专题九坐标平面上的直线
八年级数学下册专题九反比例函数中k的几何意义作业新版华东师大版
1．如图，在平面直角坐标系中，A 是反比例函数 y＝k 在第二象限的图象上的 x
点，过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于点 B，点 C 在 x 轴上．若△ABC 的面积为 8，则
k 的值为___－__1_6___．
2．如图，点 P(x，y)在双曲线 y＝k x
的直线 l∥y 轴，且直线 l 分别与反比例函数 y＝8 和 y＝k 的图象交于 P，Q 两点．若
x
x
S△POQ＝15，则 k 的值为( D )
A．38 B．22 C．－7 D．－22
10．如图，直线 l⊥x 轴于点 P，且与反比例函数 y1＝kx1 (x>0)及 y2＝kx2 (x>0)的
图象分别交于 A，B 两点，连结 OA，OB.已知△OAB 的面积为 4，则 k1－k2＝__8__．
x
8．如图，点 A 在双曲线 y＝3 (x>0)上，点 B 在双曲线 y＝k (k≠0，x>0)，AB
x
x
∥x 轴，分别过点 A，B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 D，C.若矩形 ABCD 的面积是 8，
则 k 的值为( D )
A.5 B．7 C．9 D．11
9．(内江中考)如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M
11．如图，过 x 轴上任意一点 P 作 y 轴的平行线，分别与反比例函数 y＝3 (x>0)， x
y＝－6x (x>0)的图象交于 A 点和 B 点．若 C 为 y 轴上任意一点，连结 AC，BC，则 9
△ABC 的面积为____2_____．
的图象上，PA⊥x 轴，垂足为 A，若 S△AOP
＝2，则该反比例函数的表达式为___y_＝__－__4x____．
2024年新高考版数学专题1_9.5 圆锥曲线的综合问题(分层集训)
解析 (1)设动点P的坐标为(x,y),因为| PF | = 5 ,
d5
所以
(x 1)2 y2
=
5 ,即5[(x+1)2+y2]=|x+5|2,整理得 x2 + y2 =1.所以动点P的
| x5|
5
54
轨迹方程为 x2 + y2 =1.
54
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由(1)可得点A的坐标为(0,-2),故直线AM:y=
AC
·BC
=1,
则点C的轨迹为 ( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
答案 A
3.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,8)已知圆C的方程为(x-1)2
+y2=16,B(-1,0),A为圆C上任意一点,若点P为线段AB的垂直平分线与直线
AC的交点,则点P的轨迹方程为 ( )
A. x2 + y2 =1
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的离心率e=
2 ,四
2
个顶点组成的菱形的面积为8 2 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过☉O:x2+y2= 8
上任意点P作☉O的切线l与椭圆E交于点M,N,求证:
PM
·
3
PN
为定值.
解析 (1)由题意得2ab=8 2 ,e= c = 2 ,a2=b2+c2,
2
3
6
,
0
,∴
PM
=
0,
2
3
6
,
PN
=
0,
2
6 3
,
∴
专题九(动点型问题)
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③如图②， 当EO=EF时， 过点E作EH⊥y轴 于点H ，在△AOE和△BEF中， ∵∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF， ∴△AOE≌△BEF（AAS）。∴BE=AO=2。 ∵EH⊥OB ，∴∠EHB=90°。 ∴∠AOB=∠EHB。 ∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。
4
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中考典例剖析 （二）以双动点为载体，探求结论开放性问题 4 例轴8，.O如A为图y，轴在建矩立形平A面B直CD角中坐，标AO系=3，，设taDn、∠EA分CB别= 是3．线以段OA为C、坐O标C上原的点动，点OC，为它x 们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单 位的速度从点C向点O运动．设运动时间为t（秒） （1）求直线AC的解析式； （2）用含t的代数式表示点D的坐标； （3）在t为何值时，△ODE为直角三角形？ （4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的 抛物线？并请选择一种情况，求出所确定的抛物线的解析式．
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高中数学教师备课必备(直线与方程)：专题九 直线与方程提高训练 含解析
【知识点一：倾斜角与斜率】(1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0③倾斜角α的范围000180α≤<（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为090的直线斜率不存在。
记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时， 00α=，0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时， 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y xx ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3)求斜率的一般方法:①已知直线上两点，根据斜率公式212121()yy k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率;（4)利用斜率证明三点共线的方法: 已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC xx x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k ll =⇔特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行(2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k ll注:两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为—1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直;反过来,两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.【知识点三：直线的方程】（1）直线方程的几种形式问题:过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】。
2020年中考数学压轴题专题9 动态几何定值问题学案(原版+解析)
专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。
解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。
在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA ′D ＝15°时，作∠A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ．①写出旋转角α的度数；②求证：EA ′+EC ＝EF ；（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接PA ，PF ，若AB ＝2，求线段PA +PF 的最小值．（结果保留根号）【举一反三】如图（1），已知∠=90MON o ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PACABOP S S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，AB y BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。
09 专题九：一次函数与平行四边形存在性问题(方法专题)
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，-2），B（4，0），若C是坐标平面内一点，且以A，B，C，O为顶点的平行四边形是_______________________。
【答案】（-2,-2），（6，-2）或（2,2）。
2、已知M（1，1）是AB的中点，若点A的坐标为（3，2）则点B的坐标为_________。
【答案】（-1,0）。
1.线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则线段AB的中点坐标为1212,22x x y y++⎛⎫⎪⎝⎭。
2.平行四边形顶点坐标公式ABCD的顶点坐标分别为A（x A，y A）、B（x B，y B）、C（x C，y C）、D（x D，y D），则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D。
即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等。
解法点睛专题导入一次函数与平行四边形存在性问题3.一个基本事实，确定动点位置如图，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.答案有三种：以AB 为对角线的ACBD 1，以AC 为对角线的ABCD 2，以BC 为对角线的ABD 3C 。
例1、已知：在平面直角坐标系中，点(1,0)A ，点(4,0)B ，点C 在y 轴正半轴上，且2OB OC =．（1）试确定直线BC 的解析式；（2）在平面内确定点M ，使得以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标． 【答案】解：（1）(4,0)B ，4OB ∴=，又2OB OC =，C 在y 轴正半轴上，(0,2)C ∴．设直线BC 的解析式为(0)y kx b k =+≠．过点(4,0)B ，(0,2)C ，∴402k b b +=⎧⎨=⎩， 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为122y x =-+． 专题精析（2）如图，①当BC 为对角线时，易求1(3,2)M ；②当AC 为对角线时，//CM AB ，且CM AB =．所以2(3,2)M -；③当AB 为对角线时，//AC BM ，且AC BM =．则||2y M OC ==，||5x M OB OA =+=，所以3(5,2)M -． 综上所述，符合条件的点M 的坐标是1(3,2)M ，2(3,2)M -，3(5,2)M -．【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线3y kx =-经过点A ，且与y 轴交于点C ，若点M 在直线AB 上运动，点N 在直线AC 上运动，且以O ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，则点M 的坐标 ______ ．【答案】解：把0x =代入4y x =-+得：4y =，即点B 的坐标为：(0,4)，线段OB 的长度为：4，把0y =代入4y x =-+得：40x -+=，解得：4x =，即点A 的坐标为：(4,0)，把点(4,0)A 代入直线3y kx =-的：430k -=，解得：34k =，即直线AC 的解析式为：334y x =-，设点M 的横坐标为m ，则M 的坐标为：(,4)m m -+，根据题意得：点N 的坐标为：3(,3)4m m -当04m <<时，3(4)(3)44m m -+--=， 解得：127m =， 即点M 的坐标为：12(7，16)7， 当4m >时， 3(3)(4)44m m ---+=， 解得：447m =， 即点M 的坐标为：44(7，16)7-， 综上，点M 的坐标为：12(7，16)7或44(7，16)7-，如下图所示： 故答案为：12(7，16)7或44(7，16)7-．2．如图在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，且OA、OB 的长满足|2|0OA -．（1）求AB 的长；（2）若直线y kx b =+与线段AB 交于点E ，与坐标轴分别交于C 、D 两点，且点3(0,)2D ，(1,2)E ，求点C 的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存点P ，使以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：|2|0OA -，2OA ∴=，4OB =，在RtAOB ∆中，根据勾股定理得，AB（2）将点3(0,)2D ，(1,2)E 代入直线y kx b =+中得，232k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线CD 是解析式为1322y x =+， 令0y =，则13022x +=，3x ∴=-， ∴点C 的坐标(3,0)-；（3）如图，连接BC ，由（1）知，2OA =，4OB =，点A 在x轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，(2,0)A∴，(0,4)B，由（2）知，(3,0)C-，5AC∴=，以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，①当AC为边时，//BP AC，5BP AC==，(5,4)P∴-或(5,4)；②当AC为对角线时，点B向下平移4个单位，再向右平移2个单位，∴点C向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点P的坐标(32,04)-+-，(1,4)P∴--，即：点P的坐标为(5,4)-或(5,4)或(1,4)--．例2、如图，在已建立直角坐标系的44⨯正方形方格纸中，若每个小正方形的边长为1，将ABC∆绕点B顺时针旋转90︒到DBE∆（1）求线段BC扫过的面积；（2）平移线段DE后的像为GF，在正方形格点上是否存在点F，G，使得以D，E，F，G为顶点的四边形是菱形，求线段FG所在的直线解析式．【答案】解：（1）2902360Sππ==；（2）当(2,2)F ，(0,3)G 时，D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是菱形，设直线FG 的解析式为y kx b =+，223k b b +=⎧⎨=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，132FG y x =-+； 当(4,2)F ，(2,3)G 时，D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是菱形，设直线FG 的解析式为y mx n =+，4223m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得124m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，142FG y x =-+．【举一反三】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线21y x =-+与坐标轴分别交于A ，B 两点，与直线y x a =+交于点D ，点B 绕点A 顺时针旋转90︒的对应点C 恰好落在直线y x a =+上．（1）求直线CD 的表达式；（2）若点E 在y 轴上，且CDE ∆的周长最小，求点E 的坐标；（3）点F 是直线21y x =-+上的动点，G 为平面内的点，若以点C ，D ，F，G 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】解：（1）如图1中，连接AC ，作CE x ⊥轴于E ．90BAC ∠=︒，90ABO BAO ∴∠+∠=︒，90BAO CAE ∠+∠=︒，ABO CAE ∴∠=∠，AB OC =，90AOB CEA ∠=∠=︒，ABO CAE ∴∆≅∆，12CE OA ∴==，1AE OB ==， 3(2C ∴，1)2， 把3(2C ，1)2代入y x a =+，得到1322a =+， 1a ∴=-，∴直线CD 的解析式为1y x =-．（2）如图2中，作D 关于y 轴的对称点D '，连接CD '交y 轴于E ，此时CDE ∆的周长最小．由121y x y x =-⎧⎨=-+⎩解得2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 2(3D ∴，1)3-，2(3D '-，1)3-， ∴直线CD '的解析式为511313y x =-，1(0,)13E ∴-．（3）如图3中，①如图3中，当DF 为菱形对角线时，四边形DCFG 是菱形，C ∴、G 关于AB 对称，易求直线CG 的解析式为1124y x =-， 由112421y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩，解得120x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，G ∴与C 关于1(2，0)对称，可得1(2G -，1)2-．②如图4中，当AC 为菱形的对角线时，F 、G 关于CD 对称，求出线段CD 的垂直平分线，同法可得7(3G ，7)6-． ③如图5中，当CF为菱形的对角线时，可得3(2G，12或32+，12．综上所述，满足条件的点G 坐标为1(2-，1)2-或7(3，7)6-或3(2，12+或32+，12．1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在格点ABC ∆中，点A 的坐标为(2,3)（1）若以A 、B 、C 及点D 为顶点的四边形是矩形，直接写出点D 的坐标： (0,4) ；（2）若以A 、B 、C 及点E 为顶点的四边形是平行四边形，请画出所有点E 的位置．【答案】解：（1）如图1所示：四边形ADBC是矩形，5CD AB ∴=，1OD =，4OD ∴=，(0,4)D ∴，故答案为：(0,4)；专题过关（2）如图2所示：2．如图，直线2y =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上，且12OA AC =，直线CD AB ⊥于点P ，交x 轴于点D （1）求点P 的坐标（2）坐标系内是否存在点M ，使以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）对于直线2y +，令0x =得到2y =，令0y =得到-(0,2)A ∴，(B -0)，2AC AO =，4AC ∴=，(0,6)C ∴，CD AB ⊥，∴直线CD 的解析式为6y =+，由26y x y ⎧+⎪⎨⎪=+⎩，解得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P ∴，3)．（2）存在，P 点坐标3)，(23D，0)，(B -0)， BD ∴=，当1PM BD是平形四边形， 则1BD PM ==1(M ∴-3)，当2PBDM 是平形四边形，则2BD PM ==2M ∴，3)，P 到x 轴距离等于3M 到x 轴距离，故3M 的纵坐标为3-，BE DF BD DE ==-=FO ∴3M ∴的横坐标为 3M ∴的坐标为(3)-；综上所述M 点的坐标为：1(M -3)，2M3)，3(M ，3)-．3．如图， 在平面直角坐标系xOy ，直线1y x =+与24y x =-+交于点A ，两直线与x 轴分别交于点B 和点C ，D 是直线AC 上的一个动点， 直线AB 上是否存在点E ，使得以E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求出点E 的坐标；若不存在， 请说明理由 ．【答案】解：①如下图： 当//OE AD 时，//OE AC ，所以直线OE 的解析式为2y x =-， 联立OE 、AB ，得12y x y x =+⎧⎨=-⎩①②，解得1323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11(3E -，2)3；②如下图： 当//DE OA 时，//OD AB 时，//OD AB ，∴直线OD 的解析式为y x =，联立OD 、AC ，得24y xy x =⎧⎨=-+⎩，解得4343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，4(3D ，4)3． 联立AB 、AC 得241y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ．OA 的解析式为2y x =， //DE OA ，∴设直线DE 的解析式为2y x b =+，将点D 的坐标代入直线的解析式得：42y x =-联立DE 、AB 得4231y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，解得73103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，27(3E ，10)3． ③当OA 为对角线时，(1,2)A ，OA ∴的中点坐标为1(2，1)，点D 在直线24y x =-+上，∴设(,24)D m m -+，点E 在直线1y x =+上，∴设(,1)E n n +，DE ∴的中点坐标为(2m n +，241)2m n -+++， ∴122m n +=，24112m n -+++=， 43m ∴=，13n =-，1(3E ∴-，2)3综上所述：11(3E -，2)3，27(3E ，10)3．4．如图，四边形OABC 为矩形，A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，矩形一角经过翻折后，顶点B 落在OA边的点G 处，折痕为EF ，F 点的坐标是(4,1)，30FGA ∠=︒． （1）求B 点坐标． （2）求直线EF 解析式．