不可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．－209．1110(2)(2)-+-的值为（ ）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x y x y +=，试比较x y-与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b c a b c ++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c c b b a -+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个 02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．5 03．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ）A ．abcde ＜0B ．ab 2cd 4e ＜0 C ．ab 2cde ＜0 D ．abcd 4e ＜0 04．若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y+-这四个数中的三个数相等，则|y |－|x |的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．3205．若A ＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．9 06．如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－1 07．已知5544332222,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞c ＞dB ．a ＞b ＞d ＞cC ．b ＞a ＞c ＞dD ．a ＞d ＞b ＞c 08．已知a 、b 、c 都不等于0，且a b c abc a b c abc+++的最大值为m ，最小值为n ，则2005()m n +＝___________. 09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753- 第二组：112,315-第三组：52.25,,412-10．一本书的页码从1记到n ，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？ 11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m 个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m 的值和这m 个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.32 x6413．(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n=-+-+⋅⋅⋅-+证明：⑴11,;22m n A B m n ++== ⑵126A B -=，求m 、n 的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，错误!未找到引用源。
新七年级数学暑假培训班讲义
前言同学们已经有了六年学习数学的经验，你认为数学是个什么样子的呢？为什么“学数学可以使人‘变得更聪明’呢”？数学有非常广泛的用途，数学的内涵极其丰富，“生活中处处都有数学”，你同意这种观点吗？请同学们来讨论下面的几个问题：（1）几个老人去赶集，半路买了一堆梨，每人一个多一个，每人两个少两个，请你用心想一想究竟有几个老人几个梨?（2）你能将两个同样大小的正方形适当地分割，再拼成一个较大的正方形么？你还能将三个同样大小的正方形适当分割后，再将其拼成一个较大正方形么?（3）有这样一个故事：太平洋中有A、B两个靠得较近的小岛．A岛居民都是诚实的人，向他们问问题都能得到真实的答案；而B岛的居民则恰恰相反，都不诚实，向他们问问题都不会得到真话回答．某天一个旅游者独自登上了A、B两岛中的一个，但不能分辨这个岛是A岛还是B岛，而且这个岛上的人既有该岛的居民，也有从另一个岛来的客人．旅游者想问岛上的人“这是A岛还是B岛？”却又无法判断被问者的答案是否正确．旅游者动了动脑筋，想了想，终于想出一个好办法：他只需问遇到的任何一个人一句话，就能从对方的回答中断定这里是A岛还是B岛．你知道这个旅游者问的问题是什么吗？他又是怎样做出判断的呢？数学所包括的内容是丰富多彩的，既有关于数的问题，如第（1）题；也有关于图形的问题，如第（2）题；也有关于逻辑推理的问题，如第（3）题，等等．此外，数学的运用也是非常广泛的．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”下面我们来尝试解答以上三个问题。
