一元二次方程根的两个特性及简单运用
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一元二次方程根的两个特性及简单运用
我们知道方程的解是由方程的系数（包括常数项）决定的。因此，一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0)
ax bx c a
++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。
例1、先阅读，再填空解题：
(1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x
1=6, x
2
=-2，则x
1
+x
2
=4，x
1
·x
2
=-12；
(2)方程2x2-7x+3=0的根是：x
1=
1
2
, x
2
=3，则x
1
+x
2
=
7
2
，x
1
·x
2
=
3
2
；
(3)方程3x2+6x-2=0的根是：x
1= , x
2
= .则x
1
+x
2
= ，
x 1·x
2
= ；
根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x
1、x
2
，那么x
1
+x
2
、x
1
x
2
与系数a、b、c有
什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。
解析：方程3x2+5x-2=0的根是：x
1=
1
3
x
2
=-2。则x
1
+x
2
=
5
3
-，x1·x2=
2
3
-。
能猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）
的两根为x
1、x
2
，那么x
1
+x
2
a
b
-
=、x1x2
a
c
=。理由如下：
根据求根公式可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c 为常数）的两根为：
a ac
b
b
x
2
4 2
1
-
+
-
=，
a
ac
b
b
x
2
4
2
2
-
-
-
=
所以x
1+x
2
=
a
ac
b
b
2
4
2-
+
-
+
a
ac
b
b
2
4
2-
-
-
a
b
-
=
x 1x
2
=
a
ac
b
b
2
4
2-
+
-
·
a
ac
b
b
2
4
2-
-
-
a
c
=
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商．
下面我们再来探索一元二次方程根的另一个特性。 例2、计算并观察下列一元二次方程根的特点：
(1)x 2-x-3=0 (2)2x 2-8x+5=0 (3)x 2-3x+1=0 观察以上（1）(2)(3)的解，你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2+nx+p=0（m ≠0且m 、n 、p 为有理数，mp n 42-为无理数）的两根为x 1、x 2，那么x 1与x 2之间什么关系？请写出你的猜想并说明理由。
解析：(1)方程：x 2-x-3=0的根是：x 1=21321+
,x 2=2
13
21-； (2)方程2x 2-8x+5=0的根是：x 1=262+
, x 2=2
62-； (3)方程x 2-3x+1=0的根是：x 1=2523+, x 2=2
5
23-。
能猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2+nx+p=0（m ≠0且m 、n 、p 为有理数，
mp n 42-为无理数）的两根为x 1、x 2，那么x 1与x 2之间的关系是：两根均b
k a +和b k a -，即“有理部分”相同，“无理部分”互为相反数。理由如下：
根据求根公式可知，关于x 的一元二次方程mx 2+nx+p=0（m ≠0且m 、n 、p 为有理数，mp n 42-为无理数）的两根为：
m mp n m n x 24221-+-=，m
mp n m n
x 24222---=
两根均为b k a +和b k a -的形式，即“有理部分”相同，“无理部分”互为相反数。
下面我们运用以上性质来巧解一题。
例3、如果一个有理系数的一元二次方程x 2+bx+c=0的一个根为32+，求b+c 的值。
解析：因为有理系数的一元二次方程x 2+bx+c=0的一个根为32+，则该方程的另一个根为32-。再利用根与系数的关系可得：b=-4，c=1。所以b+c=-3。
关于一元二次方程的根与系数的关系还有许多运用，希望大家在今后的学习中逐步体会。