（3）若点M 在y 轴上，直线EF 上是否存在点N ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求N 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）F点的坐标是(4,1)，1FA∴=，4OA=，30 FGA∠=︒，GA∴=，2FG=，由折叠的性质知2BF FG==，3AB∴=，四边形OABC为矩形，4CB OA∴==，B∴点坐标为(4,3)；（2）903060AFG∠=︒-︒=︒，由折叠的性质知1(18060)602EFB EFG∠=∠=︒-︒=︒，BE∴=4CE∴=-(4E∴-3)，设直线EF的解析式是y kx b=+，∴41(44k bk b+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得1kb⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴直线EF的解析式是1y=++（3）①如图1中，当四边形MNGF是平行四边形时，易知点N的横坐标为点N在直线EF上，(N ∴2．②如图2中，当四边形MNFG 是平行四边形时，易知点N 点N 在直线EF 上，N ∴．③如图3中，当四边形MFNG 是平行四边形时，易知点N 的横坐标为8(8N ∴2)．5．平面直角坐标系中，直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线(0)y kx k =≠交于点(2,)C m ．（1）求k 的值；（2）求OBC ∆的面积；（3）点M 为直线132y x =-+上一动点，过M 作/MN x 轴交直线y kx =于点N ，作MP x ⊥轴于点P ，过N作NQ x ⊥轴于点Q ，当以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M 的坐标．【答案】解：（1）(2,)C m 在直线132y x =-+上2m ∴=(2,2)C ∴将(2,2)C 代入(0)y kx k =≠中得：1k =（2）直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，(6,0)A ∴，(0,3)B (2,2)COBC ∴∆的面积为：13232⨯⨯= （3）MP x ⊥轴，NQ x ⊥轴//MP NQ ∴，90MPQ ∠=︒/MN x 轴，即/MN PQ∴以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是矩形当以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形时，即四边形MNQP 为正方形∴当满足MN NQ =时，必有以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形设(,)N a a ，则(62,)M a a -|63|MN a ∴=-，||NQ a =|63|||a a ∴-=3a ∴=或32(0,3)M ∴或3(3,)26．已知，如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线1:3l y x =+分别交x 轴、y 轴于点A 、B 两点，直线2:3l y x =-过原点且与直线1l 相交于C ，点P 为y 轴上一动点． （1）求点C 的坐标；（2）在平面坐标系中是否存在点M ，使以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当PA PC +的值最小时，求此时点P 的坐标，并求PA PC +的最小值．【答案】解：（1）直线1:3l y x =+①与直线2:3l y x =-②相交于C ， 联立①②解得，34x =-，94y =，3(4C ∴-，9)4；（2）直线3y x =+交x 轴于点A ，(3,0)A ∴-，由（1）知，3(4C -，9)4，以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形， 设(,)M m n 如图1，∴①当AC 是对角线时，131(3)242m --=，191(0)242n +=，154m ∴=-，94n =， 15(4M ∴-，9)4， ②当OC 是对角线时，131(0)(3)242m -=-+，191(0)(0)242n +=+，94m ∴=，94n =，19(4M ，9)4， ③当OA 为对角线时，113(03)()224m -=-，119(00)()224m +=+，94m ∴=-，94n =-．29(4M -，9)4，（3）如图2，作点(3,0)A -关于y 轴的对称点(3,0)A '，连接CA '交y 轴于点P ，此时，PC PA +最小，最小值为CA '= 由（1）知，3(4C -，9)4，(3,0)A '，∴直线A C '的解析式为3955y x =-+， 9(0,)5P ∴．。
专题09 平面向量 9.1线性运算、基本定理和坐标运算 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习
r
交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a
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r
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结合律：( a ＋ b )＋ c ＝ a ＋( b ＋ c )
（二）减法：共起点，连终点，指向被减
高中数学一轮复习讲义
r
（三）数乘：求实数λ与向量 a 的积的运算
r
r
r
r
1.数乘意义：|λ a |＝|λ|| a |，当λ>0 时，λ a 与 a 的方向相同；
8
C．
3
5
D．
3
�
2．已知 A（﹣3，0），B（0，2），O 为坐标原点，点 C 在第二象限内，|��| = 2 2，且∠��� = ，
4
→
→
→
设�� = ��� + ��(� ∈ �)，则λ的值为（
2
B．− 3
A．1
）
1
C．
2
2
D．
3
3．如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，P 为以点 A 为圆心，以 AB 为半径的圆弧上一
r
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定： 0 与任一向量平行或共
线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量
二．向量的线性运算
（一）加法：求两个向量和的运算
1.三角形法则：首尾连，连首尾
2.平行四边形法则：起点相同连对角
3.运算律
r
r
r
4．平面向量基本定理
ur
ur
r
如果 e1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只
重庆中考专题训练九阅读理解题型问题(二)几何相关
中考专题训练九阅读理解题型问题（二）二、综合型阅读理解例3.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中(,0)A t 、(2,0)B t +两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离不大于1，则称P 为线段AB 的“环绕点”． （1）当3t =-时，①在点1(0,1)M ，2(0,0)M ，3(2,1)M --中，线段AB 的伴随点是 ；②在直线2y x b =+上存在线段AB “环绕点”M 、N ，且MN =，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点(2,0)的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30︒得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的“环绕点”，直接写出t 的取值范围．例4.“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由ABC ADE ABE ABCD S S S S ∆∆∆=++四边形得：22111()2222a b ab c +=⨯+，化简得：222a b c +=．实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x 的方程22x ax b +=的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=︒，2a BC =，||ACb =，再在斜边AB 上截取2aBD =，则AD 的长就是该方程的一个正根（如实例二图）． 请根据以上阅读材料回答下面的问题：（1）①如果,αβ都为锐角，且11tan ,tan 23αβ==，结合条件作出图1，则由图1可得αβ+= 。
（2）②如果,αβ都为锐角，且3tan 4,tan 5αβ==，则可在图2的正方形网络中，利用已作出的锐角α，画出=MON αβ∠-，由此可得αβ-= 。
高考理科数学2010—2018真题分类 专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆(带答案)
专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C．D．2．(2018天津)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,32⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 ．3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABC．3D ．135．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3 B． CD ．26．（2015山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 7．（2015广东）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -=8．（2015新课标2）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．109．（2015重庆）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B ．C ．6D ．10．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．⎡⎣ D ．⎡⎢⎣⎦11．（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+= 12．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．413．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =A ．21B ．19C ．9D ．11-14．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（ B ．]30π，（ C ．]60[π， D ．]30[π， 15．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－816．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．17．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π18．（2013山东）过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=19．（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4B 1C ．6- D20．（2013安徽）直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．21．（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．113⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭22．（2013陕西）已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定23．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切， 且与直线10ax y -+=垂直， 则a =A ．12-B ．1C ．2D ．1224．（2013广东）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=25．（2013新课标2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．(1)3y x =-或1)3y x =--C ．1)y x =-或1)y x =-D ．(1)2y x =-或1)2y x =-- 26．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1[1+3,+)-∞∞C ．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞28．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +…分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=29．（2012天津）在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．CD ．130．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为 A ．4B ．3C ．2D ．131．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(B ．(0)(0C ．[D ．(-∞，- ，+∞) 32．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．22++2=0x y xB ．22++=0x y xC ．22+y =0x x -D ．22+2=0x y x -33．（2010广东）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++= 二、填空题34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ．35．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．36．（2015湖北）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）37．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ．38．（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________．39．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．40．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 ．41．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____．42．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．43．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则 （Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .44．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________. 45．（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .46．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .47．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =__． 48．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__． 49．(2010新课标)圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 ． 50．(2010新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为 ． 三、解答题51．(2016年全国I)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．52．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ． 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处， 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO ． （I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？53．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C的半径为1，圆心在l 上.（I ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （II ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 54．(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为 （I ）求圆心P 的轨迹方程； （II ）若P 点到直线y x =P 的方程． 55．（2011新课标）在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a-+=交于A ，B 两点，且,OAOB ⊥求a 的值．56．（2010北京）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，直线y t =椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设(,)Q x y 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．专题九 解析几何 第二十五讲 直线与圆答案部分1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB = 所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=， 圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==，所以||AB ==，所以1122ABC S ∆==． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d1=+，∴当0m=时，d取得最大值3，故选C．4．A【解析】以线段12A A为直径的圆是222x y a+=，直线20bx ay ab-+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a==，整理为223a b=，即()22222323a a c a c=-⇒=，即2223ca=，cea==，故选A．5．A【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A，(0,0)B，(2,1)D，(,)Px y所以圆的方程为224(2)5x y-+=，所以(,1)AP x y=-，(0,1)AB=-，(2,0)AD=，由AP AB ADλμ=+，得21xyμλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy-+，设12xz y=-+，即102xy z-+-=，点(,)P x y在圆上，所以圆心到直线102xy z-+-=的距离小于半径，≤，解得13z≤≤，所以z的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d ==，|55|k +=43k =-或34-．7．A 【解析】 设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c，则=，所以c =250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-， 所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=， 设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在R t O M N '∆中，sin OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=．12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r =1212||15C C r r =+==，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值． 又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =，所以最后弦长为4=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =， （2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭， 令1112A BD S ∆=得212b a b=-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭， 化简得22241a b b -=-+,∵0a >,∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：112b <<，选B 22．B 【解析】点M(a ,b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-， 即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±1y =1(3,(,)33A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。
初三数学专题复习教案第9讲：平面直角坐标系及函数.
