微分方程试题及部分应用题答案整理版[1]
微分方程基础练习题(简易型)含答案解析
微分方程基础练习题(简易型)含答案解析题目1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x$，其中 $y(0)=1$。
2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，其中 $y(0)=1$。
3. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} - 2y = -4$。
4. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = \sin x$。
答案解析1. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = x^3+x+c$，其中$c$ 为任意常数。
由 $y(0)=1$ 可求出 $c=1$，所以 $y=x^3+x+1$。
2. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = 0$，得到 $y=Ce^{-x}$，其中 $C$ 为任意常数。
对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，设其特解为 $y=ax+b$，代入方程得到 $a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$。
因此通解为 $y=Ce^{-x}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
由 $y(0)=1$ 可得到 $C=\frac{1}{2}$，所以 $y=\frac{1}{2}(2e^{-x}+x+1)$。
3. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = Ce^{2x}+2$，其中$C$ 为任意常数。
4. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = 0$，得到 $y=Ce^{-9x}$，其中 $C$ 为任意常数。
对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y= \sin x$，由于 $\sin x$ 不是指数函数 $e^{kx}$ 的线性组合，所以采用常数变易法，设其特解为 $y=A\sin x + B\cos x$，代入方程得到 $A=-\frac{1}{82}$，$B=\frac{9}{82}$。
因此通解为 $y=Ce^{-9x}-\frac{1}{82}\sin x+\frac{9}{82}\cos x$。
高等数学微分方程试题及答案.docx
第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（ 1）方程形式：dyP x Q y Q y0通解dyP x dx C dx Q y（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0通解M 1xdx N 2ydy C M 2 x 0, N 1 y 0M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式dyf y（ 1）齐次方程xdx令yu ，则dyu xduf ufdu dx c ln | x | c x dx dx u u x二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程dyP x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx2．一阶线性非齐次方程精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性dx非齐次方程求解。
dy1可化为dxP y x Q y y x以为自变量，．方程：P y x dydx Q y为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。
三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n ynff x dx C1 x n 1xn次令 y p ，则 y p ，原方程y f x, yf x, p ——一阶方程，设其解为pg x, C1p，即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。
令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dpdx dy dx dy y f把 y， y 的表达式代入原方程，得dp1f y, p—一阶方程，y, y dy pdy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C1, 即dyg y, C1，则原方程的通解为dx令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C3．伯努利方程dyQ x y0,1P x ydxdyx C2。
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
（X ）2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
15•微分方程xy |nx 0的通解是y 2In① y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。
② xy 2x dx y x 2y dy 0是可分离变量微分方程。
③ x? y 4是齐次方程。
y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。
6. ysiny 是一阶线性微分方程。
（X)7. y 3 3x yxy 不是一阶线性微分方程。
(O )8. y 2y 5y 0的特征方程为r 22r 5 0。
(9. dy 1 xy 2 xy 2是可分离变量的微分方程。
dx、填空题1.在横线上填上方程的名称o )(O )2. sin xy x cosx 的通解中应含 _3个独立常数。
3. 1 e 2x 的通解是-e 2x C 1x C 2。
42x4.1 sin2x cosx 的通解是 -sin2x cosx C 1x C 2。
45. xy 2x 2yx 41是二 ______ 阶微分方程。
3.函数y 3sinx 4cosx 是微分方程y y 0的解。
（0 ）4.函数y x 2 e x 是微分方程y 2y y0的解。
（X ）C （C 为任意常数）。
（0 ）④xyy x 2 sinx 是一阶线性微分方程。
6 .微分方程y y阶微分方程。
1A. 3 B7. y y 满足y L 0 2的特解是（B ） oxA. y e x 1 B . y 2e x C . y 2 e 2&微分方程y y sinx 的一个特解具有形式 A . y a sinx24 .微分方程y 3y 3的一个特解是（cosxC 1e xC 2e x 是方程y y 0的（A ）,其中C 1,C 2为任意常数。
A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对7. 8.丄所满足的微分方程是yx空的通解为y xCx 2。
9.dx dy 0的通解为 x10.dy dx 2yx 15x 1 2,其对应的齐次方程的通解为11. 方程xy 1 0的通解为y 12. 3阶微分方程x 3 * 5的通解为yx 2Cxe 2 o x C 1 x C 2 x C 3 o120三、选择题1 .微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B 2 .微分方程x 51的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dy a cosxy xy 3y 2 011 .在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）y 1 B . y x C . y sinx D . y.Cx17.微分方程0的解为（B ）C . y x asin x bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。
数学必修二：常微分方程的应用习题答案
数学必修二：常微分方程的应用习题答案一、填空题1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x+y}$，得到的特解为$y=$_____。
解答：首先，观察到该方程是一阶线性齐次方程的形式，所以我们假设解为 $y=ux$，代入原方程，得到 $\frac{du}{dx}=-\frac{1+u}{1-u}$。
化简后得到 $\frac{1+u}{u(1-u)}du=-dx$。
分离变量并两边积分，得到 $\ln\left|\frac{1+u}{u(1-u)}\right|=-x+c$，其中 $c$ 为常数。
进一步化简，得到 $\frac{1+u}{u(1-u)}=k\cdot e^{-x}$，其中 $k=\pm e^c$。
将$y=ux$ 代入，得到 $\frac{1+\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}(1-\frac{y}{x})}=k\cdot e^{-x}$，整理后得到 $y=\frac{k\cdot x}{1-k\cdotx}$。
所以解为 $y=\frac{k\cdot x}{1-k\cdot x}$。
2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{2x+y}$，得到的特解为 $y=$_____。
解答：我们先观察到该方程是一个齐次方程的形式，所以我们可以做变换 $y=vx$，得到 $\frac{dv}{dx}=\frac{1+v^2}{2+v}$。
将分子移到右边并分离变量，得到 $\frac{dv}{1+v^2}=\frac{dx}{2+x}$。
对左边积分，得到$\arctan(v)=\ln|2+x|+c$，其中$c$ 为常数。
再次代入$y=vx$，得到 $\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\ln|2+x|+c$。
整理之后，得到$y=x\tan(\ln|2+x|+c)$。
所以解为 $y=x\tan(\ln|2+x|+c)$。
高中数学微分方程练习题及参考答案2023
高中数学微分方程练习题及参考答案2023一、填空题1.微分方程 $y'=x^2$ 的通解为 $y=$_____________。
2.微分方程 $y'-2y=\cos x$ 的通解为 $y=$_____________。
3.微分方程 $y''-3y'+2y=0$ 的通解为 $y=$_____________。
4.微分方程 $y''+y=e^x$ 的通解为 $y=$_____________。
5.微分方程 $(x-1)y'-y=3$ 的通解为 $y=$_____________。
二、选择题1.微分方程 $y''-y'-12y=0$ 的解正确的选项是A. $y=c_1e^{4x}+c_2e^{-3x}$B. $y=c_1e^{3x}+c_2e^{-4x}$C. $y=c_1\sinh3x+c_2\cosh4x$D. $y=c_1\sinh4x+c_2\cosh3x$2.对于微分方程 $y''-2y'+y=x^3\mathrm{e}^{2x}$，以下选项正确的是A. 特解应为多项式 $Ax^3+Bx^2+Cx+D$B. 对于其特解应有 $A=0$C. 对于其特解应有 $B=0$D. 对于其特解应有 $B\neq0$3.微分方程 $y''-y'-2y=0$，其中 $y_1(x)=e^{2x}$，$y_2(x)=?$，正确的选项是A. $y_2(x)=e^{-x}$B. $y_2(x)=e^{x}$C. $y_2(x)=e^{-2x}$D. $y_2(x)=\mathrm{e}^{-2x}-4x\mathrm{e}^{-2x}$三、解答题1.求微分方程 $y'+\frac{1}{x}y=2\sin\ln x$ 的通解。