第（1）题可能有下面几种不同的解法，如果学生给出我们可能没有想到的“新”解法，则需要老师灵活处理．法一：由于梨的总数与人数不变，而两种不同的分梨方法使得梨的总数量相差3个，而每人所分得的梨的个数相差1个，因此由3÷1=3可知有3个老人，于是由3×2－2=4可知有4个梨．法二：假设有2个老人，借助检验可以发现与实际情形不相符；假设有3个老人，借助检验可以发现老人的数量与题目叙述是一致的，于是可以在此基础上求得一共有4个梨．法三：假设有x个老人，则有（x+1）个梨；而每人分2个梨，于是一共有（2x－2）个梨．从而有方程2x－2＝x＋1，解此方程得x = 3．因此，我们知道一共有3个老人，4个梨．按照假设法解答这个问题，答案正确是予肯定的．但假设法并不能说明除此解之外，就一定没有其他符合这个问题的解了．因此，还需要做更深入的继续思考．假设法虽然有一定的局限性，但是也有其合理性，当你还不能全面把握这个问题之前，试探性地假设一些数据去探索这个问题的属性，有助于我们更深刻地揭示问题的本质，进而在把握问题本质的基础上去寻找解决的方法，因此假设法对我们解决数学问题是有帮助的，而且也是我们常用的一种数学问题解决的途径之一．设未知数列方程来解答数学问题，也是一种很好的解决数学的途径之一，而且这种方法也是初中数学常用的一种重要的方法，在七年级第一学期将要重要学习，需要同学们引起足够的重视．对于第（2）个问题，我们可以通过动手操作来解决问题。
人教版七年级数学上册暑假班精品讲义
项三个数）如果这一列数无限下去与哪个数越来越接近？例2、把下面各小题的数分别表示在三条数轴上:(1)2,-1,0,-3,+3.5; （2）-5,0,+5,15,20;（3）-1 500,-500,0,500,1 000.举一反三：1．已知点A在数轴上表示的数是-2，则与点A的距离等于3的点表示的数是（）A．1 B．-5 C．-1或-5 D．1或-52．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数共有（）A．8个B．9个C．10个D．11个4．数轴上表示-5的点到原点的距离为（）A．5 B．-5 C．D．6．一只蚂蚁沿数轴从点A向右直爬15个单位到达点B，点B表示的数为-2，则点A所表示的数为（）A．15 B．13 C．-13 D．-174、相反数零是正数和负数的分界。
只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称为这两个数互为相反数，零的相反数是零。
例1、判断下列说法是否正确:(1)-5是5的相反数.()(2)5是-5的相反数.()(3)5与-5互为相反数.()(4)-5是相反数.()例2、(1)分别写出5、-7、-3、+11.2的相反数；(2)指出-2.4是什么数的相反数.我们通常在一个数的前面添上“-”号,表示这个数的相反数.例如-(-4)=4,-(+5.5)=-5.5;同样,在一个数前面添上“+”号,表示这个数本身。
例如（1）+(-4)=-4,+(+12)=12；(2) -2.4是2.4的相反数.例3、化简下列各数:(1)-(+10);(2)+(-0.15); (3)+(+3); (4)-(-20).举一反三：1、化简：-[-（-4）]=_____．2、的相反数是_____．6、下列各数中，－15，-0.02，76，2512-，4，312-，1.3，0，3.14，π正数为 ；负数为 ； 整数为 ；分数为 。
7、一个数a 与原点的距离叫做该数的_______. 8、－|－76|=_______，－（－76）=_______，－|+31|=_______，－（+31）=_______，+|－（21）|=_______，+（－21）=_______.9、_______的倒数是它本身，_______的绝对值是它本身. 10、a +b =0,则a 与b _______. 11、若|x |=51，则x 的相反数是_______. 12、若|m －1|=m －1,则m _______1；若|m －1|>m －1,则m _______1. 若|x |=|－4|,则x =_______；若|－x |=|21-|,则x =_______. 13、下列说法错误的是（ ）A ．-2的相反数是2B ．3的倒数是31 C ．（-3）-（-5）=2D ．-11，0，4这三个数中最小的数是0 14、2015的相反数是（ ） A ．2015 B ．-2015 C ．20151 D ．20151-15、32- 的相反数是（ ） A ．32-B ． 32C ．23-D ．23五、课堂小结六、课后作业1、实数-2015的绝对值是（ ）A ．2015B ．-2015C ．±2015D ．20151六、课后作业1、绝对值1、有理数的绝对值一定是（）2、绝对值等于它本身的数有（）个3、下列说法正确的是（）A、—|a|一定是负数B只有两个数相等时它们的绝对值才相等C、若|a|=|b|，则a与b互为相反数D、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数4、若有理数在数轴上的对应点如下图所示，则下列结论中正确的是（）b aA、a>|b|B、a<bC、|a|>|b|D、|a|<|b|5、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。