第9讲平面直角坐标系与函数一、教学目标：1．掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标特征，会求一个点关于坐标轴和原点对称的点的坐标；会用平面直角坐标系下点的平移规律解决实际问题2．会求一个函数的自变量的取值范围，会根据实际问题情境分析函数的大致图象二、教学重难点：重点：特殊点的坐标特征难点：函数自变量的取值范围及函数值，函数图象的分析三、教学用具：多媒体四、学情分析：“平面直角坐标系”作为“数轴”的进一步发展,实现了认识上从一维空间到二维空间的跨越,构成更广范围内的数形结合、数形互相转化的理论基础。
是今后学习函数、函数与方程、函数与不等式关系的必要知识。
五、教学方法：启发引导法、归纳分析六、教学资源：课本、PPT七、教学过程：考点一平面直角坐标系及点的坐标特征平面直角坐标系的有关概念在平面内由两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系,水平的数轴为x轴或①,竖直方向的数轴为y轴或②,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点坐标轴上的点x轴、y轴上的点不属于任何象限对应关系坐标平面内的点与有序实数对是③对应的平面内点P(x,y)的坐标特征(1)各象限内点的坐标的特征:点P(x, y)在第一象限⇔④点P(x, y)在第二象限⇔⑤点P(x, y)在第三象限⇔⑥点P(x, y)在第四象限⇔⑦(2)坐标轴上点的坐标的特征:点P(x, y)在x轴上⇔⑧点P(x, y)在y轴上⇔⑨;点P(x, y)既在x轴上,又在y轴上⇔x,y同为0,即点P的坐标为(0, 0)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1）平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上的点的纵坐标相同,横坐标为不相等的实数(2)平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上的点的横坐标相同,纵坐标为不相等的实数各象限的角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限的角平分线上的点:第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标⑩(2)第二、四象限的角平分线上的点:第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标【思政元素】：通过复习平面直角坐标系知识，介绍法国数学家笛卡尔在数学中的卓越贡献，激发学生学习数学的热情，树立远大的学习目标考点二点到坐标轴的距离到x轴的距离点P(a,b)到x轴的距离等于点P的①即到y轴的距离点P(a,b)到y轴的距离等于点P的②即到原点的距离点P(a,b)到坐标原点的距离为考点三平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标用坐标表示平移平移规律在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或向左)平移a个单位长度,可以得到对应点①(或②);将点(x,y)向上(或向下)平移b个单位长度,可以得到对应点③(或④)某点的对称点的坐标关于x轴对称点P(x,y)关于x 轴对称的点P 1的坐标为规律可简记为:关于谁对称谁不变,另一个变号,原点对称都变号关于y轴对称点P(x,y)关于y轴对称的点P2的坐标为关于原点对称点P(x,y)关于原点对称的点P3的坐标为考点四函数的有关概念1.常量与变量:在一个变化过程中,我们称数值发生①的量为变量,数值始终②的量为常量.如s=vt,当v一定时,v是常量,s,t都是变量.2.函数的概念:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,我们就说x是自变量,y是x的函数.3.自变量的取值范围:(1)函数解析式有意义的条件;(2)实际问题有意义的条件.4.函数值:对于一个函数,如果当自变量x=a时,因变量y=b,那么b叫做自变量的值为a时的函数值.5.函数的三种表示法:③法、④法和⑤法.6.描点法画函数图象的一般步骤:(1)⑥; (2)⑦; (3)⑧.例1.点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标是; 关于y轴对称的点的坐标是; 关于原点对称的点的坐标是; 把点A向左平移2个单位,再向下平移3个单位得到的点的坐标是; 把点A绕着原点顺时针旋转90°后的点的坐标是.探究三函数图象例2如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象,下列结论错误的( )A.乙前4秒行驶的路程为48米B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C.两车到第3秒时的路程相等D.在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度【思政元素】：生活中的行车安全，注意遵守道路交通规则，不超速，文明行车例3.[2017·北京] 小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中,跑步者距起跑线的距离y(单位:m)与跑步时间t(单位:s)的对应关系如图②所示.下列叙述正确的是（）A.两人从起跑线同时出发,同时到达终点B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小苏前15 s跑过的路程大于小林前15 s跑过的路程D.小林在跑最后100 m的过程中,与小苏相遇2次例4.[2017·丽水] 在同一条道路上,甲车从A地到B地,乙车从B地到A地,乙先出发,图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系的图象.下列说法错误的是( )A.乙先出发的时间为0.5小时B.甲的速度是80千米/小时C.甲出发0.5小时后两车相遇D.甲到B地比乙到A地早小时八、布置作业：九、板书设计：平面直角坐标系与函数1.知识点2.例题十、教学反思：。
专题九：极坐标系与参数方程
专题六极坐标系与参数方程知识梳理1、伸缩变换：设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0):,(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下，点P（x,y）对应到点P′（x′,y′），称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
注：当1λ>时，表示横向伸长；当01λ<<时，表示横向压缩。
当1μ>时，表示纵向伸长；当01μ<<时，表示纵向压缩。
这里P（x,y）是变换前的点，P′（x′,y′）是变换后的点。
2、极坐标系：（1）极坐标系的定义：如图，在平面内取一个定点O，自极点O 引一条射线Ox，同时再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。
其中定义O 称为极点，射线Ox 称为极轴。
（2）极坐标：设M 是平面内的任意一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，以射线OM 为终边所成的角，则有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标，记为M (,)ρθ.其中ρ称为极径，θ称为极角。
一般地，不作特殊说明，我们认为0ρ≥，θ可以取任意实数。
（3）建立极坐标后，给定ρ和θ，就可以在平面内唯一确定点M；反过来，给定平面任意一点，也可以确定它的极坐标(,)ρθ。
（4）一般地，极坐标(,)ρθ与(,2)()k k Z ρθπ+∈表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0,)()R θθ∈，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示。
如果规定0ρ>，02θπ≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示；同时，极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的，这时点与极坐标是一种一一对应关系。
（5）极坐标系中点的对称：(,)A ρθ3()2:y A ρθπθρπθρπθ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+⎩12关于极轴的对称点:A (,-)关于轴的对称点:A (,-)关于极点的对称点(,)3、极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，设平OAA 2A 1A 3xy····O·xρMθ(,)ρθ面内的任意一点M 的直角坐标和极坐标分别为（x,y）和(,)ρθ，则有：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，tan ,0yx x ρθ⎧=⎪⎨=≠⎪⎩4、极坐标方程的定义：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程(,)0f ρθ=，并且坐标适合方程(,)0f ρθ=的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f ρθ=叫做曲线C 的极坐标方程。
2010年湖北黄冈中学高三数学《专题九 空间直线与平面位置关系的判断与证明》
(浙 卷) 如图 在三 锥 江 , 棱
P ABC中 AB ⊥ BC = kPA 点O, 分 , , D 别是 ,PC的中 , OP ⊥ 底 ABC. AC 点 面 (1) 求证 OD // 平面 : PAB; 1 (2) 当 = 时 k , 2 求直 PA与 面 线 平 PBC所成 角的 小 大 ;
2010年湖北黄冈中学 年湖北黄冈中学
空间直线 与平面位置 关系的判断与证明
第一课时: 第一课时:
基本问题
第一课时: 第一课时:
基本问题
[课前导引] 课前导引]
第一课时: 第一课时:
基本问题
[课前导引] 课前导引]
1. 用一个平面去截一个正方形得到 的多边形,可以是 的多边形,可以是__________(将可能的 将可能的 序号都填上,其中: 三角形; 序号都填上,其中:① 三角形;② 四边 五边形; 六边形; 七边形) 形;③ 五边形;④ 六边形;⑤ 七边形
2 2
[方法论坛] 方法论坛]
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1. 如何证两条异面直线相互垂 直:(1) 证明两条异面直线所成角为 90;(2) 证明两条异面直线的方向 ; 向量相互垂直. 向量相互垂直
2. 如何证直线和平面相互平行: 如何证直线和平面相互平行: (1) 证明直线和这个平面内的一条直线 相互平行; 相互平行;(2) 证明这条直线的方向向 量和这个平面内的一个向量相互平行, 量和这个平面内的一个向量相互平行 或者这条直线的方向向量可以用这个 平面内的两个向量的线性组合来表示; 平面内的两个向量的线性组合来表示 (3) 证明这条直线的方向向量和这个平 面的法向量相互垂直. 面的法向量相互垂直
2 2 1 G a, a, h), (3) PBC的重心 ( 6 6 3 2 2 1 a, a, h), ∴OG = ( 6 6 3 ∵OG ⊥ 平面 PBC, ∴OC ⊥ PB, 又 2 PB = (0, a,h), 2
2022年中考训练 专题九 图形的初步认识与三角形(含答案)
专题九图形的初步认识与三角形一、单选题1.（2022最新·衢州）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A. B. C. D.2.（2022最新·衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（）A. B. C.D.3.（2022最新·台州）把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位:cm）为（）A. 7+3B. 7+4C. 8+3D. 8+44.（2022最新·绍兴）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是( )A. B. C. D.5.（2022最新·绍兴）如图，等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<90°)，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP 交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（）A. 随着θ的增大而增大B. 随着θ的增大而减小C. 不变D. 随着θ的增大，先增大后减小6.（2022最新·宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB 至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF.若AC=8，BC=6，则BF的长为（）D. 47.（2022最新·宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A. △ABC的周长B. △AFH的周长C. 四边形FBGH的周长 D. 四边形ADEC的周长8.（2022最新·金华·丽水）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（）A. 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C. 在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行9.（2019·衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。