2.求微分方程 $y'-y=x\mathrm{e}^x$ 的通解。
〈常微分方程》应用题及答案
应 用 题（每题10分）1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有()()()f x y f x f y +=，求()f x 。
2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+=（1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。
3、已知连续函数()f x 满足条件320()3x xt f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 。
4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞>=，且满足110()lim ()h x h f x hx e f x →⎛⎫+ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，求()f x 。
5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5(1)2f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 111()()()xt x tf u du t f u du x f u du =+⎰⎰⎰，求()f x 。
6、求连续函数()f x ，使它满足10()()sin f tx dt f x x x =+⋅⎰。
7、已知可微函数()f t 满足31()()1()xf t dt f x t f t t =-+⎰，试求()f x 。
8、设有微分方程 '2()y y x ϕ-=， 其中21()01x x x ϕ<⎧=⎨>⎩。
试求在(,)-∞∞内的连续函数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。
9、设位于第一象限的曲线()y f x =过点122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。
（完整版）高等数学第七章微分方程试题及答案
（完整版）高等数学第七章微分方程试题及答案第七章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()?+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+??1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程=x y f dx dy 令u xy=，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-??||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1）二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
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第十章微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y 的阶数是 . 1-2-41、微分方程0'2'2xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 22sxs x s的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(的阶数是 .1-5-44、微分方程xyxy2d d 满足条件1|'0xy 的特解是 .1-6-45、微分方程0d d yxy的通解是 .1-7-46、方程y e y x'的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '的通解是 .1-9-48、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''yy y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y ''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y xsin ''2的通解为 .1-15-54、若0d ),(dx ),(yy x Q y x P 是全微分方程, 则Q P,应满足 .1-16-55、与积分方程xy x f yx x d ),(0等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22yxy xx y xy 化为齐次方程是 .1-18-57、通解为21221,(C C e C eC yxx 为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y 2'满足条件0xy 的特解是 .1-19-59、方程0dy1dx2x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'的通解是1-21-61、方程x yxyxy xyd d d d 22化为齐次方程是1-22-62、若t ycos 是微分方程09''yy 的解, 则.1-23-63、若ktCe Q 满足Qdt dQ03.0, 则k.1-24-64、y y 2'的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x 1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r yx 满足的微分方程是1-27-67、ax ae y满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q yx P x的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y是微分方程y xy 2'的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''qypy y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22dyxy xdxy xy写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dxdy 的通解是 ( )A.2x yB.25x y C.2Cx yD.Cxy 2-2-57、微分方程0dy 1dx 2x xy 的通解是 ( ) A.21x eyB.21x CeyC.x C yarcsin D.21xC y 2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2x y xB. 0dy dx x yC.0dy)(1dx)1(xy y xy D.dydx)(22xy y x2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( ) A.xxe e 32, B.x x 2sin ,2cos C. x x x sin cos ,2sin D.2ln ,ln xx 2-5-60、方程03'2''y y y 的通解是 ( )A.xxe C eC y 321 B. xxeC eC y 321 C.xx eC eC y 321 D.xxeC e C y3212-6-61、方程0''y y 的通解是 ( ) A.x C ysin B.x C ycos C.x C xycos sin D.xC xC ycos sin 212-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是( )A.xyyx 33dxdy B.dy 2dx)3(2xy y exC.234dxdy xyyx D.yx xyy321dxdy 2-8-63、微分方程0cot 'x y y 的通解是 ( ) A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC ycsc2-9-64、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'yy 的通解是 ( )A.C x y2sin B.C eyx24 C.xCe y2 D.xCey 2-11-66、方程xy2dx dy的通解是 ( )A.C ex2B.Cxe2C.2CxeD.2)(C x e2-12-67、xe y ''的通解为y( )A.xe B.xe C.21C xC exD.21C x C ex2-13-68、微分方程xe21dxdy满足1xy 的特解为 ( )A.1221xeyB.3221x ey C.C ey x212 D.212121xey2-14-69、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( ) A.Cyx2422B.Cyx2422C.2422yxD.12422yx2-15-70、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( )A.222yxB.933yxC.133yxD.13333yx2-16-71、过点,0()2的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32xyB.52xy C.53xey D.5xCe y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy化为可分离变量的方程, 应作变换 ( )A.2ux yB.22x u yC.ux yD.33xu y2-18-73、设方程)()('x Q y x P y 有两个不同的解21,y y ,若21y y 也是方程的解,则( ) A.B.0 C. 1 D.,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x 的通解是 ( ) A.x Cxy2B. x xC y2sin C.C xy 2cos D.Cxy 22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.xyxy 2'B .xxyy sin 'C .xyy' D.xyy 2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y xy' B.y xy'C.x yy' D.xy y'2-22-77、方程2)3(,0'y yy 的解是 ( )A.xey 32 B.xey 32 C.32x ey D.32x ey 2-23-78、微分方程x y y ln '的通解是 ( ) A.xx eyln B. xx Ceyln C.xx x ey ln D.xx x Cey ln 2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''的解 ( )A. xey22 B.xe y2 C.xey 2 D.xey 22-25-80、方程0sin '''653)4(yy y y x xyy的阶是 ( )A. 6B. 5C. 4D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2，则这条曲线是( )A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A.xyy x dxdy33B.2)3(2xydy dxy exC. xy yx dxdy D.yx xyy dxdy 3212-28-83、微分方程0cot 'xy y 的通解是 ( )A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC