椭圆的定义与标准方程ppt课件
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椭圆及其标准方程ppt课件
F2
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2
2
+ 2
=1
2
2
−
你可以在图中找出表示a，c，b的线段吗？
2 2
+ 2=1
2
M
F1
O
F2
二、椭圆的标准方程
椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆上任意一点M都满
足|MF1|+|MF2|=2a，则椭圆的标准方程为
M
2 2
LET’S START
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
具有何种几何特征才是椭圆呢？
具有何种几何特征才是椭圆呢？
b
1
a
一、椭圆的定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大
于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，
椭圆：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
|PF1|+|PF2|=2aLeabharlann > 2c椭圆的标准方程：
焦点在x轴：
其中，a>b>0，且a2=b2+c2
焦点在y轴：
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
M
设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0)
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2 − = ( − )2 + 2
F1
O
F2
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
椭圆的标准方程ppt课件
则: MF1 + MF2 =2a 即: (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
04:07
所以 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得: (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
F1 O
x2 y2 1(a b 0)
F2 x
a2 b2
根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，
c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此
椭圆的标准方程为
x2
y2
1
04:07
2.25 0.81
例4、将圆x2+y2=4上的点的横坐标 保持不变，纵坐标变为原来的一 半，求所得曲线的方程，并说明 它是什么曲线.
Y M 求椭圆的方程
F1
O
F2 X YM
F1
O
F2 X
如图所示： F1、F2为两定点，且 F1F2 =2c， 求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a （2a>2c)的动点M的轨迹方程。
04:07
Y M (x,y)
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点 为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、 F设2的M坐（标x,y分)为别所为求(-c轨,0迹)、上(c的,0任)。意一点，
a2 16,b2 8
c2 a2 b2 16 8 8
c 2 2 2c 4 2
焦点为：F1(1, 0), F2 (1, 0)
焦距为： 2
焦点为：F1(0, 2 2), F2(0, 2 2) 焦距为： 4 2
04:07
所以 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得: (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
F1 O
x2 y2 1(a b 0)
F2 x
a2 b2
根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，
c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此
椭圆的标准方程为
x2
y2
1
04:07
2.25 0.81
例4、将圆x2+y2=4上的点的横坐标 保持不变，纵坐标变为原来的一 半，求所得曲线的方程，并说明 它是什么曲线.
Y M 求椭圆的方程
F1
O
F2 X YM
F1
O
F2 X
如图所示： F1、F2为两定点，且 F1F2 =2c， 求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a （2a>2c)的动点M的轨迹方程。
04:07
Y M (x,y)
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点 为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、 F设2的M坐（标x,y分)为别所为求(-c轨,0迹)、上(c的,0任)。意一点，
a2 16,b2 8
c2 a2 b2 16 8 8
c 2 2 2c 4 2
焦点为：F1(1, 0), F2 (1, 0)
焦距为： 2
焦点为：F1(0, 2 2), F2(0, 2 2) 焦距为： 4 2
椭圆及其标准方程ppt课件
依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
椭圆ppt课件
02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
椭圆的定义与标准方程(公开课)课件
2、写出适合条件 P（M） ;
3、用坐标表示条件P（M），列出方程 ;
4、化方程为最简形式。
2021/2/4
1
18
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
M
F2
M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的
因此 c4,a5, b 2 a 2 c 2 2 5 1 6 9所求方程为 x2 y2 1
25 9
2021/2/4
1
30
练习3.已知方程 x 2 + y表2 =示1 焦点在x轴
4m
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4.)
变1：已知方程
x2 + y2 = 1 m -1 3- m
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值
直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)
2021/2/4
1
19
y
设P (x, y)是椭圆上任意一点，
Ｐ(x , y)
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)， 则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . F1 0 P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
x F2
由椭圆的定义得，限制条件： |P1|F |P2F |2 a
个轴20上21/2/。4 并且哪个大1哪个就是a2
23
♦再认识！
标准方程
不
图形
同
点
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
3、用坐标表示条件P（M），列出方程 ;
4、化方程为最简形式。
2021/2/4
1
18
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
M
F2
M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的
因此 c4,a5, b 2 a 2 c 2 2 5 1 6 9所求方程为 x2 y2 1
25 9
2021/2/4
1
30
练习3.已知方程 x 2 + y表2 =示1 焦点在x轴
4m
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4.)
