五年级奥数：加法、乘法原理

加法原理

在日常生活与实践中，我们经常会遇到分组、计数的问题。解答这一类问题，我们通常运用加法与那里与乘法原理这两个基本的计数原理。熟练掌握这两个原理，不仅可以顺利解答这类问题，而求可以为今后升入中学后学习排列组合等数学知识打下好的基础。

什么叫做加法原理呢？我们先来看这样一个问题：

从南京到上海，可以乘火车，也可以乘汽车、轮船或者飞机。假如一天中南京到上海有4班火车、6班汽车，3班轮船、2班飞机。那么一天中乘做这些交通工具从南京到上海共有多少种不同的走法？

我们把乘坐不同班次的火车、汽车、轮船、飞机称为不同的走法，那么从南京到上海，乘火车有4种走法，乘汽车有6种走法，乘轮船有3种走法，乘坐飞机有2种走法。因为每一种走法都可以从南京到上海，因此，一天中从南京到上海共有4+6+3+2 = 15 (种)不同的走法。

我们说，如果完成某一种工作可以有分类方法，一类方法中又有若干种不同的方法，那么完成这件任务工作的方法的总数就等于各类完成这件工作的总

和。即N = m

1 + m

2

+ … + m

n

(N代表完成一件工作的方法的总和，m1,m2, … m n

表示每一类完成工作的方法的种数)。这个规律就乘做加法原理。

例题与方法：

例1 书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？

例2一列火车从上上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？

例3、4 x 4的方格图中（如下图），共有多少个正方形？

例4、妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？

练习与思考：

从甲城到乙城，可乘汽车，火车或飞机。已知一天中汽车有2班，火1.

车有4班，甲城到乙城共有（）种不同的走法。

一列火车从上海开往杭州，中途要经过4个站，沿途应为这列火车准2.

备____种不同的车票。

3.下面图形中共有____个正方形。

4.图中共有_____个角。

5.书架上共有７种不同的的故事书，中层６本不同的科技书，下层有４钟不同的历史书。如果从书架上任取一本书，有____种不同的取法。

6.平面上有８个点（其中没有任何三个点在一条直线上），经过每两个点画一条直线，共可以画_____条直线。

7.图中共有_____个三角形。

8.图中共有____个正方形．

9.从2，3，5，7，11，13，这六个数中，每次取出两个数分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成_____个真分数．

10.某铁路局从Ａ站到Ｆ站共有６个火车站（包括Ａ站和Ｆ站）铁路局要为在Ａ站到F站之间运行的火车准备_____种不同的车票，其中票价不相同的火车票有_____种。

乘法原理

上一讲我们学习了用“加法原理”计数，这一讲我们学习“乘法原理”。什么是乘法原理呢？我们来看这样一个问题：

从甲地到乙地有3条不同的道路，从乙地到丙地有4条不同的道路。从甲地经过乙地到丙地，共有多少种走法？

我们这样思考：从甲地到乙地的3条道路中任意选一条都可以从甲地到乙地，再从乙地大丙地的4条道路中任意选一条都可以从乙地到丙地，那么，从甲地到乙地的3条道地第一条到达乙地后，可以走从乙地到丙地的任意一条路，这样就有了4种不同的走法。从甲地到乙地的第二条、第三条路到达乙地后，仍可以从乙地到丙地的4条路中任选一条到丙地，如图所示：

从图中可以看出，从甲地到丙地共有3 X 4 =12（种）走法。如果完成一件事情需要几个步，完成第一步有m1 种不同的方法，完成第二步有m2 种不同的方法，…那么，完成这件工作共有N =m1 x m2 x m3 x … x m n 种不同的方法。这就是乘法原理。

例题与方法：

例1 书架上有4本故事书，7本科普书，志远从书架上任取一本故事书和一本科普书，共有多少种不同的取法？

例2 从2、3、5、7、11这五个数字中每次取出2个数字，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组从多少个分数？其中有多少个真分数？

例3 用9、8、7、6这四个数可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些位数的和是多少？

例4 如图，A、B 、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、白四种颜色中的某一种染色。若要求相邻的区域染不同的颜色，问：共有多少种不同的染色方法？

练习与思考：

1.从甲地到乙地有两条河，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地经乙地到丙地共有

种走法。

2.书架的上、中、下层各有3本、5本、、4本故事书。若要从每层书架上任取一个本书，共有种不同的取法。

3.有1，2，3，三数字，一共可以组成个没有重复数字的三位数。

4.两个班级进行乒乓球比赛，每班选3人，每人都要和对方的每个选手赛一场，一共要赛场。

5.从5，7，11，13这四个数中每次取2个数组成分数，一共可以组成个分数，其中真分数有个。

6.图中一共有个不同的长方形。

7.一个口袋里装有5个小球，另7一个口袋里装有4个小球。这些小球的颜色互不相同。

（1）从两个口袋里任意取一个小球，有种不同的取法。

（2）从两个口袋内各取一个小球，有种不同的取法。

8.某信号兵用红、黄、蓝三面棋从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每次可挂一面、二面或三面，并且不同的顺序、不同的位置表示不同的信号。一共可以表示种不同的信号。