y csc 2-29-84、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx ,则p 的值( )A. 1B. 0C.21D.41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22y x y x y x 3-2-53、0ln 'yy xy 3-3-54、0d sec )2(d tan 32yy e x y e x x3-4-55、yx y y x xy22222')1(3-5-56、yx eye x dxdy3-6-57、0)1()1(xdy y ydxx3-7-58、x x y yy x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-8-59、0)0(,02')1(22y xy y x3-9-60、1)(,ln 2'e y x y y 3-10-61、x x y y y x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-11-62、0y)dx -(x dy)(y x3-12-63、)ln (ln dx d x y y y x 3-13-64、0)2(22dyx dx xy y3-14-65、xy x y xy tan'3-15-66、xyx y x y xy ln)('3-16-67、dxdy xydxdy xy223-17-68、x y yx y', 2|1x y 3-18-69、x y xy y', ey ex|3-19-70、2|,'122xy y xyxy3-20-71、xx yxy sin 1', 1|xy 3-21-72、xex y xy 43'3-22-73、342'xxyy 3-23-74、xyxy ln 11'3-24-75、xeyxxy x21'3-25-76、x xy y sec tan ', 0|0xy 3-26-77、xx yxy sin 1', 1|xy 3-27-78、22112'xy xx y ,|0xy 3-28-79、x x yxy ln ', ey ex|3-29-80、22d dyx xexy x3-30-81、)sin (cos d dy2x xy yx3-31-82、5d dyxyy x3-32-83、02d dy4xyxy x3-33-84、4)21(3131d dy yx yx3-34-85、xyxy x 2d dy23-35-86、xy y '''3-36-87、01)'(''2y yy 3-37-88、01''3y y 3-38-89、y y 3'', 1|0xy , 2|'0xy 3-39-90、223''yy ,1|3xy ,1|'3xy 3-40-91、02''yy 3-41-92、013'4''y y y 3-42-93、0'2''y y y 3-43-94、04'5''y y y 3-44-95、04'3''y y y , 0|0xy , 5|'0xy 3-45-96、029'4''y y y , 0|0x y ,15|'0xy 3-46-97、0'4''4y y y , 2|0x y , 0|'0x y 3-47-98、0'4''4y y y , 2|0xy , 0|'0xy 3-48-99、013'4''y y y , 0|0x y , 3|'0x y 3-49-100、04'4''y y y , 0|0x y , 1|'0xy 3-50-101、xey y y 2'''23-51-102、x eyy xcos ''3-52-103、xex y y y 3)1(9'6''3-53-104、'''22xy y ye3-54-105、123'2''x y y y 3-55-106、''sin 20y yx, 1|xy , 1|xy 3-56-107、52'3''yy y , 1|0xy , 2|'0xy 3-57-108、xe y y y 29'10'',76|0x y ,733|'0x y 3-58-109、xxe yy 4'', 0|0xy , 1|'0xy 3-59-110、xxeyy y 26'5''四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知xxxy t t y tt 03231d )(12, 求函数)(x y 4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x2.4-4-14、试求x y ''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12x y相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x 满足xx t t t x x 01d sin )(2cos )(, 求)(x .4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22pEpEQ, 最大需求量为1000Q, 求需求函数)(p f Q.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dL L Ak x，（其中0,0Ak）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且A L 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101,投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31. 设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w 证明: )(x w 满足方程0)('wx p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x的3个相异特解,证明1213y y y y 为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).解. 设)(t i i, 由回路电压定律tE dtdi LRisin 0, 即tLE LR dtdisin 0]sin [)(0C dt teLE et i t dtLRLR =]sin [0C dt te LE et t LR LR =)cos sin (2220t L t R LRE CetLR将0|0ti 代入通解得222LRLE C)cos sin ()(2220t L t R LeLRE t i t LR488.设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系解：.物体重力为mg w, 阻力为kv R , 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dtdv m ,从而得线性方程gv mk dtdv ,|0tv tmkdtdtCeg km C dt gee v km m k ][, 将0|0tv 代入通解得gkm C)1(t mk eg km v, 再积分得122C gekm gtkm Stmk,将0|0t S 代入求得gkm C 221)1(22t mkeg km gtkm S 489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x yt v y 1'0, 又弧OP 的长度为x tv dxy 0022'1,从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x , 即2'121'')1(y y x 根据题意, 初始条件为0)0(y , 0)0('y 令p y', 原方程化为2121')1(pp x , 它是可分离变量得方程,解得21)1(112x C pp , 即21)1('1'12x C y y 将0)0('y 代入上式得11C , 故21)1('1'2x y y 而21)1(''1'1'122x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y 积分得22321)1(31)1(C x x y, 将0)0(y 代入上式得322C ,所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dLL A k x ，（其中0,0Ak ）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且AL 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL,|L L x, 解可分离变量得微分方程, 得通解kxCeAL , 将00|L L x 代入通解, 得AL C 0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxeA LAx L )()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31.设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:yS101,dt dyI31, 解之得通解tCe y103, 将5|0ty 代入通解得5C, 所以国民收入函数为tey 1035492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dtdp,)0(p p , 其中0p 为0t时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kpr p f ),(, d cpp g )(, 则方程为)()(d b k p c k k dtdp ,)0(p p , 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为ckd b eckd b p t p tc k k )(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(p g r p f , 即dpc bpk ,则c kdb p, 从而价格函数pep p t p c k k )(0)()(,取极限:pt p t)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p 0, 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于tc k k ec kk p pdtdp)(0)()(, 所以当p p 0时, 0dtdp,)(t p 单调下降向p 靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版
