椭圆的定义与标准方程ppt课件

得方程
x2 ( y c)2 x2 ( y c)2 2a
（焦问点题在：x轴下 面 怎(x样 c化)2 简 y？2 ） (x c)2 y2 2a
x2 a2
y2 b2
1(a b 0).
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♦椭圆的标准方程的特点： Y
YM M
F2(0 , c)
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
O
；
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤：
1、建立适当的坐标系，用有序实数对 （x,y）表示曲线上任意一点M的坐标;
2、写出适合条件 P（M） ; 3、用坐标表示条件P（M），列出方程 ; 4、化方程为最简形式。
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♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
M
F2
M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距。
MF1 MF2 2a F1F2 2c 2a 2c 0时,为椭圆
•[1]平面内----这是大前提
•[2]动点 M 与两个定点F1和F2的距离的和是常数 •[3]常数要大于焦距
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1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
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1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
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回忆圆标 准方程推 导步骤
结论：若把绳长记为2a，两定点间
的距离记为2c(c≠0).
（1）当2a>2c时，轨迹是
；
（2）当2a=2c时，轨迹
是
；
（3）当2a<2c时，
a2 cx a (x c)2 y2
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, 所以
a2 c2 0,设a2 c2 b2 (b 0),
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的
直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)
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y
设P (x, y)是椭圆上任意一点，
Ｐ(x , y)
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)， 则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . F1 0 P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
Hale Waihona Puke Baidu
x F2
由椭圆的定义得，限制条件： | PF1 | | PF2 | 2a
由于 | PF1 | (x c)2 y2 ,| PF2 | (x c)2 y2
得方程
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（问题：下面怎样化简？）
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移项，再平方 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
哪一个轴16上。
♦再认识！
标准方程
不
图形
同
点
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2 y P
F1 O F2
x
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2 y
F2 P
O
x
F1
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
X
F1(0,-c)
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
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三、例题分析
例1.已知椭圆方程为 x2 y2 1 , 25 16
则(1)a= 5 , b= 4 , c= 3 ;
(2)焦点在 x 轴上,其焦点坐标为 (-3,0)、(3,0) ,
焦距为 6 。
(3)若椭圆方程为 x2 y2 1 ,
椭圆上每一点到两焦点的距离之和为 2a 4
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例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0） （4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
.
∴设它的标准方程为:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
∵ 2a=10, 2c=8
F1 o
∴ a=5, c=4
1
2
3
4
引例：
若取一条长度一定且没有弹性的细绳，把它 的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么 图形？
圆的定义：平面内到
定点的距离等于定长的 点的轨迹是圆
(x a)2 ( y b)2 r2
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探究：
若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在 图板上不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉 紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的 轨迹是什么图形呢？
y
p
思考：如
何定义椭
F1
0
F2
x
圆？
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♦如何定义椭圆?
圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
的点的集合叫圆.
椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之
和为固定值(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫作椭圆.
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1、椭圆的定义：
M
F1
F2
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
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其焦点坐标为 (0,3)、(0,-3)
.
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例2.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上
每一点到两焦点距离的和。
(1) x2 y2 1 4
(2) x2 y2 1 45
(3)4x2 3y2 4
解：椭圆方程具有形式
x2 a2
y2 b2
1
其中 a 2,b 1
因此 c a2 b2 4 1 3 两焦点坐标为 ( 3,0), ( 3,0)
b2 x2 a2 y 2 a2b2
两边除以 a 2b 2得
x2 a2
y2 b2
1(a b 0).
椭圆的标 准方程
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刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程， 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？
由椭圆的定义得，限制条件： | PF1 | | PF2 | 2a
由于 | PF1 | x2 ( y c)2 ,| PF2 | x2 ( y c)2