部编数学九年级上册专题09铅锤线段最值及进阶(解析版)含答案
专题09 铅锤线段最值及进阶类型一求铅锤线段最值1．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）经过A（12，52）和B（4，6）两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；解：（1）∵15,22Aæöç÷èø、()4,6B在抛物线26y ax bx=++上，∴25116 222 61646ba bìæö=++ïç÷íèøï=++î，解得28 ab=ìí=-î，∴抛物线的解析式为2286y x x =-+．（2）设直线AB 的解析式为：y mx n =+，∵15,22A æöç÷èø、()4,6B 在直线y mx n =+上，∴152246m n m n ì+=ïíï+=î，解得12m n =ìí=î，∴直线AB 的解析式为2y x =+，设动点P 得坐标为(),2t t +，则C 点得坐标为()2,286t t t -+，∴()()2229492286294248PC t t t t t t æö=+--+=-+-=--+ç÷èø，∵20-<，∴当94t =时，当P 点坐标为917,44æöç÷èø，线段PC 有最大且为498．2．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B ，C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P 为线段BC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；【详解】（1）y =﹣x 2+bx +c 经过点C ，则c =3，将点A 的坐标代入抛物线表达式：y =﹣x 2+bx +3，得：0=-1-b +3，解得：b =2，抛物线的表达式为：y =﹣x 2+2x +3；（2）存在，理由：令y =0，得：﹣x 2+2x +3=0，解得：x =﹣1或3，故点B （3，0），设直线BC 为y =kx +b ，将点B 、C的坐标代入得：303k b b +=ìí=î，解得：13k b =-ìí=î．∴直线BC 的表达式为：y =﹣x +3，设点D （x ，﹣x 2+2x +3），则点P （x ，﹣x +3），则PD =（﹣x 2+2x +3）﹣（﹣x +3）=﹣x 2+3x =239()24x --+，当x 32=时，PD 最大值为：94；3．已知抛物线26(0)y ax bx a =++¹交x 轴于点(6,0)A 和点(1,0)B -，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的动点，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，E ，当PD PE +取最大值时，求点P 的坐标．解：（1）Q 抛物线26y ax bx =++经过点(6,0)A ，(1,0)B -，0603666a b a b =-+ì\í=++î，解得1a =-，5b =，\抛物线的解析式为256y x x =-++．225495624y x x x æö=-++=--+ç÷èøQ ，\抛物线的解析式为256y x x =-++，顶点坐标为549,24æöç÷èø．（2）由（1）知，抛物线的解析式为256y x x =-++，(0,6)C \，6OC \=．(6,0)A Q ，6OA \=，OA OC \=，45OAC \Ð=°．PD Q 平行于x 轴，PE 平行于y 轴，90DPE \Ð=°，45PDE DAO Ð=Ð=°，45PED \Ð=°，PDE PED \Ð=Ð，PD PE \=，2PD PE PE \+=，\当PE 的长度最大时，PE PD +取最大值．设直线AC 的函数关系式为y kx d =+，把(6,0)A ，(0,6)C 代入得066k d d=+ìí=î，解得1k =-，6d =，\直线AC 解析式为6y x =-+．设(,6)(06)E t t t -+<<，则()2,56P t t t -++，22256(6)6(3)9PE t t t t t t \=-++--+=-+=--+．10-<Q ，\当3t =时，PE 最大，此时25612t t -++=，(3,12)P \．【点睛】本题为二次函数综合题，综合性较强，第（1）步根据待定系数法求出函数解析式是解题关键，第（2）步根据函数解析式得到PD=PE ，进而得到当PE 的长度最大时，PE PD +取最大值时解题关键．类型二 求斜锤线段最值4．如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为()1,0-，且4OA OC OB ==，抛物线2y ax bx c =++（0a ¹）图象经过A ，B ，C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ^于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．解：∵点B 的坐标为()1,0-，∴OB =1，∵4OA OC OB ==，∴OA=OC =4，∴点A 的坐标为（4,0），点C 的坐标为(0,-4),将点A 、B 、C 的坐标代入2y ax bx c =++中，得164004a b c a b c c ++=ìï-+=íï=-î，解得134a b c =ìï=-íï=-î，∴抛物线的解析式为234y x x =--；(2)解：过点P 作PH 平行于y 轴，交AC 于点H ，∵OA=OC ，∴∠OAC =∠OCA =45°，∴∠PHD =∠OCA =45°，设点P （x ，234--x x ），则点H （x ，x -4），∴22sin 434)PD HP PHD x x x x =×Ð=--++=+，∵0<，∴PD有最大值，当x=2时，PD最大值为此时点P（2，-6）．．【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的对称轴，化一般式为顶点式，最短路径问题，二次函数的性质，锐角三角函数，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键，这是一道二次函数与一次函数的综合题．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P 的坐标及PD的最大值．x2﹣3x﹣8；（3）最大值为【答案】（1）点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；（2）y＝12点P（4，﹣12）【解析】【分析】（1）根据B点坐标及OA＝OC＝4OB结合图象即可确定A点，C点的坐标；（2）由（1）可将抛物线的表达式写成交点式，然后代入C点坐标即可求出解析式；（3）求出直线CA的解析式，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求出∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），写出PD的表达式根据二次函数的性质求最值即可．（a，12【详解】解：（1）∵B的坐标为（﹣2，0），∴OB＝2，∴OA＝OC＝4OB＝8，故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；（2）由（1）知，抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，，解得：a＝12x2﹣3x﹣8；故抛物线的表达式为：y＝12（3）∵直线CA过点C，∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA ＝OC ＝8，∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°，∵PH ∥y 轴，∴∠PHD ＝∠OCA ＝45°，设点P （a ，12a 2﹣3a ﹣8），则点H （a ，a ﹣8），∴PD ＝HP sin ∠PHD a ﹣8﹣12a 2+3a +8）＝2+= 24)a -+，∴当a ＝4时，其最大值为P （4，﹣12）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式及二次函数的性质结合三角函数是解题的关键．类型三 铅锤斜锤转化求面积周长最值6．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （2，0），B （﹣4，0），与y 轴交于C （0，﹣3），连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是直线BC 下方抛物线上一点，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，求△PDE 周长的最大值及此时点P 的坐标；(1)解：设y ＝a （x ﹣2）（x +4），把C （0，﹣3）代入得：()243a ＝´-´-，∴38a =，∴()()2333243884y x x x x =-+=+-；(2)解：如图，延长PE 交x 轴于点F ，设点233,384P x x x æö+-ç÷èø，△PDE 的周长是l ，∵B （﹣4，0），C （0，﹣3），∴OB =4，OC =3，∵BC ＝5，∴△BOC 的周长是12，设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+¹，把B （﹣4，0），C （0，﹣3），代入得：403k b b -+==-ìíî，解得：343k b =-=-ìïíïî，∴直线BC 的解析式是：334y x =--，∴E （x ，﹣34x ﹣3），∴PE ＝（﹣34x ﹣3）﹣（38x 2+34x ﹣3）＝﹣38x 2﹣32x ，∵PD ⊥BC ，∴∠PDE ＝∠BOC ＝90°，∵PE ∥y 轴，∴∠PED ＝∠BEF =∠BCO ，∴△PDE ∽△BOC ，∴12lP E B C=，∴12l ＝233825x x --，∴l ＝﹣910（x +2）2+185，∴当x ＝﹣2时，l 最大＝185，即△PDE 周长的最大值为185，当x ＝﹣2时，y ＝38×（﹣2+4）×（﹣2﹣2）＝﹣3，∴P （﹣2，﹣3）；7．如图1，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()2,0A -、()3,0B ，与y 轴交于点()0,4C ，连接AC 、BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P 是直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作//PD x 轴交BC 于点D ，过点P 作PE BC ^于点E ，当PDE △的周长最大时，求出PDE △的周长最大值及此时点P 的坐标；【详解】（1）∵点()2,0A -、()3,0B 、()0,4C 在抛物线的图像上，∴将点A 、B 、C 的坐标代入得：4209304a b c a b c c -+=ìï++=íï=î，解得23234a b c ì=-ïïï=íï=ïïî，∴222433y x x =-++；（2）如图3，过点P 作//PH y 轴交BC 于点H ，图3∵//PD x 轴，∴PDE OBC Ð=Ð，∴4tan tan 3OC PDE OBC OB Ð=Ð==，∴4tan 3PE PDE DE Ð==，∵90PED Ð=°，∴45PE PD =，35DE PD =，∴4312555PDE C PD PE DE PD PD PD PD =++=++=V ，又∵90DPE HPE Ð+Ð=°，∴4tan 3PH PDH PD Ð==，34PD PH =，∴95PDE C PH =V ，∴当PH 取最大值时，PDE C V 取最大值，设222(4)33P t t t -++，，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，将点B 、C 的坐标代入得：304k b b +=ìí=î，解得434k b ì=-ïíï=î，∴443y x =-+，∴4(4)3H t t -+，，∴2222424(4)23333PH t t t t t =-++--+=-+，∴2233(322PH t =--+，∴当32t =时，PH 取得最大值，最大值为32，∴PDE C V 的最大值93275210=´=，将32t =代入到222(4)33P t t t -++，中，得22274332t t -++=，∴37(22P ，；8．已知，如图，抛物线2y x bx c =++经过点()2,0A -和()0,2B -.（1）求此抛物线和直线AB 的函数表达式；（2）点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD AB ^于点D .动点P 在什么位置时，PDE △的面积最大？求出面积的最大值，并求出此时点P 的坐标.【答案】（1）22y x x =+-，2y x =--；（2）PDE △最大面积为14， P 坐标为（-1，-2）．【解析】【分析】（1）把(2,0)A -，(0,2)B -，分别代入抛物线与一次函数解析式，可得答案；（2）先证明PDE △是等腰直角三角形，设点P 的坐标为()2,2m m m +-，表示E 的坐标，求解PE 的长度，再表示PDE △的面积，利用二次函数的性质求解面积最大值及点P 的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点(2,0)A -，(0,2)B -，∴4202b c c -+=ìí=-î，解得：12b c =ìí=-î，所求抛物线的解析式为22y x x =+-；设直线AB 的函数表达式为y kx n =+，根据题意得202k n n -+=ìí=-î，解得12k n =-ìí=-î，所求直线AB 的函数表达式为2y x =--；（2）∵(2,0)A -，(0,2)B -，∴2OA OB ==，∴AOB V 是等腰直角三角形，∴45BAO Ð=°，∵PF x ^轴，∴904545AEF PED Ð=°-°=°=Ð，又∵PD AB ^，∴PDE △是等腰直角三角形，222,,PD DE PE PD DE \+==,PD \= ∴PE 越大，PDE △面积越大.