第十章 微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、 微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、 微分方程0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、 微分方程0d d d d 22=++s x sx s 的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0d d =+y x y的通解是 .1-7-46、方程y e y x='的通解是 . 1-8-47、 方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程xy x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 .1-19-59、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'=的通解是1-21-61、 方程x y xy x y x y d d d d 22=+化为齐次方程是1-22-62、 若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω .1-23-63、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, 则=k .1-24-64、y y 2'=的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、 圆222r y x =+满足的微分方程是1-27-67、 axae y =满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的 解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dx dy=的通解是 ( )A.2x y = B. 25x y = C. 2Cx y = D.Cx y =2-2-57、 微分方程0dy 1dx 2=-+x xy 的通解是 ( ) A.21x ey -= B.21x Cey -= C.x C y arcsin = D. 21x C y -=2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2=--x y x B. 0dy dx =-x y C. 0dy )(1dx )1(=-++xy y xy D.0dy dx )(22=++xy y x 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )A.x x e e 32,B.x x 2sin ,2cosC. x x x sin cos ,2sinD.2ln ,ln x x2-5-60、方程03'2''=--y y y 的通解是 ( )A.x x e C e C y 321--+=B. x x e C e C y 321+=C. x x e C e C y 321-+=D. x x e C e C y 321+=-2-6-61、方程0''=+y y 的通解是 ( ) A.x C y sin = B.x C y cos = C.x C x y cos sin += D.x C x C y cos sin 21+=2-7-62、 下列方程中是可分离变量的方程是 ( )A. xy y x -=33dx dyB.0dy 2dx )3(2=++xy y e x C. 234dx dy xy y x += D.y x xy y 321dx dy ++= 2-8-63、 微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc =2-9-64、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'=-y y 的通解是 ( )A.C x y +=2sinB.C e y x +=24C.x Ce y 2=D. xCe y =2-11-66、方程xy 2dx dy=的通解是 ( )A.C e x +2B.Cxe+2C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-67、 xe y -=''的通解为=y ( )A.x e --B. xe - C. 21C x C ex++- D. 21C x C e x ++--2-13-68、微分方程xe 21dx dy -=满足10-==x y 的特解为 ( )A.1221+-=-x ey B. 3221-=-x ey C. C ey x +-=-212 D.212121--=-xe y2-14-69、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.C y x =-2422B. C y x =+2422C. 02422=-y xD. 12422=+y x2-15-70、 微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.222=+y xB. 933=+y xC. 133=+y x D. 13333=+y x2-16-71、 过点,0()2-的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32-=x yB. 52+=x yC.53-=x e yD.5-=x Ce y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy =化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D.33x u y =2-18-73、 设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21y y βα+也是方程的解,则( )A.βα=B. 0=+βαC. 1=+βαD. βα,为任意常数2-19-74、 方程dx 2dx dy y x x =+的通解是 ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2' B .x xy y sin '=+ C .x yy =' D .xy y -=2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x y y ='2-22-77、方程2)3(,0'==+y y y 的解是 ( )A.x e y -=32B. x e y --=32C. 32-=x e yD. 32--=x e y2-23-78、 微分方程x y y ln '=的通解是 ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. x x x Ce y -=ln2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''=的解 ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-80、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-，则这条曲线是( )A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A. xy y x dx dy-=33 B.02)3(2=++xydy dx y e x C. xy yx dx dy += D.y x xy y dx dy 321++= 2-28-83、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc = 2-29-84、 已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值( )A. 1B. 0C. 21D. 41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x 3-2-53、 0ln '=-y y xy3-3-54、0d sec )2(d tan 32=-+y y e x y e x x 3-4-55、y x y y x x y 22222')1(=-+- 3-5-56、 y xe y e x dx dy +-=- 3-6-57、 0)1()1(=-++xdy y ydx x3-7-58、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-8-59、0)0(,02')1(22==+-y xy y x 3-9-60、 1)(,ln 2'==e y x y y3-10-61、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-11-62、 0y)dx -(x dy )(=++y x3-12-63、 )ln (ln dx d x y y yx-=3-13-64、0)2(22=+-dy x dx xy y 3-14-65、x yx y xy tan'=-3-15-66、x yx y x y xy ++=-ln)('3-16-67、dx dy xy dx dy x y =+223-17-68、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-69、x y x y y +=', e y e x ==|3-19-70、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-71、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-21-72、x e x y x y 43'=-3-22-73、 342'x xy y =-3-23-74、x y x y ln 11'=-3-24-75、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-76、 x x y y sec tan '=-,|0==x y3-26-77、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-27-78、22112'x y x xy +=+-, 0|0==x y3-28-79、x xy xy ln '=-, e y e x ==|3-29-80、 22d dyxxe xy x -+=3-30-81、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-82、5d dyxy y x =- 3-32-83、02d dy4=++xy xy x3-33-84、4)21(3131d dy y x y x -=+3-34-85、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-86、x y y +='''3-36-87、01)'(''2=++y yy 3-37-88、01''3=+y y3-38-89、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y3-39-90、223''yy =, 1|3==x y , 1|'3==x y3-40-91、02''=+y y 3-41-92、013'4''=++y y y 3-42-93、0'2''=+-y y y 3-43-94、04'5''=+-y y y 3-44-95、04'3''=--y y y ,|0==x y ,5|'0-==x y 3-45-96、029'4''=++y y y , 0|0==x y ,15|'0==x y3-46-97、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-98、0'4''4=++y y y ,2|0==x y ,|'0==x y 3-48-99、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y3-49-100、04'4''=+-y y y ,|0==x y ,1|'0==x y3-50-101、xe y y y 2'''2=-+3-51-102、x e y y x cos ''+=+ 3-52-103、x e x y y y 3)1(9'6''+=+-3-53-104、'''22xy y y e --=3-54-105、123'2''+=--x y y y 3-55-106、''sin 20y y x ++=, 1|==πx y , 1|==πx y3-56-107、52'3''=+-y y y ,1|0==x y ,2|'0==x y3-57-108、xe y y y 29'10''=+-,76|0==x y ,733|'0==x y 3-58-109、xxe y y 4''=-, 0|0==x y , 1|'0==x y 3-59-110、xxe y y y 26'5''=+-四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知⎰--=+xx x y t t y t t 03231d )(12, 求函数)(x y4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x =2.4-4-14、试求x y =''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12+=xy 相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x ϕ满足⎰+=+xx t t t x x 01d sin )(2cos )(ϕϕ, 求)(x ϕ.4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22p Ep EQ-=, 最大需求量为1000=Q , 求需求函数)(p f Q =.