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前言同学们已经有了六年学习数学的经验，你认为数学是个什么样子的呢？为什么“学数学可以使人‘变得更聪明’呢”？数学有非常广泛的用途，数学的内涵极其丰富，“生活中处处都有数学”，你同意这种观点吗？请同学们来讨论下面的几个问题：（1）几个老人去赶集，半路买了一堆梨，每人一个多一个，每人两个少两个，请你用心想一想究竟有几个老人几个梨?（2）你能将两个同样大小的正方形适当地分割，再拼成一个较大的正方形么？你还能将三个同样大小的正方形适当分割后，再将其拼成一个较大正方形么?（3）有这样一个故事：太平洋中有A、B两个靠得较近的小岛．A岛居民都是诚实的人，向他们问问题都能得到真实的答案；而B岛的居民则恰恰相反，都不诚实，向他们问问题都不会得到真话回答．某天一个旅游者独自登上了A、B两岛中的一个，但不能分辨这个岛是A岛还是B岛，而且这个岛上的人既有该岛的居民，也有从另一个岛来的客人．旅游者想问岛上的人“这是A岛还是B岛？”却又无法判断被问者的答案是否正确．旅游者动了动脑筋，想了想，终于想出一个好办法：他只需问遇到的任何一个人一句话，就能从对方的回答中断定这里是A岛还是B岛．你知道这个旅游者问的问题是什么吗？他又是怎样做出判断的呢？数学所包括的内容是丰富多彩的，既有关于数的问题，如第（1）题；也有关于图形的问题，如第（2）题；也有关于逻辑推理的问题，如第（3）题，等等．此外，数学的运用也是非常广泛的．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”下面我们来尝试解答以上三个问题。
第（1）题可能有下面几种不同的解法，如果学生给出我们可能没有想到的“新”解法，则需要老师灵活处理．法一：由于梨的总数与人数不变，而两种不同的分梨方法使得梨的总数量相差3个，而每人所分得的梨的个数相差1个，因此由3÷1=3可知有3个老人，于是由3×2－2=4可知有4个梨．法二：假设有2个老人，借助检验可以发现与实际情形不相符；假设有3个老人，借助检验可以发现老人的数量与题目叙述是一致的，于是可以在此基础上求得一共有4个梨．法三：假设有x个老人，则有（x+1）个梨；而每人分2个梨，于是一共有（2x－2）个梨．从而有方程2x－2＝x＋1，解此方程得x = 3．因此，我们知道一共有3个老人，4个梨．按照假设法解答这个问题，答案正确是予肯定的．但假设法并不能说明除此解之外，就一定没有其他符合这个问题的解了．因此，还需要做更深入的继续思考．假设法虽然有一定的局限性，但是也有其合理性，当你还不能全面把握这个问题之前，试探性地假设一些数据去探索这个问题的属性，有助于我们更深刻地揭示问题的本质，进而在把握问题本质的基础上去寻找解决的方法，因此假设法对我们解决数学问题是有帮助的，而且也是我们常用的一种数学问题解决的途径之一．设未知数列方程来解答数学问题，也是一种很好的解决数学的途径之一，而且这种方法也是初中数学常用的一种重要的方法，在七年级第一学期将要重要学习，需要同学们引起足够的重视．对于第（2）个问题，我们可以通过动手操作来解决问题。
比如先可以将三个正方形中的两个沿对角线剪开，如图1，然后再拼成图2的形状．再在图2的基础上，连结AB 、BC 、CD 、DA ，将画阴影的四个三角形剪掉，补到黑色部分上去，如图3，这样所得到的四边形ABCD 就是一个符合条件的较大的正方形了．这个问题的求解过程，作为图形的拼合时用到了旋转的方法；若要证明最后拼合而成的四边形是一个正方形的话，则需要用到全等或者图形的旋转等．不论是旋转变换，还是全等等方法都是初中数学所不可回避的重要内容．第（3）题是一道逻辑推理题，可以先把学生分成小组让他们讨论几分钟，让他们相互交流一下思想，然后再找学生来谈自己的想法或推导过程，教师再在此基础上综合学生的发言，进行适当的补充或深化．我们在下表中列出了在不同的地点，不同问题：你是这个岛的居民吗？问话的地点被访问者 A 岛居民 B 岛居民A 岛回答 是 是 B 岛 不是 不是 借助这张表我们可以一目了然地得到这样的一个结论：如果这个问题是在A 岛提出来的，那么不论是A 岛的居民，还是B 岛的居民，给出的答案都应该是“是”；如果这个问题在B 岛提出来的，答案总“不是”．这就为旅游者判断提问的地方是哪个岛提供了依据，于是“问路问题”就得到了解决．聪明的旅游者的问话是“你是这个岛的居民吗？”如果对方回答“是”，那么这个岛一定是A岛；如果对方回答“不是”，那么这个岛就一定是B 岛．学习数学是件很有趣的事情，数学可以让我们变得聪明，“数学是思维的体操”，只要我们多与数学打交道，与数学交朋友，坚持用数学的眼光去看问题，用数学的头脑去想问题我们就一定能感受到数学的魅力与乐趣，就一定能够学好数学，成为主宰世界未来的科学家。