变1：已知方程
x2 + y2 = 1 m -1 3- m
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值
直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)
2021/2/4
1
19
y
设P (x, y)是椭圆上任意一点，
Ｐ(x , y)
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)， 则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . F1 0 P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
x F2
由椭圆的定义得，限制条件： |P1|F |P2F |2 a
个轴20上21/2/。4 并且哪个大1哪个就是a2
23
♦再认识！
标准方程
不
图形
同
点
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
椭圆的定义及与标准方程PPT
人教版普通高级中学教科书（选修二） §2.2 椭圆的定义与标准方程
重庆师范大学
龙婷婷
说课构思
教材分析
教学目标
教学过程
学情分析 教法学法
教材分析
椭圆的定义与标准方程是研究椭圆几何 性质的基础，为进一步研究双曲线、抛物线 提供了基本模式，它的学习方法对这一章具 有导向和引领作用。因此本节课具有承前启
点拨:怎样建系可以使 方程尽可能简单?
点拨:化简的目的是什 么?有怎样的方法?
直接 平方
x c2 y 2 x c2 y 2
2a
移项平方
x c2 y 2 4a 2 4a x c2 y 2 x c2 y 2
a cx a
后的作用，也是本章的重点内容。
重点
关键点
难点
理解椭圆的定义
教学重点
求椭圆的标准方程
椭圆标准方程的推导
教学难点
椭圆标准方程性质的运用
如何建立坐标系
教学关键点
如何化简方程
能力目标 知识目标
1、理解椭圆的 定义 2、椭圆的标准 方程 3、几何、代数 相互转化 4、数学建模
1、提高动手 能力 2、合作学习 能力 3、运用知识 解决实际问题 的能力
1 2 1 2
1
2
1 2
怎么得到椭圆 的方程呢？
二、椭圆的标准方程
例：已知点F1,F2为椭圆上两个焦点,P为椭圆上任 ac0 ， | PF 意一点,且 | F F | 2c ， 1 | | PF 2 | 2a ,其中 求椭圆方程？
1 2
一般步骤: (1) (2) (3) (4)
建系设点 写出点的集合 写出代数方程 化简方程
y x 2 1a b 0 2 a b
重庆师范大学
龙婷婷
说课构思
教材分析
教学目标
教学过程
学情分析 教法学法
教材分析
椭圆的定义与标准方程是研究椭圆几何 性质的基础，为进一步研究双曲线、抛物线 提供了基本模式，它的学习方法对这一章具 有导向和引领作用。因此本节课具有承前启
点拨:怎样建系可以使 方程尽可能简单?
点拨:化简的目的是什 么?有怎样的方法?
直接 平方
x c2 y 2 x c2 y 2
2a
移项平方
x c2 y 2 4a 2 4a x c2 y 2 x c2 y 2
a cx a
后的作用，也是本章的重点内容。
重点
关键点
难点
理解椭圆的定义
教学重点
求椭圆的标准方程
椭圆标准方程的推导
教学难点
椭圆标准方程性质的运用
如何建立坐标系
教学关键点
如何化简方程
能力目标 知识目标
1、理解椭圆的 定义 2、椭圆的标准 方程 3、几何、代数 相互转化 4、数学建模
1、提高动手 能力 2、合作学习 能力 3、运用知识 解决实际问题 的能力
1 2 1 2
1
2
1 2
怎么得到椭圆 的方程呢？
二、椭圆的标准方程
例：已知点F1,F2为椭圆上两个焦点,P为椭圆上任 ac0 ， | PF 意一点,且 | F F | 2c ， 1 | | PF 2 | 2a ,其中 求椭圆方程？
1 2
一般步骤: (1) (2) (3) (4)
建系设点 写出点的集合 写出代数方程 化简方程
y x 2 1a b 0 2 a b
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
椭圆的定义及标准方程ppt课件
于两个定点之间的距离
15
（一）椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。
椭圆定义的符号表述：
M
(2a>2c)
F2
F1
16
二、椭圆标准方程的推导
24
四 课时小结 1. 学习了椭圆的定义，焦点、焦距， 2. 求出了焦点在X轴上的椭圆标准方程
3 . a、b、c始终满足：a2-b2=c2, a＞b＞0
25
五 堂堂清
1 椭圆 x2 y2 1的焦距是（ B ）
43
A1 B 2 C4 D2 3
F1
2已知焦点F1(-6，0)，F2(6，0)，2a=20的椭圆标准方程
b2 a2 c2 41 3
因此，这个椭圆的标准方程是：x2 y2 1 43
23
1.求适合下列条件的椭圆方程 1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上 2.b=1，c 15 焦点在X轴上
小结： 1 先定位(焦点)
根据焦点位置设出恰当的方程
2 再定量(a,b,c) 3 代入标准方程即可求得
x2 y2 1
100 64
26
x2 y2 3 椭圆 100 36 1 上的一点P到焦点F1的距离等于6
14
那么点P到另外的一个焦点F2的距离是_____
27
4已知方程
表示焦点在x轴
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4.)