设点P 的坐标为()2,2m m m +-，∴点E 坐标为(,2)m m --，∴()222PE m m m =---+-222(1)1(20)m m m m =--=-++-<<，∵10-<，∴抛物线开口向下，∴当1m =-时，PE 有最大值1，此时PDE △的面积为22111222PD DE PD PE ö=·==·÷÷ø 221111444PE ==´=，当1,m =- 则()22112 2.m m +-=+--=-点P 坐标为（-1，-2）.【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式，同时考查了利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题.类型四 铅锤斜锤综合演练9．如图1，抛物线2()30y ax bx a =++¹与x 轴交于(3,0)A -和(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的函数表达式：（2）P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，过点P 作PE AC ^于点E ，过点E 作EF y ^轴于点F ，求出PD EF +的最大值及此时点P 的坐标；【详解】（1）将(3,0)A -和(1,0)B 两点代入解析式得933030a b a b -+=ìí++=î，解得12a b =-ìí=-î，\抛物线得函数表达式为223y x x =--+；（2）由题意，()0,3C ，则OAC V 为等腰直角三角形，45CAO Ð=°，设AC 得解析式为AC y kx b =+，将(3,0)A -与()0,3C 代入求得11k b =ìí=î，则3AC y x =+，Q 点P 在抛物线上，//PD y 轴交AC 于点D ，\设()2,23P m m m --+，则(),3D m m +，23PD m m =--，其中30m -<<，如图，延长FE 交PD 于点G ，则FG BD ^，且由题可知，PDE △为等腰直角三角形，\由“三线合一”知，21322m m EG PD --==，\E 的横坐标为22322m m m m m ----+=，2222m m m m EF --+\==，()2221515253222228m m PD EF m m m m m æö+æö\+=--+=--=-++ç÷ç÷èøèø故由二次函数的性质可得，当52m =-时，PD EF +最大为258，此时57,24P æö-ç÷èø；10．如图1，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为(1，0)，且OA ＝OC ＝4OB ，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象经过A ，B ，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是直线AC 上方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当0＜PD ＜时，请直接写出点P 横坐标的取值范围．解：（1）∵点B 的坐标为(1，0)，∴OB =1，又∵OA ＝OC ＝4OB ，∴OA ＝OC ＝4，即点A 坐标为（-4，0）；点C 坐标为（0，4）；∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象经过A ，B ，C 三点．∴401640c a b c a b c =ìï++=íï-+=î，解得：134a b c =-ìï=-íï=î,∴抛物线的解析式为234y x x --+＝；（2）∵点A 坐标为（-4，0）点C 坐标为（0，4）∴直线CA 函数表达式为: y =x +4,过点P 作y 轴的平行线交AC 于点Q ,设点P 坐标为2(,34)x x x --+，其中40x -<<，则点Q 坐标为(,4)x x +，∵点P 是直线AC 上方的抛物线上的一个动点，∴22344)()(4P x x Q x x x --+--=+=-，∴2(2)4P x Q -=++，即当x =-2时，P 点坐标为（-2，6），此时PQ 的最大值为4PQ =又∵45CAO OCA Ð=Ð=°，PQ y P 轴，∴45PQD Ð=°，∴PQD △是等腰直角三角形，∴PQ =，又∵0＜PD ＜，∴0＜PQ ＜4，即：2044x x <--<，∴当x =-2时， PQ 的最大值为4PQ =，此时PD =,∴当0＜PD ＜时，P 横坐标的取值范围为：40x -<<且2x ¹-．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形性质等，其中（3）得出PQ =，并用函数关系表示PQ 是本题解题的关键．11．如图，直线l ：112y x =-+ 与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线 2y x bx c =++ 与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作//PD x 轴交l 于点D ，//PE y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(1)解：∵直线112y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，∴()2,0B 、()0,1C ，∵点B 、C 在抛物线解2y x bx c =++上，∴4201b c c ++=ìí=î，解得：521b c ì=-ïíï=î，∴抛物线的解析式为2512y x x =-+．(2)∵点P 在直线l 下方的抛物线上，设25,12P m m m æö-+ç÷èø，∵//PD x 轴，//PE y 轴，点D ，E 都在直线112y x =-+上，∴1,12E m m æö-+ç÷èø，22525,12D m m m m æö-+-+ç÷èø，∴221511222PE m m m m m æöæö=-+--+=-+ç÷ç÷èøèø，222524PD m m m m m =-+-=-+，∴()22224236PD PE m m m m m m +=-++-+=-+，即：()2236313PD PE m m m +=-+=--+，∴当1m =时，PD PE +的最大值是3．12．如图1，抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于()4,0A -，()10B ,两点，交y 轴于点()0,3C(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 为直线AC 上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P 作х轴的平行线交抛物线于点D ，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，求PD PH +的最大值及此时点P 的坐标；(1)解：∵抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于A (-4，0)，B (1，0)两点，∴可设抛物线解析式为()()41y a x x =+-．∵该抛物线过点C (0，3)，∴将C (0，3)代入()()41y a x x =+-，得：()()30401a =+´-∴34a =-，∴抛物线解析式为()()3414y x x =-+-整理得：239344y x x =--+．(2)解：设经过A 、C 的直线解析式为y kx b =+，∴043k b b=-+ìí=î解得：343k b ì=ïíï=î∴直线AC 的解析式为：334y x =+．∵抛物线解析式为239344y x x =--+，∴对称轴9423324b x a =-=-=---．设点239344P a a a æö--+ç÷èø，，点334H a a æö+ç÷èø，，则2393344D a a a æö----+ç÷èø，．∴[]2393()()(3)(33)444D P P H PD PH x x y y a a a a a +=-+-=---+--+--，即2233101653(4433PD PH a a a +=---=-++∴当103a =-时，PD PH +有最大值为163．将103a =-代入239344a a --+，得：231091013()(343436-´--´-+=．∴此时点101336P æö-ç÷èø，．13．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；【详解】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，故函数表达式为：223y x x =-++…①；（2）设点M 的坐标为()2,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++，则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，∵20-<，故当22b x a=-=，C 有最大值，最大值为10，此时2x =，点()0,3N 与点D 重合；14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，点P 是直线BC 上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接BC 与OP ，交于点D ，求当PD OD的值最大时点P 的坐标；解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0）分别代入y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）中得：309330a b a b -+=ì\í++=î， 解得：12a b =-ìí=î∴该抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；（2）如图1，作PG ⊥x 轴于点H ，交BC 于点G ，∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，∴C （0，3），设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋3，则3k ＋3＝0，解得k ＝﹣1，∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣x ＋3；设点P（m，－m2＋2m＋3），则点G（m，－m+3），∴PG = －m2＋2m＋3－（－m+3）= －m2＋3m∵PG//OC，∴△PDG∽△ODC，∴2239()32433mPD PG m mOD OC--+-+===当32m=时，PDOD有最大值，∴点P（315 ,24）．。
2020中考数学复习(北京)重点专题九新定义问题
二、重难专题突破专题九新定义问题(必考)综合训练类型一新定义点与函数问题(8年4考：2017.29、2015.29、2014.25、2013.25)1.(2019房山区一模)在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C的关联整点.(1)当⊙O的半径r＝2时，在点D(2，－2)，E(－1，0)，F(0，2)中，为⊙O的关联整点的是；(2)若直线y＝－x＋4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；(3)⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线y＝－x＋4上存在⊙C的关联整点.求圆心C的横坐标t的取值范围.第1题图2. (2019丰台区二模)对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B ，使得点P 在射线BC 上，且∠APB ＝14∠ACB (0°<∠ACB <180°)，则称P 为⊙C 的依附点.(1)当⊙O 的半径为1时，①已知点D (－1，0)，E (0，－2)，F (2.5，0)，在点D ，E ，F 中，⊙O 的依附点是 ； ②点T 在直线y ＝－x 上，若T 为⊙O 的依附点，求点T 的横坐标t 的取值范围；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点M ，N .若线段MN 上的所有点都是⊙C 的依附点，直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围.3. (2019西城区一模)在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点P ，Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点M ，N (M ，N 可以重合)使得PM ＝QN ，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点.第3题图①(1)如图①，已知点A (0，3)，B (2，3).①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值是 ，最大值是 ；②在P 1(32，0)，P 2(1，4)，P 3(－3，0)这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是 ；(2)如图②，已知⊙O 的半径为1，点D 的坐标为(5，0).若点E (x ，2)在第一象限，且点D 与点E 是⊙O 的一对平衡点，求x 的取值范围；(3)如图③，已知点H (－3，0)，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K .点C (a ，b )(其中b ≥0)是坐标平面内一个动点，且OC ＝5，⊙C 是以点C 为圆心，半径为2的圆.若HK ︵上的任意两个点都是⊙C 的一对平衡点，直接写出b 的取值范围.