拓展练习（1）如图4，要在所有的台阶上铺上地毯，至少需要长为多少米地毯？ （2）用火柴棒拼成图5所示的“田”字形图，拼1个“田”字要12根火柴棒，拼2个这样的田字形图，需要多少根火柴棒？拼3个呢？4个呢？5个呢？你能从中找到规律，拼写n 个这样的田字形图，需要多少根火柴棒吗？（3）扑克牌游戏：在扑克牌1~k 中，请你任抽一张，点数记在心，然后做下面的计算：把这张牌的点数乘以2，再加上3，把得数乘以5，最后减去25．我将这个得数加上10后再除以10就可以知道你抽取的牌的点数了，你知道图153421图2 图3 图5图42.8米个中的缘由吗?第一章 有 理 数正数 负数(1)一、学前准备1、小学里学过哪些数请写出来： 、 、 .2、在生活中，仅有整数和分数够用了吗？有没有比0小的数？如果有，那叫做什么数？二、探究新知1、正数与负数的产生1）、生活中具有相反意义的量如：运进5吨与运出3吨；上升7米与下降8米；向东50米与向西47米等都是生活中遇到的具有相反意义的量.请你也举一个具有相反意义量的例子： .2）负数的产生同样是生活和生产的需要2、正数和负数的表示方法1）一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的。
正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如前面的5、7、50；负的量用小学学过的数前面放上“—”（读作负）号来表示，如上面的—3、—8、—47。
2）活动 两个同学为一组，一同学任意说意义相反的两个量，另一个同学用正负数表示.3、正数、负数的概念1）大于0的数叫做 ，小于0的数叫做 。
2）正数是大于0的数，负数是 的数，0既不是正数也不是负数。
三、练习1、读出下列各数，指出其中哪些是正数，哪些是负数？—2， 0.6， +13， 0， —3.1415， 200， —754200，2、举出几对（至少两对）具有相反意义的量，并分别用正、负数表示四、应用迁移，巩固提高（A 组为必做题）A 组1．任意写出5个正数：________________；任意写出5个负数：_______________．2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________．3．已知下列各数：51-，432-，3.14，+3065，0，-239． 则正数有_____________________；负数有____________________．4．如果向东为正，那么 -50m 表示的意义是………………………（ ）A ．向东行进50m C ．向北行进50mB ．向南行进50m D ．向西行进50m5．下列结论中正确的是 …………………………………………（ ）A ．0既是正数，又是负数B ．O 是最小的正数C ．0是最大的负数D ．0既不是正数，也不是负数6．给出下列各数：-3，0，+5，213-，+3.1，21-，2004，+2008．其中是负数的有 ……………………………………………………（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B 组1．零下15℃，表示为_________，比O ℃低4℃的温度是_________．2．地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海拔高度为-5米，其中最高处为_______地，最低处为_______地．3．“甲比乙大-3岁”表示的意义是______________________．C 组1．写出比O 小4的数，比4小2的数，比-4小2的数．2．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度．正数 负数(2)一、学前准备通过上节课的学习,我们知道在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量,为了区分它们,我们用正数和负数来分别表示它们.问题1：“零”为什么即不是正数也不是负数呢?思考讨论,借助举例说明.参考例子:温度表示中的零上,零下和零度.二.探究理解 解决问题问题2：先分析，再独立完成例 (1)一个月内,小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值;(2)2001年下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是:美国减少6.4%, 德国增长1.3%, 法国减少2.4%, 英国减少3.5%,意大利增长0.2%, 中国增长7.5%.写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率.三、巩固练习从0表示一个也没有,是正数和负数的分界用正负数表示加工允许误差.问题:1.直径为30.032mm 和直径为29.97的零件是否合格?2.你知道还有那些事件可以用正负数表示允许误差吗?请举例.四、练习1）.甲冷库的温度是-12°C,乙冷库的温度比甲冷酷低5°C,则乙冷库的温度是 .2.）一种零件的内径尺寸在图纸上是9±0.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸是9mm,加工要求最大不超过标准尺寸多少?最小不小于标准尺寸多少?有 理 数一、探究新知1、通过两节课的学习,我们已经将数的范围扩大了,那么你能写出3个不同类的数吗?.问题1：任意写出9个数，再将这9个数做一下分类..