华中科技大学考研数学分析真题答案

2008年华中科技大学招收硕士研究生.

入学考试自命题试题数学分析

一、 求极限1

111lim(1...)23n n I n

→∞=++++

解: 一方面显然1I ≥

另一方面111

1...23n n

++++≤，且1lim 1n n n →∞=

由迫敛性可知1I =。

注：1

lim 1n

n n →∞

=可用如下两种方式证明

1） 1n h =+，则22

(1)2(1)1(2)2n n n n n n n h h h n n

-=+≥+

⇒≤≥ 即lim 0n n h →∞

=，从而1lim 1n

n n →∞

=

2） =有lim 11n n n

n →∞==-。 二、证明2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++为某个函数的全微分，并求它的原函数。

证明：记22(,)38P x y x y xy =+，32(,)812y Q x y x x y ye =++，则

2316P x xy y ∂=+∂，2316Q

x xy x ∂=+∂⇒

P Q y x ∂∂=∂∂ Pdx Qdy ∴+是某个函数的全微分

设原函数为(,)x y Φ，则x y d dx dy Pdx Qdy Φ=Φ+Φ=+

2232238(,)4()x x y xy x y x y x y y ϕ∴Φ=+⇒Φ=++

32328()812y y x x y y x x y ye ϕ'⇒Φ=++=++

()12()12(1)y y y ye y y e C ϕϕ'⇒=⇒=-+

322(,)412(1)y x y x y x y y e C C ∴Φ=++-+所求原函数为（为常数）

三、设Ω是空间区域且不包含原点，其边界∑为封闭光滑曲面：用n 表示∑的单位外法向量，(,,)r x y z =和2r r x y ==+，证明：

cos(,)2n r dS r Ω

∑

=⎰⎰⎰⎰⎰ 证明：设n 的方向余弦为cos ,cos ,cos αβγ。因为r 的方向余弦为,,x y z

r r r

，所以

cos(,)cos cos cos x y z

n r r r r

αβγ=++，由于原点不在空间区域，根据高斯公

式，有

11cos(,)(cos cos cos )22121()()()2x y z

n r dS dS r r r x y z

dydz dzdx dxdy r r r

x y z dxdydz x r y r z r dxdydz r αβγ∑∑∑ΩΩ

=++=

++⎛⎫

∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

注：当原点也在该区域时，结论也成立，详细参考课本P296第8题答案。

四、设()f t 为连续函数，证明：11()()()()1b y b n

n a a a dy y x f x dx b x f x dx n +-=-+⎰⎰⎰ 证明：记(,)()()n F x y y x f x =-，{(,)|,}D x y a x y a y b =≤≤≤≤

由于()f t 为连续函数，故(,)F x y 在D 上连续，从而在D 上可积。

而对每个[,]y a b ∈，(,)y

a

F x y dx ⎰存在，

从而累次积分(,)b

y

a

a

dy F x y dx ⎰⎰也存在，同理(,)b x

a

a

dx F x y dy ⎰⎰也存在。于是

(,)(,)(,)b

y b x

a

a

a

a

D

F x y dxdy dy F x y dx dx F x y dy ==⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

即

11()()()()1b

y

b

n

n a

a

a

dy y x f x dx b x f x dx n +-=-+⎰

⎰

⎰ 五、设1x =11,2,3,...)n x n +==，证明{}n x 收敛并求其极限。

2n x ≤≤，即{}n x 有界。

另一方面2117

)024

n n n x x x +-==-+≥

于是{}n x 单调，从而{}n x 收敛。 设lim n n x x →∞

=，则x =解得2x =

n n →∞

六、设反常积分0

()f x dx ∞⎰绝对收敛且lim ()0x f x →∞

=，证明20

()f x dx ∞

⎰收敛。

证明：由于lim ()0x f x →∞

=，故10A ∃>，当1x A >时，()1f x <，此时2()()f x f x <

再由0

()f x dx ∞⎰绝对收敛知，对0ε∀>，20A ∃>有2

()A f x dx ε∞

<⎰

取12max{,}A A A =，则2

2()()()A

A

A f x dx f x dx f x dx ε∞∞∞

≤≤<⎰⎰⎰

故20

()f x dx ∞

⎰收敛。

注：这里还差0不是 ()f x 的瑕点这一条件，若不然讨论32

sin x xdx ∞-

⎰

由下题可知32

sin x xdx ∞-

⎰绝对收敛，但23

sin x

dx x ∞

⎰

发散。这是因为 230

0sin 14x dx dx x x δ

δ>⎰

⎰发散；2

33sin 1x dx dx x x

δδ∞∞<⎰⎰收敛。 七、讨论反常积分0

sin p

x

dx x ∞

⎰的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）

，其中0p >为常数。 解：记1120

01sin sin sin p p p x x x I dx dx dx I I x x x

∞∞==+=+⎰

⎰⎰ 1） 先讨论1I （可以用瑕积分收敛判别的推论）

由0sin lim

1x x x →=可知，0δ∃>，当0x δ<<时，1sin 322x x <<

110sin sin p p x x I dx dx x x

δδ=+⎰⎰，1sin p x dx x δ⎰是定积分，只需考虑0sin p x

dx x δ⎰ 当02p <<时，1sin 32p p x x x

-<，由103

(2)2p dx p x δ-<⎰收敛知0sin p x dx x δ⎰收敛，且

绝对收敛；

当2p ≥时，1sin 12p p x x x

->，由101

(2)2p dx p x δ-≥⎰发散知0sin p x dx x δ⎰发散。 2） 再讨论2I

当1p >时，sin 1

p p x x x ≤，由11p dx x ∞⎰收敛知1sin p

x dx x ∞⎰绝对收敛

当01p <≤时，

1

sin p x

dx x

∞

⎰

条件收敛，这是由于对任意1u ≥，有