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为L , 且AL <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31. 设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''=++y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w -==证明: )(x w 满足方程0)('=+w x p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解,证明 1213y y y y --为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).解. 设)(t i i =, 由回路电压定律tE dt diLRi ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+∴⎰+⎰⎰=-]sin [)(0C dt te L E e t i t dt LR L Rω=⎰+-]sin [0C dt te L E ett L R LR ω=)cos sin (2220t L t R L R E Cet LR ωωωω-++-将|0==t i 代入通解得2220L R LE C ωω+=∴)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR ωωωωω-++=-488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解：.物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=, 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dt dv m-=,从而得线性方程g v m kdt dv =+, 0|0==t v∴ ⎰--+=+⎰⎰=t m kdt dt Ce g k m C dt ge e v km m k ][, 将0|0==t v 代入通解得 g k m C -=∴ )1(tm k e g k m v --=, 再积分得122C ge k m gt k m S t m k++=-,将0|0==t S 代入求得g k m C 221-=∴ )1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为⎰=-xtv dx y 0022'1,从以上两式消去tv 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令p y =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程,解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y 将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系 )(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL-=,00|LL x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解 kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxe A L A x L --+=)()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31.设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:y S 101=, dt dy I ⋅=31, 解之得通解t Ce y 103=, 将5|0==t y 代入通解得5=C , 所以国民收入函数为te y 1035=492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp-=,0)0(pp =, 其中p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为)()(d b k p c k k dt dp-++=,0)0(pp =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =∞→)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于t c k k e c k k p p dt dp )(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0<dt dp, )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
微分方程习题和答案
微分方程习题和答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
微分方程习题及解答
第十二章 微分方程§微分方程基本观点、可分别变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 以下所给方程中，不是微分方程的是() ．(A) xy 2 y ；(B) x 2 y 2 C 2 ；(C) yy 0 ；(D) (7 x 6 y)d x ( x y)d y 0 ．答(B).2. 微分方程 5 y 4 yxy 2 y (3) 0 的阶数是 ( )．(A) 1 ；(B)2 ；( C ) 3； (D) 4；答(C) .3. 以下所给的函数，是微分方程yy 0 的通解的是 ()．(A) y C 1 cos x ；(B) y C 2 sin x ；(C) y cosx C sin x ；( D y) C 1 cosxC 2 sin x答(D).4. 以下微分方程中，可分别变量的方程是()．(A) y e x y ； (B) xyy x ；(C) yxy 1 0 ；(D) ( xy)d x ( x y)d y 0 ．答(A) .5. 以下微分方程中，是齐次方程是微分方程的是()．(A) y e x y ； (B) xy y x 2 ；(C) yxy x 0 ；(D) ( x y)d x (x y)d y 0 ．答(D) .二、填空题1 ．函数 y5x 2 是不是微分方程 xy2y 的解 ?．答：是 .2 ．微分方程 d x d y0, y x34 的解是．答： x 2y 225 ．y x3 ．微分方程 3x 25x 5y0 的通解是．答： yx 3 x 2 C ．524 ．微分方程 xy y ln y 0 的通解是．答： ye Cx .5 ．微分方程 1 x 2 y 1 y 2 的通解是．答： arcsin y arcsin x C ．6 ．微分方程 xyyy(ln yln x) 的通解是．答：ye Cx ．x三、解答题1 ．求以下微分方程的通解．(1) sec 2 x tan yd x sec 2 y tan xd y 0 ；(2) yxya( y 2y ) ；解：解：(3)d y 10x y； (4)( y21)dyx 3 0.d xdx解：解：2 ．求以下微分方程知足所给初始条件的特解：(1) ye 2 x y , y x 0 0 ；(2)y sin xy ln y , y xe ；2解：解：(3) xdy 2 ydx0, y x 2 1；(4) d y 10 x y．d x解：解：3* ．设连续函数 f ( x)2 x tdt ln 2 ，求 f ( x) 的非积分表达式．答： f ( x) e xln 2 ．f2§ 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 以下所给方程中，是一阶微分方程的是 ().dy y 3(ln x) y 2dy2y5(A)； (B) (x1)2dxxdx x 1(C) dy(x y)2 ；( D ) x( y x) dx ( y ．y) d 答 (B) .dxy 2 )d x2. 微分方程 ( x 2xydy 0 的方程种类是 ()．(A) 齐次微分方程；(B) 一阶线性微分方程； (C)可分别变量的微分方程；(D) 全微分方程．答(D) .3. 方程 xyx 2 y 2y 是 ()．(A) 齐次方程；(B) 一阶线性方程； (C) 伯努利方程；(D) 可分别变量方程 . 答 (A) .二、填空题1 ．微分方程dy y e x 的通解为．答： yCe x xe x ．dx． 答： x32 ．微分方程 ( x 2y )dx xdy0的通解为xy C ．33 ．方程 ( x y)(dx dy)dx dy 的通解为．答： x y ln( x y) C ．三、简答题1 ．求以下微分方程的通解：(1) yy cosxe sin x ；(2) x d yy ln y；d xx解：解：(3) xy yx 2 3x 2；(4) y y tan x sin2x ；解：解：(5) ( y26x)d y2y0 ；(6) ey(xe y2 y)dy 0 ；d x解：解：(7) ( a 2 2xy y 2)d x ( x y)2 d y 0 ．解：2 ．求以下微分方程知足所给初始条件的特解．(1) dy3 y 8, y2 ；(2) dyy sin x , y 1 ．dxx 0dxxx x解：解：3* ．求伯努利方程dy3xy xy 2 的通解．dx解：§ 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程 y sin x 的通解是 ().(A)y cosx 1C1 x2 C2 x C3；(B)y cos x C1；2(C)y sin x 1C1x2C2 x C3；(D)y2sin 2x . 22. 微分方程y y xy知足条件 y x 21， y x 21的解是(12 (A)y( x2( B ) y x 2 11) ；2；42(C)y1(x1)21；( D ) y x1 5 ．22243. 对方程y y y 2，以下做法正确的选项是()．(A) 令 y p(x) ， y p 代入求解；(B) 令 y p( y) ， y(C) 按可分别变量的方程求解；( D 按)伯努利方程求解．4. 以下函数组线性有关的是 ().答 (A) ).答(C).p p 代入求解；答(B) .(A)e2 x , 3e2 x;(B)e2 x ,e3x；(C) sin x ,cos x ;e2x,xe2 x．答(A) . ( D )5. 以下方程中，二阶线性微分方程是()．e x；(A)y 2 y( y )30 ；(B)y 2 yy xy(C)y x2 y y23x 2；( D )y2xy x2 y2e x．答(D).6. y1,y2是 y py qy0 的两个解，则其通解是()．(A)y C1 y1y2；(B)y C1 y1C2 y2；(C)y C1 y1C2 y2，此中 y1与 y2线性有关；(D)y C1 y1C2 y2，此中 y1与 y2线性没关．答(D) .7. 以下函数组线性有关的是().(A)e2 x ,3e2 x；(B)e2 x ,e3 x；(C)sin x ,cosx ；(D)e2 x ,xe2 x．答(A) .二、填空题1．微分方程y x sin x 的通解为y x3C1 x C2 .．答：sin x6 2．微分方程y y x 的通解为．答：y C1e x x2x C2 .2三、简答题1．求以下微分方程的通解．1(1)y1( y )2；(2)y( y )2．2解：解：2．