第3题图② 第3题图③4. (2019朝阳区二模)M (－1，－12)，N (1，－12)是平面直角坐标系xOy 中的两点，若平面内直线MN 上方的点P 满足：45°≤∠MPN ≤90°，则称点P 为线段MN 的可视点.(1)在点A 1(0，12)，A 2(12，0)，A 3(0，2)，A 4(2，2)中，线段MN 的可视点为 ；(2)若点B 是直线y ＝x ＋12上线段MN 的可视点，求点B 的横坐标t 的取值范围；(3)直线y ＝x ＋b (b ≠0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，直接写出b 的取值范围.第4题图类型二 新定义距离与函数问题(8年2考：2018.28、2012.25)1. (2012北京)在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1－x 2|； 若|x 1－x 2|＜|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1－y 2|.例如：点P 1(1，2)，点P 2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点).第1题图①(1)已知点A (－12，0)，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； (2)已知C 是直线y ＝34x ＋3上的一个动点，①如图②，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标； ②如图③，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标.第1题图2. (2019东城区一模)在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”.下图中的P，Q两点即为“等距点”.第2题图(1)已知点A的坐标为(－3，1)，①在点E(0，3)，F(3，－3)，G(2，－5)中，为点A的“等距点”的是；②若点B在直线y＝x＋6上，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；(2)直线l：y＝kx－3(k＞0)与x轴交于点C，与y轴交于点D，①若T1(－1，t1)，T2(4，t2)是直线l上的两点，且T1与T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M，N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围.备用图3.(2018北京)对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d(M，N).已知点A(－2，6)，B(－2，－2)，C(6，－2).(1)求d(点O，△ABC)；(2)记函数y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)的图象为图形G.若d(G，△ABC)＝1，直接写出k的取值范围；(3)⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1.若d(⊙T，△ABC)＝1，直接写出t的取值范围.4. (2019石景山一模)在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(0，1)，B(－1，0)，C(0，－1)，D(1，0).对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M).(1)已知点E(0，4)，①直接写出d(点E)的值；②直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点F，当d(线段EF)取最小值时，求k的取值范围；(2)⊙T的圆心为T(t，3)，半径为1，若d(⊙T)＜6，直接写出t的取值范围.类型三新定义图形与函数问题(仅2016.29考查)1. (2019石景山区二模)对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”.(1)已知点A(4，0).①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x－5上，则点B的坐标为；(2)⊙T的圆心为点T(2，0)，半径为2，点M的坐标为(2，6)，N为直线y＝x＋4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标x N的取值范围.2.(2018平谷区一模)在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.(1)已知点A(2，0)，B(0，23)，则以AB为边“坐标菱形”的最小内角为°；(2)若点C(1，2)，点D在直线y＝5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD表达式；(3)⊙O的半径为2，点P的坐标为(3，m).若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围.图①图②第2题图类型四 新定义几何问题(2019.28新考查)1. (2019北京)在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧.例如，如图①中DE ︵是△ABC 的一条中内弧.第1题图① 第1题图②(1)如图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧DE ︵，并直接写出此时DE ︵的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，B (0，0)，C (4t ，0)(t >0).在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点.①若t ＝12，求△ABC 的中内弧DE ︵所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧DE ︵，使得DE ︵所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围.2. P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把P A ·PB 的值称为点P 关于⊙O 的“幂值”.第2题图(1)⊙O的半径为6，OP＝4.①如图，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为；②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙O的“幂值”的取值范围；(2)若⊙O的半径为r，OP＝d，请参考(1)的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围；(3)在平面直角坐标系xOy中，C(1，0)，⊙C的半径为3，已知点M(t，0)，N(0，－t)，若在直线MN 上存在点P，使得点P关于⊙C的“幂值”为6，请直接写出t的取值范围.参考答案类型一新定义点与函数问题1. 解：(1)E，F；【解法提示】∵D(2，－2)，E(－1，0)，F(0，2)，O(0，0)，∴OD＝22＋22＝22＞2，OE＝1＜2，OF＝2，∴E，F为⊙O的关联整点；(2)如解图①，当⊙O与直线y＝－x＋4相切时，切点为G(2，2)，则r＝OG＝22＋22＝22.当⊙O过点Q(－2，6)时，则r＝OQ＝22＋62＝210，结合图象，当直线y＝－x＋4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个时，r的取值范围为22≤r＜210；第1题解图①(3)如解图②，当⊙C过点M(3，1)时，CM＝2，ME＝1，则CE＝3，此时点C的横坐标t＝3－3，当⊙C′过点N(5，－1)时，则FC′＝3，此时点C′的横坐标t＝5＋3，结合函数图象，圆心C的横坐标t的取值范围为3－3≤t≤5＋3.第1题解图②2. 解：(1)①E、F；【解法提示】如解图①，根据P为⊙O的依附点，可知：当r＜OP＜3r(r为⊙O的半径)时，点P为⊙O 的依附点．第2题解图①∵D (－1，0)，E (0，－2)，F (2.5，0)， ∴OD ＝1，OE ＝2，OF ＝2.5， ∴1＜OE ＜3，1＜OF ＜3， ∴点E ，F 是⊙O 的依附点， 故答案为：E 、F ； ②如解图②，第2题解图②当点T 在第四象限，OT ′＝1时，作T ′N ⊥x 轴于点N ，易知N (22，0)，OT ＝3时，作TM ⊥x 轴于点M ，易知M (322 ，0)，∴满足条件的点T 的横坐标t 的取值范围为22 ＜t ＜322.当点T 在第二象限时，同理可得满足条件的t 的取值范围为－322 ＜t ＜－22 ，综上所述，满足条件的t 的值的范围为22 ＜t ＜322 或－322 ＜t ＜－22. (2)4＜m ＜42 或－4＜m ＜2－22 .【解法提示】如解图③，当点C 在点M 的右侧时，第2题解图③由题意M (2，0)，N (0，2)，当CN ＝6时，OC ＝CN 2－ON 2 ＝42 ，此时C (42 ，0)， 当CM ＝2时，此时C (4，0)，∴满足条件的m 的值的范围为4＜m ＜42 . 如解图④，当点C 在点M 的左侧时，第2题解图④当⊙C 与直线MN 相切时，易知C ′(2－22 ，0)， 当CM ＝6时，C (－4，0)，∴满足条件的m 的值的范围为－4＜m ＜2－22 ，综上所述，满足条件的m 的值的范围为：4＜m ＜42 或－4＜m ＜2－22 . 3. 解：(1)① 3，13 ；【解法提示】d 的最小值＝OA ＝3，d 的最大值＝OB ＝22＋32 ＝13 . ②P 1；【解法提示】由题图①可知，P 1到线段AB 的最小距离＝OA ＝3，最大距离＝P 1A ＝（32）2＋32 ＝352，则线段AB 上存在点M ，N ，使得P 1M ＝ON ；P 2到线段AB 的最大距离＝12＋12 ＝2 ，∵2 <3，∴P 2不符合题意；P 3到线段AB 的最小距离＝32＋32 ＝32 ，∵32 >13 ，∴P 3不符合题意．(2)第3题解图①由题意得，点D 到⊙O 的最近距离是4，最远距离是6，点D 与点E 是⊙O 的一对平衡点，此时需要满足E 1到⊙O 的最大距离是4，即OE 1＝3，根据OE 1＝3解出此时x ＝5 ；同理当E 2到圆O 的最小距离是6，即OE 2＝7， 根据OE 2＝7，解得此时x ＝35 ， ∴5 ≤x ≤35 ； (3)4143≤b ≤5.【解法提示】点C 在以O 为圆心，半径为5的上半圆上运动，以C 为圆心，半径为2的圆刚好与弧HK 相切，此时要想弧HK 上的任意两点都是⊙C 的平衡点，需要满足CK ≤6，如解图②，当CK ＝6，此时a ＝－13 ，b ＝4143 ，同理，当CH ＝6时，a ＝13 ，b ＝4143.在两者中间时，如解图③所示，此时a ＝0，b＝5，∴4143≤b ≤5.第3题解图②第3题解图③4. 解：(1)A 1，A 3；【解法提示】如解图①，以MN 为直径的半圆交y 轴于点E ，以E 为圆心，EM 长为半径的⊙E 交y 轴于点F ，∵MN 是⊙G 的直径，M (－1，－12 )，N (1，－12 )，∴∠MA 1N ＝90°，MN ⊥EG ，EG ＝1，MN ＝2.∴EF＝EM ＝2 ，∴∠MFN ＝12 ∠MEN ＝45°，∵45°≤∠MPN ≤90°，∴点P 应落在⊙E 内部，且落在⊙G 外部(包含边界)，且不与点M 、N 重合．∴线段MN 的可视点为A 1，A 3.第4题解图①(2)如解图②，以(0，－12 )为圆心，MN 为直径作⊙G ，以(0，12 )为圆心，2 为半径作⊙E ，两圆在直线MN 上方的部分与直线y ＝x ＋12分别交于点E ，F .如解图②，过点F 作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点E 作EH ⊥FQ 于点H ， ∵FQ ⊥x 轴， ∴FQ ∥y 轴，∴∠EFH ＝∠MEG ＝45°. ∵∠EHF ＝90°，EF ＝2 ，∴EH ＝FH ＝1. ∵E (0，12 )，∴F (1，32).只有当点B 在线段EF 上时，满足45°≤∠MBN ≤90°，点B 是线段MN 的可视点． ∴点B 的横坐标t 的取值范围是0≤t ≤1；第4题解图②(3)－32 ＜b ≤－32 或12 ≤b ≤52；【解法提示】如解图③，⊙G 与x 轴交于点H ，与y 轴交于点E ，连接GH ，OG ＝12 ，GH ＝1，∴OH ＝GH 2－OG 2 ＝12－（12）2 ＝32，∴H (32 ，0)，E (0，12). 当直线y ＝x ＋b (b ≠0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点， ①当直线y ＝x ＋b 与y 轴交点在y 负半轴上， 将H (32 ，0)代入y ＝x ＋b 得32 ＋b ＝0，解得b 1＝－32， 将N (1，－12 )代入y ＝x ＋b 得1＋b ＝－12 ，解得b 2＝－32 ，∴－32 ＜b ≤－32；②当直线y ＝x ＋b 与y 轴交点在y 正半轴上， 将 E (0，12 )代入得b ＝12，当直线y ＝x ＋b 与⊙E 相切于T 时交y 轴于Q ，连接ET ，则ET ⊥TQ ， ∵∠EQT ＝45°， ∴TQ ＝ET ＝EM ＝2 ，∴EQ ＝ET 2＋TQ 2 ＝（2）2＋（2）2 ＝2. ∴OQ ＝OE ＋EQ ＝12 ＋2＝52.∴12 ≤b ≤52. 综上所述：－32 ＜b ≤－32 或12 ≤b ≤52.第4题解图③类型二 新定义距离与函数问题1. 解：(1)①B (0，2)或B (0，－2)(写出一个答案即可)； ②12； (2)①设C 点坐标为(m ，34m ＋3)，D (0，1)；于是当非常距离最小时有|m |＝|34 m ＋3－1|，解得 m 1＝－87 ，m 2＝8(舍去)，于是点C 的坐标为(－87 ，157)；②平移直线y ＝34 x ＋3与⊙O 相切，切点为点E ，与x 轴、y 轴交点分别为点A 、B ，由切线的性质可知点E 即为最接近直线y ＝34x ＋3的点，亦为题中所求的点．