该分为几类，又该怎样分呢？先分组讨论交流，再写出来分为 类，分别是：引导归纳：统称为整数， 统称为有理数.问题2：我们是否可以把上述数分为两类?如果可以,应分为哪两类?2、正数集合与负数集合所有的正数组成 集合，所有的负数组成 集合二、知识应用把下列各数填入它所属于的集合的圈内: 15, -91, -5, 152, 813-, 0.1, -5.32, -80, 123, 2.333.正整数集合 负整数集合正分数集合 负分数集合三、引导归纳有理数分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 或者⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数四、练习1、下列说法中不正确的是……………………………………………（ ）A ．-3.14既是负数，分数，也是有理数B ．0既不是正数，也不是负数，但是整数c ．-2000既是负数，也是整数，但不是有理数D ．O 是正数和负数的分界2、在下表适当的空格里画上“√”号数轴一、创设情境，引入新课1、观察下面的温度计,读出温度.分别是°C、°C、°C.2、在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境?东汽车站请同学们分小组讨论，交流合作，动手操作二、合作交流，探究归纳1、由上面的两个问题，你受到了什么启发？能用直线上的点来表示有理数吗？2、自己动手操作，看看可以表示有理数的直线必须满足什么条件？1）、画数轴需要三个条件，即、方向和长度.2）数轴：有理数整数分数正整数负分数自然数-9是-2.35是O是+5是三、动手操作，学用新知2、利用上面的数轴表示下列有理数1.5，—2， 2，—2.5，92，23-， 0.四、寻找规律，探究新知1、观察数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你有什么发现？2、每个数到原点的距离是多少？由此你又有什么发现？五、巩固练习1.在数轴上,表示数-3,2.6,53-,0,314,322-,-1的点中,在原点左边的点有个.2. 写出数轴上点A,B,C,D,E所表示的数:3、在数轴上点A表示-4,如果把原点O向负方向移动1个单位,那么在新数轴上点A表示的数是( )A.-5，B.-4C.-3D.-24、你觉得数轴上的点表示数的大小与点的位置有关吗?为什么?相反数一、学前准备1、请把下列四个数分成两类，再说说你这样分的理由： 5，—2，—5，22、把上面的四个数画在数轴上，请观察它们表示的点具有的特征是.换成2.5和—2.5试试，怎么样？从上面问题可以看出，一般地，如果a是一个正数，那么数轴上与原点的距离是a的点有两个，即一个表示a，另一个是，它们分别在原点的左边和右边，我们说，这两点关于原点对称.二、探究新知1、相反数的概念像2和—2、5和—5、2.5和—2.5这样，只有不同的两个数叫做互为相反数.2、练习1）、3.5的相反数是，—115和是互为相反数，的相反数是73.24.2）、a和互为相反数，也就是说，—a是的相反数例如a=7时，—a=—7，即7的相反数是—7. a=—5时，—a=—（—5），“—（—5）”读作“－5的相反数”，而—5的相反数是5，所以，—（—5）=5你发现了吗，在一个数的前面添上一个“—”号，这个数就成了原数的3）简化符号：－(＋0.75)= ，－(－68)= ，－(－0.5 )= ，－(＋3.8)= . 4）、0的相反数是 .3、数轴上表示相反数的两个点和原点的距离 .三、练习1.分别写出下列各数的相反数：2.3.填空：(1)－1.6是______的相反数，______的相反数是－0.2.4.化简下列各数：(1)－(－16)； (2)－(＋20)； (3)＋(＋50)；5.填空：(1)如果a＝－13，那么－a＝______；(2)如果-a＝－5.4，那么a＝______；(3)如果－x＝－6，那么x＝______；(4)－x＝9，那么x＝______.绝对值一、学前准备问题：小红和小明从同一处O出发，分别向东、西方向行走10米，他们行走的路线（填相同或不相同），他们行走的距离（即路程远近）二、合作探究、归纳1、由上问题可以知道，10到原点的距离是，—10到原点的距离也是到原点的距离等于10的数有个，它们的关系是一对 .这时我们就说10的绝对值是10，—10的绝对值也是10.例如，—3.8的绝对值是3.8；17的绝对值是17；—613的绝对值是一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣2、练习1）、式子∣-5.7∣表示的意义是 .2）、—2的绝对值表示它离开原点的距离是个单位，记作 .3）、∣24∣= . ∣—3.1∣= ，∣—13∣= ，∣0∣= .3、思考、交流、归纳由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是 .用式子表示就是：1）、当a是正数（即a>0）时，∣a∣= ；2）、当a是负数（即a<0）时，∣a∣= ；3）、当a=0时，∣a∣= .在数轴上表示的两个数，右边的数总要左边的数。