求方程y x( y )20 知足条件 y x 1 2 ， y x 1 1 的特解．解：§二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 以下函数中，不是微分方程y y 0 的解的是()．(A) y sin x ；(B) y cosx ；(C) y e x；(D) y sin x cosx ．答(C).2. 以下微分方程中，通解是y C1e x C2 e3 x的方程是()．(A)y2y 3 y0 ；(B)y2y5y0 ；(C)y y2y0 ；(D)y 2 y y0 ．答(A) .3. 以下微分方程中，通解是y C e x C xe x的方程是()．12(A)y2y y0 ；(B)y 2 y y0 ；(C)y2 y y0；(D)y 2 y 4 y0．答(B).4. 以下微分方程中，通解是y e x (C1 cos2x C2 sin 2x) 的方程是()．(A)y2y 4 y0 ；(B)y 2 y4y0(C)y2y 5 y0 ；(D)y 2 y 5 y0 ．答(D).5. 若方程y py qy0的系数知足 1p q0 ，则方程的一个解是()．(A)x ；(B)e x；(C)e x；(D)sin x ．答(B).6*.设 y f ( x) 是方程 y2y2y0 的一个解，若 f ( x0 )0, f ( x0 )0 ，则 f ( x) 在 x x0处()．(A)x0的某邻域内单一减少；( B x)0的某邻域内单一增添；(C)取极大值；(D)取极小值．答(C).二、填空题1．微分方程的通解为y4y0 的通解为．答： y C1C2 e4x．2．微分方程y y2y0 的通解为．答： y C1e x C2 e 2 x．3．微分方程y 4 y4y0 的通解为．答： y C1e2 x C2 xe2 x．4．微分方程y 4 y0 的通解为．答： y C1 cos2x C2 sin 2x ．5．方程y6y13y0 的通解为．答： y e 3x (C1 cos2x C2 sin 2x) ．三、简答题1．求以下微分方程的通解：(1)y y2y0 ；(2)4 d2 x20 dx25x0 ．dt2dt解：解：2．求以下方程知足初始条件的特解．(1)y4y 3 y0 , y x0 10, y x0 6 ；(2)y25y 0 , y x 05,y x 0 2．解：解：§二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程y y x2的一个特解应拥有形式()．(A)Ax2；(B)Ax2Bx ；(C)Ax2Bx C ；(D)x( Ax2Bx C) ．答(C).2. 微分方程y y x 2的一个特解应拥有形式()．(A)Ax2；(B)Ax2Bx ；(C)Ax2Bx C ；(D)x( Ax2Bx C) ．答(C) .3. 微分方程y5y 6 y xe 2 x的一个特解应拥有形式()．(A)Axe 2 x；(B)( Ax B)e 2 x；(C)( Ax2Bx C)e 2 x；( D)x A( x B2x )．e答(B) .4. 微分方程y y 2 y x2 e x的一个特解应拥有形式()．(A)Ax2 e x；(B)( Ax2Bx) e x；(C)x( Ax2Bx C)e x；( D2B x ) A (x5. 微分方程y2y 3 y e x sin x 的一个特解应拥有形式(A)e x ( Acos x B sin x) ；( B ) A e x s i nx；(C)xe x ( Asin x B cosx) ；(D)Axe x sin x二、填空题x C．) e 答 (C) . ()．答(A) .1．微分方程y 4 y x3x 的一个特解形式为答： y*x3x ．48 2．微分方程y 2 y x 的一个特解形式为.答： y*x( Ax B) ．3．微分方程y 5 y 6 y xe x的一个特解形式为.答： y*( Ax B)e x．4．微分方程y 5 y6y xe3 x的一个特解形式为.答： y*x( Ax B) e3 x．5．微分方程y y sin x 的一个特解形式为.答： y*Asin x ．6．微分方程y y sin x 的一个特解形式为.答：y* x( Acos x Bsin x) .三、简答题1．求以下微分方程的通解．：(1) 2 y y y2e x；(2) y 5 y 4 y 3 2x；解：解：(3)y6y9 y(x 1)e2 x．解：。
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
（整理）常微分方程试题及参考答案
（整理）常微分方程试题及参考答案常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件(x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤n|x1-x2|,其中0<n<1,证明< p="">方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-t f(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。
(完整版)〈常微分方程》应用题及答案
应 用 题（每题10分）1、设在上有定义且不恒为零，又存在并对任意恒有()f x (,)-∞∞()f x ',x y ，求。
()()()f x y f x f y +=()f x 2、设，其中函数在内满足以下条件()()()F x fx g x =(),()f x g x (,)-∞∞()(),()(),(0)0,()()2xf xg x g x f x f f x g x e ''===+=（1）求所满足的一阶微分方程；()F x （2）求出的表达式。
()F x 3、已知连续函数满足条件，求。
()f x 320()3x xt f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰()f x 4、已知函数在内可导，，且满足()f x (0,)+∞()0,lim ()1x f x f x →+∞>=，求。
110()lim ()h x h f x hx e f x →⎛⎫+ ⎪= ⎪⎪⎝⎭()f x 5、设函数在内连续，，且对所有，满足条件()f x (0,)+∞5(1)2f =,(0,)x t ∈+∞，求。
111()()()xt x tf u du t f u du x f u du =+⎰⎰⎰()f x 6、求连续函数，使它满足。
()f x 1()()sin f tx dt f x x x =+⋅⎰7、已知可微函数满足，试求。
()f t 31()()1()xf t dt f x t f t t =-+⎰()f x 8、设有微分方程 ， 其中。
试求在内的连续函'2()y y x ϕ-=21()01x x x ϕ<⎧=⎨>⎩(,)-∞∞数使之在和内部满足所给方程，且满足条件。
()y y x =(,1)-∞()1,+∞(0)0y =9、设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法线与轴()y f x =12⎫⎪⎪⎭(,)P x y y 的交点为Q ，且线段PQ 被轴平分。
微分方程部分测试--参考标准答案
解方程2121dy x y dx x y -+=-+。
解. 解方程组{210,210,x y x y -+=-+=得11,33x y =-=。
令1,31,3x z y y =-=+⎧⎨⎩代入原方程，则有22d y z ydz z y-=-。
再令y u z =，即y uz =，则上式化为()()21221u dudzzu u -=-+， 两边同时积分，得()22ln1ln u u z c -++=，即()22ln y z y z c -+=。
所以，原方程的通解为：2211111ln 3333y x y x c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，化简为22x y xy x y c +-+-=。
这里113c c e =-，1c 为任意常数。
2、解方程22y x y dx dy -=。
解 将原方程改为2dx x y dy y=-，这是一个以x 为函数，y 为自变量的一阶线性微分方程。
容易求得其齐次方程2dx x dy y=的解为 2x cy =。
令原方程的解为2()x c y y =，对其两边关于y 求导，得到2()2()dx dc x y c y dy dy=+，并代入原方程得到 ()1dc y dy y=-，积分得到()ln ||c y y c =-+。
因此原方程的通解为2(ln ||)x y c y =-。
3、解方程 1yxdy exe dx -⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
解 原方程可以变形为 ()()x y d y x xe dx++=即()()x y e d x y xdx -++=。
积分之，则得到()22x y x e c -++= 这就是原方程的通解。
4、解方程 23222(32)3(2)0xyx dx x y y dy +++=。
解 因为12M xy y ∂=∂，12Nxy x∂=∂，故方程是恰当微分方程。
把方程重新“分项组合”，得到 ()223266430xy dx x ydy x dx y dy +++=，即 ()224330d x yx y ++=，于是，方程的通解为22433x y x y c ++=，这里c 是任意常数。
微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A).5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D).二、填空题1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .2．微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+．6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x=． 三、解答题1．求下列微分方程的通解．(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：(3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解： 解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==；解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x+=． 解： 解：3*．设连续函数20()d ln 22xt f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =⋅． §12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( )．(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1．微分方程d d x y ye x-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：33x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=． 三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x=； 解： 解：(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=；解： 解： (5) 2d (6)20d y y x y x-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==． 解： 解：3*．求伯努利方程2d 3d y xy xy x-=的通解． 