第1题解图如解图，过点E 作EF ⊥x 轴于点F . 设点E 的坐标为E (x 0，y 0)，x 0＜0； 易知：Rt △EFO ∽ Rt △AOB ， ∴FO EF ＝OB AO ＝34 ，即－x 0y 0 ＝34， 又∵点E 为⊙O 上的点，∴可得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 20 ＋y 20 ＝1，4x 0＋3y 0＝0， 解得：x 0＝－35 ，y 0＝45 ，∴点E 的坐标为(－35 ，45).设点C 的坐标为C (a ，34 a ＋3)，由①可知：当|－35 －a |＝|(34 a ＋3)－45 |时有最小值，∴a ＝－85 或325(舍去)，∴点C 的坐标为C (－85 ，95 )，此时最小值为－35 －(－85 )＝1.2. 解：(1)①E ，F ；【解法提示】点A 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，点E 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，点F 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，点G 到x ，y 轴的距离中的最大值等于5；∴点E ，F 是点A 的“等距点”．②(－3，3)；【解法提示】∵点A 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，A ，B 两点为“等距点”，∴点B 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，∵点B 在直线y ＝x ＋6上，∴设B (a ，a ＋6)，当a ＝3时，a ＋6＝9，不符合题意，当a ＋6＝3时，a ＝－3，符合题意，∴B (－3，3).(2)①∵T 1(－1，t 1)，T 2(4，t 2)是直线l 上的两点， ∴t 1＝－k －3，t 2＝4k －3. ∵k ＞0，∴|－k －3|＝k ＋3＞3，4k －3＞－3， 依题意可得：当－3＜4k －3＜4时，k ＋3＝4，解得k ＝1; 当4k －3≥4时，k ＋3＝4k －3，解得k ＝2. 综上所述，k 的值为1或2； ②32≤r ≤32 . 【解法提示】当k ＝1时，y ＝x －3，则点C 的坐标为(3，0)，点D 的坐标为(0，－3)；如解图，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，∵CD ＝32＋32 ＝32 ，∴OE ＝CE ＝322 .∴EF ＝22×322 ＝32 .则线段CD 上的点到x ，y 轴的距离中的最小值等于32 ，∴半径r 的最小值为32；线段CD 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，∴半径为r 的⊙O 上存在一点M ，使得点M 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，如解图，过点G (3，3)作x 轴的垂线，垂足为点C ，连接OG ，则OG ＝32＋32 ＝32 ，∴⊙O 的半径r 的最大值为32 ；综上所述，r 的取值范围是32≤r ≤32 .第2题解图3. 解：(1)如解图①，d (点O ，△ABC )＝2; (2)－1≤k ≤1且k ≠0；【解法提示】如解图①，y ＝kx (k ≠0)经过原点，在－1≤x ≤1范围内，函数图象为线段．第3题解图①当y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)经过(1，－1)时，k＝－1，此时d(G，△ABC)＝1，当y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)经过(－1，－1)时，k＝1，此时d(G，△ABC)＝1，∴－1≤k≤1，∵k≠0，∴－1≤k≤1且k≠0.(3)如解图②，⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：①⊙T在△ABC的左侧时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时，t＝－4；②⊙T在△ABC的内部时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时，0≤t≤4－22；③⊙T在△ABC的右侧时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时，t＝4＋22；综上，t＝－4或0≤t≤4－22或t＝4＋22.第3题解图②4. 解：(1)①5；【解法提示】∵正方形ABCD的顶点分别为A(0，1)，B(－1，0)，C(0，－1)，D(1，0)，点E(0，4)在y轴上，∴点E到正方形ABCD边上C点间的距离有最大值，EC＝5，即d(点E)的值为5.②如解图①所示：∵d(点E)＝5，∴d(线段EF)的最小值是5，∴符合题意的点F满足d(点F)≤5，当d(点F)＝5时，BF1＝DF2＝5，∴点F1的坐标为(4，0)，点F2的坐标为(－4，0)，将点F1的坐标代入y＝kx＋4得：0＝4k＋4，解得：k＝－1，将点F2的坐标代入y＝kx＋4得：0＝－4k＋4，解得：k＝1，∴k＝－1或k＝1.∴当d(线段EF)取最小值时，EF1直线y＝kx＋4中k≤－1，EF2直线y＝kx＋4中k≥1，∴当d(线段EF)取最小值时，k的取值范围为：k≤－1或k≥1；(2)t的取值范围为－3＜t＜3.【解法提示】⊙T的圆心为T(t，3)，半径为1，当d(⊙T)＝6时，如解图②所示：CM＝CN＝6，OH＝3，∴T1C＝TC＝5，CH＝OC＋OH＝1＋3＝4，∴T1H＝T1C2－CH2＝52－42＝3，TH＝TC2－CH2＝52－42＝3，∴d(⊙T)＜6，t的取值范围为－3＜t＜3.图①图②第4题解图类型三 新定义图形与函数问题1. 解：(1)①如解图①，不妨设满足条件的三角形为等腰△OAR ，则OR ＝AR .过点R 作RH ⊥OA 于点H ， ∴OH ＝HA ＝12OA ＝2，∵以线段OA 为底的等腰△OAR 恰好是点O ，A 的“生成三角形”， ∴RH ＝OA ＝4.∴OR ＝OH 2＋RH 2 ＝25 . 即该三角形的腰长为25 ；第1题解图①②(1，0)，(3，0)或(7，0)【解法提示】如解图②所示：若A 为直角顶点时，点B 的坐标为(1，0)或(7，0)； 若B 为直角顶点时，点B 的坐标为(1，0)或(3，0). 综上，点B 的坐标为(1，0)，(3，0)或(7，0).第1题解图②(2)如解图③可得：若N 为直角顶点：－1－2 ≤x N ≤0；第1题解图③如解图④可得：若M 为直角顶点：－6≤x N ≤－2；第1题解图④综上，点N 的横坐标x N 的取值范围为：－6≤x N ≤0. 2. 解：(1)60；【解法提示】如解图①所示，∵点A (2，0)，B (0，23 )， ∵OA ＝2，OB ＝23 ，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB ＝22＋（23）2 ＝4， ∵OA ＝12 AB ，∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＝30°， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABC ＝2∠ABO ＝60°， ∵AB ∥CD ，∴∠DCB ＝180°－60°＝120°，∴以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为60°；第2题解图①(2)如解图②，第2题解图②∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y＝5的夹角是45°.过点C作CE⊥DE于点E.∴D(4，5)或(－2，5).∴直线CD的表达式为：y＝x＋1或y＝－x＋3；(3)分两种情况：①先作直线y＝x，再作圆的两条切线，且平行于直线y＝x，如解图③，第2题解图③∵⊙O的半径为2，且△OQ′D是等腰直角三角形，∴OD＝2OQ′＝2，∴BD＝3－2＝1，∵△P′DB是等腰直角三角形，∴P′B＝BD＝1，∴P′(3，1)，同理可得：OA＝2，∴AB＝3＋2＝5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB＝5，∴P(3，5)，∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y＝－x，再作圆的两条切线，且平行于直线y＝－x，如解图④，∵⊙O的半径为2，且△OQ′D是等腰直角三角形，∴OD＝2OQ′＝2，∴BD＝3－2＝1，∵△P′DB是等腰直角三角形，∴P′B＝BD＝1，∴P′(3，－1)，同理可得：OA＝2，∴AB＝3＋2＝5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB＝5，∴P(3，－5)，∴当－5≤m≤－1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述，m的取值范围是1≤m≤5或－5≤m≤－1.第2题解图④类型四 新定义几何问题1. 解：(1)画出DE ︵如解图①所示，DE ︵与BC 相切时，△ABC 的中内弧最长.此时DE ︵的长为以DE 长为直径的半圆.∵在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22，∴BC ＝2AB ＝2·22＝4.∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ＝12BC ＝12×4＝2.∴lDE ︵＝180π360×2＝π；第1题解图①(2)①当t ＝12时，C (2，0).连接DE ，当DE ︵在DE 的下方时，点P 的纵坐标最小时点P 为DE 的中点，如解图②所示.∵A (0，2)，∴BA ＝2.∵点D 是BA 的中点，∴BD ＝1.∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ＝12BC ＝12×2＝1.∴⊙P 的半径PD ＝12.∵12＜1，∴DE ︵是△ABC 的中内弧.∴y P ≥1.第1题解图②第1题解图③当DE ︵在DE 的上方时，点P 的纵坐标最大时，⊙P 与AC 相切于点E .如解图③所示，作DE 的垂直平分线FG 交DE 于点F ，交x 轴于点G ，则四边形DBGF 是矩形，圆心P 在FG 上.∵C (2，0)，A (0，2)，∴BC ＝BA ＝2.∴Rt △ABC 是等腰直角三角形.∴∠ACB ＝45°.∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC .∴∠AED ＝∠ACB .∴∠AED ＝45°.连接PE ，∵⊙P 与AC 相切于点E ，∴PE ⊥AC .∴∠PEA ＝90°.∴∠PEF ＝∠PEA －∠AED ＝45°.∵PF ⊥DE ，∴∠FPE ＝45°.∴∠PEF ＝∠FPE .∴PF ＝EF .∵FG 平分DE ，∴DF ＝EF ＝12DE＝12×1＝12.∴PF ＝12.∵FG ＝BD ＝1，∴PG ＝FG －PF ＝1－12＝12.∴P (12，12).∴y P ≤12. 综上，圆心P 的纵坐标y P 的取值范围为y P ≥1或y P ≤12；②0＜t ≤2 .【解法提示】ⅰ. 当P 在DE 上方时，如解图④所示，圆心P 在边AC 上且DE ︵与边BC 相切于点F 时，符合题意．∵C (4t ，0)，∴BC ＝4t .∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12 BC ＝12 ×4t ＝2t .连接PF .∵⊙P 与BC 相切于点F ，∴PF ⊥BC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥PF .∴DG ＝12 DE ＝12 ×2t ＝t .∵PF ⊥BC ，∴PF ∥y 轴．∴△EPG ∽△EAD .∴PG AD ＝EG ED ＝12 .∴PG ＝12 AD ＝12 ×1＝12 .又∵GF ＝BD ＝1，∴PF ＝PG＋GF ＝12 ＋1＝32 .∴DP ＝32 .在Rt △PDG 中，由勾股定理得DP 2＝DG 2＋GP 2，即(32 )2＝t 2＋(12 )2.解得t ＝±2 .∵t ＞0，∴t ＝2 .∴t 的取值范围是0＜t ≤2 .第1题解图④ⅱ. 当P 在DE 下方时，如解图⑤.⊙P 与AC 相切于点E 为临界状态，过P 作PM ⊥DE 于点M ，DE 为△ABC 的中内弧，只需PM ≤1即可．此时易得△EMP ∽△ABC ，∴PM CB ＝EM AB ，即PM 4t ＝t2 .得PM ＝2t 2，故0<t ≤22.第1题解图⑤综上，t 的取值范围为0＜t ≤2 . 2. 解：(1)①20；【解法提示】如解图①所示：连接OA 、OB 、OP .∵OA ＝OB ，P 为AB 的中点，∴OP ⊥AB .∵在Rt △PBO 中，由勾股定理得：PB ＝OB 2－OP 2 ＝62－42 ＝25 ，∴P A ＝PB ＝25 .∴⊙O 的“幂值”＝25 ×25 ＝20.第2题解图①②当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”为定值．证明：如解图②，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直．过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′，OA′.第2题解图②∵在⊙O中，∠AA′P＝∠B′BP，∠AP A′＝∠BPB′，∴△AP A′∽△B′PB.∴P APB′＝P A′PB.∴P A·PB＝P A′·PB′＝20.∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值．(2)r2－d2；【解法提示】如解图③所示，连接OP，过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点，连接OA，OB.第2题解图③∵AO＝OB，PO⊥AB，∴AP＝PB.∴点P关于⊙O的“幂值”＝AP·PB＝P A2.在Rt△APO中，AP2＝OA2－OP2＝r2－d2.∴点P关于⊙O的“幂值”＝r2－d2.(3)1－6≤t≤6＋1.【解法提示】如解图④所示：过点C作CP⊥AB交AB于点P.第2题解图④∵点P关于⊙C的“幂值”为6，若⊙O半径为r，CP＝d，则由(2)可知r2－d2＝6.∴d2＝3，即d＝3.如解图⑤，以点C为圆心，3为半径作辅助圆⊙C′，∵点P在直线MN上，∴当直线MN与⊙C′相交即可满足条件．当点M在x轴正半轴时，直线MN与⊙C′相切如解图⑤，∵M(t，0)、N(0，－t)，∴ON＝OM＝t，∵OM＝ON，∴∠OMN＝45°.∴在直角三角形CPM中，PM＝CP＝3.则CM＝CP2＋PM2＝6，∴OM＝6＋1.∴t＝6＋1.同理当点M在x轴负半轴时，解得t＝1－6，结合函数图象，t的取值范围为1－6≤t≤6＋1.第2题解图⑤。