28
链接高考
x2 y2
1
1、 已知F1，F2 是椭圆 25 9
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x F2
由椭圆的定义得，限制条件： | PF1 | | PF2 | 2a
由于 | PF1 | (x c)2 y2 ,| PF2 | (x c)2 y2
得方程
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（问题：下面怎样化简？）
13
移项，再平方 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
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1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
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回忆圆标 准方程推 导步骤
结论：若把绳长记为2a，两定点间
的距离记为2c(c≠0).
（1）当2a>2c时，轨迹是
；
（2）当2a=2c时，轨迹
是
；
（3）当2a<2c时，
16 25
其焦点坐标为 (0,3)、(0,-3)
.
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例2.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上
每一点到两焦点距离的和。
(1) x2 y2 1 4
(2) x2 y2 1 45
(3)4x2 3y2 4
解：椭圆方程具有形式
x2 a2
y2 b2
1
其中 a 2,b 1
因此 c a2 b2 4 1 3 两焦点坐标为 ( 3,0), ( 3,0)
1
2
3
4
引例：
若取一条长度一定且没有弹性的细绳，把它 的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么 图形？
圆的定义：平面内到
定点的距离等于定长的 点的轨迹是圆
(x a)2 ( y b)2 r2
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探究：
若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在 图板上不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉 紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的 轨迹是什么图形呢？
椭圆上每一点到两焦点的距离之和为 2a 4
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例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0） （4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
.
∴设它的标准方程为:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
∵ 2a=10, 2c=8
F1 o
∴ a=5, c=4
得方程
x2 ( y c)2 x2 ( y c)2 2a
（焦问点题在：x轴下 面 怎(x样 c化)2 简 y？2 ） (x c)2 y2 2a
x2 a2
y2 b2
1(a b 0).
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♦椭圆的标准方程的特点： Y
YM M
F2(0 , c)
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
O
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距。
MF1 MF2 2a F1F2 2c 2a 2c 0时,为椭圆
•[1]平面内----这是大前提
•[2]动点 M 与两个定点F1和F2的距离的和是常数 •[3]常数要大于焦距
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1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
哪一个轴16上。
♦再认识！
标准方程
不
图形
同
点
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2 y P
F1 O F2
x
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2 y
F2 P
O
x
F1
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的
直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)
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y
设P (x, y)是椭圆上任意一点，
Ｐ(x , y)
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)， 则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . F1 0 P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
；
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤：
1、建立适当的坐标系，用有序实数对 （x,y）表示曲线上任意一点M的坐标;
2、写出适合条件 P（M） ; 3、用坐标表示条件P（M），列出方程 ; 4、化方程为最简形式。
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♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F2
M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
a2 cx a (x c)2 y2
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, 所以
a2 c2 0,设a2 c2 b2 (b 0),
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
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三、例题分析
例1.已知椭圆方程为 x2 y2 1 , 25 16
则(1)a= 5 , b= 4 , c= 3 ;
(2)焦点在 x 轴上,其焦点坐标为 (-3,0)、(3,0) ,
焦距为 6 。
(3)若椭圆方程为 x2 y2 1 ,
b2 x2 a2 y 2 a2b2
两边除以 a 2b 2得
x2 a2
y2 b2
1(a b 0).
椭圆的标 准方程
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刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程， 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？
由椭圆的定义得，限制条件： | PF1 | | PF2 | 2a
由于 | PF1 | x2 ( y c)2 ,| PF2 | x2 ( y c)2
X
F1(0,-c)
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
y
p
思考：如
何定义椭
F1
0
F2
x
圆？
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♦如何定义椭圆?
圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
的点的集合叫圆.
椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之
和为固定值(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫作椭圆.
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1、椭圆的定义：
M
F1
F2
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。