解：§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-； (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭； (C)211(1)22y x =-+； (D )21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解． 答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ； (C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ． 答(A).5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=． 答(D).6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关． 答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ． 答(A).二、填空题1．微分方程sin y x x ''=+的通解为． 答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为． 答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1．求下列微分方程的通解． (1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=． 解： 解：2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．解：§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．(A)sin y x =； (B)cos y x =；(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+． 答(C).2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．(A)230y y y '''--=； (B )25y y y '''-+=； (C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=． 答(A).3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=． 答(B).4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=； (D )250y y y '''-+=． 答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ． 答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处( )．(A)0x 的某邻域内单调减少； (B )0x的某邻域内单调增加； (C) 取极大值； (D) 取极小值． 答(C).二、填空题1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为 ． 答：412x y C C e =+．2．微分方程20y y y '''+-=的通解为 ． 答：212x x y C e C e -=+．3．微分方程440y y y '''-+=的通解为 ． 答：2212x x y C e C xe =+．4．微分方程40y y ''+=的通解为 ． 答：12cos2sin 2y C x C x =+．5．方程6130y y y '''++=的通解为 ． 答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=． 解： 解：2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y=='''+===．解： 解： §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+． 答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++． 答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．(A)(cos sin )x e A x B x +； (B )s i n x A e x ；(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为 答：3*48x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1．求下列微分方程的通解．：(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-；解： 解：(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．解：。
考研微分方程试题及答案
考研微分方程试题及答案1. 已知微分方程 \( y'' - 4y = 0 \)，求通解。
答案：通解为 \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \)，其中\( C_1 \) 和 \( C_2 \) 为任意常数。
2. 解微分方程 \( y' + 2xy = 0 \)。
答案：首先分离变量，得到 \( \frac{dy}{dx} = -2xy \)，然后两边同时积分，得到 \( \ln|y| = -x^2 + C \)，即 \( y = Ce^{-x^2} \)。
3. 求解微分方程 \( y'' + 3y' + 2y = e^{-x} \)。
答案：首先求齐次方程的通解 \( y_h = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x} \)，然后求特解。
设特解为 \( y_p = Axe^{-x} \)，代入原方程得到 \( A = 1 \)，所以特解为 \( y_p = e^{-x} \)。
因此，通解为\( y = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x} + e^{-x} \)。
4. 已知 \( y'' - 2y' + y = \sin(x) \)，求微分方程的特解。
答案：特解可设为 \( y_p = A\cos(x) + B\sin(x) \)，代入原方程得到 \( A = \frac{1}{2} \)，\( B = 0 \)，所以特解为\( y_p = \frac{1}{2}\cos(x) \)。
5. 求解微分方程 \( y'' - 6y' + 9y = 0 \)。
答案：这是一个特征方程 \( r^2 - 6r + 9 = 0 \) 的齐次方程，解得 \( r = 3 \)（重根），所以通解为 \( y = (C_1 + C_2x)e^{3x} \)。
6. 已知 \( y'' - 4y' + 4y = 0 \)，求其通解。
微分方程期末试题及答案
微分方程期末试题及答案1. 试题（1）求解微分方程：dy/dx = x^2 + 2x.（2）求解初值问题：dy/dx = 2x - 3, y(0) = 1.（3）求解微分方程：y'' + 4y' + 4y = 0.（4）求解初值问题：y'' - 4y' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2.2. 解答（1）解微分方程：dy/dx = x^2 + 2x.对方程两边同时积分，得到:∫dy = ∫(x^2 + 2x)dx.得到 y = (1/3)x^3 + x^2 + C.其中C为常数。
（2）求解初值问题：dy/dx = 2x - 3, y(0) = 1.对方程两边同时积分，得到:∫dy = ∫(2x - 3)dx.得到 y = x^2 - 3x + C.根据初值条件 y(0) = 1，代入可得C = 1，因此 y = x^2 - 3x + 1.（3）解微分方程：y'' + 4y' + 4y = 0.首先求特征方程：r^2 + 4r + 4 = 0.解此二次方程，得到 r = -2.（重根）因此通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1，C2为常数。
（4）求解初值问题：y'' - 4y' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2.首先求特征方程：r^2 - 4r + 4 = 0.解此二次方程，得到 r = 2.（重根）因此通解为 y = (C1 + C2x)e^(2x)，其中C1，C2为常数。
根据初值条件 y(0) = 1，代入可得C1 = 1.根据初值条件 y'(0) = 2，对通解求导得到 y' = (C1 + 2C2x)e^(2x) + C2e^(2x)，代入 x = 0 可得 C1 = 2C2 + 1.解得 C1 = 1，C2 = 0，因此 y = (1 + x)e^(2x).3. 答案（1）微分方程：dy/dx = x^2 + 2x 的解为 y = (1/3)x^3 + x^2 + C.（2）初值问题：dy/dx = 2x - 3, y(0) = 1 的解为 y = x^2 - 3x + 1.（3）微分方程：y'' + 4y' + 4y = 0 的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x).（4）初值问题：y'' - 4y' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2 的解为 y = (1 + x)e^(2x).注意：以上都是根据给定的微分方程和初值条件求解得到的解答。
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3-38-89、 , ,
3-39-90、 , ,
3-40-91、
3-41-92、
3-42-93、
3-43-94、
3-44-95、 , ,
3-45-96、 , ,
3-46-97、 , ,
3-47-98、 , ,
3-48-99、 , ,
3-49-100、 , ,
3-50-101、
3-51-102、
第十章微分方程习题
一
1-1-40、微分方程 的阶数是.
1-2-41、微分方程 的阶数是.
1-3-42、微分方程 的阶数是.
1-4-43、 的阶数是.
1-5-44、微分方程 满足条件 的特解是.
1-6-45、微分方程 的通解是.
1-7-46、方程 的通解是.
1-8-47、方程 的通解是.
1-9-48、方程 的通解是.
A. B. C. D.
2-17-72、齐次方程 化为可分离变量的方程,应作变换( )
A. B. C. D.
2-18-73、设方程 有两个不同的解 ,若 也是方程的解,则( )
A. B. C. D. 为任意常数
2-19-74、方程 的通解是( )
A. B. C. D.
2-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是()
根据解得 ,即
将 代入上式得 ,故
而 ,得
积分得 ,将 代入上式得 ,
所以鱼雷的航行曲线为
490．根据经验可知,某产品的纯利润 与广告支出 有如下关系 ，（其中 ）,若不做广告,即 时纯利润为 ,且 ,试求纯利润 与广告费 之间的函数关系.
A. 6 B.5 C. 4D. 3
2-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于 ，则这条曲线是()
A.椭圆B.抛物线C.双曲线D.圆
2-27-82、下列可分离变量的方程是( )
A. B.
C. D.
2-28-83、微分方程 的通解是( )
A. B. C. D.
2-29-84、已知微分方程 的通解为 ,则 的值()
489.如图,位于坐标原点的我舰向位于 轴上 点处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷始终对准敌舰,设敌舰以常数 沿平行与 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为 ,求鱼雷的航行曲线方程.