专题九综合题(二)
专题九：综合题(二)1．已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．2.（2010年青岛市）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF 的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t ＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）3．（2010龙岩市）如图①，将直角边长为的等腰直角三角形ABC绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得△A1B1C，A1C交AB于点D，A1B1分别交于BC、AB于点E、F，连接AB1．（1）求证：△ADC∽△A1DF；（2）若α=30°，求∠AB1A1的度数；（3）如图②，当α=45°时，将△A1B1C沿C→A方向平移得△A2B2C2，A2C2交AB于点G，B2C2交BC于点H，设CC2=x（0＜x，△ABC与△A2B2C2的重叠部分面积为S，试求S与x的函数关系式．4．（2011扬州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边上的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P从点B出发沿射线BA以每秒同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP设运动时间为t秒（t＞0）(1)△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由(2)若∠ABC=60°AB=①求动点Q的运动速度②设△APQ的面积为S（平方厘米）求S与t的函数关系式（3）探究BP2、PQ2、CQ2三者的数量关系，以图1为例说明理由5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB l∥AC，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG，设点D运动的时间为t秒．(1)当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；(2)当△DEG与△ACB相似时，求t的值；(3)以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．①当t>35时，连接C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式：②当线段A′C′与射线BB1有公共点时，求t的取值范围(写出答案即可)．6．实验与探究(1)在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标(如图所示)，写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(5，2)， , ；(2)在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标(如图所示)，求出顶点C 的坐标(C 点坐标用含a ，b ，c ，d , e , f 的代数式表示)； 归纳与发现(3)通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a ，b)，B (c ，d)，C (m ，n)，D (e ，f)(如图4)时，则四个顶点的横坐标a ，c ，m, e 之间的等量关系为 ；纵坐标b ，d ，n ，f 之间的等量关系为 (不必证明)； 运用与推广(4)在同一直角坐标系中有抛物线()253y x c x c =--- 和三个点G(12c -，52c )，S(12，92c )，H (2c ，0) (其中c>0 )．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G ，S ，H ，P 为G , S, H, P 顶点的四边形是平行四边形?并求出所有符合条件的P 点坐标．。
高考数学一轮复习专题九平面解析几何1直线方程与圆的方程综合篇课件新人教A版
3.直线方程的几种形式
名称 方程
说明
斜截式 y=kx+b
k是斜率,
b是纵截距
点斜式 y-y0=k(x-x0)
(x0,y0)是直线上的已知点, k是斜率
两点式
y y1 y2 y1
=
x x1 x2 x1
(x1≠x2,y1≠y2)
(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两个已知点
适用条件 与x轴不垂直的直线
A
x1
2
x2
B
y1
2
y2
C
0, 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其
A( y1 y2 ) B(x1 x2 ),
中A≠0,x1≠x2).
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决,有两种情况:一是已
知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.
以下为教师用书专用
圆的方程
名称 标准方程 一般方程
考点二 圆的方程
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
圆心 (a,b)
DE
- 2 ,- 2
半径
r
1 D2 E2 4F 2
温馨提示 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,若没有给出r>0,则圆的半径为|r|,实 数r可以取负值.
(2)由已知设直线y=3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α=
3,所以tan 2α= 2 tan α =- 3 .
1 tan2α 4
又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=- 3 (x+1),即3x+4y+15=0.
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四、面积与坐标的联系
【例4】如图，直线 与 轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P( ， )，且△ABP的面积与△A ABC的面积相等，求 的值．
一、寻找比例系数
【例1】如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)，P为线段OC上一点，若过B、P两点的直线为 ，过A、P两点的直线为 ，且BP⊥AP，则 =．
点拔
解题的关键是求出P点坐标，只需运用几何知识建立OP的等式即可．
解答
设OP=x
举一反三
(1)1．一次函数的自变量的取值范围是-3≤ ≤6，相应函数值的取值范围是-5≤ ≤-2，则这个函数的解析式为．
点拔
利用S△ABP＝S△ABC建立含 的方程，解题的关键是把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差．
注：解函数图象与面积结合的问题，关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标就建立了联系．
解答
举一反三
(1)11．在直角坐标系 O 中， 轴上的动点M（ ，0）到定点P(5，5)、Q(2，1)的距离分别为MP和MQ，那么，当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标为．
(3)当售票数为时，不赔不赚；当售票数 满足时，放影厅要赔本；若放影厅要获得最大利润200元，此时售票数 应为
(4)当售票数 满足时，此时利润比 ＝150时多．
(2)
(3)二、利用函数关系求和
【例2】设直线 ( 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为 ( ＝1，2，…2000)，则S1+S2+…+S2000的值为( )
A．1 B． C． D．
点拔
求出直线与 轴、 轴交点坐标，从一般形式入手，把 用含 的代数式表示．
解答
举一反三
(1)4．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4，BD＝6，P是BD上的任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F，设BP= ，EF=，则能反映 与 之间关系的图象是( )
12．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线 恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝．
13．如果—条直线 经过不同的三点A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直线 经过( )象限．
A．二、四B．—、三C．二、三、四D．一、三、四数对(a，b)的值．
(3)设 ， ，则 的值是（）．
A．-3 B．1 C．3或-1 D．-3或1
三、两交点坐标的意义
【例3】某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为 分钟，Q1、Q2与 之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
(1)分别求出 ≤2和 ≥2时 与 之间的函数关系式；
(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长?
8．如图，正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系 O 中，使AB在 轴的正半轴上，A点的坐标是(1，0)
(1)经过C点的直线 与 轴交于点E，求四边形AECD的面积；
(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?
(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1(吨)与时间 (分钟)的函数关系式；
(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．
点拔
对于(3)，解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量．
注：（1）当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点，一次函数当自变量取值受限制时，存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了．
5．下列图象中，不可能是关于 的一次函数 的图象是( )
6．小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与卖瓜的千克数之间关系如图所示，那么小李赚了( )
A．32元B．36元C．38元D．44元
③若 ，则一定有 ；④若 ，则一定有 ．
专题九坐标平面上的直线
任意一个一次函数 都可看作是关于 、 的一个二元一次方程 ；任意一个关于 、 的二元一次方程 ，可化为形如 ( )的函数形式．坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组．
(2)若直线 经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线 的方程，并在坐标系中画出直线 ．(2001年湖北省荆州市中考题)
9．如图，已知点A与B的坐标分别为(4，0)，(0，2)
(1)求直线AB的解析式．
(2)过点C(2，0)的直线(与 轴不重合)与△AOB的另一边相交于点P，若截得的三角形与△AOB相似，求点P的坐标．
（2）当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起，求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础．
解答
举一反三
(1)7．某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量(微克)随时间 (小时)的变化如图所示，当成人按规定剂量服用后．
【例5】在直角坐标系中，有以A(一1，一1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)为顶点的正方形，设它在折线 上侧部分的面积为S，试求S关于的函数关系式，并画出它们的图象．
2．已知 ，且 ，则关于自变量 的一次函数 的图象一定经过第象限．
3．一家小型放影厅的盈利额(元)与售票数 之间的关系如图所示，其中超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元．试根据关系图回答下列问题：
(1)当售票数满足0< ≤150时，盈利额 (元)与之间的函数关系式是．
(2)当售票数满足150<x≤200时，盈利额 (元)与 之间的函数关系式是．