解：设鱼雷的航行曲线方程为 ,在时刻 ,鱼雷的坐标巍巍 ,敌舰的坐标为 .
因鱼雷始终对准敌舰,故 ,又弧 的长度为 ,
从以上两式消去 得 ,即
1-17-56、方程 化为齐次方程是.
1-18-57、通解为 为任意常数)的微分方程为.
1-19-58、方程 满足条件 的特解是.
1-19-59、方程 化为可分离变量方程是
1-20-60、方程 的通解是
1-21-61、方程 化为齐次方程是
1-22-62、若 是微分方程 的解,则 .
1-23-63、若 满足 ,则 .
A. B. C. D.
2-12-67、 的通解为 ( )
A. B. C. D.
2-13-68、微分方程 满足 的特解为( )
A. B. C. D.
2-14-69、微分方程 的通解是( )
A. B. C. D.
2-15-70、微分方程 的通解是( )
A. B. C. D.
2-16-71、过点 的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )
解：依题意: , ,解之得通解 ,将 代入通解得
,所以国民收入函数为
492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.
解：设在某一时刻 ,商品的价格为 ,因供需差价,促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断地调节价格,就构成了市场价格形成的动态过程.
假设价格 的变化率 与需求和供给之差成正比.记需求函数为 ,供给函数为 ,其中 为参数.于是得微分方程 , ,其中 为 时商品的价格, 为正常数.
3-52-103、
3-53-104、
3-54-105、
3-55-106、 , ,
3-56-107、 , ,
3-57-108、 , ,
3-58-109、 , ,
3-59-110、
四
4-1-9、一曲线通过点 ,它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分,求这曲线方程.
4-2-10、已知 ,求函数
4-3-13、求一曲线,这曲线通过原点,并且它在点 处的切线斜率等于 .
4-13-15、在宏观经济研究中,知道某地区的国民收入 ,国民储蓄 和投资 均是时间 的函数,且在任一时刻 ,储蓄 为国民收入 的 ,投资额 是国民收入增长率 的 .设 时国民收入为5(亿元),假定在时刻 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.
4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.
1-30-70、方程 是微分方程 的解.
1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.
1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为.
1-33-73、将微分方程 写成齐次微分方程的标准形式为
二
2-1-56、微分方程 的通解是( )
A. B. C. D.
4-11-13、如图,位于坐标原点的我舰向位于 轴上 点处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷始终对准敌舰,设敌舰以常数 沿平行与 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为 ,求鱼雷的航行曲线方程.
4-12-14、根据经验可知,某产品的纯利润 与广告支出 有如下关系 ，（其中 ）,若不做广告,即 时纯利润为 ,且 ,试求纯利润 与广告费 之间的函数关系.
=
将 代入通解得
488.设质量为 的物体在高空中静止下落,空气对物体运动的阻力与速度成正比.求物体下落的数率 与时间 的关系,再求物体下落距离与时间 的关系
解：.物体重力为 ,阻力为 ,其中 是重力加速度, 是比例系数.
由牛顿第二定律得 ,从而得线性方程 ,
,将 代入通解得
,再积分得 ,
将 代入求得
2-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是( )
A. B.
C. D.
2-8-63、微分方程 的通解是( )
A. B. C. D.
2-9-64、已知微分方程 的通解为 ,则 的值是()
A.1 B.0C. D.
2-10-65、微分方程 的通解是( )
A. B. C. D.
2-11-66、方程 的通解是( )
解：依题意得 , ,解可分离变量得微分方程,得通解
,将 代入通解,得 ,所以纯利润 与广告费 之间的函数关系为 .
491．
在宏观经济研究中,知道某地区的国民收入 ,国民储蓄 和投资 均是时间 的函数,且在任一时刻 ,储蓄 为国民收入 的 ,投资额 是国民收入增长率 的 .设 时国民收入为5(亿元),假定在时刻 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.
五
5-1-18、设 是二阶齐次线性方程 的两个解,令
证明: 满足方程
5-2-19、设 , , 是线性方程 的3个相异特解,
证明 为一常数.
部分应用题答案
487．在串联电路中,设有电阻R,电感L和交流电动势 ,在时刻 时接通电路,求电流 与时间 的关系( , 为常数).
解.设 ,由回路电压定律 ,即
=
若需求供给函数均为线性函数, , ,则方程为
, ,其中 均为正常数,其解为
下面对所得结果进行讨论:
(1)设 为静态均衡价格,则应满足 ,即 ,
则 ,从而价格函数 ,取极限: .
它表明:市场价格逐步趋于均衡价格.若初始价格 ,则动态价格就维持在均衡价格 上,整个动态过程就变为静态过程.
(2)由于 ,所以当 时, , 单调下降向 靠拢,这说明:初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低,逐渐接近均衡价格;而当初始价格低于均衡价格时,动态价格会逐渐增高,逐渐接近均衡价格.
3-19-70、
3-20-71、 ,
3-21-72、
3-22-73、
3-23-74、
3-24-75、
3-25-76、 ,
3-26-77、 ,
3-27-78、 ,
3-28-79、 ,
3-29-80、
3-30-81、
3-31-82、
3-32-83、
3-33-84、
3-34-85、
3-35-86、
3-36-87、
1-24-64、 的解是
1-25-65、某城市现有人口50(万),设人口的增长率与当时的人口数 (万)和 的积成正比,则该城市人口 所满足的微分方程为
1-26-66、圆 满足的微分方程是
1-27-67、 满足的微分方程是
1-28-68、一阶线性微分方程 的通解是.
1-29-69、已知特征方程的两个根 ,则二阶常系数线性齐次微分方程为.
1-10-49、方程 的通解是.
1-11-50、方程 的通解是.
1-12-51、已知特征方程的两个特征根 则二阶常系数齐次微分方程为
1-13-52、微分方程 的通解为.
1-14-53、微分方程 的通解为.
1-15-54、若 是全微分方程,则 应满足.
1-16-55、与积分方程 等价的微分方程初值问题是.
4-8-10、已知某商品需求量Q对价格 的弹性为 ,最大需求量为 ,求需求函数 .
4-9-11、设质量为 的物体在高空中静止下落,空气对物体运动的阻力与速度成正比.求物体下落的数率 与时间 的关系,再求物体下落距离与时间 的关系
4-10-12、在串联电路中,设有电阻R,电感L和交流电动势 ,在时刻 时接通电路,求电流 与时间 的关系( , 为常数).
A. B. C. D.
2-21-76、曲线上任一点P的切线均与OP垂直的曲线方程是( )
A. B. C. D.
2-22-77、方程 的解是( )